CalculoEnero 12 13 Solucion

8/19/2019 CalculoEnero 12 13 Solucion

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E1 E2 E3 E4 Calificacion

/40

CALCULO INFINITESIMALExamen Final 11-Enero-2013

NUM.de MATRICULA

APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

GRUPO / PROFESOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INDICACIONES PREVIAS

La duracion del examen sera de dos horas y media sin interrupcion.

No se puede salir del aula y volver a entrar, debiendo permanecer en ella al menos durante la primerahora.

No se admiten calculadoras. Los telefonos moviles deberan estar apagados.

E1. (a) Acota superior e inferiormente la integral

2−2

xex dx ( 4p.)

(b) Razona si la funcion G(x) =

x3

0

1

8 + cos2 t dt

3/2

es derivable en (0, +∞), y calcula si es

posible G(x). ( 4p.)

E2. Dada la funcion f (x) = x2

1 + x2

. Se considera el recinto plano acotado D , limitado por la grafica de

la funcion, su asıntota horizontal y las rectas x = 1, x = −1.

(a) Calcula el area del recinto D . ( 4p.)

(b) Calcula el volumen del solido de revolucion obtenido al girar D alrededor del eje OY . ( 4p.)

(c) Calcula el area del recinto limitado por la grafica de la funcion y su asıntota. ( 4p.)

E3. (a) Razona si es verdadero o falso:

Sea an ≥ 0 ∀n con lımn→∞

an12n

= 5. Entonces la serie∞n=1

an diverge. ( 3 p.)

(b) Calcula el intervalo de convergencia de la serie de potencias

∞n=1

−1

5

n 1

3√

n7(x − 2)n ( 5 p.)

E4. Sea f (x, y) =

x2y2 + 3y4

x4 + y4 (x, y) = (0, 0)

3 (x, y) = (0, 0)

. Estudia:

(a) la continuidad de f en IR2. ( 3 p.)

(b) la existencia de derivadas parciales primeras de f en (0, 0) y en (−1, 1). ( 4p.)

(c) la diferenciabilidad de f en en (0, 0) y en (−

1, 1). ( 3 p.)

(d) determina el plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto (−1, 1, 2). ( 2 p.)



Solucion del EXAMEN

E1. (a) Acota superior e inferiormente la integral

2−2

xex dx Por el Tma. de acotacion de la integral

m(2 − (−2)) ≤ 2−2

xex dx ≤ M (2 − (−2))

siendo M , el maximo y m, el mınimo de f (x) = xex x ∈ [−2, 2]. f (x) = (x + 1)ex, f (x) =

0 ⇐⇒ x = −1 =⇒ posibles extremos de f en el intervalo [−2, 2] son x = −2, x = −1, x = 2,f crece cuando f > 0 ⇐⇒ x + 1 > 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, +∞) =⇒ x = −1 es mınimo, y losmaximos se alcanzan en x = −2, x = 2. Por tanto, m = f (−1) = −e−1, M = f (2) = 2e2 >f (−2) = −2e−2

−4e−1 ≤ 2−2

xex dx ≤ 8e2

(b) Razona si la funcion G(x) =

x3

0

1

8 + cos2 t dt

3/2

es derivable en (0, +∞), y calcula si es

posible G(x).

(p.)

La funcion f (x) = 1

8 + cos2 x es continua en IR, por tanto la funcion integral lımite superior F (x) = x

01

8+cos2 t dt es derivable y F (x) = f (x). u(x) = x3 es continua y derivable en IR, luego la

composicion

x30

1

8 + cos2 t dt es derivable en IR, como esta composicion es positiva cuando x > 0,

entonces G es derivable en (0, +∞) y aplicando la regla de la cadena, su derivada ser a

G(x) = 3

2

x30

1

8 + cos2 t dt

1/2

· 1

8 + cos2(x3) · 3x2

E2. Dada la funcion f (x) = x

2

1 + x2 . Se considera el recinto plano acotado D , limitado por la grafica de

la funcion, su asıntota horizontal y las rectas x = 1, x = −1.

(a) Calcula el area del recinto D .

(b) Calcula el volumen del solido de revolucion obtenido al girar D alrededor del eje OY .

(c) Calcula el area del recinto limitado por la grafica de la funcion y su asıntota.

(a) Area(D) = 2

10

1 − x2

1 + x2

dx = 2

10

1

1 + x2 dx = 2(arctg x]10 = 2 · π

4 unidades2

(b) V olOY =

10

2πx ·

1 − x2

1 + x2

dx = 2π

10

x

1 + x2 dx =

= π

10

2x

1 + x2 dx = π

ln(1 + x2)

10

= π ln 2 unidades3



(c) Area= 2

+∞0

1 − x2

1 + x2

dx = 2

∞0

1

1 + x2 dx =

= 2 lımT →+∞

T 0

1

1 + x2 dx = 2 lım

T →+∞(arc tg x]T 0 = 2 lım

T →+∞arctg T = 2 · π

2 = π unidades2

E3. (a) Razona si es verdadero o falso:

Sea an ≥ 0 ∀n con lımn→∞

an12n

= 5. Entonces la serie∞

n=1

an diverge.

FALSO.

Utilizamos el criterio de comparacion por paso al lımite:

la serie geometrica∞n=1

1

2n converge ya que su razon es

1

2, en valor absoluto menor que uno,

por tanto, la serie∞n=1

an converge.

(b) Calcula el intervalo de convergencia de la serie de potencias

∞

n=1

−1

5n 1

3√

n7

(x − 2)n

Estudiamos la convergencia absoluta de la serie utilizando el criterio del cociente:

lımn→+∞

−1

5

n+11

3√

(n+1)7(x − 2)n+1

−1

5

n1

3√ n7

(x − 2)n

= lım

n→+∞|x − 2|

3√

n7

5 3

(n + 1)7 = |x − 2|1

5 < 1 ⇐⇒ |x− 2| < 5

La serie de potencias converge en el intervalo (2 − 5, 2 + 5) = (−3, 7)

Para x = −3 =⇒∞n=1

−1

5

n 13√

n7(−3 − 2)n =

∞n=1

13√

n7convergente (serie armonica con

p = 7/3 > 1).

Para x = 7 =⇒∞n=1

−1

5

n 1

3√

n7(7 − 2)n =

∞n=1

(−1)n3√

n7absolutamente convergente (serie

armonica con p = 7/3 > 1).

Por tanto, la serie de potencias converge en el intervalo [−3, 7]

E4. Sea f (x, y) =

x2y2 + 3y4

x4 + y4 (x, y) = (0, 0)

3 (x, y) = (0, 0)

. Estudia:

(a) la continuidad de f en IR2. ( p.)

(b) la existencia de derivadas parciales primeras de f en (0, 0) y en (−1, 1). ( p.)(c) la diferenciabilidad de f en en (0, 0) y en (−1, 1). ( p.)

(d) determina el plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto (−1, 1, 2).

Continuidad Dom(f ) = IR2, la funcion es continua en IR2 −{(0, 0)} por ser cociente de funciones con-tinuas con denominador no nulo, estudiamos la continuidad en (0, 0) : f (0, 0) = 3

lım(x,y)→(0,0)

f (x, y) = lım(x,y)→(0,0)

x2y2 + 3y4

x4 + y4 =

= lımr→0,α∈IRr4 cos2 α sen2 α + 3r4 sen4 α

r4(cos4 α + sen4 α) = lımr→0,α∈IRcos2 α sen2 α + 3 sen4 α

cos4 α + sen4 α ∃f continua en IR2 −{(0, 0)}.



Derivadas parciales primeras de f : ∀(x, y) ∈ IR2 −{(0, 0)}

∂f

∂x(x, y) =

2xy2(x4 + y4) − (x2y2 + 3y4)4x3

(x4 + y4)2 → ∂f

∂x(−1, 1) = 3

∂f

∂y(x, y) =

(2x2y + 12y3)(x4 + y4) − (x2y2 + 3y4)4y3

(x4 + y4)2 → ∂f

∂y(−1, 1) = 3

∂f

∂x(0, 0) = lım

h→0

f (h, 0) − f (0, 0)

h = lım

h→0

0 − 3

h ∃,

∂f

∂y(0, 0) = lım

h→0

f (0, h) − f (0, 0)

h = lım

h→0

3 − 3

h = 0

Diferenciabilidad f posee derivadas parciales primeras, continuas en IR2 −{(0, 0)} =⇒ f es diferencia-ble en IR2 −{(0, 0)}, en particular en (−1, 1). f NO es diferenciable en (0, 0)ya que no es continua en

dicho punto, ni existe la derivada parciales respecto de x en dicho punto .

Plano tangente en (−1, 1, 2) : z − 2 = 3(x − (−1)) + 3(y − 1) ≡ z = 2 + 3x + 3y

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