Calculo Integral Capitulo 5 - Sustituciones Trigonometricas

8/16/2019 Calculo Integral Capitulo 5 - Sustituciones Trigonometricas

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------------------------------------------------------------------------------------------------CAPITULO 5 CAPITULO 5CAPITULO 5CAPITULO 5--------------------------------------------------------------------------------------------

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SUSTITUCIONES TSUSTITUCIONES TSUSTITUCIONES TSUSTITUCIONES TRIGONOMÉRIGONOMÉRIGONOMÉRIGONOMÉTRICASTRICASTRICASTRICAS

En este capítulo estudiaremos las integrales cuyo integrando contiene una expresión de la

forma22

uk −

,22

uk +

o22

k u −

, donde 0>

k , a menudo es posible realizar laintegración por medio de una sustitución trigonométrica.

• Calcular la siguiente integral ∫+ 22 a x

dx

El integrando contiene la expresión de la forma22

k u+

Sea θ θ θ d adxentoncesa x 2sectan == , de manera que reemplazando en la integral

se tiene:

( )

C d

d d aa

a

d a

aa

d a

a x

dx

++==


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---------------------CAPITULO 5-----------------------

90

(Figura 5.1)

)aciendo referencia al tri#ngulo, se tiene:

aa x 22

sec +

=θ ya x

=θ tan de manera que:

k a x x

C aa x x

C a

xa x

C a x

aa x

a x

dx

+++=

+−++=

+++

=

+++

=+

∫

22

22

22

22

22

ln

lnln

ln

ln

*onde =+−= C ak ln constante

5.1 SUSTITUCIONES RECONMENDAB ES DE ACUERDO A ASE!"RESIONES EN A INTEGRA

Expresión( )0>k Sustitución Identidad Triángulo

22 uk −

( ) ;θ ksenu =

20

π θ ≤≤ si 0≥u

02

≤≤− θ π

si 0


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91

22

uk +

( ) ;tan θ k u =

20

π θ ≤≤

si0≥

u

02

≤≤− θ π

si 0


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---------------------CAPITULO 5-----------------------

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5.# EM" EO DE SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS "ARA EC$ CU O DE INTEGRA ES DE A %ORMA

dxcbxax x R∫ ++2,

Completando cuadrado en cbxax ++2 y !aciendo una sustitución lineal, reducimos laintegral a una de las integrales de las formas siguientes:

a) duuk u R∫ − 22, &)∫ + duuk u R 22, c) duk uu R∫ −22,

Con 0>k $k - constante'.as tres integrales se e"al/an usando respecti"amente las sustituciones trigonométricas

anteriores.

El uso de sustituciones trigonométricas también es /til para el c#lculo de integrales de la

forma

( )dxcbxax x R∫ ++2, *onde R es una función racionalCompletando cuadrado en cbxax ++2 y !aciendo una sustitución lineal llegaremos a

una de estas tres formas para la integral anterior.

( ) ,, 22 duuk u R∫ − ( )duuk u R∫ + 22, y ( )duk uu R∫ − 22,

Estas /ltimas integrales se calculan, "aliéndose respecti"amente de las sustituciones,θ ksenu = θ tank u = y θ seck u =

• Calcular la integral ∫

−

dx x

x2

225

.

Me diante la sustitución adecuada, deseamos eliminar el radical 225 x− . (ara ello,!acemos 5 o tomamos en cuenta el triangulo rect#ngulo de la figura %.0

Ejemplo 5.#5.#5.#5.#:

Solución:Solución:Solución:Solución:


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93

(Figura 5.')

*el tri#ngulo rect#ngulo obtenemos el cambio de "ariable buscando la relación

trigonométrica m#s sencilla que implica a θ y a x , y ésta es ( ) 5 x

sen =θ . Entonces, al

despe ar x , al diferenciar y despe ar θ se tiene

( )θ sen x 5= 1 ( )θ cos5=dx 1

= 5

xarcsenθ 1

dem#s, del mismo tri#ngulo de la figura %.0 obtenemos ( )θ cos525 2 =− x

Sustituimos en la integral y resulta

( )( )

( )( ) ( )∫∫∫ ==−

θ θ θ θ θ

θ d d

sendx

x

x 222

2

cotcos525

cos525,

*onde usamos la identidad ( ) ( )( )θ θ

θ sen

coscot = .

+sando luego la identidad ( ) ( ) 1csccot 22 −= θ θ , obtenemos

( )( ) ( )∫ ∫ +−−=−=−

C d dx x

xθ θ θ θ cot1csc

25 22

2

2eescribimos el resultado en término de la "ariable x, del tri#ngulo ( ) x

x 225cot

−=θ

y como

=5

xarcsenθ , 3inalmente obtenemos

1

∫ +

−−

−=−

C x

arsen x

xdx

x

x5

2525 2

2

2

x5

θ

25


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---------------------CAPITULO 5-----------------------

94

• E"aluar la siguiente integral( )

∫+++ 2 2 221 x x x

dx

•

Completando cuadrado tenemos:

( ) ( ) 11121222 222 ++=−+++=++ x x x x x , a!ora !acemos:dxdu xu =⇒+= 1 y 1−= u x , luego:

( ) ( ) ( ) ( )

∫

∫∫∫

+

=

++−=

+++

=+++

1

111111221

22

222222

uu

du

uu

du

x x

dx

x x x

dx

a integral resultante tiene la forma ∫ + duuk u R 22, tomamos,sectan 2 θ θ θ d duu =⇒= de modo que :

( )

∫

∫∫

∫∫∫

=

⋅==

=+

=+++

θ θ

θ

θ θ

θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

d sen

d sen

d

d d

x x x

dx

2

2

2

2

2

2

22

2

22

cos

cos

cos

1

tan

sec

sectan

sec

1tantan

sec

221

Sea θ θ θ d dt sent cos=⇒= , reemplazando se tiene:

( ) ∫∫ +−=+−==

+++

− C sen

C t

dt t x x x

dxθ

11

221

2

22

a sustitución1

tan uu ==θ , se puede representar por medio de un tri#ngulo rect#ngulo

como se indica en la figura %.4,

(Figura 5. )

Ejemplo 5.&5.&5.&5.&:


u

1

θ

1


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95

(ara expresar el resultado de la integral en términos de la "ariable de integración u ,

utilizamos dic!o tri#ngulo ,12 +

=

u

usen θ *e manera que:

( ) C uu

x x x

dx+

+−=

+++∫1

221

2

22

C x

x x+

+

++=

1

222, donde 1+= xu

• )allar la siguiente integral ( ) dx x x

∫ − 2322

91

a integral tiene la forma duuk u R∫ − 22,

Sea θ θ θ θ θ d dxd dxsen x cos3

1cos33 =⇒=⇒=

θ sen x31= y ( ) θ 222 93 sen x x == , entonces

( ) ( )θ θ

θ

θ

d sen

sendx

x x cos

13

1

31

91 23

2

2

23

2

2

∫∫ −

=

−

( )θ θ

θ

θ d

sencos.

cos27

1

23

2

2

∫=

θ θ

θ θ

θ

θ θ d

send

sen ∫∫ == 22

3

2

cos27

1

cos

cos.

27

1

( )∫ ∫ −== θ θ θ θ d d 1sec271

tan27

1 22

C d d +−=−= ∫∫ θ θ θ θ θ 271

tan27

1

27

1sec

27

1 2

(ero la sustitución1

33

x xsen ==θ , se puede representar por medio de un tri#ngulo

rect#ngulo como se indica en la figura %.5,

Ejemplo 5.' 5.'5.'5.':



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---------------------CAPITULO 5-----------------------

96

(Figura 5. )

(ara expresar el resultado de la integral en términos de la "ariable de integración original

x , !acemos referencia a dic!o tri#ngulo

2913tan

x x

−=θ , adem#s, Si xarcsen xsen 33 =⇒= θ θ , finalmente obtenemos,

( )C xarcsen

x

x

C xarcsen x

xdx

x

x

+−−

=

+−−

=

−∫

327

1

919

327

1

91

3.

27

1

91

2

223

2

2

• Calcular la siguiente integral dx x x

∫ +− 65

12

Completando cuadrado en 5 6

4

256

4

25565 22 −++−=+− x x x x 4

12

52

−

−= x ,

2eescribiendo la integral se tiene,

( )

( ) ( )∫

∫∫

−−

=

−−

=+−

22

22

21

25

41

2565

x

dx

x

dx x x

dx

Ejemplo 5.55.55.55.5:


3 x1

θ

1 9


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10/13

---------------------CAPITULO 5-----------------------

98

( )( )

C x x

C x x

C x

x

C x x

x

C x x

x

C x x x x

x x x

dx

+−

−=

+−

−=+

−

−=

+−−

−=

++−

−=

++−

−+−

−=

+−∫

2

3ln

2

3ln2

2

3ln2

23

3ln2

652

62ln2

652

1

652

52ln2

65

2

1

2

222

• Calcular la integral dxee

e x x

x

∫++ 12

•

)acemos la sustitución x x x d edt et =⇒= para simplificar la integral

∫∫++

=++ 11 22 t t

dt dx

ee

e x x

x

Completando cuadrado se tiene:

( )∫∫

++

=++

43

211

22

t

dt dx

ee

e x x

x

Sea θ tan2

32

1 =+t y θ θ d dt 2sec2

3= , de modo que:

∫

∫∫

+=

+

=++

1tan

sec

23

23

4

3tan

4

3

sec

2

3

1

2

2

2

2

2

θ

θ θ

θ

θ θ

d

d

eedxe x x

x

Ejemplo 5.( 5.(5.(5.(:



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99

secsec

sec

sec

sec 2

2

2

∫∫∫ === θ θ θ θ θ

θ

θ θ d

d d

C ++= θ θ tansecln

6ol"amos a la "ariable x , como ,3

12tan += t θ entonces

(Figura 5.*)

)aciendo referencia al tri#ngulo rect#ngulo de la figura %.7, se tiene:

3

12sec

2 ++=

t t θ , de manera que la integral original nos queda:

C t t t

ee

dxe x x

x

+++

++

=++

∫3

12

3

12ln

1

2

2

C t t t

+++++

=3

1212ln

2

3ln1212ln 2 −+++++= C t t t

,1212ln 2 k eee x x x +++++= *onde xet = y 3ln−= C k

E)ERCICIOS * "ROB EMASE)ERCICIOS * "ROB EMASE)ERCICIOS * "ROB EMASE)ERCICIOS * "ROB EMAS +5.1,+5.1,+5.1,+5.1,

• +tilizar sustituciones trigonométricas para deducir las siguientes fórmulas.

1. ∫ +++++=+ C uauauauduua 222

2222 ln22

'. ∫ +=−

C au

arcsenua

du22

2 1

3

θ

2 1


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---------------------CAPITULO 5-----------------------

100

.∫ +=+ C au

auadu

arctan1

22

.∫ ++−

=−

C uaua

aaudu

ln2

122

5. ∫ +++=+

C auuau

du 2222

ln

E)ERCICIOS * "ROB EMAS +5E)ERCICIOS * "ROB EMAS +5E)ERCICIOS * "ROB EMAS +5E)ERCICIOS * "ROB EMAS +5.# .#.#.#,,,,

• Calcular las siguientes integrales indefinidas, utilizando el método de sustitucióntrigonométrica.

1. ∫− 25

22

x x

dx '. ∫ − dx x 249

.( )

∫+−− 231 2 x x x

dx .

( )∫ + dx x x

22

2

4

5.( )

∫−− 2

3245 x x

dx *.( )

∫++ 2

32 78 t t

t

ee

dt e

+. ∫+ 425

2

x x

dx ,. ∫− 22 x x

dx

-. ∫ ++ 132 y ydy 1 . ∫ − dx x x 423

11. ( ) dx x x x∫ +++ 221 2 1'. ∫ + dxee x x 22 1 1 . ∫

−

−dx

x

x21

53 1 . ( )∫ −−

−dx

x x x

2961

23

15. ∫ +− 2243

x xdx x 1*. ∫ −+ dxee

dx x x 22

1+. ∫ +−−

dx x x

x22

52 1,. ∫ ++ 2cxbxa

dx

1-.

( )∫

− 2

32

2

tan4

sec

x

xdx ' .

( )∫

+ 2

3

1 x

dx

'1. ∫−+ 2361 x x

xdx ''.( )∫ +− 22 11 x x

dx

' . ∫− 4ln

ln2

3

t t

tdt ' . dx xa xa∫ −

+


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