PROBLEMARIO GUA PARA EL CURSO DE CLCULO VECTORIALUNIDAD 1- INTRODUCCIN

1. Simplifica las expresiones dadas

2. Expresa y calcula en notacin cientkfica las siguientes operaciones

a. (2,100,000,000)(0.0000000033) b. c.

3. Factoriza las siguientes expresiones

a.

QUOTE

b. QUOTE

c. QUOTE

d. e.

EMBED Equation.DSMT4 QUOTE

f. 4. Simplifica cada una de las siguientes expresiones

a.

QUOTE

b. QUOTE

c. QUOTE

d. e.

QUOTE

f. QUOTE

g. 5. Halla el valor de x que satisface la ecuacin

2 1

X x-1

6. Dadas las ecuaciones siguientes, calcula los valores de las variables que satisfacen simultneamente cada par:

a) 2x +3y = 4, -x +2y = 5

b) x + y = 8, -4x + y = 7

7. Utilizando el mtodo de determinantes, resuelve el siguiente sistema simultneo:

X + 2y + 3z = 2, 2x +3y + 2z = 3, x +4y +3z = 38. Calcula el valor de la variable que satisface la siguiente ecuacin:

6x + 7 - 3x + 3 = 19. Resuelve la siguiente ecuacin:

ln(2) + ln( 11-x2) = 2 ln(5-x)

10. Para la siguiente ecuacin, sean: Q = 8x10-6, = 20, C = 4x10-6 y R = 6x106. Calcula el valor de t.

Q = C (1 - e-t/RC)

11. Resuelve las siguientes ecuaciones

a) 2x3 +5x2 - 8x 20 = 0 b) QUOTE

c)

EMBED Equation.DSMT4 QUOTE

d) e)

12. Utilizando el mtodo de Determinantes resuelve el sistema de ecuaciones lineales simultneas siguiente: a) x+2y+3z=2; 2x+3y+2z=3; x+4y+3z=3 &

b) x+2y+3z=2; 2x+3y+2z=3; 3x+4y+3z=-3.

13. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando, el mtodo por determinantes

a) 2x - 3y + 2z = -3 b) 3x + 2y + 3z = 21

-3x + 2y + z = 1

8x - 3y - 2z = 21

4x + y - 3z = 4

25x + 5z = 105

14. Resuelve por determinantes:

a) 3x - 4y = 13

8x - 5y = - 5

b) 8x = 9y

2x + 5 + 3y = 7/2c) 3x - (y + 2) = 2y + 1

5y - (x +3) = 3x + 1d) 3x + ay = 3 + 1

x/a + a y = 2

e) x + y + z = - 6

2x + y + z = - 1

x - 2y + 3z = - 6

f) 3x - 2y = - 1

4x + z = -28

x + 2y + 3z = - 43g) 3z + 4x + 2y = 8

3x + 4y + 2z = -1

- y + 5z + 2x = 3h) 2x + 4y + 3z = 3

10x - 8y - 9z = 0

4x + 4y - 3z = 2

15. Encuentra los valores de las seis funciones trigonomtricas del ngulo que forma un segmento que parte del origen y termina en el punto:

a) P(4 , -3) b) P(-2 , -5) c) P(-1 , 2)

16. Determina las magnitudes de todos los

lados de los dos tringulos as como todos

los ngulos interiores.

17. Encuentra la base y la altura de un tringulo issceles cuyo ngulo en el vrtice es igual a 65 y sus lados iguales de 415 cm.

18. La base de un tringulo issceles es de 15.9 cm y los ngulos de la base miden 5428'. Encuentra los lados iguales y la altura.

19. Resuelve correctamente cada uno de los siguientes tringulos oblicungulos ABC, dados:

a) A =125, = 5440', = 6510'

b) B = 215, C = 150, = 4240'

c) A = 120, C = 270, = 11840'

20. Grafica las parbolas siguientes, determina las coordenadas de su vrtice:

a) y = x2 2x 8

b) y = 2x2 + 9x 9

UNIDAD 2- LGEBRA DE CANTIDADES VECTORIALES

1. Se da el vector v y su punto inicial (u origen), encuentra el punto final

a) v = (-3, 5, -6) punto inicial: [0,2,6]

b) v= (1, -2/3, 1/2) punto inicial: [0,2,5/2]

2. Si u= (1, 2), v = (-2, -1), w = (0, -4). Determina el vector z y grafcalo

a) z = u + 2v wb) z = u w/6

c) 2z - u + 2v w = 03. Del ejercicio anterior determina para cada caso

a)

b) Las componentes y direccin del vector zc) d) Las componentes y direccin del vector 4. Usa vectores para encontrar el punto que se encuentra a dos tercios del camino de P a Q

a) P(4, 3, 0), Q(1, -3, 3) b) P(1, 2, 5), Q(6, 8, 2)

5. De las siguientes figuras, a) expresa el vector v mediante sus componentes, b) determina la magnitud del vector v y su direccin (ngulos directores), c) halla un vector unitario en la direccin de v.b)

6. Si u = 2i + j, v = i + j , y w = i j. Obtn los escalares a y b tales que u = av + bw7. Obtn un vector de magnitud 3 en direccin opuesta a la direccin de

v = (1/2)i (1/2)j + (1/2)k

8. Si u = 2i + j, v = i + j , y w = i j. Obtn los escalares a y b tales que u = av + bw9. Dos lados de un tringulo son los vectores A= 3i +6j -2k y B = 2i j +3k. Halla los ngulos del tringulo y su rea.

10. Determina: a) , b) |v|, |u|, c) el ngulo entre v y u, d) el vector de proyvu , e) vector de proyuv., f) vxu y g) |v x u|, para cada uno de los siguientes incisos:a) V = 2i 4j +k ; u = -2i + 4j - kb) V = 2i + 10j - 11k ; u = -5i + 3j - 4kc) V = 2i 4j ; u = 4j + kd)

11. Dados los vectores y demuestra que 2 = 2 + 2 si y solo si son perpendiculares.

12. Demuestra que = (2 2) 13. Si y Halla:

, , , , (2+ )( 2)14. Dados los vectores : , , y , Determina los ngulos que forman entre cada par de ellos.15. Dos lados de un tringulo son los vectores y . Determina los tres ngulos interiores del mismo.16. Halla la proyeccin del vector sobre el vector ,

17. Dados los vectores y , determina un vector unitario que sea perpendicular a ambos.18. Demuestra que los siguientes vectores son unitarios y mutuamente perpendiculares entre s:

, y

19. Sean , y . Determina los resultados de las siguientes:

; (

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 ); (

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 )(

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 ); (

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 ) y; (

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 ) ()20. Halla el rea del tringulo cuyos vrtices son los puntos:

P(3,1.2), Q(1. 1, 3) y R(4, 3,1)

21. Determina el rea del paralelogramo cuyas diagonales estn dadas por los vectores:

y .

22. Dados los vectores: , y ; representados grficamente. Demuestra (ilustrar) grficamente que:

+ ( + ) = ( + ) + .( Teorema de Asociatividad )23. Considerando que los vectores: , , y son vectores consecutivos; o sea que representan los lados de un polgono. Demuestra que la suma cerrada de estos vectores es el vector .24. Dados los vectores: = 5- +5 & = -2-6+2. Encuentra: a) + ; b) la magnitud de + y; c) el ngulo que forman entre s, estos vectores.25. Sabiendo que los vectores: y representan las diagonales de un paralelogramo, representa los lados: y de dicho paralelogramo en funcin de: y .26.

Considerando que los vectores: y son perpendiculares y adems c indica la magnitud

del vector que representa la hipotenusa, halla cen funcin de: a2 y b2. (Teorema de Pitgoras ).27. Las figuras de abajo representan un sistema de dos cables que sostienen un cuerpo de peso P, y las fuerzas de tensin F1 y F2. De la primera figura determina las componentes del vector F2, y su magnitud; de la segunda figura obtn el vector P.

28. Supn que una caja es arrastrada hacia arriba sobre un plano inclinado como se muestra en la siguiente figura. Obtn la fuerza F necesaria para que la componente de la fuerza paralela al plano inclinado sea igual a 2.5N

29. Determina un vector unitario que forme un ngulo de 450 con el vector representado por la terna (2,2,-1) y un ngulo de 600 con el vector (0,1,-1).

30. Para un tringulo plano cualquiera y utilizando la propiedad distributiva del producto punto, demuestra que: c2 = a2+ b2-2abcos ( Ley de los Cosenos). Del mismo modo, Utilizando la propiedad distributiva del producto vectorial, demuestra la ley de los Senos31. Dados los vectores: = 3-5+4 y = 5+3-2. a) Determina: X ; b ) Prueba que es perpendicular al vector: X y; c) Hacer lo mismo con el vector .

32. Prueba que los vectores: (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1), constituyen una base ortonormal.(perpendiculares entre s y unitarios).33. Considerando que los vectores: y estn en un plano que es perpendicular al plano que contiene a los vectores: & . Prueba que: ( x ) (x ) = 0.34. Sabiendo que los vectores: y son vectores unitarios contenidos en el plano xy & forman ngulos: y con el semi-eje x positivo.

a) Demuestra que: = (Cos) + (Sen), = (Cos)+ (Sen).

b ) Mediante la aplicacin del producto punto de: y , demuestra que:

Cos(+ ) = CosCosSenSen.35. Considerando que los vectores: = m-2+ y = 2m+m-4, son perpendiculares entre s, encuentra el valor de m.

36. Halla un vector unitario paralelo al plano xy y perpendicular al vector: = 4-3-

37. Los vectores unitarios mutuamente perpendiculares definidos como:,=[0,1.0] y

= [0,0,1]; prueba que estos vectores son linealmente independientes.38. Suponiendo que los vectores: (3,5,2), [1,-1,6] & (-2,1,4) representan a los vrtices de un tringulo, determina el rea de dicho tringulo; considerando que las coordenadas que indican los puntos estn en metros.

39. Para tres vectores cualesquiera: , y ; prueba que: x(x)+x(x)+x(x) = 40. Dados los vectores: = (1,2,1) , = [2,0,-1] y = -+2. Verifica que a ) x(x) = ( ) () & (x)x = ()-() .

41. Encuentra un vector unitario perpendicular a los vectores: [2,1,-1] y [3,4,-1]

42. Considerando que los vectores cuyos extremos son: [1,1,-1], [2,-1,1] & (m,-1,m) estn en el mismo plano, determina el valor de m.43. Sean los vectores , , y Realiza la operacin indicada en cada uno de los incisos: a) , b) , c) ,

d) e) f) f) la direccin de

44. Halla el valor de m de forma que , sean perpendiculares.

45. Halla el ngulo formado entre los vectores de cada inciso:

a) , b) , c) ,

46. Cules de los siguientes vectores, de cada inciso, son paralelos perpendiculares entre s?

a) y b)

47. Demuestra que los vectores A = (2i -2j + k)/3, B = (i +2j +2k)/3 y C = (2i -j -2k)/3 son vectores unitarios perpendiculares entre s.

48. Halla el rea del tringulo cuyos vrtices son los puntos P(3, -1, 2), Q(1, -1, -3) y R(4, -3, 1)

49. Siendo A un vector cualquiera, demuestra que A = (A i )i +( A j)j + (A k)k.

50. Demuestra que el valor absoluto del triple producto escalar entre los vectores A, B y C es igual al volumen de un paraleleppedo cuyas aristas son los vectores A, B y C.

51. Halla el volumen del paraleleppedo cuyas aristas son los vectores A = 2i -3j + 4k, B = i +2j - k y C = 3i - j + 2k.

52. Halla el valor de la constante a de forma que los vectores 2i - j + k, i +2j - 3k y 3i + aj + 5k sean coplanarios, es decir, estn simultneamente en un mismo plano.

53. Calcula los vectores unitarios en las direcciones de los siguientes vectores y determina la direccin de cada uno:A = -2i + 5j 3k; V = +7i + 12j - 15k; C = +6i +8j; F = 9i- 12j.54. Determina y verifica cuales de los siguientes vectores son paralelos entre s (o anti paralelos, segn sea el caso):V1 = 12i + 10j - 14k, V2 = -24i -20j + 48k, V3 = 10i - 12j - 15k,V4 = 6i + 5j -7k yV5 = -10i+12j+15k55. Dados los siguientes vectores, calcula los valores de las constantes que se necesitan para representar el correspondiente en base a ellos:

Sean A= 3i -2j, B= -5i -4j, con C= +6i +8j si C= mA +nB , m= ? n= ?.

Sean D= -i-3j, E= -3i +2j, con F= 5i +2j

si F= tD + pE, t= ? p= ?.

V1 = 12i + 10j - 14k, V2 = -14i - 8j + 11k, V3 = 10i- 12j - 15k: con V = -9i + 10j - 12k, si V = mV1 + nV2+ tV3

F1 = -10i + 10j+9k, F2 = +10i+6j + 12k, F3 = -7i+6j - 10k: con F = 9i- 12j+ 10k, si F = aV1 + bV2+ cV356. Determina si los vectores, en cada inciso, son linealmente independientes:

a) A = 2i + j 3k, B = i- 4k, C = +4i -3j -kb) A = i-3j+2k, B = 2i-4j-k, C = +3i+2j k

57. Dados los puntos (0,-2,5) y (1,0,-3) construye el vector que los une. Despus, construye el vector que define el punto medio del vector anterior.

58. Los siguientes puntos definen un tringulo en un plano cartesiano. Determina los vectores que definen sus lados y describe el tringulo por sus lados. (-2,4), (0,0 y (4,2).

59. Calcula el vector que une los puntos medios de dos de los lados del tringulo del ejercicio anterior y muestra que tiene la mitad de la longitud del tercer lado y es paralelo a l.

60. Si se sabe que los vectores A= 3i +2j y B= -i + 3j forman dos lados adyacentes de un paralelogramo, construye los vectores de sus diagonales.

61. Dados los vectores D= +2i-3j y E= -3i +2j, que son las diagonales de un paralelogramo, construye los vectores de sus lados.

62. Los puntos (-1,4), (3,0), (2,-4) y (-1,-3) definen un cuadriltero en un plano cartesiano, calcula: los vectores que definen a sus lados; los vectores de los puntos medios de sus lados; los vectores que unen los puntos medios de cada lado y; observa si estos ltimos forman un paralelogramo.

63. Prueba si los siguientes vectores pueden ser los lados de un tringulo y calcula la longitud de sus medianas: A= 3i + j 2k, B= -i + 3j +4k y, C= +4i -2j-6k.

LINEAS Y PLANOS1. Halla un vector unitario tangente a la curva en t=1.2. Determina la funcin vectorial (t) que representa la lnea recta que pasa por los puntos: (a1, a2,a3) y (b1,b2,b3) e indica sus ecuaciones paramtricas.

3. Los vectores de posicin de los puntos P,Q y R son los siguientes vectores correspondientemente:

, y .

Determina la distancia del punto P al plano OQR.

4. Considerando que una lnea recta tiene al punto representado por el vector de posicin y es paralela al vector . Demuestra que tiene por ecuacin: ( - )x = .

5. Demuestra que la ecuacin de la lnea recta que pasa por los puntos: (x1, y1,z1) & (x2,y2,z2) se puede representar como:

= = 6. Encuentra la distancia del punto O(3,2,1) a la lnea recta que pasa por los puntos: A(-2,2,1) & B(3,2,1).

7 Halla la ecuacin de la lnea recta que pasa por los puntos A(4, -2, 1) y B(3, 1,0).

8 Halla la ecuacin de la lnea recta que une a los puntos A(4, -2, 1) y B(3, 1,0).

9 Halla la ecuacin de la lnea recta que pasa por el punto A(4, -2, 1) y es paralela al vector de posicin del punto B(3, 1,0).

10. Determina la ecuacin de la recta que pasa por los extremos de los vectores:

a) A = 2i-3jy B = -i+4j

b) A = i-3j+2ky B = 2i-4jk

11. Considerando que los vectores de posicin indican los puntos: [a1,a2,a3], [b1,b2,b3], [c1,c2,c3] y [x,y,z] que estn en un mismo plano, determina la ecuacin de dicho plano( sugerencia los vectores son linealmente dependientes)

12. Calcula la distancia del punto (0,1,-2) al plano formado por los puntos: Q (2,-1,3), R(1,0,2) y S(4,1,0).

13. Halla la ecuacin del plano formado por los puntos Q(0. 2, 3), R(-1, 0, 2) y S(4, 1, 0).

14. Halla la ecuacin del plano que contiene a los vectores A = 2i +3j + 6k y B = i - 5j - 3k y que pasa por el punto Q(-2, 3, 4).

15. Halla la ecuacin del plano perpendicular al vector A = 2i +3j + 6k y que pasa por el extremo del vector B = i - 5j - 3k.16. Halla la ecuacin del plano que es perpendicular al vector A = i - 5j - 3k y que pasa por el origen.

17. Calcula el ngulo que forman las superficies siguientes en el punto (2,-2,2):

x2 + y2 + z2 = 9 y x2 + y2 3 = z

18. Halla el ngulo entre las superficies:

a) y en el punto (2, -1, 2)

b) y en el punto (1, -2, 1)

19. Obtn la ecuacin de la recta que:

a) pasa por (3,-2,1) y es paralela a la recta: x = 1 + 2t, y = 2t, z = 3t

b) pasa por (0,-7,0) y es perpendicular al plano: x + 2y + 2z = 13

c) pasa por (2,3,0) y es perpendicular a los vectores: U = i + 2j + 3k y V = 3i + 4j + 5k20. Obtn la ecuacin del plano que :

a) pasa por (0,2,-1) y es normal a n = 3i 2j k

b) pasa por A(1,-2,1) y es perpendicular al vector que va del origen hasta A.

c) determinado por las rectas: x=2t+1, y=3t+2, z=4t+3 y x=s+2, y=2s+4, z=-4s-1

d) pasa por (2,1,-1) y es perpendicular a la lnea de interseccin de los planos: 2x+y-z=3, x+2y+z=2.

21. Calcula la distancia del punto a la recta que se indica en cada inciso:

a) (2,1,3) a la recta x=2t+2, y=1+6t, z=3

b) (3,-1,4) a la recta x=4t, y=3+2t, z=-5+3t

22. Calcula la distancia del punto al plano que se indica en cada inciso:

a) (0,1,1) al plano 4y + 3z = 12b) 2,-3,4) al plano x + 2y + 2z = 13

23. Calcula los ngulos que forman los planos siguientes:

a) x + y = 1, 2x + y 2z = 2

b)5x + y z = 10, x 2y + 3z = 1

24. Determina el punto en el cual la recta intersecta al plano de cada uno de los siguientes incisos:

a) x=1t, y=3t, z=1+t; 2x y + 3z = 6

b)x=2, y=3+2t, z=22t;6x + 3y 4z = 12

c)x=1+3t, y=2, z=5t;2x 3z =7

UNIDAD 3- DIFERENCIACIN DE FUNCIONES VECTORIALES

1. Para el vector determina:

, , y

2. Dados los vectores: y determina:

, y

3. Dados los vectores: y , halla:

y

4. Sea el vector , determina: , , y

5. Una partcula se mueve a lo largo de una curva cuyas ecuaciones paramtricas son: x = e-t, y = 2cos3t y

z = 2 sen3t. Determina la velocidad y aceleracin en funcin del tiempo.6. Dados los vectores y , halla:

, , y

7. Halla el vector unitario tangente en cualquier punto a la curva: x = 3cost, y = 3senst y z = 5t (=cte.).8. Si ,, , halla

9. Si ,, halla en el punto P(1,0,-2)10. Sea , halla: , ,, y

11. Demuestra que el vector es una solucin de la ecuacin

12. Dada la funcin vectorial (t) =( 3Cos)+ (3Sen), (t). a ) Describe la imagen de esta funcin, b ) Prueba que la funcin y su derivada son perpendiculares.13. Suponiendo que la funcin (t) representa la posicin de una partcula que se mueve en el espacio con r(t) su magnitud correspondiente, prueba que:

= - (t).

14. Dada la funcin de variable escalar, f(x,y) = 3 ln; calcula: y; 15. Si se sabe que la magnitud de una funcin vectorial (u) es constante. Prueba que la derivada de dicha funcin es perpendicular a la funcin misma.

16. Dada la funcin: (t) = + , demuestra que: (t)-5(t)+6(t) = 17. Dadas las funciones: (u,v,w) = (uvw)-(uw2)-v3 & (u,v,w)= u3 -uvw+u2w. Calcula:

,valuada en (0,0,0) & x valuada en (1,1,0).18. Verifica que la funcin f(u) = e2u + , tiene como diferencial: df(u) = du .19. Si (t) es la posicin de una partcula en el plano xy en el instante t. Obtn una ecuacin en xy, luego determina los vectores de velocidad y de aceleracin de la partcula en el valor dado de t, para cada inciso:a) (t) = t=-1/2

b) (t) = t= ln3

c) (t) = t=020. Si (t) es la posicin de una partcula en el espacio en el instante t. Obtn el ngulo entre los vectores de velocidad y de aceleracin en el instante t=0

a) (t) =

b) (t) =21. Sean y . Halla:

a) b) c) d) e) 22. Si (t) es la posicin de una partcula en el espacio en el instante t. Obtn el ngulo entre los vectores de velocidad y de aceleracin en el instante t=0, con (t) = .23. Calcula el vector unitario tangente a la curva, cuya funcin de posicin es:

a) en t = 0,

b) en t = 0,

c) en t = 2.

24. diferenciales de las funciones que se indican a continuacin:

a) h(x, y, z) = cos(xy) + ln (yz),

b) g(u, v, w) = euv + (u2+v2+w)1/2 y

c) f(r, (,() = r cos( + ( sen (25. Si se tienen y calcula en t = 1:

a) ,

b) ,

c)

yd)

26. Halla la derivada direccional de:

a) en el punto (1, 0, -1) y en la direccin de

b) en el punto (1, -2, 0) y en la direccin de

c) en el punto (1, -1, 1) en direccin de

27. Halla la direccin segn la cual la derivada de la funcin:

a) en el punto (1, 2, 3) es mxima, cul es el mdulo mximo?

b) en el punto (2, 1, -1) es mxima, cul es el modulo mximo?

c) en el punto (-1, 2, 3) es mxima, cul es el modulo mximo?

28. Halla el valor de las constantes a, b, c de forma que la derivada de la funcin en el punto (1, 2, -1) tenga un mximo de mdulo 64 en la direccin paralela al eje z.UNIDAD 4- COORDENADAS: POLARES, CILNDRICAS Y ESFRICAS

1. Convierte los siguientes puntos, dados en coordenadas rectangulares, a coordenadas cilndricas y en coordenadas esfricas.

a) (x, y, z) = (1, , 2) b) (x, y, z) = (-4. 3, 4)

c) (x, y, z) = (11, 0, 7)

2. Convierte los siguientes puntos dados en coordenadas cilndricas a coordenadas rectangulares y en coordenadas esfricas.a) (r, , z) = (4, , 3)

b) (r, , z) = (4, , 0)

c) (r, , z) = (12, , 5)

3. Convierte los siguientes puntos dados en coordenadas esfricas a coordenadas rectangulares y en coordenadas cilndricas.a) (, , ) = (1, , ,)

b) (, , ) = (5, , ,)

c) (, , ) = (1, , ,)

4. Halla una ecuacin rectangular de la ecuacin dada en coordenadas esfricas

a) = 2

b) = 4 cos

c) = 4cscsec

5. Halla una ecuacin esfrica y una cilndrica de la ecuacin dada en coordenadas rectangulares, de cada una: a) y2 = 10 z2

b) x2 + y2 + z2 -3z =0

c) z = x2 + y2 2

6. Demuestra que el sistema de coordenadas esfricas es ortogonal.7. Demuestra que: ; ;

8. Utilizando un diagrama geomtrico transforma las coordenadas rectangulares a coordenadas cilndricas y representa la funcin (x,y,z) = x+y+z en coordenadas cilndricas.

9. Verifica que los vectores: = (Cos)+(Sen)+0, =-(Sen)+(Cos)+0 & = 0+0+, son linealmente independientes.

10. Dada la funcin (x,y,z) = x+y+z, represntala en coordenadas esfricas.

11. Para la funcin vectorial que indica la posicin de una partcula que se mueve en una circunferencia de radio R: a ) Haz un diagrama geomtrico y prueba que en coordenadas polares dicha funcin se representa como: (t) = R; =(Cos)+(Sen), y variable en el tiempo, b ) Encuentra: y posteriormente demuestra que: = (R)- R

; = (-Sen)+(Cos)

12. Transforma las funciones que se indican a continuacin de coordenadas polares a coordenadas rectangulares: a ) r2cos2 = 10, b ) r2 = 0, c) rcos = -1, d ) r2 = cos13. Transforma las funciones que se indican a continuacin de coordenadas rectangulares a coordenadas polares.

i ) x2+ y2 = a2; con a una constante mayor que cero; ii) x+y = 1 y; iii) x2- y2 =16

14. Considerando que las funciones: = (Cos)+(Sen) & =-(sen+(Cos), forman una base en el sistema de coordenadas polares. Determina los vectores & en funcin de dichos vectores unitarios.

15. La funcin vectorial que indica la posicin de una partcula que se mueve en el espacio de dos dimensiones, en coordenadas polares est dada por (t) = (RCos)+(RSen), con una funcin de t (tiempo), determina :

16. Grficamente obtn las coordenadas rectangulares: (x,y,z) en funcin de las coordenadas cilndricas: (, ,z).

17. Determina las coordenadas cilndricas: (, ,z) en funcin de las coordenadas rectangulares: (x,y,z).

18. Considerando la funcin: (,z) = (cos)+(Sen)+z, determina los factores de escala: , & 19. Encuentra las funciones vectoriales: , & , del sistema de coordenadas cilndricas.

20. Demuestra que las funciones encontradas en el ejercicio 17 forman una base ortogonal.

21. Indica las diferenciales de: rea y volumen en coordenadas cilndricas.

22. Transforma las funciones que se indican a continuacin de coordenadas rectangulares a coordenadas cilndricas.

(x,y,z) = x+2x+zy & (x,y) =

23. Dadas las funciones: ( = (ln)+z & () = + r , transfrmalas al sistema de coordenadas rectangulares.

24. Encuentra los factores de escala para coordenadas esfricas: hr, & 25. Verifica que las funciones: , & del sistema de coordenadas esfricas son mutuamente perpendiculares.

26. Considerando que las coordenadas: & del sistema de coordenadas esfricas son funciones de la variable t (tiempo), demuestra que:

a ) = () + b ) = - ()+ .

27. Transforma las siguientes funciones sobre un plano, de coordenadas polares a rectangulares o viceversa, segn sea el caso:

r2Cos2 = 10

x2 + y2 = a2

r Cos = 1

x + y = 1

r2 = Cos

x2 y2 = 16CURVAS DE NIVEL Y PLANOS TANGENTES1. Dada la funcin f(x,y) = 3x-2y-3; dibuja al menos tres curvas de nivel.

2. Conociendo la funcin escalar G(x,y,z) = x2+y2+z2, describe al menos dos superficies de nivel.3. Apoyndote con las curvas de nivel, traza las siguientes superficies en el espacio tridimensional:

a) z = 1 + y2 x2

b) 4x2 + 4y2 = z2

c) x2 + z2 = 1

d) x2 + y2 = z4. Halla la ecuacin del plano tangente a la superficie xz2 + x2y = z 1 en el punto (1, -3, 2)

5. Halla un vector unitario normal a la superficie en el punto (0, -3, 4)6. Determina la ecuacin del plano tangente a la superficie: 3x3y2 xyz = 9 en el punto (1, 1,1).

7. Halla un vector unitario normal a cada una de las siguientes superficies:

a) z = 3x2 + 4y2 en el punto P(0,0,0)

b) z = xyc) 4z = x2 y2

d) x2 + y2 z 1 = 0UNIDAD 5- INTEGRACIN DE FUNCIONES VECTORIALES

1. sean ,,. Halla: ;;

2. Para , halla a lo largo de las curvas siguientes:

a) x=2t2, y=t, z=t3 en [0,1] b) la recta que une los puntos P(0,0,0) con Q(2,1,1)3. Sea , halla a lo largo de la curva C del plano XY donde y=x3, desde el punto P(1,1) hasta el punto Q(2,8).4. Halla a lo largo de la curva de la figura mostrada con

Y y=x2(1,1)

(1,0) X5. Sea , halla a lo largo de la trayectoria cerrada, mostrada en la figura.

Y (2,2)

Y = x2

(0,0)

X6. Dado el vector , calcula a lo largo de las trayectorias:

a) ABCD

b) ACD

C) AEFD

Z

E(0,0,3)

F(0,2,3)

D(2,2,3)

A(0,0,0)

Y

Y=x2B(2,0,0)

C(2,2,0)

X7. Dada la funcin f(x) = x & considerando que )x = ; demuestra que:

=

8. Dada la funcin vectorial: () = 5+3, determina: ()d; considerando que: = 100 y = 500

( la funcin () est determinada en coordenadas cilndricas).9. Sabiendo que: (t) = 3t+(2Semt)+ e3t y (t) = (cost)+3+t, para todo t, determina: .

10. Para la funcin (t) = (t) = (2-Sent)+(2Cost)+3e3t ,determina la funcin (t);considerando que (0) = .

11. Determina el valor de la integral de lnea: d ; sabiendo que: (x,y,z) = x+2y+z y L (trayectoria de integracin ) est dada por la lnea recta que une los puntos: (0,0,0) & (2,3,4)

UNIDAD 6- OPERADORES DIFERENCIALES

1. Sean A = yz2- 3xz2j + 2xyzk y = xyz. Calcula:

a) b) 2. Sean y , Calcula: en punto (0,2) b) en el punto (1, -2, -1)

3. Siendo halla en (-1,2,1):

a)

b) ||

4. Siendo , halla y en el punto (2, -2, 1)

5. Siendo y halla en el punto (1, -1, 1): y

6. Siendo y , halla en el punto (1, 0, -2): y

7. Halla para cada caso indicado y considerando lo que se muestra:

a) si ,

b) si y

8. Si y calcula en el punto (1, -1, 1):

a) ,

b) ,

c) y

d)

9. Calcula:

a) ,

b) si ,

c) donde

10. Si y calcula:

a) ,

b) y

c)

11. Con , y halla en (-1, 1, 1): a) ,

b) ,

c) y

d)

12. Con , y , halla:

a) ,

b) y

c)

APLICACIONES1. Halla un vector unitario normal a la superficie:

a) en el punto (-2, -2, 1)

b) en el punto (1, -1, 2),

c) en el punto (1, -3,2),

d) en el punto (3, 1, -4)

CONSIDERA LOS SIGUIENTES VECTORES, REPRESENTADOS EN LA ESCALA MOSTRADA, Y TRAZA LOS QUE REPRESENTAN EL RESULTADO DE LAS SIGUIENTES OPERACIONES ENTRE ELLOS.(apyate en esta pgina)

A+B, B+C; A+B+C; A-C; C-B; A+D; B-C; D+ B A

B

DC

BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA:

-CLCULO VECTORIAL- JERROLD E. MARSDEN Y ANTONY J. TROMBA

3 EDICINADDISON WESLEY IBEROAMERICANA (1993)

5 EDICIN PEARSON (2004)

-CLCULO VECTORIAL Y APLICACIONES- OCTAVIO ESTRADA CASTILLO; PABLO GARCA Y COLOM;

GUILLERMO MONSIVAIS GALINDO.

GRUPO EDITORIAL IBEROAMERICANA (1999)

-CLCULO Varias Variables- GEORGE B. THOMAS, Jr.; MAURICE D. WEIR; JOEL HASS

12 EDICINPEARSON (2010)

-CLCULO ESENCIAL- LARSON; HOSTETLER; EDWARDS

CENAGE LEARNING (2010)

-ANLISIS VECTORIAL- SERIE SHAUMS, McGraw HILL

__ __

+ 2

(4,-4)

(2,-2)

(1,6)

(5,2)

(-6,1)

(2,2)

A

B

C

v

Z

(4,0,2)

Y

(0,5,2)

X

v

Z

(4,2,1)

Y

(2,4,3)

X

P = 60N

600

F2

F1= 100N

400

P

500

300

F1= 125N

F2= 80N

330

F

150

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