Camp gravitatori

U N I T A T 2 : E L C A M P G R A V I T A T O R I

C o n s u e l o B a t a l l a G a r c í a

I N S Va l l d e m o s s a

B a r c e l o n a

Física 2n de Batxillerat

1 . - C o n c e p t e d e c a m p

2 . - C a m p g r a v i t a t o r i c r e a t p e r m a s s e s p u n t u a l s

3 . - R e p r e s e n t a c i ó d e l c a m p g r a v i t a t o r i

4 . - C a m p c r e a t p e r u n a d i s t r i b u c i ó c o n t í n u a d e

m a s s a

5 . - M o v i m e n t d e l s p l a n e t e s i d e l s s a t è l · l i t s

A d r e c e s w e b

B i b l i o g r a f i a

Índex

C a m p : r e g i ó d e l ’ e s p a i e n q u è s ’ a p r e c i a l ’ e f e c t ed ’ u n a p e r t o r b a c i ó .

S e g o n s e l t i p u s d e l a m a g n i t u d q u e d e f i n e i x l ap e r t o r b a c i ó e l s c a m p s p o d e n s e r :

• E s c a l a r s : l a m a g n i t u d q u e m e s u r a l a p e r t o r b a c i óé s e s c a l a r . P e r e x e m p l e , u n c a m p d e t e m p e r a t u r e so d e p r e s s i o n s .

• V e c t o r i a l s : l a m a g n i t u d q u e m e s u r a l ap e r t o r b a c i ó é s v e c t o r i a l . P e r e x e m p l e , u n c a m p d ef o r c e s g r a v i t a t ò r i e s o e l è c t r i q u e s .

Concepte de camp

C a m p g r a v i t a t o r i : r e g i ó d e l ’ e s p a i e n q u è s ’ a p r e c i a l ap e r t o r b a c i ó p r o v o c a d a p e r l a m a s s a d ’ u n c o s .

P e r q u è e l c a m p e s p o s i d e m a n i f e s t , c a l q u e s ’ i n t r o d u e i x ie n e l c a m p u n a l t r e c o s a m b m a s s a . L a i n t e r a c c i ó q u es ’ o r i g i n a é s u n a f o r ç a d ’ a t r a c c i ó g r a v i t a t ò r i a e n t r e e lc o s q u e c r e a e l c a m p i e l q u e h i i n t r o d u ï m .

Camp gravitatori creat per masses puntuals

C a m p c r e a t p e r u n c o s p u n t u a l d e m a s s a M

C a m p c r e a t p e r u n a d i s t r i b u c i ó d e m a s s e s p u n t u a l s

Intensitat del camp gravitatori en un punt

Intensitat del camp gravitatori en un punt, , és la força que elcos M exerceix sobre el cos de massa unitat que es col·loca enaquest punt:

La intensitat del camp gravitatori en un punt és la sumavectorial dels camps que crearien cadascuna d’aquestesmasses si estiguéssim soles en aquesta regió de l’espai(principi de superposició).

2

2

rG

r

GMmu

F GMrg g um m r

2

iTotal i ri

i i i

GMg g u

r

E l t r e b a l l q u e f a n l e s f o r c e s d e l c a m p g r a v i t a t o r i d e p è n d e l p u n t i n i c i a l i d e lp u n t f i n a l d e l d e s p l a ç a m e n t , n o d e l a t r a j e c t ò r i a

s e g u i d a . É s u n c a m p c o n s e r v a t i u .

Treball causat per les forces gravitatòries

• El treball de les forces del camp gravitatori al llarg d’una trajectòriatancada és zero.• Si rf < ri → Wi→f > 0. El treball de les forces del camp gravitatori éspositiu quan el cos que es desplaça s’acosta al que crea el camp.• Si rf > ri → Wi→f < 0. El treball de les forces del camp gravitatori ésnegatiu quan el cos que es desplaça s’allunya del que crea el camp.

2 2

f f fr

i fi i i

GMm u GMmW F dr dr dr

r r

2

1 1 1f

i fi

f i f i

GMm GMmW GMm dr GMm

r r r r r

i f

f i

GMm GMmW

r r

L ’ e n e r g i a p o t e n c i a l g r a v i t a t ò r i a , E p , : e n e r g i a q u e t é u n a m a s s a p e lf e t d e t r o b a r - s e s o t a l a i n f l u è n c i a g r a v i t a t ò r i a d ’ u n a a l t r a o d ’ u n e sa l t r e s . T a m b é e s d e f i n e i x c o m e l t r e b a l l q u e h a n d e f e r l e s f o r c e s d e lc a m p p e r p o r t a r - l a d e s d ’ a q u e s t p u n t f i n s a f o r a d e l c a m p a m bv e l o c i t a t c o n s t a n t :

É s u n a m a g n i t u d e s c a l a r . E n e l S I e s m e s u r a e n J o u l e s ( J ) .

Energia potencial gravitatòria

conservativos p i f pf pi

f i

GMm GMmW E W E E

r r

p

GMmE

r

Q u a n t e n i m u n s i s t e m a f o r m a t p e r d u e s p a r t í c u l e s , e l v a l o r d e l a s e v ae n e r g i a p o t e n c i a l é s :

S i t e n i m u n s i s t e m a f o r m a t p e r n p a r t í c u l e s , l a s e v a e n e r g i a s e r à l as u m a d e l ’ e n e r g i a d e t o t e s l e s p a r e l l e s q u e h i p o d e m f o r m a r :

Energia potencial d’un sistema de partícules

1 21,2

1,2

p

GM ME

r

1 2 1 3 2 3t 1,2 1,3 2,3

1,2 1,3 2,3

p p p

GM M GM M GM ME E E E

r r r

Q u a n u n c o s d e m a s s a m e s d e s p l a ç a d ’ u n p u n t a u n a l t r e p u n t d e lc a m p g r a v i t a t o r i c r e a t p e r u n a m a s s a M , l a s e v a e n e r g i a p o t e n c i a lv a r i a s e g o n s l ’ e x p r e s s i ó :

Diferència d’energia potencial

pf pi

f i

GMm GMmE E

r r

Si el cos de massa m s’acosta al cos que crea el camp (ri > rf):• El treball que fan les forces del camp és positiu.• El cos perd energia potencial.Si el cos de massa m s’allunya del cos que crea el camp (ri < rf):• El treball que fan les forces del camp és negatiu. Cal una força exterior perquè es produeixi

el desplaçament.• El cos guanya energia potencial.

Q u a n u n s i s t e m a e s t à s o t m è s n o m é s a l ’ a c c i ó d e f o r c e s c o n s e r v a t i v e s ,l a s e v a e n e r g i a m e c à n i c a e s c o n s e r v a :

Conservació de l’energia mecànicaen un camp gravitatori

M cf pf Ci piE E E E E

P o t e n c i a l e n u n p u n t (V ) é s l ’ e n e r g i a p o t e n c i a l q u e t é l a u n i t a t d em a s s a q u a n e s c o l · l o c a e n a q u e s t p u n t :

E l p o t e n c i a l é s u n a m a g n i t u d e s c a l a r j a q u e e n c a d a p u n t d e l c a m p ,e l p o t e n c i a l t é u n v a l o r . L a s e v a u n i t a t e n e l s i s t e m a i n t e r n a c i o n a l e sJ / k g .

E l p o t e n c i a l a l ’ i n f i n i t ( f o r a d e l c a m p ) é s z e r o , i e n q u a l s e v o l a l t r ep u n t d e l c a m p é s n e g a t i u , j a q u e l a f o r ç a g r a v i t a t ò r i a é s a t r a c t i v a .

Potencial gravitatori en un punt

p

GMmE GMrVm m r

Q u a n e n u n a r e g i ó d e t e r m i n a d a d e l ’ e s p a i s ’ a p r e c i a l ’ e f e c t e d ed i v e r s o s p u n t s m a t e r i a l s d e m a s s a M 1 , M 2 , M 3 , e t c . , e l p o t e n c i a lg r a v i t a t o r i e n u n p u n t P é s l a s u m a d e l s p o t e n c i a l s q u e c r e a r i e nc a d a s c u n d ’ a q u e s t s c o s s o s s i e s t i g u e s s i n t o t s s o l s e n a q u e s t a r e g i ó d el ’ e s p a i ( p r i n c i p i d e s u p e r p o s i c i ó ) .

C o m q u e e l p o t e n c i a l é s u n e s c a l a r , e l p o t e n c i a l t o t a l é s l a s u m ae s c a l a r d e l s p o t e n c i a l s c r e a t s p e r c a d a p u n t m a t e r i a l :

Potencial en un punt causat per una distribucióde masses puntuals

iTotal i

i i i

GMV V

r

C o n s i d e r a n t d o s p u n t s d ’ u n c a m p g r a v i t a t o r i , i i f , l a d i f e r è n c i a d ep o t e n c i a l e n t r e t o t s d o s , v f − v i , é s :

L a d i f e r è n c i a d e p o t e n c i a l g r a v i t a t o r i e n t r e d o s p u n t s é s i g u a l i d es i g n e c o n t r a r i a l t r e b a l l q u e f a n l e s f o r c e s d e l c a m p p e r t r a s l l a d a r l au n i t a t d e m a s s a e n t r e a q u e s t s p u n t s :

• S i r i > r f , Δ V < 0 . E n a c o s t a r - s e a l c o s q u e c r e a e l c a m p , e lp o t e n c i a l d i s m i n u e i x .

• S i r i < r f , Δ V > 0 . E n a l l u n y a r - s e d e l c o s q u e c r e a e l c a m p , e lp o t e n c i a l a u g m e n t a .

Diferència de potencial

f i

f i

GM GMV V V V

r r

i fWV

m

E l c a m p g r a v i t a t o r i e s p o t r e p r e s e n t a r g r à f i c a m e n td e d u e s m a n e r e s :

• L í n i e s d e c a m p .

• S u p e r f í c i e s e q u i p o t e n c i a l s .

Representació del camp gravitatori

L e s l í n i e s d e c a m p s ó n t a n g e n t s a l v e c t o r i n t e n s i t a t d e c a m p e n c a d a p u n t .E s d i b u i x e n d e m a n e r a q u e e l n o m b r e d e l í n i e s d e c a m p q u e t r a v e s s e n u n au n i t a t d e s u p e r f í c i e p e r p e n d i c u l a r a l e s l í n i e s é s p r o p o r c i o n a l a l ai n t e n s i t a t d e l c a m p e n e l p u n t .

• S i e l c a m p é s c r e a t p e r u n a ú n i c a m a s s a p u n t u a l , l e s l í n i e s d e

c a m p t e n e n d i r e c c i ó r a d i a l i s e n t i t c a p a l c o s q u e c r e a e l c a m p .

• E n u n c a m p c r e a t p e r d u e s m a s s e s , a l a z o n a i n t e r m è d i a l e s

l í n i e s e s d e f o r m e n . H i h a u n p u n t e n t r e l e s m a s s e s

o n e l c a m p é s n u l : s i l e s m a s s e s s ó n i g u a l s , e l p u n t

e s t r o b a a l m i g d e l e s d u e s m a s s e s , p e r ò s i u n a d e

l e s m a s s e s é s m é s g r a n q u e l ’ a l t r a , e l p u n t e s t à m é s

p r ò x i m a l c o s d e m a s s a m e n o r .

L e s l í n i e s d e c a m p n o e s p o d e n e n c r e u a r j a q u e s i d u e s

l í n i e s d e c a m p s ’ e n c r e u e s s i n , e n e l p u n t d e t a l l h i h a u r i a

d o s v a l o r s d ’ i n t e n s i t a t d e l c a m p g r a v i t a t o r i ,

Línies de camp

S u p e r f í c i e s e q u i p o t e n c i a l s : r e g i o n s d e l ’ e s p a i e n q u è e l p o t e n c i a lg r a v i t a t o r i t é e l m a t e i x v a l o r . P r t a n t , e l t r e b a l l n e c e s s a r i p e r d e s p l a ç a ru n a m a s s a d ’ u n p u n t d ’ u n a s u p e r f í c i e e q u i p o t e n c i a l a u n a l t r e é s n u l :

W i → f = - ( E p f - E p i ) = - ( m ⋅ V f - m ⋅ V i ) = 0

• L e s s u p e r f í c i e s e q u i p o t e n c i a l s n o e s p o d e n t a l l a r . S i h o f e s s i n , e l p u n td e t a l l h a u r i a d e t e n i r d o s v a l o r s d e p o t e n c i a l .

• L e s s u p e r f í c i e s e q u i p o t e n c i a l s s ó n p e r p e n d i c u l a r s

a l e s l í n i e s d e c a m p .

Superfícies equipotencials

C a m p g r a v i t a t o r i t e r r e s t r e :

• P e r a u n p u n t i n t e r i o r a l a T e r r a ( r < R ) :

D e n s i t a t , ρ = M ’ / V

V o l u m d ’ u n a e s f e r a ,

i →

P e r t a n t :

• P e r a u n p u n t e x t e r i o r a l a T e r r a ( r ’ > R ) :

Camp creat per una distribució contínua de massa

T2'

rM

g G ur

1 . - S a t è l · l i t s q u e o r b i t e n l a t e r r a

V e l o c i t a t o r b i t a l

P e r í o d e d e r e v o l u c i ó

S a t è l · l i t s g e o e s t a c i o n a r i s

2 . - E n e r g i a d e l s s a t è l · l i t s

V e l o c i t a t d e l l a n ç a m e n t p e r p o s a r e n ò r b i t a u ns a t è l · l i t .

E n e r g i a n e c e s s à r i a p e r e n v i a r u n s a t è l · l i t d ’ u n aò r b i t a a u n a a l t r a

V e l o c i t a t d ’ e s c a p a m e n t

Moviment dels planetes i dels satèl·lits

V e l o c i t a t o r b i t a l

S u p o s a n t q u e l ’ ò r b i t a é s c i r c u l a r , q u a n u n s a t è l · l i t g i r a a u n aa l t u r a h s o b r e l a s u p e r f í c i e d e l a T e r r a ,

• v : v e l o c i t a t o r b i t a l d e l c o s q u e g i r a .

• M T : m a s s a d e l a T e r r a.

• R T : r a d i d e l a T e r r a ( 6 . 3 7 0 k m ) .

• r : r a d i d e l ’ ò r b i t a q u e d e s c r i u , r = R T + h ,

o n h é s l ’ a l t u r a a l a q u a l e s t à s i t u a t p e r s o b r e d e l a

s u p e r f í c i e d e l a t e r r a .

Satèl·lits que orbiten la terra

2

2

T s sC G

M m m vF F G

r rT T

T

G M G Mv

r R h

P e r í o d e d e r e v o l u c i ó

E l p e r í o d e d ’ u n s a t è l · l i t q u e o r b i t a a u n a a l t u r a h é s :


22

2s sT T

C G

M m Mm vF F G v G

r rr

22 2 2 2

2

2 4; T

GMv r v r r

T rT

2 32 3 4 ( )4 T

T T

R hrT

G M G M

S a t è l · l i t g e o e s t a c i o n a r i o g e o s í n c r o n : o r b i t e n a l v o l t a n t d e l aT e r r a m a n t e n i n t - s e s e m p r e e n u n m a t e i x p u n t ; p e r t a n t , e l s e up e r í o d e d e r e v o l u c i ó h a d e s e r e l m a t e i x q u e e l d e l a T e r r a ( 2 3 , 9 8 h ) ih a d ’ o r b i t a r e n e l p l a d e l ’ e q u a d o r t e r r e s t r e .

S u s t i t u i n t l e s d a d e s G , M T i T = 2 3 , 9 8 h , o b t e n i m : r =

A l t u r a a l a q u a l o r b i t a s o b r e l a s u p e r f í c i e t e r r e s t r e :


22 33

2

4

4T

T

T G MrT r

G M

E n e r g i a m e c à n i c a :

E n u n s a t è l · l i t e n ò r b i t a : →

A i x ò e n s p e r m e t o b t e n i r u n a f o r m a m é s s i m p l i f i c a d a p e r al a s e v a E M :

Energia dels satèl·lits

212pM C

GMmE E E m v

r

G CF F2

22

M m v M mG m G m v

r rr

1 12 2M M

GMm GMm GMmE E

r r r

V e l o c i t a t d e l l a n ç a m e n t p e r p o s a r e n ò r b i t a u n s a t è l · l i t

A p l i c a c i ó d e l p r i n c i p i d e c o n s e r v a c i ó d e l ’ e n e r g i a :

E n l a p o s i c i ó 2 :

R e l a c i o n a n t l e s e q u a c i o n s a n t e r i o r s :

P e r t a n t , l a v e l o c i t a t d e l l a n ç a m e n t n e c e s s à r i a p e r p o s a r u n s a t è l · l i t e nò r b i t a é s :


1 2 1 1 2 2M M C p C pE E E E E E

2 2

1 2

1 1

2 2T

GMm GMmmv mv

R r2

2222C G

m vM m GMF F G v

r r r

2 2

1 1

1 1 12

2 2 2T T

GM GM GM GM GMv v

R r r R r

1

1 12

2T

v GMR r

E n e r g i a n e c e s s à r i a p e r e n v i a r u n s a t è l · l i t d ’ u n a ò r b i t a a u n aa l t r a

E n e r g i a d ’ u n s a t è l · l i t e n u n a ò r b i t a :

L ’ e n e r g i a n e c e s s à r i a p e r p a s s a r d ’ u n a ò r b i t a d e r a d i r 1 a u n a a l t r ad e r a d i r 2 , s i r 1 < r 2 é s :


21 1

2 2M C p

GMm GMmE E E m v

r r

2 1

2 1

1 1

2 2

GMm GMmE E E

r r

1 2

1 1 1

2E GMm

r r

V e l o c i t a t d ’ e s c a p a m e n t

V e l o c i t a t d ' e s c a p a m e n t é s l a m í n i m a v e l o c i t a t a m b q u e s ’ h a d e l l a n ç a r u nc o s v e r t i c a l m e n t c a p a m u n t , d e s d e l a s u p e r f í c i e d ' u n p l a n e t a , p e r t a l q u ee s c a p i d e l ' a t r a c c i ó g r a v i t a t ò r i a d e l p l a n e t a .

E n e r g i a t o t a l d ’ u n s a t è l · l i t q u e e s t à o r b i t a n t :

E l s a t è l · l i t s u r t d e l c a m p g r a v i t a t o r i q u a n r → ∞ , e l q u e f a q u e E M = 0 .

E n e l p u n t d e l l a n ç a m e n t c a l d r à c o m u n i c a r - l i u n a v e l o c i t a t q u e f a c i q u e :

R e o r d e n a n t l ’ e x p r e s i ó a n t e r i o r :


M

1

2

GMmE

r

210

2M C p

GMmE E E m v

r

escapament 2GM

vr

Adreces web

1. ÒRBITES DE PROJECTILS I SATÈL·LITS

http://www.colegioheidelberg.com/deps/fisicaquimica/applets/Orbitas%20de%20Proyectiles%20y%20satelites/projectileOrbit.html

Inclou un interessant applet que permet simular elllançament tant de projectils com de satèl·lits des de lasuperfície de la Terra.

2. CAMPS VECTORIALS

http://www.falstad.com/vector3d

Permet visualitzar camps vectorials de característiquesdiferents: lineals, radials, etc.

3. LA CONSTANT DE LA GRAVITACIÓ UNIVERSAL

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/ constante/constante.htm

En aquesta pàgina es descriu amb detall l’experiènciarealitzada per Cavendish i es proposa una experiènciavirtual amb l'objectiu de determinar el valor de G.

4. GRAVITACIÓ

http://www.xtec.es/~ocasella/applets/gravita/alumne2.html

Permet col·locar un o diversos planetes i visualitzar-neles línies de força, les superfícies equipotencials en dues ien tres dimensions.

5. ÒRBITES DE TRANSFERÈNCIA

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/kepler3/kepler3.html

Les òrbites de transferència de Hohman es fan servir perllançar sondes i naus espacials des d’un planeta cap a unaltre. L’objectiu és triar el moment del llançament i lavelocitat per estalviar combustible.

6. LLANÇAMENT DE SATÈL·LITS

http://www.mcasco.com/p1aso.html

Inclou un applet per situar un satèl·lit sobre la Terra illançarlo amb una velocitat inicial.

B a t a l l a G a r c í a , C . ; V i d a l F e r n á n d e z , M . C . ( 2 0 0 8 ) .F í s i c a 2 . B a r c e l o n a : G r u p P r o m o t o r S a n t i l l a n a

Bibliografia

Camp gravitatori

Education

Transcript of Camp gravitatori