Calculo Vectorial de Marsden-tromba Problemas Resueltos 3a Edicion

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    CALCULO VECTORI LPROBLEMAS RESUELTOS

    TERCERA EDI IN

    DE JERROLD E. MARSDEN Y ANTHONY J. TROMBA

    PREPARADO POR K REN PAO Y FREDERICK SOON

    Versin en espaol de

    onstancio Hernndez GarcaUniversidad Autnoma Metropolitana,

    Unidad Iztapalapa Mxico

    *TODO LO QUE QUIERES SABER PARA HACER LA TAREA

    ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANAArgentina Brasil Chile Cobmbia Ecuador Espaia

    Estados Unidos Mxico Per Puerto Rico Venezuela

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    Versin en espaol de la obra Study Guide for Vector Calculus, Third Edition, by Jerrold

    E. Marsden and Anthony J. Tromba, prepared by Karen Pao and Frederick Soon, publi-

    cada originalmente en ingls por W. H. Freeman and Company, E.U.A. O 1988 por W.H. Freeman and Company.

    Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

    Imagen generada por compirtador de la superjicie mnima de Enneper: a imagenfue creada por James Hoflman en la University of Massachusetts, Amherst, con lasinstalaciones del GeometryAnalysis Numerics and Graphics Group. Copyright 1986por James Hofl~nan

    ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANAM;ilahia 7363-2 G, 13uciios Aires 1425, ArgciiiiiinAve. 13rigadciro Liiis Aiitoiiio 2344, Coiijiiiito 14,

    S o I aiilo 01407, So I :iulo, BrasilCasilla 70060, Saiitiago 7, ChilcA p i a d o ACrco 74 1-943, Saiiia dc Bogoti, ColoiiibiaEspnlicr3 bajo, Madrid 78014. Espalia7 Jacob Way, Rcadiiig, Mnssachiiseils01867, E.U.A.Apnriatlo l osial23-013, Mxico, D.F. 14000, MfxicoA11;trfado I ostnl 79853, f o Picdr.is, I iicrio Rico 00939Apartado Postal 1454,Caracas 1050-A, Vciiczucla

    O 1993 por Addison-Wesley Iberoamericana, S. A.

    Wilmington, Delaware, E.U.A.

    Impreso en Estados Unidos. Printed in U.S.A.

    ISBN 0-201-62564-4

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    Captulo 1

    Captulo 2

    Captulo 3

    Captulo 4

    Captulo

    Captulo 6

    Captulo 7

    Captulo 8

    Captulo 9

    Apndice

    Cmo usar este libro vii

    Agradecimientos vii

    La geometra del espacio euclidiano 1

    Diferenciacin 27

    Funciones con valores vectoriales 63

    Derivadas de orden superior; mximos y mnimos 81

    Integrales dobles 105

    Integral triple frmula de cambio de variable y aplicaciones 125Integrales sobre trayectorias y superficies 157

    Teoremas integrales del anlisis vectorial 187

    Ejemplos de exmenes 211

    Respuestas a los ejemplos de exmenes 219

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    MOUSAR ESTE LIBROEl propsito de esta gua de estudio es ayudar a entender el clculo vectorial. Hemos or-

    ganizado los captulos y secciones de manera que correspondan al libro lcrrlovectorialde Marsden y Tromba, tercera edicin. Cada seccin contiene objetivos, recomenda-

    ciones para el estudio y (lo ms importante) soluciones de los ejercicios seleccionados.

    Adems, hemos escrito cuatro ejemplos de exmenes.

    Los objetivos son un resumen corto de lo que debes aprender en cada seccin y

    de lo que debes entender antes de pasar a la siguiente. Los objetivos tambin deberan

    ayudarte a repasar para los exmenes.

    Las recomendaciones p r el estudio son definiciones y hechos que debes tenerpresentes cuando hagas las tareas. Tambin contienen advertencias sobre los erroresms comunes.

    En las soluciones hemos elegido algunos ejercicios y se han trabajado. Algunas

    veces te pedimos que verifiques algo o que completes algn detalle, pero la mayora de

    nuestras soluciones son tan completas como es posible. Sin embargo, no trabajamos

    los problemas de modo que los puedas copiar y presentarlos como tu trabajo. Eso es

    trampa. Nosotros (as como tus profesores) pensamos que las matemticas no son un

    deporte para expectadores. Para entender qu pasa debes hacer ejercicios. Si te has

    perdido (o te has dormido en clase, como alguno de nosotros siempre hizo), trabajarsobre las soluciones detalladas puede ayudarte a encontrar el camino de regreso. Si te

    sientes inseguro antes de los exmenes, la mejor manera de estudiar es hacer ejercicios

    y problemas adicionales y comparar tus respuestas con las nuestras. Si eres estudioso y

    quieres hacer ejercicios adicionales, no tienes por qu hacerlos a ciegas ya que hemos

    proporcionado muchas soluciones.

    Aun si slo hojeas nuestro pequeo libro diez minutos antes del examen, idebessentirte ms seguro respecto al clculo vectorial!

    Te deseamos mucho xito.

    AGRADECIMIENTOS

    Deseamos agradecer a los profesores Marsden y Tromba que nos dieran la oportunidad

    de escribir este libro. Damos las gracias de manera muy especial al profesor Marsden,

    quien nos permiti usar su Macintosh Plus y todos los programas y accesorios nece-

    sarios, ley meticulosamente el manuscrito e hizo muchas correcciones y sugerenciasvaliosas. Tambin queremos agradecer a Andrew Hwang, quien proporcion muchas de

    las soluciones y a Sean Bates por sus contribuciones.

    Karen Pao

    Frederick Soon

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    EUCLIDIANO

    1.1 Vectores en el espacio tridimensional

    OBJETIVOS

    1. Poder realizar las siguientes operaciones con vectores: suma, resta y multiplicacin

    por un escalar.

    2. Dados un vector y un punto, saber encontrar la ecuacin de la recta que pasa por el

    punto y que tiene la misma direccin del vector.

    3. Dados dos puntos, encontrar la ecuacin de la recta que pasa a travs de stos.

    RECOMENDACIONES PARA EL ESTUDIO

    1 Notacin sobre espacios. El smbolo R o R representa al conjunto de todos lospuntos de la recta real o a un espacio de dimensin 1 R2es el conjunto de todoslos pares ordenados(x, y) que estn en el plano, un espacio de dimensin 2. R3representa al conjunto de todas las ternas ordenadas(x, y,z)que estn en un espaciode dimensin 3. En general, el "exponente" en R" indica cuntas componentestiene cada vector.

    2. Vectoresy escalnres. Un vector tiene longitud (magnitud) y direccin. Los escalares

    son slo nmeros. Los escalares no tienen

    direccin. Dos vectores son iguales si y

    slo si tienen la misma longitud y direc-

    cin. Sus grficas no necesitan partir del

    mismo punto. Los vectores de la figura son

    iguales.

    3. Notacin vectorial. Un vector se denota a menudo con letra negrilla, letra subra-

    yada, una flecha sobre la letra, o con n adas (xl,2,. . . ,x,,). El elemento xide lan-ada se llama i sima componente. iOJO ,la n-ada puede representar un punto o

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    1.1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL 3

    8. Rectas. (a) La recta que pasa por a en la direccin de v es I t) = a + tv. sta sellama forma punto-direccin de la ecuacin de la recta porque la nica informacinnecesaria es el punto a y la direccin v.(b) La recta que pasa por a y b es I t)= a + t(b

    -

    a). sta se llama forma punto-punto de la ecuacin de la recta. Para ver si la direccin es correcta, debes hacert = O y obtener el primer punto. Haz t = 1 y obtn el segundo punto.

    9. Co~ijurltode generadores de un espacio. Si todos los puntos de un espacio se puedenescribir de la forma Xivi+ X2v2+ . . .+ X,,v,,,donde i son escalares, entonces losvectores vi,. . ., v,, generan el espacio dado. Por ejemplo, los vectores yj generanal plano xy.

    10. Derriostraciones geomtricas. Una demostracin se puede simplificar con el uso devectores. Trata de comparar los mtodos vectoriales con los no vectoriales haciendoel ejemplo 7 sin vectores.

    11. Resolircin /e problenlas. Como los vectores tienen magnitud y direccin, sepueden representar gr3ficamente. Por lo tanto, con frecuencia es til hacer undiagrama con objeto de visualizar un problema vectorial.

    SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

    1. Debemos resolver las ecuaciones siguientes:

    Obtenemos x = 4 y y = 17, de manera que -21,23) - 4,6)= (-25, 17).4. Convertimos -4i + 3j en (-4, 3, O), de manera que

    En el eje y los puntos tienen coordenadas

    0.0 ,~) O,Y,~) de la forma (O, y, O), por lo tanto, debemos.. . . . ...... restringir los valores de x y z a O.En el eje z los puntos tienen coordenadasde la forma (O, 0, z), por lo tanto, debemosrestringir los valores de x y y a O.

    XEn el plano xz los puntos tienen coorde-nadas de la forma (x, O, z), Por lo tanto,debemos restringir el valor de y a O.

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