UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD.ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES

MÉTODOS MATEMÁTICOS

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PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIALCAPÍTULO UNO: INTRODUCCIÓN

LECCIÓN TRES.

RESUMEN DE LOS PASOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DE UN PROCESO.

Los ejemplos vistos anteriormente pretendían ilustrar de manera cualitativa y esencial la construcción demodelos, que es seguida por detalles cuantitativos. La experiencia es un factor fundamental en la formulación de modelos, pues a mayor numero de modelo formulados, el ingeniero es capaz de identificar las suposiciones quepueden ser introducidas sin que el resultado final se vea alterado de manera significativa, además, dichaexperiencia también puede orientar a la hora de seleccionar la ruta de solución cuantitativa.

Para iniciar su experiencia, a continuación se presentan algunos pasos generales para la construcción de unmodelo.

1. Dibuje un esquema del sistema a ser modelado; defina las diferentes geometrías y las cantidades físicasy químicas que intervienen.

2. Cuidadosamente seleccione las variables dependientes (o de respuesta).3. Selecciones las posibles variables independientes, que cambiarán y necesariamente afectan a las

variables dependientes.4. Haga una lista de los parámetros, es decir, cantidades que son constantes en el análisis (constantes

físicas, tamaños, formas). Tener en cuenta que algunos de estos parámetros pueden no serlo, y cambiar con las variables (p.e. la viscosidad cambia con la temperatura).

5. Dibuje un esquema del comportamiento esperado para las variables dependientes.6. un volumen de control para un elemento finito del sistema a modelar (normalmente el volumen de

control es diferencial). Esquematice el elemento e indique los flujos de entrada y salida, y las trayectoriasde transferencia.

7. Escriba las leyes de conservación para el volumen de control.8. Genere a partir de los balances sistemas de ecuaciones diferenciales o integrales.9. Escriba todas las posibilidades para las condiciones de frontera o de inicio. Este paso es fundamental

pues pude sugerir el método de solución.10. Seleccione un método apropiado de solución (algebraica o numérica) y resuelva.11. Verifique que sus respuestas sean concordantes con la realidad (p.e. no hay temperaturas absolutas

negativas).

JERARQUIA DEL MODELO Y SU IMPORTANCIA EN EL ANÁLISIS.

Desde el punto de vista de los verdaderos propósitos de un modelo, el enfoque y profundidad de lo detalladodel modelo determinan la complejidad de la descripción matemática del proceso. De acuerdo a las mencionadasvisiones y profundidades, se puede obtener una jerarquía de modelos donde el nivel mas bajo puede pareceruna “caja negra” y el más alto puede contener todos los posibles procesos de transporte conocidos por el hombre junto con otros conceptos (p.e. termodinámicos). Los modelos entonces no son aislados, y generalmentepertenecen a “familias” donde la jerarquía es dictada por el número de reglas (de principios de transporte,termodinámicas). Es esta familia la que provee al ingeniero las capacidades para predecir y entender losfenómenos. El ejemplo del enfriamiento de un fluido, presentado en la lección anterior, ilustra dos miembros de una familia. A medida que el nivel de sofisticación se incrementa, la complejidad matemática también lo hace. Sise esta interesado es saber exactamente como es que el calor es conducido a través del metal y luego transferidoa la atmósfera, la complejidad del problema aumentará al tener que escribir un balance de energía para el metal del tubo. Mas allá, si se esta interesado en como el calor es transferido cerca de la sección de entrada conelementos cercanos, deberá incluirse un nuevo balance de energía para esta zona. Adicional a esto, las condiciones de frontera se hacen más difíciles de puntualizar.

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Para mostrar el concepto de jerarquía del modelo y su importancia en el análisis, se considerará el problema dela remoción de calor de un recipiente con un líquido caliente, sumergiendo una vara metálica para que el calorse transfiera a la vara y luego de ésta a la atmósfera.

To

T1Solvente

2R

L1

L2

Nivel uno.

En este nivel se asumirá:a) La temperatura de la vara es uniforme, desde el baño a la atmósfera.b) Se ignora la transferencia de calor a los costados y en el fondo del recipiente.c) Los coeficientes de transferencia de calor se conocen y son constantes.d) No hay evaporación del líquido a la atmósfera.

To y T1 son la temperatura de la atmósfera y del líquido respectivamente. El balance de energía en la vara en estado estable (no hay acumulación) sería un balance entre el calor obtenido del líquido (parte inferior) y eldisipado en la atmósfera (parte superior).

)TT)(RL2(h)TT)(RL2(h 02G11L �����Despejando T se tiene:

� �2G

1L10

LhLh:Donde

)1(TT

T ������

�

Esta ecuación nos da un rápido estimativo de la temperatura de la vara y como variaría con las longitudesexpuestas. Por ejemplo, si � es mucho mas grande que uno, la temperatura de la vara sería muy cercana a T1.Para calcular la velocidad de transferencia de calor, se reemplaza T en el balance de energía:

� � � �

� �01

2G1L

01

2G

1L

1L01

1L

TTR2

Lh1

Lh1

1Q

TTR2

LhLh1

LhTT)1(

RL2hQ

��

���

��

�

��

���

��

����

��

Cuando a es muy grande, la velocidad de transferencia de calor puede calcularse como: )TT(LRh2Q 012G ���

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Esto se da cuando la transferencia de calor es controlada por el segmento de la vara expuesto a la atmósfera. Si el coeficiente de transferencia de calor entre la vara y el solvente es muy grande (�>>1), no importa cuanto de lavarilla este sumergida.

Entonces, para una diferencia de temperatura y diámetro de la vara constantes, la velocidad de transferencia de calor puede mejorarse tanto por el incremento de la longitud expuesta (L2), como incrementando la velocidad detransferencia en el líquido (por agitación). Sin embargo estas conclusiones estas sujetas a las consideracionesrealizadas al inicio. Para cuantificar los efectos de gradientes de temperatura en la vara, se aumentará un nivelde jerarquía, considerando un volumen de control diferencial.

Nivel dos.

To

T1Solvente

2R

L1

xqx

qx+�x

x

x+�x Perdidade calor

Se modificará la suposición a) del caso anterior, en esta ocasión se tendrá una temperatura uniforme en la parte de la vara sumergida en el líquido, con un valor Tv. Esta es una suposición razonable ya que los líquidosnormalmente tienen mayores conductividades térmicas respecto al aire. El resto de las suposiciones se mantiene.

Se selecciona como punto cero para la coordenada x, la interfase entre el líquido y el aire. La figura muestra elvolumen de control seleccionado. Aplicando un balance de energía. En un segmento delgado de espesor �x:

0)TT(xhR2)xx(qR)x(qR 0G22 ����������

El primer y segundo término representan el calor que entra y el que sale del volumen de controlrespectivamente; el tercer término es la perdida al ambiente. Dividiendo por �R2�x, y tomando límite cuando �xtiende a cero, se tiene una ecuación diferencial para el flujo de calor q:

0)TT(hR2

dxdq

0G ���

Asumiendo que la vara es homogénea, de manera uqe la conductividad térmica es constante, el flujo de calor a lo largo del eje se relaciona con el gradiente de temperatura de acuerdo a la ley de Fourier. Entonces:

)TT(Rh2

dxTdk 0

G2

2��

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden, por lo que se necesitan dos condiciones de frontera para susolución. Asumiendo que la longitud de la vara es mucho más larga que su diámetro, se puede decir que todo el

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calor se disipa en el perímetro curvo, y que en el extremo no hay transferencia de calor. Esto no permiteestablecer las condiciones de frontera:

0dxdT;LxEn

TT0;xEn

2

1

��

��

La solución de la ecuación es:� �� �

Rk2hm:Donde

)mLcosh(xLmcosh)TT(TT G

2

2010 �

����

Una vez se conoce el perfil de temperatura, La velocidad de transferencia de calor puede hallarse de dos formas.Primera, se sabe que el flujo de calor a través del área �R2 en x=0 debe ser igual al calor liberado a la atmósfera,esto es:

0x

2

xTkRQ

���

���

Combinando con la ecuación para el perfil de T:

2

2012G mL

)mLtanh(:donde)TT(LRh2Q ������

� es un grupo adimensional llamado el factor de efectividad, y representa la relación entre el calor perdido,respecto a la perdida cuando los gradientes están ausentes (máxima pérdida). La siguiente figura muestra elcomportamiento de � respecto al grupo mL2. Nótese que a medida que el factor de efectividad se acerca a unomL2 es mucho menor que la unidad.

100

10-1

10-2

10 1 10 210 010-110-2

2

2

mL)mLtanh(

2mLEste comportamiento dice que para un valor pequeño de mL2:

1mL

)mLtanh(

2

2 ���

Esta es la condición más efectiva para la transferencia de calor. Esto se consigue físicamente cuando:- La conductividad de la vara es muy alta.- El segmento que se expone a la atmósfera es corto.

Para cualquiera de estos casos, se tendría entonces:)TT(LRh2Q 012G ���

Que es el mismo resultado que se obtuvo para el primer caso (nivel uno). De aquí se puede inferir que el primermodelo obtenido es válido solo cuando mL2<<1.

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El según do método para calcular la velocidad de transferencia de calor es haciendo una integración delatransferencia de calor local a lo largo de la vara:

� �����2L

00G

2L

0dx)TT(Rh2qdxQ

Donde T esta dada por la ecuación del perfil de temperatura ya obtenido. El estudiante puede verificar que la solución por este método es igual a la ya obtenida:

2

2012G mL

)mLtanh(:donde)TT(LRh2Q ������

La soluciones de los niveles uno y dos tienen una suposición en común: la temperatura de la vara en su partesumergida es uniforme. La validez de esta suposición solo se sabrá al aumentar un nivel en la jerarquía delmodelo.

Nivel tres.En este nivel del modelamiento se modificará la suposición a), analizando los gradientes de temperatura en lavara para segmentas tanto arriba como debajo de la interfase del líquido.

Se tomará la temperatura bajo la interfase como T1, y la temperatura sobre la interfase como T11. Realizando los balances de energía unidimensionales para los dos segmentos de la vara se obtiene:

)TT(Rkh2

dxTd

y

)TT(Rkh2

dxTd

111G

2

112

11L

2

12

��

��

Con un razonamiento similar al presentado en el nivel anterior, para las condiciones de frontera se tiene:

0dx

dT ;LxEn

0dx

dT ;-LxEn

11

2

1

1

��

��

Teniendo en cuenta que la temperatura a lo largo de la barra debe ser continua se tienen las siguientescondiciones de frontera:

dxdT

dxdT ;0xEn

TT ;0xEn111

111

��

��

La solución de las dos ecuaciones diferenciales es:

� �

� �Rk

2hm)xL(mcoshBTT

Rk2h

n)Lx(ncoshATT

G20

11

L11

1

����

����

Las constantes A y B son: � �

� �

��

���

��

��

��

���

��

��

)mLcosh()mL(senh)nL(senh

mn)nLcosh(

TTA

)nLcosh()nL(senh)mL(senh

nm)mLcosh(

TTB

22

11

01

11

22

01