Calculo Integral Capitulo 3 - Integracion Por Partes

8/17/2019 Calculo Integral Capitulo 3 - Integracion Por Partes

1/17

---------------------CAPITULO 3--------------------

60

INTEGRACION POR PARTESINTEGRACION POR PARTESINTEGRACION POR PARTESINTEGRACION POR PARTES

Un motivo de complicación en la técnica de integración es la ausencia de una regla de

integración de los productos de dos funciones, por tanto en este capítulo introducimos el

método básico de integración por partes, el cual viene a ser útil para este efecto,además se basa en la regla de la derivación del producto de funciones.

Por otra parte también se hace referencia a la integración tabular, la cual es efectiva

cuando se reuieren muchas repeticiones en la integración por partes.

3333.1.1.1.1 FORMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTESFORMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTESFORMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTESFORMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES

!upón ue tenemos dos funciones ( ) xu " ( ) xv continuamente diferenciables " definidasen un intervalo abierto I . #e acuerdo con la regla de la diferencial del producto,

( ) udvvduuvd += o, de forma euivalente

( ) vduuvd udv −=

$l integrar cada miembro de esta ecuación, se obtiene la fórmula de integración por

partes,

%a fórmula anterior es útil cuando ∫ udv no es una integral sencilla, pero las integrales

∫ dv " ∫ vdu sí lo son.

∫ ∫−= duvvudvu ...

OBSERVACIÓN: Cuando se aplica la formula anterior a una integral, debedescomponerse el integrando en dos factores (integración por partes), a saber u y

dv . Aunque no pueden darse instrucciones generales para la elección de esos

factores, son útiles los siguientes:

• La expresión que se usa para dv debe incluir la diferencial dx .

• e toma u como el resto de la integrando y se encuentra du .

!i )(),( xgv x f u == " si f ′ " g′ son continuas entonces

∫ ∫−= duvvudvu ...


2/17

---------------------CAPITULO 3--------------------

6&

Para el caso de integrales definidas, la fórmula de integración por partes está dada por'

• (alcular las siguientes integrales

a) ∫ xdxln b) ∫ ⋅ dxe x x

c) d)

a) $plicando la fórmula de integración por partes a la integral dada tenemos'

!ean xu ln= " dxdv = , entonces

1C xv

dxdv x

dxdu

+=

== ∫ ∫

dxe

e

x

x

∫+1

2

dx x x∫ 2

0cos

π

• !legir u y dv apropiadamente de modo tal que la segunda integral

∫ vdu sea m"s sencilla que la primera ∫ udv ,

• e elige dv de tal manera que se pueda integrar directamente (debe ser

posible integrar dv .)

!i ( ) xu " ( ) xv son funciones continuamente diferenciales definidas en un intervaloabierto I , entonces para todo I ba ∈, tenemos

∫∫ −=b

a

b

a

b

a

vduuvudv

Ejemplo 3333.1.1.1.1:

Soluci!:Soluci!:Soluci!:Soluci!:


3/17

---------------------CAPITULO 3--------------------

6)

#e modo ue'

( ) ( )

2

211

11

ln

lnlnln

lnln

C x x x

C xC x xC x x

x

dxC xC x x xdx

+−=

+−−+=

+−+= ∫∫

b) !ean "

$plicando la fórmula de integración por partes se obtiene,

*omemos una escogencia inadecuada de " de la integral anterior

" , #e manera ue

+ótese ue la integral del segundo miembro es más complea ue la original

.

dxdu

xu

=

=

x

x

ev

edv

=

=

C xe

C ee xdxee xdxe x

x

x x x x x

+−=

+−=−= ∫∫)1(

...

u dv

2

.

2 x

v

dx xdv

=

=

∫ ∫−= dxe xe xdxe x x x x

221..

22

∫ dxe

x x

2

2

dxe x x

∫ .

Observación: %a primera constante de integración no aparece en la respuesta

final. Por tanto, de ahora en adelante cuando se determine mediante

debe omitirse la constante de integración, es decir . #e modo ue al

resultado final debe adicionarse la constante de integración.

1C

v ∫ dvx v =

Observación: %a escogencia adecuada de " , al aplicar la integración porpartes, permitió obtener ue la segunda integral sea más sencilla ue la

integral inicial.

u dv( )∫ dxe x

dxedu

eu

x

x

.=

=


4/17

---------------------CAPITULO 3--------------------

6-

c) eescribiendo la integral, tenemos

(omo puede integrarse fácilmente haciendo 1 ,tomamos

"

"

$plicando la fórmula de integración por partes, tenemos ue'

/n la integral del segundo miembro hacemos'

, entonces'

donde

d) !ean "

$plicando la fórmula de integración por partes, obtenemos'

/n el eemplo siguiente se ilustrará la observación anterior.

( )∫ ∫∫

−

+=

+

=

+

.)1(.

11

21

2

1

2

dxeeedxe

e

edx

e

e x x x x

x

x

x

x

dxee x x 21

)1( −

+

xeu = dxeedv

x x 21

)1( −

+=

dxedu x= 2

1

)1(2 xev +=

∫ ∫ +−+=+

dxeeeedxe

e x x x x x

x

21

21

2

)1(2)1(21

dxedze z x x

=⇒+=1

∫ ∫−+=+

dz zeedxe

e x x x

x

21

21

2

2)1(21

C zee x x +−+= 23

21

3

4)1(2

,)1(3

4)1(2 2

32

1

C eee x x x ++−+= x

e z +=1

xu = xdxdv cos=

dxdu = senxv =

] ( )

12

)0cos()0(0)2

cos()2

(2

cos

cos

2

2

0

2

00

2

0

−=

+−

+=+=

−= ∫∫

π

π π π π

π

π π

sensen x xsenx

senxdx xsenx xdx x

Observación: $ veces es necesario aplicar reiteradamente la formula de integraciónpor partes a una integral para obtener el resultado.


5/17

---------------------CAPITULO 3--------------------

6

• (alcular la integral

*omando "

/ntonces integrado por partes, se tiene

%a integral del segundo miembro es análoga a la original, luego integrando por partes

nuevamente la integral obtenemos'

!ean

"

/ntonces

∫ ∫−= dxe xedx xe x x x 333

3

1

3

1

1inalmente, reempla2ando en la integral original se obtiene'

3

3

∫ dxe x x32

2 xu = dx e dv

x 3=

dx xdu .2= xev 3

3

1=

∫ ∫−= dx xee xdxe x x x x 33232

3

2.

3

1

∫ ,3 dx xe x

xu = dxevd x3=

dxud = xev 3

3

1=

1

33

9

1

3

1 C e xe

x x+−=

∫

+−−= 1

333232

9

1

3

1

3

2

3

1C e xee xdxe x

x x x x

C xee x x x ++−

27

2

9

2

3

1 332

C e x x x +

+−

32

3

1

9

2

3

2

Ejemplo 3."3."3."3.":


Observación: Un artificio usual consiste en utili2ar la integración por partes para

hallar en términos, otra ve2 de , " después despear en la ecuación

resultante.

∫ h ∫ h ∫ h


6/17

---------------------CAPITULO 3--------------------

64

/l eemplo siguiente ilustra la observación anterior.

• (alcular la integral

$plicando la fórmula de integración por partes,

!ean

"

/ntonces'

%a segunda integral es análoga a la primera, salvo ue tiene en lugar de ,

por tanto aplicamos nuevamente la integración por partes, a la integral

luego

!ea "

#e manera ue'

eempla2ando en la integral original, se obtiene'

∫ ∫−−= xdxsene xe xsene xdxsene x x x x 3

493cos

433

213 2222

$hora bien, la integral ue vamos a calcular aparece en el miembro

i2uierdo con coeficiente uno " en el derecho con un coeficiente 5 Pasando este último

término a la i2uierda obtenemos,

.32 xdxsene x∫

xsenu 3= dxedv x2

=

xdxdu 3cos3= xev 2

2

1=

∫ ∫−= xdxe xsene xdxsene x x x

3cos2

33

2

13

222

x3cos xsen3

∫ ,3cos2

xdxe x

xu 3cos= dxevd x2=

xdxsenud 33−= x

ev2

2

1=

∫ ∫+= xdxsene xe xdxe x x x

32

33cos

2

13cos 222

∫ ∫

+−= xdxsene xe xsene xdxsene

x x x x3

2

33cos

2

1

2

33

2

13 2222

.32 xdxsene x

∫

.4

9

Ejemplo 3.33.33.33.3:



7/17

---------------------CAPITULO 3--------------------

66

3

3333."."."." INTEGRACIÓN TA#ULARINTEGRACIÓN TA#ULARINTEGRACIÓN TA#ULARINTEGRACIÓN TA#ULAR

emos visto ue las integrales de la forma

en las ue puede diferenciarse repetidamente hasta convertirla en cero, " puede

integrarse repetida veces sin dificultad, son candidatas naturales a la integración por

partes. !in embargo si se reuieren muchas repeticiones, los cálculos pueden resultar

algo laboriosos. /n esos casos una manera de organi2ar los cálculos ue ahorra mucho

trabao es la llamada integración tabular

%a técnica ueda ilustrada en los siguientes eemplos

• (alcular , mediante integración tabular.

(on " tenemos,

( ) derivadassusy x f ( ) integralessusy xg 2

x

xe

3

x2 xe3

3

1

2 xe3

9

1

0 x

e3

27

1

∫ ∫ +−=+ 13cos43

32

13

4

93 2222 c xe xsene xdxsene xdxsene

x x x x

∫ +−= .3cos43

32

13

4

131

222 c xe xsene xdxsene x x x

∫ +−= .3cos133

313

23 222 C xe xsene xdxsene x x x

.)3cos3325(13

1 2 c x xene x +−

∫ dx xg x f )()( f g

∫ dxe x x32

( ) 2 x x f = ( ) xe xg 3=

Ejemplo 3.$3.$3.$3.$:


+

+

-


8/17

---------------------CAPITULO 3--------------------

67

Por tanto, el resultado de la integral es igual a la suma de los productos de las funciones

conectadas mediante las flechas con signos alternados, esto es'

C x xe

C e xee xdxe x

x

x x x x

+

+−=

++−=∫

9

2

3

2

3

1

27

2

9

2

3

1

23

333232

• (alcular mediante integración tabular.

(on " se tiene,

( ) derivadassusy x f ( ) integralessusy xg 3

x

senx

23 x xcos−

x6 senx−

6 xcos

0 senx

Por tanto, nuevamente sumamos los productos de las funciones unidas con las flechas con

los signos alternados, esto es'

∫ +−++−= C senx x xsenx x x xsenxdx x 6cos63cos233

8lustramos lo anterior en el siguiente eemplo'

• (alcular mediante integración tabular

∫ senxdx x3

( ) 3 x x f = ( ) xsen xg =

xdxe x cos2∫

Ejemplo 3.%3.%3.%3.%:


+

+

-

-

Observación: %a técnica de la integración tabular se aplica también a integrales de

la forma cuando ninguna de esas dos funciones puede ser

diferenciada repetidas veces hasta convertirse en cero.

dx xg x f ∫ )()(

Ejemplo 3.&3.&3.&3.&:


9/17

---------------------CAPITULO 3--------------------

69

(omen2amos igual ue antes, con una tabla ue muestre derivadas sucesivas de e

integrales de xcos .

( ) derivadassusy x f ( ) integralessusy xg x

e2

xcos

xe

22 senx

xe

24 xcos−

#eamos de diferenciar e integrar en cuanto llegamos a una fila igual a la primera e:cepto

por las constantes multiplicativas. /sto lo interpretamos como'

*omamos productos con sus signos, unidos por las flechas diagonales, " una integral con

su signo para la última flecha hori2ontal. $l transponer la integral del lado derecho al lado

i2uierdo, tenemos'

; bien,

$ continuación más eemplos sobre integración por partes.

• (alcular los siguientes integrales'

a) b)

a) $plicando la fórmula de integración por partes, elegimos

"

xe

2

∫ ∫ −+−−= dx xe xesenxe xdxe x x x x )cos()4())cos(2()(cos 2222

∫

∫

++

=

+=

C xesenxe

xdxe

xesenxe xdxe

x x x

x x x

5

cos2cos

cos2cos5

222

222

∫ arcsenxdx x2 ( )

∫ +

dx x

x xe x ln1

arcsenxu = dx xdv 2=

dx x

du21

1

−

=3

3

3

1

3 x

xv ==


+

+

-

Ejemplo 3.'3.'3.'3.':



10/17

---------------------CAPITULO 3--------------------

6<

#e donde resulta ue,

$hora, sea para calcular $ hacemos entonces

, , #e modo ue'

( )

( ) ( ) ( )21

2

12

12

2

32

1

3

1

32

1113

1

3

1

3

11

xt C x x

C t t

C t t dt t

−=+−−−=

+−=

++−=−−= ∫

donde ,

eempla2ando en la integral original se obtiene'

( ) ( )

( ) ( )

( ) C x xarcsenx x

C x xarcsenx x

C x xarcsenx x xdxarcsen x

+−+−=

+−+−−=

+

−−−−=∫

223

2

122

323

2

12

2

3232

12

9

1

3

1

13

11

9

1

3

1

113

1

3

1

3

1

b= eescribiendo la integral, tenemos

$hora, se conoce con el nombre de logaritmo integral " no se puede e:presar

mediante funciones elementales.

Para calcular la segunda integral aplicamos la fórmula de integración por partes,

(on " , entonces

!ustitu"endo en la integral original se obtiene,

∫∫−

−=2

332

13

1

3

1

x

dx xarcsenx xarcsenxdx x

∫ −= ,1 23

dx x

x A ⇒−=

21 xt 22 1 t x −=

tdt xdx 22 −= tdt xdx −=

∫ ∫ ∫ −

−=

−

=

−

= tdt t

t

x

xdx xdx

x

x A .

)1(

1

.

1

2

2

2

2

3

A

( )∫ ∫ ∫+=

+ xdxedx

x

edx

x

x xe x x x

lnln1

∫ dx xe x

x

dxdu xu =⇒= ln x x evdxedv =⇒=

∫ ∫−= dx xe

xe xdxe x

x x lnln


11/17

---------------------CAPITULO 3--------------------

70

$ continuación ilustramos la observación anterior con un eemplo

• (alcular ∫ dxe x

.

8nicialmente hacemos un cambio de variable en la integral,

!ea entonces , de modo ue

$plicando la fórmula de integración por partes o aplicando integración tabular a la

integral ∫ dt tet , obtenemos

∫ +−= 12 C etedt te t t t

1inalmente reempla2amos en la integral original,

( ) C xe xt C ee x

C etedxe

x

x x

t t x

+−=

=+−=

+−=∫

12

22

22

donde

• Utilice la integración por partes para demostrar ue'

( )

C xe

xedx x

edx

x

edx

x

x xe

x

x x x x

+=

+−=+

∫ ∫ ∫ln

lnln1

xt xt =⇒= 2 dxtdt =2

∫ ∫= ,2 dt tedxe t x

∫ ∫ −− −

+−= .1

cos1 21 xdxsen

n

n x xsen

n xdxsen nnn

Observación: /n algunos casos, antes de aplicar la fórmula de integración porpartes se hace necesario reali2ar cambio de variable " luego aplicar ésta.

Ejemplo 3.(3.(3.(3.(:


Ejemplo 3.)3.)3.)3.):


12/17

---------------------CAPITULO 3--------------------

7&

eescribiendo la integral tenemos

$plicando la fórmula de integración por partes,

acemos "

#e modo ue,

termino

Pero , reempla2ando se tiene

$hora la integral aparece en el miembro i2uierdo con coeficiente uno " enel derecho con un coeficiente 1.Pasando este último término a la i2uierdaobtenemos,

xsenxdxsen xdxsen nn

∫∫ −=

1

xsenu n 1−

= senxdxdv =

( ) xdx xsenndu n cos1 2−−= xv cos−=

xdx xsenn x xsen xdxsen nnn

∫∫ −−

−+−=221

cos)1(cos

xsen x,22

1cos −=

dx xsen xsenn x xsendxsen nnn )1()1(cos221

−−+−= ∫∫ −−

xdxsenn xdxsenn x xsen xdxsen nnnn

∫∫∫ −−−+−= −− )1()1(cos 21

xdxsenn xsen xdxsenn xdxsen

nnnn

∫∫∫

−−−+−=−+

21

)1(cos)1( xdxsenn x xsen xdxsenn

nnn

∫∫ −−

−+−=21 )1(cos

.1

cos1 21 xdxsen

n

n x xsen

n xdxsen nnn ∫∫

−− −+−=



13/17

---------------------CAPITULO 3--------------------

7)

3333.3 INTEGRALES POR PARTES M*S COMUNES.3 INTEGRALES POR PARTES M*S COMUNES.3 INTEGRALES POR PARTES M*S COMUNES.3 INTEGRALES POR PARTES M*S COMUNES

/l siguiente resumen, nos permite escoger adecuadamente el u " dv de las integrales más

comunes ue se resuelven por integración por partes.

#ntegrales de la forma.

1.

Donde es un polinomio de rado !

"acemos #

E+ERCICIOS , PRO#LEMAS -3.1E+ERCICIOS , PRO#LEMAS -3.1E+ERCICIOS , PRO#LEMAS -3.1E+ERCICIOS , PRO#LEMAS -3.1

• (alcular las siguientes integrales aplicando el método de integración por partes.

$! %!

&! '!

(! !

*! +!

,! $-!

$$! $&!

$(! $*!

$%! $'!

;)( dxe x p ax

n∫ ∫ ,)( senaxdx x pn ( )∫ axdx x pn cos( ) x pn ℜ∈an ,

( ) x pu n= .cos , , axdxsenaxdxdxedv ax=

∫ xdx x 3cos ∫ dx x2)(ln

∫ arcsenxdx dxe x x23 −

∫ xdx x∫ ln dx x

x

∫ −2

∫ dx xcos ∫2

02

π

xdx xsen

dxe x x

33 −

∫ dxe x x x−+−∫ )52(

2

∫ xdx x arctan dx x x

∫ 2cos∫ dx xsen )(ln ∫ dx xarctan

dx x

x∫ +

2)1(

lndx

x

x∫

+

+

1

)1ln(

2.

"acemos . #

3.

"acemos #

∫ ,1)( naxdx x pn ∫ ,)( arcsenaxdx x pn ∫ axdx x pn arctan)(

axarcsenaxaxu arctan , ,ln= ( )dx x pdv n=

,senbxdxeax∫ .cos bxdxeax

∫

bxsenbxu cos ,= dxedv ax=


14/17

---------------------CAPITULO 3--------------------

7-

$! $+!

$,! &-!

&$! &&!

&(! &*!

&%! &'!

&! &+!

&,! (-!

($! (&!

((! (*!

(%! ('!

(! (+.

(,. *-.

*$. *&!

*(! **!

*%! *'!

*! *+!

*,! ∫ xdxsen xe x 2

%-!

( )dx

x

x∫

+ 23

21

ln

%$!

( )dx x x∫ + 1arctan %&!

dx x x∫ arctan

%(! ( )dx x xarcsen∫ −1 %*! ∫ dx xarcsen

%%! ∫ dx x

x1

arccos %'! ∫ +

dx x

xarsen

1

2

%!

( )dx

x

x∫

− 23

21

arccos %+!

( )dx

x

x x∫

− 23

21

arccos

∫ xdx x 2tan2 dxarcsenx∫

2)(

∫ dx xsenx )ln(tan xdxsene x

54∫

dx x

x∫

+

1

0 2

3

1dz

z

zarc∫

cot

dx x

xe x

∫ +

2)1(dx x x∫ ++ )1ln(

2

senhxdx x∫3 dx

x

x x

+

−

∫ 11

ln

∫ xdx xsenx cos dx x

xarcsen∫

−1

dx x

x∫

)ln(lndx x)(lncos2∫

dxe

xsen

x

∫

2

dx x

x

∫2

2ln

dx xsen

x x∫ 2

cosdxe x

x

∫ xdx

x cos3∫ senbxdxeax

∫

dxe

earc x

x

∫cot

( )∫

+

dx

x

xe x

2

32

arctan

1

( )∫ dx x x2

arctan ∫ xdxsenxsene x 3

( )∫ ++

dx x

xe x

2

2

1

1

∫ +++

dx x

x x x

2

2

1

1ln

∫ dx xsensenx

2

)ln(dx x xsen∫

∫ xdx x2ln ∫ dxe x

x35

∫ xdx x arccos2

( )∫

+

dx

x

e x

2

32

arctan

1


15/17

---------------------CAPITULO 3--------------------

7

%,!

( )∫ + dx x x x2

1lnarctan '-! ( )∫

+

++

2

32

2

1

1ln

x

dx x x

'$! ( )∫ dx x5

sec


16/17

---------------------CAPITULO 3--------------------

74

E+ERCICIOS , PRO#LEMAS -3."E+ERCICIOS , PRO#LEMAS -3."E+ERCICIOS , PRO#LEMAS -3."E+ERCICIOS , PRO#LEMAS -3."

• / $ 0 * ) Use integración por partes para deducir las siguientes formulas dereducción.

$!

&! para

(!

*! si

4. Use el método tabular para mostrar ue

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

,1...32

−++

′′′−

′′+

′−=∫ n

nn

mxmx

m

xP

m

xP

m

xP

m

xP xP

m

edx xPe

#onde ( ) xP es un polinomio de grado 0>n " 0≠m .

AUTOE/ALUACION AUTOE/ALUACION AUTOE/ALUACION AUTOE/ALUACION

$! 8ndica la opción ue contiene el resultado de ( )∫ dx x x ln .

a) ( )( ) C x x +223

ln b) C x +

27ln c)

( )( ) C x x +− 2ln3

9

22

3

d)( )

C x

x+

+

2

ln2

&! alla la opción ue contiene el resultado de ( )( )dx x∫ lncos .

a) ( )( ) ( )( )[ ] C xsen x x

++ lnlncos2

c)

( )( )[ ] C xsen x

x x++cos

2

ln

b)

( )( ) ( )( )[ ] C xsen x x +− lnlncos d)( )( )

C x

xsen+

− ln

(! /ncuentra la opción ue contiene el resultado de ( )∫ dt t arcsen .

a) C t

+

−21

1 c)

( ) C t t tarcsen +−+ 21

xdxn

n xsenxn

dx nnn ∫∫ −− −+=

21 cos1cos1cos

∫∫ −

−

−

−−

−= xdx

m

m

m

x x xdx m

mm 2

2

sec1

2

1

tansecsec 1≠m

dxnxmnx xdxnxm

mm1

)1()1()1(−

∫∫ −=

)(ln

11

)1()1(

1

x x

r

q

r

nx xdxnx x r

qr qr

∫∫ +

−

+

=

+

,1dxq−

1−≠r


17/17

---------------------CAPITULO 3--------------------

76

b)

( ) C t +− arccos d)

( ) C t t tarcsen +−− 21ln

*! #etermina la opción ue contiene el resultado de ( )dx x x ln3∫ .

a) ( )( ) C x x

+− 3ln44

3 34

c)

( )( ) C x x

+− 3ln416

3 34

b)

( )( ) C x x

++ 3ln416

3 34

d) ( )( ) C x x

+− 3ln48

3 34

%! /ncuentra la opción ue contiene el resultado de ( )dx x x∫ ln4 .

a) C x x +− 343

4 c)

( ) C x x ++ 43 4ln

b)

( )[ ] C x x

+−1ln525

5

d)

( )[ ] C x x ++ ln413

Calculo Integral Capitulo 3 - Integracion Por Partes

Documents

Transcript of Calculo Integral Capitulo 3 - Integracion Por Partes