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FÍSICA 2º BACHILLERATO

BLOQUE TEMÁTICO: INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

CAMPO MAGNÉTICO

1.- Magnetismo. Experiencias de Oërsted. Propiedades magnéticas de la materia.

2.- Campo magnético.

3.- Determinación del campo magnético.

3.1.- Campo magnético creado por una carga puntual en movimiento.

3.2.- Campo magnético creado por una corriente eléctrica infinita.

3.3.- Campo magnético creado por una corriente circular (espira).

3.4.- Campo magnético creado en el interior de un solenoide.

4.- Acción del campo magnético sobre cargas eléctricas en movimiento.

1) Magnetismo. Experiencias de Oërsted. Propiedades magnéticas de la materia.

El estudio de la electricidad no queda completo si no se trata el magnetismo.

Siempre que los electrones se mueven (corriente eléctrica) aparecen efectos magnéticos.

Veamos algunas ideas y conceptos inciales:

- El fenómeno del magnestismo es conocido desde hace más de 2000 años.

- La magnesia (periclasa) es un mineral que formaba parte de las piedras de Magnesia,

abundantes en las cercanía se la Magnesia de Tesalia (Grecia) y que por sus propiedades dieron

nombre al fenómeno del magnetismo.

- Los imanes naturales son aquellos que presentan el magnetismo de forma natural. Por

ejemplo la magnetita, una mezcla de óxidos de hierro.

- Imanes artificiales son aquellos cuyas propiedades magnéticas le son inducidas de forma

artificial. Generalmente son metales como el hierro, el cobalto o el níquel y sus aleaciones, las

sustancias que pueden ser imanes artificiales. La mayor parte de los imanes comerciales se fabrican

de ALNICO, aleaciones de aluminio, níquel y cobalto.

Ya sean naturales o artificiales, los imanes presentan las siguientes propiedades:

1) Todo imán presenta una máxima atracción en los extremos, llamados polos magnéticos.

2) Un imán tiene dos polos que se conocen como polo norte y polo sur. Esta denominación tiene

relación con la orientación de la brújula, un imán, respecto de los polos norte y sur geográficos en la

Tierra, otro imán.

3) Los polos de un imán no se pueden separar, por mucho que se divida un imán siempre tendrá

dos polos. Esta es una diferencia con las cargas eléctricas que sí se pueden separar.

4) Los polos del mismo nombre se repelen entre sí. Los polos de diferente nombre se atraen.

Ideas básicas sobre el desarrollo histórico del magnetismo.

Hans Cristian Oërsted (1777-1851). En 1820 dio un paso muy importante en el

conocimiento del magnetismo al comprobar que la aguja de una brújula se desviaba en las

proximidades de un hilo conductor por el que circulaba corriente eléctrica.

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Antes de conectar la corriente eléctrica la aguja imantada de la brújula está orientada hacia el polo del imán natural que es la

Tierra.

Al conectar el circuito eléctrico la aguja se orienta

perpendicularmente al hilo, como si existiera un campo magnético más potente que el de la Tierra

que obliga a la aguja a orientarse así.

La orientación de la aguja depende del sentido de la corriente

eléctrica.

Por tanto, una corriente eléctrica produce el mismo efecto que un imán natural.

Este efecto es tanto más potente cuanto mayor es la intensidad de la corriente eléctrica.

Michael Faraday (1791-1867). Doce años más tarde, en 1832, observó el efecto

contrario al que observó Oërsted, es decir, al mover un imán en las cercanías de un

conductor por el que no circula corriente alguna (o bien , al mover el conductor en las

cercanías de un imán) se genera en este una corriente “inducida”.

André-Marie Ampère (1775-1836). Estableció los fundamentos del

electromagnetismo basándose en las experiencias de Oërsted. Se pueden resumir muy

básicamente de la siguiente manera:

- Entre dos cargas eléctricas inmóviles se establece una interacción eléctrica cuya

expresión viene dada por la ley de Coulomb.

- Entre varias cargas en movimiento se establecen dos interacciones, una eléctrica

(ley de Coulomb) y otra magnética. Se origina, por tanto, una interacción

electromagnética.

- Una carga en reposo no puede experimentar interacción electromagnética.

- Se dice que en un punto del espacio existe un campo magnético si una carga móvil

colocada en él experimenta una fuerza.

James Clerk Maxwell (1831-1879). En 1860 sintetizó la electricidad y el

magnetismo. Estableció que los campos eléctrico y magnético, actuando juntos, generan

un tipo de energía llamada energía de radiación. Estableció también que la luz no es más

que una onda electromagnética.

Explicación del magnetismo natural.

Un electrón en movimiento es el imán más pequeño que existe y también tiene su

polos norte y sur inseparables.

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Un átomo, al tener electrones, es un diminuto imán llamado dipolo magnético.

Estos dipolos surgen debido al movimeinto orbital de los electrones y al movimiento de

rotación de los electrones mismos (spín).

Un material cualquiera está formado por átomos, luego está formado por infinidad

de dipolos magnéticos, cada uno con su polo norte y su polo sur. Por tanto, cualquier

material debería presentar características magnéticas. ¿Por qué no ocurre más que en

determinados materiales?

La mayor parte de los cuerpos tienen sus dipolos orientados al azar, de manera que

el campo magnético total de cuerpo se anula (figura a). En una sustancia magnética, ya sea

natural o artificial, sus dipolos están orientados en el mismo sentido, ofreciendo

globalmente un polo norte y y polo sur (figura b).

Figura a Figura b

Las sustancias se pueden clasificar según su comportamiento magnético en:

Sustancias paramagnéticas. Son atraídas débilmente por un imán y prácticamente no se

imantan. Por ejemplo, el aluminio. La orientación de los dipolos magnéticos en estas

sustancias es muy débil.

Sustancias diamagnéticas. Son repelidas débilmente por un imán. Esto es debido a que

algunos dipolos atómicos se orientan en sentido contrario al campo magnético exterior.

Por ejemplo, cobre, plata, plomo.

Sustancias ferromagnéticas. Son fuertemente atraídas por un imán y fácilmente

imantables. Se admite que estas sustancias constan de pequeñas regiones en las cuales

todos los dipolos magnéticos están orientados en la misma dirección (dominios

magnéticos). En un material ferromagnético no imantado los dominios están orientados al

azar, pero en presencia de un campo magnético externo la mayoría de los dominios se

alinean con ese campo (imantación).

En el hierro dulce o forjado los dominios se orientan con facilidad, pero pierden

rápidamente esa orientación si cesa el campo magnético exterior. En el acero los dipolos

se resisten más a cambiar su orientación, permaneciendo es esta posición largo tiempo

(imán permanente). Un simple golpe o un calentamiento excesivo puede provocar una

reorientación azar de los dipolos en un imán que, evidentemente, ha dejado de ser

permanente.

La Tierra es imán debido a su núcleo de hierro y níquel. Sin embargo su campo

magnético es débil, no suficiente como para orientar dipolos magnéticos ni dominios

magnéticos en todas las sustancias que hay en ella.

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2) Campo magnético

① Definición

Todo imán (incluídas las cargas eléctricas en movimiento) está rodeado

por un espacio en el cual se ejercen los efectos magnéticos. Esta zona del

espacio se denomina campo magnético.

② Intensiad del campo magnético

El campo magnético viene determinado por el vector inducción magnética, , que

nos da la intensidad del campo magnético.

Para obtener una definición adecuada podemos repasar las definiciones de las

intensidades de campos vistos hasta ahora:

·) representa la intensidad del campo gravitatorio en un punto, es la fuerza

gravitatoria que se ejerce sobre la masa unidad colocada en dicho punto.

·) representa la intensidad del campo eléctrico en un punto, es la fuerza eléctrica

que se ejerce sobre la carga de prueba unidad colocada en ese punto. El signo de la

carga de prueba es positivo.

Por tanto:

·) representa la intensidad del campo magnético en un punto, es la fuerza

magnética que se ejerce sobre la carga de prueba unidad en movimiento en ese

punto. El signo de la carga de prueba es positivo.

③ El campo magnético no es conservativo. Consecuencias:

a- No existe un “potencial magnético”, análogo a los ya vistos, potencial eléctrico o

potencial gravitatorio.

b- Sí importa el camino seguido por la carga que se desplaza en el seno de un campo

magnético entre dos puntos cualesquiera del mismo.

c- El trabajo realizado por la fuerza magnética a lo largo de una línea cerrada no tiene por

qué ser cero. En definitiva, en el campo magnético no se puede hablar de una “energía

potencial magnética” ni se puede aplicar, por tanto, el teorema de la energía potencial para

calcular el trabajo que realiza la fuerza magnética.

d- Si hubiera que determinar el trabajo que realiza la fuerza magnética, hay que recurrir a

la expresión general del trabajo

e- No existe una única expresión para la inducción magnética, , como ocurría con la

intensidad del campo gravitatorio

o el campo eléctrico

. Por tanto,

para cada imán cada situación de cargas eléctricas en movimiento, se debe determinar la

expresión de la inducción magnética creada.

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f- Las expresiones de la inducción magnética dependen fundamentalmente de

- La forma del conductor (o del imán)

- El medio en el que se encuentra inmerso. En este aspecto coincide con el campo

eléctrico.

- De la intensidad de corriente que circula por el conductor. En este caso hablamos

de campos magnéticos creados por corrientes eléctricas.

- De la posición del punto donde se va a calcular el campo magnético respecto del

imán o conductor que genera el campo. En este aspecto coincide con el campo eléctrico y

gravitatorio, aunque la forma en que depende de la posición no tiene por qué (y de hecho

no coincide frecuentemente) con la inversa del cuadrado de la distancia.

④ Unidad

El campo magnético, mejor inducción magnética, se mide en el S.I. en Teslas (T), en

honor a Nicola-Tesla (1857-1943) descubridor del motor de inducción, del motor

asincrónico de campo giratorio y de las corrientes polifásicas. Es el principal responsable

del modelo actual de producción y transporte de la corriente eléctrica.

Un tesla, 1 T, es una unidad muy grande. El campo magnético terrestre en la

superficie de la Tierra es de 5·10-5 T (aproximadamente). Los imanes convencionales de

laboratorio pueden alcanzar los 2,5 T.

La definición oficial de un Tesla se verá más adelante, al estudiar la acción del

campo magnético sobre cargas eléctricas en movimiento (punto 4).

Otra unidad muy utilizada para la inducción magnética es el gauss. Esta unidad no

es del S.I., por lo que requiere conocer su conversión a Teslas:

1 T = 104 gauss

⑤ Forma del campo magnético

Una forma de ver la dirección que tiene un campo magnético es mediante una

brújula, pues la dirección que toma la aguja es la dirección del mismo.

Al igual que los campos gravitatorio y eléctrico, el campo magnético es un campo

de fuerzas (vectorial) que se representa gráficamente mediante líneas de fuerza o líneas

de campo que reciben el nombre de líneas de inducción magnética.

Las líneas de inducción magnética cumplen las siguientes condiciones:

- Salen del polo norte y entran en el polo sur de un imán.

- Son cerradas, es decir, en un imán van desde el polo norte hacia el polo sur. Por

esto no se pueden separar ambos polos de un imán, pues si los polos magnéticos se

pudieran separar y aislar las líneas de campo seráin abiertas, empezarían o terminarían en

cada polo aislado, como ocurre en las cargas eléctricas.

Una experiencia clásica que permite ver el campo magnético creado por un imán

rectangular consiste en esparcir limaduras de hierro sobre un papel que a su vez se

encuentra sobre el imán. Las limaduras se distribuyen sobre el papel según las líneas de

campo magnetico tal como se ve en la siguientes figuras.

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¿Cómo conseguir un campo magnético uniforme?

Para conseguir un campo magnético uniforme se pueden enfrentar dos imanes

planos por sus polos opuestos, la situación sería

También en un imán en U hay una zona donde es uniforme

Estas zonas de campo magnético uniforme son muy interesantes en este tema para

estudiar cómo se comportan las partículas cargadas en movimiento cuando penetran en

dichas zonas.

Campo magnético terrestre. Representación idealizada.

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3) Determinación del campo magnético

Los campos magnéticos utilizado mayormente en la industria y en laboratorios son

los creados por corrientes eléctricas que circulan a través de una bobina. En cualquier

caso, para determinar la expresión de la inducción magnética que cualquier conductor

crea a su alrededor cuando pasa por el mismo una corriente eléctrica se utiliza la ley de

Biot y Savart.

Sea un hilo conductor cualquiera, situado en el vacío, por el que pasa una

intensidad de corriente I. Deseamos conocer la inducción magnética ) creada por una

pequeña longitud de hilo, , en un punto P del espacio.

La ley de Biot y Savart establece que la

expresión de la inducción magnética en el

punto P es

)

Donde,

→ es una constante de proporcionalidad

que depende del medio y que se denomina

permeabilidad magnética en el vacío. Su valor

es

Al igual que la permitividad eléctrica, la permeabilidad magnética en el aire es muy similar a la permeabilidad

en el vacío. Las sustancias ferromagnéticas tienen una permeabilidad mayor a , pudiendo adquirir valores

muy altos. Las sustancias paramagnéticas tienen una permeabilidad magnética cuyo valor es

aproximadamente igual a . Las sustancias diamagnéticas tienen una permeabilidad magnética inferior a .

El valor de la permeabilidad magnética de una sustancia se puede escribir,

donde es la permeabilidad magnética relativa.

I → es la intensidad de corriente que circula por el hilo (en amperios).

→ es un elemento conductor de longitud dl. Su dirección es el propio hilo y su sentido

es el de la intensidad de corriente1.

→ a este producto se le denomina “Elemento de corriente”

→ es un vector unitario cuya dirección y sentido viene expresado en la figura línea de

unión de con el punto P).

r → es la distancia del punto P, donde se quiere calcular el campo, al elemento de

corriente.

→ es la intensidad del campo magnético diferencial, inducción magnética diferencial,

creada por el elemento de corriente en el punto P. Su dirección y sentido viene

determinada por las características del producto vectorial .

1 Es importante hacer notar que el sentido de la intensidad de corriente es el contrario al de la corriente de electrones que forman la corriente eléctrica. El sentido de la intensidad de corriente se eligió por convenio antes de conocer la naturaleza de la corriente eléctrica, desde el polo positivo de una pila hasta el polo negativo.

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Para determinar el valor de la inducción magnética total, creada por todo el

conductor en el punto P es necesario determinar todas las intensidades magnéticas

diferenciales, , de todos los elementos de corriente en que se divide el conductor y,

después sumarlas (integración). El problema puede ser muy complejo pues su solución

dependerá de la forma del conductor. En estos apuntes no se realizarán estas

determinaciones (excepto para una carga aislada), sino que directamente se aportarán las

soluciones que la ley de Biot y Savart da para los siguientes casos:

- Carga eléctrica aislada en movimiento

- Corriente eléctrica infinita

- Espira

- Solenoide

3.1.- Campo magnético creado por una carga puntual en movimiento.

Sea una carga eléctrica que se mueve con una velocidad en el vacío. El producto

de la carga, q, por esta velocidad hace el papel, en la ley de Biot y Savart, del elemento de

corriente. En efecto, si vemos las unidades de estos productos,

→ →

→

→

Por tanto, en este caso, podemos escribir la ley de Biot y

Savart de la siguiente forma,

)

Como vemos, no se ha está midiendo un campo magnético

diferencial, sólo el que crea una única carga.

El módulo de la inducción magnética es,

sen

sen

La dirección de la inducción magnética es perpendicular al plano que forman y . Su

sentido es el de avance de un sacacorchos que gire desde hasta .

3.2.- Campo magnético creado por una corriente eléctrica infinita.

Si pudiéramos hacer un estudio experimental de la inducción magnética alrededor

de un hilo por el que pasa una corriente eléctrica (experimento de Oërsted),

observaríamos que:

- Si la intensidad de corriente aumenta, la inducción magnética aumenta de forma

proporcional, y viceversa.

- Si la distancia al hilo aumenta, la inducción magnética disminuye de forma

proporcional, y viceversa.

- Si se cambia el medio, el campo magnético cambia.

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Podríamos concluir que la expresión que

establece la inducción magnética en un punto del espacio

cercano a un hilo por el que pasa una corriente eléctrica

debe tener en cuenta una relación directa con la

intensidad de corriente que circula por el hilo, y una

relación inversa con la distancia del punto considerado al

hilo. En efecto, el módulo de la inducción magnética que

crea una corriente eléctrica infinita es,

La dirección es perpendicular al hilo conductor y su

sentido se determina por la “regla de la mano derecha”,

que consiste en colocar el pulgar de la mano derecha en la

dirección de la intensidad de corriente, entonces la

dirección de la inducción magnética coincide con la

dirección que marcan el resto de dedos de la mano.

A la hora de representar el campo

magnético en el plano del papel, es conveniente

establecer una simbología para representar una

magnitud vectorial que es perpendicular al plano

que forma el papel. Así, el símbolo ʘ indica que el

sentido de la magnitud que se representa “sale del

papel hacia fuera”. El símbolo ⦻, o simplemente un

aspa, indica que que el sentido de la magnitud que

se representa “entra hacia dentro del papel”. Por ejemplo, el campo magnético del hilo

infinito que aparece en la figura anterior se puede representar

[10]

El ejemplo inverso viene representado en la siguiente figura,

Otros ejemplos de este tipo de representación

[11]

3.3.- Campo magnético creado por una corriente circular (espira).

Hay muchos dispositivos, como electroimanes, transformadores,…, en los que los

conductores están arrollados formando una bobina. Por ello es importante conocer el

campo magnético creado por uno de estos arrollamientos como paso previo al

conocimiento del campo magnético creado por el arrollamiento completo.

De forma genérica, una espira es un conductor que se cierra sobre sí mismo y por

el que circula una corriente uniforme. Centrándonos en una espira circular por la que

circula una corriente I, el campo magnético en su centro viene dado por la expresión,

En cuanto a la dirección y sentido del vector

inducción magnética en el centro de la espira (ver

figura):

- Dirección: perpendicular al plano de la

espira.

- Sentido: se aplica la regla del sacacorchos

(o del tornillo), es decir, el sentido del vector es el

de avance de un sacacorchos que gira según lo hace

la intensidad de corriente que circula por la espira.

Según el criterio adoptado a la hora de representar vectores perpendiculares al

plano del papel, si representamos la espira en tal plano el campo magnético en el centro de

la espira “entrará” o “saldrá” según sea el sentido de la corriente que circula por la espira.

3.4.- Campo magnético creado en el interior de un solenoide.

Un solenoide es cualquier dispositivo físico capaz de crear una zona de campo

magnético uniforme. Un ejemplo teórico es una bobina construida con un hilo conductor

arrollado, formando espiras. Por él se hace circular una corriente eléctrica

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El campo magnético uniforme se crea en el interior del solenoide, su forma será:

El valor de la inducción magnética en el interior del solenoide viene dado por la

expresión,

siendo, N el número de espiras del solenoide y l la longitud del mismo.

Como vemos, la permeabilidad magnética del medio se

encuentra en el numerador. Dentro de los solenoides se introducen

sustancias de permeabilidad magnética alta (como hierro dulce), para

transformar las bobinas en potentes imanes. Si dentro del solenoide no

hay nada la permeabilidad magnética será la del aire que, como hemos dicho, es

aproximadamente igual a la permeabilidad magnética del vacío, .

Respecto a la dirección y sentido del vector :

- Dirección: eje del solenoide

- Sentido: regla de la mano derecha (ver figura), o del sacacorchos, es decir, el

sentido de avance de un sacacorchos que gire según lo hace la intensidad de corriente que

pasa por el solenoide.

En el exterior de un solenoide la forma del campo magnético es similar al creado

por un imán rectangular, tal como se puede ver en las figuras anteriores.

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4) Acción del campo magnético sobre cargas eléctricas en movimiento.

Ya conocemos qué es la inducción magnética y las expresiones de algunos campos

magnéticos creados por algunos conductores (en algunas zonas concretas cercanas a

dichos conductores). Ahora vamos a analizar qué le ocurre a una carga (o varias) móvil

cuando penetra en una región donde existe un campo magnético. Concretamente vamos a

analizar los siguientes casos:

- Comportamiento de una carga móvil aislada inmersa en un campo magnético.

- Acción de un campo magnético sobre una corriente eléctrica lineal.

- Fuerzas entre corrientes paralelas. Definición de amperio.

4.1.- Comportamiento de una carga móvil aislada inmersa en un campo magnético.

① Sea q una carga positiva que se mueve en el seno de un campo magnético con una

velocidad . Por estar inmersa en dicho campo, y por estar moviéndose, esta carga

experimenta una fuerza magnética,

② Dado que se trata de una carga eléctrica, también es susceptible de experimentar una

fuerza eléctrica ) si, además, se encuentra inmersa en un campo eléctrico, . Por tanto,

la fuerza global sobre la carga sería:

Esta fuerza recibe en nombre de fuerza de Lorentz, es la fuerza ejercida por el campo

electromagnético sobre una carga eléctrica aislada en movimiento.

③ La expresión de la fuerza eléctrica ya ha sido analizada en el tema dedicado al campo

eléctrico,

④ Falta por conocer la expresión de la fuerza

magnética. Supongamos en primer lugar la

situación general de la figura adjunta. La carga q se

mueve con una velocidad cuyo vector, , forma un

ángulo α con el vector inducción magnética, . Las

direcciones y sentidos elegidos en la figura son

totalmente arbitrarios.

La expresión de la fuerza magnética es

)

por tanto, debemos hacer un producto vectorial de

los vectores velocidad e inducción magnética. El resultado de aplicar esta expresión es un

vector cuyas características son:

- Módulo, sen

- Dirección, perpendicular al plano que forman los vectores y .

- Sentido. El de avance de un sacacorchos que gire en el sentido → . También

se puede aplicar la regla de la mano izquierda, representada en la siguiente figura,

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Por tanto, para el caso general representado en la figura anterior, el sentido de la fuerza

magnética será el positivo del eje z.

⑤ Consideraciones importantes sobre la fuerza magnética.

- La fuerza magnética es máxima cuando los vectores y son perpendiculares,

sen

esta expresión permite definir el Tesla como unidad de inducción magnética en el S.I. Si

despejamos la intensidad del campo magnético,

→

Un tesla es la inducción de un campo magnético que ejerce una fuerza de

un newton sobre una carga de un culombio cuando se mueve con una

velocidad de un metro por segundo en el interior del campo,

perpendicularmente a las líneas de inducción.

- El sentido de la fuerza magnética con la regla de la mano izquierda sólo es válida

para cargas positivas. Hay que tener en cuenta por tanto que si la carga que se mueve en el

campo magnético es negativa el sentido de la fuerza magnética es el contrario al que da la

regla de la mano izquierda.

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4.2.- Acción de un campo magnético sobre una corriente eléctrica lineal.

Como sabemos, la corriente eléctrica es un conjunto de cargas eléctricas en

movimiento (electrones).

Desde el punto de vista magnético, una corriente eléctrica:

- Crea su propio campo magnético.

- Puede sufrir (las cargas que forman la corriente y, por tanto, el hilo conductor por

el que circulan) la fuerza de Lorentz si se introduce el conductor en el seno de un campo

magnético externo. Es este aspecto el que se va a analizar en este apartado.

Supongamos un hilo conductor (cobre) que se introduce en el seno de un campo

magnético uniforme. Por el hilo no circula corriente eléctrica alguna.

En esta situación se puede afirmar que el hilo

conductor no está sometido a ninguna fuerza

pues aunque los electrones de los átomos del

hilo están en movimiento, realmente este

movimiento es aleatorio y la fuerza magnética

global se anula.

Supongamos ahora que por el hilo circula una

corriente de intensidad I. En esta situación,

cada uno de los electrones que forma la

corriente eléctrica experimenta una fuerza

magnética con una dirección y sentido

concreto. Globalmente el hilo se ve sometido

a una fuerza que vamos a determinar.

Para un electrón que forma parte de la

corriente eléctrica la fuerza a que se ve

sometido es

)

donde e es la carga del electrón. Para todos los electrones que forman la corriente eléctrica

en un instante,

)

Como todos los electrones llevan la misma velocidad, tienen la misma carga y están

sometidos al mismo campo magnético, podremos poner

) )

donde N es el número de electrones que han están pasando en un instante t.

Vamos a desarrollar la expresión un poco más. La velocidad de los electrones en la

corriente eléctrica viene dada por

[16]

donde t es el tiempo que tardan los electrones en recorrer la longitud , que es el vector

longitud del hilo. Es un vector que tiene la misma dirección y sentido que la intensidad de

corriente y cuyo módulo es la longitud de hilo que está sometida a la acción del campo

eléctrico.

Por tanto,

)

→

)

ahora bien, por definición, la intensidad de corriente es la cantidad total de carga que pasa

por la sección de un conductor en la unidad de tiempo,

En definitiva,

)

expresión que se conoce como primera ley de Lapace y que permite estimar el valor de la

fuerza magnética a que se ve sometido un hilo de corriente en el seno de un campo

magnético.

- Módulo:

donde α es el ángulo que forma el hilo y el campo magnético.

- Dirección: perpendicular al plano que forma el hilo y el campo magnético.

- Sentido: regla de la mano izquierda

Hay que tener en cuenta que las cargas eléctricas que se mueven son electrones, que se

mueven en sentido contrario al asignado a la intensidad. Por tanto, el dedo corazón debe

indicar el sentido de la intensidad y no del movimiento de los electrones.

En el ejemplo representado en la página anterior, el sentido de la fuerza es

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4.3.- Fuerzas entre corrientes paralelas. Definición de amperio.

Según estamos viendo,

-Una corriente eléctrica genera un campo magnético.

-Una corriente eléctrica, hilo conductor, inmerso en un campo magnético se ve

sometido a una fuerza magnética.

Es evidente que las dos cosas ocurren a la vez, por tanto, si acercamos dos hilos por

los que pasa corriente, ambos hilos generan su propio campo magnético y además ambos

hilos se ven afectados por la corriente eléctrica vecina ya que se suponen los

suficientemente próximos entre sí.

Supongamos la siguiente situación de partida: dos hilos paralelos e infinitos por los

que circulan sendas corrientes de intensidad Ia e Ib, en el mismo sentido. La distancia entre

los hilos es d.

Vamos a representar la dirección y sentido del campo magnético que genera la

corriente a en el punto donde se encuentra el hilo b (Ba) y viceversa.

Los módulos de estos campos son,

→

→

[18]

La fuerza a que se ve sometido el conductor a, por estar inmerso en el campo

magnético del conductor b, , , es

, → , sen

La fuerza a que ve sometido el conductor b, por estar inmerso en el campo

magnético del conductor a, , , es

, → , sen

Ambas fuerzas son iguales en módulo y dirección, pero de sentidos opuestos y aplicadas

sobre cuerpos diferentes (tercer principio de la Dinámica). La dirección y sentido de

dichas fuerzas viene representada a continuación (regla de la mano izquierda),

Por tanto, ambos conductores se atraen con una fuerza cuyo módulo es

Dado que estamos considerando los dos hilos paralelos como infinitos, es conveniente

cambiar la longitud de sitio y determinar la fuerza por unidad de longitud que se establece

entre los dos hilos,

Es claro que si las intensidades que circulan por los dos hilos tienen sentidos

opuestos, el módulo y dirección de las fuerzas no cambia, pero sí su sentido. En esta

situación los hilos se repelen,

[19]

El hecho de que dos conductores ejerzan fuerzas de atracción o de repulsión entre

ellos se ha tomado como criterio para definir la unidad de intensidad de corriente en el

S.I.:

Amperio: es la corriente que, circulando por dos conductores paralelos e

indefinidos, separados por una distancia de un metro en el vacío, produce

sobre cada uno una fuerza de 2·10-7 N por metro de longitud de conductor.

Efectivamente, si los hilos están en el vacío, Ia = Ib = 1 A, y d = 1 m,

Ampliación. Fuerzas sobre una espira rectangular plana en el seno de un campo

magnético. Fundamento del funcionamiento de un galvanómetro.

Consideramos inicialmente una espira rectangular de lados a y b recorrida por una intensidad de corriente I en

el sentido indicado por la figura, y sometida a la acción del campo magnético uniforme, . En esas condiciones

se originan fuerzas en cada lado de la espira cuyo módulo dirección y sentido vienen dados por la ley de

Laplace.

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El galvanómetro es un aparato que se utiliza para medir

pequeñas corrientes eléctricas. En la figura 1 se muestran sus

componentes principales. Un imán permanente y un núcleo de

hierro dulce hacen que el campo magnético tenga una

inducción prácticamente constante (en la figura, por la forma

del imán, el campo magnético es uniforme y radial). Entre los

polos hay una bobina rectangular que puede girar sobre un eje

que pasa por su centro, y está unida a una aguja que señala

sobre una escala graduada. Cuando pasa una corriente por el

aparato, la bobina gira un ángulo proporcional a dicha

corriente, valor que la aguja marcará en la escala. Un resorte de

acero hace que la aguja vuelva a la posición cero cuando cesa la

corriente.

El galvanómetro puede servir para medir corrientes más

grandes si se conecta a una resistencia apropiada, llamada

resistencia de derivación (shunt) de forma que pase casi toda la corriente por ella (derivación de baja

resistencia). Por la bobina pasará una corriente determinada muy pequeña, suficiente para mover la aguja

sobre la escala. Con estas características el galvanómetro recibe el nombre de amperímetro (figura 2).

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Problemas resueltos.

Un electrón, con una energía cinética de 6·10-16 J penetra en un campo magnético uniforme de 4·10-3 T de forma que la dirección del campo es perpendicular a la dirección del movimiento del electrón. a) ¿A qué fuerza está sometido el electrón dentro del campo? b) ¿Cuánto vale el radio de la trayectoria que describe?

a) La situación viene representada en la figura adjunta.

Cuando un electrón se mueve con una velocidad (a lo

largo del eje x) y penetra en una zona donde existe un

campo magnético uniforme y perpendicular a dicha

velocidad (representado en el eje z, en sentido negativo

de dicho eje –hacia dentro del papel-), experimenta una

fuerza magnética cuyo valor es

)

donde e es la carga del electrón. El módulo de esta

fuerza es

La dirección del vector fuerza es perpendicular al plano que forman el vector campo y el vector

velocidad (eje y). La regla de la mano izquierda permite determinar el sentido de la fuerza

magnética para una carga positiva, como se trata de una carga negativa el sentido de la fuerza

magnética será el contrario al que determine dicha regla, es decir, la fuerza va dirigida hacia valores

negativos del eje y (ver figura).

Para determinar el módulo de la fuerza necesitamos saber la velocidad del electrón, dato

que obtendremos a partir del valor de su energía cinética.

→

, ,

como vemos, ha sido necesario consultar el valor de la masa del electrón.

Por tanto,

, , ,

Para el sistema de referencia representado en la figura,

, )

b) La trayectoria de una partícula sobre la que se ejerce una fuerza y que se mueve con una

velocidad perpendicular a dicha fuerza, de manera que esta condición de perpendicularidad se

mantiene sólo en el instante inicial, será una parábola. Se trata de, por ejemplo, un tiro horizontal

en el caso de un campo gravitatorio, o de una partícula cargada que penetra en perpendicularmente

a un campo eléctrico uniforme.

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Sin embargo, este no es el caso pues se trata de una partícula (el electrón) sobre el que se

ejerce una fuerza que en todo momento es perpendicular a la velocidad de la misma, es decir, es

una fuerza central. Por tanto, su trayectoria será una circunferencia.

Como en este caso la fuerza centrípeta es la fuerza magnética, podemos escribir las expresiones de

ambas fuerzas (en módulo)

despejando el radio de curvatura,

expresión que se puede generalizar para cualquier tipo de carga que penetre en un campo

magnético uniforme perpendicularmente a dicho campo,

Para el caso que nos ocupa,

, ,

,

Recordar también aquí que, al tratarse de un movimiento circular uniforme, se pueden utilizar las

conocidas expresiones de dicho movimiento.

[25]

Una partícula alfa sale perpendicularmente del plano del papel con una velocidad de 20000 km/s. En el instante en que la partícula sale del papel penetra en un campo magnético uniforme de 2·10-2 T. La dirección del campo es el plano del papel, de izquierda a derecha y horizontal. Encontrar la fuerza que actúa sobre la partícula y el radio de su trayectoria. Datos: carga del electrón = 1,6·10-19 C, masa del protón = masa del neutrón = 1,67·10-27 kg.

Este problema es en su resolución idéntico al anterior, con la diferencia de que se trata de una carga

positiva y que las direcciones de la velocidad y del campo magnético vienen impuestas.

Una partícula alfa es un núcleo de helio, es decir, un átomo de helio que ha perdido sus dos

electrones,

í →

Por tanto, su carga y su masa serán,

, ,

, ,

Según las direcciones de la inducción magnética y de la

velocidad de la partícula, esta se ve sometida a una fuerza cuya

dirección y sentido viene mostrada en la figura adjunta, es decir,

,

La fuerza a que ve se sometida la partícula en el momento de

salir del papel es, según la ley de Lorentz,

)

El módulo de esta fuerza será,

, ,

Por tanto, para el sistema de referencia utilizado,

,

En cuanto al radio de curvatura de la trayectoria circular que sigue la partícula, su

expresión, deducida en el problema anterior es,

De donde

,

, ,

Como vemos, comparando con el radio de curvatura de un electrón (problema anterior), su valor ha

aumentado considerablemente, resultado, fundamentalmente, del aumento de la masa de la

partícula cargada que penetra en el campo.

[26]

Una varilla de 0,2 kg de masa y 0,3 m de longitud es recorrida por una corriente de 12 A. La varilla se encuentra sobre un plano horizontal. Se aplica un campo magnético vertical de intensidad creciente de manera que cuando este vale 0,02 T la varilla comienza a deslizar. Determinar el coeficiente estático de rozamiento entre el suelo y la varilla.

a) Al encontrarse la varilla en el seno de un campo magnético y pasar por ella una corriente

eléctrica, la varilla se ve sometida a una fuerza magnética cuyo valor es (ley de Laplace),

)

El sentido la fuerza es (regla mano izquierda) perpendicular a la varilla hacia fuera del papel.

Podemos representar las fuerzas que se ejercen sobre la varilla, si la miramos como se indica

El valor del la inducción magnética va creciendo de manera que cuando vale 0,02 T la

fuerza magnética que genera sobre la varilla es tal que está a punto de empezar a deslizar. En esta

situación los módulos de las fuerzas cumplen con la condición

→

donde FR es la fuerza de rozamiento que, al estar la varilla aún parada, depende del coeficiente

estático de rozamiento,

→ sen

sen →

, ,

, , ,

[27]

Por un alambre de cobre, situado en el ecuador terrestre y paralelamente a él, pasa una corriente que lo mantiene flotando en el aire por la acción del campo magnético terrestre. Determine la intensidad de corriente que es necesario que pase por dicho alambre. Datos. Campo magnético terrestre, B = 0,00005 T; densidad lineal del conductor = 8 g/m.

Situación descrita en el problema

para que esto ocurra debemos hacer pasar una corriente por el hilo que, al estar inmerso en el

campo magnético terrestre, hace que sobre el hilo se ejerza una fuerza magnética que contrarreste

el peso del hilo. Como la dirección del campo magnético terrestre es de norte a sur, la dirección de

la intensidad de corriente y de la fuerza magnética deben ser las siguientes (regla de la mano

izquierda)

Donde el valor de la fuerza magnética viene dado por la ley de Laplace

)

En la situación de equilibrio, los módulos de las fuerzas peso y magnética son iguales,

→ sen

Despejando

Como un metro de hilo pesa 8 gramos,

,

[28]

Calcula la fuerza a que se verá sometido cada uno de los lados del triángulo de la figura. Datos: I = 0,5 A; B = 0,2 T; ; ;

El campo magnético es uniforme y va dirigido de forma horizontal desde el polo norte al sur. Cada

uno de los tramos del triángulo se ve sometido a una fuerza magnética ya que por ellos está

pasando una corriente eléctrica y se encuentran inmersos en un campo magnético. La expresión

que permite calcular esta fuerza es la ley de Laplace,

)

Estableceremos primero un sistema de referencia (ver figura). En estas condiciones, , )

Tramo . La fuerza a que está sometido el hilo es,

en módulo,

sen , , , ,

Su dirección es perpendicular al plano que forman

el hilo y la inducción magnética, es decir, el eje z.

Su sentido es el positivo del eje z (regla de la mano

izquierda). Por tanto, para el sistema de referencia de la figura,

, )

Tramo .

sen

luego este hilo no se ve sometido a fuerza alguna ya que la intensidad de corriente tiene la misma

dirección que la inducción.

Tramo .

sen , , , sen

Debemos determinar el valor del ángulo. Para ello, si observamos la figura

adjunta,

sen

,

, ,

arcosen ,

[29]

Por tanto,

, , , sen ,

La dirección de esta fuerza es perpendicular al plano que forman el hilo y la inducción magnética, es

decir, el eje z. Su sentido es el negativo del eje z (regla de la mano izquierda). Por tanto, para el

sistema de referencia de la figura,

, )

El triángulo girará

Dos espiras circulares de radio 2π metros se colocan en ángulo recto una respecto de la otra con centro común. Una de ellas, situada en el plano xy, es recorrida por una corriente de 3 A. La otra, recorrida por una corriente de 4 A, está situada en el palo yz. ¿Cuál es el valor del campo magnético en el centro?

La situación viene representada en la figura adjunta. Los sentidos de las

intensidades son supuestos pues no se mencionan en el enunciado del

problema.

El módulo de la inducción magnética creada por una espira circular en

su centro y en el vacío viene dado por la siguiente expresión,

Empecemos por la espira del plano yz, recorrida por la intensidad I’ A,

Su dirección es perpendicular al plano de la espira y su sentido es

el de avance de un sacacorchos que gire como lo hace la

intensidad de corriente (véase figura), por tanto,

)

En cuanto a la espira del plano xy, recorrida por I = 3A,

[30]

En la figura anterior se puede ver la dirección y sentido de la inducción magnética. Por tanto,

)

Aplicando el principio de superposición, la inducción magnética en el centro de las dos

espiras será,

cuyo módulo es,

) )

Cuatro conductores paralelos largos transportan corrientes de igual magnitud, 2 A, cuyos sentidos vienen indicados en la figura. Calcular el campo magnético en el centro del cuadrado que definen los cuatro conductores.

Cada hilo genera su propio campo magnético en el

centro del cuadrado. Las direcciones y sentidos de

dichos campos vienen reflejadas en la figura

adjunta. La dirección y sentido de cada uno de

estos campos se determina teniendo en cuenta que

las líneas de campo generadas por una corriente

rectilínea son circunferencias con centro en la

línea de corriente y colocadas en planos

perpendiculares a ella. El sentido de estas líneas es

el indicado por los dedos de la mano derecha

cuando se coge el conductor de modo que el dedo

pulgar señala el sentido de la corriente.

La mitad de la diagonal del cuadrado mide

, ,

,

Los módulos de los campos generados por cada hilo son iguales al ser las intensidades de

corriente que circulan por ellos iguales. Su valor se puede determinar a partir de la expresión

, ,

Si el sistema de referencia tiene como ejes x e y las propias diagonales del cuadrado,

podemos anotar las inducciones magnéticas en el centro del cuadrado como sigue,

[31]

,

,

La inducción total en el centro del cuadrado es,

, ,

Cuyo módulo es

,

Dos conductores rectilíneos y paralelos están separados entre sí una distancia de 15 cm. Ambos están recorridos por una intensidad de corriente. Por el primero de ellos pasan 54000 culombios cada hora y por el segundo pasan 10 A. Determinar: a) El valor de la fuerza que actúa por unidad de longitud sobre cada conductor. b) El valor de la inducción magnética en cada uno de los dos puntos pertenecientes al plano determinado por ambos conductores y equidistantes 20 cm del primero de ellos.

a) La intensidad de corriente que pasa por el primer hilo es

El enunciado no indica el sentido relativo de la corriente entre ambos

hilos. Se considerará que el sentido de la corriente es el mismo en los

hilos, como se muestra en la figura adjunta.

Las fuerzas que se establecen entre dos hilos infinitos son de atracción

si los sentidos de la corriente coinciden. Son de repulsión si los sentidos de la corriente son

contrarios (véase pág. 17 y siguientes). El módulo de dicha fuerza por

unidad de longitud es

,

b) Los dos puntos que están en el mismo plano que los hilos y que equidistan 20 cm del primer hilo

son los marcados en la figura siguiente

Punto 1.

El hilo 1 y el hilo 2, al llevar corriente, generan en P1 un campo magnético, respectivamente.

El campo total sobre P1 será, según el principio de superposición,

[32]

Los módulos son,

,

, ,

Teniendo en cuenta el sistema de referencia elegido, la dirección y sentido de la inducción

magnética creada por cada hilo es (regla de la mano derecha) la representada a continuación.

Por tanto,

, , )

Punto 2.

Operando de la misma manera,

Los módulos son,

,

,

Teniendo en cuenta el sistema de referencia elegido, la dirección y sentido de la inducción

magnética creada por cada hilo es (regla de la mano derecha) la representada a continuación.

Por tanto,

)

[33]

Un alambre recto y largo conduce una corriente I en el sentido +x, mientras que un segundo conductor transporta una corriente I/2 según el sentido +y. ¿En qué puntos la inducción magnética resultante es nula?

La situación de partida viene representada en la figura

adjunta.

Cada hilo genera un campo magnético. El módulo del

campo generado por el hilo del eje x depende de forma

directa de la intensidad que circula por dicho hilo y de

forma inversa de la distancia en línea recta

perpendicular a dicho hilo, es decir, depende de la

distancia medida sobre el eje y:

De la misma manera, el campo generado por el hilo del eje y depende de la distancia en línea recta

perpendicular a dicho hilo, es decir, depende de la distancia medida sobre el eje x:

Ambos campos se pueden anular en aquellos puntos

donde sus sentidos sean opuestos. Si observamos dichos

sentidos (regla de la mano derecha), esto solo puede

ocurrir en el primer y tercer cuadrante. En esos lugares,

puede haber puntos donde

→

Aquellos puntos que verifican la ecuación de la recta y = 2x son los buscados.

[34]

Un electrón se mueve en una región sin ningún campo de fuerzas, con una velocidad de 100.000.000 m/s, en la dirección y sentido indicados en la figura, y llega a un punto, P, en el que entra en una región con un campo magnético perpendicular al papel y hacia dentro,

¿Qué intensidad ha de tener el campo magnético para que el electrón vuelva a la primera región por un punto, Q, situado a 30 cm de P? ¿A qué lado del punto P está situado Q?

El razonamiento en este problema es idéntico al problema de la página 24. Se anotarán

aquí directamente las ecuaciones y sus resultados.

Fuerza que se ejerce sobre el electrón al penetrar en el campo magnético, , donde e

es la carga del electrón. El módulo de esta fuerza es

Su dirección es vertical sobre el papel y su sentido hacia abajo. Esta fuerza obliga al electrón a

describir una trayectoria circular dentro del campo magnético. En módulo

despejando el radio de curvatura,

Para el caso que nos ocupa, para que el electrón

salga a 30 cm sobre la vertical del punto de

entrada debe recorrer media circunferencia de

radio 15 cm. En esta situación,

,

, , ,

Tal como se indica en la figura, el electrón describe una semicircunferencia en el sentido

horario saliendo del campo por debajo del punto P.

[35]

Un electrón se mueve a 20000 km/s. Penetra en un condensador plano que tiene 1000 V de diferencia de potencial ente sus placas y una distancia entre las mimas de 1 cm. La dirección de entrada del electrón en el condensador es perpendicular a las líneas de campo eléctrico. ¿Cómo hay que colocar un imán para que la trayectoria del electrón siga recta? ¿Cuál es la inducción magnética de dicho imán?

Analicemos primero el movimiento del electrón entre las

placas del condensador. La situación descrita en el

problema viene representada en la figura adjunta, en la

que también se ha establecido un sistema de referencia.

Cuando el electrón penetra entre las placas del

condensador, se ve sometido a una fuerza eléctrica

debido a que entre dichas placas hay un campo eléctrico

(representado en la figura). El electrón es atraído hacia la

placa positiva y, en esta situación, describirá una

trayectoria parabólica hasta que impacte con la placa. El módulo de la fuerza eléctrica es

donde e es la carga del electrón, , la diferencia de potencial entre las placas y d la distancia entre

las mismas.

Para que el electrón siga recto es necesario compensar la

fuerza eléctrica con otra fuerza, en este caso magnética,

resultado de colocar adecuadamente un imán. Es claro

que la fuerza magnética que sufra el electrón, por la

acción del campo magnético del imán, debe de ir dirigida

en sentido opuesto a la fuerza eléctrica y tener el mismo

valor en módulo.

La expresión de la fuerza magnética es

)

y su módulo

sen

Para que la dirección y sentido de la fuerza magnética sea la de la figura, el campo magnético debe

tener la dirección del eje x en su sentido positivo α º). Esto es así porque el vector está

dirigido según el producto vectorial de por y su sentido está determinado por la carga de la

partícula. En este caso, al tratarse de un electrón, el sentido de la fuerza es el contrario al

correspondiente a dicho producto vectorial. Por tanto,

→

[36]

Para el sistema de referencia elegido

)

Estos apuntes se finalizaron el 29 de marzo de 2011

en Villanueva del Arzobispo, Jaén (España).

Realizados por: Felipe Moreno Romero

fresenius1@gmail.com

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