44

Movimiento en una dimensión Cinemática En un primer estudio de la mecánica, es conveniente describir el movimiento sin tomar en cuenta los agentes que producen dicho movimiento. Esta parte de la mecánica recibe el nombre de cinemática. Primeramente consideraremos el movimiento a lo largo de una línea recta mejor conocido como movimiento en una dimensión. Este movimiento se puede considerar a lo largo del eje de las x. El estudio del movimiento en una dimensión requiere conocer el desplazamiento o la posición, la velocidad, la aceleración y la relación entre ellas. Desplazamiento

El movimiento de una partícula se conoce por completo si su posición en el espacio se conoce en todo momento. Cuando la partícula se mueve de la posición xi a la posición xf su desplazamiento está dado por xf - xi. Es decir, el cambio de posición ∆x = x - xf i (0.1)

delta (∆ ) indica el cambio en una cantidad. De acuerdo con esta definición se ve que ∆x es positiva si xf es mayor que xi, y negativa si xf es menor que xi. El desplazamiento no debe confundirse con la distancia recorrida. Por ejemplo, en la figura 1 se ve que cuando un jugador de béisbol batea un “cuadrangular”, recorre una distancia de 360 pies en su viaje alrededor de las bases; sin embargo, su desplazamiento es 0 porque las posiciones final e inicial del jugador son idénticas. Velocidad La velocidad de una partícula es una medida del cambio de su posición con respecto al tiempo. La velocidad promedio La velocidad promedio de una partícula se define como la razón de su desplazamiento ∆x entre el intervalo de tiempo transcurrido, ∆t: Véase la figura 2.

x - x∆x f iv = =

∆t t - tf i (0.2)

45

Figura 1. Velocidad instantánea La velocidad de una partícula en cualquier instante de tiempo se conoce como la velocidad instantánea. Este concepto tiene una importancia especial cuando la velocidad promedio en diferentes intervalos de tiempo no es constante. La

velocidad instantánea es igual al límite del cociente ∆x∆t

conforme ∆t se acerca a

cero. Véase la figura 3. En la notación del cálculo, este límite se conoce como la derivada de x con respecto a t y se escribe

0

∆x dxv lim ∆t dtt∆ →

= = (0.3)

La rapidez promedio La rapidez promedio de una partícula se define como el cociente entre la distancia total recorrida y el tiempo total que se requiere para viajar esa distancia:

rapidez promedio = distancia totaltiempo total

La rapidez siempre es positiva, es una cantidad escalar y en el SI se mide en m/s.

46

Figura 2. Figura 3. Aceleración Cuando la velocidad de una partícula cambia con el tiempo, se dice que la partícula está acelerada. Supóngase una partícula que se mueve a la largo del eje x a una velocidad vi en el tiempo ti y a una velocidad vf en el tiempo tf. La aceleración promedio La aceleración promedio de la partícula en el intervalo de tiempo ∆t = tf - ti se define como

v - v∆v f ia = =

∆t t - tf i (0.4)

donde ∆v = v - vf i es el cambio de la velocidad en este intervalo de tiempo. La

aceleración tiene dimensiones de longitud dividida entre (tiempo)2, o L/T2. Algunas de las unidades comunes de aceleración son metros por segundo por segundo (m/s2) y pies por segundo por segundo (pies/s2). De la misma forma que con la velocidad se pueden emplear los signos positivo y negativo para indicar la dirección de la aceleración cuando el movimiento que se analiza ocurre en una

47

dimensión. En algunas situaciones el valor de la aceleración promedio puede ser diferente sobre intervalos de tiempo distintos. Por ese motivo, es útil definir la aceleración instantánea como el límite de la aceleración promedio cuando ∆t se acerca a cero.

Figura 5.

La aceleración instantánea El concepto de aceleración instantánea se obtiene si consideramos el límite de ∆v∆t

conforme ∆t se aproxima a cero, es decir

0

∆v dvlim ∆t dtt

a∆ →

= = (0.5)

A partir de ahora se empleará el término aceleración con el significado de aceleración instantánea. Puesto que

dxv = dt

la aceleración también puede escribirse como

2d x 2dt

a = (0.6)

Es decir, en un movimiento en línea recta, la aceleración es igual a la segunda derivada de la posición de la partícula con respecto al tiempo. Movimiento en una dimensión con aceleración constante Un movimiento en una dimensión muy común y simple ocurre cuando la aceleración es constante o uniforme. Cuando la aceleración es constante, la aceleración promedio es igual a la aceleración instantánea, en consecuencia, la velocidad aumenta o disminuye de la misma forma durante todo el movimiento. Es decir, la aceleración instantánea

48

f i

f i

v - vdv = = dt t - t

a (0.7)

Velocidad en función de la aceleración y el tiempo Si por conveniencia se considera que ti = 0, que tf representa cualquier tiempo arbitrario t y además, que vi = v0 (la velocidad inicial en t = 0) y que vf = v (la velocidad en cualquier tiempo arbitrario t), la aceleración se puede expresar como

v - v0 = t

a

o bien, 0v = v + ta (0.8) Esta expresión permite determinar la velocidad en cualquier tiempo t si se conocen la velocidad inicial, la aceleración (constante) y el tiempo transcurrido.

v

tO t

v0

atv = v0 + atv0

Pendiente = a

Figura 7.

Una gráfica velocidad-tiempo se muestra en la figura 7. La gráfica es una línea recta cuya pendiente es la aceleración, lo que es consistente con el hecho de que

dv = dt

a es una constante. Si la aceleración fuera negativa, la pendiente sería

negativa. Si la aceleración es en la dirección opuesta a la velocidad, entonces la partícula se está desacelerando. De acuerdo con esta gráfica y con la ecuación (0.8), vemos que la velocidad en cualquier, tiempo t es la suma de la velocidad inicial, v0, y el cambio en la velocidad debido a la aceleración, ta . Posición en función de la aceleración y el tiempo

49

Consideremos ahora la gráfica de la aceleración contra el tiempo, cuando la aceleración es constante. La gráfica es una recta con una pendiente igual a cero (Véase la figura 8).

a

tO t

Pendiente = 0

a

Figura 8.

Puesto que la velocidad varía linealmente en el tiempo, según la ecuación (0.8) y como la aceleración es constante, es posible expresar la velocidad promedio en cualquier intervalo de tiempo como la media aritmética de la velocidad inicial, v0, y de la velocidad final, v:

0v + vv =

2 (0.9)

Esta expresión es útil sólo cuando la aceleración es constante, es decir, cuando la velocidad varía de manera lineal con el tiempo. Ahora, combinando la ecuación (0.9) y la ecuación (0.2) se puede obtener el desplazamiento como función del tiempo. En este caso también se elige ti = 0, tiempo en el cual la posición inicial es xi = x0. Esto implica que

0v + v∆x = v∆t = t

2

donde se ha considerado que tf – ti = t, ya que ti = 0. Es decir,

1x - x = (v + v )t0 02 (0.10)

Si en esta ecuación se reemplaza la velocidad v por la expresión (0.8), se obtiene la ecuación que describe la posición como función de la aceleración

21x - x = v t + t0 0 2a (0.11)

50

También es posible obtener una expresión que relaciona el cambio en la posición con el cambio de velocidad y la aceleración. Para esto, se elimina el tiempo entre la ecuación (0.11) y la expresión (0.8). Despejando t de esta última ecuación y sustituyendo en (1.11) se obtiene

2 2v - v0x - x = 0 2a

(0.12)

Es decir, 2 2v - v = 2 (x - x )0 0a (0.13)

En la figura siguiente se presenta una gráfica de la posición contra el tiempo para un movimiento con aceleración constante donde a es positiva. Obsérvese que la curva que representa a la ecuación es una parábola. La pendiente de la tangente en esta curva en t = 0 es igual a la velocidad inicial, v0, y la pendiente de la línea tangente en cualquier tiempo t es igual a la velocidad en ese tiempo.

Figura 9. Grafica de la posición contra el tiempo para un movimiento con aceleración constante.

51

Ecuaciones de la cinemática Las cuatro ecuaciones cinemáticas utilizadas con mayor frecuencia se incluyen en la tabla I.

Tabla I Ecuación ________

Información que se extrae de la ecuación

0v = v + ta Velocidad como función del tiempo para una aceleración constante

1x - x = (v + v )t0 02 Desplazamiento como una función de la velocidad y

el tiempo 21x - x = v t + t0 0 2

a Desplazamiento como una función del tiempo y para una Aceleración constante.

2 2 v - v = 2a(x - x )0 0 Velocidad como una función del desplazamiento y la

aceleración Los símbolos tienen el significado siguiente: x0 es la posición inicial; v0 es la velocidad inicial; x es la posición en el tiempo t; v es la velocidad en el tiempo t y a es la aceleración que se considera constante. Movimiento vertical con aceleración constante Cuando se lanza un objeto en dirección vertical, hacia arriba o hacia abajo, dicho objeto se mueve bajo la acción de la gravedad terrestre que jala a los objetos hacia el centro de la tierra agregándoles una aceleración g = 9.8 m/s2. Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que la aceleración de la gravedad no varía con la altitud, entonces el movimiento es equivalente al movimiento en una dimensión con aceleración constante. Este movimiento se puede considerar a lo largo del eje y. Por tanto, pueden aplicarse las ecuaciones cinemáticas para aceleración constante obtenidas anteriormente. Para esto, se tomará la dirección vertical como el eje y y se indicará positiva hacia arriba. Es necesario solamente sustituir x por y en las ecuaciones de la tabla I. Asimismo, como la aceleración apunta hacia el centro de la Tierra, es negativa y está dada por = -ga . Con lo anterior, se obtienen las ecuaciones mostradas en la tabla II.

52

Tabla II

Ecuaciones para estudiar movimiento en caída libre (a = - g) Ecuación ________________ Información que se extrae de la

ecuación y y0v = v - gt Velocidad como función del tiempo

y y01y - y = (v + v )t0 2

Altura como una función de la velocidad y el tiempo.

21y - y = v t - gt0 yo 2 Altura como una función del tiempo.

y y02 2 v - v = - 2g(y - y )0

Velocidad como una función de la altura.

Los símbolos tienen el significado siguiente: y0 es la altura inicial; vy0 es la velocidad inicial; y es la posición en el tiempo t; v es la velocidad en el tiempo t y g es la aceleración hacia abajo que se considera constante. Objetos en caída libre Cuando se emplea la expresión objeto que cae libremente no se hace referencia necesariamente a un objeto que se soltó desde el reposo. Un objeto que cae libremente es cualquiera que se mueve con libertad bajo la influencia de la gravedad, sin importar su movimiento inicial. Un objeto lanzado hacia arriba y uno lanzado hacia abajo experimenta la misma aceleración que un objeto que se deja caer desde el reposo. Una vez que están en caída libre, todos los objetos tienen una aceleración hacia abajo, igual a la aceleración de caída libre. El valor de g sobre la Tierra disminuye conforme aumenta la altitud. También, varía ligeramente con la latitud. La aceleración de caída libre está dirigida hacia el centro de la Tierra. En la superficie, el valor de g es aproximadamente 9.80 m/s2, 980 cm/s2 o 32 pies/s2, dependiendo del sistema de unidades que se utilice. Nótese que el signo negativo para la aceleración ya está incluido en las ecuaciones de la tabla II. Ejemplo. Considere el caso de una partícula lanzada verticalmente (Véase la figura 10) hacia arriba desde el origen con una velocidad v0. En este caso, v0 es positiva y y0 = 0. Es decir la partícula se lanza desde una altura igual a cero. En la siguiente figura se muestran las gráficas de la posición y la velocidad de la partícula como funciones del tiempo.

53

Figura 10. Grafica de la altura y la velocidad de un objeto que se lanza hacia arriba con velocidad inicial v0. observe que la velocidad es positiva cuando la partícula está subiendo, pero disminuye conforme pasa el tiempo y se hace cero en el punto donde la altura tiene su valor máximo. En ese punto, la velocidad es cero. Después la velocidad es negativa. Con la ecuación (0.8), haciendo v = 0, se obtiene que la altura máxima se alcanza en el tiempo t1 = v0/g. En este tiempo, el desplazamiento tiene su valor positivo más grande, el cual puede calcularse de la ecuación y – y0 = v0t– gt2/2 con t = t1 = v0/g. Esto produce ymax = v0

2/2g. En el tiempo t2 = 2t1 = 2v0/g la posición de la partícula otra vez es cero, es decir, la partícula ha regresado a la altura y = 0. Además, en el tiempo t2 la velocidad es v = - v0.

54

Formulario Desplazamiento

∆x = x - xf i

Velocidad promedio

x - x∆x f iv = = ∆t t - tf i

Velocidad instantánea

0

∆x dxv lim ∆t dtt∆ →

= =

Aceleración promedio v - v∆v f ia = =

∆t t - tf i

Aceleración instantánea

0

∆v dvlim ∆t dtt

a∆ →

= =

Relación entre posición y velocidad

dxv = dt

Relación entre posición y aceleración

2d x 2dt

a =

55

Ecuaciones de la cinemática en una dimensión

Tabla I Ecuación ________

Información que se extrae de la ecuación

0v = v + ta Velocidad como función del tiempo para una aceleración Constante

1x - x = (v + v )t0 02 Desplazamiento como una función de la velocidad

y el tiempo 21x - x = v t + t0 0 2

a Desplazamiento como una función del tiempo y para una Aceleración constante.

2 2 v - v = 2 (x - x )0 0a Velocidad como una función del desplazamiento y la aceleración

Los símbolos tienen el significado siguiente: x0 es la posición inicial; v0 es la velocidad inicial; x es la posición en el tiempo t; v es la velocidad en el tiempo t y a es la aceleración que se considera constante. Ecuaciones de objetos en caída libre

Tabla II Ecuaciones para estudiar movimiento en caída libre (a = - g) Ecuación ________________ Información que se extrae de la

ecuación y y0v = v - gt Velocidad como función del tiempo

y y01y - y = (v + v )t0 2

Altura como una función de la velocidad y el tiempo.

21y - y = v t - gt0 yo 2 Altura como una función del tiempo.

y y02 2 v - v = - 2g(y - y )0

Velocidad como una función de la altura.

Los símbolos tienen el significado siguiente: y0 es la altura inicial; vy0 es la velocidad inicial; y es la posición en el tiempo t; v es la velocidad en el tiempo t y g es la aceleración hacia abajo que se considera constante.

56

Problemas 1. La posición de un automóvil que baja por la pendiente de una colina fue observada en diferentes tiempos y los resultados se resumen en la tabla siguiente. Encuentre la velocidad promedio del automóvil durante (a) el primer segundo, (b) los últimos tres segundos, y (c) el periodo completo de observación.

x(cm) t(s)

0 0

2.3 1.0

9.2 2.0

20.7 3.0

36.8 4.0

57.5 5.0

Solución:

(a) f i

f i

x - x 2.3 - 0v = = = 2.3 cm/st - t 1

(b) f i

f i

x - x 57.5 - 9.2 48.3v = = = = 16.1 cm/st - t 5.0 - 2.0 3

(c) f i

f i

x - x 57.5 - 0 57.5v = = = = 11.5 cm/st - t 5 - 0 5

2. Un automovilista viaja hacia el norte durante 35 min a 85 km/h y luego se detiene durante 15 min. Después continua hacia el norte, recorriendo 130 km en 2.0 h. (a) ¿cuál es su desplazamiento total? (b) ¿cuál es su velocidad promedio? Solución: (a) 1 1 3 3s = v ∆t + v ∆t = (85)(35/60) + (130)(2) = 309.6 km

(b) 1 1 3 3

1 2 3

v ∆t + v ∆tv = ∆t + ∆t + ∆t

= 309.6/2.83 = 109.4 km/h

3. En la figura se muestra la grafica de desplazamiento contra tiempo para cierta partícula que se mueve a lo largo del eje x. Encuentre la velocidad promedio en los intervalos de tiempo (a) 0 a 2 s, (b) 0 a 4 s, (c) 2 a 4 s, (d) 4 a 7 s, y (e) 0 a 8 s.

57

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5 6 7 8

x(m)

t(s)9

Solución:

(a) f i

f i

x - x 10 - 0v = = = 5 m/st - t 2 - 0

(b) f i

f i

x - x 4 - 0v = = = 1.0 m/st - t 4 - 0

(c) f i

f i

x - x 4 - 10v = = = -3 m/st - t 4 - 2

(d) f i

f i

x - x 0 - 4v = = = -1.33 m/st - t 7 - 4

(e) f i

f i

x - x -6 - 0v = = = -0.75 m/st - t 8 - 0

4. Una corredora avanza en línea recta con una velocidad promedio de + 5.00 m/s durante 4.00 min, y después con una velocidad promedio de + 4.00 m/s durante 3.00 min. (a) ¿cuál es su velocidad promedio durante este tiempo? Solución:

1 1 2 2

1 2

v ∆t + v ∆t (5)(4) + (4)(3)v = = = 4.57 m/st + t 4 + 3

58

5. Una persona camina del punto A al punto B a una velocidad constante de 5.0 m/s a lo largo de una línea recta y después regresa a lo largo de la línea de B a A con una velocidad constante de 3.0 m/s. (a) ¿cuál es su rapidez promedio en el recorrido completo? (b) ¿Su velocidad promedio en el recorrido completo? Solución: (a) rapidez promedio = desplazamiento/ tiempo = 0, ya que el desplazamiento es cero. (b) velocidad promedio = (5 m/s + 3 m/s)/2 = 4 m/s. 6. Una partícula se mueve de acuerdo con la ecuación x = 10t2, donde x está en metros y t en segundos. (a) Encuentre la velocidad promedio en el intervalo de tiempo de 2.0 a 3.0 s. (b) Determine la velocidad promedio para el intervalo de tiempo de 2.0 a 2.1 s. Solución:

(a) x(3) - x(2) 90 - 40v = = = 50 m/s3 - 2 1

(b) x(2.1) - x(2.0) 44.1 - 40v = = = 41 m/s2.1 - 2.0 0.1

7. Un automóvil realiza un viaje de 200 km a una rapidez promedio de 40 km/h. Un segundo automóvil que inició el viaje 1.0 h después llega al mismo destino al mismo tiempo. ¿Cuál fue la rapidez promedio del segundo auto durante el periodo que estuvo en movimiento? Solución: Tiempo del auto que se mueve a 40 km/h = 5 h Tiempo del segundo auto = 4 h. Rapidez del segundo auto = (200 km)/4 h = 50 km/h 8. Una rápida tortuga puede desplazarse a 10.0 cm/ s, y una liebre puede correr 20 veces mas rápido. En una carrera, los dos corredores inician al mismo tiempo, pero la liebre se detiene a descansar durante 2.0 min y, por ello, la tortuga gana por un caparazón (20 cm). (a) ¿Qué tanto duró la carrera? (b) ¿cuál fue su longitud? Solución: Se supondrá que d es la distancia total recorrida y t es el tiempo de duracion de la carrera. Con esto, Vtortuga = 10 cm/s = d/t.

59

Vliebre = 200 cm/s = (d – 20)/(t – 120) Resolviendo, se obtiene que (a) la carrera duro 126.2 s y (b) La longitud de la carrera es 1260 cm. 9. En la figura se muestra la grafica posición-tiempo de una partícula que se mueve a lo largo del eje x. (a) Encuentre la velocidad promedio en el intervalo de tiempo t = 1.5 s a t = 4.0 s. (b) Determine la velocidad instantánea en t = 2.0 s midiendo la pendiente de la línea tangente mostrada en la grafica. (c) ¿En cuál valor de t la velocidad es cero?

Solución: (a) La velocidad promedio = [x(4) – x(1.5)]/(4 – 1.5) = (2 – 8)/2.5 = -6/2.5 = -2.4 m/s (b) La velocidad instantanea en t = 2. V(2) = (1 – 9)/(3.5 – 1) = -8/2.5 = -3.2 m/s (c) en t = 4 s. 10. Dos automóviles viajan en la misma dirección a lo largo de una autopista recta, uno a 55 mi/h y el otro a 70 mi/h. (a) Suponiendo que empiezan en el mismo punto, ¿con que ventaja el auto más rápido Ilega a un destino a 20 millas de distancia? (b) ¿Qué tan rápido debe viajar el carro más veloz antes de que adelante 15 mi al carro mas lento? Solución: (a) De la relación v = d/t, despejamos el tiempo. t55 = 20 mi/(55 mi/h) = 0.36 h = 21.8 minutos. t70 = 20 mi/(70 mi/h) = 0.28 h = 17.1 minutos. El carro mas rápido llegó 21.8 – 17.1 = 4.7 minutos antes. (b) 11. En t = 1.0 s, una partícula que se mueve con velocidad constante se localiza en x = - 3.0 m y en t = 6.0 s, la partícula se localiza en x = 5.0 m. (a) Con esta información grafique la posición como función del tiempo. (b) Determine la velocidad de la partícula a partir de la pendiente de esta grafica.

60

Solución: (a) La grafica de posición contra el tiempo:

0 1 2 3 4 5 6

-3

5

t(s)

x(m)

(b) Velocidad = [x(6) – x(1)]/(6 – 1) = (5 - (-3))/5 = 8/5 m/s = 1.6 m/s.

Solución: (a) en t1, la velocidad es cero

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5 6 7 8

x(m)

t(s)9

12. Determine la velocidad instantánea de la partícula descrita en la figura en los siguientes tiempos: (a) t = 1.0 s, (b) t = 3.0 s, (c) t = 4.5 s y (d) t = 7.5 s. Solución: (a) 5m/s (b) -3 m/s (c) 0 (d) -5m/s

13. La grafica posición-tiempo para una partícula que se mueve a lo largo del eje z se muestra en la figura. Determine si la velocidad es positiva, negativa o cero en los tiempos (a) t1, (b) t2, (c) t3 y (d) t4.

61

(b) en t2, la velocidad es negativa (c) en t3, la velocidad es positiva (d) en t4, la velocidad es cero 14. Una partícula se mueve con una velocidad v0 = 60 m/s en t = 0. Entre t = 0 y t = 15 s, la velocidad disminuye uniformemente hasta cero. ¿Cuál es la aceleración promedio durante este intervalo de 15 s? ¿Cuál es el significado del signo de su respuesta? Solución: Aceleración = (vf – vi)/(tf – ti) = (0 – 60 m/s)/15s = -4 m/s2. El signo negativo significa que la partícula se frenó. 15. Un objeto se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación x(t) = (3.0t2 -2.0t + 3.0) m. Determine (a) la velocidad promedio entre t = 2.0 s y t = 3.0 s, (b) la velocidad instantánea en t = 2.0 s y en t = 3.0 s, (c) la aceleración promedio entre t = 2.0 s y t = 3.0 s, y (d) la aceleración instantánea en t = 2.0 s y t = 3.0 s. Solución: (a) x(2) = 3.0 x 22 – 2.0 x 2.0 + 3.0 = 11.0 m x(3) = 3.0 x 32 – 2.0 x 3.0 + 3.0 = 24.0 m velocidad promedio = [x(3) – x(2)]/(3 – 2) = (24 – 11)/1 = 13.0 m/s (b) La velocidad instantánea es v(t) = 6.0t – 2.0. v(2) = 10 m/s. v(3) = 16.0 m/s (c) la aceleración instantánea es a(t) = 6.0 m/s2. a(2) = 6.0 m/s2 a(3) = 6.0 m/s2 16. Una partícula parte del reposo y acelera como se indica en la figura. Determine (a) la velocidad de la partícula en t = 10 s y en t = 20 s, y (b) la distancia recorrida en los primeros 20 s.

62

a(m/s2)

t(s)5.0 10.0 15.0 20.00

1.0

2.0

-1.0

-2.0

-3.0 Solución: (a) v = v0 + at v(10) = 0 + (2m/s2)(10s) = 20 m/s v = v0 + at v(20) = 20 m/s + (-3m/s2)(5s) = 15 m/s

(b) 2 2 2 21 1s= (2m/s )(10s) + (20m/s)(5s) + (-3m/s )(5s)2 2

s = 237.5 m

17. Una partícula se mueve a lo largo del eje x según la ecuación x = 2.0 + 3.0t - 1.0t2, donde x está en metros y t en segundos. Para t = 3.00 s, encuentre (a) la posición de la partícula, (b) su velocidad y (c) su aceleración. Solución: (a) posición x(3.0) = 2.0 + 3.0 x 3.0 – 1.0 x 3.02 = 2 m. (b) velocidad v(3.0) = 3.0 -2.0 x 3.0 = -3 m/s (c) aceleración a(3.0) = -2 m/s2.

18. Una partícula viaja en la dirección positiva del eje x durante 10 s a una velocidad constante de 50 m/s. Luego acelera de manera uniforme hasta alcanzar una velocidad de 80 m/s en los siguientes 5 s. Encuentre (a) la aceleración promedio de la partícula en los primeros 10 s, (b) su aceleración promedio en el intervalo desde t = 10 s hasta t = 15 s, (c) el desplazamiento total de la partícula entre t = 0 y t = 15 s, y (d) su velocidad promedio en el intervalo de t = 10 s a t = 15 s. 19. La distancia mínima necesaria para detener un auto que se mueve a 35 mi/h es 40 pies. ¿Cuál es la distancia de frenado mínima para el mismo auto pero que ahora se mueve a 70 mi/h, y con la misma tasa de aceleración?

63

20. La velocidad inicial de un cuerpo es 5.20 m/s. ¿Cuál es su velocidad después de 2.50 s si acelera uniformemente a (a) 3.00 m/s2 y (b) a -3.00 m/s2? 21. Un disco de hockey que se desliza sobre un lago congelado se detiene después de recorrer 200 m. Si su velocidad inicial es 3.00 m/s, (a) ¿Cuál es su aceleración si esta se supone constante, (b) cuanto dura su movimiento y (c) ¿Cuál es su velocidad después de recorrer 150 m? 22. Un jet aterriza con una velocidad de 100 m/s y puede acelerar a una tasa máxima de -5.0 m/s2 cuando se va a detener. (a) A partir del instante en que toca la pista de aterrizaje, ¿Cuál es el tiempo mínimo necesario antes de que se detenga? (b) ¿Este avión puede aterrizar en un pequeño aeropuerto donde la pista tiene 0.80 km de largo? 23. Una piloto de arrancones inicia la marcha de su vehículo desde el reposo y acelera a 10.0 m/s2 durante una distancia total de 400 m (a) ¿Cuánto tiempo tarda el carro en recorrer esta distancia? (b) ¿Cuál es su velocidad al final del recorrido? Solución:

(a) La ecuación que describe el movimiento del vehículo es 20 0

1x(t) = x + v t + t2a

donde x0 = 0, v0 = 0. Despejando el tiempo , se obtiene 1/ 22xt =

a

= 800.5 = 8.94 s.

(b) 0v = v + ta = 89.4 m/s 24. Un electrón en un tubo de rayos catódicos (TRC) acelera de 2.0 x 104 m/s hasta 6.0 x 106 m/s en 1.5 cm. (a) ¿Cuánto tiempo tarda el electrón en recorrer esta distancia? (b) ¿Cuál es su aceleración? 25 Una partícula parte desde el reposo de la parte superior de un pIano inclinado y se desliza hacia abajo con aceleración constante. El pIano inclinado tiene 2.00 m de largo, y la partícula tarda 3.00 s en alcanzar la parte inferior. Determine (a) la aceleración de la partícula, (b) su velocidad en la parte inferior de la pendiente, (c) el tiempo que tarda la partícula en alcanzar el punto medio del pIano inclinado, y (d) su velocidad en el punto medio. 26. Dos trenes expresos inician su recorrido con una diferencia de 5 min. A partir del reposo cada uno es capaz de alcanzar una velocidad máxima de 160 km/h después de acelerar uniformemente en una distancia de 2.0 km. (a) ¿Cuál es la aceleración de cada tren? (b) ¿A que distancia esta el primer tren cuando el segundo inicia su trayecto? (c) ¿Que tan separados se encuentran cuando ambos viajan a máxima velocidad?

64

27. Un adolescente tiene un auto que acelera a 3.0 m/s2 y desacelera a -4.5 m/s2. En un viaje a la tienda, acelera desde el reposo hasta alcanzar una velocidad de 12 m/s, maneja a velocidad constante durante 5.0 s y luego se detiene momentáneamente en la esquina. Acelera después hasta alcanzar una velocidad de 18 m/s, maneja a velocidad constante durante 20 s, desacelera durante 8/3 s, continua durante 4.0 s a esta velocidad y después se detiene. (a) ¿Cuánto tiempo tarda el recorrido? (b) ¿Qué distancia se recorre? (c) ¿Cuál es la velocidad promedio del viaje? (d) ¿Cuánto tardaría si caminara a la tienda y regresara de ese mismo modo a 1.5 m/s? 28. Una pelota acelera a 0.5 m/s2 mientras se mueve hacia abajo en un plano inclinado de 9.0 m de largo. Cuando alcanza la parte inferior, la pelota rueda por otro plano, donde, después de moverse 15 m, se detiene. (a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota en la parte inferior del primer plano? (b) ¿Cuánto tarda en rodar por el primer plano? (c) ¿Cuál es la aceleración a lo largo del segundo pIano? (d) ¿Cuál es la velocidad de la pelota 8.0 m a lo largo del segundo plano? 29. Un electrón tiene una velocidad inicial de 3.0 x 105 m/s. Si experimenta una aceleración de 8.0 x 1014 m/s2, (a) ¿Cuánto tardara en alcanzar una velocidad de 5.4 x 105 m/s, y (b) que distancia recorre en este tiempo? 30. Una bala indestructible de 2.00 cm de largo se dispara en línea recta a través de una tabla que tiene 10.0 cm de espesor. La bala entra en la tabla con una velocidad de 420 m/s y sale con una velocidad de 280 m/s. (a) ¿Cuál es la aceleración promedio de la bala a través de la tabla? (b) ¿Cuál es el tiempo total que la bala está en contacto con la tabla? (c) ¿Qué espesor de las tablas (Calculado hasta 0.1 cm) se requeriría para detener la bala? 31. Un jugador de hockey está parado en sus patines sobre un lago congelado mientras un jugador rival patina con el disco, moviéndose con una velocidad uniforme de 12.0 m/s. Después de 3.00 s, el primer jugador intenta alcanzar a su oponente. Si el primer jugador acelera uniformemente a 4.00 m/s2, (a) ¿Cuánto tarda en alcanzar al oponente? (b) ¿Qué distancia ha recorrido el primer jugador en este tiempo? (Suponga que el oponente se mueve a velocidad constante.) 32. Se informo que una mujer cayó 144 pies desde el piso 17 de un edificio, aterrizando sobre una caja de ventilador metálica, la cual sumió hasta una profundidad de 18.0 pulg. Solo sufrió lesiones menores. Ignore la resistencia del aire y calcule (a) la velocidad de la mujer exactamente antes de chocar con el ventilador, (b) su aceleración promedio mientras esta en contacto con la caja, y (c) el tiempo que tarda en sumir la caja. Solución: (a) v = (2gh)1/2 = (2 x 32 x 144)1/2 = 96 pies/s (b) a = v2/2x = 962/(2 x 1.5) = 3072 pies/s2 (c) Tenemos que v = at. De aquí, se obtiene que t = v/a = 96/3072 = 0.031 s.

65

33. Una pelota fue lanzada directamente hacia abajo con una velocidad inicial de 8.00 m/s desde una altura de 30.0 m. ¿En que momento la pelota golpea el suelo? Solución: La ecuación que describe al proyectil es y(t) = y0 – v0t – gt2/2 = 30 – 8t – 4.9t2. Igualando a cero, nos queda la ecuación: 30 – 8t – 4.9t2 = 0. Resolviendo para obtener el tiempo, obtenemos: t1 = 34.2/9.8 = 3.5 s. 34. Un globo aerostático viaja verticalmente hacia arriba a una velocidad constante de 5.00 m/s. Cuando está a 21.0 m sobre el suelo se suelta un paquete desde él. (a) ¿Cuánto tiempo permanece el paquete en el aire? (b) ¿Cuál es su velocidad exactamente antes de golpear el suelo? (c) Repita (a) y (b) en el caso en que el globo desciende a 5.00 m/s. Solución: (a) Ecuación del paquete es y(t) = y0 + v0t – gt2/2 = 21 + 5t – 4.9t2. Igualando a cero, se obtiene t = 2.64 s. (b) Velocidad v(t) = v0 – gt = 5 – 9.8t. Antes de caer al suelo, v(2.64) = 5 – 9.8 x 2.64 = -20.9 m/s (c) Si el globo desciende, la ecuación del paquete es y(t) = y0 - v0t – gt2/2 = 21 – 5t -4.9t2. El tiempo de caída es t = 1.6 s. La velocidad v(t) = -v0 – gt = -5 – 9.8t. La velocidad al caer es v(1.6) = -5 – 9.8 x 1.6 = 20.68 m/s. 35. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 15.0 m/s. (a) ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que la pelota alcanza su altitud máxima? (b) ¿Cuál es su altitud máxima? (c) Determine la velocidad y la aceleración de la pelota en t = 2.00 s. Solución: (a) La ecuación de la pelota es y(t) = y0 + v0t – gt2/2 = 15t – 4.9t2. La velocidad de la pelota esta dada por v(t) = v0 – gt = 15 – 9.8t. El tiempo que transcurre para que la pelota llegue a su altura máxima se obtiene haciendo v = 0. Se obtiene t = v0/g = 15/9.8 = 1.53 s. (b) Altitud máxima = y(1.53) = 15 x 1.53 – 4.9 x 1.532 = 11.48 m (c) velocidad v(2.0) = 15 x 2.0 – 9.8 x 2.0 = 20.4 m/s. Aceleración = -9.8 m/s2. 36. Una pelota lanzada verticalmente hacia arriba es capturada por el lanzador después de 20.0 s. Determine (a) la velocidad inicial de la pelota, y (b) la altura máxima que alcanza. 37. Un astronauta parado sobre la Luna suelta un martillo, dejando que caiga 1.00 m hacia la superficie. La gravedad lunar produce una aceleración constante de magnitud igual a 1.62 m/s2. Una vez de regreso en la Tierra, el astronauta suelta

66

de nuevo el martillo, dejándolo caer hasta el suelo desde una altura de 1.00 m con una aceleración de 9.80 m/s2. Compare los tiempos de caída en las dos situaciones. 38. La altura de un helicóptero sobre el suelo esta representada por h = 3.00t3, donde h esta en metros y t en segundos. Después de 2.00 s, el helicóptero deja caer una pequeña valija con la correspondencia. ¿Cuánto tiempo tarda la valija en Ilegar al suelo? 39. Una piedra cae a partir del reposo desde la cumbre de un elevado despeñadero. Una segunda piedra es lanzada hacia abajo desde la misma altura 2.00 s después con una velocidad inicial de 30.0 m/s. Si ambas piedras golpean el suelo simultáneamente, ¿Cuál es la altura del despeñadero? 40. Una curiosa estudiante de física asciende a un despeñadero a 50.0 m que sobresale por encima de un estanque de agua sin corrientes. Lanza dos piedras verticalmente hacia abajo con una diferencia de tiempo de 1.00 s y observa que producen un solo sonido al golpear el agua. La primera piedra tiene una velocidad inicial de 2.00 m/s. (a) ¿Cuánto tiempo después de soltar la primera las dos piedras golpean el agua? (b) ¿Qué velocidad inicial debe tener la segunda piedra si las dos golpearan en forma simultanea? (c) ¿Cuál es la velocidad de cada piedra en el instante en que golpean el agua? 41. En un acelerador lineal de 100 m un electrón se acelera hasta 1.0 por ciento de la velocidad de la luz en 40 m antes de que se desplace sin aceleración 60 m hacia un blanco. (a) ¿Cuál es la aceleración del electrón durante los primeros 40 m? (b) ¿Cuánto dura el trayecto total realizado? 42. Un corredor cubre la carrera de 100 m en 10.3 s. Otro corredor Ilega en segundo lugar en un tiempo de 10.8 s. Suponiendo que los corredores se desplazaron a su velocidad promedio en toda la distancia, determine la separación entre ellos cuando el ganador cruza la meta. 43. Un objeto que cae tarda 1.50 s en recorrer los últimos 30.0 m antes de golpear el suelo. ¿Desde que altura se soltó? 44. Dos autos viajan a lo largo de una línea en la misma dirección, el que va adelante a 25 m/s y el otro a 30 m/s. En el momento en que los autos están a 40 m de distancia, la conductora del auto delantero aplica los frenos de manera que el vehículo acelera a -2.0 m/s2. (a) ¿Cuánto tiempo tarda el carro para detenerse? (b) Suponiendo que el carro trasero frena al mismo tiempo que el delantero, ¿cuál debe ser la aceleración negativa mínima del auto trasero de manera que no choque con el auto delantero? (c) ¿Cuánto tiempo tarda en detenerse el auto trasero? 45. Una automovilista conduce por un camino recto a una velocidad constante de 15.0 m/s. Cuando pasa frente a un policía motociclista estacionado, este empieza

67

a acelerar a 2.00 m/s2 para alcanzarla. Suponiendo que el policía mantiene esta aceleración, determine (a) el tiempo que tarda el policía en alcanzar a la automovilista, encuentre (b) la velocidad y (c) el desplazamiento total del policía cuando alcanza a la automovilista. 46. Una roca se deja caer desde el reposo dentro de un pozo. (a) Si el sonido del contacto con el agua se oye 2.40 s después, ¿qué tan abajo de la parte superior del pozo está la superficie del agua? La velocidad del sonido en el aire (para la temperatura del aire de ese día) fue de 336 m/s. (b) Si el tiempo de recorrido para el sonido se ignora, ¿qué porcentaje de error se introduce cuando se calcula la profundidad del pozo? 47. Un cohete se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 80.0 m/s. Se acelera hacia arriba a 4.00 m/s2 hasta que alcanza una altura de 1000 m. En ese punto sus motores fallan y el cohete entra en caída libre con aceleración -9.80 m/s2. (a) ¿Cuánto dura el cohete en movimiento? (b) ¿Cuál es su altura máxima? (c) ¿Cuál es la velocidad justo antes de chocar con la Tierra? (Sugerencia: Considere el movimiento mientras el motor opera independiente del movimiento en caída libre.)