Cap 8 Integracion Numérica

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Simpson 3/8 Compuesto El método de Simpson 3/8 Compuesto nos permite a partir de una función un intervalo [x0,xn], y un numero de subintervalos n dado, hallar una aproximacion al aréa bajo la curva de f entre los limites del intervalo. Este método es una extensión del método del trapecio en don parte el intervalo en 3 y de esta manera forma tres trapecios, quedand esta forma: (3*h/8)*(f(x0) + 3*f(x0+h) + 3*f(x0+2*h) + f(xn)) , h = (xn-x0)/2 En este caso este método se repite en todos los intervalos y al final suman estos valores para llegar al resultado. Se forma entonces una sucesión de valores qu puede ser expresado de la siguiente manera: Area = (3*h/8) * (f(x0) + 3*sum(f(xi)) + 3*sum(f(xj)) + 2*sum(f(xk)) f(xn)) i= (multiplos de 3)+1 ,.., n/3 j= (multiplos de 3)+2 ,.., n/3 k= multiplos de 3 ,.., n/3 h = (xn-x0)/n CAPITULO 8 INTEGRACION NUMERICA Integración Numérica Realizar una integración numérica es integrar numéricamente una función y=f ( x ) en un intervalo dado [ a,b ] , es integrar un polinomio P n ( x) que aproxime f ( x) al intervalo dado. En el campo de la ingeniería y ciencias, es frecuente que la solución de un problema se exprese como una integral de la forma

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integracion de numeros

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Simpson 3/8 CompuestoEl mtodo de Simpson 3/8 Compuesto nos permite a partir de una funcin f y un intervalo [x0,xn],y un numero de subintervalos n dado, hallar una aproximacion al ara bajo la curva de f entre los limites del intervalo.Este mtodo es una extensin del mtodo del trapecio en donde parte el intervalo en 3y de esta manera forma tres trapecios, quedando de esta forma:

(3*h/8)*(f(x0) + 3*f(x0+h) + 3*f(x0+2*h) + f(xn)) , h = (xn-x0)/2

En este caso este mtodo se repite en todos los intervalos y al final se suman estos valorespara llegar al resultado. Se forma entonces una sucesin de valores que puede ser expresadode la siguiente manera:

Area = (3*h/8) * (f(x0) + 3*sum(f(xi)) + 3*sum(f(xj)) + 2*sum(f(xk)) + f(xn))

i= (multiplos de 3)+1 ,.., n/3j= (multiplos de 3)+2 ,.., n/3k= multiplos de 3 ,.., n/3h = (xn-x0)/n

CAPITULO 8

INTEGRACION NUMERICA

Integracin Numrica

Realizar una integracin numrica es integrar numricamente una funcin en un intervalo dado , es integrar un polinomio que aproxime al intervalo dado.En el campo de la ingeniera y ciencias, es frecuente que la solucin de un problema se exprese como una integral de la forma ; esta integral se resolvera usando el Teorema Fundamental del Clculo, sin embargo, existen casos donde es imposible hallar una antiderivada de . Sin embargo, la integral existe y debe de evaluarse. En este captulo se ver la forma de lograr esto.Integracin numrica

Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Clculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se conocen diversos mtodos para hallar la integral indefinida de una cantidad considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos mtodos no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de la integracin numrica. La integracin numrica permite evaluar la integral definida de una funcin continua en un intervalo cerrado con la

Si la funcin y = f(x) est indicada en una tabla por un conjunto de pares ordenados , donde los xi estn ordenados en forma creciente y donde El polgono de interpolacin para la funcin y = f(x) en el intervalo (a , b), es un polinomio de aproximacin para f(x) en cualquier intervalo (xi , xj), 0 i n; 0 j n del intervalo (a , b). Se puede usar el polinomio Pn(x) para integrar f(x) en cualquiera de los sub-intervalos.

Las ventajas de integrar numricamente un polinomio son las siguientes:1) Si f(x) es un polinomio de difcil integracin o si f(x) es prcticamente imposible de integrar, sin embargo, un polinomio es de integracin inmediata.2) Si se conoce la solucin analtica de los resultados de la integral, y su clculo solo puede arrojar aproximaciones.3) La funcin es representada a travs de una tabla de conjunto de pares ordenados, obtenidos como resultados de experimentaciones o clculos previos. Las frmulas de integracin son de manejo fcil y prctico y permite, cuando la funcin f(x) es conocida, tener una idea del error cometido en la integracin numrica.

Conceptos bsicosUna integral definida se define geomtricamente como el rea bajo la curva f(x) en el intervalo [a, b]. La forma terica de hallar este valor es mediante el teorema fundamental del clculo.Teorema: .[footnoteRef:1] [1: La demostracin puede verse en los libros o cursos de clculo.]

F(x) es una funcin tal que , es decir F(x) es una antiderivada de f(x). Sin embargo en muchos casos prcticos es muy difcil y a veces imposiblehallar una antiderivada de f(x). En estos casos el valor de la integral debe aproximarse con el menor error posible, Esto puede lograrse de por medio de serie de potencias, mtodo grfico o mtodos numricos.El problema en la prctica, se presenta cuando es necesario encontrar la antiderivada requerida de expresiones integrales tan sencillas como lo cual resulta simplemente imposible de resolver con el Teorema Fundamental del Clculo.

Mtodo de Serie de PotenciasConsiste en desarrollar en serie de Taylor la funcin f(x) e integrar termino a trmino. Intentando hallar la antiderivada de la siguiente integral definida , es posible hacerlo desarrollando la serie.

Este valor puede calcularse truncando la serie hasta un nmero determinado de trminos. Este mtodo este restringido a pocos casos prcticos y no es de aplicacin general por las razones siguientes:a) Es posible que no exista la serie de potencias.b) La serie puede ser difcil de hallar.c) Puede ocurrir que la serie no sea convergente en el intervalo [a, b].d) La serie puede converger muy lentamente.

Mtodo GrficoConsiste en trazar la grfica de f(x) en el intervalo [a, b] y medir el rea bajo la curva. Esto puede lograrse con unos instrumentos llamados planmetros[footnoteRef:2]. [2: Elplanmetroes un instrumento de medicin utilizado para el clculo dereasirregulares. Este modelo se obtiene en base la teora de integrales de lnea o de recorrido.]

Este mtodo aunque muy general tiene algunos inconvenientes, pues solamente pueden ser utilizados para obtener aproximaciones; los inconvenientes son:a) La grfica puede ser difcil de elaborar.b) No es muy preciso ya que est sujeto a errores de medicin.

Mtodos NumricosLos mtodos numricos generan una sucesin de nmeros de la forma:

El mtodo numrico se detiene cuando se cumple algn criterio de convergencia preestablecidas con la precisin deseada.

Como no es posible integrar directamente f(x), estos mtodos aproximan la funcin f(x) por otra ms simple que pueda integrarse.Las funciones ms utilizadas para este fin son los polinomios. stos se emplean con bastante frecuencia en mtodos numricos, por sus propiedades, en este caso porque pueden integrar fcilmente.Existen varios mtodos para la integracin numrica basadas en polinomios.

Regla del rectnguloEl mtodo ms simple de este tipo es hacer a la funcin interpoladora ser una funcin constante (un polinomio de orden cero) que pasa a travs del punto(a,f(a)). Este mtodo se llama laregla del rectngulo:

La integracion numerica es una herramienta de las matematicas que proporciona formulasy tecnicas para calcular aproximaciones de integrales denidas. Gracias a ella se pueden calcular,aunque sea de forma aproximada, valores de integrales denidas que no pueden calcularse analtica-mente y, sobre todo, se puede realizar ese calculo en un ordenador.7.2 Formulas de cuadratura. OrdenLas formulas que proporcionan una aproximacion del valor de una integral denida se conocen conel nombre de formulas de cuadratura.En sus versiones mas sencillas, estas formulas aproximan el area bajo la curva por el area, \ pareci-da", de un paralelogramo. Esto solo proporciona una buena aproximacion si la base del paralelogramoes peque~na. Por ello, las formulas verdaderamente utiles aproximan la integral denida mediante unasuma nita de areas de paralelogramos de \base peque~na". Veanse las Figuras 7.2 y 7.3.En general, las formulas de cuadratura se pueden escribir en la forma:I(f) =Xnk=1kf(xk); (7.2)variando unas de otras en la forma de elegir los puntos fx1 < < xng en el intervalo [a; b] y loscoecientes (tambien llamados pesos) k , k = 1; : : : ; n.Introduccion a la integracion numerica

La Regla Rectangular es uno de los mtodos mas sencillos utilizados para resolver integrales definidas en el clculo numrico.Resolver un problema de clculo del rea bajo la curva entre dosLmites conocidos, dividiendo en n sub reas para calcular su valor, asumiendocada sub rea como un pequeo trapecio.Al realizar algn tipo de calculo o experimento, normalmente se obtiene una tabla de valores que, se espera, tengan un comportamiento funcional. Sin embargo, no se obtiene la representacin explcita de la funcin que representa la regla de correspondencia entre las variables involucradas. En estos casos, la realizacin de cualquier operacin matemtica sobre la nube de puntos, que pretenda tratarla como una relacin funcional, tropezar con dificultades considerables al no conocerse la expresin explcita de dicha relacin. Entre estas operaciones se encuentra la integracin de funciones.Adems, es conocido que existen relativamente pocas frmulas y tcnicas deintegracin, frente a la cantidad existente de funciones que se puedenintegrar. Es decir, un gran nmero de integrales de funciones elementales nopuede ser expresada en trminos de ellas. Entre estos casos singularestenemos, a manera de ejemplo:Existen condiciones necesarias para que una funcin sea integrable, y sta est dada el teorema citado a continuacin, sin demostracinTeorema:Si una funcin f es continua en el intervalo [a, b] , entonces f es integrable en[a, b].No obstante que las condiciones de la Proposicin 1 son sumamente generales,no se tiene garanta de que, al aplicar los mtodos usualmente conocidos pararesolver integrales, se pueda encontrar la antiderivada de una funcin f(x)cualquiera, necesaria para obtener la integral definida.Estos apuntes pretenden ilustrar al lector con una de las tcnicas bsicas quepermiten resolver dicha situacin, a travs de la denominada INTEGRACINAPROXIMADA, POR EL MTODO DE LOS RECTANGULOS.

Modelo Rectangular: consistente en dividir el rea que se desea encontrar en n sub-reas en forma de rectngulos.Para el desarrollo del modelo se toman como referencia las siguientes ariables:n: Nmero de sub-reas en las cuales se divide el rea a calcularx dx: Ancho o base de cada sub-reaa: limite inferior definido para el calculo del reab: limite superior definido para el calculo del rea.

DESARROLLO:Integracin numrica de una funcin por el mtodo de rectngulosLa integral definida entre los puntos a y b de una funcin continua y acotadaf(x) representa el rea comprendida debajo de esa funcin. En ocasiones esnecesario calcular integrales (reas) de modo numrico, es decir, sin conocer la integral explicita de la funcin f(x). Existen varios posibles mtodos paracalcular esta rea. Quizs el ms sencillo sea sustituir el rea por un conjuntode n sub reas donde cada sub rea semeja un pequeo rectngulo elementalde base dx = (b a) / n y altura h, El rea sera:

FRMULAS DE NEWTON-COTESA continuacin se presentan las formulas de Newton-Cotes del tipo cerrado. Tales formulas son aquellas en que a y b son puntos de la formula de cuadratura, o sea, ; los argumentos , son igualmente espaciados de una cantidade fija h, esto es, , la funcin peso, , es constante e igual a 1, y el intervalo de integracin es finito. Sea una funcin cuyos valores son conocidos, ya sea por medio de tablas o por puntos de pares ordenados; de ah se tiene que:

Suponiendo entonces igualmente espaciados de h y considerando se tiene que

Donde los son los polinomios usados en la formula de LaGrange para intervalos igualmente espaciados, haciendo:

Definicin: El grado de Exactitud de una frmula de integracin numrica o formula de cuadratura es el numero natural n tal que para todo polinomio Pi(x) de grado i n, el error E[Pi(x)] es cero y existe Pn+1(x) degrado n + 1 con E[Pn+1(x)] 6= 0.Ms concretamente, el grado de Exactitud o de precisin es el entero positivo i, tal que la frmula de integracin es exacta para xi, i = 0; 1; 2; 3; : : : ; nAs que la regla del trapecio tiene un grado de exactitud uno, en tanto que la de Simpson y la de los tres octavo de Simpson tiene un grado de exactitud tres.Regla del TrapecioEl nombre deriva de la figura geomtrica del trapecio y de la frmula de rea de la misma figura que se aplica a este mtodo.Si se considera un polinomio de grado 1, es decir, una recta, y se desea obtener una frmula para integrar entre dos puntos consecutivos , usando polinomio de primer grado, se tiene de (4)

Sustituyendo en (5) se obtiene:

Si el intervalo es pequeo la aproximacin ser razonable; mas si es grande, el error tambin puede ser grande.

Fig (1)

Regla del Trapecio generalizadoSi el intervalo de la integral definida es grande, se puede dividir el intervalo en n sub-intervalos de amplitud de tal forma que y en cada sub-intervalo Aplicando la regla del trapecio a cada sub-intervalo, el error ser ahora la suma de las reas entre la curva de la funcin y las rectas de la parte superior del trapecio, como se muestra en la figura (2)

Fig. (2)

Se observa ahora que , por lo tanto el resultado de la integral tiende a ser exacto, pues el error tiende a cero. Por lo tanto, cuando mayor cantidad de sub-intervalos se introduce entre los lmites de integracin considerados, ms preciso ser el resultado.As, mejorando la precisin y disminuyendo el error, la frmula del trapecio de (6) queda as:

Verificacin de errorAnalizando el resultado de este ejemplo, se plantea las siguientes condiciones de error, pare verificar la amplitud del error cometido en la solucin de este ejercicio por este mtodo en particular.

Por definicin de error es la diferencia entre el valor verdadero y una aproximacin a este valor :

Por definicin el error relativo es el cociente del error (E) entre el valor real

Elerror porcentual se define como el error relativo expresado en por ciento (%).

Es muy notorio que el resultado obtenido presenta un error muy grande

Tambin es usual emplear el valor absoluto en los parmetros anteriores, en cuyo caso se denominan respectivamente error absoluto, error relativo absoluto y error porcentual absoluto.

A modo puramente ilustrativo y verificativo del mtodo del trapecio valdr este ejemploEjemplo:Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio,

Solucin:Paso 1: hallar el valor de Paso 2: Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los lmites de integracin, usando el valor de hallado en el paso 1; con esto se tiene seis intervalos igualmente espaciados con siete pares de puntos:Donde: : Longitud de cada intervalo.: Limite inferior de la integral, tambin se representa por .: Limite superior de la integral, tambin se representa por . : Numero de particiones, es decir, de intervalos.Observacin: Debe recordarse que las funciones trigonomtricas deben estar expresadas en radianes.

14

1 1.2214

Aplicando la frmula generalizada (7)

El valor exacto de la integral buscada es 18

Verificacin de error

Analizando el resultado de este ejemplo, se nota claramente que al ser la ecuacin de primer grado y no existir discrepancia entre la lnea del trapecio y la funcin integral, no existe error, por lo tanto, cualquiera sean los limites de integracin el resultado arrojado siempre ser exacto, no as para funciones no lineales.El ejemplo 2 ilustra esta situacin, presentando el mismo ejercicio del ejemplo 1, pero subdividiendo el intervalo en mayor parte.

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio resuelto N 1:

Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio,

Solucin:Paso 1: hallar el valor de Paso 2: Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los lmites de integracin, usando el valor de hallado en el paso 1; en este caso se tiene solamente un intervalo, que son los limites de integracin, por lo tanto solamente dos nodos, o sea, dos puntos sobre x:Donde: : Longitud de cada intervalo.: Limite inferior de la integral, tambin se representa por .: Limite superior de la integral, tambin se representa por . : Numero de particiones, es decir, de intervalos.

14

3 9

Aplicando la frmula generalizada (6)

Por definicin de error es la diferencia entre el valor verdadero y una aproximacin a este valor :

Analizando el resultado obtenido de este ejemplo, se induce que cualquiera sea el valor de , el resultado ser siempre el mismo, y sobre todo, exacto, porque la funcin integrada es lineal, o sea una ecuacin de primer grado, que es representada por una recta, por lo tanto, el resultado ser exacto.

Notese que

Si en cada intervalo se aproxima la funcin por una recta, se tiene que el rea de cada intervalo es:

Ejercicio resuelto N 2:

Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio,

Solucin:Paso 1: hallar el valor de Paso 2: Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los lmites de integracin, usando el valor de hallado en el paso 1; con esto se tiene seis intervalos igualmente espaciados con siete pares de puntos:Donde: : Longitud de cada intervalo.: Limite inferior de la integral, tambin se representa por .: Limite superior de la integral, tambin se representa por . : Numero de particiones, es decir, de intervalos.Observacin: Debe recordarse que las funciones trigonomtricas deben estar expresadas en radianes.

1234

3 5 7 9

Aplicando la frmula generalizada (7)

Analizando el resultado obtenido en este ejemplo, y comparando con el ejemplo N 1, se nota que sin importar en valor de , el resultado es exacto, de nuevo se resalta que esto se debe al tipo de funcin que se integra.Toda funcin que representa una recta siempre presentar resultado exacto con este mtodo, cuyalquiqera sea en valor de considerado.Tambin es usual emplear el valor absoluto en los parmetros anteriores, en cuyo caso se denominan respectivamente error absoluto, error relativo absoluto y error porcentual absoluto.

Notese que

Si en cada intervalo se aproxima la funcin por una recta, se tiene que el rea de cada intervalo es:

Ejercicio resuelto N 3:

Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio,

Solucin:Paso 1: hallar el valor de Paso 2: Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los lmites de integracin, usando el valor de hallado en el paso 1; con esto se tiene seis intervalos igualmente espaciados con siete pares de puntos:Donde: : Longitud de cada intervalo.: Limite inferior de la integral, tambin se representa por .: Limite superior de la integral, tambin se representa por . : Numero de particiones, es decir, de intervalos.

Observacin: Debe recordarse que las funciones trigonomtricas deben estar expresadas en radianes.

01.2

1 3.3201

0 2.5722

0 8.53997

Aplicando la frmula (6)

Estimacin de errorAnalizando el resultado de este ejemplo, se plantea las siguientes condiciones de error, pare verificar la amplitud del error cometido en la solucin de este ejercicio por este mtodo en particular.

Es muy notorio que el resultado obtenido presenta un error muy grande, ms del doble del valor verdadero, resultado totalmente inaceptable, sin embargo, servir como ejemplo para interpretar cabalmente el concepto de la integracin numrica.En este caso, debe considerarse la posibilidad de utilizar otros mtodos numricos para la resolucin de este ejercicio, o, disminuir la longitud de los intervalos aumentando el valor de . Se considera aumentar el valor de para as disminuir el valor de .

Ejercicio resuelto N 4:

Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio,

Solucin:Paso 1: hallar el valor de Paso 2: Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los lmites de integracin, usando el valor de hallado en el paso 1; con esto se tiene seis intervalos igualmente espaciados con siete pares de puntos:Donde: : Longitud de cada intervalo.: Limite inferior de la integral, tambin se representa por .: Limite superior de la integral, tambin se representa por . : Numero de particiones, es decir, de intervalos.Observacin: Debe recordarse que las funciones trigonomtricas deben estar expresadas en radianes.

00.61.2

1 1.8221 3.3201

0 0.6841 2.5722

0 1.24650 8.53997

Paso 3: Aplicando la frmula (7)

Paso 4: Verificacin de error

Ejercicio resuelto N 5:

Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio,

Solucin:Paso 1: hallar el valor de Paso 2: Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los lmites de integracin, usando el valor de hallado en el paso 1; con esto se tiene seis intervalos igualmente espaciados con siete pares de puntos:Donde: : Longitud de cada intervalo.: Limite inferior de la integral, tambin se representa por .: Limite superior de la integral, tambin se representa por . : Numero de particiones, es decir, de intervalos.Observacin: Debe recordarse que las funciones trigonomtricas deben estar expresadas en radianes.

00.20.40.60.81.01.2

1 1.2214 1.4918 1.8221 2.2255 2.7182 3.3201

0 0.2027 0.4228 0.6841 1.0296 1.5574 2.5722

0 0.24758 0.63073 1.24650 2.29137 4.23332 8.53997

Paso 3: Aplicacin de la frmula (7)

Paso 4: Verificacin de errorAnalizando el resultado de este ejemplo, se plantea las siguientes condiciones de error, pare verificar la amplitud del error cometido en la solucin de este ejercicio por este mtodo en particular.

Por definicin de error es la diferencia entre el valor verdadero y una aproximacin a este valor :

Por definicin el error relativo es el cociente del error (E) entre el valor real

Elerror porcentual se define como el error relativo expresado en por ciento (%).

Es muy notorio que el resultado obtenido presenta un error muy grande y debe considerarse la posibilidad de utilizar otros mtodos numricos para la resolucin de este ejercicio, o, disminuir la longitud de los intervalos aumentando el valor de .

Tambin es usual emplear el valor absoluto en los parmetros anteriores, en cuyo caso se denominan respectivamente error absoluto, error relativo absoluto y error porcentual absoluto.

Ntese que

Si en cada intervalo se aproxima la funcin por una recta, se tiene que el rea de cada intervalo es:

Ejercicio resuelto N 6:

Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio,

Solucin:

Paso 1: buscar el valor de h, , es el valor del intervalo a tomar.Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la funcin, con el intervalo 0.2 hallado.

Paso 2: Se construye una tabla de pares ordenados en intervalos iguales, usando el valor de hallado en el paso 1; con esto se tiene seis intervalos igualmente espaciados con siete pares de puntos:La funcin coseno debe hallarse en radianes.

00.20.40.60.81.01.2

1 1.2214 1.4918 1.8221 2.2255 2.7182 3.3201

1 0.9801 0.9211 0.8253 0.6967 0.5430 0.3624

1 1.19709 1.37409 1.50378 1.55050 1.47598 1.2032

Paso 3: Se aplica la frmula (7) del rectngulo

Verificacin de errorEl valor aproximado hallado es: El valor verdadero es:

Comparando el ejemplo 1 con el ejemplo 2, se nota que en el primer ejemplo el error es mucho mayor, eso se debe a que la funcin tangente crece muy rpidamente y el trapecio formado entre la funcin presenta rea mayor; mientras que la funcin coseno presenta muy poca rea entre sus trapecios formados y la curva de la funcin.

Ejercicio resuelto N 7:

Aproximar la integral aplicando la regla del trapecio, para mayor precisin subdividir en cinco intervalos, o sea con .

Solucin:Paso 1: Hallar el valor de h, , es el valor del intervalo a tomar.Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la funcin, con el intervalo 0.2 hallado.

00.20.40.60.81.0

1 1.0408 1.1735 1.4333 1.8965 2.7183

Paso 3: Se aplica la frmula (7) del rectngulo

El valor verdadero de la integral buscada es: 1.4627

Ejercicio resuelto N 8:

Solucin:Paso 1: Hallar el valor de h: , es el valor del intervalo a tomar.Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la funcin, con el intervalo 0.2 hallado.

11.52.02.53.03.54.0

1

Paso 3: Se aplica la frmula (7) del rectngulo

El valor verdadero de la integral buscada es: 1.3863

Ejercicio resuelto N 9

Solucin:Paso 1: Hallar el valor de h: , es el valor del intervalo a tomar.Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la funcin, con el intervalo 0.2 hallado.

00.250.500.751.00

2.001.941.791.601.41

Paso 3: Se aplica la frmula (7) del rectngulo

El valor verdadero de la integral buscada es: 1.7627

Ejercicio resuelto N 10

Solucin:Paso 1: Hallar el valor de h: , es el valor del intervalo a tomar.Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la funcin, con el intervalo 0.2 hallado.

00.250.500.751.001.251.501.752.00

1.711.71711.73801.77181.81711.87221.93542.0052.0804

Paso 3: Se aplica la frmula (7) del rectngulo

El valor verdadero de la integral buscada es: 3.6864

EJERCICIOS DE FIJACIN

En todos los casos considerar el valor de tal que Los resultados se presentan como mnimo con cinco decimales.

Otra de las frmulas de Newton-Cotes es la regla de Simpson de 1/3, consiste en aproximar la curva con polinomios de grado 2, es decir, con parbolas. La regla (1/3) de Simpson para integracin a lo largo de un intervalo cerrado , se realiza particionando el intervalo en nmero par de sub-intervalos de amplitud igual a de tal forma que . El nmero de subdivisiones debe ser mltiplo de 2, pues se necesita de dos sub-intervalos y por lo tanto de tres puntos. Para obtener la ecuacin de una parbola se requieren tres puntos, lo cual se logra con dos particiones, por lo cual la debe de ser par.

La regla (1/3) de Simpson viene dada por la formula:

Usando la regla (1/3) de Simpson a lo largo del intervalo , se tiene:

Simplificando la expresin se tiene:

La siguiente expresin de la regla (1/3) de Simpson, o sea su generalizacin, es la que se utiliza en la prctica:

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio resuelto 8.1:

Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la integral:

Solucin:

Paso 1: buscar el valor de h, , es el valor del intervalo a tomar.Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la funcin, con el intervalo 0.2 hallado.

00.20.40.60.81.01.2

1 1.2214 1.4918 1.8221 2.2255 2.7182 3.3201

1 0.9801 0.9211 0.8253 0.6967 0.5430 0.3624

1 1.19709 1.37409 1.50378 1.55050 1.47598 1.2032

La funcin coseno debe hallarse en radianes, es una condicin para las funciones trigonomtricas.

Paso 3: ahora se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson:

Cuando , la formula (8) queda como sigue:

El verdadero valor de la integral buscada es: 1.6487744273

Ejercicio resuelto N 1:

Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la integral:

Solucin:

Paso 1: buscar el valor de h, , es el valor del intervalo a tomar.Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la funcin, con el intervalo 0.2 hallado.

00.20.40.60.81.01.2

1 1.2214 1.4918 1.8221 2.2255 2.7182 3.3201

1 0.9801 0.9211 0.8253 0.6967 0.5430 0.3624

1 1.19709 1.37409 1.50378 1.55050 1.47598 1.2032

La funcin coseno debe hallarse en radianes, es una condicin para las funciones trigonomtricas.

Paso 3: ahora se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson:

Cuando , la formula (8) queda como sigue:

El verdadero valor de la integral buscada es: 1.6488.

Ejercicio resuelto N 2:

Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la integral:

Solucin:Paso 1: hallar el valor de Paso 2: Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los lmites de integracin, usando el valor de hallado en el paso 1; con esto se tiene seis intervalos igualmente espaciados con siete pares de puntos:

00.20.40.60.81.01.2

1 1.2214 1.4918 1.8221 2.2255 2.7182 3.3201

0 0.2027 0.4228 0.6841 1.0296 1.5574 2.5722

0 0.24758 0.63073 1.24650 2.29137 4.23332 8.53997

Paso 3: se aplica la formula de la regla de Simpson 1/3 (7.2)

El valor verdadero de la funcin para los lmites de integracin considerados es: 2.4776

Paso 4: Calculo de error:Es usual emplear el valor absoluto en los clculos de errores.

Conclusin: Haciendo una comparacin en cuanto a la resolucin de este ejercicio por el mtodo de Simpson (1/3) y el mtodo anterior (mtodo del trapecio), se nota que el error ha disminuido sustancialmente, pasando de un error muy grande arrojado en la resolucin por el mtodo del trapecio de 4.293% a solo un 0.349% producido por el mtodo de Simpson (1/3), reduciendo el error 12,3 veces.

Ejercicio resuelto N 3:

Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la integral:

Solucin:

Paso 1: buscar el valor de h, , es el valor del intervalo a tomar.

Paso 2: construir una tabla de parres ordenados de la funcin, con el intervalo 0.2 hallado.

11.051.101.151.201.251.30

11.024701.048811.072381.095451.118031.14018

Paso 3: ahora se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson:

El verdadero valor de la integral buscada es: 0.32150

Paso 4: Calculo de error:

Conclusin: En este caso, el error presentado en el clculo es tan nfimo, que hasta podra considerarse el resultado hallado como exacto.Ejercicio resuelto N 4:

Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la integral:

Solucin:

Paso 1: buscar el valor de h, , es el valor del intervalo a tomar.Paso 2: construir una tabla de parres ordenados de la funcin, con el intervalo 0.2 hallado.

00.20.40.60.8

10.980060.921060.825340.69671

La funcin coseno debe hallarse en radianes.

Paso 3: ahora se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson:

00.20.40.60.8

10.980060.921060.825340.69671

El verdadero valor de la integral buscada es: 0.7174

Paso 4: Calculo de error:

Conclusin: El error presentado en este problema es tambin pequeo, por lo que puede considerarse un resultado correcto muy prximo al valor verdadero.

Ejercicio resuelto N 5:

Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la integral:

Solucin:

Paso 1: buscar el valor de h, , es el valor del intervalo a tomar.Paso 2: construir una tabla de parres ordenados de la funcin, con el intervalo 0.2 hallado.

00.20.40.60.8

11.221401.481821.822122.22554

00.244280.596731.0932711.78043

Paso 3: ahora se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson:

El verdadero valor de la integral buscada es: 0.5548918

Paso 4: Calculo de error:

Conclusin: El error presentado en este problemas es bastante reducido, por lo que puede considerarse una buena aproximacin al valor verdadero.

EJERCICIOS DE FIJACIN

Hallar las siguientes integrales por mtodos numricos aplicando la Regla 1/3 de Simpson

REGLA DE SIMPSON DE 3/8

La regla de Simpson de (3/8) considera el valor de , con el proposito de obtener una formula para integrar entre cuatro puntos consecutivos , consistiendo en aproximar la funcin mediante una cubica. Partiendo de la formula de Lagrange:

De esta expresin inicial se tiene:

Tomando sustituciones:

De esto:

Luego:

De esto resulta:

Al final se tiene:

Esta formula (6) se conoce como la Regla de Simpson (3/8) de la frmula de Newton Cotres.

La formula (6) expresa la regla de Simpson (3/8) con la menor particion de sus intervalos igualmente espaciados de mayor amplitud con , sin embargo, para mayor precision, normalmente se realizan subdivisiones mayores de los intervalos de integracion, para lo cual la formula se generaliza de la siguiente forma:

Esta regla es ms complicada. La primera sumatora solo incluye aquellas i's que sean mltiplos de 3. La segunda el resto, es decir, las i's que no sean mltiplos de 3. Entre las 2 cubren desde 1 hasta N-1. Para una cubica se requieren 4 puntos, por lo cual se utilizan 3 intervalos. Por esta razn N debe de ser un mltiplo de 3.

Regla 3/8 de Simpson Generalizada o compuestaConsiderando la particin del intervalo cerrado [a, b], para , con .; aplicando a cada sub-intervalos la regla de Simpson 3/8, luego en cada sub-intervalo se tiene:

De esto se tiene:

Simplificando:

La formula (8) es la regla compuesta o generalizada de mtodo de 3/8 de Simpson.

Ejercicios resueltos:

EJERCICIOS RESUELTOS COMO EJEMPLOS:

Ejercicio resuelto N 1:

Usando la regla (3/8) de Simpson, calcular la integral:

Solucin:

Paso 1: buscar el valor de h, es el valor del intervalo a tomar.Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la funcin, con el intervalo 0.4 hallado.

11.41.82.2

12.7445.83210.648

00.336470.587790.78846

00.923273.427998.39552

Paso 3: ahora se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson:

El verdadero valor de la integral buscada es: 3.2159216852

Mtodo de Boole

Existen dos teoremas que se presentaran sin demostracin, son las que permiten obtener las formulas cerradas y abiertas de Newton-Cotes.

Teorema 1: Supongamos que , sea la formula cerrada de Newton-Cotes, con , donde , entonces existe , tal que:Cuando es par:

Si es par, Cuando es impar:

Si es impar,

La formula cerrada de Newton-Cotes, en el caso particular en que , es llamada la Regla de Boole, y se expresa por la siguiente frmula:

Teorema 2: Supongamos que , sea la formula abierta de Newton-Cotes, con , donde , entonces existe , tal que:Cuando es par:

Si es par y si Si

Cuando es impar:

Si es impar,