Calculo Integral Eliza

Enunciado 1

Calcular la integral:

Ver Solución

Enunciado 2

Calcular la integral:

Ver Solución

Enunciado 3

Resolver la integral:

Ver Solución

Enunciado 4

Resolver la integral :

Ver Solución

Enunciado 5


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Enunciado 6

Calcular la integral :

Ver Solución Enunciado 7

Calcular la integral :

Ver Solución

Enunciado 8


Ver Solución

Ejercicios de cálculo integral - Respuesta 1

La integral del enunciado puede resolverse haciendo el cambio :

con lo que nos queda :


La integral dada en el enunciado puede resolverse realizando el cambio :

y a partir de ahí :


Sabemos que sec x = 1/cos x; por lo tanto, podemos poner para la integral del enunciado:

y queda resuelto el ejercicio planteadoEjercicios de cálculo integral - Respuesta 4

La integral escrita en el enunciado se resuelve haciendo el cambio :a – bx = t → -b.dx = dt

Con lo cual :

y deshaciendo el cambio:


Para resolver la integral dada en el enunciado, la descomponemos en otras dos mas sencillas :

que resolvemos por separado.Para la primera tenemos :

Para la segunda hacemos el cambio:

y a partir de ahí tenemos :

con lo que deshaciendo el cambio :

y de ese modo el valor de la integral inicial será

Para resolver la integral planteadaen el enunciado hacemos el cambio :

con lo que tenemos :

y deshaciendo el cambio:


Para resolver la integral escrita en el enunciado, hacemos el cambio de variable:

x = a.t → dx = a.dt

y a partir de ahí :

jercicios de cálculo integral - Respuesta 8

Para la integral del enunciado, tenemos :

Podemos ver que se tiene una expresión de la forma y'/y cuya integral es ln y ; por lo tanto, la integral nos queda:


Para resolver la integral del enunciado hacemos el cambio x = at con lo cual : dx = a.dt y tenemos para la integral:

y deshaciendo el cambio :


Tenemos :

Integral que también podemos poner :

de donde resulta :


De las dos integrales del enunciado, para el primer caso realizamos el cabio de variable x = a•t, con lo cual, dx = a•dt y, de ese modo:

Y deshaciendo el cambio de variable:

Para el segundo caso efectuamos el cambio de variable sen x = u con lo cual du = cos x.dx; de ese modo, cambiando los límites de integración podemos

poner:


PROBLEjercicios de cálculo integral - Respuesta 12

Para la primera de las tres integrales del enunciado cambiamos de variable y de límites de integración:

De ese modo:

Para la segunda integral hacemos el cambio de variable 2x = u, con lo cual du = 2dx y tenemos:

Finalmente, para la tercera integral tenemos:

Y si hacemos el cambio de variable sin x = u resulta du = cos x y a partir de ahí:


Haciendo el cambio de variable x = sen t resulta dx = cos t.dt y tenemos para la integral dada:

Por otro lado, según una conocida fórmula trigonométrica tenemos:

Con lo que la integral queda en la forma:

La segunda de las anteriores integrales es inmediata y la primera se resuelve fácilmente haciendo el cambio de variable u = 2t, con lo cual 2•dt = du y

entonces:

La expresión general queda, por tanto, en la forma:

Para expresar el resultado en términos de la variable x tenemos en cuenta otra conocida fórmula trigonométrica según la cual podemos hacer lo siguiente:

Y la expresión general nos quedará:


Integrales de los tipos indicados en el enunciado pueden resolverse por el método de integración por partes aplicado reiteradamente. Este proceso recibe

el nombre de integración por reducción.Así, por ejemplo, para el primer tipo de integrales tenemos:

Y aplicando de nuevo el método de integración por partes

Haciendo así m veces nos queda

El método para obtener en cada caso la parte integrada es dividir por a la parte que queda bajo el operador integral.

Para integrales del segundo tipo seguimos un proceso análogo para obtener:


Calculamos la integral dada en el enunciado por el método de Hermite:

Se tiene entonces:

Con lo que podemos poner:

Y quitando denominadores: 2x – 3 = a(x+2)(x-1) – 2(a•x + b)(x + 2) + (c•x + d)(x – 1)²

Agrupando términos e identificando coeficientes, nos queda finalmente: a = - 7/9 ; b = 17/18 ; c = 0 ; d = - 7/9


Y para obtener la última integral descomponemos el integrando en fracciones simples:

De donde obtenemos: A = - 7/27 ; B = 7/27 y a partir de ahí:

Con lo que la integral principal queda en la forma:

PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS

primero - : - anterior - : - siguiente


Desarrollando el integrando en fracciones simples, tenemos:

Quitando denominadores, agrupando términos e identificando coeficientes obtenemos los siguientes valores para los coeficientes: A = ¼ ; B = C = 0 ; D =

- ¼ . La integral original queda así en la forma:

La primera de estas integrales es inmediata, ya que poniendo (x-1) = t, resulta dx = dt y a partir de ahí

La segunda integral se resuelve como sigue:

Por todo lo visto, la integral buscada es:


Transformamos la integral como sigue:

Por otra parte, el cambio de variable indicado nos da:

De donde por manipulaciones algebraicas elementales obtenemos:

Pero tenemos:

Con lo que sustituyendo en la expresión anterior:

Todo lo anterior nos permite escribir para la primera de las integrales:

Para resolver la segunda integral, considerando los resultados anteriores, tenemos:

Y sustituyendo en la integral:

Y finalmente:

Con lo que la integral inicial resultará ser:




Transformamos la integral como sigue:

Para resolver la primera de las integrales tenemos:

Haciendo el cambio cos x = t resulta dt = - sin x.dx podemos poner:

Para resolver la segunda integral tenemos:

Resolviendo la diferencial del numerador tenemos:

Y a partir de ahí, podemos poner:

Para resolver la integral racional lo hacemos por el método general de resolución de este tipo de integrales (ver monografía cálculo integral):

Operando obtenemos:

Y la integral queda en la forma:

Que resolviendo nos da:

Deshaciendo el cambio de variable, podemos poner en la integral final:

Y agrupando logaritmos:




Consideramos la primera de las integrales. Integrando por partes resulta:

Donde podemos tomar:

Y a partir de ahí:

Consideramos la segunda de las integrales. Integrando, como antes, por partes, tenemos:

Donde consideramos:

Y a partir de ahí:


Para la primera de las tres integrales tenemos:

Para la segunda de las integrales podemos hacer:

Finalmente, para la tercera de las integrales hacemos:


Consideramos la primera de las dos integrales. Para poder resolverla hacemos el cambio de variable:

Con lo cual:

Pero la última de las integrales es I2. Integrando de nuevo por partes, tenemos:


Pero esta última integral es de nuevo I1, con lo que podemos poner:

Que, por último, podemos dejar en la forma:

Para calcular I2 tenemos en cuenta:

Integrando y despejando I2 nos queda:

La última integral es I1 que, como hemos visto, vale:

Sustituyendo nos queda:

Y finalmente:


Para la primera de las integrales hacemos:

Aplicando el método de integración por partes resulta:

Y agrupando términos:

Para la segunda de las integrales tomamos:

Y a partir de ahí:




Para la primera de las dos integrales dadas en el enunciado realizamos el cambio de variable:

Y con ello:


Para la segunda de las integrales realizamos el cambio de variable:

Y con ello:

Para resolver la última integral ponemos:

De ese modo:

Y finalmente:




Consideramos la primera de las integrales:

Haciendo el cambio de variable:

Resulta:


Consideramos la segunda de las integrales:

Haciendo el cambio de variable x = tg t, resulta:

Pero tenemos la equivalencia:

Con lo cual:


Donde hemos considerado:




Con la primera de las dos integrales dadas podemos hacer:

Y realizando la integración de cada uno de los sumandos:

Por lo que finalmente:

Para la segunda de las integrales hacemos el cambio de variable

Con lo cual, la integral dada se puede escribir:

Y resolviendo y deshaciendo el cambio de variable:




Podemos intentar transformar el integrando en una expresión de la forma:

Pues de ese modo resultaría:

Y tendríamos dos integrales inmediatas.Hacemos:

Con lo que la integral queda en la forma

Y a partir de ahí:

Lo que nos da:

Y, finalmente:




Podemos transformar el integrando como sigue:

El primero de los sumandos nos da:

El segundo de los sumandos nos da:

Por lo que, finalmente:




En este caso tenemos como integrando una función lineal de x, por lo que la integración se realiza con facilidad haciendo un cambio de variable:

Y sustituyendo en la expresión inicial:

Para llegar al resultado final, debemos deshacer el cambio de variable, expresando z en términos de la variable x de origen. De ese modo:

PROBLEMA RESUELTOS Ejercicios de cálculo integral - Respuesta 32

Tenemos una integral en la que el integrando contiene una función lineal de la variable independiente, por lo que realizamos el cambio:

Y llevando los resultados a la integral:

Por lo que, finalmente, tendremos:


En este caso resulta que el integrando contiene una función lineal de la variable independiente. Consideramos el cambio de variable:

De ese modo, la integral nos queda:



El integrando contiene una función lineal de la variable independiente, por lo que consideramos el cambio de variable:

Con esa modificación, obtenemos la integral:

Y volviendo a la variable original:


El integrando contiene una función lineal de la variable independiente. Si consideramos el cambio de variable dado por:

En la integral original, nos queda:

Y volviendo a la integral original:


Vemos que el denominador es un polinomio que tiene raíces imaginarias

múltiples, por lo que podemos aplicar el método de Hermite para su resolución. Sabemos que la fórmula de Hermite nos da:

Donde P(x) es un polinomio en x, de grado inferior a Q(x), que también es un polinomio en x, en este caso con raíces múltiples imaginarias. R(x) es un

polinomio en x de un grado inferior a S(x). S(x) es un polinomio en x, que posee todas las raíces de Q(x) pero con un grado de multiplicidad disminuido en una unidad. W(x) es un polinomio en x obtenido al efectuar el cociente Q(x)/S(x).

finalmente, V(x) es otro polinomio en x de un grado inferior a W(x).Con todo lo anterior, tenemos:

Y a partir de ahí:

Con lo que, derivando:

Y quitando denominadores:

Por identificación de los coeficientes de los dos miembros de la ecuación obtenemos un sistema de ecuaciones que tiene como solución:

Y pasando estos valores a la ecuación integral:

Nos queda entonces resolver la integral del segundo sumando del miembro de la derecha, pero en este caso tenemos que el denominador es un polinomio

con raíces simples.

Al que podemos aplicarle el método de descomposición en fracciones simples.

Quitando denominadores e identificando coeficientes se obtienen los valores de A, B y C. Operando resulta:

Y, de ese modo:


Para el denominador del integrando podemos hacer:

Y dentro del paréntesis nos queda una ecuación bicuadrática que podemos resolver por cambio de variable, y = x²; de ese modo:

Y la integral nos queda:

Expresión a la que podemos aplicarle el método de Hermite, es decir:

Y derivando

Quitando denominadores e identificando coeficientes, obtenemos:

Y sustituyendo en la expresión integral:


Tenemos una integral irracional pero que vamos a tratar de expresar en la forma:

Que es una integral inmediata cuya solución viene dada por:

De ese modo:

Igualando coeficientes obtenemos:

Y la integral original nos dará:


En este caso, la teoría nos sugiere un cambio de variable dado por:

Con lo cual, elevando al cuadrado y operando:

Y a partir de ahí:

Por lo que, sustituyendo en la integral inicial y operando nos queda:

Que es una integral racional que podemos resolver descomponiendo el integrando en fracciones simples:

Las dos integrales resultantes son inmediatas y nos dan:

Por lo que deshaciendo el cambio de variable:


De acuerdo a lo que sabemos por teoría, hacemos un cambio de variable de la forma:

Siendo µ el m.c.m de los denominadores de los exponentes a los que están elevados los distintos términos de la expresión a integrar en una integral del

tipo:

En este caso tenemos:

Y sustituyendo en la integral:

Con lo que hemos llegado a una expresión formada por integrales inmediatas:

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