Cap 5 dinamica de cr 133-144-2009 i

Cuaderno de Actividades: Física I

5) Mecánica del Cuerpo Rígido

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 133


5) Mecánica del Cuerpo Rígido

5,1) Definición de CR

Es un sistema de partículas especial que no se deforma bajo el rango de fuerzas que actúa sobre el. Se adopta para poder describir la componente ROTACIONAL del movimiento de los cuerpos.

SPn ↔ ∞dij ≡ cte

CR → cuerpos indeformables

5,2) Movimiento del Cuerpo Rígido

El Movimiento del CR, en el caso planar, se puede describir de la siguiente manera,

Traslación rotación

Mov. CR ≡ de un punto + en torno de del CR dicho punto → CM → CM

Esta descomposición de movimientos ya ha sido vista en otros casos,

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

i dij j

cm

w cm

v

134


“Mov. Parabólico” MP ≡ MRUx “+” MRUVy

i) Traslación

0’ = CM

0'/ 0 'r r r≡ +

0'/ 0 'v v v≡ +

0'/ 0 'a a a≡ +

,R R ext CMF F Ma≡ ≡

ii) Rotación

,R ext

dL

dtτ ≡

↑ ↑ F

p

F r x Fτ ≡

pxrL

≡

O: → pto fijo → CM

→ mov // al CM

Cuando las rotaciones se efectúan bajo un eje especial, llamado eje principal de inercia, EPI, al L

se puede escribir así:

EPIwIL ←=

I: momento de inercia respecto al EPI

{ },R ext

dL Iw

dtτ ≡ ≡

→ ↑ xyz

α IwI =≡



,R ext Iτ α≡

El I tendría su equivalente en m, representando por lo tanto inercia rotacional,

→ I ≡ M

Momento de Inercia, I

La expresión general de I se extrae de la forma general del L

, esto es,

CR

L r v dm≡ ×∫

y, escribiendo v rω≡ × , con lo cual,

( )CR CR

L r v dm r r dmω≡ × ≡ × ×∫ ∫

, reemplazando el triple producto vectorial,

2( ) ( . )r r r r rω ω ω× × ≡ − , entonces,

{ }2( ) ( . )CR CR CR

L r v dm r r dm r r r dmω ω ω≡ × ≡ × × ≡ −∫ ∫ ∫

, desarrollando la integral y

ordenando términos obtendríamos la expresión tensorial,

L Iω≡ t

donde It

es el tensor de inercia descrito por,

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

I I I

I I I I

I I I

≡

t

en la cual las formas ijI son los productos de inercia y iiI los momentos principales.

Los momentos principales siempre pueden escribirse de esta forma,

2

CR

CR

I r dmξ ≡ ∫


ξ

r

dm

136


iii) Energía

21 1

2 2kRE Iw L w≡ ≡ ⋅

EPI: wIL

⋅≡

EM ≡ Ek + Ep

Si

→ ∃ ncF

∨ ≡→≡ MF Ew nc 0

cte

M KT kR pE E E E→ ≡ + +

S5P13) Halle los Is respecto a lo ejes x e y del cono circular recto de masa m y dimensiones representadas en la figura.

,???CR

x yI ≡


Y

e

0 h x

z Y

disco

rx Z x h X

137


a) xξ ≡

Discos:

Asumiendo anillos de masa dm

{discoI dI

anillos

ξ ≡ ∫

Anillos:

Asumiendo pequeños arcos de masa dm, 2≡ ∫anilloI R dmξ

anillo2I R Mξ ≡

a

2M R≡

Regresando al disco: 2

disco

disco

I r dmξ ≡ ∫

anillo: dm ↔ M(masa del disco)

dm ≡ σda 2

M

R ≡ π

{2πrdr}


ξ

M R

dm Ma R

da dm 0 r dr r

138


2

2Mrdr

R≡

{ } 4 2

2 2

3

0

2 2

4 2

R M M R MRx

R RI r drξ ≡ =→ = ∫

( )x 2cono disco

dmI dI r x

2ξ≡ ξ≡ ≡∫ ∫

}

( ){ } ( )2 2mr x dx r x

V2

ρ

π ≡ ∫

; ( ) xh

exr = ,

dm

dVρ =

?...≡

b) y≡ξ

yconoI ?ξ≡ ≡

Teorema cuerpos planos: Iz = Ix + Iy

Teorema de Steiner: I ≡ Icm + Md2

Y’disco

Z’ X


z

x y

M

cm

d

Y Y’

disco

rx Z Z' x h X

139


2x y z ydisco discoI I I I′ ′ ′→ ≡ + ≡

yy //′ 2 ' 2y cm ydI dI dm x dI dm x≡ + ≡ +

∫≡ yy dII

..?.yI ≡

S5P3) Una polea de doble peso tiene una masa de 100 kg y un radio de giro de 0,25 m. De los cables que se enrollan en la periferia de la polea cuelgan 2 pesas iguales de w = 200 N. Suponiendo que la fricción en el eje de apoyo y la masa de los cables se desprecian, determine la aceleración del cuerpo que baja. Use r2 = 2r1 ≡ 0,4 m.

SOLUCION:

Radio de giro: Es el radio que tendría una partícula de masa M de tal manera que su 2ξ ξ≡ ≡ CRI MR I . El radio de giro asociado a un cuerpo debe interpretarse como el radio de una partícula de igual masa con idéntico I respecto del mismo eje.

ξ


α r1 r2 P Q 0 T1 T2

a1 w 1 2 w ↓ a2 ≡ atp ≡ r2 α

ξ

M

140


≡ R M 2

cr part MRI Iξ ξ≡ ≡

En el caso de nuestro problema, es el radio que tendría una partícula con la misma masa del cuerpo de tal manera que su I sea igual al de la polea respecto de su eje axial.

Por lo tanto, usando la información del radio de giro de la polea, determinamos su momento de inercia respecto a su eje axial,

Radio de giro: I ≡ MR2 ← R=0,25 y M=100

Iξ ≡ 100 (0,25)2 ≡ 6,25; ξ : eje axial

Analizando el disco:

2,

2 2

tPR ext

a aI I I

r rξ ξτ α≡ ≡ ≡

2

2 2 1 12

(1)...a

T r T r Ir

ξ− =

Analizando cuerpo 2:

2 2 ). 2.(.w

w T ag

− ≡

Analizando cuerpo 1:

2 1

1 1 1 12

; α− = ≡ ≡ ≡tQ

a rwT w a a a r

g r

2 1 11 2

2 2

. .(3).a r rw w

T w ag r g r

− ≡ ≡

Tenemos un sistema consistente donde podemos calcular a2, T1 y T2, …calcule!?S5P4) Una cuerda pasa por una polea sin rozamiento, según indica la figura, llevando una masa M1 en un extremo y estando enrollada por el otro a un cilindro de masa M2 que rueda sobre un plano horizontal, ¿Cuál es la aceleración de la masa M1?


m2 µ

p m1 ↓ a1 141


SOLUCION:

DCL (m1): DCL (m2):

↓ a1

2da Ley traslasional para m1:

1 1 1w 1.( )..T m a− ≡

2da Ley rotacional para m2:

ατ ξpdiscoextR I=, : P se mueve paralelo al CM

( ) 2 2 2 12

12 ,

2 2 2Qtp

disco

a aT r I M r r M

r rξ α α α = ≡ + ≡ ≡

2 1

3.. ( ).

82T m a≡

Una vez mas, tenemos un sistema consistente de ecuaciones, donde podemos calcular a1 y T,…calcule!?

¿? Es posible calcular la fuerza de fricción.

¿? Que tipo de fricción es.

¿? Y como se mueve el CM.


Q T

W2

f

N

T

W1

142


S5P5) La rueda O pesa 650 N y rueda a lo largo de un plano horizontal (figura. El radio de giro de la masa de la rueda con respecto a su eje geométrico es (

2

3) m. El coeficiente de fricción entre la rueda y el plano es 0,25. Determine la

aceleración del centro de la rueda y la aceleración angular de la rueda.

SOLUCION:

El efecto de giro de F1 = 30N respecto de P, es mayor que el de F2 ≡ 50 N.Ahora, fíjense, el efecto traslasional de F2 es mayor que F1. Ambos enfoques son consistentes con la fuerza de fricción f. Por lo tanto, el cuerpo se moverá hacia la izquierda.

a) De lo anterior, aplicando la 2da Ley,

R CMF am≡ → 30 50 cm

wf a

g

+ − = →

30 (0,25 650) 50

62

52,

+ × −≡ ≡cma

b) α ≡ ?

Por la condición de rodadura, desde el punto P se observa la acm,

acm ≡ αr, donde r: radio de la rueda.

αcm ≡ r

acm

Para calcular dicho radio, hacemos uso del radio de giro de la rueda,

2

2

2, :cr part MR

Mrejeaxial del discoI Iξ ξ ξ≡ ≡ ≡

2 21 ,

2 giroMr MR R R≡ ≡


30N

50N µ

p f

143


Rr 2=

3

2

3

22 ==r

αcm ≡ 2,2

(2 / 3)3,3cma

r≡ ≡


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