CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES TECNOLÓGICOS

UNA NUEVA VARIABLE

UNA NUEVA RESTRICCIÓN

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

JULIETH CASTILLO LÓPEZ

ALINA MILANÉS IZQUIERDO

DOCENTE: PRUDENCIA MEDINA MONTERROSA

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS NOCTURNO

SÉPTIMO NIVEL

CARTAGENA DE INDIAS

2012

INTRODUCCIÓN

La solución óptima de una programación lineal se basa en una toma instantánea de las condiciones

que prevalecen en el momento de formular y resolver el modelo. En el mundo real, los ambientes de

decisión rara vez permanecen estáticos, es esencial determinar cómo cambia la solución óptima

cuando cambian los parámetros del modelo. Eso es lo que hace el análisis de sensibilidad.

El análisis de sensibilidad o postoptimal para los modelos de Programación Lineal, tiene por objetivo

identificas el impacto que resulta en los resultados del problema original, luego de determinadas

variaciones en los parámetros, variables o restricciones del modelo, sin que esto pase por resolver el

problema nuevamente.

Es decir, ya sea si resolvemos nuestro modelo gráficamente o utilizando el Método Simplex, lo que

se busca es que estas variaciones o sensibilidad hagan uso de la solución y valor óptimo actual, sin

tener la necesidad de resolver para cada variación un nuevo problema. En especial nos

concentraremos en el análisis de sensibilidad o postoptimal que hace uso de la tabla final del Método

Simplex.

CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES TECNOLÓGICOS

Unos de los puntos que hay que tener en cuenta cuando se va a analizar el cambio en los

coeficientes tecnológicos, es si los cambios ocurren en las variables básicas o en las no básicas, ya

que dependiendo de ello, se afecta o no la solución óptima que se tenga. Por ejemplo, si el cambio

se realiza a una variable no básica, seguramente al calcular su nuevo costo de oportunidad puede

resultar atractivo producir o no, ya que de obtenerse un costo de oportunidad positivo, el tablero que

hasta ese momento era óptimo, deja de serlo y se obtendría a través del cambio en los coeficientes

tecnológicos, una nueva solución.

Los coeficientes tecnológicos forman parte de los vectores asociados a las diferentes variables,

vectores Pi. Como la repercusión, según se trate de una variable básica o no básica, puede ser muy

distinta, se estudiarán los dos casos por separado.

VARIACIÓN EN UN COEFICIENTE TECNOLÓGICO DE UNA VARIABLE BÁSICA

Los cambios en un vector básico afectan tanto a las condiciones e optimalidad, como a las de

factibilidad, dado que el vector Pj pertenece a la matriz B, y por tanto, sus modificaciones pueden

afectar sustancialmente al problema actual.

Los cambios pueden ser múltiples, desde hacer que la matriz inicial B sea una matriz singular, y, por

tanto, sin inversa, hasta que las modificaciones de ésta mantengan la factibilidad y la optimalidad de

la solución actual. En el caso de que la matriz original B devenga de una matriz singular, ya no se

tiene procedimiento para poder continuar y la alternativa en este caso es reiniciar el problema de su

origen.

En el caso de que la matriz B siga siendo regular, y por tanto, sea posible obtener B-1, pueden darse

los casos siguientes:

- La solución actual sigue siendo factible y óptima:

XB = B-1 * B ≥ 0

WJ = CJ – (CBB-1PJ) ≤ 0

- La solución se mantiene como factible, pero deja de ser óptima; en este caso es posible seguir

iterando a través del método simplex, hasta encontrar la solución óptima.

XB = B-1 * B ≥ 0

WJ = CJ (CB B-1 PJ) > 0

- La solución es infactible, pero se verifica la condición de optimalidad; por tanto, la alternativa es

seguir el proceso explicado para esta situación, es decir, pasar al dual (factible pero no óptimo) y

seguir iterando por la vía del dual hasta encontrar la solución óptima, y una vez alcanzada esta

solución, regresar al programa primal para poder determinar su solución óptima.

XB = B-1 * B < 0

WJ = CJ – (CB B-1 PJ) ≤ 0

- Cuando la solución actual se convierte en infactible, y, además, no verifica las condiciones de

optimalidad, la alternativa más conveniente es iniciar nuevamente el proceso de obtención de la

solución.

XB = B-1 * B < 0

WJ = CJ – (CB B-1 PJ) > 0

VARIACIÓN EN UN COEFICIENTE TECNOLÓGICO DE UNA VARIABLE NO BÁSICA

El cambio en un coeficiente aij, afecta el vector PJ, y, por tanto, al correspondiente vector

transformado en la tabla óptima, dado que Pj’ = B-1 * Pj. Los cambios afectan a los rendimientos

indirectos de esta variable y por consiguiente a los rendimientos marginales, es decir, a la condición

de optimalidad:

Wj = cj – (cB B-1 Pj)

a. Si Wj es menor que cero, la solución actual seguirá siendo óptima.

b. Si Wj es cero, quiere decir que la solución actual es óptima, pero ya no es única, sino que existe

una solución alternativa a ésta.

c. Si Wj es mayor a cero, la solución actual deja de ser óptima y se deberá seguir iterando hasta

encontrar una nueva solución óptima.

Otra forma de investigar el efecto de los cambios en los coeficientes de la función objetivo, es

calcular el intervalo para el que cada coeficiente individual mantenga la solución óptima actual. Esto

se hace reemplazando el CJ actual con CJ + DJ, donde DJ representa la cantidad (positiva o

negativa) de cambio.

ADICIÓN DE UNA NUEVA VARIABLE

En el estudio y análisis de modelos matemáticos, como los que se ha visto en la asignatura

Investigación de Operaciones, puede ocurrir que después de obtenerse una solución al modelo, se

dan cuenta que se dejó de incluir un producto que, por las características que posea, va a originar

cambios en los resultados de la solución del problema inicial. Para esto, debemos evaluar si la

nueva variable es un aporte significativo a los resultados del modelo original.

Se puede observar cómo la introducción de nuevas variables crea nuevos vectores y, por tanto,

nuevos Cj – Zj, que pueden ser calculados por:

Cj – Zj = Cj – CB tB-1 Pj

Y nuevas columnas en las tablas del simplex, que pueden ser obtenidas por:

J = B-1 Pj

De esta forma, el método a seguir es inmediato, dado que si el nuevo término C j – Zj es negativo, la

variable introducida no modifica la estructura del problema. La nueva variable no ha de entrar en la

base, con lo que su nivel de utilización es cero.

Pero si Cj – Zj es positivo, entonces se introduce Pj en la base y se obtiene su nivel de utilización.

En el caso de Cj – Zj nulo, supone que la introducción de nueva variable no va a suponer cambio

alguno en Z0, y puede considerarse entonces como que no supone cambio en la estructura del

problema. La incorporación de una nueva variable al problema original produce un aumento de la

dimensionalidad de la tabla por la vía de las columnas. Para ver si esa adición altera la solución

actualmente óptima, hay que comprobar la condición de optimalidad de esa variable, ya que el

aumento de las columnas no afecta la condición de factibilidad de la tabla. La nueva variable

añadida Xk, llevará asociado su coeficiente en la función objetivo (Ck), y su vector de coeficientes

técnicos (Pk), y habremos de calcular su rendimiento marginal.

Si este rendimiento marginal es menor que cero, la solución actual se mantiene como óptima. Si se

anula el rendimiento marginal, significa que hay soluciones alternativas a la actual, pero con el

mismo valor de la función objetivo. En el supuesto que dicho rendimiento marginal sea positivo,

hemos de introducir la nueva variable en la tabla como variable básica y seguir iterando hasta

encontrar la nueva solución óptima. La tabla es óptima cundo todos los rendimientos marginales de

las variables no básicas son negativos.

INCLUSIÓN DE UNA NUEVA RESTRICCIÓN

Para saber si la actual solución y valor óptimo se mantendrá luego de incorporar una nueva

restricción al problema, se debe evaluar la solución actual y verificar si satisface la nueva restricción.

En caso afirmativo, la actual solución también lo será del problema con la nueva restricción; en caso

contrario, se incorpora la nueva restricción a la tabla final del simplex del escenario base.

En forma intuitiva, la adición sólo es deseable si es rentable, esto es, si mejora el valor óptimo de la

función objetivo. Como esa nueva actividad no es todavía parte de la solución, se puede considerar

como una variable no básica. Eso quiere decir que los valores duales asociados con la solución

actual permanecen invariables.

La introducción de una nueva restricción al problema original conlleva un aumento de la

dimensionalidad de la tabla por la vía de las filas, así como un aumento del número de variables

básicas. Por tanto, el aumento del número de filas no afecta a la condición de optimalidad, pero sí a

la de factibilidad. En términos de representación gráfica, las nuevas restricciones afectan al poliedro

que forman las restricciones de manera que éste se puede ver reducido o no, y, en consecuencia, la

actual solución, dejar de pertenecer al nuevo conjunto convexo.

Para analizar si las nuevas restricciones afectan a la solución actual, procederemos de la siguiente

manera:

Para la nueva restricción:

Se añade la correspondiente variable de holgura para convertirla en una igualdad, es decir:

Sustituyendo los valores de las variables Xj por sus valores en la solución óptima, podremos

determinar el valor de la variable Sk.

1. Si Skb > 0, la actual solución verifica la restricción, y, por tanto, continúa siendo óptima.

Únicamente se necesita una nueva variable básica que será.

2. Si Sk. = 0, la solución sigue siendo óptima, pero degenerada, ya que la nueva variable básica es

nula.

3. En caso de que Skb < 0, la solución actual no verifica la nueva restricción, y, por tanto, es infactible

para el nuevo problema, lo cual se puede resolver restituyendo la factibilidad por la vía del dual, es

decir, planteamos el programa dual asociado y para este programa la nueva restricción equivale a

introducir una variable adicional, para lo cual se procede con añadir nuevas variables. Una vez

alcanzada la solución óptima, y factible del dual, se tendrán que deshacer las transformaciones

realizadas, cociendo de nuevo al programa primal.

EJERCICIOS

Ejercicio No. 1

En el siguiente modelo, las variables de decisión corresponden a cuatro productos que se programa

producir; las restricciones corresponden a las disponibilidades de los recursos así: Horas hombre,

tiempo (horas) máquinas y disponibilidad monetaria en miles, para el presente período.

Zmax = 4000X1 + 6000X2 + 3000X3 + 1000X4

s.a.:

1.5X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 ≤ 550

4X1 + X2 + 2X3 + X4 ≤ 700

2X1 + 3X2 + X3 + 2X4 ≤ 200

X1, X2, X3, X4 ≥ 0

Último tablero simplex:

X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3

BASE Cj 4000 6000 3000 1000 0 0 0 SOLUCIÓN

X3 3000 0.05 0 1 0.5 0.3 0 - 0.2 125

S2 0 3.25 0 0 - 0.5 - 0.5 1 0 425

X2 6000 0.65 1 0 0.5 - 0.1 0 0.4 25

Zj 4050 6000 3000 4500 300 0 1800

Cj - Zj - 50 0 0 - 3500 - 300 0 - 1800 525000

0.3 0 - 0.2 550 125

- 0.5 1 0 700 425

- 0.1 0 0.4 200 25

1. ¿Si B1 se aumenta hasta un valor de 750, qué efecto produce en la solución? Establezca la nueva

solución.

125 + (0.3) Δ1 ≥ 0 → 0.3 Δ1 ≥ - 125 → Δ1 = - 416.67

425 + (- 0.5) Δ1 ≥ 0 → - 0.5 Δ1 ≥ - 425 → Δ1 = 850

25 + (- 0.1) Δ1 ≥ 0 → - 0.1 Δ1 ≥ - 25 → Δ1 = 250

- 416.67 ≤ Δ1 ≤ 250

(700 – 416.67) (700 – 250)

283.33 ≤ Δ1 ≤ 950

La solución continúa siendo factible, ya que 750 está dentro del intervalo de utilidad. La nueva

solución es:

0.3 0 - 0.2 750 185 X3

- 0.5 1 0 700 325 S2

- 0.1 0 0.4 200 5 X2

Zmax = 4000(0) + 6000(5) + 3000(185) + 1000(0) = $585.000

2. ¿Qué tan grande debe ser C1 antes de que cambie el vector solución?

C1 → Δ1 ≤ 50

Para que siga siendo no básica, es decir, que cambie y sólo puede llegar a 4050, si se pasa de este

valor la solución cambia.

¿Cuál es el intervalo de variación para el producto 3?

C3 = 3000 → C’3 = 3000 + Δ3

- 50 + 0.05 Δ3 ≥ 0 → 0.05 Δ3 → 50 → Δ3 = - 1000

- 3500 + 0.5 Δ3 ≥ 0 → 0.5 Δ3 → 3500 → Δ3 = - 7000

- 300 + 0.3 Δ3 ≥ 0 → 0.3 Δ3 → 300 → Δ3 = - 1000

- 1800 + (- 0.2 9 Δ3 ≥ 0 → - 0.2 Δ3 → 1800 → Δ3 = 9000

- 1000 ≤ Δ3 ≤ 9000

(3000 – 1000) ≤ Δ3 ≤ (3000 + 9000)

2000 ≤ Δ3 ≤ 12000

3. Cómo se afecta la solución actual si se fabrica un nuevo producto cuya utilidad es $5.000 y los

coeficientes tecnológicos son (1, 3, 2) respectivamente.

- 300 0 - 1800 (1, 3, 2) + 5000 = 1100

0.3 0 - 0.2 1 - 0.1

- 0.5 1 0 3 2.5

- 0.1 0 0.4 2 0.7

X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3

BASE Cj 4000 6000 3000 1000 5000 0 0 0 SOLUCIÓN

X3 3000 0.05 0 1 0.5 - 0.1 0.3 0 - 0.2 125

S2 0 3.25 0 0 - 0.5 2.5 - 0.5 1 0 425

X2 6000 0.65 1 0 0.5 0.7 - 0.1 0 0.4 25

Zj 4050 6000 3000 4500 3900 300 0 1800

Cj - Zj - 50 0 0 - 3500 1100 - 300 0 - 1800 525000

X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3

BASE Cj 4000 6000 3000 1000 5000 0 0 0 SOLUCIÓN

X3 3000 1/7 1/7 1 4/7 0 2/7 0 - 1/7 128.57

S2 0 13/14 - 25/7 0 - 16/7 0 - 1/7 1 - 10/7 335.72

X5 6000 13/14 10/7 0 5/7 1 - 1/7 0 4/7 35.71

Zj 5071.43 7571.43 3000 5285.71 5000 142.86 0 2428.57

Cj - Zj - 1071.43 - 1571.43 0 - 4285.71 0 - 142.86 0 - 2428.57 564260

Con la fabricación del nuevo producto, aumenta la utilidad en $39.260, pasa de $525.000 a

$564.260.

4. Cómo se afecta la solución actual si los coeficientes tecnológicos del producto 1 cambian a (1.2,

2, 1.5). Interprete la solución.

- 300 0 - 1800 (1.2, 2, 1.5) + 4000 = 940

0.3 0 - 0.2 1.2 1.6

- 0.5 1 0 2 1.4

- 0.1 0 0.4 1.5 0.48

X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3

BASE Cj 4000 6000 3000 1000 0 0 0 SOLUCIÓN

X3 3000 0.06 0 1 0.5 0.3 0 - 0.2 125

S2 0 1.4 0 0 - 0.5 - 0.5 1 0 425

X2 6000 0.48 1 0 0.5 - 0.1 0 0.4 25

Zj 3060 6000 3000 4500 300 0 1800

Cj - Zj 940 0 0 - 3500 - 300 0 - 1800 525000

X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3

BASE Cj 4000 6000 3000 1000 0 0 0 SOLUCIÓN

X3 3000 0 - 1/8 1 7/16 5/16 0 - 1/4 121.87

S2 0 0 - 35/12 0 - 47/24 - 5/24 1 - 7/6 352.09

X1 4000 1 25/12 0 25/24 - 5/24 0 5/6 52.08

Zj 4000 7958.33 3000 5479.17 104.17 0 2583.33

Cj - Zj 0 - 1958.33 0 - 4479.17 - 104.17 0 - 2583.33 573930

Si los coeficientes tecnológicos del producto 1 cambian, modifica la solución óptima inicial

aumentando la utilidad en $48.930 en la nueva solución, pasando de $525.000 a $573.930.

Ejercicio No. 2

En el siguiente modelo, las variables de decisión corresponden a cuatro productos que se programa

producir; las restricciones corresponden a las disponibilidades de los recursos así: Horas hombre,

tiempo (horas) máquinas y disponibilidad monetaria en miles, para el presente período.

Zmax = 2500X1 + 5000X2 + 3000X3 + 2000X4

s.a.:

1.5X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 ≤ 550

4X1 + X2 + 2X3 + X4 ≤ 700

X1 + 3X2 + X3 + 2X4 ≤ 200

X1, X2, X3, X4 ≥ 0

Último tablero simplex:

X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3

BASE Cj 2500 5000 3000 2000 0 0 0 SOLUCIÓN

X3 3000 0 - 1 1 0 0.4 0 - 0.6 100

S2 0 0 - 13 0 - 7 0.8 1 - 5.2 100

X1 2500 1 4 0 2 - 0.4 0 1.6 100

Zj 2500 7000 3000 5000 200 0 2200

Cj - Zj 0 - 2000 0 - 3000 - 200 0 - 2200 550000

Para hallar coeficientes X1

0.4 0 - 0.6 1.5 0

0.8 1 - 5.2 4 0

- 0.4 0 1.6 1 1

Para hallar solución

0.4 0 - 0.6 550 100

0.8 1 - 5.2 700 100

- 0.4 0 1.6 200 100

1. ¿Qué pasa con la solución actual si la utilidad del producto 3 aumenta en 300? Interprete la

solución del problema primo.

Para X3 C3 = 3000

- 200 + (- 0.4) Δ3 ≥ 0 → - 0.4 Δ3 ≥ 200 → Δ3 = - 500

- 2200 + 0.6 Δ3 ≥ 0 → 0.6 Δ3 ≥ 2200 → Δ3 = 3666.67

- 500 + (- 0.1) Δ1 ≥ 0 → - 0.1 Δ1 ≥ - 25 → Δ1 = 250

- 500 ≤ Δ3 ≤ 3666.67

(3000 – 500) (3000 + 3666.67)

2500 ≤ Δ3 ≤ 6666.67

X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3

BASE Cj 2500 5000 3300 2000 0 0 0 SOLUCIÓN

X3 3300 0 - 1 1 0 0.4 0 - 0.6 100

S2 0 0 - 13 0 - 7 0.8 1 - 5.2 100

X1 2500 1 4 0 2 - 0.4 0 1.6 100

Zj 2500 6700 3300 5000 320 0 2020

Cj - Zj 0 - 1700 0 - 3000 - 320 0 - 2020 580000

X1 = 100 Unidades del producto 1 se programarían a producir

X2 = 0

X3 = 100 Unidades del producto 3 se programarían a producir

X4 = 0

S1 = 0

S2 = 100 Horas máquina disponible

S3 = 0

Zmax = $580.000

En la solución actual la utilidad aumenta en $30.000

2. ¿Qué pasa con la solución actual si la disponibilidad del recurso 1 cambia a 250? Establezca el

intervalo de solución. Interprete la nueva solución.

b1 = 550 b’1 = 250

100 + 0.4 Δ1 ≥ 0 → 0.4 Δ1 ≥ - 100 → Δ1 = - 250

100 + 0.8 Δ1 ≥ 0 → 0.8 Δ1 ≥ - 100 → Δ1 = - 125

100 + (- 0.4) Δ1 ≥ 0 → - 0.4 Δ1 ≥ - 100 → Δ1 = 250

- 125 ≤ Δ1 ≤ 250

(550 – 125) (550 + 250)

425 ≤ Δ1 ≤ 800

La solución no es factible porque los 250 no están dentro del intervalo de variación.

3. ¿Qué pasa con la solución actual si los coeficientes tecnológicos del producto 1 cambia a (1, 4,

1).

- 200 0 - 2200 (1, 4, 1) + 2500 = 100

0.4 0 - 0.6 1 - 0.2

0.8 1 - 5.2 4 - 0.4

- 0.4 0 1.6 1 1.2

X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3

BASE Cj 2500 5000 3000 2000 0 0 0 SOLUCIÓN

X3 3000 - 0.2 - 1 1 0 0.4 0 - 0.6 100

S2 0 - 0.4 - 13 0 - 7 0.8 1 - 5.2 100

X1 2500 1.2 4 0 2 - 0.4 0 1.6 100

Zj 2400 7000 3000 5000 200 0 2200

Cj - Zj 100 - 2000 0 - 3000 - 200 0 - 2200 550000

X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3

BASE Cj 2500 5000 3000 2000 0 0 0 SOLUCIÓN

X3 3000 0 - 0.33 1 0.33 0.33 0 - 0.33 1116.67

S2 0 0 - 11.67 0 - 6.33 0.67 1 - 4.67 133.33

X1 2500 1 3.33 0 1.67 - 0.33 0 1.33 83.33

Zj 2500 7333.33 3000 5166.67 166.67 0 2333.33

Cj - Zj 0 - 2333.33 0 - 3166.67 - 166.67 0 - 2333.33 558333.33

La solución actual cambia, incrementándose la utilidad en $8.333,33, pasando de $550.000 a

$558.333,33.

4. La empresa quiere producir un nuevo producto con una utilidad de $4000 y unos coeficientes de

(2, 3, 1). ¿Conviene o no?

- 200 0 - 2200 (2, 3, 1) + 4000 = 1400

0.4 0 - 0.6 2 0.2

0.8 1 - 5.2 3 - 0.6

- 0.4 0 1.6 1 0.8

X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3

BASE Cj 2500 5000 3000 2000 4000 0 0 0 SOLUCIÓN

X3 3000 0 - 1 1 0 0.2 0.4 0 - 0.6 100

S2 0 0 - 13 0 - 7 - 0.6 0.8 1 - 5.2 100

X1 2500 1 4 0 2 0.8 - 0.4 0 1.6 100

Zj 2500 7000 3000 5000 2600 200 0 2200

Cj - Zj 0 - 2000 0 - 3000 1400 - 200 0 - 2200 550000

X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3

BASE Cj 2500 5000 3000 2000 4000 0 0 0 SOLUCIÓN

X3 3000 - 0.25 - 2 1 - 0.5 0 0.5 0 - 1 75

S2 0 0.75 - 10 0 - 5.5 0 0.5 1 - 4 175

X5 4000 1.25 5 0 2.5 1 - 0.5 0 2 125

Zj 4250 14000 3000 8500 4000 - 500 0 5000

Cj - Zj - 1750 - 9000 0 - 6500 0 500 0 - 5000 725.000

X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3

BASE Cj 2500 5000 3000 2000 4000 0 0 0 SOLUCIÓN

S1 0 - 1 - 4 2 - 1 0 1 0 - 2 150

S2 0 1 - 8 - 1 - 5 0 0 1 - 3 100

X5 4000 1 3 1 2 1 0 0 1 200

Zj 4000 12000 4000 8000 4000 0 0 4000

Cj - Zj - 1500 - 7000 - 1000 - 6000 0 0 0 - 4000 800.000

Si resulta conveniente producir el nuevo producto, pues la utilidad aumenta en $250.000, pasando

de $550.000 a $800.000.

Ejercicio No. 3

X1 = Unidades del producto 1 a producir / día

X2 = Unidades del producto 2 a producir / día

X3 = Unidades del producto 3 a producir / día

Zmax = 800X1 + 1200X2 + 1000X3 $/día

s.a.:

3X1 + 4X2 + 2X3 ≤ 60 Unidades / día

9X1 + 4X2 + 16X3 ≤ 242 Horas / día

X1 + 4X2 + 6X3 ≤ 125 Horas / día

X1, X2, X3 ≥ 0

Último tablero simplex maximización:

X1 X2 X3 S1 S2 S3

BASE Cj 800 1200 1000 0 0 0 SOLUCIÓN

X2 1200 1/4 1 0 2/7 - 1/28 0 8.5

X3 1000 1/2 0 1 - 1/14 1/14 0 13

S3 0 1 0 0 - 5/7 - 2/7 1 13

Zj 800 1200 1000 271.43 28.57 0

Cj - Zj 0 0 0 - 271.43 - 28.57 0 23200

2/7 - 1/28 0 60 8.5

- 1/14 1/14 0 242 13

- 5/7 - 2/7 1 125 13

1. ¿Cómo se afecta la solución actual si se fabrica un nuevo producto cuya utilidad es 1300 y los

coeficientes tecnológicos son (1, 6, 3)?.

- 271.43 -28.57 0 (1, 6, 3) + 1300 = 857.15

2/7 - 1/28 0 1 1/14

- 1/14 1/14 0 6 5/14

- 5/7 - 2/7 1 3 4/7

X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3

BASE Cj 800 1200 1000 1300 0 0 0 SOLUCIÓN

X2 1200 1/4 1 0 1/14 2/7 - 1/28 0 8.5

X3 1000 1/2 0 1 5/14 - 1/14 1/14 0 13

S3 0 1 0 0 4/7 - 5/7 - 2/7 1 13

Zj 800 1200 1000 448.85 271.43 28.57 0

Cj - Zj 0 0 0 857.15 - 271.43 - 28.57 0 23200

X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3

BASE Cj 800 1200 1000 1300 0 0 0 SOLUCIÓN

X2 1200 0.13 1 0 0 3/8 0 - 1/8 6.88

X3 1200 - 0.13 0 1 0 3/8 1/14 - 5.8 4.88

X4 1300 1.75 0 0 1 - 1.25 - 0.5 1.75 22.75

Zj 2300 1200 1000 1300 - 800 - 400 1500

Cj - Zj - 1500 0 0 0 800 400 1500 42700

X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3

BASE Cj 800 1200 1000 1300 0 0 0 SOLUCIÓN

X2 1200 0.25 1 - 1 0 0 - 0.25 0.5 2

S1 0 - 1/3 0 2.67 0 0 2/3 - 1.67 13

X4 1300 1.33 0 3.33 1 0 1/3 - 1/3 39

Zj 2033 1200 3133 1300 0 133.33 166.6

Cj - Zj - 1233 0 - 2133 0 0 - 133.33 - 166.6 53100

Es conveniente producir el nuevo producto, pues cambia la solución, aumentando la utilidad en

$29.900, pasando de $23.200 a $53.100.

2. ¿Cómo se afecta la solución actual se la disponibilidad del recurso 1 disminuye en 20 horas?

Hallar el intervalo de variación. Interprete la solución.

b1 = 60 b’1 = 40

8.5 + 2/7 Δ1 ≥ 0 → 2/7 Δ1 ≥ - 8.5 → Δ1 = - 29.75

13 + (- 1/14) Δ1 ≥ 0 → - 1/14 Δ1 ≥ - 13 → Δ1 = 182

13 + (- 5/7) Δ1 ≥ 0 → - 5/7 Δ1 ≥ - 13 → Δ1 = 18.2

- 29.75 ≤ Δ1 ≤ 18.2

(60 – 29.5) (60 + 18.2)

30.25 ≤ Δ1 ≤ 78.2

La solución actual sigue siendo factible, pues la disminución a 40 unidades sigue dentro del intervalo

de utilidad. La nueva solución quedaría así:

2/7 - 1/28 0 40 2.78 X2

- 1/14 1/14 0 242 13 X3

- 5/7 - 2/7 1 125 13 S3

Zmax = 800 (0) + 1200 (2.78) + 1000 (13) = 16336

3. ¿Qué pasaría con la solución actual si la utilidad del producto aumenta en $300? Establezca el

intervalo de variación, interprete la nueva solución, si existe.

C1 = 800 C’1 = 1100

Δ1 < 0 Variación para que la solución siga siendo óptima

C1 ≤ 800 Utilidad para que la solución actual cambie, por lo tanto, al incrementarse en $300, la

variable X1 se vuelve óptima y se sigue el tablero.

X1 X2 X3 S1 S2 S3

BASE Cj 1100 1200 1000 0 0 0 SOLUCIÓN

X2 1200 1/4 1 0 2/7 - 1/28 0 8.5

X3 1000 1/2 0 1 - 1/14 1/14 0 13

S3 0 1 0 0 - 5/7 - 2/7 1 13

Zj 800 1200 1000 271.43 28.57 0

Cj - Zj 300 0 0 - 271.43 - 28.57 0 23200

X1 X2 X3 S1 S2 S3

BASE Cj 1100 1200 1000 0 0 0 SOLUCIÓN

X2 1200 0 1 0 1/2 0 1/4 2

X3 1000 0 0 1 2/7 1/5 - 1/2 6.5

X1 1100 1 0 0 - 0.714 - 0.286 1 13

Zj 1100 1200 1000 57.142 - 57.142 300

Cj - Zj 0 0 0 - 57.142 57.142 - 300 25150

X1 X2 X3 S1 S2 S3

BASE Cj 1100 1200 1000 0 0 0 SOLUCIÓN

X2 1200 0 1 0 1/2 0 - 1/4 2

S2 0 0 0 5 1.43 1 - 2.5 32.5

X1 1100 1 0 1.43 - 0.3 0 0.285 22.29

Zj 1100 1200 1573 270 0 13.5

Cj - Zj 0 0 - 573 - 270 0 - 13.5 26919

La utilidad aumenta en $3.719, pasando de $23.200 a $26.919.

BIBLIOGRAFÍA

TAHA, Hamdy A. Investigación de Operaciones. Séptima edición. Pearson Education. México: 2004.

http://programacionlineal.net/sensibilidad.html