Campo magnetico e inductores

Marcos Flores CarrascoDepartamento de Física

mflorescarra@ing.uchile.cl

Tópicos

➢ Campo Magnético ➢ Ley de inducción de Faraday ➢ Inductor ➢ Asociacion de inductores➢ Circuitos RL

Campo magnético (B)

➢ Una carga eléctrica genera un campo eléctrico, el que a su vez, ejerce una fuerza (eléctrica) sobre otra carga colocada en el campo.

➢ Por analogía:

➢ El problema en esta simetría es que no existen cargas magnéticas pues no hay objetos puntuales aislados de los cuales emergen líneas de campo magnético.

➢ El campo magnético se origina por cargas eléctricas en movimiento!➢ Una carga eléctrica genera un campo eléctrico tanto en reposo como en movimiento. Por el contrario, el campo magnético se genera sólo si la carga está en movimiento.

➢ En los imanes, los electrones del átomo de hierro están en movimiento, y por lo tanto, inducen una magnetización permanente.

q E q ↔↔

m E m ↔↔

El experimento de Oersted

Hans Oersted:

Preparando su clase de física en la Universidad de Copenhague, descubre que al mover una brújula cerca de un cable que conducía corriente eléctrica la aguja rotaba hasta quedar en una posición perpendicular a la dirección del cable.

Por primera vez se había hallado una Conexión entre la electricidad y el magnetismo, en un accidente que puede considerarse como el nacimiento del electromagnetismo.

Campo magnético (B)

En magnetismo pensamos en términos de:

Como una corriente eléctrica en un alambre es un flujo de cargas en movimiento:

Aquí µ0 es una constante denominada constante de permeabilidad = 4πx10-7 Tm/A

Así como ε0 (constante de permitividad) 8,85x10-12 F/m es para problemas de electrostática.

20 ˆ

4 rrvq

πμ B v q B vq ×=⇒↔↔

RI

πμ B I B I 24

0=⇒↔↔

Imán permanente

Líneas de fuerza magnéticas de un imán de barra, producidas por limaduras de hierro sobre papel.

Líneas de fuerza del campo magnético

alrededor de una espiral y de un

imán en forma de barra.

Campo inducido

Ley de Faraday (1831)

➢Faraday descubrió que la variación temporal del flujo magnético debida a un campo magnético variable que atraviesa la superficie limitada por una espira conductora estacionaria (en reposo), induce una corriente.

➢ Al insertar el imán en la bobina aparece en ésta una corriente, conocida como corriente inducida

➢ El trabajo realizado por unidad de carga durante el movimiento de los portadores de carga que constituyen esa corriente lo denominamos fem inducida

➢ Inducción magnética

Ley de Faraday

➢ Dos bobinas próximas, mantenidas en reposo sin contacto eléctrico directo.

➢ Al cerrar el interruptor S, la batería produce una corriente en la bobina de la derecha

➢ El galvanómetro en la bobina de la izquierda se activa momentánea, y luego retornando a cero.

➢ Cuando se abre la llave S se interrumpe la corriente, el puntero se activa nuevamente, retornando a cero, pero en sentido opuesto.

➢ Una fem es inducida solamente cuando algo esta variando. En una situación estática, donde ningún objeto físico esta en movimiento y la corriente es constante, no hay fem inducida. La palabra clave es variación.

Ley de inducción de Faraday

➢ Una fem es inducida en la bobina de la izquierda en los dos experimentos cuando el número de líneas de campo magnético que la atraviesan está variando.

➢ El número total de líneas de campo magnético que atraviesan la bobina de la izquierda no nos interesa, es la variación de este número la que induce la fem y es la tasa con que el número varía la que determina el valor de la fem inducida.

➢ Exp.1: Las líneas que se generan en la barra imantada y el numero de líneas que atraviesan la bobina aumenta cuando aproximamos el imán y disminuye cuando lo distanciamos.

➢ Exp.2: Las líneas están asociadas a la corriente en la bobina derecha. El numero de líneas a través de la bobina izquierda aumenta (a partir de cero) cuando cerramos S (prendiendo la corriente) y disminuye (volviendo a cero) cuando abrimos S.

Flujo magnético

Considerando una superficie – plana o no – limitada por una espiral conductora cerrada. Representamos el número de líneas magnéticas que atraviesan esa superficie por el flujo magnético φm para esa superficie, definida por:

En un caso especial supongamos que el campo magnético tenga el mismo modulo B en toda su superficie plana de área A y que sea perpendicular a esa superficie. Así, el producto escalar queda BdA. Entonces:

En el cual ΦB es el módulo del flujo a través de la superficie. En SI, el flujo magnético se mide en Tesla-metro2, al cual se denomina Weber: 1Wb = 1 Tm2

∫∫ =⋅=S

nS

m dABdAnB ˆφ

∫ ==S

m BAdABφ

Ley de inducción de Faraday

➢ La fem inducida en una espiral conductora es igual al negativo de la variación del flujo magnético a través de la espiral con respecto al tiempo.

➢ La fem inducida será igual a la variación del flujo magnético a través de una superficie S encerrada por C:

Ley de Faraday

Cuando la tasa de variación de flujo es dada en Webers por segundo, la fem inducida es dada en Volts. El signo negativo tiene que ver con el sentido de la fem inducida, esto es, el sentido de la flecha de la fem dibujada en un diagrama de la espiral.

dtddAnB

dtdldB

dtd m

SC

φξ −=⋅−=⋅−= ∫∫ ˆ

➢ Si variamos el flujo magnético a través de una bobina con N vueltas, una fem inducida aparecerá en cada espiral y estas fems – como las fems de baterías conectadas en serie – se sumarán.

➢ Si la bobina fuese enrollada en forma compacta, de modo que el flujo a través de cada espiral sea el mismo, la fem inducida en la bobina será:

Ley de Faradaydt

dN mφξ −=

Ley de inducción de Faraday

Ley de Lenz (1834)

➢ Una corriente inducida surgirá en una espiral cerrada con un sentido tal que ella se opondrá a la variación que la generó (conservación de la energía).

➢ La Ley de Faraday dice que una tensión se desarrollará a través de un conductor cuando éste esté en un campo magnético cambiante (variable).

➢ La Ley de Lenz dice que la polaridad de la tensión inducida creada es tal que la corriente eléctrica resultante produce un campo magnético que se opone al campo magnético que lo creó.

Condensadores e inductores

Un condensador es un dispositivo que podemos usar, convenientemente, para producir un determinado campo eléctrico en una región del espacio.

De forma simimal, podemos definir un inductor como un dispositivo que podemos usar, convenientemente, para producir un determinado campo magnético en una región.

Condensador y su campo eléctrico asociado

Inductor y su campomagnético asociado

Inductancia

➢Poniendo cargas iguales u opuestas +q y -q sobre las placas de un condensador, se produce una diferencia de potencial V entre las placas.

➢La capacidad del condensador está definida por Faradios

➢Al establecer una corriente i en un inductor, surge, en cada una de sus espirales, un flujo magnético φ, debido a esa corriente y, decimos que las espirales están concatenadas por este flujo compartido. La inductancia del inductor es:

Donde N es el numero de espirales (vueltas)

El producto Nφ es denominado flujo concatenado➢La unidad de la inductancia es Tesla-metro2 por ampere (Tm2/A)

➢Esta unidad es denominada Henry (H) en homenaje a Joseph Henry, coautor de la ley de inducción.

VqC =

iNL φ=

Si dos bobinas, que ahora llamaremos inductores – estuvieran próximas una de otra, una corriente i en una bobina producirá un flujo magnético en la segunda bobina. Vimos que, si variamos este flujo variando la corriente, una fem inducida aparecerá en la segunda bobina, de acuerdo con la ley de Faraday. Además:

Tal proceso es denominado de auto inducción, y la fem que aparece es denominada fem auto-inducida. Ella obedece a la ley de la inducción de Faraday, como cualquier otra fem inducida lo hace.

Auto-inducción

Una fem inducida ξL surge en una bobina cuando variamos la corriente en esta misma bobina.

Una fem inducida ξL surge en una bobina cuando variamos la corriente en esta misma bobina.

Auto-inducción

➢Para cualquier inductor:

➢La ley de Faraday plantea:

➢Combinando (1) y (2), se tiene que la fem auto-inducida:

➢Luego, en un inductor cualquiera (bobina, solenoide), una fem auto-inducida surge siempre que la corriente varía con el tiempo. ➢La intensidad de la corriente no tiene ninguna influencia sobre el módulo de la fem inducida; solamente la tasa de variación de la corriente tiene importancia.

(1) LiNi

NL =⇒= φφ

(2) dt

dNL

φξ −=

dtdiLL −=ξ

Auto-inducción y ley de Lenz

El signo negativo de la ecuación representa el hecho de que – como la ley de Lenz afirma – la fem auto-inducida actúa de modo que se opone a la variación de corriente que la produce.

Supongamos que en la figura (a), se establece una corriente i en una bobina que está aumentando con el tiempo a una tasa di/dt. En la ley de Lenz, este aumento de corriente es la “variación” a la cual la fem auto-inducida se debe oponer.

Para eso, la fem auto-inducida tiene que aparecer en la bobina (en el sentido indicado en la figura), para que se oponga al aumento de la corriente.

Al disminuir la corriente con el tiempo, figura (b), la fem auto-inducida tiene que apuntar en un sentido que tienda a oponerse a su disminución, como muestra la figura.

Consideraciones sobre inductancias

Cuando un campo eléctrico y una fem son inducidos por un flujo magnético variable, no podemos definir un potencial eléctrico. Esto significa que no podemos definir el valor del potencial eléctrico en el interior del inductor, donde el flujo esta variando.

Sí podemos definir un potencial en puntos del circuito afuera de esa región, donde los campo eléctricos en el hilo y en otros elementos del circuito son causados por distribuciones de partículas cargadas.

Además, podemos definir una diferencia de potencial VL a través de un inductor (entre sus terminales que suponemos fuera de la región del flujo variable).

Cuando el inductor es un inductor ideal (los hilos presentan resistencia despreciable), el modulo VL es igual al modulo de la fem autoinducida ξL.

Al contrario, cuando el inductor tiene una resistencia r, lo separamos en una resistencia r (que tomamos fuera de la región de flujo variable) y un inductor ideal de fem ξL, como en el caso de la batería real.

Inductores

Un inductor está constituido usualmente por una cabeza hueca de una bobina de material conductor, típicamente alambre o hilo de cobre esmaltado.

Existen inductores con núcleo de aire o con núcleo de un material ferroso, para incrementar la inductancia.

Asociación de inductores: serie

Para un numero n de inductores conectados en serie: La magnitud di/dt es la misma para todos inductores. Por tanto, la fuerza electromotriz inducida en el sistema completo entre a y b se puede describir:

El valor V es precisamente el mismo si las dos autoinducciones se reemplazan por una única cuya inductancia equivalente de valor:

Si un circuito contiene n inductores en serie, la inducción total del circuito es la suma de todas inductancias Li, siempre cuando los inductores estén lo suficientemente lejos entre ellos, como para poder despreciar su inducción mutua.

dtdiL

dtdiL

dtdiLV

n

iin ∑−=−−−= ...1

∑=n

iiEq LL

Asociación de inductores: paralelo

➢ Considerando n inductores conectados en paralelo, suficientemente separados, con corriente variable i que fluye entre a y b.

➢ Puesto que la caída de voltaje entre los puntos a y b (es decir, la lectura de un voltímetro conectado entre estos puntos) debe ser la misma a través de cualquier trayectoria, las fuerzas contra-electromotrices inducidas en los inductores también deben ser la mismas.

dtdi

LV

dtdi

LV

dtdiL

dtdiLV

n

n

nn

=−

=−

===−

1

1

11 ...

Asociación de inductores: paralelo

Sumando las variaciones de corriente en cada inductor:

Si se sustituyen los inductores conectados en paralelo por un único inductor equivalente, la relación V y di/dt seía la misma si se satisface que:

++−=

−−−=++=

n

n

n

LLV

LV

LV

dtdi

dtdi

dtdi

1...1

.......

1

1

1

∑=n

i iEq LL11

Asociación de inductores, condensadores y resistencias

Serie Paralelo

Resistencia

Condensador

Inductor

21Eq C1

C1

C1 += 21Eq CCC +=

21Eq RRR +=21Eq R

1R1

R1 +=

21Eq LLL +=21Eq L

1L1

L1 +=

Circuito RL

Un retardo análogo ocurre en el aumento (o disminución) de la corriente, cuando se introduce (o se remueve) una fem en un circuito de malla única, compuesto por un inductor y resistencia (circuito RL).

Con el interruptor S se cierra en a, la corriente en la resistencia empieza a aumentar.

Sin el inductor, la corriente llegará a rápidamente (casi inmediatamente) a su valor estacionario ξ/R.

Circuitos RL

RL

L =τ

Analizando cuantitativamente: Ley de las mallas en el sentido horario:

Se debe buscar la función i(t) y la correspondiente primera derivada que satisfaga la ecuación anterior y su condición inicial i(0). (en analogía a la ecuacion de los circuitos RC) Se tiene la solución:

con

0=−−dtdiLiRV

−=

−=

−−L

tL

Rte

Re

Rti τξξ 11)(

Energía almacenada en un campo magnético

A partir del teorema de las mallas, laecuación de crecimiento de la corriente:

Multiplicando por i:

Cuando la carga dq atraviesa la “batería” (fem ξ) en un intervalo de tiempo dt, la batería realiza sobre ella un trabajo igual a ξdq. La tasa de este trabajo equivale a ξdq/dt (=ξi). Luego ξi es la tasa con que el dispositivo de fem transfiere energía al el circuito (término de la izquierda).El primer término de la derecha es la tasa con que la energía aparece en la forma de energía térmica en la resistencia.

iRdtdiL +=ξ

dtdiLiRii += 2ξ

Trabajo realizado por la fem:

La energía que no aparece como potencia disipada térmica queda almacenada en el campo magnético del inductor. Como la ecuación mencionada traduce la conservación de energía para circuitos RL, el último término debe representar la potencia “almacenada” en forma de campo magnético varía en función del tiempo, así:

Integrando

Esta energía representa la energía total almacenada por un inductor L transportando una corriente i

dtdiLiRii += 2ξ

LididUdtdiLi

dtdU

BB =⇒=

221

00

LiULididUU m

iU

mm

m

=⇒== ∫∫ Energía magnética

Energía almacenada en un campo magnético

Corriente alterna (CA)

Se denomina corriente alterna a la corriente eléctrica en que la magnitud y dirección varían cíclicamente.

La forma de onda mas comúnmente utilizada es la onda sinusoidal, puesto que se consigue una transmisión más eficiente de energía.

En ciertas aplicaciones se utilizan otras formas de onda periódicas, tales como la triangular o la cuadrada (pulsos, 1 ó 0).

CA es la forma en la cual la electricidad se entrega localmente.

A = Amplitud de la onda (Vp)

f = frecuencia en Hertz (50 ó 60 Hz)

T = periodo (s) ⇒ f = 1/T

ω = frecuencia angular (rad/s)

ω = 2πf

Vpp = diferencia entre el máx y mín = 2(Amplitud)

ms 20 Hz 50

11T ===f

En corriente alterna la tensión y corriente pueden ser descritas como:

Valor eficaz (Vrms): valor cuadrático medio

Se puede obtener el valor equivalente en corriente continua de un voltaje alterno. Este es el voltaje que será medido con el multímetro.

Su importancia se debe a que este valor es el que produce la misma pérdida de calor que su equivalente en corriente continua.

)()()()(

tAsentitAsentV

ωω

==

Corriente alterna (CA)

Matemáticamente, el valor eficaz de una magnitud variable con el tiempo, se define como :

De la misma forma, se puede mostrar que la corriente rms es:

Para una onda cuadrada:

Para un onda triangular simétrica:

2)(1 2

0

2 AtVVdtVT

V rms

T

rms ==⇒= ∫

2Airms =

AVrms =

3AVrms =

Corriente alterna (CA)

➢ Potencia eficaz:

➢ Una corriente alterna de magnitud irms tiene el “efecto” de una corriente continua de la misma magnitud, produciendo una potencia disipada promedio equivalente para ambas.

➢ De un punto de vista energético, es mejor hablar de voltaje rms, que de Vpp (peak to peak).

➢ Voltaje residencial = 220 V

RiRtitPRiP rms222 )()( ==⇒=

V 622 V 311222020

=⇒

====⇒

pp

rmsp

VVVV

Corriente alterna (CA)

Laboratorio 3

Generador de funciones Osciloscopio