Cálculos Ingeniería

INTRODUCCION A LA

INGENIERIA QUIMICA

CAPITULO IVINTRODUCCION A LOS CALCULOS EN

INGENIERIA

Poseer la habilidad numérica en un elevado grado es un requisito indispensable para tener éxito como ingeniero.

En este capítulo se verá los convenios y definiciones que forman la base del análisis ingenieril. Aprenderemos las técnicas básicas para expresar los valores de las variables del sistema y para establecer y resolver ecuaciones que relacionen estas variables. Es decir cómo se puede expresar las propiedades de un sistema utilizando el lenguaje matemático o cómo los procesos físicos y químicos se transforman en matemáticas.

INTRODUCCION A LOS CALCULOS EN INGENIERIA

Los cálculos en ingeniería requieren el manejo de números. La mayoría de estos números representan la magnitud de las variables físicas medidas como masa, longitud, tiempo, velocidad, área, viscosidad, temperatura, densidad y otras.

Siete son las variables físicas existentes en el mundo, las veremos en la siguiente Tabla, seleccionadas por acuerdo internacional como base para las medidas.

Además se utilizan dos unidades adicionales para definir cantidades angulares .

VARIABLES FISICAS, DIMENSIONES Y UNIDADES

Unidad fundamental

Símbolo de la dimensión

Unidad en SI Símbolo de la Unidad

Longitud L Metro m

Masa M Kilogramo kg

Tiempo T Segundo s

Corriente eléctrica I Amperio A

Temperatura Kelvin K

Cantidad de sustancia N Gramo- mol Mol o g/mol

Intensidad luminosa J Candela cd

Unidades adicionales

Angulo plano Radian Rad

Angulo solido Esterorradian Sr

TABLA: UNIDADES FUNDAMENTALES

UNIDAD.- Es una forma de expresar algo, por ejemplo el valor numérico 3.96 debe llevar la unidad expresada: 3.96 metros, 3.96 kilogramos, 3.96 segundos.

DIMENSION.- Es una propiedad que puede medirse, como la longitud, el tiempo, la masa, temperatura o puede calcularse multiplicando o dividiendo otras dimensiones como longitud/tiempo (velocidad) y otros

UNIDADES Y DIMENSIONES

Desde los albores de las primeras civilizaciones, el ser humano usó medidas básicas para las principales magnitudes que debía medir diariamente: distancia, tiempo, peso, volumen.

Los primeros sistemas de medida tomaban como referencias básicas las partes del cuerpo humano: la unidad para medir la distancia se basaba en el tamaño del dedo pulgar (pulgada) o el tamaño del pie (pie) o de un brazo (brazada).

Las sucesivas convenciones mundiales refinaron el sistema métrico. Hoy se define el metro como la “distancia recorrida por un rayo de luz en el vacío durante un intervalo de tiempo.

Posteriormente este sistema fue racionalizado y se adoptó como estándar internacional el “SI” (Sistema Internacional de Unidades), los nombres de las unidades y sus abreviaturas han sido estandarizadas de acuerdo con el convenio SI.

SISTEMA DE UNIDADES

FACTOR PREFIJO SIMBOLO FACTOR PREFIJO SIMBOLO

10 –1 Deci D 10 18 exa E

10 –2 Centi C 10 15 peta P

10 –3 Mili M 10 12 tera T

10 –6 Micro 10 9 giga G

10 –9 Nano N 10 6 mega M

10 –12 Pico P 10 3 kilo k

10 –15 Femto F 10 2 hecto h

10 –18 Atto A 10 1 deca da

PREFIJOS DEL SISTEMA SI

Una referencia para tener una idea del significado de prefijos, por ejemplo, con el prefijo femto “f” (10 -15) se mide la masa en kg de una célula. Con el prefijo exa “E” 1018 se mide la masa en kg de la atmósfera de la Tierra.

SISTEMA DE UNIDADES

Un sistema de unidades tiene los siguientes componentes:Unidades básicas o fundamentales para las

dimensiones de masa, longitud, tiempo, temperatura, corriente eléctrica o intensidad de la luz.

Múltiplos de unidades que se definen como múltiplos o fracciones de las unidades básicas, como los minutos, las horas y los milisegundos. Los múltiplos se definen más por conveniencia que por necesidad. Es más fácil referirse a 5 años que 157680000 s.

Unidades derivadas, que se obtienen de dos formas:

Multiplicando y dividiendo las unidades básicas o múltiplos (cm2 ft/min, kg.m/s2, etc), este tipo se conoce como unidades compuestas. Como equivalentes de las unidades compuestas: 1 ergio = 1 g cm / s2 1 lb f = 32.174 lbm ft/ s2

SISTEMA DE UNIDADES

MAGNITUDES FISICAS Y SU MEDICION

Desde tiempos muy remotos el hombre ha tenido la necesidad de medir, es decir, saber cuál es la magnitud de un objeto comparándolo con otro de la misma especie que le sirva de base o patrón, pero el problema ha sido encontrar el patrón de medida. Por ejemplo, se habló de codos, varas, pies y jemes (distancia entre el dedo índice y pulgar al estar estirada la mano) para medir longitud; cuarterones, arrobas, quintales y cargas para medir masa; y lunas, soles y lustros para medir tiempo .

CONVERSION DE UNIDADES

Durante el siglo II a.C. y hasta el siglo IV de nuestra era, a causa del dominio que ejercía el Imperio Romano y al deseo de unificar las unidades empleadas, implantaron la libra como unidad de masa y la barra de bronce, llamada pie, como unidad de longitud. En la edad media, siglo V al siglo XV d.C. vuelve la anarquía en las unidades de medida. En 1795 se implanta el Sistema Métrico Decimal como resultado de la Convención Mundial de Ciencia efectuada en Francia. Las unidades fundamentales fueron: el metro, el kilogramo - peso y el litro.

HISTORIA DE LAS UNIDADES EMPLEADAS

En 1881 se adopta el Sistema Cegesimal o CGS propuesto por el físico alemán Karl Gauss en el Congreso Internacional de los Electricistas realizado en París, Francia. Las unidades fundamentales fueron: centímetro, gramo-masa y segundo.

En 1935 se adopta el Sistema MKS propuesto por el ingeniero italiano Giovanni Giorgi en el Congreso Internacional de los Electricistas realizado en Bruselas, Bélgica. Las unidades fundamentales fueron: metro, kilogramo-masa y segundo.


En virtud de que en el mundo científico se buscaba uniformidad en un solo sistema de unidades que resultara práctico, claro y acorde con los avances de la ciencia, en 1960 científicos y técnicos de todo el mundo se reunieron en Ginebra, Suiza, y acordaron adoptar el llamado: Sistema Internacional de Unidades (SI). Este sistema se basa en el llamado MKS cuyas iniciales corresponden a metro, kilogramo y segundo. El sistema Internacional tiene como magnitudes y unidades fundamentales las siguientes: para longitud al metro (m), para masa al kilogramo (kg), para tiempo al segundo (s), para temperatura al kelvin (k), para intensidad de corriente eléctrica al ampere (A), para intensidad luminosa la candela (cd) y para cantidad de sustancia al mol.


El sistema Internacional que en conjunto muchos países, aceptó y adoptó es el que esperamos se use en todo el mundo, evitando así la problemática histórica de batallar con múltiples unidades de medida para una misma magnitud física; la de tener que convertirlas de un sistema a otro para poder interpretarlas correctamente.

El empleo del SI como único sistema que el hombre utilice a nivel científico y comercial en todo el mundo, representa no sólo el avance de la ciencia, sino también la posibilidad de emplear un lenguaje específico para expresar cada magnitud física en una unidad de medida basada en definiciones precisas respecto a fenómenos y situaciones naturales .


Reciben el nombre de magnitudes fundamentales aquellas que no se definen en función de otras magnitudes físicas y, por tanto, sirven de base para obtener las demás magnitudes utilizadas en la Física.

Existen siete magnitudes fundamentales: longitud, masa, tiempo, temperatura, intensidad de corriente eléctrica, intensidad luminosa y cantidad de sustancia

MAGNITUDES FUNDAMENTALES

Las magnitudes derivadas resultan de multiplicar o dividir entre si las magnitudes fundamentales. Por ejemplo al multiplicar la magnitud fundamental longitud por sí misma nos da como resultado longitud al cuadrado (LL= ) equivalente a la magnitud derivada área o superficie.

Lo mismo sucede con la velocidad, aceleración, fuerza, trabajo y energía, presión, potencia, densidad, etc., que reciben el nombre de magnitudes derivadas porque se obtienen a partir de las fundamentales.

MAGNITUDES DERIVADAS

Reciben el nombre de Sistemas de Unidades Absolutos aquellos que como una de sus magnitudes fundamentales utilizan a la masa y no al peso ya que éste es considerado una magnitud derivada. En el siguiente cuadro se tienen algunas magnitudes y sus unidades en el Sistema Internacional (SI), el sistema CGS y el Sistema Inglés, todos ellos sistemas absolutos. Observemos que en este cuadro sólo se trabaja con tres magnitudes fundamentales: longitud, masa y tiempo, y todas las demás son derivadas de ellas, pues se obtienen al multiplicar o dividir entre sí a esas tres magnitudes.

SISTEMAS DE UNIDADES ABSOLUTOS

MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS

Además de los tres sistemas de Unidades Absolutas ya señalados, existen los Sistemas de Unidades Técnicos, también llamados Gravitacionales o de Ingeniería, mismos que se caracterizan porque utilizan el peso como magnitud fundamental y a la masa la consideran una magnitud derivada.

El Sistema MKS Técnico o Gravitacional (MKSg) y el Sistema Británico Gravitacional (Sbg) o Sistema Inglés Técnico son los más utilizados, ambos tienden a desaparecer por la complejidad de su manejo, dando paso al Sistema Internacional de Unidades (SI) de cuyas ventajas cada día se convencen más los británicos y los estadounidenses, quienes aún no lo adoptan por completo.

SISTEMAS DE UNIDADES TÉCNICOS O GRAVITACIONALES

MAGNITUDES Y UNIDADES SISTEMA MKSG Y SBG

La equivalencia entre la unidad de peso o fuerza en el sistema MKSg y el Sbg es la siguiente: 1 kg = 2.2 lb1lb = 0.454 kg

Un kgf es la fuerza que le imprime a una masa de 1kg una aceleración de 9.8 m / Por tanto, utilizando la expresión F = m.a tenemos:

1 kgf = 1 kg x 9.8 m/= 9.8 kg m/

donde: 1 kgf = 9.8 N

En virtud de la existencia de varios sistemas de unidades, todos ellos de uso actual, frecuentemente es necesario convertir unidades de un sistema a otro; para ello, es indispensable tener presentes las siguientes equivalencias

CONVERSIÓN DE UNIDADES DE UN SISTEMA A OTRO

Paso 1. Se escribe la cantidad con la unidad de medida que se desea convertir: 5m

Paso 2. Se pone el signo de multiplicación y una raya de quebrado, ambos signos nos indicarán que haremos dos operaciones, una de multiplicación y otra de división. 5m x ----

Paso 3. Recordamos la equivalencia entre las dos unidades involucradas, es decir, la que vamos a convertir y la que deseamos obtener; con ello encontraremos el llamado factor de conversión.

Paso 4. Una vez obtenido cualquiera de los factores de conversión, bastará seleccionar aquél en que al hacer nuestras operaciones pueda eliminarse la unidad de la que se desea convertir .

PASOS A SEGUIR PARA CONVERTIR UNIDADES

A la hora de realizar cálculos es necesario convertir unidades. Las unidades se convierten utilizando factores de conversión.

Ejemplo 1:

CONVERSIÓN DE UNIDADES

Convertir 54 lbm .ft/ min2 a su equivalente en kg.cm/ s2

22

2

2

.208.060min1

0328.01

1454.0

min.54

scmkg

sx

ftcmx

lbmkgxftlbm

Ejemplo 2: Se bombea aire a través de un orificio inmerso en

un líquido. El tamaño de las burbujas que salen del orificio depende del diámetro del orificio y de las propiedades del líquido. La ecuación que representa esta situación es :

Donde: g = aceleración de la gravedad = 32.174 ft/s –2 ; l densidad del líquido = 1 g /cm3 ; G = densidad del gas = 0.081 lb/ft3 ; Db = diámetro de burbuja; = tensión superficial gas – liquido = 70.8 dina /cm y Do = diámetro del orificio = 1 mm. Calcular el tamaño de burbuja.

CONVERSION DE UNIDADES

MAGNITUD FISICA: Es todo aquello que puede ser medido con cierto grado de precisión usando para ello una unidad de medida patrón convencionalmente establecida. Las magnitudes físicas se clasifican en:

I. SEGÚN SU ORIGEN

a) Magnitudes Fundamentales: Son aquellas magnitudes que sirven de base para fijar las unidades y en función de las cuales se expresan las demás magnitudes.

b) Magnitudes Derivadas: Son aquellas que pueden ser expresadas en función de las magnitudes fundamentales.

ANALISIS DIMENSIONAL

II SEGÚN SU NATURALEZA

a) Magnitudes Escalares: Son aquellas que quedan perfectamente definidas mediante un número real y su correspondiente unidad de medida. Ejemplo: -10°C, 5 kg, etc.

b) Magnitudes Vectoriales: Son aquellas que además de conocer su valor, se requiere de su dirección y sentido para quedar perfectamente definidas. Ejemplo: La aceleración, la velocidad, la fuerza, etc.


ECUACION DIMENSIONALEs aquella igualdad matemática que sirve para relacionar las dimensiones de las magnitudes físicas fundamentales, para obtener las magnitudes derivadas y fijar así sus unidades, además permite verificar si una fórmula o ley física, es o no correcta, dimensionalmente.

Notación: Se usa un par de corchetes:[ ] se lee “Ecuación dimensional de”Por ejemplo: [B]: Ecuación dimensional de la magnitud física B


1° Todo número expresado en cualquiera de sus formas tiene como dimensión a la unidad.Ejemplo: [Cos 75] = 1 , [2] = 1 , [log 12] = 1

2° Sólo se podrá sumar o restar magnitudes de la misma especie y el resultado de dicha operación será igual a la misma magnitud:Ejemplo:3m + 2m = 5m : [3m] + [2m] = [5m]Que significa: L + L = L

PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES

3° Si una fórmula física es dimensionalmente correcta u homogénea, todos los términos de dicha ecuación deben ser dimensionalmente iguales.

Así sea la fórmula física:P + Q = R – S[P] = [Q] = [R] = [S]

PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES

HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL Las cantidades pueden sumarse y restarse , si sus

unidades son las mismas. Esto sugiere la aplicación de la regla “Toda ecuación válida debe ser dimensionalmente homogénea Todos los términos aditivos en ambos lados de la ecuación deben tener las mismas dimensiones”

El concepto de consistencia dimensional se puede ilustrar con un ecuación que representa el comportamiento de los gases, conocida como ecuación de Van der Waals.

CONSISTENCIA DIMENSIONAL EN LAS ECUACIONES

Examinando la ecuación veremos que la constante “a” debe tener las unidades de (presión / volumen 2) para que la expresión encerrada en el primer paréntesis sea consistente. Si las unidades de presión son atmósferas y las de volumen son cm3 , entonces “a” tendrá específicamente las unidades de ( at - cm3 ) . De manera similar “b” deberá tener las mismas unidades que V, que en este caso particular son cm3. Si la temperatura está en grados Kelvin, las unidades de R deberán ser: R = at - cm3 / °K

HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL

Algunas veces es conveniente presentar la ecuación sin consistencia dimensional sobre todo para cálculos repetitivos o cuando la ecuación deriva de las observaciones más que del principio teórico. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones empíricas o numéricas En las ecuaciones empíricas, las unidades asociadas a cada variable deben indicarse explícitamente. Por ejemplo:

Donde: P es la potencia en caballos de vapor, V el volumen de líquido sin gases en unidades de ft 3, u es la velocidad lineal del gas en unidades de ft s -1 y es la fracción de gas existente, la cual es una variable adimensional. Las dimensiones de cada lado de la ecuación son diferentes .

ECUACIONES SIN CONSISTENCIA DIMENSIONAL

La correlación de Richard para describir el contenido de gas en un fermentador agitado de forma adimensional.

33.1302/14/

uVP

Llamadas también variables naturales. La especificación de la magnitud de estas variables es que no necesitan unidades, son variaciones de las variables fundamentales o en otros casos combinaciones de ellas. Los ingenieros utilizan frecuentemente los números adimensionales para representar fenómenos físicos.

Un grupo adimensional común en mecánica de fluidos es el número de Reynolds Re. Para un flujo en una tubería el número de Reynolds viene dada por la siguiente ecuación:

Donde: Þ = densidad del fluido v = velocidad del fluido

D = diámetro de la tuberíaµ = viscosidad del fluido.

CANTIDADES ADIMENSIONALES

CANTIDADES DIMENSIONALESCantidad Dimensión Aceleración LT-2

Area interfacial L-1

Area L2

Calor latente especifico L2T-2

Calor L2MT-2

Capacidad calorífica específica L-2T-2q -2

Caudal másico L-2 MT-1

Coeficiente de difusión L-2T-1

Coeficiente de distribución 1Coeficiente de mantenimiento T-1

Coeficiente de reparto 1Coeficiente de rozamiento 1Coeficiente de transferencia de materia LT-1

Coeficiente de transmisión de calor MT-3q -1

Concentración L-3 NConductividad térmica LMT-3q -1

Conductividad L-3 M -1 T3 I2

Constante de equilibrio 1Constante de muerte específica T-1

Contenido en gas 1Densidad L-3MEficacia 1Energía L2MT-2

Entalpía L2MT-2

Entropía L2MT-2q -1

Factor de efectividad 1Factor de ensuciamiento MT-3q -1

Flujo de calor MT-3

Fracción de huecos 1Frecuencia rotacional T-1

Frecuencia T-1

Fuerza LMT-2

Gravedad específica 1Viscosidad (cinemática) L2T-1

Viscosidad (dinámica) L-1MT-1

Volumen específico L3M-1

Volumen L3

De acuerdo con la Ley de Newton, la fuerza experimentada por un cuerpo en movimiento es proporcional a su masa multiplicada por la aceleración. Las dimensiones de la fuerza son: LMT -2 .

Las unidades naturales de la fuerza son: kg m s -2 (SI), g cms -2 (CGS) y lb ft s -2 (en Sistema americano de ingeniería).

Las unidades derivadas de fuerza son las más utilizadas en Ingeniería. En el sistema SI es el Newton abreviado como N 1N = 1 kg m s -2

En el sistema CGS es la dina y su equivalencia es: 1 dina = 1 g cm s -2 En el SAI, la unidad derivada de la fuerza llamada libra

fuerza (lbf) está definida como el producto de una unidad de masa 1(lbm) y la aceleración de la gravedad a nivel del mar y 45º del altitud cuyo valor es: 32.174 ft s -2.

1 lbf = 32.174 lbm ft s -2

FUERZA Y PESO

El hecho de que las unidades de masa y fuerza en el sistema americano sean las libras es una fuente común de confusión: no es lo mismo lbf que lbm. Para convertir la fuerza de una unidad definida (como newtons) en una unidad natural (kg m s -2), se debe utilizar un factor de conversión, denotado por el símbolo g c

La ecuación que relaciona la fuerza en unidades definidas con la masa y la aceleración es:

F = m a / gc

FUERZA Y PESO

El peso de un objeto es la fuerza que ejerce sobre el objeto la atracción gravitacional. Supongamos que un objeto de masa m está sujeto a una fuerza gravitacional W (peso del objeto) y que si este objeto desciende en caída libre su aceleración es g. El peso, la masa y la aceleración de caída libre están relacionados por medio de la ecuación.

Los valores mostrados se pueden utilizar para la mayoría de las conversiones entre masa y peso.

g = 9.8066 m s -2 g/ gc = 9.8066 N /kgg = 980.66 cm s -2 g/ gc = 980.66 dinas / g g = 32.174 ft s -2 g/ gc = 1 lbf / lbm Cabe indicar que g es aceleración de la gravedad y gc es

un factor de conversión

FUERZA Y PESO

En los cálculos de procesos se encuentran comúnmente tanto números muy grandes como números pequeños. Una manera conveniente de representar ese número es utilizando notación científica, en el cual se expresa como el producto de otro número entre 0.1 y 10 y una potencia de 10.

145 000 000 = 1.45 x 10 8 (o 0.145 x 10 9) 0.00000085 = 8.5 x 10 –7 (o 0.85 x 10 -6)

NOTACION CIENTIFICA

Cuando se expresa el resultado de una medida, o un resultado derivado de una o varias medidas, se usa un número finito de cifras para expresar su valor: por ejemplo, las medidas de una página tamaño carta son 216 mm de ancho por 279 mm de largo. En este caso se está garantizando, que las medidas en este caso se dan con tres cifras significativas de las cuales las dos primeras son seguras y la tercera (última) es razonablemente segura. En ingeniería se acepta como norma que de las cifras con que se expresa el resultado de una medida o un cálculo en el que intervienen mediciones, la ultima es aproximadamente, (razonablemente segura) y las anteriores son seguras.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Longitud (cm) Expresión en notación científica Numero de cifras significativas

12,85 1285 x 10-2 4

10,6 106 x 10-1 3

1,50 150 x 10-2 3

1,5 15 x 10-1 2

0,49 49 x 10-2 2

0.2 2 x 10-1 1

0.05 5 x 10-2 1


En el cuadro anterior se destacó con rojo la cifra razonablemente segura. Se presenta alguna confusión en casos en los que haya ceros a la izquierda. Estos ceros a la izquierda no son cifras significativas; para eliminar esta confusión puede representarse el mismo número en notación significativa.Se siguen cuatro reglas para saber cuántas cifras significativas tiene número: Todos los dígitos diferentes de cero son significativos. Todos los ceros que tienen algún digito diferente de cero

a su izquierda son significativos. Cualquier cero que no esté incluido en la regla 2 no es

significativo. Cuando el número se exprese en notación científica,

todos los dígitos que se encuentren a la izquierda de la potencia de 10 son significativos .


La suma o diferencia de números aproximados no puede tener más cifras significativas a la derecha de la coma decimal que el número con menor número de dichas cifras, por ejemplo:

125,45 + 4,837 = 130.28La respuesta debe darse con dos decimales

significativos, que es el número de decimales correspondiente a 125.45, que es el que tiene menor número de decimales a la derecha de la coma.

Ejemplo: 64,283 - 7, 86 + 11.3 = 67.7

REGLAS PARA OPERACIONES MATEMÁTICAS

“Cuando dos o más cantidades se combinan por una multiplicación y/o una división, el número de cifras significativas del resultado debe ser igual al menor número de cifras significativas en cualquiera de los multiplicandos o dividendos“. Si el resultado no satisface esta regla, el valor debe redondearse .Ejemplo 3 4 7 3 (4.57 x 6.872) = 31.40504 31.4

Otro ejemplo 2 4 3 9 2 (6.3 x 10 -5 x 0.1456 x 108) / (4.25) = 215.830588 2.1 x 10 2

REGLAS PARA OPERACIONES MATEMÁTICAS

Para redondear números en los que el dígito que ha de eliminarse es un 5, entonces se tomará en cuenta si el número anterior es par o impar.

1,35 = 1,4 1,25 = 1,2

REDONDEO

Con mucha frecuencia se usan los términos precisión y exactitud indistintamente. Hablando de medidas, la exactitud de una medida se define como la diferencia entre el valor que arroja la medida y el valor verdadero. Es una indicación de cuan cercano al verdadero valor se encuentra la medida.

Por precisión se entiende la reproducibilidad de la medida y en otras palabras, nos indica la calidad del instrumento usado. Si al efectuar una medida varias veces, los valores obtenidos se diferencian muy poco, se dice que el aparato es muy preciso. Si por el contrario, los valores se encuentran muy dispersos, la confianza que le debemos tener al aparato será pequeña.

Cuando se desea aumentar la precisión con que se entrega el resultado de una medición se acostumbra repetir la misma un gran número de veces. De esta manera los errores accidentales van reduciéndose.

PRECISIÓN Y EXACTITUD

Como ya se anotó los ingenieros necesitamos medir el valor de las variables que intervienen en los diseños para encontrar las respuestas que se buscan.

El resultado de cualquier medida es aproximado debido a múltiples factores que intervienen en el proceso de medición: personales, los instrumentos usados, el procedimiento seguido, causas accidentales y otros. Como consecuencia de todo esto el resultado de la medida es un número diferente del verdadero valor de la variable.

Lo importante es conocer cuál es el error cometido y si fuera posible, eliminar aquellas causas de error que están bajo nuestro control

MEDICIONES Y ERRORES

Resolver los siguientes problemas y ejercicios…

EJERCICIOS

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