UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIOFACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERA Y AGRIMENSURA ESCUELA DE INGENIERA CIVIL INSTITUTO DE MECNICA APLICADA Y ESTRUCTURAS (IMAE)

CLCULO PLSTICO DE ESTRUCTURAS

Dr. Ing. OSCAR MLLER

Ao 2011

II

III

NDICE1 INTRODUCCIN ................................................................................ . 1 3 4 4 5 6 6 8 8 5 12 14 14 16 18 20 23 23 24 24 24 30 30 31 31 32 33 33 35

2 MATERIAL ELASTOPLSTICO IDEAL - ACERO

3 ANLISIS DE UN HIPERESTTICO SENCILLO BAJO ESFUERZOS AXIALES ....................................................................................................... 3.1 Periodo elstico . 3.2 Periodo elasto - plstico ......................... 3.3 Periodo plstico .................................... 3.4 Conclusiones ......................................... 4 FLEXIN PLSTICA ............................................................................................. 4.1 Momento plstico. Factor de forma 4.2 Concepto de rtula plstica ................. 5 RESUMEN DE HIPTESIS . 6 ANLISIS DE ESTRUCTURAS SOLICITADAS A FLEXIN ........................... 6.1 Viga simplemente apoyada . 6.2 Viga empotrada empotrada con carga uniforme ........................ 6.3 Viga empotrada empotrada con carga concentrada .................. 6.4 Caso general de una estructura hiperesttica ................................ 7 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL ANLISIS LMITE APLICACIONES ............................................................................................. 7.1 Teorema del lmite inferior o teorema esttico 7.2 Teorema del lmite superior o teorema cinemtico 7.3 Teorema de la unicidad ......................... 7.4 Mtodos para determinar la carga lmite 8 COMPLEMENTOS 8.1 Colapso parcial 8.2 Sobrecolapso ................................................................................ 8.3 Cargas repartidas ............................................................................ 8.4 Verificacin y diseo ........................................................................ 9 FACTORES QUE INFLUYEN EN EL VALOR DE LA CARGA LMITE 9.1 Factores que influyen en el valor de MP . 9.2 Fenmenos de inestabilidad .

IV

9.3

Efecto del tipo de puesta en carga sobre el colapso de la estructura Inestabilidad de la deformacin .........................

36 37 37 38 40 42

10 ESTRUCTURAS DE HORMIGN ARMADO . 10.1 Relacin momento curvatura .. 10.2 Mecanismos de colapso Resistencia nominal 10.3 Capacidad de rotacin de las rtulas plsticas REFERENCIAS ..............................................................................................................

CLCULO PLSTICO

1

CLCULO PLSTICO DE ESTRUCTURAS

1.

INTRODUCCIN

El anlisis elstico de estructuras acepta el cumplimiento de la ley de Hooke para los materiales, la cual tiene como consecuencia la validez del principio de superposicin de efectos. A partir de la relacin lineal homognea = E , se verifica que si

Para 1 es 1 = para 1 + 2

1 resulta = ( 1 + 2 ) = 1 + 2 = 1 + 2 E E E

1 1 E

y para 2 es

2 =

1 2 E

(1)

Esta propiedad no se verifica para relaciones de tipo = c 2 o = c + d La validez del principio de superposicin de efectos permite desarrollar los dos mtodos clsicos de anlisis de estructuras: el mtodo de las fuerzas y el mtodo de los desplazamientos. Para el mtodo de las fuerzas se puede partir del teorema de Castigliano y obviar superposicin de efectos, pero de todos modos dicho teorema se basa en la validez de la ley de Hooke. Adems, el principio de superposicin de efectos permite considerar los distintos estados de carga por separado, y determinar las combinaciones ms desfavorables mediante la teora de las lneas de influencia. Debido a estas ventajas significativas, se acepta la validez de Hooke an para materiales que en rigor no la satisfacen, como el hormign, debido a que resulta aceptable suponer que bajo cargas de servicio la verdadera ley constitutiva tensin-deformacin se aparte poco de la linealidad como se observa en la figura 1.

aproximacin lineal real

Figura 1: Ley constitutiva real y aproximacin lineal

2

Oscar Mller

El campo de aplicacin de los mtodos de anlisis basados en la ley de Hooke, o mtodos de anlisis elsticos, termina cuando en la fibra ms exigida de la seccin ms solicitada se alcanza la tensin del lmite de proporcionalidad o lmite elstico. Se recuerda que el lmite de proporcionalidad y el lmite elstico corresponden a conceptos diferentes, sin embargo se puede considerar que coincide a los fines prcticos, e p. En la teora elstica o clsica, se define la tensin admisible afectando con un coeficiente de seguridad a la tensin del lmite elstico, y se exige que bajo las cargas de servicio no se supere dicha tensin en ningn punto de la estructura. Este planteo no permite determinar el valor de las cargas que producen el estado ltimo o estado de ruina de la estructura, y por lo tanto no permite determinar el verdadero coeficiente de seguridad de la estructura, que ser la relacin entre dichas cargas y las cargas de servicio. Resulta un planteo conservador al exigir que no se supere la tensin admisible en ningn punto de la estructura. Por estas razones resulta de inters el enfoque que aporta el llamado clculo plstico cuyo principal objetivo es determinar la carga lmite de la estructura, es decir la carga asociada con el lmite real de la estructura como sistema capaz de transmitir cargas. Para determinar la carga lmite es necesario superar el lmite elstico del material, que significa que deja de tener validez el principio de superposicin de efectos. Cuando existen diferentes estados de cargas, se debern considerar por separado las diferentes combinaciones posibles, y se deber calcular una carga lmite para cada combinacin, eligiendo finalmente la menor de ellas. Para el desarrollo de los mtodos de bsqueda de la carga lmite es necesario suponer que para cada combinacin de cargas, stas crecen uniformemente o proporcionalmente entre si. Esta limitacin no lleva a resultados alejados del caso en que cada carga pueda variar libremente dentro de su rango. Con referencia a los formatos determinsticos de verificacin de la seguridad de los cdigos actuales, que incluyen factores parciales de mayoracin de cargas y de minoracin de resistencia, la expresin general de estado lmite es

Rn U

(2)

donde la resistencia nominal Rn ser la carga lmite PL nominal de la estructura, el factor de minoracin de resistencia, y U la carga mayorada con la siguiente expresin

U = i Pii

(3)

con i los factores parciales de mayoracin de las cargas nominales Pi prescriptas por los cdigos.

CLCULO PLSTICO

3

2.

MATERIAL ELASTOPLSTICO IDEAL - ACERO

La figura 2 muestra la curva tensin deformacin del acero dctil de bajo contenido de carbono.

Tensiones reales

r nominal

f e p

Ensayo con mquina con circuito de aceite

-

I: periodo elstico II: periodo plstico III: periodo de reendurecimiento IV: periodo estriccin

0 .1 % 2% 20%

I

II

III

IV

Figura 2: Ley constitutiva tensin deformacin del acero

En la figura 2 se observa que una vez alcanzada la tensin de fluencia se inicia un periodo de grandes deformaciones, del orden de 20 veces la deformacin elstica, a tensin constante. En consecuencia, cuando en las fibras de una tajada de una barra de la estructura se alcanza la fluencia, estas fibras comienzan a deformarse a tensin constante, en una magnitud lo suficientemente grande como para que mientras las cargas siguen aumentando se producen fenmenos anlogos en otras tajadas de la estructura, sin que la tajada que primero entr en fluencia alcance el periodo de reendurecimiento. Cuando en un nmero suficiente de secciones las fibras han entrado en fluencia, la estructura se comporta como un mecanismo que no puede resistir cargas mayores, alcanzando deformaciones inadmisibles para los fines proyectados, o llegando al colapso de la estructura. Por estas razones, y teniendo en cuenta que e p f , se supone para el acero la relacin constitutiva simplificada o ideal que se muestra en la figura 3

fI: periodo elstico II: periodo plstico con fluencia ilimitada

I II

Figura 3: Ley constitutiva tensin deformacin ideal

4

Oscar Mller

3.

ANLISIS DE UN HIPERESTTICO SENCILLO BAJO ESFUERZOS AXIALES

Se analiza el comportamiento del hiperesttico de grado 1 mostrado en la figura 4 para cargas crecientes.

E, ALaE, A

Lb

E, Abarra rgidaP

Figura 4: Hiperesttico bajo cargas axiales

3.1

Periodo elstico

Ecuaciones de equilibrio Las tres barras se encuentran en el periodo elstico. La ecuacin de equilibrio es

P = 2 S a + SbEcuaciones de compatibilidad

(4)

La barra rgida se conserva horizontal por simetra, luego la ecuacin de compatibilidad resulta:

u a = ubEcuaciones constitutivas Se aplica la ley de Hooke porque todas las barras estn en el periodo elstico.

(5)

=E

S u =E A L

u=

SL EA

(6)

Reemplazando en la ecuacin de compatibilidad, y teniendo en cuenta que La > Lb, resulta:S a La S b Lb = EA EA Sb = S a La Lb S a > Sb a > b

(7)

Entonces, de la ecuacin de equilibrio se obtiene

CLCULO PLSTICO

5

P = Sb ( 1 + 2

Lb ) La

(8)

La primera barra cuyas fibras alcancen la tensin de fluencia ser la barra ms cargada, es decir la barra b. Desde el punto de vista del criterio clsico del clculo elstico, dicha carga sera la resistencia nominal de la estructuraPE = f A ( 1 + 2 Lb ) = Rn E La

(9)

El desplazamiento, o la flecha, en funcin de la carga esu= Lb La P P = 1 + 2 Lb / La E A 2 + La / Lb E A

(10)

La mxima flecha de este periodo ser para P = PE. Reemplazando (9) en (10), resulta uE =

f LbE

(11)

3.2

Periodo elasto - plstico

Las dos barras a se encuentran en periodo elstico y la barra b en periodo plstico, es decir la estructura est en fluencia limitada. El anlisis se vuelve estticamente determinado como se muestra en la figura 5.

f A

P

Figura 5: Estructura en periodo elasto-plstico

El esfuerzo en las barras se determina con la siguiente ecuacin de equilibrioP = f A + 2 Sa La flecha para este periodo se puede escribir comou = u E + u siendo u = P L a 2E A con P = P PE

(12)

(13)

6

Oscar Mller

Para un mismo incremento de carga P, las barras a estn ms solicitadas en este periodo que en el anterior porque la barra b ha dejado de tomar carga. Se dice que ha habido una redistribucin de esfuerzos si se compara con la situacin en que las barras permanezcan indefinidamente elsticas.

3.3

Periodo plstico

La capacidad de carga del sistema, es decir la resistencia nominal, se alcanza cuando las dos barras a llegan a fluencia. En ese momento es

S a = Sb = f ADebido a que el equilibrio se conserva, la carga lmite resulta

(14)

PL = 3 f A = Rn P

(15)

Esta resistencia se denomina carga lmite porque una vez alcanzada puede aumentar la flecha sin aumentar la carga. La estructura entra en fluencia ilimitada, se comporta como un mecanismo de un grado de libertad, y sobreviene la falla por deformaciones excesivas o inadmisibles. Utilizando los factores parciales de mayoracin de cargas y minoracin de resistencia, se debe cumplir que

PL Pu = i Pii

(16)

3.4

Conclusiones

Comparando la ec(9) con ec(15) resulta RnP RnE, siendo igual para La = Lb. Si La = 2 Lb entonces RnP = 1.5 RnE. El clculo plstico muestra la capacidad de carga real de la estructura, que es mayor que la calculada al aplicar el criterio elstico. Desde el punto de vista del dimensionamiento se obtiene una economa de material ya que a partir de (15)AP = Mientras que con el criterio elstico resulta Pu 3 f (17)

AE =

Pu (1 + 2 Lb / La ) f

(18)

Es decir que AP AE, siendo igual para La = Lb Se hace notar que la mayor capacidad de carga con respecto al criterio elstico se debe al carcter hiperesttico de la estructura considerada. Si la estructura es isosttica, al entrar en fluencia una de las barras se aumenta en uno los grados de libertad, y se forma un mecanismo con fluencia ilimitada. En ese caso resulta PE = PL

CLCULO PLSTICO

7

En la fase elasto-plstica del ejemplo se observa que para un incremento de carga P, las barras a incrementan su esfuerzo interno en una cantidad mayor que el incremento que para un mismo P se produca en la fase elstica, debido a que la barra b ya no colabora. Es consecuencia que en la fase elasto-plstica se produce una redistribucin de esfuerzos internos en la estructura. Las zonas menos solicitadas inicialmente comienzan a tomar carga en mayor proporcin porque se ha agotado la capacidad de absorber carga en las zonas ms solicitadas en la fase elstica. El trmino redistribucin de esfuerzos se refiere a que en la fase elastoplstica existe una distribucin de esfuerzos internos diferente a la que se produce si el material fuera elstico. El clculo de la carga lmite de un hiperesttico es un problema estticamente determinado porque las incgnitas superabundantes con respecto a las ecuaciones de equilibrio son G+1, siendo G las incgnitas hiperestticas y una carga externa de referencia P, si se supone que las cargas van creciendo proporcionalmente entre si de modo que Pi = P Para las G+1 incgnitas se establecen G+1 relajaciones de vnculos internos por plastificacin de G+1 secciones para llegar al mecanismo de colapso, que transforman al problema en estticamente determinado. Resulta finalmente una cadena cinemtica de un grado de libertad con una carga exterior incgnita que es la carga de referencia P. Se puede calcular la carga lmite directamente si se conocen las secciones de las barras y el lmite de fluencia del material, sin necesidad de analizar previamente el comportamiento elasto-plstico del sistema. Por tratarse de un problema isosttico, la carga lmite es independiente de los estados de coaccin, por ejemplo temperatura, descensos de apoyo, etc., que si afectan a la carga lmite elstica. Diagrama carga flecha: de acuerdo con las ecuaciones (10) y (13) se representa el grfico mostrado en la figura 6P

PL

PE

u

uE

uP

Figura 6: Relacin carga - flecha

En general, bajo cargas de servicio, es decir cargas sin mayorar, los desplazamientos se encuentran en el periodo elstico, luego no existe el peligro de deformaciones importantes.

8

Oscar Mller

4.4.1

FLEXIN PLSTICAMomento plstico. Factor de forma

Se considera el caso frecuente de una seccin con eje de simetra sometida a flexin recta. Se comprueba que con cargas crecientes, las fibras ms exigidas entran en fluencia, sigue valiendo la ley del plano mientras el eje neutro se mantiene perpendicular al eje de solicitacin por razones de simetra. El estado de la seccin en la etapa elasto-plstica se muestra en la figura 7.

fzona plstica

h0zona elstica zona plstica

y0dx

n

nhu

y

yu

dxfFigura 7: Seccin solicitada a flexin recta

Ecuacin de compatibilidad

dxr

=

dx

=

y

= y

(19)

siendo la curvatura, y vale la ley del plano Ecuaciones de equilibrio

N = 0 M = 0Ecuacin constitutiva

d = N = 0A

y d = MA

(20)

Se utiliza la relacin bilineal mostrada en la figura 3.

=E = f

para y para > y

(21)

Reemplazando las ecuaciones (19) y (21) en las ecuaciones de equilibrio (20), resulta

CLCULO PLSTICO

9

d = 0 = y0 y b( y) dy +A y0

f

0

fyu

yu 0

y b( y) dy f b( y) dy + f b( y) dyh0 yu 0 yu y0 h0

y0

hu

y d = M = y 0 yA y0

f

0

2

b( y ) dy +

fyu

y

2

b( y ) dy f

y b( y) dy + f y b( y) dyyu

hu

(22)

El mximo momento que puede absorber la seccin ocurre cuando todas las fibras estn en fluencia, es decir para y0 = yu = 0. Este momento se denomina momento plstico de la seccin, y a partir de la segunda de las ecuaciones (22) resultaMP = fhu 0 y b( y ) dy + y b( y ) dy = f Z h0 0

(23)

donde Z es el mdulo plstico que es una caracterstica geomtrica de la seccin En la ec(23) la primera integral es el valor absoluto del momento esttico del rea superior con respecto al eje neutro. El trmino resulta positivo porque la distancia y es negativa. La segunda integral es el momento esttico del rea inferior con respecto al eje neutro. De la primera de las ecuaciones (22) se deduce la ubicacin del eje neutro en correspondencia con el momento plstico, resulta

d = 0A

f

b( y) dy + f b( y) dy = 0h0 0

0

hu

b( y) dy = b( y) dyh0 0

0

hu

(24)

Es decir que el rea superior es igual al rea inferior, o dicho de otro modo el eje neutro divide a la seccin en dos reas iguales, y en general deja de ser baricntrico. Se llama momento elstico ME al momento en el que la fibra ms exigida de la seccin alcanza la tensin de fluencia, y siendo W el mdulo resistente, se obtiene ME = f W (25)

Se define el factor de forma f que representa a la reserva plstica que tiene una seccin solicitada a flexinf = MP Z = ME W

(26)

Ejemplos

Rectngulo: Crculo: f =

f =

Z 2 b h2 / 8 3 = = = 1.50 W 2 b h2 / 6

16 = 1.70 3

Rombo: f = 2.00

Perfil doble T:

f 1.13

En los ejemplos se observa que cuanto ms material se distribuye en las proximidades del eje neutro, mayor es el coeficiente de forma. En consecuencia, un coeficiente de forma elevado indica una seccin poco apta para resistir flexin.

10

Oscar Mller

En flexin se manifiesta otra reserva plstica que es la reserva plstica de la seccin. En una estructura isosttica, cuando la fibra ms exigida de la seccin ms solicitada entra en fluencia, todava queda la reserva plstica de la seccin para que se forme un mecanismo. Hay que observar que el caso y0 = yu = 0 , para el cual se deduce el momento plstico, no es alcanzable en la prctica porque siempre existir una zona en rgimen elstico en las proximidades del eje neutro. Sin embargo, debido a que las fibras vecinas al eje neutro colaboran poco en el momento resistente por su pequeo brazo de palanca, se considera aceptable la aproximacin y0 = yu = 0.

4.2

Concepto de rtula plstica

Se analiza la relacin momento-curvatura de una tajada genricaPeriodo elstico

Se utilizan las expresiones para flexin recta de cualquier seccin en rgimen elstico, es decir que es vlida la ley de Hooke. A partir de la ley de conservacin de las secciones planas resulta

=

E

=

M M y, = = EI y EI

(27)

Se define una curvatura ideal P que sera la curvatura de la tajada si la seccin se conservara en rgimen elstico hasta alcanzar el momento plstico MP

P =Entonces resulta M = M P P

MP EI

(28)

para M M E

(29)

Periodo elasto - plstico

Se considera el caso particular de una seccin rectangular donde hu = ho = h, y a partir de la segunda de las ecuaciones (22) se obtiene M =2

fyu

yu0

y

2

b dy + 2 f2 yu

2 2 yu h 2 yu y b dy = 2 b f ( 3 + 2 ) y

h

u

(30)

M = b f ( h2

3

) yub

h

Teniendo en cuenta que para yu es

CLCULO PLSTICO

11

2 E f 1 f 2 = , M = b f h yu = 3 E E

(31)

M P = f b h2 Adems

M 1 = 1 2 MP 3h

f E

2

2 3 f ME f bh P = = = 2 2Eh EI E b h3 3

f E

2 hP = 3

2

2

(32)

Reemplazando en (31) resulta M 4 = 1 MP 27 P 2

(33)

La representacin grfica de las ecuaciones (29) y (33) se presenta en la figura 8. Se observa que a los fines prcticos se justifica utilizar el diagrama bilineal idealizado.

M MP1

2 3

1

4 1 27 ( / P ) 2

P2 31

Figura 8: Relacin momento curvatura Si en lugar de la seccin rectangular se hubiese analizado el perfil doble T, se observara que la verdadera relacin momento curvatura se acerca an ms a la funcin bilineal. Conclusiones Aceptar el diagrama bilineal significa admitir que la tajada se comporta con ley momento curvatura elstica hasta alcanzar el momento plstico MP, y luego curvatura ilimitada con momento constante. Es como si existiera una rtula de friccin que mantiene la continuidad de la elstica con una tangente nica mientras M < MP, y luego permite el giro relativo entre las dos caras de la tajada manteniendo el momento MP. Esta rtula ideal se denomina rtula plstica.

12

Oscar Mller

5.

RESUMEN DE HIPTESIS

A continuacin se indican las hiptesis bajo las cuales se calcular la carga lmite de las estructuras de barras.a) Material elasto - plstico ideal: Esta hiptesis, representada en la figura 9, permite suponer que la primera rtula plstica que se forma en la estructura, seguir funcionando mientras se desarrollan las siguientes, sin que aparezca el fenmeno de reendurecimiento.

f

Figura 9: Material elasto - plstico ideal b) Para el clculo del momento plstico se acepta el diagrama de tensiones idealizado mostrado en la figura 10, que no es alcanzable, pero predice resultados suficientemente aproximados a los experimentales.

f

fFigura 10: Diagrama de tensiones c) Diagrama momento curvatura idealizado: Esta hiptesis representada en la figura 11 permite introducir el concepto de rtula plstica, y adems permite idealizar el mecanismo de colapso de estructuras solicitadas a flexin, por medio de la formacin de sucesivas rtulas plsticas.

CLCULO PLSTICO

13

M MP1

P1

Figura 11: Diagrama momento curvatura ideal d) Los nudos de los prticos deben ser capaces de transmitir el momento plstico de una viga o columna adyacente. Significa que no debe formarse una articulacin en el nudo, si no que el momento plstico se alcance en la seccin adyacente de la viga o columna, la que tenga menor resistencia. Esta hiptesis se ilustra en la figura 12.

MP

MPFigura 12: Nudo de prtico e) La carga lmite est definida por la transformacin de la estructura en un mecanismo por la formacin de suficientes vnculos plsticos internos. No se tienen en cuenta otro tipo de fallas como inestabilidad elstica prematura, fallas en medios de unin, etc. Se debe proyectar la estructura con una mayor resistencia para estos tipos de falla. f) Las condiciones de equilibrio se plantean sobre la configuracin inicial, es decir que se supone que los desplazamientos alcanzados en el instante de formarse el mecanismo de colapso son pequeos como para que el anlisis de primer orden sea suficientemente aproximado. g) Las cargas aplicadas a la estructura aumentan proporcionalmente. Esto permite reducir las cargas exteriores a un solo parmetro incgnita que se denomina carga de referencia.

14

Oscar Mller

6.6.1

ANLISIS DE ESTRUCTURAS SOLICITADAS A FLEXINViga simplemente apoyada

Se considera el caso mostrado en la figura 13.P

L

M max =

PL 4

Figura 13: Viga simple con carga concentrada Anlisis elstico: la carga mxima asociada al lmite elstico esPE = 4ME L

(34)

Anlisis plstico: a partir de la carga del lmite elstico comienza la plastificacin de la seccin central hasta que se alcance el momento plstico. Se forma en la seccin central una rtula plstica y se produce el mecanismo de colapso. La carga lmite esPL = 4MP L

(35)

ResultaPL M P = = f PE M E

(36)

Adems, como se supone que la ley momento curvatura sigue la ley elstica hasta que se alcanza el momento plstico, luego el diagrama carga flecha ser la mostrada en la figura 14. Se observa la falta del periodo elasto plstico o de fluencia controlada. Esta caracterstica, as como la expresada por la ec.(36), es propia de los sistemas isostticos debido a que es suficiente la formacin de una sola rtula plstica para que se forme el mecanismo de colapso. La carga lmite se puede calcular aplicando el principio de los trabajos virtuales poniendo de manifiesto el mecanismo de colapso, introduciendo una rtula en la seccin plastificada y restableciendo el equilibrio mediante la aplicacin de momentos plsticos como cuplas externas como se indica en la figura 15.

CLCULO PLSTICO

15

P PL

PE

uPeriodo elsticoPL L3 u= 48 EIFigura 14: Diagrama carga - flecha

Periodo plstico

PL

MP

L/2

2

Figura 15: Carga lmite con el PTV

Como se trata de una cadena cinemtica con un grado de libertad, se aplica el PTV para el rgido parcialmente vinculado. El equilibrio exige que el trabajo virtual de las cargas externas sea nulo para todo desplazamiento virtual compatible con los vnculos.PL

L2

M P 2 = 0 PL =

4 MP L

(37)

Se observa como regla general que cuando el desplazamiento virtual tiene el sentido del colapso, el trabajo virtual del momento plstico ser negativo.

16

Oscar Mller

6.2

Viga empotrada empotrada con carga uniforme

Se considera el caso de carga uniformemente distribuida representada en la figura 16 q

L

Figura 16: Viga empotrada - empotrada con carga uniforme Anlisis elstico: el diagrama de momentos que resulta de aceptar la ley de Hooke es el mostrado en la figura 17.

q L2 12 q L2 24Figura 17: Diagrama de momentos en el periodo elstico

La carga lmite del anlisis elstico se produce cuando en el empotramiento se alcance el momento elsticoME q E L2 = 12 qE =

12 M EL2

(38)

De acuerdo al concepto de rtula plstica, el diagrama de momentos es vlido hasta que en la seccin ms solicitada se alcanza el momento plstico, es decir hasta una carga q1 tal que q1 = 12 M P L2 , resulta q1 = f q E (39)

donde, en general, f es el factor de forma de la seccin ms solicitada.Anlisis elasto-plstico: A partir de esta carga se han establecido dos rtulas plsticas en los apoyos y comienza el periodo elasto-plstico. La viga se comporta en fluencia limitada o controlada, como simplemente apoyada con dos momentos MP en los extremos, como se observa en la figura 18.

Con carga creciente, el momento en la seccin central se incrementa mientras permanecen constantes en los apoyos porque ya no pueden aumentar ms all del MP. Cuando se alcanza el MP en la seccin central finaliza el periodo elasto-plstico.

CLCULO PLSTICO

17

q > q1 MP q L2 8 MP

MP

MP

Figura 18: Diagrama de momentos en el periodo elasto-plstico Anlisis plstico: Con la formacin de la rtula plstica en el centro del tramo se ha formado el mecanismo de colapso con un grado de libertad, y la estructura se encuentra en fluencia ilimitada.

Para la carga lmite vale an considerar equilibrio y en consecuencia el diagrama de momentos es el mostrado en la figura 19. Resultaq L L2 = 2MP 8 qL =

16 M PL2

(40)

La relacin con la carga que produce el final del periodo elstico esqL 4 = f qE 3

(41)

MP

q L L2 8

MP

MPFigura 19: Diagrama de momentos en el periodo plstico

El diagrama carga flecha se presenta en la figura 20 Para el periodo elstico:q L4 u= 384 EI Para el periodo elasto-plstico: para q = q1 M P L2 u1 = 32 EI (42)

18

Oscar Mller

5 q L4 M P L2 u= 384 EI 8 EI

para q = q L

M P L2 uP = 12 EI

(43)

En (43) el primer trmino corresponde a la viga simplemente apoyada con carga q, mientras que el segundo trmino es el desplazamiento producido por los momentos MP en los extremos. Es una relacin lineal con pendiente 5 veces menor que el periodo elstico.q

qL q1

qE

u

elstico

u1

elasto plstico

uL

plstico

Figura 20: Diagrama carga - flecha

Resulta uP = 2.7 u1, y se considera aceptable para plantear las condiciones de equilibrio sobre la posicin inicial no deformada de la estructura, es decir se considera vlido el anlisis de primer orden.6.3 Viga empotrada empotrada con carga concentrada

Se considera el caso de carga concentrada aplicada en el centro de la luz representada en la figura 21 PL

Figura 21: Viga empotrada - empotrada con carga concentrada Anlisis elstico: el diagrama de momentos que resulta de aceptar la ley de Hooke es el mostrado en la figura 22.

La carga lmite del anlisis elstico se produce cuando en el empotramiento, y simultneamente en el centro del tramo, se alcance el momento elsticoME = PE L 8 PE =

8 ME L

(44)

CLCULO PLSTICO

19

PL 8 PL 8

Figura 22: Diagrama de momentos en el periodo elstico Anlisis plstico: con la formacin de las tres rtulas plsticas simultneamente se forma el mecanismo de colapso, y en consecuencia falta el periodo elasto-plstico.

Para la carga lmite vale an considerar equilibrio y en consecuencia el diagrama de momentos es el mostrado en la figura 23. ResultaPL L =2MP 4 PL =

8 MP L

(45)

PL L 4

MP

MPFigura 23: Diagrama de momentos en el periodo plstico

La relacin con la carga que produce el final del periodo elstico esPL M P = = f PE M E

(46)

La relacin carga flecha, con las hiptesis realizadas, se muestra en la figura 24. P PL

PE

uelsticouL

plstico

Figura 24: Diagrama carga - flecha

20

Oscar Mller

6.4

Caso general de una estructura hiperesttica

En general en un hiperesttico de grado G, solicitado por un estado de cargas que crece uniformemente, se puede reconocer un periodo elstico hasta la formacin de la primera rtula plstica en la seccin ms solicitada. A partir de ese valor de las cargas en dicha seccin se mantiene MP constante, y este hecho se puede poner de manifiesto introduciendo una rtula y un par de cuplas MP como accin externa. El grado de hiperestaticidad habr disminuido en una unidad. Comienza as el periodo elasto-plstico de la estructura, que se caracteriza por la formacin de sucesivas rtulas plsticas. Al generarse la rtula plstica NG la estructura comienza a comportarse como isosttica. Con la formacin de la rtula plstica G+1 la estructura se transforma en una cadena cinemtica con fluencia ilimitada, es decir se produce el periodo plstico y el colapso. De acuerdo con la hiptesis simplificada admitida para la ley momento-curvatura, la estructura se comportar elsticamente con un determinado grado de hiperestaticidad entre la formacin de una cierta rtula plstica y la siguiente, como se muestra en el diagrama cargaflecha de la figura 25. Cada vrtice de la poligonal del periodo elasto-plstico corresponde a la formacin de una rtula plstica

q

qL

q1

uelsticou1

elsto plstico

uL

plstico

Figura 25: Diagrama carga flecha genrico

En el ejemplo de la viga empotrada-empotrada es G = 2 para cargas transversales, y es necesario la formacin de tres rtulas plsticas para llegar a la carga lmite. El proceso descripto permite indicar un mtodo paso a paso que determina las cargas asociadas a la formacin de las sucesivas rtulas plsticas mediante sucesivos anlisis elsticos de hiperestticos de orden decreciente. Puede resultar de inters su implementacin numrica en programas computacionales. Sin embargo, el clculo de la carga lmite es un problema estticamente determinado, pero es necesario conocer el mecanismo de colapso.

CLCULO PLSTICO

21

Se puede entonces calcular la carga lmite en forma directa por consideraciones de equilibrio sin necesidad de analizar los periodos elstico y elasto-plstico. Por ejemplo, en el caso de la viga empotrada empotrada con carga uniformemente repartida para la que se conoce el mecanismo de colapso, resulta Aplicando las ecuaciones de la esttica, figura 26

qLA B

L

MPMP

q L L2 8

MP

Figura 26: Ecuaciones de la esttica, viga empotrada-empotradaRA = qL L 2 MP = q L L2 q L L2 MP 4 8 qL = 16 M P L2

(47)

Aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales: se pone en evidencia el mecanismo de colapso introduciendo rtulas en las secciones plastificadas y restableciendo el equilibrio con los momentos flectores plsticos actuando como cuplas externas, como se muestra en la figura 27. Resulta una cadena cinemtica con un grado de libertad sobre la que se aplica el PTV para cuerpos parcialmente vinculados, es decir el trabajo virtual de las fuerzas externas debe ser nulo.

qLMP MP

x

MP

L

MP

2

Figura 27: Principio de los Trabajos Virtuales, viga empotrada-empotradaqx M Lx+x 4 MP 1 1 1 L M P 2 ( + ) = 0 qx = 4 P = 2 x Lx L x ( L x) x ( L x)

(48)

El valor mnimo de esta expresin se obtiene para x = L / 2 y resulta

22

Oscar Mller

qL =

16 M P L2

(49)

Cuando se adopta un mecanismo de colapso errado, la carga calculada resulta mayor que la carga lmite y en una o ms secciones de la estructura se viola la condicin de plasticidad, es decir resulta M > MP. Por ejemplo si se ubica la rtula plstica en x = L / 4, a partir de la ec.(48) resulta q( x = L / 4) = 4 16 M P 3 L2 (50)

El diagrama de momentos correspondiente se muestra en la figura 28 qx MP MP

MP

MP

1x

2 1q x L2 8

2

MP

MP

MP

Figura 28: Violacin de la condicin plstica por mecanismo errado

CLCULO PLSTICO

23

7.7.1

TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL ANLISIS LMITE APLICACIONESTeorema del lmite inferior o teorema esttico

Se demuestra que: Una carga calculada a partir de un diagrama de momentos en equilibrio, en el que no se viola la condicin de plasticidad: M MP, es inferior o igual a la carga lmite. Para la estructura de la figura 29(a), todo diagrama de momentos que satisfaga equilibrio se obtiene a partir del estado mostrado en la figura 29(b). Se pueden conseguir diferentes diagramas de momentos estticamente compatibles asignando valores arbitrarios al Map, como se observa en la Figura 29(c), (d) y (e). Por equilibrio se debe cumplir la ec.(51) en todos los casosP

(a)L/2 L/2

PM apPL 4

M ap

(b)

M ap

M ap

PL = M ap + M tr 4

(51)

M tr

M ap = 0 , M tr = M P PL = MP 4 P= 4 MP L (52)

(c)MP

0.5 M P (d)

0.5 M P

M ap = 0.5 M P , M tr = M P PL = 1.5 M P 4 P= 6 MP L (53)

MP MP MP

M ap = M P , M tr = M P PL = 2 MP 4 P=

(e)

8 MP L

(54)

MPFigura 29: Ejemplo de aplicacin del teorema del lmite inferior

Para este caso la carga lmite es PL = 8 MP / L como se dedujo en la seccin 6.3, ec(45). Se observa el cumplimiento de P PL como lo establece el teorema. Adems, el signo igual ocurre cuando el diagrama de momentos se corresponde con un mecanismo. Ms adelante se mostrar que este resultado tiene carcter general.

24

Oscar Mller

7.2

Teorema del lmite superior o teorema cinemtico

Se demuestra que: La carga calculada a partir de un mecanismo de colapso arbitrario es mayor o igual a la carga lmite, y ser a dicha igual cuando el mecanismo de colapso propuesto coincida con el verdadero mecanismo de colapso.

7.3

Teorema de la unicidad

Combinando ambos teoremas se puede enunciar: La carga calculada a partir de un mecanismo de colapso arbitrario es mayor o igual a la carga lmite, y ser igual a dicha carga cuando en el correspondiente diagrama de momentos flectores en equilibrio no se viole la condicin de plasticidad. El enunciado de este teorema indica un procedimiento de clculo que consiste en proponer un mecanismo de colapso, y calcular la carga y el diagrama de momentos por condiciones de equilibrio. Si en el diagrama de momentos no se viola la condicin de plasticidad, |M| MP, se habr obtenido la carga lmite, y en caso contrario un lmite superior.

7.4

Mtodos para determinar la carga lmite

Aplicando el procedimiento de clculo enunciado se describen a continuacin dos mtodos para determinar la carga lmite. Difieren entre si en la forma de aplicar las condiciones de equilibrio para calcular la carga correspondiente al mecanismo propuesto; (a) Mtodo esttico: se aplican ecuaciones de la esttica; (b) Mtodo cinemtico: se aplica el Principio de los Trabajos Virtuales. Se muestran a travs del ejemplo de la figura 30

2P 3P23

4

M P = cte

2L

1L L

Figura 30: Ejemplo de aplicacin para los mtodos de clculo de la carga lmite

Posibilidades de mecanismos con rtulas plsticas en (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4) El primer caso (1, 2, 3) no puede ocurrir porque, de acuerdo a los diagramas de momentos bajo la accin de la carga horizontal solamente, y por otro lado la accin de la carga vertical,

CLCULO PLSTICO

25

en ambos casos el momento en la seccin 4 es de traccin arriba y se suman. Luego en la seccin 4 se formar una rtula plstica.a) Aplicacin del mtodo esttico

A partir de un sistema fundamental isosttico, figura 31, y aplicando las ecuaciones de la esttica, se expresan los momentos en las secciones donde existe posibilidad de formacin de rtulas plsticas.

2P 3P23

4

1YB

XB

Figura 31: Fundamental isosttico para aplicar las ecuaciones de la esttica

Convenio de signos: M > 0 de traccin en las fibras internas del prtico (a) M 4 = X B 2 L (b) M 3 = X B 2 L + YB L ( c ) M 2 = X B 2 L + YB L 2 P L ( d ) M 1 = YB 2 L 2 P L 3 P 2 L Se recuerda el concepto de esfuerzos internos: para calcular los momentos a partir de las fuerzas que quedan hacia un lado de la seccin considerada es necesario que exista equilibrio. Luego, las ecuaciones (55) expresan condiciones necesarias de equilibrio. A partir de las ecuaciones (55) se eliminan las incgnitas hiperestticas y se obtiene un sistema de ecuaciones que vincula la carga P con los momentos. Esto ser siempre posible porque por lo menos se tendr G+1 posibles rtulas plsticas y existen G incgnitas hiperestticas. En este ejemplo de (a) y (b) se despejan las incgnitas XB, YB, y se reemplazan en (c) y (d), resultando ( e) 2 P L = M 2 + 2 M 3 M 4 ( f ) 8 P L = M 1 + 2 M 3 2 M 4 Ahora se proponen mecanismos de colapso (56) (55)

26

Oscar Mller

Mecanismo N 1: mecanismo de viga, figura 32

M 2 = M 3 = M 4 = M P23

(57)

4En la forma del mecanismo se observa que M2 , M4 < 0 y M3 > 0

Figura 32: Mecanismo de viga

Reemplazando en el sistema (e), (f) se obtiene2MP L de ( f ) 16 M P = M 1 + 2 M P + 2 M P M 1 = 12 M P de (e) 2 P1 L = 4 M P P1 =

(58)

Se viola condicin plstica, |M1| > MP, luego, se ha encontrado un lmite superior de la carga lmite y bastante malo.Mecanismo N 2: mecanismo lateral o de panel, figura 33 M 1 = M 2 = M 4 = M P

(59)

42

En la forma del mecanismo se observa que M1 , M 4 < 0 y M 2 > 01

Figura 33: Mecanismo de panel

Reemplazando en el sistema (e), (f) se elimina M3 que es incgnita, y resulta 6 P2 L = M 1 + M 2 M 4

P2 =

MP 2L

de (e) M P = M P + 2 M 3 + M P

M M3 = P 2

(60)

CLCULO PLSTICO

27

Luego, es el mecanismo correcto porque no se viola la condicin de plasticidad |M3| < MP. Resulta:PL = MP 2L

(61)

Mecanismo N 3: mecanismo general, figura 34. Se analiza a ttulo de ejemplo

M 1 = M 3 = M 4 = M P43

(62)

En la forma del mecanismo se observa que M1 , M 4 < 0 y M 3 > 0

1

Figura 34: Mecanismo general

Reemplazando en el sistema (e), (f) se obtiene de ( f ) 8 P3 L = 5 M P P3 = 5M P 8L 7MP M2 = 4

5M P de (e) = M 2 + 2 M P + M P 4

(63)

Se viola condicin plstica, |M2| > MP, luego, se ha encontrado un lmite superior de la carga lmite. Si se multiplica por el factor 4 / 7, debido a la linealidad de las ecuaciones de equilibrio, se obtiene: M 1 = M 3 = M 4 = Reemplazando en el sistema (e), (f) se obtiene de ( f ) 8 P3 L = 20 MP 7 P3 = 5M P < PL 14 L M2 = MP 4 MP 7 (63)

5M P 8M P 4M P = M 2 + + de (e) 7 7 7

(64)

No se viola la condicin de plasticidad, y por el teorema del lmite inferior se obtiene un valor inferior a la carga buscada.

28

Oscar Mller

b) Aplicacin del mtodo cinemtico

Se propone un mecanismo de colapso que se pone en evidencia introduciendo rtulas plsticas en correspondencia con las secciones plastificadas y restableciendo el equilibrio mediante la aplicacin de momentos plsticos como cuplas externas. Se define as una cadena cinemtica de un grado de libertad sobre la cual se aplica el Principio de los Trabajos Virtuales para el rgido parcialmente vinculado, y se obtiene el valor de la carga externa de referencia. Aplicando ecuaciones de la esttica se verifica si se viola o no la condicin de plasticidad. De cumplirse que en todas las secciones |M| MP, se ha encontrado la carga lmite buscada. Se analiza como ejemplo el Mecanismo N 2, que es el mecanismo de panel. La cadena cinemtica en equilibrio se muestra en la figura 35 C2

2P

C123PMP

MP2 1

MP

C 2 3 MP

Diagrama de elaciones de la chapa 2

Diagrama de elaciones de las chapas 1 y 3

3

MP C1

C3

Figura 35: Cadena cinemtica para el mecanismo de panel

Aplicando el PTV resultaT = 3P 2 L 3M P = 0 P = MP 2L

(65)

Se debe verificar si M3 viola la condicin de plasticidads M M 4 = 0 HB = P 2L 2 P L + 3P 2 L M P 3M P de M 1 = 0 V B = = 2L 2L 3M P M M luego M 3 = V B L H B 2 L = L P 2L = P < MP 2L 2L 2 Resulta entonces:

de

(66)

CLCULO PLSTICO

29

PL =

MP 2L

(67)

El diagrama de momentos flectores en el instante del colapso se muestra en la figura 36 MP MPMP 2

MP

MPFigura 36: Diagrama de momentos flectores en el colapso Observacin:

Los mtodos descriptos, que consisten en analizar sucesivamente diferentes mecanismos de colapso, resultan inaplicables cuando la estructura tiene un elevado grado de hiperestaticidad. Para esos casos existen mtodos ms generales de anlisis no lineal implementados en programas computacionales.

30

Oscar Mller

8.8.1

COMPLEMENTOSColapso parcial

Puede ocurrir que en una estructura se produzca el colapso solo de un sector de la misma. En ese caso el mecanismo de colapso se forma con menos de G+1 rtulas plsticas, recordando que G es el grado de hiperestaticidad. Cuando se propone un mecanismo de colapso parcial, la carga correspondiente se podr calcular aplicando condiciones de equilibrio, pero para verificar si no se viola la condicin de plasticidad ser necesario analizar el resto de la estructura que an es hiperesttica. Como ejemplo se muestra en la figura 37 el prtico empotrado empotrado, donde el mecanismo de colapso parcial tiene rtulas en las secciones 2, 3, 4. 3P

P 23M P = cte

4L

11 .5 L 1 .5 L

5

Figura 37: Mecanismo de colapso parcial de viga

Para verificar que el mecanismo parcial de viga no se viole la condicin de plasticidad se debe analizar el hiperesttico mostrado en la figura 38. Resulta:P= M 4 MP = 0.89 P 4 .5 L L

(68)

La incgnita V se puede calcular tomando momentos con respecto a 2 y 4. Para calcular X es necesario plantear la condicin de compatibilidad x = 0.MP MP

3PMP MP

MP

MP

PV

XV

Figura 38: Hiperesttico a resolver para el colapso parcial de viga

CLCULO PLSTICO

31

8.2

Sobrecolapso

Se produce sobrecolapso cuando el mecanismo de colapso presenta la formacin de ms de G+1 rtulas plsticas, como ocurre por ejemplo en los casos de estructuras simtricas. Como ejemplo se muestra en la figura 39 una viga continua simtrica de dos tramos, con dos cargas concentradas tambin simtricas. Con cargas crecientes, se forma primero la rtula en C y luego simultneamente en B y D. La viga tiene grado de hiperestaticidad G = 1, luego es necesario que se formen G+1 = 2 rtulas plsticas para constituir un mecanismo. Se forman 3 rtulas plsticas mayor que G+1.P B D P

A

C

E

Figura 39: Viga continua con sobrecolapso

8.3

Cargas repartidas

Cuando existen cargas repartidas es difcil prever la ubicacin de la rtula plstica en el tramo de la barra. El problema se puede resolver en forma exacta planteando analticamente la condicin que el momento mximo de tramo coincida con el momento plstico. En la prctica se utilizan cargas concentradas estticamente equivalentes que producen un diagrama de momentos circunscripto al del sistema original, obtenindose resultados suficientemente aproximados y del lado de la seguridad. En la figura 40(a) se presenta como ejemplo una viga empotrada apoyada con carga uniforme. El diagrama de momentos en el periodo elstico es el de la figura 40(b), luego la primera rtula plstica se formar en el apoyo. q (a)

L

q L2 8 q L2 14.2q

(b)

MPA x

(c)

B

Figura 40: Viga empotrada apoyada con carga repartida La situacin en el periodo elasto-plstico se muestra en la figura 40(c). Para encontrar la carga lmite se plantean las siguientes ecuaciones

32

Oscar Mller

qL L M P L 2 Qr = RB q L x r = 0 incgnitas RB , q L , x r RB = M P = RB xr q L x r2 2

(69)

La solucin del sistema de ecuaciones (69) conduce a una ecuacin de segundo grado en xr, y se obtienexr = 0.414 L q L = 11.67 MP L2

(70)

Utilizando cargas concentradas estticamente equivalentes, como se muestra en la figura 41, se obtienen los siguientes resultados:qL 2L/4 L/2

qL 2L/4

q L = 10.0

MP L2

, r = 14%

qL 3L/6 L/3

qL 3L/3

qL 3L/6

q L = 10.8

MP L2

, r = 7.5%

Figura 41: Carga lmite con diferentes aproximaciones

8.4

Verificacin y diseo

En resumen en el clculo plstico de estructuras se obtiene la relacin entre la carga lmite y el momento plstico de referenciaPL = f ( M P )

(71)

Problema de verificacin: el momento plstico ser dato y luego de calculada la carga lmite que debe verificar la condicin dada por la ec.(16):

PL Pu = i Pii

(16)

Problema de dimensionamiento: de la ec.(16) se obtiene la carga lmite PL necesaria, y con la inversa de la ec.(71) se calcula el momento plstico de referencia que deben tener las secciones crticas. Se observa que en el problema de dimensionamiento, la solucin obtenida depende de la relacin elegida para los momentos plsticos de cada barra. Se han desarrollado mtodos que permiten obtener, para un estado de carga dado, la estructura de peso mnimo.

CLCULO PLSTICO

33

9.9.1

FACTORES QUE INFLUYEN EN EL VALOR DE LA CARGA LMITEFactores que influyen en el valor de MP

a) Esfuerzo normal

Se considera el caso de un perfil doble T. Para solicitacin de flexin pura el diagrama de tensiones es el presentado en la figura 42(a), y para el caso de flexin compuesta, en la figura 42(b).FF = b tFS = d hhd

f

MP

(a)t

b

f fM PNN

f f

h(b)

f

fResultante MPN Resultante N

Figura 42: Perfil doble T. (a) Flexin pura; (b) Flexin compuesta

El momento plstico para flexin pura esM P = f Z = f FF h (1 +

4

) donde =

FS FF

(72)

Para flexin compuesta se consideran dos casos 1) h h tM PN = M P f M PN MP

( h ) 2 d 4 2 h 2 d 2 = 1 = 1 4+ 4 FF h (1 + ) 4

(73)

Adems se tiene

34

Oscar Mller

N = f d h , N f = f ( 2 FF + FS )

FS N = = Nf FF ( 2 + ) 2 +

(74)

Donde Nf es el mximo esfuerzo normal que puede absorber la seccin. Se despeja de la ec.(74) y se reemplaza en la ltima de (73), resultandoM PN + kS MP N Nf = 1 , donde k S = 2 + (4 + ) 2

(75)

2) h > h tN f (FS + 2 (1 ) FF ) = f FF (2 2 + ) 2 2 + N = Nf 2+ = N 2+ (1 ) Nf 2

(76)

Adems se obtieneM PN f FF h M PN = MP

1+

4

=

2+ 2+

2

(1

N ) Nf

(77)

A partir de (77) resulta2+ M N 2 k F PN + = 1 , donde k F = MP Nf 2+

(78)

Las ecuaciones (75) y (78) definen la denominada curva de interaccin que se muestra en la figura 43. El empalme entre (75) y (78) ocurre para = 1 en donde N / Nf = / (2+), es decir para valores elevados de N / Nf .M PN MP1

N Nf

2 2+

1

Figura 43: Curva de interaccin

CLCULO PLSTICO

35

En una situacin de verificacin, la estructura es dato y se requiere calcular la carga lmite PL. Se inicia con MP sin considerar flexin compuesta y se calcula PL y N con los mtodos ya conocidos. Luego, con N / Nf se obtiene MPN / MP de la curva de interaccin. Con el momento plstico reducido por el esfuerzo normal MPN se calculan nuevos valores de PL y N . Este proceso iterativo se contina hasta la convergencia en el valor de PL. En una situacin de dimensionamiento se tiene como dato PL y se requiere elegir los perfiles que conforman la estructura, para una determinada relacin prefijada entre los MPN de las barras. En forma directa se obtiene el momento plstico necesario MPN = f (PL) y el esfuerzo normal actuante N. Se elige un perfil, para el cual se tiene MP y Nf. Para la relacin N / Nf , de la curva de interaccin se determina MPN / MP que corresponde al perfil elegido, de donde se despeja MPN del perfil elegido. Si MPN del perfil elegido es mayor o igual que el MPN necesario, se est en buenas condiciones de resistencia. En caso contrario se debe elegir otro perfil y repetir el proceso descrito.b) Esfuerzo de corte

En forma similar al esfuerzo normal, el esfuerzo de corte produce una disminucin del momento plstico que puede absorber la seccin. Los detalles de las expresiones que permiten evaluar el momento plstico reducido por el esfuerzo de corte se pueden consultar en la bibliografa.

9.2

Fenmeno de inestabilidad

En el clculo plstico de estructuras metlicas se deben tener en cuenta distintos fenmenos de inestabilidad para poder asegurar que la carga lmite calculada pueda alcanzarse. Pandeo local de alas o almas solicitadas a compresin: se establecen relaciones mnimas entre espesor y ancho de ala, o entre espesor y altura del alma. Pandeo lateral de vigas: se establecen longitudes mximas posibles no arriostradas. Pandeo de columnas: se establecen curvas de interaccin, como la mostrada en la figura 42, para el efecto directo del esfuerzo normal. Estas curvas se construyen para diferentes grados de esbeltez de la columna = l / i , y la curva que considera el efecto directo del esfuerzo normal, sin el efecto de la flexin adicional por efectos de segundo orden, es un caso particular que puede utilizarse solo para valores de carga y esbeltez por debajo de ciertos lmites. Pandeo global de la estructura: su consideracin impone condiciones de arriostramiento a la estructura o limitacin del nmero de pisos.

36

Oscar Mller

9.3 Efecto del tipo de puesta en carga sobre el colapso de la estructura. Inestabilidad de la deformacin

Con la hiptesis de puesta en carga proporcional, la estructura alcanza el colapso total por formacin de un nmero suficiente de rtulas plsticas que la transforman en un mecanismo, y se calcula el denominado estado de carga lmite. Si ahora se considera que las cargas actan en forma independiente, variando cada una dentro de un intervalo y en forma cclica o repetitiva, puede producirse la falla de la estructura por acumulacin indefinida de deformaciones plsticas, sin que se haya alcanzado en los lmites del intervalo el valor correspondiente al estado de carga lmite de la puesta en carga proporcional.

CLCULO PLSTICO

37

10. ESTRUCTURAS DE HORMIGN ARMADOEl clculo plstico de estructuras de hormign armado presenta diferencias importantes con respecto a las estructuras metlicas, las cuales se sealan brevemente a continuacin10.1 Relacin momento curvatura

El estado lmite de una seccin de hormign armado se alcanza cuando la deformacin a compresin del hormign es cu = 0.003, que es muy inferior a la deformacin del acero en un perfil metlico. Se entiende por seccin subarmada aquella en la que, al crecer las cargas, se alcanza primero la fluencia en la armadura antes que el hormign llegue a su deformacin de rotura por compresin. En este tipo de secciones, una vez alcanzada la fluencia de la armadura, el momento flector resistente prcticamente se mantiene constante hasta que la seccin falla por aplastamiento del hormign. Se trata de una seccin controlada por traccin segn la terminologa actual. En la figura 44 se ilustran las tensiones en una seccin con armadura en fluencia y la evolucin del diagrama momento curvatura. El momento resistente M = T z ir aumentando debido al mayor brazo de palanca por disminucin de la profundidad del eje neutro, pero contrarrestado porque la forma del diagrama de tensiones en el hormign tiende a un rectngulo.

cu = 0.003ch d

f c

c

C = f c b c

Asb

z=dcfs T = As f s

s

M

Mn My

AA : s = y

B : c = cu

M cr

O

y

u

Figura 44: Tensiones en una seccin y diagrama momento curvatura

38

Oscar Mller

Se admite que My Mn = MP, luego se aproxima el diagrama OAB por el idealizado OAB. Este diagrama da lugar al concepto de rtula plstica. Para una seccin balanceada, es decir en la que la armadura alcanza la deformacin de fluencia cuando simultneamente el hormign llega a su deformacin de rotura, ocurre que y = u, entonces no hay capacidad de rotacin plstica. Resulta entonces que la capacidad de rotacin es funcin de la cuanta de armadura, decreciendo a medida que aumenta la cuanta. Se introduce el concepto de rtula de rotura, que es una rtula plstica en la que se ha alcanzado la curvatura de rotura u. En consecuencia, la falla de una estructura de hormign armado se puede alcanzar por la formacin de un mecanismo general con el nmero necesario de rtulas plsticas, o en forma localizada por la aparicin de la primera rtula de rotura.10.2 Mecanismos de colapso Resistencia nominal

En una estructura de hormign armado se puede elegir arbitrariamente la posicin de las rtulas plsticas, o su orden de formacin, debido a que siempre se puede calcular la armadura para que el colapso se produzca en la forma deseada. Se considera la viga continua de la figura 45 bajo las cargas mayoradas qu. En las secciones de mximo momento de tramo y las secciones de apoyo se calcula la armadura a partir de los momentos obtenidos del anlisis elsticoquA B C D

Le

L

Le

MB qu Le 2 8 qu L2 8 M trFigura 45: Viga continua y diagrama de momentos en rgimen elstico

qu Le 2 8

Por equilibrio en el tramo central se cumpleM B + M tr = Las armaduras en cada seccin se calculan conqu = i Pii

qu L2 8

(79)

MuMuj

en cada seccin j : M n j =

As j =

M nj zj fy

(80)

CLCULO PLSTICO

39

Luego, la ec.(79) se escribe

M n ap + M n tr =

qu L2 8

(81)

En la nomenclatura de hormign armado i son los factores de mayoracin de las cargas nominales Pi, es el factor de minoracin de resistencia, Mnj el momento nominal necesario para la seccin j, zj su brazo de palanca interno y fy la tensin de fluencia del acero. Con la nomenclatura del clculo plstico esMP = Mn = Mu

(82)

Se supone ahora que las cargas aumentan desde cero, y aceptando que el diagrama momento curvatura en cada seccin es OAB como en la figura 44, cuando se llega al valor de qu, se alcanza simultneamente el momento plstico en los apoyos y en las secciones de momento mximo de tramo, es decir se produce la formacin simultnea de las rtulas necesarias para constituir el mecanismo de colapso que se muestra en la figura 46, luego la carga lmite esqL = qu

(83)

A

B

C

D

Figura 46: Mecanismo de colapso en la viga continua Variante Si en lugar del diagrama de momentos calculado en rgimen elstico, se propone arbitrariamente otro que consiste en disminuir los momentos de apoyo y aumentar los de tramo, pero de modo tal que se verifique equilibrio como se muestra en la figura 47. Se demuestra que la carga que produce la formacin del mecanismo, es decir la carga lmite, sigue siendo la carga mayorada de clculo.

MBqu Le 82

qu L2 8

qu Le 2 8

M trFigura 47: Diagrama de momentos en equilibrio

Para el tramo central se cumplequ L2 M B + M tr = 8

(84)

40

Oscar Mller

A partir de los momentos redistribuidos M se calculan las armaduras en cada seccin utilizando las mismas expresiones (80). Sin embargo, cuando se aplican las cargas en forma creciente, el diagrama de momentos que se produce es el correspondiente al rgimen elstico hasta que para una fraccin de la carga de clculo k qu, con k < 1, se alcanza el momento nominal resistente (momento plstico) en los apoyos B y C: Mn ap.M P ap = M n ap =

MB

(85)

Para este valor de la carga se han formado rtulas plsticas en los apoyos. Luego, para cargas crecientes, los momentos de apoyo permanecen constantes igual al momento plstico y solo puede incrementarse los momentos de tramo, debindose cumplir equilibrio que para el tramo central es

M n ap + M tr

q L2 = , donde k qu < q < qu 8

(86)

Cuando en las secciones de los tramos se alcance el correspondiente momento nominal resistente (momento plstico), se habr producido el mecanismo de colapso con el diagrama de momentos mostrado en la figura 48

M n apqu Le 2 8

qu L 8

2

M n apqu Le 2 8

M n tr ext

M n trFigura 48: Diagrama de momentos en el colapso

M n tr ext

Para el tramo central, por equilibrio resulta

M n ap + M n tr

qu L2 = 8

(87)

Similarmente para los tramos extremos. La ec.(87) es formalmente igual a la ec.(81), siendo diferentes los valores de los sumandos del miembro izquierdo, pero resultando en la misma carga qu debido a que las armaduras de cada seccin se calcularon a partir de la condicin de equilibrio (84).Conclusin La carga lmite vale en ambos casos qL = qu / (83) con la diferencia que en el segundo caso (variante) primero se forman las rtulas en los apoyos y luego en los tramos. 10.3 Capacidad de rotacin de las rtulas plsticas

En el periodo elasto plstico, es decir desde que se forman las rtulas plsticas en los apoyos y hasta que se alcanza el mecanismo de colapso por formacin de las rtulas plsticas en los

CLCULO PLSTICO

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tramos, las rtulas de los apoyos experimentan giros plsticos. Se debe verificar que no se agote la capacidad de rotacin y se produzca una rtula de rotura como se describi en 10.1. Se pueden utilizar las ecuaciones propuestas por Baker que son las conocidas ecuaciones de superposicin utilizadas en el mtodo de las fuerzas

i = i 0 + ij X j i roturaj =1

n

(88)

siendo Xj los momentos plsticos de los apoyos, la ecuacin ya no expresa una condicin de compatibilidad sino que permite calcular la rotacin relativa i. La rotacin de rotura se calcula con

i rotura = u l p

(89)

Donde u es la curvatura ltima y lp la longitud plastificada o longitud de rtula plstica, cuyo valor se puede encontrar en la bibliografa especfica de hormign armado. Sino se cumple la condicin (88) se deber disminuir i modificando el valor de los momentos Xj. Los reglamentos actuales de dimensionamiento de elementos de hormign armado permiten no verificar la capacidad de rotacin de las rtulas plsticas si la reduccin del momento de apoyo no es mayor a M = 1000 s (%) 20 % siendo s la deformacin de la armadura traccionada en el plano lmite. Para poder utilizar la redistribucin debe ser s 0.0075, para garantizar una ductilidad mnima, y el lmite del 20% se debe a la ductilidad mxima que puede desarrollar sin la disposicin de armaduras especiales de confinamiento del hormign. (90)

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Oscar Mller

REFERENCIASClculo plstico de las construcciones. Massonnet, CH. y Save, M. Tomo 2. Editorial Montaner y Simon S.A., Barcelona, 1966. Mtodos de clculo plstico. Thurlimann, B., Ziegler, H., Publicacin N4 IMAE (traduccin).