1

Cantidad de movimiento y colisiones

2

Cantidad de movimiento o momento lineal (en latin, momentum para sigular y momenta para plural) se define como:

p = mv

• La cantidad de movimiento es m veces la velocidad.

• El momento lineal es una cantidad vectorial.

• Las unidades del momento en el SI son: kg·m/s

• Las dimensiones de p son: MLT-1

Momento lineal

Como p es un vector, las componentes del momento

son:

px = mvx, py = mvy, pz = mvz

Nota: el momento es “grande” si m y/o v son grandes. (siendo grande, dificil

de detener)

3

Recordamos que:

dt

d

dt

md

dt

d m

pv F

vaaF

y

La Segunda Ley de Newton se puede escribir como:

F = dp/dt= tasa de cambio del momento lineal

Esta formulacion es valida aun cuando cambie la masa.

Esta formula es valida aun en la Teoria de Relativadad y en

Mecanica Cuantica.

4

f

i

t

t

dtFI

Impulso de una Fuerza

Ejercicio: Demuestre que el impulso y la cantidad de

movimiento tienen las mismas unidades.

)t,(t intervalo el en Ffuerza una de I Impulso fi

5

dtFPdFdt

Pd

dtFpdf

i

f

i

p

p

t

t

IPPP if

Es decir, el impulso de una fuerza durante un cierto intervalode tiempo es la variacion de la cantidad de movimiento que

produce la fuerza.

Impulso & Momento lineal

6

Grafico F=f(t)

• El impulso es un vector• La magnitud del impuso es

sigual al area debajo de la curva Fuerza=f(tiempo)

• Las dimensiones del impulso son M L / T

• El impulso no es unapropiedad de la partitulca, sino una medida del cambiode la cantidad de movimiento de la particula.

7

Ejemplo: En una prueba de choque, un carro de masa 1500 kg

choca con una pared, como se muestra en la Figura. Las

velocidades inicial y final del carro son

, respectivamente. Si la colision dura 0.15 s, encuentre el

impulso causado por la colision y la fuerza promedio ejercida

sobre el carro.

15 / , 2.6 /i fm s m s

1) El impulso

2) La fuerza promedio:

smkg

vvmPI

/.1064.2)156.2(1500

)(

4

12

Nt

PF 4

4

106.1715.0

1064.2

8

Ejemplo: Una bola de 100 g se deja caer de 2.00 m por encima

del terreno. Esta rebota a una altura de 1.50 m. ¿Cuál fue la fuerza

promedio ejercida por el piso si la bola estuvo en contacto con éste

durante 1×10-2 s?

2

12

21

/.17.1)26.642.5(1.0)(,

?¿,/24.5,/26.6

smkgvvmPAhora

cómosmvysmv

La fuerza que actúa en la pelotapuede determinarse de:

Nt

PF 2

21017.1

101

17.1

1v 2v

gh

gh

ghvv if

2

20

2

2

22

sm

msm

ghv

/26.6

)00.2)(/8.9(2

2

2

1

sm

msmv

ghv

ghv

ghvv

i

i

if

/52.5

5.1/8.92

2

20

2

2

2

2

22

22

9

Problema: Un disco de hockey de 0.3 kg se mueve en hielo sin

fricción hacia la pared a 8 m/s. Rebota de la pared a 5m/s. el

disco está en contacto con la pared durante 0.2 s.

(a) ¿Cuál es el cambio de momento del disco de hockey durante

el rebote?

(b) ¿Cuál es impulso en el disco de hockey durante el rebote?

(c) ¿Cuál es la fuerza promedio sobre la pared del disco de

hockey durante el rebote?

10

Ejemplo: Una bola de 325-g con

una velocidad v de 6.22 m/s

golpea una pared en un ángulo de

33.00 y rebota con el mismo

ángulo y la misma velocidad,

como se muestra en la Figura. Está

en contacto con la pared por 10.4

ms. (a) ¿Cuál es el impulso

experimentado por la bola? ¿Cuál

es la fuerza promedio ejercida por

la bola sobre la pared?

x

y

11

ˆ ˆ(cos sen )iP mv i j

ˆ ˆ( cos sen )fP mv i j

imvP ˆcos2

(a)

Nit

IFbola

ˆ0.326

smkgiPI /ˆ40.3

(b)

NiFF bolaparedˆ0.326

12

Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal

Cuando actúa una fuerza externa neta en un sistema iguala cero, la cantidad de movimiento lineal total del sistemapermanece constante.

21 PPP

Prueba (Sistemas de dos cuerpos)

2121 FF

dt

dP

dt

Pd

dt

Pd

21ext2212ext11 FFFFFF

,, ;

2112 FF

Sin embargo,

13

exttotext2ext1 FFFdt

Pd,,,

En ausencia de fuerza externa neta,

0, , .dP

o P Constdt

14

Ejemplo: Un fuego artificial con masa de 100 g, inicialmente en

reposo, explota en 3 partes. Una parte con una masa de 25g se

mueve en el eje x a 75m/s. Otra parte con una masa de 34g se

mueve en en eje y a 52m/s. ¿Cuál es la velocidad de la tercera

parte?

La tercera parte tiene una masa de 100g-34g-25g = 41g.

En la dirección del eje x:

smg

smg

m

vmv

vmvm

PP

xx

xx

xfxi

/4641

)/75)(25(

00

3

113

3311

En la dirección del eje y:

3

1 1 2 2 3 3

3 3

0

0 0 (34 )(52 / )

(34 )(52 / )43 /

41y

yi yf

y y y

y

P P

m v m v m v

g m s m v

g m sv m s

g

16

ColisionesEn general, una “colisión” es una interacción en la cual

• Dos objetos chocan uno contra otro

• El impulso externo neto es cero o muy pequeño o despreciable (se conserva la cantidad de movimiento)

Ejemplos: Dos bolas de billar que chocan en una mesa de billar

Una partícula alfa que colisiona con un átomopesado

Dos galaxias que colisionan

17

Tipos de colisiones

[1] Choque elástico, se conservan el momento lineal o cantidad de movimiento y la energía cinética– Las colisiones perfectamente elástica ocurren a nivel

microscópico– En colisiones macroscópicas, sólo ocurren colisiones

aproximadamente elásticas[2] Choque inelástico, la energía cinética no se conserva

aunque sí la cantidad de movimiento lineal se sigueconservando– Si los objetos se pegan después de la colisión, ésta se denomina

colisión perfectamente inelastica

En una colisión inelástica, se pierde alguna energía cinética, los

objetos no se pegan entre sí.

Las colisiones elástica y perfectamente inelastica con los casos

límite, la mayoría de las colisiones típicas caen la categoría entre

estos dos tipos de colisiones.

18

Colisiones Elásticas

• Se conservan tanto la energía cinética como la cantidad de movimiento

1 1 2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

i i

f f

i i

f f

m m

m m

m m

m m

v v

v v

v v

v v

Antes del choque

Después del choque

19

Colisiones Perfectamente Inelásticas

• Ya que los objetos se pegan entre sí, tendránla misma velocidaddespués de la colisión.

fii vmmvmvm )( 212211

Antes del choque

Después del choque

20

Ejemplo: Una bola con una masa de 1.2 kg se mueve a la derecha a

2.0 m/s colisiona con una bola de masa 1.8 kg que se mueve a 1.5

m/s a la izquierda. Si la colisión es elástica, ¿cuáles son las

velocidades de las bolas después de la colisión?

21

1 1, 2 2, 1 1, 2 2,

1, 2,

1, 2,

2 2 2 2

1 1, 2 2, 1 1, 2 2,

2 2

1, 2,

1.2 2 1.8 1.5 1.2 1.8

1.2 1.8 0.3................................(1)

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 11.2 4 1.8 2.25 1.2 1.8

2 2 2 2

0.6

i i f f

f f

f f

i i f f

f f

m m m m

m v m v m v m v

v v

v v v v

v v

v v

2 2

1, 2,0.9 4.425..............................(2)f fv v

Resuelva (1)&(2) para encontrar las velocidades finales despúes de

la colisión?

Podemos aplicar el principio de conservación de la cantidad de

movimiento y la conservación de la energía cinética:

22

Ejemplo: Una esfera de 3 kg choca de manera perfectamente

inelástica con una segunda esfera inicialmente en reposo. El

sistema compuesto se mueve con una velocidad de una tercera

parte que la velocidad original de la esfera de 3 kg. ¿Cuál es la

masa de la segunda esfera?

23

Aplicamos la conservación de la cantidad de movimiento:

kgm

m

m

vmv

vmmv

vmmvmvm

ii

ii

fii

6

39

)3

1)(3(3

)3

1)(3(3

)3

1)(3()0(3

)(

2

2

2

121

1221

212211

24

Momento lineal y colisiones

25

Ejemplo: Un carro de 1 500 kg que viaja al este con una velocidad de 25.0

m/s choca en una intersección con una van de 2500 kg que viaja al norte

a una velocidad de 20.0 m/s, como se muestra en la Figura. Encuentre la

dirección y magnitud de la velocidad de ambos vehículos despúes de la

colisión, asumiendo que el choque es perfectamente inelastico (es decir,

los vehículos se quedan pegados)

m/s kg 1075.3 4

carcarix vmp

cos)( fvancarfx vmmp

fxix pp

)1.....(coskg) 1000.4(m/s kg 1075.3 34 fv

Componentes del eje x

26

m/s kg 1000.5 4

vanvaniy vmp

sin)( fvancarfy vmmp

fyiy pp

)2.......(sinkg) 1000.4(m/s kg 1000.5 34 fv

33.1m/s kg 1075.3

m/s kg 1000.5tan

4

4

1.53

m/s 6.151.53sin)kg 1000.4(

m/s kg 1000.53

4

fv

Componentes del eje y

From (1) & (2)

27

Ejemplo: En un experimento balístico, una bala de masa .06 kg es

disparada horizontalmente a un bloque de madera de masa .2 kg. El

bloque de madera está suspendido del techo con dos hilos largos como se

muestra en el diagrama. La colisión es perfectamente inelástica y después

del impacto la bala y el bloque se balancean juntos hasta que el bloque

está a 12 m por encima de su posición inicial. Encuentre

a) La velocidad de la bala y del bloque justo después del impacto y,

b) La velocidad de la bala justo después del impacto

La energia se conserva entre los puntos

B y C

2

1 2 1 2

1( ) ( )

2

2 1.53 /

c A

B

B

U K

m m gh m m v

v gh m s

B

28

El momento es conservado entre A y B

1 1 2( )

2 6.6 /

A B

A B

A

p p

m v m m v

v gh m s

29

Ejemplo:

Dos esferas metálicas, suspendidas por dos cuerdas verticalmente, inicialmente apenas se tocan, como se muestra en la Figura. La Esfera 1, con masa de m1=30 g, es halada hacia la izquierda a unaaltura h1=8.0 cm, y luego liberada desde el reposo. Después que se balancea hacia abajo, esta colisiona elásticamente con la Esfera 2, cuya masa m2=75 g. ¿Cuál es la velocidad v1f de la esfera 1 justodespués de la colisión?

30

2

22

2

11

2

11

221111

2

1

2

1

2

1ffi

ffi

vmvmvm

vmvmvm

done 11 2ghv i

2

22

2

1

2

11

22111

)(

)(

ffi

ffi

vmvvm

vmvvm

ffi vvv 211

if

fifi

vmm

mmv

vvmvvm

1

21

211

112111 )()(

31

Ejemplo: La figura muestra un choque elástico entre dos discos en una mesa sin

fricción. El disco A tiene una masa mA = 0.500 kg, y el disco B tiene una masa

mB = 0.300 kg. El disco A tiene una velocidad inicial de 4.00 m⁄s en la dirección

positiva de la dirección x y una velocidad final de 2.00 m ⁄s en una dirección

desconocida. El disco B está inicialmente en reposo. Queremos encontrar la

velocidad final VB2 del disco B y los ángulos α y β como se ilustra en la figura

2 2 2

1 2 2

2

2

2

1 1 1

2 2 2

0.5 16 0.5 4 0.3

4.47 /

A A A A B B

B

B

m v m v m v

v

v m s

Como la colisión es elástica. La

energía cinética inicial es igual a

la energía cinética final.

Antes del choque

Después del choque

32

1 2 2cos cos

0.5 4 0.5 2cos 0.3 4.47cos

2 cos 1.34cos ...............(1)

xi xf

A A A A B B

p p

m v m v m v

2 20 sin sin

0 0.5 2sin 0.3 4.47sin

0 sin 1.34sin ...............(2)

yi yf

A A B B

p p

m v m v

La conservation en el componente x− del momento total es igual a:

La conservación en el componente y− del momento total es igual a:

Hay dos

ecuaciones

simultáneas

para α y β

Resuelva para

encontrar los

ángulos.

General Physics I, Lec 16 By/ T.A. Eleyan 33

Centro de masa

El centro de masa (CM) de un objeto o de un grupo de objetos

(sistema) es el lugar “promedio” de la masa en el sistema. El

sistema se comporta como si toda la masa estuviese concentrada en

su centro de masa.

General Physics I, Lec 16 By/ T.A. Eleyan 34

Centro de masas– objetos puntuales – 1 dimensión (1 D)

n n

i i i i

1 1 2 2 i 1 i 1cm n

1 2i

i 1

m x m xm x m x ...

xm m ... M

m

35

Centro de masas – Objetos puntuales– 2 D

n

i i

i 1cm

m x

xM

n

i i

i 1cm

m y

yM

n

i i

i 1cm

m z

zM

n

i i

i 1cm

m r

rM

36

Centro de masa– objetos sólidos – 1 D

n

i i

i 1cm

m x

xM

cm

xdmx

M

3

, , /

, sup , /

, , /

dmdensidad lineal kg m

dx

dmdensidad erficial kg m

dA

dmdensidad volumetrica kg m

dV

37

Centro de masa– objetos sólidos– 2 D

cm

xdmx

M

cm

ydmy

M

cm

zdmz

M

cm

rdmr

M

General Physics I, Lec 16 By/ T.A. Eleyan 38

Un método para encontra el centro de

masa de cualquier objeto

Cuelgue el objeto en

dos o más puntos.

Dibuje la extensión

de la línea de

suspensión.

El centro de masa es

la intercepción de estas

líneasCentro de masa

General Physics I, Lec 16 By/ T.A. Eleyan 39

Problema

Tres partículas de masas mA = 1.2 kg, mB = 2.5 kg, y mC = 3.4 kg forman un triánguloequilatero de longitud de uno de sus lados de a = 140 cm. ¿Dónde está el centro de masade este sistema de tres partículas?

Tres masas localizadas en el plano xy tiene las siguientes coordenadas:

2 kg at (3,-2)

3 kg at (-2,4)

1 kg at (2,2)

Encuentre la localización del centro de masa.

Problema:

40

Movimiento del centro de masa

Un sistema de objetos se comporta como si toda su masa

estuviese localizada en su centro de masa

M

m

mm

mmcm

vvvV

...

...

21

2211

Velcidad del CM:

Aceleración del CM:

M

m

mm

mmcm

aaaA

...

...

21

2211

MAcm = Fneta,externaLeyes de Newton para Sistemas de

Partículas

41

Problema:

Tres partículas en la Fig. a estáninicialmente en reposo. Cadauna experimenta una fuerzaexterna debido a los cuerposfuera del sistema de tres. Las direcciones están indicadas, y lasmagnitudes son FA=6 N , FB=12 N , y FC=14 N. ¿Cuál esla magnitud de la aceleación del centro de masas del sistema, y en qué dirección se mueve?

Problemas adicionales

[1] Una curva fuerza-tiempo estimada

para un golpe de la bola con el bate se

muestra en la Figura. A partir de esta

curva, determine

(a) El impulso entregado a la bola, (b) la

fuerza promedio ejercida en la bola, y (c)

la fuerza pico ejercida sobre la bola.

NFc

Ndt

dPFb

sN

tiempoFcurvadedebajoarea

Fdta

3

max

3

3

3

1018]

109105.1

5.13]

.5.1318000105.12

1

Impulso]

[2] Dos bloques están libres para deslizarse en un camino ABC de madera

sin fricción como se muestra en la Figura. El bloque de masa m m1 = 5.00 kg

se libera desde A y realiza un choque elástico con un bloque de masa m2

=10.0 kg, inicialmente en reposo en el punto B. Calcule la máxima altura a la

cual m1 se eleva después de la colisión.

mhy

vmghmAhora

smvvmm

mmv

elasticochoqueundevencontrarparay

smvmvmgh

EEutilicevhallarparaAhora

menterespectivacolisionladedespuesyantesmdevelocidadvv

f

fif

f

ii

BAi

fi

556.0,

02

10,

/3.3

,

/9.92

10

,

,

max

11max1

11

21

211

1

11

1

111

[4]Como se muestra en la Figura, una bala de masa m y velocidad

v pasa completamente a través de un péngulo de masa M. La bala

sale con una velocidad de v/2. El péndulo está suspendido por una

cuerda de longitud L de masa insignificante. ¿Cuál es el valor

mínimo de v tal que el péndulo hará una vuelta completa vertical?

glm

Mv

glMv

mmv

colisionlaenconservasesistemadelmomentoEl

glglv

Mvlma

KUKU

EE

b

b

iiff

if

4

)2(2

24

2

100)2( 2

[5] Dos bloques de masas M y 3M están

ubicados en una superficie horizontal, sin

fricción. Un resorte ligero está atado a uno

de ellos, y los bloques son empujados uno

contra otro con el resorte entre ellos (Fig.).

Una cuerda inicialmente que mantiene los

bloques unidos se quema, depués de sto,

el bloque de masa 3M se mueve a la

derecha con una velocidad de 2.00 m/s.

(a) ¿Cuál es la velocidad del bloque de

masa M? (b) Encuentre la energia

potencial elastica en el resorte si M =

0.350 kg.

JU

UvMMv

KUKUoEEb

smvMMvMMv

PP

Pa

i

i

iiffif

if

4.8)2(35.032

1)6(35.0

2

1

00)3(2

1

2

10

]

/66023

0]

22

2

2

2

1

El centro de masa para un objeto continuo

es:

Lx

xCM xdm

Mx

0

1

Ya que la densidad de la barra () es constante;

[6] Demuestre que el centro de masa de una barra de masa M y

longitud L se ecuentra en el punto medio de sus

terminales,asumiendo que la bara tiene una masa uniforme por

unidad de longitud (densidad lineal).

dxdm

LM /

La masa de un pequeño segmento es

Así que:

CMx

Encuentre el CM cuando la densidad de la barra no es uniforme pero varía

linealmente como función de x, x

CMx

Lx

xxdx

M 0

1

Lx

x

xM

0

2

2

11

2

2

11L

M

ML

M 2

11

2

L

Lx

xxdx

M 0

1

Lx

xdxx

M 0

21

Lx

x

xM

0

3

3

11

3

3

11L

M

ML

M 3

21

3

2LCMx