CÁLCULO UNA VARIABLE - ramojim.files.wordpress.com · 1.7 Graficación con calculadoras y...

T H O M A SC L C U L OU N A VA R I A B L E

UNDCIMA EDICIN

REGLAS DE DERIVACIN

Frmulas generales

Suponiendo que u y v son funciones diferenciables de x.

Funciones trigonomtricas

Funciones exponenciales y logartmicas

ddx

ax = ax ln a ddx

sloga xd =1

x ln a

ddx

ex = ex ddx

ln x = 1x

ddx

scot xd = -csc2 x ddx

scsc xd = -csc x cot x

ddx

stan xd = sec2 x ddx

ssec xd = sec x tan x

ddx

ssen xd = cos x ddx

scos xd = -sen x

ddx

ssgsxdd = sgsxdd # gsxdRegla de la cadena: ddx

xn = nxn - 1Potencia:

ddx

auy b =y

dudx

- u dydx

y2Cociente:

ddx

suyd = u dydx

+ y dudx

Producto: ddx

scud = c dudx

Mltiplo constante: ddx

su - yd = dudx

- dydx

Diferencia: ddx

su + yd = dudx

+ dydx

Suma: ddx

scd = 0Constante: Funciones trigonomtricas inversas

Funciones hiperblicas

Funciones hiperblicas inversas

Ecuaciones paramtricas

Si y son diferenciables, entonces

y =dydx

=dy>dtdx>dt y d2ydx2 = dy>dtdx>dt

y = gstdx = std

ddx

scoth-1 xd = 11 - x2

ddx

scsch-1 xd = - 1 x 21 + x2

ddx

stanh-1 xd = 11 - x2

ddx

ssech-1 xd = - 1x21 - x2

ddx

ssenh-1 xd = 121 + x2

ddx

scosh-1 xd = 12x2 - 1

ddx

scoth xd = -csch2 x ddx

scsch xd = -csch x coth x

ddx

stanh xd = sech2 x ddx

ssech xd = -sech x tanh x

ddx

ssenh xd = cosh x ddx

scosh xd = senh x

ddx

scot-1 xd = - 11 + x2 d

dx scsc-1 xd = - 1

x 2x2 - 1

ddx

stan-1 xd = 11 + x2 d

dx ssec-1 xd = 1

x 2x2 - 1

ddx

ssen-1 xd = 121 - x2 d

dx scos-1 xd = - 1

21 - x2

C L C U L OU N A V A R I A B L EU N D C I M A E D I C I N

George B.Thomas, Jr.Massachusetts Institute of Technology

Revisado por:Maurice D.Weir Joel Hass Frank R. Giordano

Naval Postgraduate School University of California, Davis Naval Postgraduate School

Dr. Carlos Bosh GiralDepartamento de MatemticasInstituto Tecnolgico Autnomo de Mxico(ITAM)

Csar Luis Garca Garca Departamento de MatemticasInstituto Tecnolgico Autnomo de Mxico(ITAM)

Claudia Gmez Wulschner Departamento de MatemticasInstituto Tecnolgico Autnomo de Mxico(ITAM)

Mauricio Pedraza PrezDepartamento de MatemticasEscuela Superior de Ingeniera Mecnicay ElctricaUnidad AzcapotzalcoInstituto Politcnico Nacional

Mara Elisa Barrn Garca, M.E.Instituto Tecnolgico y de EstudiosSuperiores de Monterreycampus Guadalajara

Roberto Nez Malherbe Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Occidente (ITESO)

Francisco Javier Gonzlez PiaDepartamento de Matemticas, CUCEIUniversidad de Guadalajara

Carlos J. Zea RiveraCoordinacin de Ciencias Fsico-MatemticasUniversidad Iberoamericanacampus Torren

Jos BottoUniversidad Nacional de Rosario, Facultadde Ciencias Exactas, Ingeniera y AgrimensuraArgentina

Emilio Sastre Universidad Nacional de Rosario, Facultadde Ciencias Exactas, Ingeniera y AgrimensuraArgentina

Antonio Merchan Abril Coordinador Clculo DiferencialDepartamento de Matemticas Pontificia Universidad Javeriana Colombia

scar Andrs Montao CarreoDepartamento de Ciencias Naturalesy MatemticasPontificia Universidad JaverianaColombia

Leonardo SnchezProfesor del Departamento de IngenieraMatemticaFacultad de Ciencias Fsicas y MatemticasUniversidad de Chile

Ren Jorge Piedra de la TorreDirector del Departamento de Matemtica yFsicaPontificia Universidad Catlica Madre yMaestraRepblica Dominicana

Mara Rosa BritoProfesora de ClculoUniversidad Simn Bolvar,Venezuela

Antonio Jos Syers Hernndez Coordinador de ClculoUniversidad Metropolitana,Venezuela

TRADUCCIN

REVISIN TCNICA

Elena de Oteyza de Oteyza Vctor Hugo Ibarra MercadoInstituto de Matemticas, Escuela Superior de Fsica y MatemticasUniversidad Nacional Autnoma de Mxico Instituto Politcnico Nacional

Authorized translation from the English language edition, entitled Thomas calculus 11th ed., George B. Thomas, Jr., published by Pearson Education, Inc.,publishing as Addison Wesley, Copyright 2005. All rights reserved.ISBN 0-321-185587

Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada Thomas calculus 11a ed., de George B. Thomas, Jr., publicada por Pearson Education, Inc.,publicada como Addison Wesley, Copyright 2005. Todos los derechos reservados.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Edicin en espaolEditor: Enrique Quintanar Duarte

e-mail: [email protected] de desarrollo: Miguel B. Gutirrez HernndezSupervisor de produccin: Jos D. Hernndez Garduo

Datos de catalogacin bibliogrfica

THOMAS, JR., GEORGE B.

Clculo. Una variable. Undcima edicin

PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2006

ISBN: 970-26-0643-8 rea: Universitarios

Formato: 21 27 cm Pginas: 824

Edicin en ingls:Publisher: Greg Tobin Acquisitions Editor: Willliam Hoffman Managing Editor: Karen Wernholm Senior Project Editor: Rachel S. Reeve Editorial Assistants: Mary Reynolds, Emily Portwood Production Supervisor: Julie LaChance James Marketing Manager: Phyllis Hubard Marketing Assistant: Heather Peck Senior Manufacturing Buyer: Evelyn Beaton

Senior Prepress Supervisor: Caroline Beaton Associate Media Producer: Sara Anderson Software Editors: David Malone, Bob Carroll Senior Author Suppor/Technology Specialist: Joe Vetere Supplements Production Supervisor: Sheila Spinney Composition and Production Services: Nesbitt Graphics, Inc. Illustrations: Techsetters, Inc. Senior Designer: Geri Davis/The Davis Group, Inc. Cover Design: Barbara T. Atkinson Cover Photograph: Benjamin Mendlowitz

UNDCIMA EDICIN, 2006

D.R. 2006 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco nm. 500, 5 pisoCol. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de MxicoE-mail: [email protected]

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacinde informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacino cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

ISBN 970-26-0643-8

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 09 08 07 06

Dedicado a

Ross Lee Finney III

(1933-2000)

profesor, mentor, autor,

gran persona, y amigo de todos

CONTENIDO

Prefacio ix

Volumen I

1 Preliminares 11.1 Los nmeros reales y la recta real 11.2 Rectas, crculos y parbolas 91.3 Funciones y sus grficas 191.4 Identificacin de funciones: modelos matemticos 281.5 Combinacin de funciones; traslaciones y cambio de escala en grficas 381.6 Funciones trigonomtricas 481.7 Graficacin con calculadoras y computadoras 59

PREGUNTAS DE REPASO 68EJERCICIOS DE PRCTICA 69EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 71

2 Lmites y continuidad 732.1 Razn de cambio y lmites 732.2 Clculo de lmites mediante las leyes de los lmites 842.3 La definicin formal de lmite 912.4 Lmites laterales y lmites al infinito 1022.5 Lmites infinitos y asntotas verticales 1152.6 Continuidad 1242.7 Tangentes y derivadas 134


3 Derivadas 1473.1 La derivada como una funcin 1473.2 Reglas de diferenciacin 159

iii

3.3 La derivada como razn de cambio 1713.4 Derivadas de funciones trigonomtricas 1833.5 Regla de la cadena y ecuaciones paramtricas 1903.6 Diferenciacin implcita 2053.7 Razones de cambio o tasas relacionadas 2133.8 Linealizacin y diferenciales 221


4 Aplicaciones de las derivadas 2444.1 Valores extremos de una ecuacin 2444.2 El teorema del valor medio 2554.3 Funciones montonas y el criterio de la primera derivada 2624.4 Concavidad y trazado de curvas 2674.5 Problemas de optimizacin aplicados 2784.6 Formas indeterminadas y la regla de LHpital 2924.7 El mtodo de Newton 2994.8 Antiderivadas 307


5 Integracin 3255.1 Estimacin con sumas finitas 3255.2 Notacin sigma y lmites de sumas finitas 3355.3 La integral definida 3435.4 El teorema fundamental del clculo 3565.5 Las integrales indefinidas y la regla de sustitucin 3685.6 Sustitucin y reas entre curvas 376


6 Aplicaciones de las integrales definidas 3966.1 Clculo de volmenes por secciones transversales y por rotacin

alrededor de un eje 3966.2 Clculo de volmenes por medio de casquillos cilndricos 4096.3 Longitudes de curvas planas 4166.4 Momentos y centro de masa 4246.5 reas de superficies de revolucin y el teorema de Pappus 4366.6 Trabajo 4476.7 Presiones y fuerzas en fluidos 456

iv Contenido


7 Funciones trascendentes 4667.1 Funciones inversas y sus derivadas 4667.2 Logaritmos naturales 4767.3 La funcin exponencial 4867.4 y log 4957.5 Crecimiento y decaimiento exponenciales 5027.6 Razones de crecimiento relativas 5117.7 Funciones trigonomtricas inversas 5177.8 Funciones hiperblicas 535


8 Tcnicas de integracin 5538.1 Frmulas bsicas de integracin 5538.2 Integracin por partes 5618.3 Integracin de funciones racionales por medio de fracciones parciales 5708.4 Integrales trigonomtricas 5818.5 Sustituciones trigonomtricas 5868.6 Tablas de integrales y sistemas de lgebra por computadora (SAC) 5938.7 Integracin numrica 6038.8 Integrales impropias 619


9 Aplicaciones adicionales de integracin 6429.1 Campos de pendientes y ecuaciones diferenciables separables 6429.2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 6509.3 Mtodo de Euler 6599.4 Soluciones grficas de ecuaciones diferenciales autnomas 6659.5 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden 673


a xax

Contenido v

Volumen II

10 Secciones cnicas y coordenadas polares 68510.1 Secciones cnicas y ecuaciones cuadrticas 68510.2 Clasificacin de secciones cnicas por su excentricidad 69710.3 Ecuaciones cuadrticas y rotaciones 70210.4 Cnicas y ecuaciones paramtricas; la cicloide 70910.5 Coordenadas polares 71410.6 Grficas en coordenadas polares 71910.7 reas y longitudes en coordenadas polares 72510.8 Secciones cnicas en coordenadas polares 732


11 Sucesiones y series infinitas 74611.1 Sucesiones 74711.2 Series infinitas 76111.3 Criterio de la integral 77211.4 Pruebas de comparacin 77711.5 Pruebas de la raz y de la razn 78111.6 Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 78711.7 Series de potencias 79411.8 Series de Taylor y de Maclaurin 80511.9 Convergencia de series de Taylor; estimacin de errores 81111.10 Aplicaciones de las series de potencias 82211.11 Series de Fourier 833


12 Los vectores y la geometra del espacio 84812.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales 84812.2 Vectores 85312.3 El producto punto 86212.4 El producto cruz 87312.5 Rectas y planos en el espacio 88012.6 Cilindros y superficies cudricas 889


vi Contenido

13 Funciones con valores vectoriales y movimiento en el espacio 90613.1 Funciones vectoriales 90613.2 Cmo modelar el movimiento de un proyectil 92013.3 Longitud de arco y el vector tangente unitario T 93113.4 Curvatura y el vector unitario normal N 93613.5 Torsin y el vector unitario binormal B 94313.6 Movimiento de planetas y satlites 950


14 Derivadas parciales 96514.1 Funciones de varias variables 96514.2 Lmites y continuidad en dimensiones superiores 97614.3 Derivadas parciales 98414.4 Regla de la cadena 99614.5 Derivadas direccionales y vectores gradiente 100514.6 Planos tangentes y diferenciales 101514.7 Valores extremos y puntos de silla 102714.8 Multiplicadores de Lagrange 103814.9 Derivadas parciales con variables restringidas 104914.10 Frmula de Taylor para dos variables 1054


15 Integrales Mltiples 106715.1 Integrales dobles 106715.2 rea, momentos y centros de masa 108115.3 Integrales dobles en forma polar 109215.4 Integrales triples en coordenadas rectangulares 109815.5 Masas y momentos en tres dimensiones 110915.6 Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas 111415.7 Sustitucin en integrales mltiples 1128


Contenido vii

16 Integracin en Campos Vectoriales 114316.1 Integrales de lnea 114316.2 Campos vectoriales, trabajo, circulacin y flujo 114916.3 Independencia de la trayectoria, funciones potenciales

y campos conservativos 116016.4 Teorema de Green en el plano 116916.5 rea de superficies e integrales de superficie 118216.6 Superficies parametrizadas 119216.7 Teorema de Stokes 120116.8 El teorema de la divergencia y una teora unificada 1211


Apndices AP-1

A.1 Induccin matemtica AP-1A.2 Demostracin de los teoremas de lmites AP-4A.3 Lmites que aparecen comnmente AP-7A.4 Teora de los nmeros reales AP-9A.5 Nmeros complejos AP-12A.6 La ley distributiva para el producto cruzado de vectores AP-22A.7 El teorema de la derivada mixta y el teorema del incremento AP-23A.8 El rea de la proyeccin de un paralelogramo en un plano AP-28A.9 Frmulas bsicas de lgebra, geometra y trigonometra AP-29

Respuestas R-1

ndice I-1

Breve tabla de integrales T-1

Crditos C-1

viii Contenido

PREFACIO

INTRODUCCIN Al preparar la undcima edicin de Clculo de Thomas, hemos queridomantener el estilo de las versiones anteriores y conservar las fortalezas detectadas en ellas.Nuestra meta ha sido, por lo tanto, identificar las mejores caractersticas de las edicionesclsicas de la obra y, al mismo tiempo, atender cuidadosamente las sugerencias de nues-tros muchos usuarios y revisores. Con estos altos estndares en mente, hemos reconstruidolos ejercicios y aclarado algunos temas de difcil comprensin. De acuerdo con el autor,George Thomas, hemos intentado escribir el libro con tanta claridad y precisin como hasido posible. Adems, hemos restablecido los contenidos para que sean ms lgicos ycongruentes con los programas de estudio de mayor difusin. Al revisar esta labor en re-trospectiva, nos percatamos de que los muchos conocimientos adquiridos nos han ayudadoa crear un texto de clculo til y atractivo para la siguiente generacin de ingenieros ycientficos.

En su undcima edicin, el texto no slo presenta a los estudiantes los mtodos y lasaplicaciones del clculo, sino que plantea tambin una manera de pensar totalmente mate-mtica. A partir de los ejercicios, los ejemplos y el desarrollo de los conceptos que revelala teora en un lenguaje legible, este libro se centra en el pensamiento y la comunicacinde ideas matemticas. El clculo tiene gran relacin con muchos de los paradigmas clave delas matemticas, y establece los fundamentos reales para la reflexin precisa y lgica entorno de temas fsicos y matemticos. Nuestro propsito se centra en ayudar a los estu-diantes a alcanzar la madurez matemtica necesaria para dominar el material y aplicar susconocimientos de manera ntegra. El razonamiento que se deriva de la comprensin de loanalizado en las pginas de esta obra hacen que el esfuerzo que ha implicado su creacinvalga la pena.

Una vez analizado el contenido de este libro, los estudiantes estarn bien instruidos enel lenguaje matemtico que se necesita para aplicar los conceptos de clculo a numerosassituaciones de ciencias e ingeniera. Tambin estarn preparados para tomar cursos deecuaciones diferenciales, lgebra lineal o clculo avanzado.

Cambios en la undcima edicin

EJERCICIOS Los ejercicios y ejemplos juegan un papel crucial en el aprendizaje delclculo. En esta edicin hemos incluido muchos ejercicios que ya aparecan en versionesanteriores de la obra por considerarlos una de las grandes fortalezas de la misma. Los ejer-cicios se han reorganizado por tema en cada una de las secciones, planteando primero losproblemas computacionales para luego abordar los relativos a la teora y las aplicaciones.Esta disposicin permite que los estudiantes desarrollen habilidades en el uso de los m-todos del clculo y adquieran una comprensin ms profunda de sus aplicaciones en elmarco de una estructura matemtica coherente.

ix

RIGOR En comparacin con las ediciones anteriores, en esta versin el contenido del tex-to es ms riguroso y consistente. En l se brindan anlisis formales e informales, haciendouna clara distincin entre ambos; adems, se incluyen definiciones precisas y demostracio-nes accesibles para los estudiantes. Este texto est organizado de manera que el materialpueda ser cubierto informalmente, dando cierta flexibilidad al instructor. Por ejemplo, apesar de que no se prueba que una funcin continua en un intervalo cerrado y acotado tieneun mximo ah, el teorema correspondiente se expone con todo cuidado para comprobarvarios resultados subsecuentes. Ms an, el captulo de lmites ha sido reorganizado demanera sustancial, haciendo hincapi tanto en su claridad como en su precisin. Como enlas ediciones anteriores, el concepto de lmite se basa en la importante idea de obtener lapendiente de la recta tangente a una curva en un punto de aquella.

CONTENIDO En la preparacin de esta edicin hemos puesto especial atencin a las su-gerencias y comentarios de los usuarios y revisores de las versiones anteriores de Clculo deThomas. Esto ha dado como resultado extensas modificaciones en varios de los captulos.

TOMO I Preliminares Hemos reescrito el captulo 1, de manera que proporcione una breve

revisin de las funciones elementales. Aunque muchos profesores podran optar porobviar este captulo, su estudio permite a alumnos un fcil repaso de conocimientospara que unifiquen notaciones. Tambin contiene material til que muchos estudian-tes podran desconocer, como los errores que se producen al confiar totalmente enlas calculadoras o computadoras para construir la grfica de una funcin.

Lmites En el captulo 2 se incluyen las definiciones epsiln-delta, las demostra-ciones de muchos teoremas, as como lmites en el infinito y lmites infinitos (y susrelaciones con las asntotas de una grfica).

Antiderivadas En los captulos 3 y 4 presentamos la derivada y sus aplicacionesms importantes, concluyendo con el concepto de antiderivada, con lo cual se esta-blecen las bases para la integracin.

Integracin Despus de discutir varios ejemplos de sumas finitas, en el captulo 5introducimos la integral definida en la forma tradicional del rea debajo de la curva.Continuamos con el anlisis del teorema fundamental del clculo, relacionando de-rivadas y antiderivadas, y con la presentacin de la integral indefinida, junto con laregla de sustitucin para integracin. Luego proseguimos con el captulo tradicionalde aplicaciones de las integrales definidas.

Tcnicas de integracin En el captulo 8 se presentan las principales tcnicas deintegracin, incluyendo integracin numrica. Despus se ofrece una introduccin alas funciones trascendentes, definiendo el logaritmo natural como la integral y lafuncin exponencial como su inversa.

Ecuaciones diferenciales La mayor parte del material para resolver ecuacionesdiferenciales bsicas ahora est organizado solamente en el captulo 9. Esta disposi-cin permite que los profesores encuentren la flexibilidad idnea para cubrir los te-mas correspondientes.

TOMO II

Cnicas Atendiendo a la demanda de muchos usuarios, el captulo 10 ha sido total-mente reescrito. Por otro lado, este captulo completa el material de ecuaciones param-tricas, dando las parametrizaciones para las parbolas, las hiprbolas y las cicloides.

Series En comparacin con ediciones anteriores, en el captulo 11 hemos desarro-llado de manera ms completa los criterios de convergencia para series. Tambin in-cluimos, al final del captulo, una breve seccin para presentar las series de Fourier(cuyo estudio puede omitirse, segn convenga).

x Prefacio

Vectores Para evitar la repeticin de los conceptos algebraicos y geomtricos fun-damentales, hemos combinado el tratamiento de vectores en dos y tres dimensionesen un solo captulo, el 12. A esta presentacin le sigue el captulo de funciones devalores vectoriales en el plano y en el espacio.

Los nmeros reales Hemos escrito un nuevo apndice para analizar brevementela teora de los nmeros reales y su aplicacin en el clculo.

ARTE Sabemos que las figuras y las ilustraciones representan un componente de granimportancia en el aprendizaje del clculo, por lo que hemos mejorado todas las figuras deeste libro, buscando mayor claridad en la relacin entre stas y los conceptos a que hacenreferencia. Esto resulta especialmente evidente en las grficas tridimensionales, en las quepodemos indicar mejor la profundidad, las capas y la rotacin (vea las figuras siguientes).

y

x

0a

xb

y R(x)

y r(x)

0

x

y y

0

x

(x, R(x))

(x, r(x))

Arandela

xx

4

1

0

2

y

y

x

x

2y , y

2yx

2yx

2yR(y)

2yR(y)

0

1

4

y

2

(a)

(b)

y

Prefacio xi

FIGURA 6.13, pgina 403Las secciones transversalesdel slido de rotacingenerado aqu son arandelas,no discos.

FIGURA 6.11, pgina 402Determinacin del volumen del slidogenerado al hacer girar la regin (a)alrededor del eje y.

Otras caractersticas

PROYECTOS Y RESUMEN DE FINAL DE CAPTULO Adems de los problemas que apare-cen despus de cada seccin, los captulos terminan con preguntas de repaso, ejerciciosprcticos que cubren todo el contenido analizado, y una serie de ejercicios adicionales yavanzados en donde se plantean problemas sintetizados o que plantean retos de mayorenvergadura. Asimismo, casi todos los captulos incluyen la descripcin de varios proyectospara que los estudiantes trabajen en ellos, ya sea individualmente o en equipo, en periodos mslargos. Estos proyectos requieren el uso de una computadora y de material adicional, dis-ponible en www.pearsoneducacion.net/thomas.

EJERCICIOS DE DESARROLLO TERICO Los ejercicios de desarrollo terico que aparecena lo largo de todo el libro, solicitan a los alumnos que exploren y expliquen una variedadde conceptos y aplicaciones del clculo. Adems, al final de cada captulo se halla una lis-ta de preguntas para que los estudiantes repasen y resuman lo que han aprendido. Muchos deestos ejercicios pueden servir para que el profesor asigne tareas de contenido terico.

RESPUESTAS Se proporcionan todas las respuestas de los ejercicios impares cuando esadecuado; la correccin de tales respuestas ha sido revisada cuidadosamente.

EXACTITUD MATEMTICA Como en las ediciones anteriores, hemos tenido gran cuidadoen afirmar solamente aquello que sea correcto desde el punto de vista matemtico. Cadadefinicin, teorema, corolario y demostracin han sido revisados para garantizar su clari-dad y exactitud matemtica.

LEGILIBILIDAD Y APLICACIN EN PROBLEMAS REALES Como siempre, este texto bus-ca ser fcil de leer, interactivo y matemticamente rico. Cada tema nuevo ha sido abordadocon claridad, ilustrado con ejemplos de fcil comprensin y reforzado con aplicaciones aproblemas reales que involucran el clculo en ciencias e ingeniera, y que resultan de inte-rs para los estudiantes. Estos problemas de aplicacin se han actualizado, mejorado y am-pliado a lo largo de las ltimas ediciones.

TECNOLOGA Aunque seguimos proporcionando apoyo para las aplicaciones tecnolgicasdel clculo, a partir de la dcima edicin esto resulta menos evidente dentro de los captu-los. Sin embargo, el uso de este texto puede incorporar fcilmente la tecnologa segn lospropsitos del profesor. Para ello, cada seccin contiene ejercicios que requieren el uso dela tecnologa, identificados de cualquiera de las siguientes maneras:

Con una si se requiere una calculadora o computadora para su resolucin. Con el texto EXPLORACIN CON COMPUTADORA si se necesita un software

matemtico (como Maple o Mathematica) para contestarlos.

Complementos multimedia y soporte en lnea (en ingls)

MANUALES DE RECURSOS TECNOLGICOSMaple Manual, escrito por Donald Hartig, de la California Polytechnic State UniversityMathematica Manual, preparado por Marie Vanisko, de la California State UniversityStanislaus, y por Lyle Cochran, del Whitworth CollegeTI-Graphing Calculator Manual, por Luz DeAlba, de la Drake University.Estos manuales cubren los programas Maple 9 y Mathematica 5, y las calculadoras TI-83Plus, TI-84 Plus, TI-85/TI-86 y TI-89/TI-92 Plus, respectivamente. Cada uno de ellos ofrecegua detallada para la integracin de un paquete de software o una calculadora graficadoraa lo largo del curso, incluyendo sintaxis y comandos.

T

xii Prefacio

COURSECOMPASSCourseCompass es una plataforma para cursos en lnea que Pearson Educacin ofrece demanera exclusiva como apoyo para sus libros de texto. Este libro cuenta con un curso precar-gado en CourseCompass, que incluye ejercicios y recursos en MyMathLab y en MathXL,el sistema de tutoriales, tareas y evaluacin en lnea de Addison Wesley. MyMathLab pro-porciona un amplio conjunto de materiales relacionados con el curso, as como ejerciciosgenerados algortmicamente para repasar tanto como se desee un tema. Los alumnos puedenutilizar tambin herramientas en lnea, como clases en vdeo, animaciones, una versinelectrnica del libro y proyectos de Maple/Mathematica para mejorar su comprensin ydesempeo. Adems, los estudiantes pueden responder exmenes por captulo y obtenerun plan de estudio personalizado de acuerdo con sus resultados. Por su parte, los profesorespueden emplear los administradores de tareas y exmenes que proporciona CourseCom-pass para seleccionar y asignar ejercicios en lnea relacionados directamente con el libro,as como importar exmenes de TestGen para obtener ms flexibilidad. El libro de notasde MyMathLab diseado especficamente para matemticas y estadstica lleva unregistro automtico de las tareas y los resultados de los exmenes de los alumnos, y dacontrol al profesor para calcular las notas de fin de curso. CourseCompass est disponiblepara quienes adopten el libro. Para obtener ms informacin, visite nuestro sitio Web enwww.coursecompass.com, o pida una demostracin del producto al representante de ven-tas de Pearson Educacin que lo atiende.

TESTGEN CON QUIZMASTERTestGen permite a los profesores crear, editar, imprimir y administrar exmenes medianteun banco de preguntas computarizado, desarrollado para cubrir todos los objetivos del tex-to. TestGen se basa en algoritmos, gracias a lo cual los profesores pueden crear mltiplesversiones de la misma pregunta o del mismo examen con slo hacer clic en un botn. Losmaestros pueden tambin modificar las preguntas del banco de exmenes o agregar nuevosreactivos utilizando adems el editor integrado para crear o importar grficas, insertarnotacin matemtica, nmeros variables o texto. Los exmenes pueden imprimirse o dis-tribuirse por Internet o en una red local, o pueden ser importados en CourseCompass oBlackboard. TestGen incluye QuizMaster, que permite a los estudiantes realizar las pruebasen una red de rea local. El software est disponible en un CD-ROM para las plataformasWindows y Macintosh.

SITIO WEB www. pearsoneducacion.net/thomasEl sitio Web del libro Clculo de Thomas proporciona al alumno biografas ms ampliasde los personajes histricos referidos en el libro, as como artculos relacionados. Asimis-mo, pone a su disposicin un conjunto de mdulos de Maple y Mathematica que puedeutilizar como proyectos individuales o en grupo. Este sitio tambin ofrece al profesor unvnculo hacia el sitio de descarga de materiales (en ingls) de este libro.

Agradecimientos

Deseamos expresar nuestra gratitud a quienes hicieron muchas y muy valiosas contribu-ciones durante las distintas etapas de desarrollo de esta edicin.

Editores de desarrollo CorrectoresElka Block William ArdisDavid Chelton Karl KattcheeFrank Purcell Douglas B. Meade

Robert PierceFrank PurcellMarie VaniskoThomas Wegleitner

Prefacio xiii

xiv Prefacio

Jefatura de revisinHarry Allen, Ohio State UniversityRebecca Goldin, George Mason UniversityChristopher Heil, Georgia Institute of TechnologyDominic Naughton, Purdue UniversityMaria Terrell, Cornell UniversityClifford Weil, Michigan State University

Revisin tcnicaRobert Anderson, University of WisconsinMilwaukeeCharles Ashley, Villanova UniversityDavid Bachman, California Polytechnic State UniversityElizabeth Bator, University of North TexasWilliam Bogley, Oregon State UniversityKaddour Boukaabar, California University of

PennsylvaniaDeborah Brandon, Carnegie Mellon UniversityMark Bridger, Northeastern UniversitySean Cleary, The City College of New YorkEdward Crotty, University of PennsylvaniaMark Davidson, Louisiana State UniversityRichard Davitt, University of LouisvilleElias Deeba, University of Houston, Downtown CampusAnne Dougherty, University of ColoradoRafael Espericueta, Bakersfield CollegeKlaus Fischer, George Mason UniversityWilliam Fitzgibbon, University of HoustonCarol Flakus, Lower Columbia CollegeTim Flood, Pittsburg State UniversityRobert Gardner, East Tennessee State UniversityJohn Gilbert, The University of Texas at AustinMark Hanish, Calvin CollegeZahid Hasan, California State University, San BernardinoJo W. Heath, Auburn UniversityKen Holladay, University of New OrleansHugh Howards, Wake Forest UniversityDwanye Jennings, Union UniversityMatthias Kawaski, Arizona State UniversityBill Kincaid, Wilmington CollegeMark M. Maxwell, Robert Morris UniversityJack Mealy, Austin CollegeRichard Mercer, Wright State UniversityVictor Nestor, Pennsylvania State UniversityMichael OLeary, Towson UniversityBogdan Oporowski, Louisiana State University

Troy Riggs, Union UniversityFerinand Rivera, San Jose State UniversityMohammed Saleem, San Jose State UniversityTatiana Shubin, San Jose State UniversityAlex Smith, University of Wisconsin-Eau ClaireDonald Solomon, University of Wisconsin-MilwaukeeChia Chi Tung, Minnesota State UniversityWilliam L. VanAlstine, Aiken Technology CollegeBobby Winters, Pittsburg State UniversityDennis Wortman, University of Massachusetts at Boston

Participantes en encuestasOmar Adawi, Parkland CollegeSiham Alfred, Raritan Valley Community CollegeDonna J. Bailey, Truman State UniversityRajesh K. Barnwal, Middle Tennessee State UniversityRobert C. Brigham, University of Central Florida (retired)Thomas A. Carnevale, Valdosta State UniversityLenny Chastkofsky, The University of GeorgiaRichard Dalrymple, Minnesota West Community & Tech-

nical CollegeLloyd Davis, College of San MateoWill-Matthis Dunn III, Montgomery CollegeGeorge F. Feissner, SUNY College at CortlandBruno Harris, Brown UniversityCeleste Hernandez, Richland CollegeWei-Min Huang, Lehigh UniversityHerbert E. Kasube, Bradley UniversityFrederick W. Keene, Pasadena City CollegeMichael Kent, Borough of Manhattan Community Colle-

geRobert Levine, Community College of Allegheny County,

Boyce CampusJohn Martin, Santa Rosa Junior CollegeMichael Scott McClendon, University of Central Okla-

homaChing-Tsuan Pan, Northern Illinois UniversityEmma Previato, Boston UniversityS.S. Ravindran, University of AlabamaDan Rothe, Alpena Community CollegeJohn T. Saccoman, Seton Hall UniversityMansour Samimi, Winston-Salem State UniversityNed W. Schillow, Lehigh Carbon Community CollegeW.R. Schrank, Angelina CollegeMark R. Woodard, Furman University

Agradecemos a todos los profesores que hansido leales usuarios y han impartido la materiade Clculo en los pases de habla hispana conel apoyo del reconocido libro de Thomas. Susvaliosos comentarios han servido para enri-quecer el desarrollo de la actual edicin. Espe-ramos que con el uso de este texto cumplan sa-tisfactoriamente los objetivos del programa delcurso y preparen a sus alumnos para enfrentarlos retos actuales dentro del mbito de las Ma-temticas. En especial deseamos agradecer elapoyo y retroalimentacin que nos han dadolos siguientes profesores:

COLOMBIA

Escuela Colombiana de Ingeniera JulioGaravito

Ana Alicia Guzmn Benjamn Rafael Sarmiento Bernarda Aldana Boris Mauricio Pulido Campo Elas Velosa Carlos Abel lvarezCarlos Enrique Frasser Carmenza Moreno Clara Teresa Trivio Claudia Castro Diego Parada Edgar Obonaga Edith Zoraida Pinzn Eduardo Brieva Ernesto Acosta Gloria Ins Bernal Guiomar Lleras Guiomar Mora Gustavo Erazo Herbert Alonso Dueas Isabel Carlota Lpez Jaime Alonso Castillo Jaime Arango Jairo Scarpeta Jorge Augusto Prez Jorge Bateman Jos Francisco Amador Juan Manuel Bedoya Juan Manuel Cordero Juan Manuel Ospina Juan Manuel Sarmiento Luis Alejandro Fonseca Luis Miguel Acosta Manuel Casabianca Manuel Daz Margarita Mnica Rey Mara Consuelo Corts Mara Viviana Bernal Nstor Ral Pachn Olga Maritza Camacho scar Antonio Pulido scar Daro Zrate

Rafael Guzmn Ricardo Mancipe Ricardo Quintana Sandra Isabel Gutirrez Vctor Ardila William Estrada

Fundacin del rea Andina Mario Duarte Rosario Granados

INPAHU Edgar Borras

Pontificia Universidad JaverianaAbrahan Jimnez Antonio Merchan Diego Guerrero Eddy HerreraEduardo Estrada Fabio Molina Fernando Surez Francisco Soler Gerardo Tole Guillermo Arias Gustavo Nieto Harold Noriega Hctor Orlando Linares Irina Reyes Ismael Garca Ivn Castro Jess Fernando Novoa Jos Humberto Serrano Jos Severino Nio Juan Carlos Quintero Julio Csar Melo Lennin Reyes Liliana ngelLiliana Barreto Luis Alejandro Bello Luis Alfonso Meja Luz Marina Moya Luz Mary Ariza Mara C. Rodrguez Martha Alvarado Martha Moreno Matilde PezNelson Urrego Nicols Civetta Rafael Castro Vladimir Moreno

Universidad Antonio NarioOrlando Vanegas

Universidad AutnomaGladys Villamarn Marco Tulio Milln

Universidad Catlica de ColombiaAna Mercedes Mrquez Carlos Daza Carlos Hernando Pinzn Felipe Lara Gerardo Ardila Germn Beltrn Javier Manotas Libardo Ortegn Lorenzo Zubieta Miguel ngel Martnez Rgulo Miguel Hernndez Rubn Daro Castaeda

Universidad de AmricaEdgar Rodrguez Hctor Lozano Jaime Bolaos Margarita Ruiz

Universidad de la Sabana Hctor Lpez Mara Lilia Perilla

Universidad de San BuenaventuraElmer VillegasHernn Pineda Patricia Mateus Wilson Soto

Universidad de San Martn Jaime Preciado

Universidad del BosqueLibardo Munevar

Universidad Distrital Francisco Jos deCaldas

Abrahan Jimnez Adrin Ricardo Gmez Carmen Leonor Pulido Claudia Vela Clemencia Garavito Gloria Neira Ignacio Rodrguez Janeth Galeano Jos Mara Pino Jos Villada Luis Martn Mara Astrid Cuida Mara del Pilar BohrquezNayive Nieves Pablo Acosta Rodrigo Javier Herrera Zulima Ortiz

Universidad INCCA de Colombia Jorge Elicer Rodrguez

Agradecimientos a los profesores

Universidad Militar Nueva Granada Arturo Ramrez Felipe A. Riao Jos Farid Patio Luis Antonio Meza

Universidad Nacional Hctor Useche Herbert Dueas

Universidad Piloto Carlos Garzn William Arley Rincn

Universidad Santo Toms Eunice Chara Gloria Torres Marlene Garzn

GUATEMALA

Universidad de San Carlos Arturo Samayoa

MXICO

Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico(ITAM)

Beatriz Rumbos Pellicer Claudia Gmez Wulschner Lorena Zogaib Mara del Carmen Lpez Laiseca

Unidad Profesional Interdisciplinaria deIngeniera y Tecnologas Avanzadas

Carlos Cruz Prisciliano Aguilar Viveros

Universidad Anhuac del Sur Vicente Rivera

Universidad Iberoamericana Humberto Mondragn Surez

Universidad La Salle Gustavo Velzquez Garduo

Instituto Tecnolgico de Estudios Superioresde Ecatepec

Francisco Javier Vargas Mancilla Gabriel Ramrez Dmaso

Instituto Tecnolgico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campus Estado deMxico

Faustino Yescas Martnez Rubn Daro Santiago Acosta

Instituto Tecnolgico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campus Toluca

Jos Arturo Tar Ortiz Peralta

Instituto Tecnolgico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campus Sinaloa

Jos Benigno Valdez Torres

Instituto Tecnolgico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campusGuadalajara

Abel Vzquez Prez Abelardo Ernesto Damy Sols Guillermo Rodrguez Lpez Humberto Hiplito Garca Daz Jess Cuauhtmoc Ruvalcaba lvarez Luis Eduardo Falcn Morales Luz Mara Gonzlez Urea Mara Elisa Barrn Garca

Instituto Tecnolgico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campus Len

Enrique Garibay Ruiz

Instituto Tecnolgico de Estudios Superioresde Occidente (ITESO), Guadalajara

Csar Espinosa Abundis Enrique Rodrguez Ruiz Hctor Vidaurri Aguirre Roberto Nez Malherbe

Centro de Enseanza Tcnica Industrial,Guadalajara

Michael Vollger Zaepfel

Universidad de GuadalajaraFrancisco Javier Gonzlez Pia Guadalupe Isabel Rodrguez Medina Jorge Mario Arellano Hernndez Jos de Jess Uribe Madrigal Luca Gonzlez Rendn Mara de Lourdes Martnez Silva Mara Esther Meja Marn Toms Ignacio Villaseor Saavedra

Universidad Autnoma de Nuevo LenAlejandro Garca Garca Anglica Tovar Gmez Bertha Arellano Silva Gloria Pedroza Cant Mara Magdalena de la Rosa Resndiz Santiago Neyra Rosales Sergio Elizondo Arroyave Yenny Valenzuela Murillo

Universidad Regiomontana Luis Alberto Rodrguez Escamilla Ma. Teresa Narvez Flores Neyda Eliza Lpez Leal

Universidad Autnoma de San Luis Potos Jos Csar Hernndez Garca Mara Guadalupe Silva Esparza

Universidad Autnoma de TamaulipasRamiro Garza Molina

Instituto Tecnolgico de Veracruz Mario Martnez Cano

Universidad Veracruzana Dolores Vera Dector Uriel Garca Ortiz

PER

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Agustn Curo

REPBLICA DOMINICANA

Instituto Tecnolgico de Santo DomingoCoride Prez Mximo A. Campuzano

Pontificia Universidad Catlica Madre yMaestra

Masako Saito

Universidad Autnoma de Santo DomingoCarlos Feliz Snchez Carlos Mayobanet Cabral David Torrez

Universidad Apec Justo Bez

Universidad Catlica Tecnolgica del Cibao Cristian Mercedes Cruz

Universidad Iberoamericana Mximo Santana

VENEZUELA

Universidad Central de Venezuela Mara de Armas Martha Zerpa

Universidad MetropolitanaAntonio Syers Lida Nio

Universidad Simn BolvarMara Rosa Brito

Universidad del Zulia Daniel Duque

xvi Agradecimientos a los profesores

INTRODUCCIN En este captulo se presenta un repaso de las ideas bsicas necesarias pa-ra iniciar el estudio del clculo. Entre los temas se incluyen el sistema de nmeros reales,las coordenadas en el plano cartesiano, las lneas rectas, las parbolas, los crculos, lasfunciones y la trigonometra. Tambin se analiza el uso de calculadoras graficadoras y deprogramas para graficacin por computadora.

1

PRELIMINARES

C a p t u l o

1

Los nmeros reales y la recta real

Esta seccin trata de los nmeros reales, las desigualdades, los intervalos y las propieda-des del valor absoluto.

Nmeros reales

Gran parte del clculo se basa en las propiedades del sistema de nmeros reales. Los n-meros reales son aquellos que pueden expresarse como decimales, por ejemplo

En cada caso, los puntos suspensivos indican que la sucesin de dgitos decimales con-tina indefinidamente. Cualquier expansin decimal posible representa un nmero real,aunque algunos nmeros tienen dos representaciones. Por ejemplo, los decimales infinitos.999 y 1.000 representan el mismo nmero real, 1. Una afirmacin similar es vlidapara cualquier nmero con una infinita fila de nueves.

Los nmeros reales pueden representarse geomtricamente como puntos sobre unarecta numrica, llamada recta real.

El smbolo denota tanto al sistema de nmeros reales como a la recta real.Las propiedades del sistema de nmeros reales se clasifican en tres categoras: pro-

piedades algebraicas, propiedades de orden y propiedad de completez. Las propiedadesalgebraicas establecen que los nmeros reales pueden sumarse, restarse, multiplicarse ydividirse (excepto entre 0) para obtener ms nmeros reales bajo las reglas usuales de laaritmtica. No es posible dividir entre 0.

2 1 0 1 2 3 434

13

2

22 = 1.4142

13

= 0.33333

- 34

= -0.75000

1.1

En el apndice 4 se dan las propiedades de orden de los nmeros reales. A partir deellas pueden obtenerse las siguientes reglas tiles, donde el smbolo significa implica.Q

2 Captulo 1: Preliminares

Reglas para desigualdadesSi a, b y c son nmeros reales, entonces:

1.

2.

3.

4.Caso especial:

5.

6. Si tanto a como b son ambos positivos o ambos negativos, entonces

a 6 b Q 1b

6 1a

a 7 0 Q 1a 7 0a 6 b Q -b 6 -a

a 6 b y c 6 0 Q bc 6 aca 6 b y c 7 0 Q ac 6 bca 6 b Q a - c 6 b - ca 6 b Q a + c 6 b + c

Tenga en cuenta las reglas para multiplicar una desigualdad por un nmero. Al multiplicarpor un nmero positivo se conserva el sentido de desigualdad; cuando se multiplica por unnmero negativo el sentido de desigualdad cambia. Por otro lado, tomar recprocos invier-te el sentido de desigualdad cuando los nmeros son del mismo signo. Por ejemplo,pero y

En el caso del sistema de nmeros reales, la propiedad de completez* es compleja ydifcil de definir con precisin; sin embargo, es esencial para comprender el concepto delmite (captulo 2). A grandes rasgos, la propiedad de completez afirma que hay suficien-tes nmeros reales para completar la recta real, en el sentido que no haya vacos o fal-tantes o huecos en ella. Si el sistema de nmeros reales no cumpliera con esta propiedad,muchos teoremas de clculo careceran de validez. Por conveniencia, el tema se deja paraun curso ms avanzado, pero el apndice 4 da una idea de sus implicaciones y de cmo seconstruyen los nmeros reales.

Entre los nmeros reales pueden distinguirse tres subconjuntos especiales.

1. Los nmeros naturales, digamos 1, 2, 3, 4, . . .

2. Los nmeros enteros, como

3. Los nmeros racionales, es decir, aquellos que pueden expresarse como una fraccinm/n, donde m y n son enteros y Por ejemplo

Los nmeros racionales son precisamente los nmeros reales con expansiones deci-males, que son

(a) finitas (terminan con una secuencia infinita de ceros), por ejemplo

(b) peridicas (terminan con un bloque de dgitos que se repite una y otra vez), por ejemplo,

La barra indica elbloque de dgitosque se repite.

2311

= 2.090909 = 2.09

34

= 0.75000 = 0.75 o

13

, - 49

= -49

= 4-9 , 20013

, y 57 = 571

.

n Z 0.

0, ;1, ;2, ;3,

1>2 7 1>5.-2 7 -52 6 5

* A este trmino tambin se le conoce como propiedad de densidad o de completitud.

Las expansiones decimales finitas representan un tipo especial de repeticin decimal definal de ceros repetidos.

El conjunto de nmeros racionales tiene todas las propiedades algebraicas y de ordende los nmeros reales, pero carece de la propiedad de completez. Por ejemplo, no existe unnmero racional cuyo cuadrado sea 2; esto quiere decir que hay un vaco en la recta ra-cional, donde debera estar .

Los nmeros reales que no son racionales se llaman nmeros irracionales, y se carac-terizan por tener expansiones decimales no finitas y no peridicas. Por ejemplo,

y Como cada expansin decimal representa un nmero real, resulta evidenteque la cantidad de nmeros irracionales es infinita. Podemos encontrar tanto nmeros racio-nales como irracionales arbitrariamente cercanos a cualquier punto de la recta real.

La notacin de conjuntos es muy til para especificar un subconjunto de nmeros rea-les. Un conjunto es una coleccin de objetos, los mismos que constituyen los elementosdel conjunto. Si S es un conjunto, la notacin significa que a es un elemento de S, y

significa que a no es un elemento de S. Si S y T son conjuntos, es su unin,y sta consiste de todos los elementos que pertenecen a S o a T (o tanto a S como a T). Lainterseccin consiste de todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos, S yT. El conjunto vaco es aquel que no tiene elementos. Por ejemplo, la interseccin delos nmeros racionales y los nmeros irracionales es el conjunto vaco.

Algunos conjuntos pueden describirse al listar sus elementos separados por comasentre llaves. Por ejemplo, el conjunto A, conformado por los nmeros naturales (o enterospositivos) menores que 6, puede expresarse como

El conjunto de todos los nmeros enteros se escribe como

Otra manera de describir un conjunto, consiste en encerrar entre llaves una regla quegenere todos los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto

es el conjunto de los enteros positivos menores que 6.

IntervalosUn subconjunto de la recta real recibe el nombre de intervalo si contiene por lo menos dosnmeros y todos los nmeros reales que estn entre cualquier par de sus elementos. Porejemplo, el conjunto de todos los nmeros reales x tales que es un intervalo, as co-mo el conjunto de todos los x tales que El conjunto de todos los nmerosreales distintos de cero no es un intervalo; como el 0 no se incluye, el conjunto no cumplecon la condicin de contener todos los nmeros reales entre y 1 (por ejemplo).

Geomtricamente, los intervalos corresponden a rayos y segmentos de recta sobre la rec-ta real o a lo largo de la misma. Los intervalos de nmeros que corresponden a segmentos derecta son intervalos finitos; los intervalos que corresponden a rayos y a la recta real son in-tervalos infinitos.

Decimos que un intervalo finito es cerrado si incluye sus dos extremos, semiabiertosi incluye uno de sus extremos pero no el otro, y abierto si no incluye ninguno de sus ex-tremos. Los extremos tambin se llaman puntos frontera, ya que conforman precisamen-te la frontera del intervalo. El resto de los puntos del intervalo son puntos interiores, yconstituyen el interior del intervalo. Los intervalos infinitos, que corresponden a rayos,son cerrados si contienen su extremo finito, de lo contrario son abiertos. La recta realcompleta es un intervalo infinito que es tanto abierto como cerrado.

Resolucin de desigualdadesAl proceso de encontrar el intervalo o intervalos de nmeros que satisfacen una desigual-dad en x se le llama resolver la desigualdad.

-1

-2 x 5.x 7 6

A = 5x x es un entero y 0 6 x 6 66

50, ;1, ;2, ;3, 6 .

A = 51, 2, 3, 4, 56 .

S T

S Ta x Sa H S

log10 3 .23 5 ,

p, 22,

22

1.1 Los nmeros reales y la recta real 3

EJEMPLO 1 Resolver las siguientes desigualdades y mostrar su solucin en forma dedesigualdad, en forma de intervalo y en forma grfica.

(a) (b) (c)

Solucin

(a)

Sumar 1 en ambos lados.

Restar x en ambos lados.

El conjunto solucin es el intervalo abierto (figura 1.1a).

(b)

Multiplicar por 3 ambos lados.

Sumar x en ambos lados.

Restar 3 en ambos lados.

Dividir entre 7. - 37 6 x

-3 6 7x

0 6 7x + 3

-x 6 6x + 3

- x3

6 2x + 1

s - q , 4d

x 6 4

2x 6 x + 4

2x - 1 6 x + 3

6x - 1 5-

x3

6 2x + 12x - 1 6 x + 3


TABLA 1.1 Tipos de intervalos

DescripcinNotacin del conjunto Tipo Figura

Finito: (a, b) Abierto

[a, b] Cerrado

[a, b) Semiabierto

(a, b] Semiabierto

Infinito: Abierto

Cerrado

Abierto

Cerrado

(conjunto de todos Amboslos nmeros reales) abierto y cerrados - q , q d

5x x b6s - q , b]5x x 6 b6s - q , bd5x x a6[a, q d5x x 7 a6sa, q d5x a 6 x b65x a x 6 b65x a x b65x a 6 x 6 b6

a b

a b

a b

a

a

b

b

b

a

0

0

0 1

1

1 4

(a)

37

(b)

115

(c)

x

x

x

FIGURA 1.1 Conjuntos solucinpara las desigualdades del ejemplo 1.

El conjunto solucin es el intervalo abierto (figura 1.1b).

(c) La desigualdad puede satisfacerse solamente si ya que en cual-quier otro caso no est definido o es negativo. As, es positivo y ladesigualdad no se altera si multiplicamos ambos lados por y tenemos que

Multiplicar ambos lados por

Sumar 5 en ambos lados.

El conjunto solucin es el intervalo semiabierto (1, ] (figura 1.1c).

Valor absoluto

El valor absoluto de un nmero x, denotado por se define como

EJEMPLO 2 Encontrar los valores absolutos

Geomtricamente, el valor absoluto de x es la distancia de x a 0 sobre la recta real.Como las distancias siempre son positivas o 0, si vemos que para todo nmero realx, y si y slo si Tambin

la distancia entre x y y sobre la recta real (figura 1.2).Como el smbolo denota siempre la raz cuadrada no negativa de a, una defini-

cin alternativa de es

Es importante recordar que No se puede escribir a menos que se-pamos de antemano que

El valor absoluto tiene las propiedades siguientes. (Se le pedir que pruebe estas pro-piedades en los ejercicios).

a 0.2a2 = a2a2 = a .

x = 2x2 . x 2a

x - y = es igual a la distancia entre x y y

x = 0. x = 0 x 0

3 = 3, 0 = 0, -5 = - s -5d = 5, - a = a

x = e x, x 0 -x, x 6 0.

x ,

11>5O x 11

5.

115 x .

11 5x

sx - 1d . 6 5x - 5

6

x - 1 5

sx - 1d ,sx - 1d6>sx - 1d x 7 1,6>sx - 1d 5

s -3>7, q d


5 5 3

4 1 1 4 3

5 0 3

1 4

FIGURA 1.2 Los valores absolutosindican las distancias entre los puntos de larecta numrica.

Propiedades del valor absoluto

1. Un nmero y su inverso aditivo o negativo tienenel mismo valor absoluto.

2. El valor absoluto de un producto es el producto delos valores absolutos.

3. El valor absoluto de un cociente es el cociente delos valores absolutos.

4. La desigualdad triangular. El valor absoluto dela suma de dos nmeros es menor o igual que lasuma de sus valores absolutos.

a + b a + b

` ab` = a

b

ab = a b

-a = a

Observe que Por ejemplo, mientras que Si a y btienen distinto signo, entonces en cualquier otro caso, En expresionescomo es igual a Las barras que denotan valor absoluto fun-cionan como los parntesis: deben realizarse las operaciones aritmticas del interior antesde tomar el valor absoluto.

EJEMPLO 3 Ilustrar la desigualdad triangular

La desigualdad indica que la distancia de x a 0 es menor que el nmero posi-tivo a. Esto significa que x debe estar entre -a y a, como puede verse en la figura 1.3.

Todos los siguientes enunciados son consecuencia de la definicin de valor absoluto,y suelen ser tiles en la resolucin de ecuaciones o desigualdades con valor absoluto.

x 6 a

-3 - 5 = -8 = 8 = -3 + -5 3 + 5 = 8 = 3 + 5

-3 + 5 = 2 = 2 6 -3 + 5 = 8

-3 + 5 a + b . a + b a + b . a + b

- 3 = -3. -3 = 3, -a Z - a .


a 0 ax

aa

x

FIGURA 1.3 significa que x estentre y a.-a

x 6 a

Valores absolutos e intervalosSi a es cualquier nmero positivo, entonces

5.

6.

7.

8.

9. x a si y slo si x a o x -a x a si y slo si -a x a x 7 a si y slo si x 7 a o x 6 -a x 6 a si y slo si -a 6 x 6 a x = a si y slo si x = ;a

En matemtica, el smbolo denota con frecuencia la relacin lgica si y slo si.Tambin significa implica y es implicado por.

EJEMPLO 4 Resolver una ecuacin con valores absolutos

Resolver la ecuacin

Solucin De acuerdo con la propiedad 5, as que hay dos posibilidades:

Resolver como de costumbre.

Las soluciones de son y

EJEMPLO 5 Resolver una desigualdad con valor absoluto

Resolver la desigualdad ` 5 - 2x ` 6 1.

x = -2.x = 5 2x - 3 = 7

x = 5 x = -2 2x = 10 2x = -4Ecuaciones equivalentessin valores abolutos. 2x - 3 = 7 2x - 3 = -7

2x - 3 = ;7,

2x - 3 = 7.

3

Solucin Tenemos

Propiedad 6

Restar 5.

Tomar recprocos.

Observe cmo se emplearon aqu las distintas reglas para las desigualdades. Multiplicar porun nmero negativo cambia el sentido de la desigualdad. Sucede lo mismo al tomar recpro-cos en una desigualdad cuyos dos lados son positivos. La desigualdad original se satisfacesi y slo si El conjunto solucin es el intervalo abierto ( , ).

EJEMPLO 6 Resolver la desigualdad y mostrar el conjunto solucin en la recta real:

(a) (b)

Solucin

(a)

Propiedad 8

Restar 3.

Dividir entre 2.

El conjunto solucin es el intervalo cerrado [1, 2] (figura 1.4a).

(b)

Propiedad 9

Dividir entre 2.

Sumar

El conjunto solucin es (figura 1.4b).s - q , 1] [2, q d

32

. x 2 o x 1 x - 3

2 1

2 o x - 3

2 - 1

2

2x - 3 1 o 2x - 3 -1 2x - 3 1 1 x 2

2 2x 4

-1 2x - 3 1

2x - 3 1

2x - 3 1 2x - 3 1

1>21>3s1>3d 6 x 6 s1>2d .

3 13

6 x 6 12

.

Multiplicar por - 12

. 3 3 7 1x 7 2

3 -6 6 - 2x 6 -4

5 - 2x ` 6 1 3 -1 6 5 - 2x 6 1


1 2

1 2

(a)

(b)

x

x

FIGURA 1.4 Los conjuntos solucin(a) [1, 2] y (b) delejemplo 6.

s - q , 1] [2, q d

EJERCICIOS 1.1

Representacin decimal1. Exprese 1/9 como un decimal peridico, usando una barra para

indicar los dgitos que se repiten. Cules son las expansiones de-cimales de las siguientes fracciones: 2/9, 3/9, 8/9 y 9/9?

2. Exprese 1/11 como un decimal peridico, usando una barra paraindicar los dgitos que se repiten. Cules son las expansiones de-cimales de las siguientes fracciones: 2/11, 3/11, 9/11 y 11/11?

Desigualdades3. Si cules de las siguientes afirmaciones acerca de x

son necesariamente ciertas y cules no son necesariamente ciertas?

a. b.

c. d.

e. f.

g. h. -6 6 -x 6 -2-6 6 -x 6 2 x - 4 6 21 6

6x 6 3

16

6 1x 612

1 6 x2

6 3

0 6 x - 2 6 40 6 x 6 4

2 6 x 6 6,

4. Si cules de las siguientes afirmaciones acer-ca de y son necesariamente ciertas y cules no son necesariamenteciertas?

a. b.

c. d.

e. f.

g. h.

En los ejercicios 5-12, resuelva las desigualdades y muestre su con-junto solucin en forma grfica (sobre la recta real).

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

Valor absolutoResuelva las ecuaciones en los ejercicios 13-18.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

Resuelva las desigualdades en los ejercicios 19-34, expresando losconjuntos solucin como intervalos o uniones de intervalos. Asimismo,muestre el conjunto solucin en forma grfica (sobre la recta real).

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

31. 32. 33.

34. ` 3r5

- 1 ` 7 25

` r + 12` 1 2 - 3x 7 5 1 - x 7 1

s + 3 12 2s 4` 2x - 4 ` 6 3

` 3 - 1x ` 6 12` 32 z - 1 ` 2` z5 - 1 ` 1 2y + 5 6 1 3y - 7 6 4 t + 2 6 1

t - 1 3 x 2 x 6 2

` s2

- 1 ` = 1 8 - 3s = 92 1 - t = 1 2t + 5 = 4 y - 3 = 7 y = 3

- x + 52

12 + 3x4

45

sx - 2d 6 13

sx - 6d

6 - x4

6 3x - 42

2x - 12

7x + 76

3s2 - xd 7 2s3 + xd5x - 3 7 - 3x

8 - 3x 5-2x 7 4

y - 5 6 116 61y 6

14

2 6y

26 30 6 y - 4 6 2

y 6 6y 7 4

-6 6 y 6 -44 6 y 6 6

-1 6 y - 5 6 1, Desigualdades cuadrticasResuelva las desigualdades en los ejercicios 35-42. Exprese el conjun-to solucin en forma de intervalos o uniones de intervalos, y en formagrfica (en la recta real). Use el resultado segn convenga.

35. 36. 37.

38. 39. 40.

41. 42.

Teora y ejemplos43. Evite caer en el error de que Para cules nmeros reales

a es verdadera esta ecuacin? Para cules nmeros reales es falsa?

44. Resuelva la ecuacin

45. Una demostracin de la desigualdad triangular D una ra-zn que justifique cada uno de los pasos numerados en la siguientedemostracin de la desigualdad triangular.

(1)

(2)

(3)

(4)

46. Demuestre que para cualesquiera nmeros a y b.

47. Si y qu se puede decir acerca de x?

48. Trace la grfica de la desigualdad

49. Sea y sea cualquier nmero positivo. De-muestre que implica Aqu lanotacin se refiere al valor de la expresin cuando

Esta notacin de funcin se explica en la seccin 1.3.

50. Sea y sea cualquier nmero positivo.

Demuestre que

Aqu la notacin se refiere al valor de la expresincuando (Vea la seccin 1.3).

51. Demuestre que para cualquier nmero a.

52. Sea a cualquier nmero positivo. Demuestre que si y slosi o

53. a. Si b es cualquier nmero real distinto de cero, demuestre que

b. Demuestre que a y b Z 0.

54. Usando induccin matemtica (vea el apndice 1), demuestre quepara cualquier nmero a y n un entero positivo. an = a n

` ab` = a

b para cualesquiera nmeros

1>b = 1> b .

x 6 -a .x 7 a x 7 a

-a = a .x = a.

2x + 3(a) sxd - s0d 6 P siempre que x - 0 6

P2

.P 7 0sxd = 2x + 3

x = a.2x + 1(a)

sxd - s1d 6 2d . x - 1 6 dd 7 0sxd = 2x + 1

x + y 1.

x 7 -1>2, x 3 ab = a b

a + b a + b

= s a + b d2 = a 2 + 2 a b + b 2 a2 + 2 a b + b2 = a2 + 2ab + b2

a + b 2 = sa + bd2

x - 1 = 1 - x .

-a = a .

x2 - x - 2 0x2 - x 6 0

sx + 3d2 6 2sx - 1d2 6 419

6 x2 6 14

4 6 x2 6 94 x2x2 6 22a2 = a


1.2 Rectas, crculos y parbolas 9

Rectas, crculos y parbolas

En esta seccin hablaremos de coordenadas cartesianas, rectas, distancia, crculos y par-bolas en el plano. Tambin se discutir el concepto de incremento.

Coordenadas cartesianas en el plano

En la seccin anterior identificamos puntos sobre la recta con nmeros reales asignndo-les coordenadas. Los puntos que estn en el plano pueden identificarse como pares orde-nados de nmeros reales. Para empezar, trazamos dos rectas coordenadas perpendicularesque se intersecan en el punto 0 de cada recta. Estas rectas se llaman ejes coordenados enel plano. En el eje horizontal x, los nmeros se denotan mediante x y se incrementan hacia laderecha. En el eje vertical y, los nmeros se denotan mediante y y se incrementan haciaarriba (figura 1.5). En consecuencia, hacia arriba y hacia la derecha son direccionespositivas, mientras que hacia abajo y hacia la izquierda son consideradas como negati-vas. El origen O tambin identificado con un 0 del sistema de coordenadas es el puntodel plano donde x y y son cero.

Si P es cualquier punto en el plano, puede ser localizado mediante, exactamente, unpar ordenado de nmeros reales de la siguiente manera. Se trazan rectas que pasen por P ysean perpendiculares a los dos ejes coordenados. Si estas rectas intersecan los ejes x y y enpuntos con coordenadas a y b, respectivamente (figura 1.5), entonces el par ordenado (a, b)se asigna al punto P, y se llama par coordenado. El primer nmero, a, es la coordenada x(o abscisa) de P; el segundo nmero, b, es la coordenada y (u ordenada) de P. La coor-denada x de cualquier punto en el eje y es 0. La coordenada y de cualquier punto en el ejex es 0. El origen es el punto (0, 0).

Empezando con un par ordenado (a, b), podemos invertir el proceso y llegar al punto Pcorrespondiente en el plano. Frecuentemente identificamos P con el par ordenado y escri-bimos P(a, b). Algunas veces tambin nos referimos al punto (a, b) y el contexto nospermitir saber cuando (a, b) se refiere a un punto en el plano y no a un intervalo abiertoen la recta real. En la figura 1.6 se muestran varios puntos identificados por sus coordenadas.

Este sistema de coordenadas se denomina sistema rectangular de coordenadas osistema de coordenadas cartesianas (en honor de Ren Descartes, matemtico francsdel siglo XVI). Los ejes coordenados de este plano coordenado o cartesiano dividen el pla-no en cuatro regiones llamadas cuadrantes, numerados en sentido contrario al movimien-to de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 1.6.

La grfica de una ecuacin o desigualdad en las variables x y y es el conjunto de todoslos puntos P(x, y) en el plano, cuyas coordenadas satisfacen la ecuacin o desigualdad.Cuando se grafican datos en el plano cartesiano o se traza la grfica de frmulas con va-riables que tienen distintas unidades de medida, no es necesario usar la misma escala enlos dos ejes. Si graficamos, por ejemplo, tiempo contra fuerza de propulsin al analizar elcomportamiento del motor de un cohete, no hay razn para colocar la marca que muestra1 segundo a la misma distancia del origen sobre el eje del tiempo, que la marca que identi-fica 1 libra sobre el eje de la fuerza de propulsin.

En general, cuando se grafican funciones cuyas variables no representan medidas fsicasy cuando se trazan figuras en el plano cartesiano para estudiar su geometra y trigonome-tra, se intenta que las marcas de las escalas sean idnticas en ambos ejes. As, una unidadvertical de distancia se ve igual que una unidad horizontal. Como en un mapa topogrficoo en un dibujo a escala, los segmentos de recta que supuestamente tengan la misma longi-tud se vern de un largo equivalente, y los ngulos que supuestamente sean congruentes severn congruentes.

Las pantallas de calculadoras o computadoras son otro asunto. Las escalas vertical yhorizontal de las grficas generadas por computadora suelen diferir, y existen distorsionesen distancias, pendientes y ngulos. Los crculos se pueden ver como elipses, los rectngulospueden verse como cuadrados, los ngulos rectos como agudos u obtusos, etctera. En laseccin 1.7 estudiaremos con ms detalle estas imgenes y distorsiones.

1.2

Eje x positivoEje y negativo

Eje x negativo Origen

Eje y positivo

P(a, b)

0 1123 2 3a

y

1

1

2

3

2

3

b

x

FIGURA 1.5 Las coordenadas cartesianasdel plano se basan en dos ejes perpendicularesque se intersecan en el origen.

x

y

Segundo cuadrante (, )

Primer cuadrante (, )

Tercer cuadrante (, )

Cuarto cuadrante (, )

1012 2

(0, 0)(1, 0)

(2, 1)

(1, 3)

(1, 2)

( 2, 1)

( 2, 1)1

1

2

2

3

FIGURA 1.6 Identificacin de puntos enel plano xy o plano cartesiano. Todos lospuntos sobre los ejes tienen un parcoordenado, pero usualmente estnmarcados con un solo nmero real (demanera que (1, 0) en el eje x se identificacon 1). Observe los patrones de los signosde las coordenadas en los cuadrantes.

Incrementos y rectas

Cuando una partcula se mueve de un punto del plano a otro, los cambios netos en sus coor-denadas reciben el nombre de incrementos. Tales incrementos se calculan restando lascoordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final. Si x cambia de a elincremento en x es

EJEMPLO 1 Si vamos del punto al punto B(2, 5), los incrementos en las coor-denadas x y y son

De C(5, 6) a D(5, 1), los incrementos de las coordenadas son

Vea la figura 1.7.Dados dos puntos y en el plano, llamamos a los incrementos

y el avance y la elevacin, respectivamente, entre y Dos puntos determinan siempre una nica lnea recta (por lo general denominada simple-mente recta) que pasa por ambos. La llamamos recta

Cualquier recta no vertical en el plano tiene la propiedad de que la razn

Es la frmula dados dos puntos y en la recta (figura 1.8). Esto se debea que las razones de los lados correspondientes de dos tringulos semejantes son iguales.

P2sx2, y2dP1sx1, y1d

m = elevacincorrida

=yx =

y2 - y1x2 - x1

P1 P2 .

P2 .P1y = y2 - y1x = x2 - x1P2sx2, y2dP1sx1, y1d

x = 5 - 5 = 0, y = 1 - 6 = -5.x = 2 - 4 = -2, y = 5 - s -3d = 8.

As4, -3d

x = x2 - x1 .

x2 ,x1


DEFINICIN PendienteLa constante

es la pendiente de la recta no vertical P1 P2 .

m = elevacincorrida

=yx =

y2 - y1x2 - x1

La pendiente nos indica la direccin (hacia arriba, hacia abajo) a la derecha y la incli-nacin de una recta. Una recta con pendiente positiva va hacia arriba a la derecha; una rec-ta con pendiente negativa va hacia abajo a la derecha (figura 1.9). A medida que aumentael valor absoluto de la pendiente, ms rpido es el ascenso o el descenso de la recta, es de-cir, mayor es su inclinacin. Una recta con pendiente cero tiene direccin horizontal y notiene inclinacin. La pendiente de una recta vertical es indefinida. Como el avance escero en el caso de una recta vertical, resulta imposible evaluar la razn de la pendiente m.

La direccin y la inclinacin de una recta tambin pueden medirse con un ngulo. Elngulo de inclinacin de una recta que cruza el eje x es el menor ngulo medido en senti-do contrario al movimiento de las manecillas del reloj del eje x a la recta (figura 1.10). Lainclinacin de una recta horizontal es 0. La inclinacin de una recta vertical es 90. Si(la letra griega phi, o fi) es la inclinacin de una recta, entonces 0 f 6 180.

f

x

y 8

x 2

A(4, 3)(2, 3)

y 5,x 0

D(5, 1)

C(5, 6)

B (2, 5)

1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

1

2

3

y

x

FIGURA 1.7 Los incrementos de lascoordenadas pueden ser positivos,negativos o nulos (ejemplo 1).

P1

P2(x2, y2)

x

x(corrida)

P1(x1, y1)

Q(x2, y1)

y(eleva cin) y

P2

0

Q

L

x

y

FIGURA 1.8 Los tringulos yson semejantes, de manera que la

razn de sus lados tiene el mismo valorpara cualesquiera dos puntos sobre larecta. Este valor comn es la pendientede la recta.

P1QP2P1 QP2

BIOGRAFA HISTRICA*

Ren Descartes(15961650)

*Para aprender ms acerca de las figuras histricas y del desarrollo de los elementos y temas principalesdel clculo, visite www.aw-bc.com/thomas.

En la figura 1.11 se muestra la relacin entre la pendiente m de una recta no vertical yel ngulo de inclinacin de la misma:

Las rectas tienen ecuaciones relativamente sencillas. Todos los puntos sobre la rectavertical que pasa por el punto a, en el eje x tienen coordenadas x iguales a a. Por lo tanto,

es una ecuacin para la recta vertical. De manera similar, es una ecuacinpara la recta horizontal que interseca el eje y en b. (Vea la figura 1.12).

Podemos escribir una ecuacin para una recta no vertical L si conocemos su pendientem y las coordenadas, de uno de sus puntos. Si P(x, y) es cualquier otro punto enL, podemos usar los dos puntos y P para calcular la pendiente:

de manera que

y - y1 = msx - x1d o y = y1 + msx - x1d .m =

y - y1x - x1

P1P1sx1, y1d

y = bx = a

m = tan f .

f


La ecuacin

es la ecuacin punto-pendiente de la recta que pasa por el punto y tienependiente m.

sx1, y1d

y = y1 + msx - x1d

EJEMPLO 2 Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (2, 3) y tienependiente 3/2.

Solucin Sustituimos y en la ecuacin punto-pendiente paraobtener

Cuando as la recta interseca el eje y en

EJEMPLO 3 Una recta que pasa por dos puntos

Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por y (3, 4).

Solucin La pendiente de la recta es

Podemos usar esta pendiente con cualquiera de los dos puntos dados en la ecuacin punto-pendiente:

Con Con

Algunos resultados

Esto es, es la ecuacin de la recta (figura 1.13).y = x + 1

y = x + 1y = x + 1y = 4 + x - 3y = -1 + x + 2y = 4 + 1 # sx - 3dy = -1 + 1 # sx - s -2dd

sx1 , y1d s3, 4dsx1 , y1d s2, 1d

m = -1 - 4-2 - 3 =-5-5 = 1.

s -2, -1d

y = 6.x = 0, y = 6

y = 3 - 32

Ax - 2 B , o y = - 32 x + 6.m = -3>2x1 = 2, y1 = 3,

x

y

P1

P2 L

y

x

yx

m tan

FIGURA 1.11 La pendiente de una rectano vertical es la tangente de su ngulo deinclinacin.

este s

este no

este s

este no

x x

FIGURA 1.10 Los ngulos de inclinacinse miden en sentido contrario almovimiento de las manecillas del reloj, apartir del eje x.

x

y

P2(4, 2)

P1(0, 5)P4(3, 6)

P3(0, 2)

101

1

2

3

4

6

2 3 4 5 6

L2

L1

FIGURA 1.9 La pendiente de es

Esto es, y aumenta 8 unidades cada vezque x se incrementa 3 unidades. Lapendiente de es

Esto es, y disminuye 3 unidades cada vezque x se reduce 4 unidades.

m =yx =

2 - 54 - 0 =

-34

.

L2

m =yx =

6 - s -2d3 - 0 =

83

.

L1

La coordenada y del punto donde una recta no vertical interseca el eje y se llama or-denada al origen de la recta. De forma similar, la abscisa al origen de una recta no hori-zontal es la coordenada x del punto donde interseca el eje x (figura 1.14). Una recta conpendiente m y ordenada al origen b en y pasa por el punto (0, b), tiene la ecuacin

y = b + msx - 0d, o, simplemente, y = mx + b .


x

y

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4

A lo largo de esta recta,x 2

A lo largo de esta recta,y 3

(2, 3)

FIGURA 1.12 Las ecuaciones estndarpara las rectas vertical y horizontal quepasan por (2, 3) son x = 2 y y = 3.

La ecuacin

se denomina ecuacin pendiente-ordenada al origen de la recta con pendientem e interseccin con el eje y, u ordenada al origen, b.

y = mx + b

Las rectas con ecuaciones de la forma tienen interseccin con el eje y 0 y, por lotanto, pasan por el origen. Las ecuaciones de esas rectas reciben el nombre de ecuacioneslineales.

La ecuacin

se conoce como ecuacin general lineal en x y y, ya que su grfica siempre representauna recta y toda recta tiene una ecuacin con esta forma (incluyendo las rectas con pen-diente indefinida).

EJEMPLO 4 Encontrar la pendiente y la ordenada al origen

Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta y

Solucin Se despeja y de la ecuacin a fin de ponerla en la forma pendiente-ordenada alorigen:

La pendiente es La ordenada y al origen es

Rectas paralelas y perpendiculares

Las rectas paralelas tienen el mismo ngulo de inclinacin, de manera que tienen la mismapendiente (si no son verticales). Recprocamente, las rectas con pendientes iguales tienenel mismo ngulo de inclinacin y son, por lo tanto, paralelas.

Si dos rectas no verticales y son perpendiculares, sus pendientes y satis-facen de manera que cada pendiente es el recproco negativo de la otra:

Para comprobarlo, observe que, de acuerdo con los tringulos semejantes de la figura1.15, y Por lo tanto, m1 m2 = sa>hds -h>ad = -1.m2 = -h>a .m1 = a>h ,

m1 = -1

m2 , m2 = - 1m1 .m1 m2 = -1,

m2m1L2L1

b = 4.m = -8>5. y = - 85 x + 4.

5y = -8x + 20 8x + 5y = 20

8x + 5y = 20.

Ax + By = C sA o B distintas de cerod

y = mx

x

y

b

0 a

L

FIGURA 1.14 La recta L tiene unainterseccin x a y una interseccin y b.

x

y

4

02 1 2 31

(2, 1)

(3, 4)

y x 1

FIGURA 1.13 La recta del ejemplo 3.

Distancia y crculos en el plano

La distancia entre puntos en el plano se calcula a partir de la frmula del teorema de Pit-goras (figura 1.16).


x

y

0 A D Ba

Pendiente m1

Pendiente m2

C

L2L1

h1

21

FIGURA 1.15 es semejante aEn consecuencia, tambin es el

ngulo superior en A partir de loslados de vemos que tan f1 = a>h .CDB ,

CDB .f1CDB .

ADC

x2 x1

P(x1, y1)

y2 y1

C(x2, y1)

Q(x2, y2)x2 x1

2 y2 y12d

(x2 x1)2 (y2 y1)

2

Esta distancia es

x

y

0 x1

y1

y2

x2

FIGURA 1.16 Para calcular la distancia entrey aplicamos el teorema de

Pitgoras al tringulo PCQ.Qsx2 , y2d ,Psx1 , y1d

Frmula de distancia para puntos en el planoLa distancia entre y es

d = 2sxd2 + syd2 = 2sx2 - x1d2 + s y2 - y1d2 .

Qsx2 , y2dPsx1 , y1d

(1)(x - h)2 + (y - k)2 = a2.

EJEMPLO 5 Calcular la distancia entre dos puntos

(a) La distancia del origen al punto y Q(3, 4) es

(b) La distancia entre el origen y P(x, y) es

Por definicin, un crculo de radio a es el conjunto de todos los puntos P(x, y) cuyadistancia desde algn punto fijo, llamado centro del crculo, C(h, k) es igual a a (figura1.17). De acuerdo con la frmula de la distancia, P est en el crculo si y slo si

de manera que

2sx - hd2 + s y - kd2 = a ,

2sx - 0d2 + s y - 0d2 = 2x2 + y2 .

2s3 - s -1dd2 + s4 - 2d2 = 2s4d2 + s2d2 = 220 = 24 # 5 = 225.Ps -1, 2d

La ecuacin (1) es la ecuacin estndar de un crculo con centro en (h, k) y radio a. Elcrculo de radio y centro en el origen es el crculo unitario, con ecuacin

x2 + y2 = 1.

a = 1

(x h)2 (y k)2 a2

C(h, k)

a

P(x, y)

0x

y

FIGURA 1.17 Un crculo con radio a enel plano xy y centro en (h, k) .

EJEMPLO 6

(a) La ecuacin estndar del crculo de radio 2 y centro en (3, 4) es

(b) El crculo

tiene y El centro es el punto y el radio es

Si la ecuacin de un crculo no est en la forma estndar, para encontrar su centro y suradio primero deber convertirse la ecuacin a dicha forma. La tcnica algebraica para ha-cerlo consiste en completar los cuadrados (vea el apndice 9).

EJEMPLO 7 Encontrar el centro y el radio de un crculo

Encontrar el centro y el radio del crculo

Solucin Convertimos la ecuacin a la forma estndar, completando los cuadrados en xy en y.

El centro es y el radio es

Los puntos (x, y) que satisfacen la desigualdad

forman la regin interior del crculo con centro en (h, k) y radio a (figura 1.18). El exte-rior del crculo consiste de los puntos (x, y) que satisfacen

Parbolas

La definicin geomtrica y las propiedades generales de las parbolas se abordan en laseccin 10.1. Aqu hablaremos de las parbolas que surgen al graficar las ecuaciones dela forma y = ax2 + bx + c .

sx - hd2 + s y - kd2 7 a2 .

sx - hd2 + s y - kd2 6 a2

a = 4.s -2, 3d

sx + 2d2 + s y - 3d2 = 16

sx2 + 4x + 4d + s y2 - 6y + 9d = 3 + 4 + 9

3 + a42b2 + a-6

2b2

ax2 + 4x + a42b2b + ay2 - 6y + a-6

2b2b =

sx2 + 4x d + s y2 - 6y d = 3

x2 + y2 + 4x - 6y - 3 = 0

x2 + y2 + 4x - 6y - 3 = 0.

a = 23.sh, kd = s1, -5da = 23.h = 1, k = -5,

sx - 1d2 + s y + 5d2 = 3

sx - 3d2 + s y - 4d2 = 22 = 4.


Empezamos con la ecuacin dada.

Agrupamos trminos. Pasamos laconstante al lado derecho.

Sumamos el cuadrado de la mitaddel coeficiente de x en amboslados de la ecuacin. Hacemos lomismo con y. Las expresiones queestn dentro de los parntesis enel lado izquierdo son ahoracuadrados perfectos.

Factorizamos los trinomios cua-drados perfectos, como binomioscuadrados.

Exterior: (x h)2 (y k)2 a2

Interior: (x h)2 (y k)2 a2

(h, k)

a

0 hx

y

k

En: (x h)2 (y k)2 a2

FIGURA 1.18 El interior y el exterior delcrculo sx - hd2 + s y - kd2 = a2 .

EJEMPLO 8 La parbola

Considere la ecuacin Algunos de los puntos que satisfacen esta ecuacin son

y Estos puntos (y todos los dems que sa-

tisfacen la ecuacin), forman una curva suave llamada parbola (figura 1.19).

La grfica de una ecuacin de la forma

es una parbola cuyo eje de simetra es el eje y. El vrtice de la parbola (el punto dondela parbola interseca su eje de simetra) est en el origen. La parbola abre hacia arriba si

y hacia abajo si Entre ms grande sea el valor de la parbola ser msangosta (figura 1.20).

Generalmente, la grfica de es una parbola desplazada en formahorizontal y vertical de la parbola En la seccin 1.5 discutiremos con ms detalleel desplazamiento horizontal y vertical de las grficas de las funciones cuadrticas.

y = x2 .y = ax2 + bx + c

a ,a 6 0.a 7 0

y = ax2

s -2, 4d .s0, 0d, s1, 1d, a32

, 94b , s -1, 1d, s2, 4d ,

y = x2 .

y = x2


0 1 212

1

4(2, 4)

(1, 1) (1, 1)

(2, 4)

32

94

,

x

y

y x2

FIGURA 1.19 La parbola(ejemplo 8).

y = x2

La grfica de y = ax2 + bx + c, a Z 0La grfica de la ecuacin es una parbola. La par-bola abre hacia arriba si y hacia abajo si El eje x es la recta

(2)

El vrtice de la parbola es el punto donde el eje y la parbola se intersecan. Sucoordenada x es su coordenada y se encuentra sustituyendo

en la ecuacin de la parbola.x = -b>2a x = -b>2a ;

x = - b2a

.

a 6 0.a 7 0y = ax2 + bx + c, a Z 0,

Observe que si tenemos la cual es la ecuacin de una recta. Eleje, dado por la ecuacin (2), puede encontrarse completando el cuadrado o usando unatcnica que estudiaremos en la seccin 4.1.

EJEMPLO 9 Trazar la grfica de una parbola

Trazar la grfica de la ecuacin

Solucin Comparando la ecuacin con vemos que

Dado que la parbola abre hacia abajo. De acuerdo con la ecuacin (2), su eje es larecta vertical

x = - b2a

= -s -1d

2s -1>2d = -1.

a 6 0,

a = - 12

, b = -1, c = 4.y = ax2 + bx + c

y = - 12

x2 - x + 4.

y = bx + ca = 0,

Eje

de

sim

etr

a

Vrtice en el origen

1

1

4 3 2 2 3 4

y x2

y x2

6

y x2

10

y x2

2

y 2x2

x

y

FIGURA 1.20 Adems de determinar ladireccin en la que abre la parbola

, el nmero a es un factor deescalamiento. La parbola se ensanchaconforme a se acerca a cero, y se estrechaconforme aumenta. a

y = ax2

Cuando tenemos

El vrtice esLas intersecciones con el eje x se dan en los puntos donde

Graficamos algunos puntos, trazamos el eje y usamos las reglas de direccin de la apertu-ra de la parbola para completar la grfica de la figura 1.21.

x = 2, x = -4 sx - 2dsx + 4d = 0 x2 + 2x - 8 = 0

- 12

x2 - x + 4 = 0

y = 0:s -1, 9>2d .

y = - 12

s -1d2 - s -1d + 4 = 92

.

x = -1,


Con interseccin en x = 4 y x = 2

Punto simtrico con interseccin y

El vrtice es

92

1,

Con interseccin en y = 4

(0, 4)(2, 4)

0

1

2

3

123

Eje

s: x

=

1

x

y

y = x2 x + 4 12

FIGURA 1.21 La parbola del ejemplo 9.

EJERCICIOS 1.2

Incrementos y distanciaEn los ejercicios 1-4, una partcula se mueve de A a B en el planocoordenado. Encuentre los incrementos y en las coordenadasde la partcula. Determine tambin la distancia de A a B.

1. 2.

3. 4.

Describa las grficas de las ecuaciones de los ejercicios 5-8.

5. 6.

7. 8.

Pendientes, rectas e interseccionesEn los ejercicios 9-12, grafique los puntos y encuentre la pendiente (siexiste) de la recta que stos determinan. Encuentre tambin la pen-diente comn (si existe) de las rectas perpendiculares a la recta AB.

9. 10.

11. 12.

En los ejercicios 13-16, encuentre la ecuacin para (a) la recta verti-cal, y (b) la recta horizontal que pasa por el punto dado.

13. 14.

15. 16.

En los ejercicios 17-30, encuentre la ecuacin de la recta, dados losdatos siguientes.

17. Pasa por con pendiente -1s -1, 1d

s -p, 0dA0, -22 BA22, -1.3 Bs -1, 4>3d

As -2, 0d, Bs -2, -2dAs2, 3d, Bs -1, 3d

As -2, 1d, Bs2, -2dAs -1, 2d, Bs -2, -1d

x2 + y2 = 0x2 + y2 3x2 + y2 = 2x2 + y2 = 1

As22, 4d, Bs0, 1.5dAs -3.2, -2d, Bs -8.1, -2d

As -1, -2d, Bs -3, 2dAs -3, 2d, Bs -1, -2d

yx

18. Pasa por (2, 3) con pendiente 1/2

19. Pasa por (3, 4) y (2, 5)

20. Pasa por (8, 0) y (1, 3)

21. Tiene pendiente 5/4 y ordenada al origen 6

22. Tiene pendiente 1/2 y ordenada al origen 3

23. Pasa por (12, 9) y tiene pendiente 0

24. Pasa por (1/3, 4) y la recta es vertical

25. Tiene y abscisa al origen 4 y abscisa al origen 1

26. Tiene y abscisa al origen 6 y abscisa al origen 2

27. Pasa por (5, 1) y es paralela a la recta

28. Pasa por y es paralela a la recta

29. Pasa por (4, 10) y es perpendicular a la recta

30. Pasa por (0, 1) y es perpendicular a la recta

En los ejercicios 31-34, encuentre las intersecciones con los ejes x y y,y utilice esta informacin para trazar la grfica de la recta.

31. 32.

33. 34.

35. Encuentra algo especial en la relacin entre las rectasy Justifique su

respuesta.

36. Encuentra algo especial en la relacin entre las rectasy Justifique su

respuesta.Ax + By = C2 sA Z 0, B Z 0d?Ax + By = C1

Bx - Ay = C2 sA Z 0, B Z 0d?Ax + By = C1

1.5x - y = -322x - 23y = 26

x + 2y = -43x + 4y = 12

8x - 13y = 13

6x - 3y = 5

22x + 5y = 23A -22, 2 B2x + 5y = 15

Incrementos y movimiento37. Una partcula empieza en y sus coordenadas cambian con

incrementos Determine su nueva posicin.38. Una partcula empieza en A(6, 0) y sus coordenadas cambian con

incrementos Encuentre su nueva posicin.39. Las coordenadas de una partcula cambian con y

conforme se mueve de A(x, y) a Determine su nuevaposicin.

40. Una partcula empieza en A(1, 0), da una vuelta alrededor del ori-gen, en sentido contrario al movimiento de las manecillas del re-loj, y regresa a A(1, 0). Cules fueron los cambios netos en suscoordenadas?

CrculosEn los ejercicios 41-46, encuentre la ecuacin para el crculo con elcentro C (h, k) y el radio a. Despus, trace el crculo en el plano xy. In-cluya el centro del crculo en su grfica, e identifique, de existir, lasintersecciones del crculo con los ejes x y y. Etiquete estos puntos consus pares coordenados.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

Grafique los crculos cuyas ecuaciones se dan en los ejercicios 47-52.Determine el centro de cada crculo y las intersecciones con los ejes(si existen) con sus pares coordenados.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

ParbolasGrafique las parbolas de los ejercicios 53-60. Determine, en cada ca-so, las coordenadas del vrtice, el eje de simetra y las interseccionescon los ejes si existen.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

DesigualdadesEn los ejercicios 61-68, describa las regiones definidas por las desi-gualdades o pares de desigualdades.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67. x2 + y2 + 6y 6 0, y 7 -3x2 + y2 4, sx + 2d2 + y2 4x2 + y2 7 1, x2 + y2 6 4x2 + sy - 2d2 4sx - 1d2 + y2 4x2 + y2 6 5x2 + y2 7 7

y = - 14

x2 + 2x + 4y = 12

x2 + x + 4

y = 2x2 - x + 3y = -x2 - 6x - 5y = -x2 + 4x - 5y = -x2 + 4xy = x2 + 4x + 3y = x2 - 2x - 3

x2 + y2 + 2x = 3x2 + y2 - 4x + 4y = 0x2 + y2 - 4x - s9>4d = 0x2 + y2 - 3y - 4 = 0x2 + y2 - 8x + 4y + 16 = 0x2 + y2 + 4x - 4y + 4 = 0

Cs3, 1>2d, a = 5C A -23, -2 B , a = 2Cs1, 1d, a = 22Cs -1, 5d, a = 210Cs -3, 0d, a = 3Cs0, 2d, a = 2

Bs3, -3d .y = 6x = 5

x = -6, y = 0.

x = 5, y = -6.As -2, 3d

68.

69. Determine una desigualdad que describa los puntos que estndentro del crculo con centro en (2, 1) y radio

70. Determine una desigualdad que describa los puntos que estn fue-ra del crculo con centro en (4, 2) y radio 4.

71. Determine un par de desigualdades que describan los puntos que

estn dentro o sobre el crculo con centro en (0, 0) y radio ysobre o a la derecha de la recta vertical que pasa por (1, 0).

72. Determine un par de desigualdades que describan los puntos queestn fuera del crculo con centro en (0, 0) y radio 2, y dentro delcrculo que tiene centro en (1, 3) y pasa por el origen.

Interseccin de rectas, crculos y parbolasEn los ejercicios 73-80, grafique las dos ecuaciones y encuentre lospuntos en donde se intersecan las grficas.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

Aplicaciones81. Aislantes Mida las pendientes de la siguiente figura para esti-

mar el cambio de temperatura, en grados por pulgada, para estosaislantes: (a) tablero de yeso; (b) fibra de vidrio; (c) revestimientode madera.

x2 + y2 = 1, x2 + y = 1x2 + y2 = 1, sx - 1d2 + y2 = 1

y = 14

x2, y = sx - 1d2

y = -x2, y = 2x2 - 1x + y = 0, y = - sx - 1d2y - x = 1, y = x2x + y = 1, sx - 1d2 + y2 = 1y = 2x, x2 + y2 = 1

22,

26.

x2 + y2 - 4x + 2y 7 4, x 7 2


Tem

pera

tura

(F

)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Distancia entre la pared (pulgadas)

0 1 2 3 4 5 6 7

Tablero de yesoRevestimiento de madera

Tablas de acabado

Aire exterior a 0F

Fibra de vidrio

Aire dentro de la habita cin a 72F

Cambios de temperatura en la pared, ejercicios 81 y 82.

82. Aislantes De acuerdo con la figura del ejercicio 81, cul de losmateriales es mejor aislante? Cul es el peor? Explique.

83. Presin bajo el agua De acuerdo con la frmula(k constante), la presin p que experimenta un buzo bajo el aguaest relacionada con la profundidad d a la que se encuentra. Lapresin es de 1 atmsfera en la superficie; a 100 metros es, aproxi-madamente, 10.94 atmsferas. Determine la presin a 50 metros.

84. Reflexin de la luz Un rayo de luz viaja a lo largo de la rectadesde el segundo cuadrante, y se refleja sobre el eje x

(vea la siguiente figura). El ngulo de incidencia es igual al ngu-lo de reflexin. Escriba la ecuacin de la recta por la que viaja laluz.

x + y = 1

p = kd + 1

88. Demuestre que el tringulo con vrtices en A(0, 0), yC (2, 0) es equiltero.

89. Pruebe que los puntos B(1, 3) y son vrticesde un cuadrado, y encuentre el cuarto vrtice.

90. El rectngulo que se muestra enseguida tiene lados paralelos a losejes, es tres veces ms largo que ancho y tiene un permetro de 56unidades. Encuentre las coordenadas de los vrtices A, B y C.

91. Tres paralelogramos diferentes tienen vrtices en (2, 0) y(2, 3). Trcelos y encuentre las coordenadas del cuarto vrtice decada uno.

92. Como se muestra en la figura, una rotacin de 90 alrededor delorigen en sentido contrario al movimiento de las manecillas delreloj, manda el punto (2, 0) a (0, 2) y (0, 3) a A dndemanda cada uno de siguientes pares?

a. (4, 1) b. c.

d. (x, 0) e. (0, y) f. (x, y)

g. De qu punto proviene (10, 3)?

93. Para qu valor de k la recta es perpendicular a larecta Para qu valor de k estas rectas son paralelas?

94. Encuentre la recta que pasa por el punto (1, 2) y por el punto endonde se intersectan las dos rectas y

95. Punto me

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