calculo integral fase 1
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7/23/2019 calculo integral fase 1
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Introduccin
El presente trabajo pretende dar solucin a los problemas propuestos para el trabajo
colaborativo no. 1 del curso Clculo Integral que se imparte en la UNAD que !ace parte
del programa educativo del programa Administracin De Empresas.
El curso aborda desde di"erentes m#todos las di"erentes metodolog$as que !acen parte del
clculo especialmente las integrales% !aciendo #n"asis en temas aplicados en di"erentes
ciencias que se presentan en la actualidad como una posibilidad para apro&imarse a laadministracin.
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Desarrollo
1. [ (5 /3 )23
x2 ] dx
Aplicamos la propiedad [ f(x) g (x)] dx ' f(x ) dx g(x )dx reali(adolas operaciones por separado
dx=
5x31=
5x
3
5
3
parala segundotermino2 3x 2aplicamoslas propiedades delosradicales
nam=a
m
n Entonces tenemos obtenemos x2
3y aplicamosla 2propiedad
xn dx=xn+1
n+1+c=
x+13
2
+132 +c operamos multiplicandoencruz
2
31
1=
2+33
=5
3
x5
3
x
5
3 )ara resolver aplicamos la le de la oreja
x5
3
1
5
3
=3x
5
3
5 +c=2 3x
5
3
5 +c=
6x5
3
5 +c
*olucin
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5x
3
6x5
3
5 +c
+
tan (x )+sec2(x )sec (x)
Aplicamos la propiedad para la suma [ f(x) g (x)] dx ' f(x ) dx g(x )dx reali(ado las operaciones por separado
tan (x )
sec (x)
*e aplican las integrales obtenidas por de"inicin de la anti derivada las reglas deintegral por sustitucin
E&presamos la integral en sec ,&-
sec=u sen (x)cos
2(x)dx
Aplicamos el truco para sustituir cos
f ,g,x--g,x-dx f(u )dU=P (U)+c
u=cosxdu
dx=senx dx=
1senx
du sen (x )u
2
1
senx=
1
cos (x )2+c
Aplicamos la regla de la derivada
sec2 (x )=dx=tan (x )+c
*olucin
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1cos (x )2
+ tan (x )+c
/
x31
x1dx
*eparamos los t#rminos
x3
x1dx 1
x1aplicamosladivisionlarga para el primer temino
x3
x1=x2+x+1noquedacomo residuo1
x3
x1=x2+x+1+
1
x1
)ara el segundo t#rmino aplicamos la regla para integrales 1
xdx=ln (x )+c
1x1
dx=ln (x1 )+c
Derivamos el primer t#rmino con la regla de la propiedad de suma para las
integrales
kf(x )dxkg(x )dx[ ]dx=kf(x )dx kg(x )dx
x
3
x1=x2+x+1+
1
x1=x2 dx+xdx+1dx+ 1
x1
x2
dx=aplicamoslareglade potenciaxn
dx=
xn+1
n+1=
x2+1
2+1=
x3
3
x dx=procedemosconel procedimentoanterior=x1+1
1+1=
x2
2
1dx=x
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1x1
=laregla paraintegrales 1x
dx=ln (x )+c=ln (x1 )+c
x3
3+
x2
2+x+ln (x1 )ln (x1 ) simplificamos
x
3
3+
x2
2+x+c
solucion=
0allar la solucin de las siguientes integrales paso a paso% teniendo en cuenta las
propiedades de las integrales inde"inidas% las cuales son consecuencia de las aplicadas en la
di"erenciacin.
4.
+ sec , - tan , - 2h x h x x dx
SOLUCION
Aplicando propiedad para la integral de una suma de "unciones3
+ sec , - tan , - 2h x h x x dx
=
+sec , - tan , -2h x h x dx
xdx
4esolviendo cada una de estas por separado3
a.
+sec , - tan , -2h x h x dx
=
+ sec , - tan , -h x h x dx
5eniendo en cuenta que
1sec , -
cos , -h x
h x=
y
sen , -tan , -
cos , -
h xh x
h x=
entonces3
+sec , - tan , -2h x h x dx
=
1 sen , -
+ 6cos , - cos , -
h x
dxh x h x
=
+
sen , -
+ cos , -
h x
dxh x
)ara esta integral se puede !acer la sustitucin3 cos , -u h x=
cua derivada es3 sen , -du h x dx=
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De esta manera3
+
sen , -+
cos , -
h xdx
h x
=
++
du
u
=
++ u du
Aplicando propiedad
1
1
nn
d
x
x cnx
+
= ++ para n 7 81
++ u du
=
+ 1
++ 1
uc
+ + +
=
1
+1
uc
+
=
+c
u +
Pero la funcin original es x y no U, por ello se hace el reemplazo de nuevo:cos , -u h x=
Entonces3
+sec , - tan , -2h x h x dx
=
,
+
cos -h xc +
=
+sec , -h x c +
b.
xdx
=
1 1
1 1
xc
+
++
=
+
+
xc+
4euniendo resultados en a. b.% tenemos que3
+ sec , - tan , - 2h x h x x dx
=
[ ]1+ sec , -h x c +
+
++
xc
+
+ sec , - tan , - 2h x h x x dx
=
+sec , -h x
+
+
xk+
5(5x4x)dx
*eparamos t#rminos aplicando la regla de la suma
5x dx 4x dx
-
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podemosaplicar la formula para la funcion exponencial paraintegrales
obtenidas por defincionde la antiderivada
5x
ln 5 4
x
ln 4+c
ax
dx=a
x
lna+c paraa>0y a1
9
(exxe)dx
Aplicamos la regla de la suma separando los t#rminos
ex
dxxe
dx
)ara el primer t#rmino aplicamos la regla para integrales e&ponenciales
ex dx=ex+c
ex dx=ex+c
)ara el segundo t#rmino aplicamos la regla para integrales con potencias
xn dx=xn+1
n+1+c
xe dx=xe+1
e+1+c
solucionexxe+1
e+1+c
7
Ejercicio :
[
17
1x
2+(x2+1)
2
]dx
Aplicamos la regla de la suma separamos t#rminos
[ 171x2 dx+(x2+1 )
2]dx
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)ara el primer t#rmino aplicamos la regla para separar la constante
a . f(x ) dx=a f(x ) dx obtenemos
17 11x2
dxAplicamos la regla de integracin
x
1x2dx=arcsenx(x )
*olucin
17arcsen(x )
)ara el segundo t#rmino para derivar separamos de la ra$( aplicamos la regla de
integracin para "unciones irracionales
Rx ,ax2+bx+c+c dx Cambiamos si a>0=ax+t de esta manera eliminamos lapotencia podemos separar de ra$(
(x2+1)2
=
x
2
(+1)dx
de esta manera podemos separar los t#rminos e integral
x2+1dx
)ara el primer t#rmino aplicamos la regla de la potencia e integramos
xn dx=xn+1
n+1=x2=x
2+1
2+1=
x3
3dx= 1
3x
3dx
)ara el segundo termino
1dx=x
*olucin
17arcsen(x)+ 13x
3+x+c
;. [ tan (x )sen2 (x ) sec (x )+cos (x) ]dx
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[ tan (x )sen2 (x ) sec (x )+cos (x) ]dx
)asamos los t#rminos a senos cosenos
[ tan (x )sen2 (x ) sec (x )+cos (x )]dx=sen (x )cos (x )
sen2 (x )
1
cos (x )+cos (x )
x
sen(x ) cos (x )
sen2 (x ) cos (x )+cos (x )
dx se simplifica=
[sen (x ) cos (x )
sen2 (x ) ]
dxrescribimos y simplificamos=sen (x )sen(x)
cos (x )sen(x )
Convirtiendo la "uncin en una integral directaAplicamos la regla de sustitucin y completamos la diferencial
u=senxdu=cosxdx=dx= du
cosx
cos (x)u
du
cos (x )=
du
u=
Aplicamos la formula de integrales
du
u =ln|u|+c
cos (x)sen(x)
dx=ln|sen|+c
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. encuentre el !alor promedio de la funcing (x )=|x|1
en el inter!alo [1,1 ]
SOLUCION
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i. !t=
dx
dt=6432t remplazamosdatos
!t=dx
dt=6432t
!( t:1 )=6432 (1 )=6432=2048m / s
-elocidad entre t+" y +,
Aplicamos la formula
x (t)=x0+v
0t+
1
2at
2despe"amposa=x ( t)=x
0+v
0t+
1
2a t
2
empla%amos la formula
x
ts=6432 (t)+2 t2
v (1,3)=x (3 )(x1)
31
x (3 )=6432 (3 )+2 (3 )2=6496+18=178
x (3 )=6432 (1 )+2 (1 )2=6432+2=94
v (1,3 )=178(94 )
31 =
84
2=42m / s
"". Dado
+
1, - , -
x
P x sen t dt= . Utilice el primer teorema "undamental del clculo para
encontrar la derivada de )>,&-.
SOLUCION
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+
1
, - , -
x
P x sen t dt=
[ ]+
1, - , -
xP x cos t=
[ ]+, - , - , -1P x xcos cos =
+, - , -1- ,xP x cos cos= +
A!ora% derivando la "uncin obtenida% se tiene3
( ) ( )+., - , - 6+ =P x sen x x= +
+., - + 6 , -P x x sen x=
Entonces% la derivada de
., -P x
ser3
[ ] ++.., - 6 , - ++ cos6 , -6+xP x sen x xx= +
+ + +.., - + , - ? cos, -P x sen x x x= +
1+ aplicar el segundo teorema "undamental del clculo para resolver
#
#
(sen (x )+cos (x ))2
dx
)ara poder resolver la integral usamos las identidades trigonom#tricas
Integral de cosn (x ) senm(x) para m n enteros pares positivos= 1
(sen (x )+cos (x ))2=1+sen(2x)
1+sen(2x)
)ara resolver separamos t#rminos e integramos
1dx+ sen (2x )dx
)ara el primer termino
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1dx=1x simplificamos x
)ara el segundo termino
sen (2x ) dx=aplicamos sustituimosterminos
u=2x du=2dx $dx=1du
2
1
2
cosu+c=
senu ()duintegramos separandoterminos=1
2senudu=
1
2
2x
cos ()
12
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lim x $#cos (2#)
2 #
cos (2#)2
=2#=6,2832
Conclusiones
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Este trabajo nos sirvi para entender un poco las aplicaciones que tiene las
integrales para el uso matemtico en la administracin. @a que es una !erramienta
mu til
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4ondn Duran% Borge Eli#cer ,+=1=-. aterial Didctico.Mdulo Clculo Integral .
UNAD. ogot. Consultado en septiembre de +=1+.
lanco% Bose )edro FGA. UNAD. O! sumas de riemann. Consultado el ++ de
septiembre de +=11% en la pgina Heb3
!ttp3HHH."ileden.com"iles+==JKJ+?/9?K9FGAL+=IntegralL+=sumasL+=de
L+=4iemman.sH"
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