Calculo integral (1).pdf

UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS

MATEMATICA II

presentado por:

Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado

LAMBAYEQUE– PERU

2015

Dedicatoria

Para mis padres, Martha y Elıas; pa-

ra mi adorable esposa, Flor Angela

y para los mas grandes tesoros de mi

vida, mis hijas Alessandra Anghely

y Stefany Grace.

Introduccion

Antes de abocarnos al estudio de la integral definida y de la integral indefinida, daremos

una pequena semblanza historica de la relacion entre el calculo diferencial y el integral.

Durante la segunda mitad del siglo XV II, Newton y Leibniz dieron un paso decisivo

en la matematica de las magnitudes variables, al sentar las bases del calculo diferencial e

integral. “Este fue el verdadero comienzo del analisis, puesto que el objeto de este calculo

son las propiedades de las funciones mismas, distinto del objeto de la geometrıa analıtica que

son las figuras geometricas. De hecho, lo que hicieron Newton y Leibniz fue completar esa

cantidad inmensa de trabajo que habıan desarrollado hasta entonces muchos matematicos y

que se extendıa hasta los metodos de determinacion de areas y volumenes empleados por los

antiguos griegos”.

Aquı solo queremos llamar la atencion acerca de los orıgenes de este calculo, que fueron

principalmente los nuevos problemas de la mecanica y los viejos problemas de la geometrıa,

consistentes estos ultimos en la determinacion de tangentes a una curva dada y el calculo de

areas y volumenes. Estos problemas geometricos habıan sido ya estudiados por los antiguos

(basta mencionar a Arquımedes), y tambien por Kepler, Cavalieri, y otros, a principios del

siglo XV II. Pero el factor decisivo fue el descubrimiento de una notable relacion entre estos

dos tipos de problemas y la formulacion de un metodo general para resolverlos; tal fue la obra

de Newton y Leibniz.

Esta relacion, que permitio conectar los problemas de la mecanica con los de la geometrıa,

fue descubierta gracias a la posibilidad (brindada por el metodo de coordenadas) de hacer

una representacion grafica de la dependencia de una variable respecto a la otra, o, en otras

palabras, de una funcion. Con la ayuda de esta representacion grafica es facil formular la

relacion antes mencionada entre los problemas de la mecanica y la geometrıa (relacion que

fue el origen del calculo diferencial e integral) y describir ası el contenido general de estos dos

tipos de calculo.

El calculo diferencial es, basicamente, un metodo para encontrar la velocidad de un movi-

miento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado. Este problema se resuelve

por “derivacion” y es completamente equivalente al problema de dibujar una tangente a la

curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo. La velocidad en el

instante t es igual a la pendiente de la tangente a la curva en el punto correspondiente a t.

El calculo integral es en esencia un metodo para encontrar la distancia recorrida cuando se

i

ii Matematica II Walter Arriaga D.

conoce la velocidad, y en general, de encontrar el resultado total de la accion de una magnitud

variable. Evidentemente, este problema es recıproco del problema de calculo diferencial (el

problema de encontrar la velocidad), y se resuelve por “integracion”. Resulta que el problema

de la integracion es en todo equivalente al de encontrar el area bajo la curva que representa

la dependencia de la velocidad respecto al tiempo. La distancia recorrida en el intervalo de

tiempo t1 a t2 es igual al area bajo la curva entre las rectas que corresponden en la grafica a

los valores t1 a t2.

Haciendo abstraccion de la formulacion mecanica de los problemas y operando con fun-

ciones en vez de dependencias de distancia o velocidad respecto al tiempo se obtienen los

problemas de calculo diferencial e integral en forma abstracta.

Fundamental para el calculo como para todo el desarrollo posterior del analisis, es el

concepto de lımite, que fue formulado algo mas tarde que los otros conceptos fundamentales

de variable y funcion. En los primeros dıas del analisis el papel que mas tarde desempenarıa el

lımite, corrio a cargo de ese concepto algo nebuloso que es el infinitesimo. Los metodos para

el calculo real de la velocidad, conocida la distancia recorrida (a saber, la derivacion), y de

la distancia, conocida la velocidad (integracion), se basaban en la union del algebra con el

concepto de lımite. El analisis se origino por la aplicacion de estos conceptos y metodos a los

referidos problemas de la mecanica y la geometrıa (y tambien a otros problemas: por ejemplo,

los de maximos y mınimos). El analisis fue a su vez absolutamente necesario para el desarrollo

de la mecanica, en la formulacion de cuyas leyes ya se encontraban los conceptos analıticos

en forma latente. Por ejemplo la segunda Ley de Newton, tal como el la formulo, establece

que ”la variacion de la cantidad de movimiento es proporcional a la fuerza actuante”(con mas

precision: el ritmo de variacion del impulso es proporcional a la fuerza). Por consiguiente, si

deseamos hacer uso de esta ley debemos estar en condiciones de definir el ritmo de variacion

de una variable, esto es, de derivarla. (Si establecemos la ley diciendo que la aceleracion es

proporcional a la fuerza, el problema es el mismo, porque la aceleracion es proporcional al

ritmo de variacion del impulso). Tambien esta perfectamente claro que, para establecer la ley

que rige un movimiento cuando la fuerza es variable (en otras palabras, cuando el movimiento

tiene lugar con aceleracion variable), es preciso resolver el problema inverso de encontrar una

magnitud dado su ritmo de variacion; en otras palabras, es preciso integrar. Ası, pues, se puede

decir que Newton se vio simplemente obligado a inventar la derivacion y la integracion con el

fin de poder desarrollar la mecanica”.

Desde los comienzos de su existencia, el hombre ha estudiado su medio ambiente con la

finalidad de mejorar su situacion. Empezo por observaciones, como hacemos hoy en dıa, y

siguio por la reunion de informacion y su aplicacion a la vida cotidiana.

La ciencia es hoy dıa algo mas compleja. Nuestra capacidad de observacion ha aumentado

enormemente gracias al desarrollo de los modernos instrumentos desde los que nos permiten

ver diminutas partıculas de materia ampliadas millones de veces hasta los que nos permiten

ver estrellas distantes en los lımites exteriores del universo tal como lo conocemos. Nuestros

procesos de acopio de datos tambien se han vuelto muy complejos. No solo disponemos de

Walter Arriaga D. Matematica II iii

medios muy rapidos para registrar informacion sino que, mediante el uso de calculadoras y

software, podemos recuperar la informacion en una fraccion de segundo. Sin embargo, mu-

chos de nosotros no tenemos todavıa la posibilidad de usar los ultimos inventos de la ciencia

moderna. Tenemos que trabajar con las cosas existentes en nuestro medio inmediato que van

a influir en nuestras vidas y en las de quienes nos rodean. Hay que tener en cuenta que los

cambios rapidos e incesantes del mundo de hoy hacen que tambien cambien a su compas los

conocimientos necesarios de matematica

Entre todas las disciplinas matematicas, la teorıa de las ecuaciones diferenciales es la

mas importante. Proporciona la explicacion de todas esas manifestaciones elementales de la

naturaleza que involucran al tiempo.

Esta obra es un intento para lograr que la ensenanza y el aprendizaje de la ciencia sean los

mas eficaces posible. Como no hay una manera perfecta de ensenar la Ciencia, esta publicacion

no pretende ser el non plus ultra de la ensenanza de la Matematica. Los profesores deben buscar

constantemente los mejores metodos para ellos mismos y para sus alumnos, ası como leer con

la mayor amplitud y profundidad posibles. Sin embargo, se espera que este trabajo sirva de

documento basico para empezar. Se ha reunido las contribuciones de docentes que se han

especializado en estos temas a fin de presentar un amplio panorama de la ensenanza de esta

Ciencia.

Es importante que el pensamiento creador en todos los niveles de educacion se centre en

crear las situaciones de aprendizaje mas eficaces para los estudiantes. En consecuencia, este

texto esta destinado tanto a estudiantes de ciencias e ingenierıa como a docentes en ejercicio

ası como tambien a los futuros docentes de varios niveles academicos para que lo utilicen

en las situaciones mas diversas. Su finalidad es mejorar la ensenanza cotidiana de la ciencia

examinando los numerosos temas que influyen sobre el estudiante.

Este es el compromiso que como docente de la Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo he asumido: el contribuir a la formacion integral

de los estudiantes del presente siglo.

Se tiene siempre la esperanza de que una publicacion sea tan buena que haya demanda

de una segunda edicion. Esto permite siempre corregir las inexactitudes y las equivocaciones,

ası como anadir material pertinente nuevo u omitido inadvertidamente antes. Se agradecera a

los lectores que comuniquen sus propias contribuciones y sugerencias al autor.

Notacion Simbolica

z N, conjunto de los numeros naturales.

z Z, conjunto de los numeros enteros.

z Z+, conjunto de los numeros enteros positivos.

z Z+0 , conjunto de los numeros enteros positivos incluyendo el cero.

z Z−, conjunto de los numeros enteros negativos.

z Z−0 , conjunto de los numeros enteros negativos incluyendo el cero.

z Z+i , conjunto de los numeros enteros impares positivos.

z Z+p , conjunto de los numeros enteros pares positivos.

z Q, conjunto de los numeros racionales.

z I, conjunto de los numeros irracionales.

z R, conjunto de los numeros reales.

v

Indice general

Prefacio I

Introduccion I

1. LA INTEGRAL INDEFINIDA 1

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. La antiderivada y la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5. Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6. Metodos de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6.1. Integracion por sustitucion o cambio de variable . . . . . . . . . . . . . 7

1.6.2. Integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6.3. Integracion de funciones que contienen un trinomio cuadrado perfecto . 10

1.6.4. Integracion de funciones trigonometricas e hiperbolicas . . . . . . . . . . 11

1.6.5. Integracion por sustitucion trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.6. Integracion de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.7. Integracion de funciones racionales trigonometricas . . . . . . . . . . . . 17

1.6.8. Integracion de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. LA INTEGRAL DEFINIDA 49

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2. Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3. Area de una region plana por sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4. La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4.1. Area bajo una curva a traves de sumas superiores e inferiores . . . . . . 52

2.4.2. Sumas superiores y sumas inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.3. Integrales superiores e integrales inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4.4. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.5. Teoremas fundamentales del calculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.6. Metodos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

vii

viii Matematica II Walter Arriaga D.

3. INTEGRALES IMPROPIAS 65

4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 67

4.1. Area de una region plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1.1. Area de una region plana en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . 67

4.1.2. Area de una region plana en coordenadas polares y ecuaciones pa-

rametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2. Volumen de un solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.1. Volumen de un solido usando secciones transversales . . . . . . . . . . . 71

4.2.2. Volumen de un solido de revolucion en coordenadas cartesianas . . . . . 73

4.2.3. Volumen de un solido en coordenadas polares y ecuaciones parametricas 81

4.3. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3.1. Longitud de arco en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3.2. Longitud de arco en coordenadas polares y ecuaciones parametricas . . 82

4.4. Area de una superficie de revolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4.1. Area de una superficie de revolucion en coordenadas cartesianas . . . . 82

4.4.2. Area de una superficie de revolucion en coordenadas polares y ecuaciones

parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.5. Centro de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Bibliografıa 91

Indice de Materias 93

1

LA INTEGRAL INDEFINIDA

Objetivos

z Interpretar geometricamente la integral indefinida.

z Aplicar las propiedades de la integral indefinida de una funcion real de variable real.

z Aplicar las tecnicas de integracion para la solucion de las integrales indefinidas.

1.1. Introduccion

En la presencia de fenomenos de cambio o movimiento, es a veces mas viable conocer o

deducir la ley de cambio a la que obedece la variacion relativa de las variables involucradas,

que la funcion misma entre esas variables. Es decir, a veces se conoce la derivada de la funcion

o relaciones que satisfacen las derivadas, pero no se conoce la funcion misma. Por ejemplo,

en el caso del movimiento de un automovil, es a menudo mas facil estimar la velocidad o la

aceleracion durante un cierto intervalo de tiempo, que la funcion de posicion del vehıculo en

cada instante. Una idea de la velocidad se puede tener, por ejemplo, observando el velocımetro

desde dentro del mismo vehıculo. Algo similar se tiene en el caso del movimiento que muestran

los cuerpos ante la presencia de una fuerza externa y que se manifiesta, segun las leyes del

movimiento de Newton, en terminos de variaciones de la velocidad del cuerpo con respecto al

tiempo en forma proporcional a la magnitud y direccion de la fuerza actuante. En este caso,

el problema consiste en deducir la posicion del cuerpo con respecto al tiempo a partir del

comportamiento de su segunda derivada. Al problema de determinar la forma y los valores de

una funcion a partir del conocimiento de su derivada o de una ecuacion que involucra a sus

derivadas se le llama problema de integracion y es el problema fundamental de la teorıa de las

ecuaciones diferenciales. En este sentido, el problema de integracion es el problema inverso al

de derivacion o de calculo de derivadas. En este capıtulo se inicia el estudio de los problemas de

integracion a partir del concepto de integral indefinida y se muestra como las distintas reglas

1

2 Matematica II Walter Arriaga D.

de derivacion dan lugar a metodos de integracion que permiten resolver problemas como los

arriba citados.

1.2. Un poco de historia

El calculo integral tiene sus orıgenes en problemas de cuadraturas en los que se trataba

de calcular areas de regiones planas limitadas por una o varias curvas. Se atribuye a Eudoxo

(ca. 370 A.C.) la invencion del metodo de exhaucion, una tecnica para calcular el area de una

region aproximandola por una sucesion de polıgonos de forma que en cada paso se mejora

la aproximacion anterior. Arquımides (287–212 A.C.) perfecciono este metodo y, entre otros

resultados, calculo el area de un segmento de parabola y el volumen de un segmento de

paraboloide, ası como el area y el volumen de una esfera.

Sorprende que, siendo tan antiguos sus orıgenes, la primera definicion matematica de in-

tegral no fuera dada hasta el siglo XIX por Augustin Louis Cauchy (1789–1857). Una posible

explicacion es que, durante los siglos XVII y XVIII, la integracion fue considerada como la

operacion inversa de la derivacion; el calculo integral consistıa esencialmente en el calculo

de primitivas. Naturalmente, se conocıa la utilidad de las integrales para calcular areas y

volumenes, pero los matematicos de la epoca consideraban estas nociones como dadas de for-

ma intuitiva y no vieron la necesidad de precisar su significacion matematica. Los trabajos

de Joseph Fourier (1768–1830) sobre representacion de funciones por series trigonometricas

hicieron que el concepto de funcion evolucionara, desde la idea restrictiva de funcion como

formula, hasta la definicion moderna de funcion dada por Dirichlet en 1837. Para entender

el significado de la integral de estas nuevas funciones mas generales se vio la necesidad de

precisar matematicamente los conceptos de area y de volumen.

La originalidad de Cauchy es que unio dos ideas, la de lımite y la de area, para dar una

definicion matematica de integral. Poco despues Georg F.B. Riemann (1826–1866) generalizo la

definicion de integral dada por Cauchy. La teorıa de la integral de Riemann fue un avance

importante pero, desde un punto de vista matematico, insuficiente. Hubo que esperar hasta el

siglo XX para que Henri Lebesgue (1875–1941) estableciera en su libro Lecons sur l’integration

et la recherche des fonctions primitives (1904) los fundamentos de una teorıa matematicamente

satisfactoria de la integracion.

La integracion es una de las herramientas mas versatiles del Calculo, sus aplicaciones no

se limitan a calcular areas de regiones planas o volumenes de solidos, tambien se utiliza para

calcular longitudes de curvas, centros de masas, momentos de inercia, areas de superficies,

para representar magnitudes fısicas como el trabajo, la fuerza ejercida por una presion, o la

energıa potencial en un campo de fuerzas.

En este curso vamos a estudiar la integracion desde un punto de vista esencialmente practi-

Walter Arriaga D. Matematica II 3

co. Nos interesa la integral como herramienta de calculo y para ese proposito es suficiente la

integral de Riemann.

1.3. La antiderivada y la integral indefinida

En el calculo diferencial, nos hemos interesado principalmente por este problema: dada

una funcion, hallar su derivada. No obstante, muchas aplicaciones importantes del calculo

estan relacionadas con el problema inverso: dada la derivada de una funcion, hallar la funcion

original.

Otro punto que merece ser aclarado es el siguiente. Cuando hablamos de resolver la integral

para una funcion f , lo que se esta pidiendo en realidad es hallar una primitiva F para f que se

exprese en terminos de funciones elementales (composiciones finitas de funciones aritmeticas,

trigonometricas, logarıtmicas, exponenciales, radicales y otras de igual estilo). El que esto sea

posible no esta garantizado por ningun teorema para funciones continuas y, mas aun, se ha

demostrado que existen funciones continuas elementales que no admiten primitivas en terminos

elementales; por ejemplo, la funcion f(x) = e−x2

. Estas razones establecen la filosofıa directriz

de los metodos de integracion: se clasifican las funciones conocidas que admiten primitivas

elementales en clases segun un patron general que sabemos resolver mediante una operacion

especıfica; cualquier otra funcion que no presente las caracterısticas de los elementos de alguna

de las clases establecidas, se intenta transformar en un elemento de alguna de estas mediante

un numero finito de manipulaciones. Pero, por lo antes dicho, el exito de este procedimiento no

esta garantizado y depende en gran medida de la destreza que solo se adquiere con la practica.

En este sentido integrar es un arte.

Definicion 1.3.1. Sea I un intervalo y sea f : I −→ R una funcion contınua. Se denomina

primitiva o antiderivada de f en I a la funcion definida F : I −→ R, tal que F ′(x) = f(x),

para todo x ∈ I, y se denota por: F (x) = Ant(f(x)).

Ejemplo 1.3.1. La funcion F (x) = x3 es una antiderivada de la funcion f(x) = 3x2 en R,

pues: F ′(x) = 3x2 = f(x), ∀x ∈ R. Se dice entonces que f es la derivada de F y que F es una

antiderivada de f .

Sin embargo, la funcion G(x) = x3+2 es tambien una antiderivada de la funcion f(x) = 3x2

en R, puesto que: G′(x) =d

dx(3x2 + 2) = 3x2 = f(x), ∀x ∈ R

En general, si F (x) es una antiderivada de f(x) en I, entonces F (x) + C tambien es una

antiderivada de la funcion f(x) en I, para cualquier constante C.

Teorema 1.3.1. Si F y G son dos funciones tales que F ′(x) = G′(x) para todos los valors de

x en el intervalo I, entonces existe una copnstante K tal que F (x) = G(x) + C, para todas

las x en I.


Demostracion. Sea H la funcion definida en I por H(x) = F (x)−G(x)

de tal manera que, para todos los valores de x en I, H ′(x) = F ′(x)−G′(x)

pero por hipotesis, F ′(x) = G′(x), por lo tanto, H ′(x) = 0, ∀x ∈ I

Ası el teorema del valor medio se aplica a la funcion H, y existe una constante C tal que

H(x) = C, ∀x ∈ I

Sustituyendo H(x) por F (x)−G(x) tenemos que F (x) = G(x) + C, ∀x ∈ I.

Definicion 1.3.2. Si F (x) es una antiderivada de f(x) en I, la integral indefinida de f(x) es

el conjunto de antiderivadas de f(x) en dicho intervalo y se denota por:

∫

f(x)dx, es decir:

∫

f(x)dx =

F (x) + C, C ∈ R

(1.1)

donde:∫

= signo integral.

f(x) = funcion integrando.

dx = diferencial de x.

F (x) = antiderivada.

C = constante de integracion.

Como consecuencia de la definicion se tiene que:d

dx

∫

f(x)dx = f(x).

Notacion

Isaac Newton usaba una pequena barra vertical encima de una variable para indicar inte-

gracion, o ponıa la variable dentro de una caja. La barra vertical se confundıa facilmente con

x o x′ que Newton usaba para indicar la derivacion, y ademas la notacion “caja” era difıcil de

reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas.

La notacion moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried Leibniz en

1675. Para indicar summa (en latın, “suma” o “total”), adapto el sımbolo integral,∫, a partir

de una letra S alargada. La notacion moderna de la integral definida, con los lımites arriba y

abajo del signo integral, la uso por primera vez Joseph Fourier en Memoires de la Academia

Francesa, alrededor de 1819 a 1820, reimpresa en su libro de 1822. En la notacion matematica

en arabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido.

1.4. Propiedades de la integral indefinida

Si f y g son funciones que admiten antiderivadas en I, entonces:

a)

∫

[kf(x)]dx = k

∫

f(x)dx, k = constante.


b)

∫

[f(x)± g(x)]dx =

∫

f(x)dx±∫

g(x)dx

c)

∫[

n∑

i=1

kifi(x)

]

dx =n∑

i=1

[

ki

∫

fi(x)dx

]

, mas precisamente:

∫

[k1f1(x)+k2f2(x)+ · · ·+knfn(x)]dx = k1

∫

f1(x)dx+k2

∫

f2(x)dx+ · · ·+kn

∫

fn(x)dx

Teorema 1.4.1. Si

∫

f(u)du = F (u) + C, entonces

∫

f [g(x)]g′(x)dx = F [g(x)] +C

Demostracion. como F ′(u) = f(u), entonces:∫

f [g(x)]g′(x)dx =

∫

F ′[g(x)]g′(x)dx

=

∫

dF [g(x)]

= F [g(x)] + C

por lo tanto ∫

f [g(x)]g′(x)dx = F [g(x)] + C

Nota: Haciendo u = u(x) = g(x) se tiene que:∫

f [u(x)]u′(x)dx =

∫

f(u)du

este es el cambio de variable en una integral indefinida.

1.5. Integrales inmediatas

De la derivacion de funciones elementales se deducen sus correspondientes integrales lla-

madas inmediatas.

FORMULAS ELEMENTALES DE INTEGRACION

1.

∫

du = u+ c

2.

∫du

u= ln |u|+ c

3.

∫

undu =un+1

n+ 1+ c, n 6= −1

4.

∫

eudu = eu + c

5.

∫

au =au

ln a+ c


6.

∫

senudu = − cos u+ c

7.

∫

cos udu = senu+ c

8.

∫

tanudu = ln | sec u|+ c

9.

∫

cot udu = ln | senu|+ c

10.

∫

sec udu = ln | sec u+ tan u|+ c

11.

∫

csc udu = ln | csc u− cot u|+ c

12.

∫

sec2 udu = tanu+ c

13.

∫

csc2 udu = − cot u+ c

14.

∫

sec u tanudu = sec u+ c

15.

∫

csc u cot udu = − cscu+ c

16.

∫

senhudu = coshu+ c

17.

∫

coshudu = senhu+ c

18.

∫

tanhudu = ln | cosh u|+ c

19.

∫

coth udu = ln | senhu|+ c

20.

∫

sechudu = arctan(senhu) + c

21.

∫

cschudu = ln

(

tanh

(x

2

))

+ c

22.

∫

sech2udu = tanhu+ c

23.

∫

csch2udu = − coth u+ c

24.

∫

sechu tanh udu = −sechu+ c


25.

∫

cschu coth udu = −cschu+ c

26.

∫du

a2 + u2=

1

aarctan

u

a+ c, (a > 0)

27.

∫du

u2 − a2=

1

2aln

∣∣∣∣

u− a

u+ a

∣∣∣∣+ c, (a > 0)

28.

∫du

a2 − u2=

1

2aln

∣∣∣∣

u+ a

u− a

∣∣∣∣+ c, (a > 0)

29.

∫du√

a2 − u2= arcsen

u

a+ c, (a > 0)

30.

∫du√

u2 ± a2= ln |u+

√

u2 ± a2|+ c

31.

∫du

u√u2 − a2

=1

aarcsec

|u|a

+ c, (a > 0)

32.

∫√

a2 − u2 =1

2

[

u√

a2 − u2 + a2arcsenu

a

]

+ c, (a > 0)

33.

∫√

u2 + a2 =1

2

[

u√

u2 + a2 + a2 ln(u+√

u2 + a2 )

]

+ c

34.

∫√

u2 − a2 =1

2

[

u√

u2 − a2 − a2 ln |u+√

u2 − a2 |]

+ c

1.6. Metodos de integracion

Dado que los procesos de derivacion y de calculo de la integral indefinida son operaciones

inversas, cada regla o formula de derivacion da lugar a una regla o metodo para el calculo de

la integral indefinida de funciones continuas. A estos metodos se les conoce como metodos de

integracion.

En matematicas resulta de gran importancia desarrollar metodos para evaluar integrales,

pues, en general, no es posible aplicar uno que conduzca con seguridad a un resultado. Sin

embargo, los presentados en este capıtulo pueden considerarse simples mecanizaciones para

hallar primitivas de funciones, mismas que permiten, a traves del segundo teorema fundamental

del calculo, evaluar ciertas integrales definidas.

Todos los metodos de integracion tienen por objetivo transformar una integral dada, no

inmediata, en otra, suma de varias, cuyo calculo resulte mas sencillo.

1.6.1. Integracion por sustitucion o cambio de variable

La regla de la cadena o de derivacion de una composicion de funciones da lugar al metodo

de integracion por sustitucion, que a continuacion presentamos.


Dada la funcion f : I −→ R, queremos calcular

∫

f(x)dx.

Supongamos que se hace un cambio de variable en el elemento de integracion, haciendo:

x = ϕ(t), con ϕ : J −→ I una funcion con derivada ϕ′(t) 6= 0, ∀t ∈ J .

Si la funcion g(t) = f(ϕ(t))ϕ′(t), t ∈ J admite una primitiva G en J , esto es G′(t) = g(t) =

f(ϕ(t))ϕ′(t), ∀t ∈ J , entonces se tiene∫

f(x)dx =

∫

f(ϕ(t))ϕ′(t)dt (1.2)

Para usar esta tecnica seguiremos los siguientes pasos:

Insertar la letra u que representa alguna funcion de x, la cual se escoge apropiadamente

para simplificar la integral.

Expresar la integral en terminos de u y el dx en terminos del du.

Calcular la integral resultante y luego reemplazar u por su expresion en terminos de x

en la respuesta.

En todos los ejemplos que veremos a continuacion, trataremos de reducir el grado de difi-

cultad de la integral mediante un cambio de variable, de tal manera que la integral resultante

sea mas facil de integrar o que sea una integral conocida. Para que la formula de cambio de

variable tenga posibilidades de exito, debemos identificar en el integrando a una funcion u y

a u′, su derivada.

1.6.2. Integracion por partes

La formula de Leibniz para la derivacion de un producto de funciones da lugar al llamado

metodo de integracion por partes1, que presentamos a continuacion.

Sean u = u(x) y v = v(x) dos funciones definidas y derivables en el intervalo I.

Por la regla de la derivacion del producto se tiene: d(uv) = udv + vdu, de donde

udv = d(uv) − vdu, e integrando miembro a miembro se tiene:∫

udv = uv −∫

vdu (1.3)

uv

−∫vdu

du

u

del integrandoUna parte Parte restante

con el diferencial

dv

v

Derivan

do

Integran

do

1Este metodo fue desarrollado por Brook Taylor.


En este metodo u y dv deben ser elegidos de tal forma que la nueva integral que aparezca∫

vdu sea mas asequible que la de partida2.

Observacion 1.6.1.

Cuando la integral del lado derecho es mas difıcil de calcular que la integral original, se

debe a la eleccion no apropiada del u y del dv. Por esta razon, el exito que se tenga en

la aplicacion del metodo estriba fundamentalmente en la habilidad que se tenga para la

eleccion de los factores u y dv, habilidad que se adquiere con la practica.

Algunas veces, al aplicar el metodo para calcular la integral

∫

udv, y despues de algu-

nas manipulaciones algebraicas, aparece en el lado derecho de la igualdad la expresion

k

∫

udv, transformandose la integral en una ecuacion de la forma:

∫

udv = H(x) + k

∫

udv

Si k = 1, la ecuacion es una identidad (H(x) ≡ 0) y, por tanto, se debe ensayar otra

eleccion del u y del dv, ya que la eleccion inicial no es la apropiada.

Si k 6= 1, se tiene: ∫

udv =1

1− kH(x) + c

lo cual proporciona la solucion a la integral.

En algunos casos el metodo de integracion por partes es iterativo, esto es, algunas ve-

ces, para calcular la segunda integral

∫

vdu, es necesario aplicar nuevamente el mismo

metodo.

Cuando se determina la funcion v, a partir de su diferencial dv, no es necesario considerar

la constante de integracion, pues si en lugar de v se considera v+C, C constante, entonces∫

udv = u(v + C)−∫

(v + C)du = uv −∫

vdu

esto significa que la constante C considerada no figura en el resultado final.

Al menos inicialmente, algunas integrales no presentan muchas opciones en la eleccion

del u y del dv. Los siguientes ejemplos ilustran la eleccion unica que debe hacerse en

algunos casos particulares:

Integral u dv∫lnxdx lnx dx

∫Pn(x) ln xdx lnx Pn(x)dx

∫Pn(x)e

xdx Pn(x) exdx∫Pn(x) sen xdx Pn(x) senxdx

∫Pn(x) cos xdx Pn(x) cos xdx

2algunos estudiantes utilizan para recordar la formula (1.3) la frase: “un dıa vi un viejo vestido de uniforme”


Podrıa usarse la siguiente estrategia para identificar el u y del dv:

I: Funcion trigonometrica inversa.

L: Funcion logarıtmica.

A: Funcion algebraica.

T: Funcion trigonometrica.

E: Funcion exponencial.

I L A T E

1.6.3. Integracion de funciones que contienen un trinomio cuadrado per-

fecto

En la integracion de funciones que contienen un trinomio cuadrado perfecto se presentan

4 casos:

I.

∫dx

px2 + qx+ r

II.

∫dx

√

px2 + qx+ r

III.

∫(ax+ b)dx

px2 + qx+ r

IV.

∫(ax+ b)dx

√

px2 + qx+ r

Para los casos (I) y (II), sera suficiente completar trinomios cuadrados perfectos y aplicar las

formulas correspondientes.

En los casos (III) y (IV), se expresa el numerador en funcion de la derivada del trinomio

px2 + qx+ r; esto es:

Haciendo u = px2 + qx+ r entonces du = 2px+ q, luego:

ax+ b =a

2p[(2px+ q)− q] + b

ax+ b =a

2p(2px+ q)− aq

2p+ b

De esta manera se obtiene:

∫(ax+ b)dx

px2 + qx+ r=

a

2p

∫(2px+ q)dx

px2 + qx+ r+

(

b− aq

2p

)∫dx

px2 + qx+ r︸︷︷︸

I1

=a

2pln |px2 + qx+ r|+

(

b− aq

2p

)

I1


tambien se obtiene:∫

(ax+ b)dx√

px2 + qx+ r=

a

2p

∫(2px+ q)dx√

px2 + qx+ r+

(

b− aq

2p

)∫dx

√

px2 + qx+ r︸︷︷︸

I2

=a

2p

√

px2 + qx+ r +

(

b− aq

2p

)

I2

Las integrales (I1) e (I2) se resuelven aplicando los casos (I) y (II) respectivamente.

1.6.4. Integracion de funciones trigonometricas e hiperbolicas

A continuacion veremos algunas reglas para integrar cierto tipo de funciones trigonometri-

cas, que posteriormente se utilizaran en el metodo de sustitucion trigonometrica.

I. Integrales de la forma:

a)

∫

senm x cosn x dx

b)

∫

senhm x coshn x dx

Se presentan 3 casos:

Caso I: Cuando m ∈ Z+i y n ∈ R.

En (a) se separa el factor senx dx, luego se hace la sustitucion u = cos x, y se procede

a convertir los factores restantes en cosenos usando la identidad: sen2 x = 1−cos2 x.∫

sen2k+1 x cosn x dx =

∫

(sen2 x)k cosn x senx dx

=

∫

(1− cos2 x)k cosn x senx dx

En (b) se separa el factor senhx dx, luego se hace la sustitucion u = coshx, y se pro-

cede a convertir los factores restantes en cosenos hiperbolicos usando la identidad:

senh2 x = cosh2 x− 1.∫

senh2k+1 x coshn x dx =

∫

(senh2 x)k coshn x senhx dx

=

∫

(cosh2 x− 1)k coshn x senhx dx

Caso II: Cuando n ∈ Z+i y m ∈ R.

En (a) se separa el factor cos x dx, luego se hace la sustitucion u = senx, y se procede

a convertir los factores restantes en senos usando la identidad: cos2 x = 1− sen2 x.∫

senm x cos2k+1 x dx =

∫

senm x(cos2 x)k cos x dx

=

∫

senm x(1− sen2 x)k cos x dx


(b) se separa el factor coshx dx, luego se hace la sustitucion u = senhx, y se

procede a convertir los factores restantes en senos hiperbolicos usando la identidad:

cosh2 x = 1 + senh2 x.

∫

senhm x cosh2k+1 x dx =

∫

senhm x(cosh2 x)k cosx dx

=

∫

senhm x(1 + senh2 x)k coshx dx

Caso III: Cuando m y n son numeros enteros pares no negativos.

En (a) usaremos las identidades: sen2 x =1− cos 2x

2y cos2 x =

1 + cos 2x

2

En (b) usaremos las identidades: senh2 x =cosh 2x− 1

2y cosh2 x =

cosh 2x+ 1

2

II. Integrales de la forma:

a)

∫

tanm x secn x dx

b)

∫

cotm x cscn x dx

c)

∫

tanhm x sechnx dx

d)

∫

cothm x cschnx dx

Se presentan 2 casos:

Caso I: Cuando m ∈ Z+i y n ∈ R.

En (a) se separa el factor tan x sec x dx, luego se hace la sustitucion u = sec x,

y se procede a convertir los factores restantes en secantes usando la identidad:

tan2 x = sec2 x− 1.

∫

tan2k+1 x secn x dx =

∫

(tan2 x)k secn−1 x tan x sec x dx

=

∫

(sec2 x− 1)k secn−1 x tan x sec x dx

En (b) se separa el factor cot x csc x dx, luego se hace la sustitucion u = csc x,

y se procede a convertir los factores restantes en cosecantes usando la identidad:

cot2 x = csc2 x− 1.

∫

cot2k+1 x cscn x dx =

∫

(cot2 x)k cscn−1 x cot x csc x dx

=

∫

(csc2 x− 1)k cscn−1 x cot x csc x dx


En (c) se separa el factor tanhx sechx dx, luego se hace la sustitucion u = sechx,

y se procede a convertir los factores restantes en secantes hiperbolicos usando la

identidad: tanh2 x = 1− sech2x.

∫

tanh2k+1 x sechnx dx =

∫

(tanh2 x)k sechn−1x tanhx sechx dx

=

∫

(1− sech2x)k sechn−1x tanhx sechx dx

En (d) se separa el factor coth x cschx dx, luego se hace la sustitucion u = cschx,

y se procede a convertir los factores restantes en cosecantes hiperbolicos usando la

identidad: coth2 x = 1 + csch2x.

∫

coth2k+1 x cschnx dx =

∫

(coth2 x)k cschn−1x coth x cschx dx

=

∫

(1 + csch2x)k cschn−1x coth x cschx dx

Caso II: Cuando n ∈ Z+p y m ∈ R.

En (a) se separa el factor sec2 x dx, luego se hace la sustitucion u = tan x, y se

procede a convertir los factores restantes en tangentes usando la identidad: sec2 x =

1 + tan2 x.

∫

tanm x sec2k x dx =

∫

tanm x(sec2 x)k−1 sec2 x dx

=

∫

tanm x(1 + tan2 x)k−1 sec2 x dx

En (b) se separa el factor csc2 x dx, luego se hace la sustitucion u = cot x, y

se procede a convertir los factores restantes en cotangentes usando la identidad:

csc2 x = 1 + cot2 x.

∫

cotm x csc2k x dx =

∫

cotm x(csc2 x)k−1 csc2 x dx

=

∫

cotm x(1 + cot2 x)k−1 csc2 x dx

En (c) se separa el factor sech2x dx, luego se hace la sustitucion u = tanhx, y

se procede a convertir los factores restantes en tangentes hiperbolicos usando la

identidad: sech2x = 1− tanh2 x.

∫

tanhm x sech2kx dx =

∫

tanhm x( sech2x)k−1 sech2x dx

=

∫

tanhm x(1− tanh2 x)k−1 sech2x dx


En (d) se separa el factor csch2x dx, luego se hace la sustitucion u = coth x, y

se procede a convertir los factores restantes en cotangentes hiperbolicos usando la

identidad: csch2x = coth2 x− 1.

∫

cothm x csch2kx dx =

∫

cothm x( csch2x)k−1 csch2x dx

=

∫

cothm x(coth2 x− 1)k−1 csch2x dx

Observacion 1.6.2.

Si m ∈ Z+p y n = 0, se convierte un factor tan2 x en secantes, luego se desarrolla y

se repite el proceso si es necesario.

∫

tanm dx =

∫

tanm−2 x(tan2 x) dx

=

∫

tanm−2 x(sec2 x− 1) dx

=

∫

tanm−2 x(sec2 x) dx−∫

tanm−2 x dx

Si la integral es de la forma

∫

secn x dx, con n ∈ Z+i , se debe usar la integracion

por partes.

Si no se aplica ninguno de los cuatro casos anteriores, intentar convertir a senos y

cosenos.

III. Integrales de la forma:

a)

∫

sen(mx) cos(nx)dx

b)

∫

sen(mx) sen(nx)dx

c)

∫

cos(mx) cos(nx)dx

d)

∫

senh(mx) cosh(nx)dx

e)

∫

senh(mx) senh(nx)dx

f)

∫

cosh(mx) cosh(nx)dx

Para calcular este tipo de integrales usaremos las siguientes identidades:

sen(mx) cos(nx) =1

2[sen(mx− nx) + sen(mx+ nx)]

sen(mx) sen(nx) =1

2[cos(mx− nx)− cos(mx+ nx)]


cos(mx) cos(nx) =1

2[cos(mx− nx) + cos(mx+ nx)]

senh(mx) cosh(nx) =1

2[senh(mx+ nx) + senh(mx− nx)]

senh(mx) senh(nx) =1

2[cosh(mx+ nx)− cosh(mx− nx)]

cosh(mx) cosh(nx) =1

2[cosh(mx+ nx) + cosh(mx− nx)]

1.6.5. Integracion por sustitucion trigonometrica

Cuando el integrando contiene alguna de las siguientes expresiones: a2 − u2, u2 + a2,

u2 − a2,√a2 − u2,

√u2 + a2,

√u2 − a2, donde u es una funcion diferenciable y a es una

constante positiva, es posible realizar la integracion efectuando una sustitucion trigonometrica

adecuada, la cual transforma la integral inicial en una integral que generalmente contiene

funciones trigonometricas y cuya primitiva es conocida o puede encontrarse usando cualquiera

de los casos de la seccion anterior.

Ademas cualquier trinomio de la forma px2 + qx + r, completanto cuadrados, puede ser

expresado como: a2 − u2, u2 + a2 o u2 − a2. Segun esto suceden 3 casos:

Caso I: Si el trinomio px2 + qx + r se

expresa como a2 − u2, usaremos la sus-

titucion:

u = a sen θ

du = a cos θ dθ

y para regresar a la variable original se

usa el triangulo:

√a2 − u2

au

θ

donde a > 0 y sen θ = u/a

Caso II: Si el trinomio px2 + qx+ r se

expresa como u2 + a2, usaremos la sus-

titucion:

u = a tan θ

du = a sec2 θ dθ


usa el triangulo:

a

√u2 + a2 u

θ

donde a > 0 y tan θ = u/a

Caso III: Si el trinomio px2+ qx+ r se

expresa como u2 − a2, usaremos la sus-

titucion:

u = a sec θ

du = a sec θ tan θ dθ



usa el triangulo:

a

√u2 − a2

u

θ

donde a > 0 y sec θ = u/a

1.6.6. Integracion de funciones racionales

El objetivo de esta seccion es estudiar una importante tecnica de integracion con la cual se

pueden calcular integrales de la forma

∫

f(x)dx, siendo f(x) una funcion racional, es decir,

f(x) es el cociente de dos funciones polinomicas.

Supongase que se quiere calcular la integral de la forma:

∫

f(x)dx =

∫Pn(x)

Qm(x)dx =

∫anx

n + an−1xn−1 + · · · a1x+ a0

bmxm + bm−1xm−1 + · · · b1x+ b0dx

Se presentan entonces dos posibilidades:

1. La funcion racional dada f(x) es propia, es decir, cuando n < m (el grado del numerador

es menor que el grado del denominador de la fraccion).

Se presentan los siguientes casos:

Caso I: Cuando los factores primos de Qm(x) son todos lineales y ninguno se

repite: Qm(x) = (a1x+ b1)(a2x+ b2) . . . (amx+ bm), entonces:

Pn(x)

Qm(x)=

A1

a1x+ b1+

A2

a2x+ b2+ · · ·+ Am

amx+ bm

luego:

∫Pn(x)

Qm(x)dx =

∫A1

a1x+ b1dx+

∫A2

a2x+ b2dx+ · · ·+

∫Am

amx+ bmdx

Caso II: Cuando los factores primos de Qm(x) son todos lineales y se repiten:

Qm(x) = (ax+ b)m, entonces:

Pn(x)

Qm(x)=

A1

ax+ b+

A2

(ax+ b)2+ · · ·+ Am

(ax+ b)m

luego:

∫Pn(x)

Qm(x)dx =

∫A1

ax+ bdx+

∫A2

(ax+ b)2dx+ · · · +

∫Am

(ax+ b)mdx


Caso III: Cuando los factores primos de Qm(x) son todos cuadraticos y ninguno

se repite: Qm(x) = (a1x2 + b1x+ c1)(a2x

2 + b2x+ c2) . . ., entonces:

Pn(x)

Qm(x)=

A1x+B1

a1x2 + b1x+ c1+

A2x+B2

a2x2 + b2x+ c2+ · · ·

luego:

∫Pn(x)

Qm(x)dx =

∫A1x+B1

a1x2 + b1x+ c1dx+

∫A2x+B2

a2x2 + b2x+ c2dx+ · · ·

Caso IV: Cuando los factores primos de Qm(x) son todos cuadraticos y se repiten:

Qm(x) = (a1x2 + b1x+ c1)(a1x

2 + b1x+ c1) . . ., entonces:

Pn(x)

Qm(x)=

A1x+B1

a1x2 + b1x+ c1+

A2x+B2

(a1x2 + b1x+ c1)2+ · · ·

luego:

∫Pn(x)

Qm(x)dx =

∫A1x+B1

a1x2 + b1x+ c1dx+

∫A2x+B2

(a1x2 + b1x+ c1)2dx+ · · ·

2. La funcion racional dada f(x) es impropia, es decir, cuando n ≥ m (el grado del nume-

rador es mayor o igual que el grado del denominador).

En este caso el algoritmo de la division entre polinomios permite escribir:

f(x) =Pn(x)

Qm(x)= Cn−m(x) +

Rk(x)

Qm(x)

donde Cn−m(x) es un polinomio de grado n −m, y Rk(x) es un polinomio de grado k,

k < m.

De esta forma, la integral inicial se transforma en la suma de dos integrales: una de ellas,

la de una funcion polinomica, y la otra, la integral de una funcion racional propia. Por

tanto, es suficiente estudiar la primera posibilidad, es decir, si se sabe como se integran

las funciones racionales propias, se sabra como se integran todas las funciones racionales

1.6.7. Integracion de funciones racionales trigonometricas

Definicion 1.6.1.

Una funcion y = f(x) es par si se cumple que f(−x) = f(x).

Ejemplos: 1) f(x) =1

x2 + 5, 2) f(x) =

senx

x

Una funcion y = f(x) es impar si se cumple que f(−x) = −f(x).

Ejemplos: 1) f(x) =x

x2 + 5, 2) f(x) =

sen2 x

x

Observacion 1.6.3.


Una funcion racional trigonometrica es par en seno si al sustituir senx por − senx, la

funcion no varıa.

Ejemplos: 1) f(x) =cos x+ 1

sen2 x, 2) f(x) = 1 + tan2 x , 3) f(x) = cos x

debemos tener en cuenta que es posible que la expresion senx no aparezca explıcitamente,

como en el tercer ejemplo, sin embargo f(x) = cos x puede expresarse como f(x) =

cos x sen0 x.

Una funcion racional trigonometrica es impar en seno si al sustituir senx por − senx, la

funcion cambia de signo.

Ejemplos: 1) f(x) = senx , 2) f(x) =sen3 x

cos x+ sen2 x, 3) f(x) = tan x

Una funcion racional trigonometrica es par en coseno si al sustituir cosx por − cos x, la

funcion no varıa.


cos2 x+ senx, 2) f(x) = 5 + tan2 x , 3) f(x) = senx

Una funcion racional trigonometrica es impar en coseno si al sustituir cos x por − cos x,

la funcion cambia de signo.

Ejemplos: 1) f(x) = cos x , 2) f(x) =cos5 x

cos4 x+ senx, 3) f(x) = tan x

Una funcion racional trigonometrica es par en seno y coseno (simultaneamente) cuando

al sustituir senx y cos x por − senx y − cos x, respectivamente, la funcion no varıa.


1 + senx cos x, 2) f(x) = tanx

Para resolver integrales de la forma

∫

R(senx , cos x)dx, donde R(senx , cos x) es una

funcion racional de senos y cosenos, se deben tener en cuenta los siguientes casos:

Caso I: Cuando R(senx , cos x) es impar en senx, hacemos la sustitucion:

t = cos x de donde

senx =√1− t2

dx = − dt√1− t2

estas sustituciones convierten la integral en la de una funcion racional de variable t.

Caso II: Cuando R(senx , cos x) es impar en cos x, hacemos la sustitucion:

t = senx de donde

cos x =√1− t2

dx =dt√1− t2



Caso III: Cuando R(senx , cosx) es par en senx y cos x simultaneamente, hacemos la

sustitucion:

t = tanx de donde

senx =t√

1 + t2

cos x =1√

1 + t2

dx =dt

1 + t2


Caso IV: En cualquier otro caso, incluso en los anteriores, hacemos la sustitucion:

t = tan(x

2

)

de donde

senx =2t

1 + t2

cos x =1− t2

1 + t2

tanx =2t

1− t2

dx =2dt

1 + t2


Nota 1.6.1. Conviene no aplicar la sustitucion del cuarto caso, mas que si no se pueden

aplicar los anteriores ya que suelen obtenerse integrales mas complicadas, por ejemplo, con

raıces complejas multiples en el denominador.

Dependiendo del cambio que se aplique, la solucion general puede adoptar distinto aspecto;

recordemos que dos primitivas de una funcion se diferencian en una constante.

1.6.8. Integracion de funciones irracionales

Integrales de la forma:

∫

F

[

x ,

(a+ bx

c+ dx

)m1/n1

, . . . ,

(a+ bx

c+ dx

)mk/nk]

dx

Para calcular este tipo de integrales, hallamos: n = mcm(n1, n2, . . . , nk), luego se hace

el cambio de variablea+ bx

c+ dx= tn

de donde se tiene que x =ctn − a

b− dtny dx =

(bc− ad)ntn−1dt

(b− dtn)2

Integrales de la forma:

∫dx

(x− a)n√

px2 + qx+ r, n ∈ N

Para calcular este tipo de integrales, hacemos la sustitucion: x − a =1

t, de donde

dx = −dt

t2


Observacion 1.6.4. Aunque existen otros metodos orientados a resolver integrales de fun-

ciones especıficas, en numerosas ocasiones la cuadratura puede realizarse prescindiendo del

metodo que a priori se establece para su resolucion, gracias a un inteligente cambio de varia-

ble u operacion elemental que reduzca la laboriosidad que con frecuencia va implıcita en los

procedimientos. Por ello, debe entenderse que la busqueda de primitivas, cuando estas existen,

es un arte cuyo dominio se alcanza cuando se realizan numerosos problemas.


EJERCICIOS RESUELTOS 1.

I. Integracion por sustitucion o cambio de variable:

1.

∫

(3x5 − 4x3 + 8x2 − 3)dx

Solucion∫

(3x5 − 4x3 + 8x2 − 3)dx =

∫

3x5dx−∫

4x3dx+

∫

8x2dx−∫

3dx

= 3

∫

x5dx− 4

∫

x3dx+ 8

∫

x2dx− 3

∫

dx

= 3x6

6− 4

x4

4+ 8

x3

3− 3x+ c

=x6

2− x4 +

8x3

3− 3x+ c

∴

∫

(3x5 − 4x3 + 8x2 − 3)dx =x6

2− x4 +

8x3

3− 3x+ c

2.

∫6x5 − 3x2 +

√x

x3dx

Solucion∫

6x5 − 3x2 +√x

x3dx = 6

∫

x2dx− 3

∫dx

xdx+

∫

x−5/2dx

= 2x3 − 3 ln |x| − 2

3x−3/2 + c

∴

∫6x5 − 3x2 +

√x

x3dx = 2x3 − 3 ln |x| − 2

3x−3/2 + c

3.

∫x2 + 2

x2(x2 + 4)dx

Solucion

Observamos que: x2 + 2 = x2 +2

4(x2 + 4− x2) =

1

2[(x2 + 4) + x2]

∫x2 + 2

x2(x2 + 4)dx =

1

2

∫x2 + (x2 + 4)

x2(x2 + 4)dx

=1

2

∫dx

x2 + 4+

1

2

∫dx

x2

=1

2

[1

2arctan

x

2

]

+1

2

[x−1

−1

]

+ c

=1

4arctan

x

2− 1

2x+ c

∴

∫x2 + 2

x2(x2 + 4)dx =

1

4arctan

x

2− 1

2x+ c


4.

∫x2 − 3

x2(x2 − 5)dx

Solucion

Observamos que: x2 − 3 = x2 +3

5(x2 − 5− x2) =

3

5(x2 − 5) +

2

5x2

∫x2 − 3

x2(x2 − 5)dx =

∫3(x2 − 5) + 2x2

5x2(x2 − 5)dx

=3

5

∫dx

x2+

2

5

∫dx

x2 −√52

=−3

5x+

1

5√5ln

∣∣∣∣∣

x−√5

x+√5

∣∣∣∣∣+ c

∴

∫x2 − 3

x2(x2 − 5)dx =

−3

5x+

1

5√5ln

∣∣∣∣∣

x−√5

x+√5

∣∣∣∣∣+ c

5.

∫

cos(3x+ 2)dx

Solucion:

Haciendo la sustitucion

u = 3x+ 2 =⇒ du = 3dx

podemos escribir:

∫

cos(3x+ 2)dx =1

3

∫

cos(3x+ 2)3dx

=1

3

∫

cosu du

=1

3senu+ c

=1

3sen(3x+ 2) + c

∴

∫

cos(3x+ 2)dx =1

3sen(3x+ 2) + c

6.

∫

(x+ 1) sen(x2 + 2x− 3)dx

Solucion:


u = x2 + 2x− 3 =⇒ du = (2x+ 2)dx


podemos escribir:∫

(x+ 1) sen(x2 + 2x− 3)dx =1

2

∫

senudu

= −cos u

2+ c

= −cos(x2 + 2x− 3)

2+ c

∴

∫

(x+ 1) sen(x2 + 2x− 3)dx = −cos(x2 + 2x− 3)

2+ c

7.

∫

(2 ln x+ 1)xex2 lnxdx

Solucion:


u = x2 lnx =⇒ du = (2 ln x+ 1)x dx


(2 ln x+ 1)xex2 lnxdx =

∫

eudu

= eu + c

= ex2 lnx + c

=(

elnx)x2

+ c

= xx2

+ c

∴

∫

(2 ln x+ 1)xex2 lnxdx = xx

2

+ c

8.

∫

(x sen(2x) + sen2 x)ex sen2 xdx

Solucion:


u = x sen2 x =⇒ du = (2x sen x cos x+ sen2 x) dx

=⇒ du = (x sen(2x) + sen2 x) dx


(x sen(2x) + sen2 x)ex sen2 xdx =

∫

eudu

= eu + c

= ex sen2 x + c

∴

∫

(x sen(2x) + sen2 x)ex sen2 xdx = ex sen2 x + c


9.

∫dx

x ln2(5x)

Solucion:


u = ln(5x) =⇒ du =dx

x


dx

x ln2(5x)=

∫du

u2= −1

u+ c = − 1

ln(5x)+ c

∴

∫dx

x ln2(5x)= − 1

ln(5x)+ c

10.

∫e√lnx · 5e

√

lnxdx

x√lnx

Solucion:


u = e√lnx =⇒ du =

e√lnx dx

2x√lnx

podemos escribir:

∫e√lnx · 5e

√

lnxdx

x√lnx

= 2

∫e√lnx · 5e

√

lnxdx

2x√lnx

= 2

∫

5udu =2× 5u

ln 5+ c

∴

∫e√lnx · 5e

√

lnxdx

x√lnx

=2× 5e

√

lnx

ln 5+ c

11.

∫sen(2x) dx

16 + sen4 x

Solucion:


u = sen2 x =⇒ du = 2 sen x cos x dx

=⇒ du = sen(2x) dx

podemos escribir:

∫sen(2x) dx

16 + sen4 x=

∫du

42 + u2=

1

4arctan

(u

4

)

+ c =1

4arctan

(sen2 x

4

)

+ c

∴

∫sen(2x) dx

16 + sen4 x=

1

4arctan

(sen2 x

4

)

+ c


12.

∫arcsen

√x dx√

x− x2

Solucion:


u = arcsen√x =⇒ du =

dx

2√x√1− x

=⇒ du =dx

2√x− x2

podemos escribir:

∫arcsen

√x dx√

x− x2= 2

∫arcsen

√x dx

2√x− x2

= 2

∫

udu = u2 + c = arcsen2√x+ c

∴

∫arcsen

√x dx√

x− x2= arcsen2

√x+ c

II. Integracion por partes:

1.

∫

lnxdx

Solucion:


u = lnx dv = dx

du =dx

xv = x

podemos escribir∫

lnxdx = x lnx−∫

xdx

x

= x lnx−∫

dx

= x lnx− x+ c

∴

∫

lnxdx = x lnx− x+ c

2.

∫

(3x2 + 4x− 8) ln xdx

Solucion:


u = lnx dv = (3x2 + 4x− 8)dx

du =dx

xv = x3 + 2x2 − 8x


podemos escribir

∫

(3x2 + 4x− 8) ln xdx = (x3 + 2x2 − 8x) ln x−∫

(x3 + 2x2 − 8x)dx

x

= (x3 + 2x2 − 8x) ln x−∫

(x2 + 2x− 8)dx

= (x3 + 2x2 − 8x) ln x− x3

3− x2 + 8x+ c

∴

∫

(3x2 + 4x− 8) ln xdx = (x3 + 2x2 − 8x) ln x− x3

3− x2 + 8x+ c

3.

∫

(4x2 − 8x+ 4)e−2xdx

Solucion:

Sea I1 =

∫

(4x2 − 8x+ 4)e−2xdx, integrando por partes:

u = 4x2 − 8x+ 4 dv = e−2xdx

du = (8x− 8)dx v = −e−2x

2

podemos escribir

I1 =

∫

(4x2 − 8x+ 4)e−2xdx = −(2x2 − 4x+ 2)e−2x +

∫

(4x− 4)e−2xdx

︸︷︷︸

I2

ahora integraremos I2 =

∫

(4x− 4)e−2xdx por partes:

u = 4x− 4 dv = e−2xdx

du = 4dx v = −e−2x

2

I2 =

∫

(4x− 4)e−2xdx = −(2x− 2)e−2x + 2

∫

e−2xdx = −(2x− 2)e−2x − e−2x + c

reemplazando:

I1 =

∫

(4x2 − 8x+ 4)e−2xdx = −(2x2 − 4x+ 2)e−2x + I2

= −(2x2 − 4x+ 2)e−2x − (2x− 2)e−2x − e−2x + c

= −(1− 2x+ 2x2)e−2x + c

∴

∫

(4x2 − 8x+ 4)e−2xdx = −(1− 2x+ 2x2)e−2x + c

4.

∫

(3x+ 2) sec2(5x)dx


5.

∫

arcsen(3x)dx

6.

∫ln(7x)

x7dx

7.

∫

ln(x+√

4 + x2)dx

8.

∫

cos(ln x)dx

9.

∫

x arctan2(6x)dx

10.

∫

arcsen2(x

2

)

dx

11.

∫ln(ln(ax))

bxdx

12.

∫

e2ax cos(eax)dx

III. Integracion de funciones que contienen un trinomio cuadrado perfecto:

1.

∫√

x2 + 2x+ 10 dx

2.

∫√

12− 4x− x2 dx

3.

∫2

4x2 − 12x+ 13dx

4.

∫7

9x2 + 12x− 5dx

5.

∫3√

25x2 + 30x− 7dx

6.

∫1√

9x2 + 42x+ 53dx

7.

∫7√

−4x2 + 28x− 24dx

8.

∫3x− 2

4x2 − 4x+ 50dx

9.

∫5x+ 7

9x2 − 12x− 60dx

10.

∫7x− 2√

−4x2 + 20x− 9dx

11.

∫3x− 2√

4x2 − 20x+ 41dx

12.

∫7x+ 1√

25x2 − 20x − 12dx

IV. Integracion de funciones trigonometricas e hiperbolicas:

1.

∫

sen3 x cos2 x dx


2.

∫

sen2 x cos3 x dx

3.

∫

sen2 x cos2 x dx

4.

∫

tan3 x sec3 x dx

5.

∫

tan2 x sec4 x dx

6.

∫

sen(3x) cos(2x) dx

7.

∫

sen(7x) sen(5x) dx

8.

∫

cos(6x) cos(4x) dx

V. Integracion por sustitucion trigonometrica:

1.

VI. Integracion de funciones racionales:

1.

∫2x dx

x2 − 1

Solucion:

El integrando2x

x2 − 1es una fraccion propia, luego descomponemos en fracciones

parciales:2x

x2 − 1=

2x

(x+ 1)(x− 1)=

A

x+ 1+

B

x− 1

2x = A(x− 1) +B(x+ 1)

Para x = −1, se tiene A = 1 y para x = 1, se tiene B = 1

2x

x2 − 1=

1

x+ 1+

1

x− 1

luego

∫2x dx

x2 − 1=

∫dx

x+ 1+

∫dx

x− 1= ln |x+ 1|+ ln |x− 1|+ c

= ln |x2 − 1|+ c

∴

∫2x dx

x2 − 1= ln |x2 − 1|+ c

2.

∫2(x4 − 3x3 + 5x2 − 5x+ 1)

x3 − 3x2 + 2xdx


3.

∫x2 + 1

x4 + 1dx

Solucion:

El integrandox2 + 1

x4 + 1es una fraccion propia, luego:

x2 + 1

x4 + 1=

x2 + 1

x4 + 2x2 + 1− 2x2=

x2 + 1

(x2 + 1)2 − 2x2=

x2 + 1

(x2 +√2x+ 1)(x2 −

√2x+ 1)

ahora por fracciones parciales tenemos que:

x2 + 1

(x2 +√2x+ 1)(x2 −

√2x+ 1)

=Ax+B

x2 +√2x+ 1

+Cx+D

x2 −√2x+ 1

x2 + 1 = (Ax+B)(x2 −√2x+ 1) + (Cx+D)(x2 +

√2x+ 1)

x2+1 = (A+C)x3+(B+D−√2A+

√2C)x2+(A+C−

√2B+

√2D)x+(B+D)

obteniendose el siguiente sistema de ecuaciones:

A+ C = 0

B +D −√2A+

√2C = 1

A+ C −√2B +

√2D = 0

B +D = 1

resolviendo se tiene que A = 0, B = 1/2, C = 0, D = 1/2, luego

∫x2 + 1

x4 + 1dx =

1

2

∫dx

x2 +√2x+ 1

+1

2

∫dx

x2 −√2x+ 1

=1

2

∫dx

x2 +√2x+

1

2+

1

2

+1

2

∫dx

x2 −√2x+

1

2+

1

2

=1

2

∫dx

(

x+

√2

2

)2

+

(√2

2

)2 +1

2

∫dx

(

x−√2

2

)2

+

(√2

2

)2

=1

2

2√2arctan

x+

√2

2√2

2

+1

2

2√2arctan

x−√2

2√2

2

+ c

=

√2

2arctan(

√2x+ 1) +

√2

2arctan(

√2x− 1) + c

∴

∫x2 + 1

x4 + 1dx =

√2

2arctan(

√2x+ 1) +

√2

2arctan(

√2x− 1) + c

VII. Integracion de funciones racionales trigonometricas:


1.

∫dx

senx cos2 x

Solucion:

La funcion1

senx cos2 xes impar en senx, entonces hacemos la sustitucion t = cos x,

luego: ∫dx

senx cos2 x=

∫1√

1− t2 t2−dt√1− t2

=

∫dt

t2(t2 − 1)


1

t2(t2 − 1)=

A

t+

B

t2+

C

t+ 1+

D

t− 1

resolviendo se tiene que A = 0, B = −1, C = −1/2, D = 1/2, luego∫

dt

t2(t2 − 1)= −

∫dt

t2− 1

2

∫dt

t+ 1+

1

2

∫dt

t− 1

=1

t− 1

2ln |t+ 1|+ 1

2ln |t− 1|+ c

=1

t+ ln

√∣∣∣∣

t− 1

t+ 1

∣∣∣∣+ c

= sec x+ ln

√

1− cos x

1 + cos x+ c

∴

∫dx

senx cos2 x= sec x+ ln

√

1− cos x

1 + cos x+ c

2.

∫cos3 x dx

4 sen2 x− 1

Solucion:

La funcioncos3 x dx

4 sen2 x− 1es impar en cos x, entonces hacemos la sustitucion t = senx,

luego:∫

cos3 x dx

4 sen2 x− 1=

∫(1− t2)

√1− t2

4t2 − 1

dt√1− t2

=

∫(1− t2)dt

4t2 − 1


1− t2

4t2 − 1=

−1

4+

3

4(2t+ 1)(2t − 1)=

−1

4+

A

2t+ 1+

B

2t− 1

resolviendo se tiene que A = −3/8, B = 3/8, luego

∫(1− t2)dt

4t2 − 1= −1

4

∫

dt− 3

8

∫dt

2t+ 1+

3

8

∫dt

2t− 1

= − t

4− 3

16ln |2t+ 1|+ 3

16ln |2t− 1|+ c

= − t

4+

3

16ln

∣∣∣∣

2t− 1

2t+ 1

∣∣∣∣+ c

= −senx

4+

3

16ln

∣∣∣∣

2 sen x− 1

2 sen x+ 1

∣∣∣∣+ c


∴

∫cos3 x dx

4 sen2 x− 1= −senx

4+

3

16ln

∣∣∣∣

2 sen x− 1

2 sen x+ 1

∣∣∣∣+ c

3.

∫dx

sen2 x− 4 sen x cosx+ 5cos2 x

Solucion:

La funcion1

sen2 x− 4 senx cos x+ 5cos2 xes par en senx y cosx, entonces hacemos

la sustitucion t = tan x, luego:

∫dx

sen2 x− 4 senx cos x+ 5cos2 x=

∫1

t2

1 + t2− 4t

1 + t2+

5

1 + t2

dt

1 + t2

=

∫dt

t2 − 4t+ 5

=

∫dt

(t− 2)2 + 1

= arctan(t− 2) + c

= arctan(tan x− 2) + c

∴

∫dx

sen2 x− 4 senx cos x+ 5cos2 x= arctan(tan x− 2) + c

4.

∫dx

1 + senx

Solucion:

En esta integral usaremos la sustitucion t = tanx

2, luego:

∫dx

1 + senx=

∫1

1 +2t

1 + t2

2dt

1 + t2=

∫2dt

t2 + 2t+ 1=

∫2dt

(t+ 1)2=

−2

t+ 1+ c

∴

∫dx

1 + senx=

−2

1 + tan(x/2)+ c

VIII. Integracion de funciones irracionales:

1.


EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Calcular las siguientes integrales:

I. Integracion por sustitucion o cambio de variable:

1.

∫

(2x+ 3)dx Rpta. x2 + 3x+ C

2.

∫

(3x2 − 5x+ 7)dx Rpta. x3 − 5x2

2+ 7x+ C

3.

∫

x√2dx Rpta. (

√2− 1)x

√2+1 + C

4.

∫

(5x− 3 +√x)dx Rpta.

5x2

2− 3x+

2√x3

3+ C

5.

∫x2 + 3x− 2

xdx Rpta.

x2

2+ 3x− 2 lnx+ C

6.

∫5x2 − 2x+ 7√

xdx

7.

∫2x

(1− x)2/3dx Rpta.

3

2(1− x)4/3 − 6(1− x)1/3 + C

8.

∫x2 + 2

x2(x2 + 4)dx Rpta.

−1

2x+

1

4arctan

(x

2

)

+ C

9.

∫x2 − 1

x2(x2 − 4)dx Rpta.

−1

4x+

3

16ln

∣∣∣∣

x− 2

x+ 2

∣∣∣∣+ C

10.

∫dx

x(x2 − 10)Rpta.

1

20ln

∣∣∣∣

x2 − 10

x2

∣∣∣∣+ C

11.

∫7x2 + 16

x4 + 4x2dx Rpta.

−4

x+

3

2arctan

(x

2

)

+ C

12.

∫18dx

9x2 − x4

13.

∫dx√

16 − x2Rpta. arcsen

(x

4

)

+ C

14.

∫9dx

x2 + 4x− 5Rpta.

3

2ln

∣∣∣∣

x− 1

x+ 5

∣∣∣∣+ C

15.

∫2dx

x2 + 4x+ 4Rpta.

−2

x+ 2+ C

16.

∫2dx√

−4x2 − 20x− 9Rpta.

6x

490(35)x(ln 6− ln 35)+ C

17.

∫√

−4x2 − 12x− 5 dx

18.

∫2x−13x

5x+17x+2dx

19.

∫senx

(1 + cosx)2dx Rpta.

1

1 + cos x+ C


20.

∫sec2 x dx

(2 + tanx)3Rpta.

−1

2(2 + tan x)2+C

21.

∫dx

cos2(3− 2x)Rpta.

−1

2tan(3− 2x) +C

22.

∫cot2 5x dx

(5 + csc 5x)5Rpta.

1

4(5 + csc 5x)4+C

23.

∫

sen(7x+ 5) dx

24.

∫

e3x−2 dx

25.

∫ √5x− 2 dx

26.

∫

7√2x+ 3 dx

27.

∫

x√

5x2 + 6 dx

28.

∫

(20x− 3)√

10x2 − 3x+ 2 dx

29.

∫

2xe3x2+8 dx

30.

∫

x√

5x2 + 6 dx

31.

∫

x2 3√x+ 2dx Rpta.

3

10(x+ 2)10/3 − 12

7(x+ 2)7/3 + 3(x+ 2)4/3 +C

32.

∫√(

x+1

4x

)5((2x+ 1)(2x − 1)

x2

)

dx Rpta.8

7

(

x+1

4x

)7/2

+C

33.

∫3e(4

√x+5)

2√x

dx

34.

∫(8√x3+ 3)e(2x

2+3√x−7)

2√x

dx

35.

∫

(6x2 + 8x) sen(x3 + 2x2 − 3) dx

36.

∫

(35x6 − 2) cos(5x7 − 2x+ 8) dx

37.

∫

(lnx+ 1)ex lnx dx Rpta. xx +C

38.

∫

(2x lnx+ ex + x)e(x2 lnx+ex) dx

39.

∫

(cos x)esen x dx

40.

∫

(sec2 x)e(3 tan x+2) dx

41.

∫sen(2 ln x)

xdx


42.

∫dx

x ln2 x

43.

∫dx

x lnx

44.

∫ln2 x

xdx

45.

∫

(x cos x+ senx)ex senx dx

46.

∫dx

sen2 x 3√cot x− 1

Rpta.−3

2(cot x− 1)2/3 + C

47.

∫senxetan

2 x

cos3 xdx

48.

∫senx

cos3 x5√

sec2 x+ 2 dx Rpta.5

125√

(sec2 x+ 2)6 + C

49.

∫e√xae

√

x

√x

dx

50.

∫

sen(tan x) cos(tan x) sec2 x dx

51.

∫dx

√

(1 + x2) ln(x+√1 + x2)

52.

∫earctan x + x ln(x2 + 1) + 1

1 + x2dx

53.

∫cos3 x

1− senxdx

54.

∫dx

1 + cos x

55.

∫dx

1 + senx

56.

∫dx

1 + cos ax

57.

∫dx

1 + sen ax

58.

∫dx√

x+ 1−√x− 1

Rpta.1

3[(x+ 1)3/2 + (x− 1)3/2] + C

59.

∫dx√

2x+ 1−√x

60.

∫(x2 − 2x+ 1)1/5

1− xdx

61.

∫

x2x(lnx+ 1) dx

62.

∫dx

x(1 + ln2 7x)

63.

∫x− arctan 2x

1 + 4x2dx


64.

∫ln(ln x)

x lnxdx Rpta.

1

2ln2(ln x) + ln(lnx) +C

65.

∫x3 dx

(x2 + 8)3/2Rpta.

1

9(1 − x3)3 − 1

6(1− x3)2 +C

66.

∫

x5√

1− x3 dx

67.

∫ √2 + x+ 1

3 +√2 + x

dx

68.

∫(√ax+ b)3/2√

xdx Rpta.

4

5√a(√ax+ b)5/2 +C

69.

∫ √x− 1(x+ 3)2 dx

70.

∫5x+ 2√

3x√1− 3x

dx

71.

∫e2x + 3

e2x − 3dx Rpta. ln |ex − 3e−x|+C

72.

∫ln(ax) dx

elnx ln(bx)

73.

∫dx

xn + x, n ∈ Z

+ Rpta.1

1− nln |1 + x1−n|+C

74.

∫x dx

√

e2 lnx + ln e1/2 + (x2 + 1)3/2 + eln(1/2)

75.

∫sen2 x

cos4 xetan

3 x dx

76.

∫

x(2 ln x+ 1)ex2 lnx dx

77.

∫dx

x 3√lnx

78.

∫lnx dx

x5√

ln2 x+ 3

79.

∫

xnx(ln x+ 1)dx

80.

∫

x2x2

(2x ln x+ x)dx Rpta.x2x

2

2+C

81.

∫

xcos x−1(cos x− x senx lnx)dx

82.

∫ √lnx

xx2

√lnxdx

83.

∫

(x ln2 x+ x ln x+ 1)x2xx+x−1dx

84.

∫

2sen2 exex sen(2ex)dx

85.

∫ √

x+ 2

2x+ 3

dx

3x2 + 11x+ 10


86.

∫dx√

2x−√x+ 4

87.

∫x7

(1− x4)2dx

88.

∫6e4x

1− exdx

89.

∫ √4 + ex dx

90.

∫ √

2 + 3x

x− 3dx

91.

∫(x+ 1)dx

(2x+ x2)√2x+ x2

92.

∫2x

1− 4xdx

93.

∫dx

e−2x + e2xRpta.

arctan e2x

2+ C

94.

∫e2x + e−2x

e2x − e−2xdx

95.

∫dx√

1 + cos x

96.

∫dx√

1− cos x

97.

∫4x + 1

2x + 1dx

98.

∫sen2 x

a+ b cos2 xdx

99.

∫x2 − x√

x+ 1−√x2 + 1

dx

100.

∫x2 − 1

x√1 + 3x2 + x4

dx

101.

∫ex

(1 + ex)√ex − 1

dx

102.

∫secx

√sec 2x

arcsen tan xdx

103.

∫ √

1− cos x

cos a− cosxdx

104.

∫ √

x2 + x+ 2 + 2√

x3 + x2 + x+ 1 dx

105.

∫ √x√

a3 − x3dx

106.

∫e2x

3√1 + ex

dx


107.

∫

tanh(lnx) dx

108.

∫ √1− cos x dx

109.

∫ea

1 + x2da

110.

∫xeax

(1 + ax)2dx

111.

∫

(x+√

x2 + 1)10 dx

112.

∫cos x− senx

5 + sen 2xdx

113.

∫

(tanx+ sec x)20 sec2 x dx

114.

∫dx

4√

(x− 1)3(x+ 2)5

115.

∫(cos 2x− 3) dx

cos4 x√4− cot2 x

116.

∫1 + sen2 x

2 cos2 x√senx

dx

117.

∫ [

(cos x) ln(cos x)− tanx senx

]

(cos x)sen x dx

118.

∫ [

cot x cos2 x− (sen 2x) ln(senx)

]

(sen x)cos2 x dx

II. Integracion por partes:

1.

∫

x lnxdx Rpta.x2 lnx

2− x2

4+C

2.

∫

x sen(3x)dx Rpta.sen 3x

9− x cos 3x

3+C

3.

∫

xe−3xdx Rpta.(−3x− 1)e−3x

9+C

4.

∫

3x · 72xdx Rpta.3(2x ln 7− 1)72x

4 ln2 7+C

5.

∫

(x3 + 5x− 2) ln xdx Rpta.

(x4

4+

5x2

2− 2x

)

lnx− x4

16− 5x2

4+ 2x+C

6.

∫

(3x2 + 1)e2xdx

7.

∫

(5− 3x− 4x2)e−3xdx

8.

∫

4(2x2 − 2x− 1) cos(2x+ 1)dx

9.

∫arcsenx√

x+ 1dx Rpta. 2

√x+ 1arcsen x+ 4

√1− x+C


10.

∫arcsen

√x√

1− xdx

11.

∫x arctan x√

1 + x2dx

12.

∫

ln2 x dx

13.

∫

arcsen2 x dx

14.

∫

cos(ln x)dx

15.

∫

sen(ln x)dx

16.

∫

eax cos(bx)dx

17.

∫

eax sen(bx)dx

18.

∫

e2x cos(ex)dx Rpta. ex sen(ex) + cos(ex) + C

19.

∫

e2x sen(ex)dx Rpta. −ex cos(ex) + sen(ex) + C

20.

∫

cos2(lnx)dx

21.

∫

sen2(lnx)dx

22.

∫

cos(√x)dx

23.

∫e1/x

x3dx

24.

∫

e2x+ln sen x dx Rpta.e2x

5(2 sen x− cos x) + C

25.

∫(1 + senx)e5x+2 ln cos x

cos xdx

26.

∫tan x

1 + ln2(2 cos x)e5 arctan(ln(2 cos x))dx

27.

∫ (x

1 +√1− x2

)2n n dx

x√1− x2

28.

∫

(lnx)mx

(1

lnx+ ln(ln x)

)

dx

29.

∫

x arctan√

x2 + 1dx

30.

∫

e2x cos(ex)dx

31.

∫

e3x sen(ex)dx


32.

∫

e6x cos(e2x)dx

33.

∫

cos(ln x) lnx dx

34.

∫

sen(lnx) lnx dx

35.

∫

x cos(lnx) dx

36.

∫

x sen(lnx) dx

37.

∫

x2 cos(lnx) dx

38.

∫

x2 sen(lnx) dx

39.

∫

x2ex senx dx

40.

∫

sen 3√x dx

41.

∫

cos 3√x dx

42.

∫(

e1/x

e3 lnx+ ex+lnx cos x

)

dx

43.

∫ (

arcsenx+x√

1− x2

)

dx

44.

∫

ex(cot x+ ln(senx))dx

45.

∫

e4√xdx

46.

∫1

x3sen

(1

x

)

dx

47.

∫arcsen

√2x√

1− 2xdx

48.

∫

x17 ln(x2) dx

49.

∫

senh−1(x

a

)

dx

50.

∫

tanh−1(x

a

)

dx

51.

∫

x2 arc cos(x

a

)

dx

52.

∫

x2 arctan(x

a

)

dx

53.

∫

coth−1(x

a

)

dx


54.

∫ex(x2 − 8)

(x− 2)2dx

55.

∫

esenx(sec2 x− csc2 x+ csc x) dx

56.

∫esenh

−1 x(x√1 + x2 + 1)

(1 + x2)3/2dx

III. Integracion de funciones que contienen un trinomio cuadrado perfecto:

1.

∫x− 9

x2 + 2x− 3dx

2.

∫7x+ 3

4x2 + 4x+ 10dx

3.

∫7x+ 3√

4x2 + 4x+ 10dx

4.

∫2x− 1√

x2 + 2x− 3dx

5.

∫3x+ 5√

9x2 + 12x− 21dx

6.

∫2x+ 1√

−7 + 8x− x2dx

7.

∫3x+ 2√

15 + 4x− 4x2dx

8.

∫6x− 3

4x2 − 4x+ 1dx

9.

∫3x+ 6√

2x2 + 8x+ 3dx

10.

∫10x3 − 5x√x4 − x2 + 6

dx

11.

∫5ex

9e2x + 30ex + 29dx

12.

∫3 cos x

31− 24 sen x− 4 cos2 xdx

13.

∫2 lnx+ 3

x√

15 + 6 lnx− 9 ln2 xdx

14.

∫(3x ln x− 2)(ln x+ 1)

35− 12x ln x− 36x2 ln2 xdx

15.

∫ √x

x− adx

16.

∫x√1− x√2− x

dx

17.

∫ √

a+ x

xdx

18.

∫ √

4− x

2 + xdx


IV. Integracion de funciones trigonometricas e hiperbolicas:

1.

∫

sen2 2x dx

2.

∫

cos2 3x dx

3.

∫

senh2 4x dx

4.

∫

cosh2 5x dx

5.

∫

sen3 6x dx

6.

∫

cos3 7x dx

7.

∫

sen4 x dx

8.

∫

sen5 x dx

9.

∫

sen6 x dx

10.

∫

cos4 x dx

11.

∫

cos5 x dx

12.

∫

cos6 x dx

13.

∫

senx cos2 x dx

14.

∫

sen2 x cos2 x dx

15.

∫

sen3 x cos2 x dx

16.

∫

sen3 x cos x dx

17.

∫

sen3 5x cos3 5x dx

18.

∫

sen4 2x cos2 2x dx

19.

∫

sen2 3x cos4 3x dx

20.

∫

sen4 x cos4 x dx

21.

∫

sen4 x cos3 x dx

22.

∫

sen3(x

3

)

cos4(x

3

)

dx


23.

∫

sen5 x cos2 x dx

24.

∫

sen2(x

2

)

cos5(x

2

)

dx

25.

∫

sen4 x cos5 x dx

26.

∫

sen5 x cos4 x dx

27.

∫

sen5 x cos5 x dx

28.

∫

sen6 x cos6 x dx

29.

∫

tan3 2x dx

30.

∫

tan4(x

2

)

dx

31.

∫

tan5 x dx

32.

∫

tan6 x dx

33.

∫

sec3 2x dx

34.

∫

sec4(x

2

)

dx

35.

∫

sec5 x dx

36.

∫

sech5x dx

37.

∫

sec6 x dx

38.

∫

tan3 x sec2 x dx

39.

∫

tan3 x sec3 x dx

40.

∫

tan4 x sec2 x dx

41.

∫

tan4 x sec4 x dx

42.

∫

tan3 x sec4 x dx

43.

∫

tan5/2 x sec4 x dx

44.

∫3

√

sen2 x

cos14 xdx


45.

∫dx

cos3 x√sen 2x

46.

∫ √sen3 2x

sen5 xdx

47.

∫

sen 2x sen 3x dx

48.

∫

sen 3x cos 2x dx

49.

∫

cos 5x cos 3x dx

50.

∫

sen(x

2

)

cos(x

3

)

dx

51.

∫

senx sen 2x sen 3x dx

52.

∫

cos x cos 3x cos 4x dx

53.

∫senx+ sen 2x+ · · ·+ sennx

cosx+ cos 2x+ · · ·+ cosnxdx

V. Integracion por sustitucion trigonometrica:

1.

∫2 dx

x3√x2 − 1

2.

∫dx

(4x− x2)3/2

3.

∫4x2 + 3

(1 + x2)2dx

4.

∫x3√9− x2

dx

5.

∫2x2√4− x2

dx

6.

∫ √x2 − 25

x4dx

7.

∫

x2√

16− x2 dx

8.

∫4dx

x2√4 + x2

Rpta. −√4 + x2

x+C

9.

∫20x4dx

(√4− x2)7

Rpta.x5

(√4− x2)5

+C

10.

∫ √2 dx

(x2 + 1)√1− x2

11.

∫6x3 dx√2x2 + 7

12.

∫3 dx

x4√x2 + 5


13.

∫ √x2 − 2x

x3dx

14.

∫x4 dx

(16− x2)7/2

15.

∫ √a− x√a−√

x

16.

∫dx√

tan2 x+ 5

17.

∫ √1− x2

x4arcsen x dx

18.

∫2a+ x

a+ x

√a− x

a+ xdx

19.

∫arctan

(xa

)

x2dx

20.

∫arc cos

(xa

)

x2dx

21.

∫dx

(x2 cos2 a+ x sen 2a+ 1)3/2

VI. Integracion de funciones racionales:

1.

∫2

x2 − 4dx Rpta.

1

2ln |x− 2| − 1

2ln |x+ 2|+ C

2.

∫1

x2 − x− 6dx Rpta.

1

5ln |x− 3| − 1

5ln |x+ 2|+ C

3.

∫5

x2 − 2x− 24dx Rpta.

1

2ln |x− 6| − 1

2ln |x+ 4|+ C

4.

∫2x+ 1

x3 + 2x2 − x− 2dx Rpta.

1

2ln |x+ 1| − ln |x+ 2|+ 1

2ln |x− 1|+ C

5.

∫x+ 3

x3 − 6x2 + 11x− 6dx Rpta. 3 ln |x− 3| − 5 ln |x− 2|+ 2 ln |x− 1|+ C

6.

∫8x+ 25

2x2 − 7x− 15dx

7.

∫11x− 6

2x2 + x− 6dx

8.

∫3x− 55

2x2 − 11x− 21dx

9.

∫x2 − 6x− 1

x3 − 1dx

10.

∫x3 − 5x2 + 15x− 24

x2 − 5x+ 6dx

11.

∫x4 + 3x2 − 11x+ 6

x3 − 8dx

12.

∫x2 − 8x+ 18

x3 − 3x2 + 4dx


13.

∫7x2 − 14x+ 5

x3 − 2x2 + xdx

14.

∫x5 + x4 − 3x3 − 3x2 + 3x+ 7

x3 + 2x2 − x− 2dx

15.

∫x4 − 7x3 + 9x2 + 3x+ 24

x3 − 7x2 + 12xdx

16.

∫x2 − 13x+ 13

x3 − 3x2 + 4dx

17.

∫3x− 11

x3 − x2 + 3x− 3dx

18.

∫x4 − 4x3 + 4x2 − 16x+ 59

x3 − 4x2 + x+ 6dx

19.

∫x2 + 3x+ 3

(x+ 1)3dx

20.

∫2(2x− 1)(x2 + 1)

x4 + x2 + 1dx

21.

∫2x+ 3

x4 − 4dx

22.

∫8

x4 + 1dx

23.

∫16

x4 + 4dx

24.

∫x2 − x+ 3

x4 + 6x3 + 13x2 + 12x+ 4dx

25.

∫x3 − x

x4 + 2x3 − 4x2 + 8x− 32dx

26.

∫6x

40 + (x− 1)(x− 3)(x + 4)(x+ 6)dx

27.

∫19(x2 + 2x− 3)

2x3 − x2 − x− 3dx

28.

∫x4 + 1

(x2 + 4x+ 2)(x2 + 4x+ 6)dx

29.

∫5x3 − 16x2 + 24 − 24x

x4 − x3 − 6x2 + 4x+ 8dx

30.

∫4(3x− 1)(3x2 + x− 2)

(3x+ 4)(3x− 1)(x − 1)(3x+ 2) + 7dx

31.

∫2x7 − 4x6 − 5x5 − 23x4 − 17x3 + 19x2 + 20x+ 68

x8 − 17x4 + 16dx

32.

∫2x2 + 4x− 1

x4 + 2x3 + 3x2 + 2x+ 1dx

33.

∫x2 + 3

(2x2 − 3x− 5)2 − (x2 − 3x− 4)2dx

34.

∫x2 + x+ 1

x4 + 6x3 + 11x2 + 6x+ 1dx


35.

∫5

(x+ 1)5 − x5 − 1dx

36.

∫9x4 − 39x3 − 48x2 − 47x− 3

27x5 − 27x4 − 18x3 + 10x2 + 7x+ 1dx

37.

∫3x4 + 2

√2x3 − 3x2 − 2

√2x2 + 4

√2x− 6− 4

√2

x5 − x4 − 4x+ 4dx

38.

∫7x2 + 15 + x3 − 3x

x4 − 9dx

39.

∫2x7 + 12x6 − 5x5 + 21x4 − 13x3 − 73x2 + 30x− 114

x8 − 13x4 + 36dx

40.

∫dx

x6 + 1

41.

∫1

x

√

x− 1

x+ 1dx

42.

∫

secx sec 2x dx

43.

∫dx

(cos2 x+ 4 sen x− 5) cos x

44.

∫tan x dx

(sec999 x+ 1)2

45.

∫dx

cos x√2 + senx

46.

∫dx

x4 + a2x2 + a2

47. Determinar un polinomio cuadratico p(x) tal que p(0) = 1, p′(0) = 0, de modo que∫

p(x) dx

x3(1− x)2es una funcion racional.

VII. Integracion de funciones racionales trigonometricas:

1.

∫dx

4 + 3 cos xRpta.

2√7

7arctan

(√7

7tan

x

2

)

+ C

2.

∫dx

4 + 3 sen xRpta.

2√7

7arctan

[√7

7

(

4 tanx

2+ 3)]

+ C

3.

∫dx

senx+ cosx

4.

∫dx

a senx+ b cos x

5.

∫dx

1 + senx− cos x

6.

∫senx dx

1 + senxRpta.

2

tanx

2+ 1

+ x+ C

7.

∫senx dx

2− senx


8.

∫1− cos x

1 + senxdx

9.

∫dx

(5 + cos x)(4 + cos x)

10.

∫dx

cos x+ 2 senx+ 3

11.

∫dx

8− 4 sen x+ 7cos x

12.

∫ √4 + x2

5 +√4 + x2

dx

VIII. Integracion de funciones irracionales:

1.

∫

x1/2(1 + x1/3)−1 dx

2.

∫ √x

(1 + 3√x)2

dx

3.

∫dx√

x+ 2 + 3√x+ 2

dx

4.

∫dx

(x− 1)2√4x2 + x+ 4

dx

5.

∫dx

(x+ 4)√x2 + 3x− 9

dx

6.

∫dx√

x 3√x(1 + 3

√x)2

7.

∫3√x dx

( 3√x+ 1)2

8.

∫ √3√x+ 1 dx3√x

9.

∫dx

√

(1 + x2)3

10.

∫dx

3√x2(1 +

3√x2)

Rpta. 3 arctan( 3√x) +C

11.

∫dx

x2(1 + x2)3/2Rpta. − 1 + 2x2

x√1 + x2

+C

12.

∫ √

1 + 3√x

3√x2

dx Rpta. 2(1 + 3√x)3/2 +C

13.

∫ √

50− 25 3√x

3√x

dx Rpta. −2(4 + 3 3√x)(2− 3

√x)3/2 +C

14.

∫

40x5(1 + x3)2/3 dx Rpta. (5x3 − 3)(1 + x3)5/3 +C

15.

∫

15 3√x

4

√

2 +3√x2 dx Rpta.

4

√

(2 +3√x2)5(10

3√x2 − 16) +C


16.

∫dx

x3 3√1 + x3

Rpta. −3√

(1 + x3)2

2x2+ C

17.

∫100 dx

x5 5√25− x5

Rpta. − 5

√(25− x5

x5

)4

+ C

18.

∫x− 3

√x− 2

x2 − 3√

(x− 2)2dx

19.

∫x2 dx

√

1 + x3 +√

(1 + x3)3

20.

∫3x2 + 4

2√x(4− 3x2)

√3x2 + x− 4

dx

21.

∫dx

(x+ 1) 3√1 + 3x+ 3x2

22.

∫ √

(1 + x2)3

x6dx Rpta. −

√

(1 + x2)5

5x5+ C

23.

∫ √1 + x8

x13dx Rpta. −

√

(1 + x8)3

12x12+ C

24.

∫ √x− 1 + 3

√x− 1

x− 2dx

2

LA INTEGRAL DEFINIDA

Objetivos

z Definir la particion de un intervalo cerrado y en particular conocer la llamada particion

regular.

z Aplicar las sumas de Riemann en el calculo de areas de regiones planas.

z Interpretar geometricamente la integral definida.

z Utilizar la integral en las aplicaciones geometricas elementales de calculo de areas y volu-

menes.

2.1. Introduccion

El calculo integral tiene sus orıgenes en los llamados problemas de cuadraturas. Inicialmen-

te, en la antigua Grecia, dichos problemas eran geometricos y consistıan en construir, siguiendo

reglas precisas, un cuadrado con area igual a la de una figura plana dada. En el siglo XVII,

con el descubrimiento de nuevas curvas, los aspectos geometricos de estos problemas pasaron

a un segundo plano y las tecnicas de calculo ocuparon su lugar, los problemas de cuadraturas

pasaron a ser simplemente problemas de calculo de areas y de volumenes. Se atribuye a Eu-

doxo la invencion del metodo de exhauscion, una tecnica para calcular el area de una region

aproximandola por una sucesion de polıgonos. Arquımedes perfecciono este metodo y, entre

otros resultados, calculo el area de un segmento de parabola y el volumen de un segmento de

paraboloide, ası como el area y el volumen de una esfera.

Sorprende que, siendo tan antiguos sus orıgenes, la primera definicion matematica de in-

tegral no fuera dada hasta el siglo XIX por Augustin Louis Cauchy. Una posible explicacion

es que, durante los siglos XVII y XVIII, la integracion fue considerada como la operacion

inversa de la derivacion; el calculo integral consistıa esencialmente en el calculo de primitivas.

Naturalmente, se conocıa la utilidad de las integrales para calcular areas y volumenes, pero

49


los matematicos de la epoca consideraban estas nociones como dadas de forma intuitiva y

no vieron la necesidad de precisar su significacion matematica. Los trabajos de Joseph Fou-

rier (1768–1830) sobre representacion de funciones por series trigonometricas, hicieron que el

concepto de funcion evolucionara, desde la idea restrictiva de funcion como formula, hasta la

definicion moderna de funcion dada por Dirichlet en 1837. Para entender el significado de la

integral de estas nuevas funciones mas generales se vio la necesidad de precisar matematica-

mente los conceptos de area y de volumen.

La definicion de la integral de Cauchy seguıa la tradicional aproximacion del area por

rectangulos, en este sentido no era nada original; la novedad estaba en el hecho de considerar a

la integral como un objeto matematico merecedor de estudio por sı mismo, y en el proposito de

atribuirle un significado independiente de las tecnicas que pudieran utilizarse en los calculos.

Este significado propio de la integral remite de forma inevitable a la idea de area. Ningun

matematico anterior al siglo XIX habıa considerado necesario elaborar una teorıa matematica

del concepto de area; es en dicho siglo cuando el concepto de area adquiere un significado

matematico preciso o, mejor dicho, varios significados matematicos, porque dicho concepto

evoluciono hasta que, en la primera decada del siglo XX, adquirio esencialmente su forma

actual.

2.2. Sumatorias

En geometrıa elemental se deducen formulas para las areas de muchas figuras planas, pero

escasamente se da una definicion precisa de lo que significa area. En muchas ocasiones se define

el area de una region como el numero de cuadrados de lado unidad que caben en la region.

Sin embargo, dicha definicion solo es aceptable para algunas regiones simples del plano.

Se conocen fundamentalmente tres formas de acercarse a la definicion de integral: a traves

de funciones escalonadas, a traves de las sumas superiores e inferiores (sumas de Darboux)

y a traves de las llamadas sumas de Riemann. En este texto lo hacemos siguiendo la tercera

forma, por ser la manera clasica en los textos de calculo y la que menos exigencias tiene del

analisis real para su comprension.

Definicion 2.2.1. Sean m y n dos numeros enteros tales que m ≤ n y f una funcion

definida para cada i ∈ Z, con m ≤ i ≤ n, entonces la sumatoria de los terminos f(i) desde

k = m hasta k = n se define como:

n∑

i=m

f(i) = f(m) + f(m+ 1) + f(m+ 2) + · · ·+ f(n− 1) + f(n) (2.1)

donde:∑

es la letra griega sigma que simboliza la sumatoria.


i es el ındice de la sumatoria.

m es el lımite inferior.

n es el lımite superior.

Propiedades:

n∑

i=m

c = (n−m+ 1)c, c es constante.

n∑

i=m

[f(i)± g(i)] =

n∑

i=m

f(i)±n∑

i=m

g(i)

n∑

i=m

[kf(i)] = kn∑

i=m

f(i)

n∑

i=m

[f(i)− f(i− 1)] = f(n)− f(m− 1)

n∑

i=m

[f(i+ 1)− f(i− 1)] = f(n+ 1) + f(n)− f(m)− f(m− 1)

2.3. Area de una region plana por sumatorias

Particion de un intervalo cerrado:

Definicion 2.3.1. Una particion P del intervalo [a, b], con a < b, es un conjunto finito de

puntos P = x0, x1, x2, . . . , xn tales que

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

Observacion 2.3.1.

Dos particiones P y Q de un mismo intervalo [a, b] son diferentes si difieren por lo menos

en un punto.

Toda particion de [a, b] contiene por definicion al menos los puntos a y b; por tanto,

siempre es un conjunto no vacıo.

Toda particion P = x0, x1, x2, . . . , xn de [a, b] divide a dicho intervalo en n subinter-

valos cerrados: I1 = [x0, x1], I2 = [x1, x2], . . ., Ii = [xi−1, xi], . . ., In = [xn−1, xn].

La longitud de cada subintervalo Ii = [xi−1, xi], para i = 1, 2, . . . , n denotada por ∆xi,

se define como ∆xi = xi − xi−1


n∑

i=1

∆xi =

n∑

i=1

(xi − xi−1) = b− a

La norma o diametro de la particion P es el numero:

‖P‖ = max∆xi / i = 1, 2, . . . , n

Cuando el intervalo [a, b] se divide en n subintervalos que tienen la misma longitud, es

decir ∆x1 = ∆x2 = · · · = ∆xn = ∆x, entonces la longitud de cada subintervalo es

∆x =b− a

n, a este tipo de particion se le denomina particion regular y se cumple que:

x0 = a

x1 = a+∆x

x2 = a+ 2∆x...

xi = a+ i∆x...

xn = b

Si P y Q son dos particiones de [a, b], diremos que P es mas fina que Q si Q ⊆ P

∆xi > 0 para todo i = 1, 2, . . . , n, puesto que xk > xk−1. En consecuencia ‖P‖ ≥ 0

∆xi ≤ ‖P‖ para todo i = 1, 2, . . . , n

Si P y Q son dos particiones de [a, b], y si Q es una particion mas refinada que P ,

entonces ‖Q‖ ≤ ‖P‖

Decir que ‖P‖ −→ 0 es equivalente a decir que n −→ ∞.

2.4. La integral de Riemann

Se parte de un problema particular, como es el problema del area de una region plana, el

cual dio origen al calculo integral. El metodo expuesto, conocido como metodo de los recu-

brimientos, se debe a Arquımedes, el mas grande de los matematicos griegos y uno de los

mayores de toda la historia de la humanidad, quien determino el area de un segmento paraboli-

co por este metodo, que aun hoy, despues de conocer los modernos metodos infinitesimales,

resulta laborioso.

2.4.1. Area bajo una curva a traves de sumas superiores e inferiores

Partiremos de una idea intuitiva de lo que entendemos por area y profundizaremos luego

para llegar a una definicion apropiada de la integral (segun Riemann).


Supongamos que f es una funcion continua en [a, b] y tal que f(x) ≥ 0 para todo x

perteneciente al intervalo [a, b]. Deseamos determinar, en una forma razonable, la manera de

asignar un valor al area de la region Ω limitada por las rectas x = a, x = b, el eje X y la curva

y = f(x)

X

Y

Ω

y = f(x)

a 0 b

Sea A el area de la region Ω. Lo que hacemos es aproximarnos a este valor mediante

rectangulos cuyas areas se calculan facilmente.

Sea P = x0, x1, x2, . . . , xn una particion cualquiera de [a, b]. En cada uno de los subin-

tervalos [xi−1, xi], levantamos un rectangulo Ωi cuya base es ∆xi = xi − xi−1 y su altura el

valor mınimo de la funcion en [xi−1, xi], el cual existe ya que f es continua en [a, b].

X

Y

y = f(x)

a 0 b

Si mi es el valor mınimo de la funcion f en [xi−1, xi] entonces el area de Ωi es mi∆xi

para todo i = 1, 2, . . . , n. Estos n rectangulos considerados forman en conjunto un polıgono

llamado polıgono regular inscrito en Ω, luego el area de este polıgono esta dado por:

n∑

i=1

mi∆xi = m1∆x1 +m2∆x2 + · · ·+mn∆xn

En este caso, la suma de las areas de los rectangulos es menor o igual al area de la region

Ω, es decir:

n∑

i=1

mi∆xi ≤ A(Ω)


Siguiendo un procedimiento similar al anterior, pero tomando como altura de cada rectangu-

lo el valor maximo de la funcion en [xi−1, xi] obtenemos que la suma de las areas de los

rectangulos es mayor o igual que el area de la region Ω. Es decir, A(Ω) ≤n∑

i=1

Mi∆xi, donde

Mi es el maximo de f en [xi−1, xi]

X

Y

y = f(x)

a 0 b

De lo anterior podemos concluir entonces que:

n∑

i=1

mi∆xi ≤ A(Ω) ≤n∑

i=1

Mi∆xi

Observacion 2.4.1. Geometricamente la suma de Riemann es la suma de las areas de los

rectangulos cuyas bases son los subintervalos ∆xi y cuyas alturas corresponden a los valores

f(xi).

Definicion 2.4.1. Sea f una funcion continua y no negativa en el intervalo [a; b]. El area de

la region limitada por la grafica de f , el eje X y las rectas verticales x = a y x = b es:

A = lım‖P‖→0

∆xi

(n∑

i=1

f(ti)

)

A = lımn→∞

∆x

(n∑

i=1

f(ti)

)

u2

donde ∆x =b− a

n, ti = a+ i∆x

2.4.2. Sumas superiores y sumas inferiores

Sea f : I −→ R una funcion acotada sobre I = [a, b] y P = x0, x1, x2, . . . , xn una

particion de I. Denotamos con Ij al j−esimo subintervalo de I, es decir Ij = [xj−1, xj ],

j = 1, 2, . . . , n. Como f es acotada en I existen mj y Mj tales que

mj = ınff(x) / x ∈ Ij


Mj = supf(x) / x ∈ Ij

donde se cumple que:

mj ≤ f(x) ≤ Mj , ∀x ∈ Ij , j = 1, 2, . . . , n

entonces:

Definicion 2.4.2. La suma inferior de f para P , que se denota por S(f, P ), se define como:

S(f, P ) =n∑

j=1

mj∆xj =n∑

j=1

mj(xj − xj−1)

Geometricamente la suma inferior nos brinda una aproximacion por defecto del area que

buscamos.

Definicion 2.4.3. La suma superior de f para P , que se denota por S(f, P ), se define como:

S(f, P ) =

n∑

j=1

Mj∆xj =

n∑

j=1

Mj(xj − xj−1)

Geometricamente la suma superior nos brinda una aproximacion por exceso del area que

buscamos.

Propiedades:

1. Sea f es una funcion acotada sobre I = [a, b] y P = x0, x1, x2, . . . , xn una particion de I,

entonces:

m(b− a) ≤ S(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ M(b− a)

2. Si f es una funcion acotada en I = [a, b] y P1, P2 son dos particiones de I tal que P2 es un

refinamiento de P1, (P1 ⊂ P2), entonces:

S(f, P1) ≤ S(f, P2) y S(f, P1) ≥ S(f, P2)

3. Sea f una funcion acotada en I y P1, P2 dos particiones arbitrarias de I, entonces:

S(f, P1) ≤ S(f, P2)

2.4.3. Integrales superiores e integrales inferiores

Denotemos con D el conjunto de todas las particiones posibles de I y sea f una funcion

acotada en I, entonces:


Definicion 2.4.4. La integral inferior de f en I esta dada por:

J =

∫ b

a

f(x)dx = supS(f, P ) / P ∈ D

Definicion 2.4.5. La integral superior de f en I esta dada por:

J =

∫ b

af(x)dx = ınfS(f, P ) / P ∈ D

Propiedades:

Sea f es una funcion acotada sobre I = [a, b], entonces:

1)

∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

af(x)dx, es decir J ≤ J

2) m(b− a) ≤ J ≤ J ≤ M(b− a), donde:

m = ınff(x) / x ∈ I y M = supf(x) / x ∈ I

3) Para todo c ∈ 〈a, b〉, se tiene:

∫ b

af(x)dx =

∫ c

af(x)dx+

∫ b

cf(x)dx

∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx+

∫ b

c

f(x)dx

2.4.4. Integral de Riemann

Definicion 2.4.6. Se dice que una funcion f : I −→ R es integral de Riemann1 en I = [a, b]

cuando f es acotada y se cumple

∫ b

af(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

af(x)dx

Teorema 2.4.1. Sea f una funcion acotada en I = [a, b], se dice que f es integrable en I si

y solo si para todo ε > 0 existe una particion P de I tal que S(f, P )− S(f, P ) < ε

Observacion 2.4.2. Para interpretar geometricamente el significado de la integral de Rie-

mann. Supongamos que f : I −→ R es una funcion integrable en I y f(x) ≥ 0, para todo

x ∈ I, entonces A(Ω) =

∫ b

af(x)dx es el area de la region bajo la curva y = f(x).

1Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, Alemania, 17 de septiembre de 1826 - Verbania, Italia, 20 de

julio de 1866) fue un matematico aleman que realizo contribuciones muy importantes al analisis y la geometrıa

diferencial, algunas de las cuales allanaron el camino para el desarrollo mas avanzado de la relatividad general.

Su nombre esta conectado con la funcion zeta, la hipotesis de Riemann, la integral de Riemann, el lema de

Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann y la geometrıa de Riemann.


Propiedades:

Sean f, g : I −→ R funciones integrables en I = [a, b], entonces se cumple que:

1) f es integrable en cualquier subintervalo [c, d] ⊂ I

2) kf es integrable en I∫ b

akf(x)dx = k

∫ b

af(x)dx

3) f ± g es integrable en I

∫ b

a[f(x)± g(x)]dx =

∫ b

af(x)dx±

∫ b

ag(x)dx

4) Para todo c ∈ [a, b], se tiene:

∫ b

af(x)dx =

∫ c

af(x)dx+

∫ b

cf(x)dx

5) Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ I entonces

∫ b

af(x)dx ≥ 0

6) Si f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ I entonces

∫ b

af(x)dx ≤

∫ b

ag(x)dx

7) Si m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ I entonces m(b− a) ≤∫ b

af(x)dx ≤ M(b− a)

8) Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ I entonces A(Ω) =

∫ b

af(x)dx

9) Si f(x) ≤ 0 para todo x ∈ I entonces A(Ω) = −∫ b

af(x)dx

10) Si a < b entonces

∫ a

bf(x)dx = −

∫ b

af(x)dx

Teorema 2.4.2. Teorema del valor medio: Si f una funcion continua en I = [a, b], entonces

existe un numero c ∈ I, tal que:

∫ b

af(x)dx = f(c)(b− a)

2.5. Teoremas fundamentales del calculo integral

Teorema 2.5.1. (Primer teorema fundamental del calculo integral)

Si f es una funcion continua en I = [a, b] y F es una funcion definida por F(x) =

∫ x

af(t)dt,

x ∈ I, entonces: F′(x) =d

dx

(∫ x

af(t)dt

)

= f(x), para todo x ∈ I.


Este teorema conocido tambien como el teorema de Barrow, es un importante resultado

que relaciona el calculo diferencial con el calculo integral.

Teorema 2.5.2. (Segundo teorema fundamental del calculo integral)

Sea f integrable en I = [a, b]. Si existe una funcion F continua en I = [a, b] y derivable en

(a, b) tal que F ′(x) = f(x) en (a, b), entonces:

∫ b

af(x)dx = F (x)

∣∣∣∣

b

a

= F (b)− F (a) (2.2)

Este teorema es conocido tambien como el teorema de Newton – Leibnitz.

2.6. Metodos numericos



I. Sumatorias:

Determinar una formula para cada una de las siguientes sumatorias:

1)

n−1∑

k=1

ln

(k

k + 2

)

2)

n∑

k=1

(√2k + 1−

√2k − 1)

3)

n+1∑

k=m

(1

2k − 1− 1

2k + 1

)

4)n∑

k=1

1

(k + 1)(k + 2)

5)

n∑

k=1

4

(4k − 3)(4k + 1)

II. Area de una region plana por sumatorias:

En cada uno de los siguientes ejercicios, encontrar el area de la region dada, que esta li-

mitada por:

1) y = 3 + 2x− x2, x = 5 y el eje X

2) y = 36− x2, x = 2, x = 6 y el eje X

3) y =

x2 , x ≤ 3

6x− x2 , x > 3, x = 1, x = 8 y el eje X

III. La integral de Riemann:

1) Aproximar usando sumas superiores y sumas inferiores la siguiente integral:

∫ 1

−2

x

1 + |x| dx,y dar una cota superior para el error cuando P = −2,−3/2,−1,−1/2, 1/2, 1Rpta. S =

22

15, S =

53

60, e =

7

24

2) Mediante sumas superiores y sumas inferiores, hallar el valor aproximado de

∫ 2

−3

x

1 + x2dx,

usando la la siguiente particion: P = −3,−2,−1, 0, 1, 2Rpta. S =

12

5, S =

15

10, e =

9

20

3) Expresar como integral definida el lımite: lım|P |→0

n∑

i=1

(sen(xi + xi−1))xi − xi−1

xi + xi−1, |P | es

una particion de [2, 5] Rpta.

∫ 5

2

sen 2x dx

2x


4) Expresar como integral definida el lımite: lımn→∞

n∑

i=1

i

n2 + i2Rpta.

∫ 1

0

x dx

1 + x2

IV. Teoremas fundamentales del calculo integral

Primer Teorema del Calculo Integral. En los siguientes ejercicios calcular:

1) F ′(x), si: F (x) =

∫ 2x

1cosh(2t2 + 1)dt

2) F ′(π/2), si: F (x) =

∫ lnx

asen(et) dt

3) F ′(0), si: F (x) =

∫ sen x

b

1

1 + arcsen tdt

4) F ′(1), si: F (x) =

∫ x

0

1− t+ t2

1 + t+ t2dt

5) F ′(x), si: F (x) =

∫

∫ x3

0

1

1 + sen2 tdt

acos2(y2 + 4) dy

6) F ′(1), si: F (x) =

∫ x2

x3

t6

1 + t4dt

7) F ′(1), si: F (x) =

∫ x+x2

x2+12−t2 dt

8) F ′(0), si: F (x) =

∫ ex

x2

x(t2 + 1) dt

9) F ′(x), si: F (x) = sen

[∫ x

0sen

(∫ y

0sen3 t dt

)

dy

]

10) F ′′(x), si: F (x) =

∫ x

2

[∫ y

5

1

1 + t2 + sen2 tdt

]

dy

11) F ′′′(0), si: F (x) =

∫ x

1

∫ y

2

∫ z

3

√

et + sen t

et + cos tdt

dz

dy Rpta. 1/2

12) En cada caso calcular f(x0) si f es continua:

x0 = 2;

∫ x

0f(t) dt = x2(1 + x) Rpta. 16

x0 = 1;

∫ x2

0f(t) dt = x2(1 + x) Rpta. 5/2

x0 = 2;

∫ f(x)

0t2 dt = x2(1 + x) Rpta. 3

√36

x0 = 2;

∫ x2(1+x)

0f(t) dt = x Rpta. 1/5

13) Hallar H ′(x), si:

F (x) =

∫ arcsen(cos x)

√3

f(sen t)dt =

√

1− senx

1 + senx;


G(x) =

∫ senx

√2

√

g(t)dt =√1− cos x ;

H(x) =

∫ f(1)

g(x)(1−√1−x2)

dt

t2

14) Si

∫ 1

3x+1

0f(t) dt =

2

ax+ ax. Determinar los valores de a de modo que f(1/4) = 16/3.

15) Sea G(x) =

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)f(t) dt, donde f : I −→ R es una funcion continua y ϕ1, ϕ2 : J −→

I son funciones derivables. Probar que: G′(x) = f(ϕ2(x))ϕ′2(x)− f(ϕ1(x))ϕ

′1(x)

16) Una funcion f es continua para todo x y satisface la ecuacion:

∫ x

0f(t)dt = −1

2+x2+

1

2x senx+

1

2cos x. Calcular:

a) f(π

4

)

Rpta.

(

π

2+

√2π

16

)

b) f ′(π

4

)

Rpta. 2 +

(√2

4−

√2π

16

)

17) Encontrar una funcion f , tal que:

∫ x

ctf(t)dt = senx− x cos x− 1

2x2, x 6= 0

18) Dada la funcion f(x) definida para toda x por: f(x) = 3 +

∫ x

0

1 + sen t

2 + t2dt. Hallar

las constantes a, b y c del polinomio cuadratico P (x) = a + bx + cx2, sabiendo que

P (0) = f(0), P ′(0) = f ′(0), P ′′(0) = f ′′(0).

19) Si f(t) = t+

∫ t

0

√

1− u2 du, se define: H(x) =

∫ x

−xf(t)dt; hallar la segunda derivada

de H(x).

20) Si f(t) =√4 + t2 +

∫ t

−2

dw

(4 + w2)1/2, se define: H(x) =

∫ x

−xf(t)dt; calcular D2H(x)

para x = 1

21) Hallar el valor mınimo de la funcion H(x) =

[∫ b

a(f(u)− x)2du

]1/2

22) Sea f una funcion continua que satisface la siguiente ecuacion:∫ x

0f(t) dt =

∫ 1

xt2f(t)dt +

x16

8+

x18

9+ C para todo numero real x, donde C es

constante. Encontrar una forma explıcita para f(x) y hallar el valor de la constante

C

23) Una partıcula se desplaza a lo largo de una recta. Su posicion en el instante t es f(t).

Cuando 0 ≤ t ≤ 1, la posicion viene dada por la integral f(t) =

∫ t

0

1 + 2 sen πx cos πx

1 + x2dx;

para t ≥ 1 la partıcula se mueve con aceleracion constante (la aceleracion adquirida

en el instante t = 1). Calcular:

a) Su aceleracion en el instante t = 2. Rpta. π − 1

2


b) Su velocidad cuando t = 1. Rpta.1

2

c) Su velocidad cuando t > 1. Rpta.1

2+

(

π − 1

2

)

(t− 1)

d) La diferencia f(t)− f(1) cuando t > 1. Rpta.1

2(t− 1) +

(

π − 1

2

)(t− 1)2

2

Segundo Teorema del Calculo Integral. Calcular:

24)

∫ 1

0

√x√2− x dx Rpta. π/4

25)

∫ 0

−1x2e−x dx Rpta. e− 2

26)

∫ 1

0

xex

(1 + x)2dx Rpta.

e− 2

2

27)

∫ 1

1/2

1 + x2

x2(1 + x)2dx Rpta.

4

3+ ln

(4

9

)

28)

∫ π/2

0x3 senx dx Rpta.

3π2

4− 6

29)

∫ 1

0x2ex senx dx Rpta. 1/2

30)

∫ ln 4

ln 2

dx√ex − 1

Rpta. π/6

31)

∫ √2

0

x2 + 5

x2 + 2dx Rpta.

3√2π

8+

√2

32)

∫ e−1

0

x2

x3 + 5x2 + 8x+ 4dx Rpta. −e− 3

e+ 1

33)

∫ 1

0

2x

(1 + x)(1 + x2)2dx Rpta.

1

2− ln 4

√2

34)

∫ 0

−1x5 3√

(1 + x3)2 dx Rpta. −3/40

35)

∫ 2

0

x5 dx

(1 + x3)3/2Rpta. 8/9

36)

∫ 2

1

dx

x4(17− x4)1/4Rpta. 21/136

37)

∫ 3

1

arctan√x dx√

x+ 2x2 + x3Rpta.

7π2

144

38)

∫ π/2

0

dx

5− 4 senx+ 3cos xRpta. 1/2

39)

∫ 1

0xe

3√x dx Rpta. 360− 132e

40)

∫ 1

0x8e−x3

dx Rpta.2

3− 5

3e


61)

∫ π

0

x senx

1 + cos2 xdx Rpta.

π2

4

62)

∫ 1

−1

4x + 1

2x + 1dx Rpta.

3

2 ln 2

63)

∫ 3

−2

∣∣∣∣

x+ 1

x+ 3

∣∣∣∣dx Rpta. 3− 2 ln(2/3)

64)

∫ 1/2

−1/2

[

cos(senx) ln

(1 + x

1− x

)

+ 3x+ 4

]

dx Rpta. 4

65)

∫ π/2

−π/2

[x81 cos(x9)− 2 sen3 x+ 6cos3 x

]dx Rpta. 8

66)

∫ π/4

−π/4

[x14 sen(x7) + 2x sen(2x) + 3x cos(3x)

]dx Rpta. 1

67)

∫ 1/√2

0

dx

(2x2 + 1)√x2 + 1

Rpta. π/6

68)

∫ 6

−2f(x) dx , donde: f(x) =

|x− 2| para − 2 ≤ x < 0∣∣∣∣JxK − x

∣∣∣∣

para 0 ≤ x < 4

|x− 6| para 4 ≤ x ≤ 6

69) Si f(x) es continua en 0, 2 y f(1) = 1, calcule: lımh→0

1

h

∫ 2

2−h

2

2+h

f(x) dx

70) Calcular lımh→0

1

h

∫ 7π4+6h

7π4−2h

sen t dt


1

h

[∫ x

0sec2 t dt+

∫ 0

x+htan2 t dt− x

]

72) Si f(x) es continua en [0, 2], calcular lımh→0

1

h

∫ 1

1+h

1f(x) dx


1

h

[∫ π/4

π/4−h

π/4π/4+h

√tan t dt+

∫ −8h

6hsec t2 dt

]

3

INTEGRALES IMPROPIAS

65

4

APLICACIONES DE LA

INTEGRAL DEFINIDA

Hasta ahora “unicamente” hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la uti-

lidad que estas pueden tener. Sin embargo, la integral definida es un metodo rapido para

calcular areas, volumenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que em-

pleaban los griegos. En fısica, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo,

la electricidad.

Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el calculo integral.

4.1. Area de una region plana

4.1.1. Area de una region plana en coordenadas cartesianas

Tal como hemos visto antes, la integral definida es una generalizacion del proceso del

calculo de areas. Ahora bien, el area de una region o recinto es siempre positiva, mientras que

la integral puede ser positiva, negativa o nula. Por tanto, en la aplicacion de la integral al

calculo de areas, debe tenerse en cuenta el signo de cada uno de los recintos limitados por el

eje OX, y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el area.


CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funcion continua y f(x) ≥ 0, para todo x ∈ I,

el area de la region Ω limitada por la grafica de y = f(x), el eje X, las rectas x = a y

x = b esta dado por:

67


X

Y

Ω

y = f(x)

a 0 b

A(Ω) =

∫ b

af(x)dx u2 (4.1)

CASO II: Sea g : I −→ R, I = [c, d], una funcion continua y g(y) ≥ 0, para todo y ∈ I, el

area de la region Ω limitada por la grafica de x = g(y), el eje Y , las rectas y = c y y = d

esta dado por:

X

Y

Ω

x = g(y)

c0

d

A(Ω) =

∫ d

cg(y)dy u2 (4.2)

CASO III: Si f y g son dos funciones contınuas en I = [a, b] y g(x) ≤ f(x), para todo

x ∈ I, el area de la region Ω limitada por las rectas x = a ∧ x = b y las graficas de

f y g, esta dada por:


X

Y

Ω

y = f(x)

y = g(x)

a 0 b

A(Ω) =

∫ b

a[f(x)− g(x)]dx u2 (4.3)

CASO VI: Si f y g son dos funciones contınuas en I = [c, d] y g(y) ≤ f(y), para todo

y ∈ I, el area de la region Ω limitada por las rectas y = c ∧ y = d y las graficas de

f y g, esta dada por:

X

Y

Ω

x = g(y)x = f(y)

c0

d

A(Ω) =

∫ d

c[f(y)− g(y)]dy u2 (4.4)

4.1.2. Area de una region plana en coordenadas polares y ecuaciones pa-

rametricas

Vamos a considerar el problema de hallar el area de una region plana encerrada por la

grafica de una ecuacion polar y por dos rayos que parten desde el origen. Vamos a utilizar

para ello sumas de Riemann para aproximar el valor exacto del area, sin embargo, esta vez,

en lugar de considerar rectangulos emplearemos sectores circulares.

Recordemos que en un cırculo de radio r un sector circular de angulo central θ (medido en

radianes) tiene un area de A =1

2r2θ


rθ

Dada una ecuacion polar r = f(θ) donde f denota una funcion continua y positiva definida

sobre α ≤ θ ≤ β y la region R de area A encerrada por la grafica de la ecuacion r = f(θ) y

por los rayos θ = α y θ = β con α < β que parten desde el origen.

Consideramos una particion P = α = θ0 < θ1 < . . . < θn = β la que determina n

subintervalos [θk−1, θk] para k = 1, 2, . . . , n. En cada uno de esos intervalos seleccionamos

un angulo θ∗k arbitrario entonces el area encerrada por la grafica entre los rayos θ = θk−1 y

θ = θk es aproximadamente igual a1

2[f(θ∗k)]

2∆θk; de esta forma el area total encerrada es

aproximadamente A ≈n∑

k=0

1

2[f(θ∗k)]

2∆θk. Si f es continua entonces

A = lım‖P‖→0

n∑

k=0

1

2[f(θ∗k)]

2∆θk =

∫ β

α

1

2[f(θ)]2dθ

CASO I: Sea f : [α, β] −→ R una funcion continua. El area de la region Ω limitada por la

grafica de la curva r = f(θ) y las rectas θ = α y θ = β esta dado por

A(Ω) =

∫ β

α

1

2f2(θ)dθ u2

Ω

r = f(θ)

αβ

A(Ω) =

∫ β

α

1

2f2(θ)dθ u2 (4.5)


CASO II: Sean f, g : [α, β] −→ R funciones continuas. El area de la region Ω limitada por

las graficas de las curvas r = f(θ) y r = g(θ) y por las rectas θ = α y θ = β donde α < β

y g(θ) ≤ f(θ) esta dado por

A(Ω) =

∫ β

α

1

2[f2(θ)− g2(θ)]dθ u2

Ω

r = f(θ)

r = g(θ)

αβ

A(Ω) =

∫ β

α

1

2[f2(θ)− g2(θ)]dθ u2 (4.6)

Nota 4.1.1. α y β son los angulos que se forman con el eje positivo de las abcisas.

4.2. Volumen de un solido

Al introducir la integracion, vimos que el area es solamente una de las muchas aplicaciones

de la integral definida. Otra aplicacion importante la tenemos en su uso para calcular el

volumen de un solido tridimensional.

Si una region de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una

region tridimensional llamada solido de revolucion generado por la region plana alrededor de

lo que se conoce como eje de revolucion. Este tipo de solidos suele aparecer frecuentemente en

ingenierıa y en procesos de produccion. Son ejemplos de solidos de revolucion: ejes, embudos,

pilares, botellas y embolos.

Existen distintas formulas para el volumen de revolucion, segun se tome un eje de giro

paralelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que

no son de revolucion.

4.2.1. Volumen de un solido usando secciones transversales

Una seccion de un solido S es la region plana que se obtiene cortando el solido S con un

plano.


Y

Z

X

a 0 bx0

Queremos calcular el volumen de un solido como el de esta figura. Para ello, suponemos

que conocemos el area de cada una de las secciones paralelas que producimos en el solido S.

Denotaremos por A(x) al area de la seccion correspondiente al punto x0 y consideramos una

particion del intervalo [a, b], P = a = x0, x1, . . . , xn = b. Cortamos el solido S en rodajas

por planos paralelos Pk perpendiculares al eje X en los puntos xk−1 y xk de la particion.

Aproximaremos la rodaja entre los planos correspondientes a los puntos xk−1 y xk por un

cilindro con area de la base A(xk). El volumen de la rodaja sera aproximadamente igual al

volumen del cilindro que es Vk = A(xk)(xk − xk−1). Entonces tenemos que

Volumen de la k− esima rodaja ≈ A(xk)(xk − xk−1)

El volumen V del solido S se puede aproximar por la suma de los volumenes de los cilindros

y obtenemos entonces la aproximacion

V ≈n∑

k=1

Vk =

n∑

k=1

A(xk)(xk − xk−1)

Esta aproximacion es una suma de Riemann de la funcion A : x ∈ [a, b] −→ A(x) ∈ R que

determina el area de cada una de las secciones perpendiculares. Puesto que la aproximacion

del volumen mejorara cuando la norma de la particion que elegimos tienda a cero, definimos

el volumen del solido S como la integral de la funcion A en el intervalo [a, b].

Definicion 4.2.1. El volumen de un solido S con secciones paralelas de area conocida, dada

por la funcion continua A : x ∈ [a, b] −→ A(x) ∈ R, esta dado por:

V (S) =

∫ b

aA(x)dx u3 (4.7)


4.2.2. Volumen de un solido de revolucion en coordenadas cartesianas

Al introducir la integracion, vimos que el area es solamente una de las muchas aplicaciones

de la integral definida. Otra aplicacion importante la tenemos en su uso para calcular el

volumen de un solido tridimensional.

El volumen de un objeto desempena un papel importante en muchos problemas de las

ciencias fısicas, como las de determinar centros de masa y momentos de inercia.

Determinar el volumen de un objeto que tiene forma regular es relativamente sencillo,

pero, ¿Como determinar el volumen de objetos que tienen forma irregular?

Definicion 4.2.2. Un solido de revolucion es un solido que se obtiene mediante una operacion

geometrica de rotacion de una superficie plana alrededor de una recta fija contenida en el

mismo plano de la superficie. Esta recta recibe el nombre de eje de revolucion o eje de giro.

Este tipo de solidos suele aparecer frecuentemente en ingenierıa y en procesos de pro-

duccion. Son ejemplos de solidos de revolucion: ejes, embudos, pilares, botellas, cilindros y

embolos.

Por ejemplo: el cono es un solido que resulta al girar un triangulo recto alrededor de uno

de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectangulo alrededor de uno de sus lados.

Para determinar el volumen de este tipo de solidos, seguiremos un procedimiento similar

al utilizado para el area de una region, aproximando el “volumen” de un solido de revolucion

por medio de una suma de volumenes de solidos mas elementales, en los que el volumen ya ha

sido definido.

Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los solidos elementales, suponiendo

que el volumen de un disco circular es, por definicion, el producto del area A de la base por

el espesor d (o altura).

Existen distintas formulas para el volumen de revolucion, segun se tome un eje de giro

paralelo al eje OX o al eje OY .

Metodo del disco o anillo

Este metodo nos proporciona una alternativa de calcular volumenes de solidos de revolu-

cion. En ciertos casos el metodo es mas viable ya que el de las secciones transversales puede

resultar a veces difıcil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto.


CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funcion continua, el volumen del solido de


revolucion S que se obtiene por la rotacion en torno al eje X de la region plana Ω

limitada por la grafica de y = f(x), el eje X y las rectas x = a ∧ x = b esta dado por:

X

Y

Ω

y = f(x)

a 0 b

V (S) = π

∫ b

a[f(x)]2dx u3 (4.8)

CASO II: Sea g : I −→ R, I = [c, d], una funcion continua, el volumen del solido de

revolucion S que se obtiene por la rotacion en torno al eje Y de la region plana Ω limitada

por la grafica de x = g(y), el eje Y y las rectas y = c ∧ y = d esta dado por:

X

Y

Ω

x = g(y)

c0

d

V (S) = π

∫ d

c[g(y)]2dy u3 (4.9)

El metodo de los anillos es similar al metodo de los discos, pero en este caso se utilizan

dos discos. El disco mas pequeno es vacıo por la tanto se le da el nombre de arandela

por formar una especie de solido hueco. En terminos generales este metodo se utiliza

cuando el eje de rotacion se encuentra a una distancia de la funcion que forma el solido.

CASO III: Sean f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas cuyas graficas se

encuentran a un mismo lado del eje X, ademas |g(x)| ≤ |f(x)|, para todo x ∈ I. El


volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en torno al eje X de la

region plana Ω limitada por la grafica de y = f(x), y = g(x) y las rectas x = a ∧ x = b

esta dado por: V (S) = π

∫ b

a(R2 − r2)dx u3

X

Y

Ω

y = f(x)

y = g(x)

a 0 b

V (S) = π

∫ b

a

(

[f(x)]2 − [g(x)]2)

dx u3 (4.10)

CASO VI: Sean f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas cuyas graficas se

encuentran a un mismo lado del eje Y , ademas |g(y)| ≤ |f(y)|, para todo y ∈ I. El

volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en torno al eje Y de la

region plana Ω limitada por la grafica de x = f(y), x = g(y) y las rectas y = c ∧ y = d

esta dado por: V (S) = π

∫ d

c(R2 − r2)dy u3

X

Y

Ω

x = g(y)x = f(y)

c0

d

V (S) = π

∫ d

c

(

[f(y)]2 − [g(y)]2)

dy u3 (4.11)

CASO V: Sean f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas cuyas graficas se

encuentran a un mismo lado de la recta y = k, ademas |g(x)−k| ≤ |f(x)−k|, para todo


x ∈ I. El volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en torno a

la recta y = k de la region plana Ω limitada por la grafica de y = f(x), y = g(x) y las

rectas x = a ∧ x = b esta dado por: V (S) = π

∫ b

a(R2 − r2)dx u3

X

Y

Ω

y = f(x)

y = g(x)

a 0 b

y = kk

V (S) = π

∫ b

a

(

[f(x)− k]2 − [g(x)− k]2)

dx u3 (4.12)

CASO VI: Sean f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas cuyas graficas se

encuentran a un mismo lado de la recta x = k, ademas |g(y)−k| ≤ |f(y)−k|, para todo

y ∈ I. El volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en torno a

la recta x = k de la region plana Ω limitada por la grafica de x = f(y), x = g(y) y las

rectas y = c ∧ y = d esta dado por: V (S) = π

∫ d

c(R2 − r2)dy u3

X

Y

Ω

x = g(y)x = f(y)

c0

d

k

x=

k

V (S) = π

∫ d

c

(

[f(y)− k]2 − [g(y)− k]2)

dy u3 (4.13)


Metodo de las cortezas cilındricas

Este metodo nos proporciona otra alternativa de calcular volumenes de solidos de revolu-

cion.

A primera vista puede parecer que el hacer repetidas secciones transversales horizontales

del solido sea el metodo mas adecuado para este calculo “tajarlo por decirlo ası” y en integrar

luego los volumenes de todos los trozos. Sin embargo, se presentan varias dificultades. La

primera esta en que las secciones transversales son, en unas zonas del solido, discos completos

y, en otras, arandelas, es decir, discos con hueco. Esto conduce a tener que dividir la region

de integracion en varias subregiones, lo que resulta algo engorroso. Pero por otra parte, para

plantear la integral es necesario expresar tanto el radio de los discos como el radio interior y

exterior de las arandelas en funcion de la variable y, lo que no es facil de lograr en este caso.

En cambio, el metodo de los casquetes cilındricos funciona muy bien en esta situacion.

Basicamente consiste en dividir el solido de revolucion en una serie de casquetes cilındricos

que se incrustan unos dentro de otros y en integrar luego los volumenes de estos casquetes

para obtener el volumen total. A este metodo se le conoce tambien como el metodo de las

“capas”, las “envolturas”, las “envolventes” o los “cascarones cilındricos”.

CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], a ≥ 0, una funcion continua y no negativa. El

volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en torno al eje Y de la

region plana Ω limitada por la grafica de y = f(x), el eje X y las rectas x = a ∧ x = b

esta dado por:

X

Y

Ω

y = f(x)

a0 b

V (S) = 2π

∫ b

axf(x)dx u3 (4.14)

CASO II: Sea g : I −→ R, I = [c, d], c ≥ 0, una funcion continua y no negativa. El

volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en torno al eje X de


la region plana Ω limitada por la grafica de x = g(y), el eje Y y las rectas y = c ∧ y = d

esta dado por:

X

Y

Ω

x = g(y)

c

0

d

V (S) = 2π

∫ d

cyg(y)dy u3 (4.15)

CASO III: Sea f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas tales que g(x) ≤ f(x),

para todo x ∈ I. El volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en

torno al eje Y , a ≥ 0, de la region plana Ω limitada por la grafica de y = f(x), y = g(x)

y las rectas x = a ∧ x = b esta dado por:

X

Y

Ω

y = f(x)

y = g(x)

a0 b

V (S) = 2π

∫ b

ax[f(x)− g(x)]dx u3 (4.16)

CASO IV: Sea f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas tales que g(y) ≤ f(y),

para todo y ∈ I. El volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en

torno al eje X, c ≥ 0, de la region plana Ω limitada por la grafica de x = f(y), x = g(y)

y las rectas y = c ∧ y = d esta dado por:


X

Y

Ω

x = g(y)x = f(y)

c

0

d

V (S) = 2π

∫ d

cy[f(y)− g(y)]dy u3 (4.17)

CASO V: Sea f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas tales que g(x) ≤ f(x),


torno a la recta x = k, k ≤ a, de la region plana Ω limitada por la grafica de y = f(x),

y = g(x) y las rectas x = a ∧ x = b esta dado por:

X

Y

Ω

y = f(x)

y = g(x)

a 0 bk

x=

k

V (S) = 2π

∫ b

a(x− k)[f(x)− g(x)]dx u3 (4.18)

CASO VI: Sea f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas tales que g(x) ≤ f(x),


torno a la recta x = k, b ≤ k, de la region plana Ω limitada por la grafica de y = f(x),

y = g(x) y las rectas x = a ∧ x = b esta dado por:


X

Y

Ωy = f(x)

y = g(x)

a 0 b k

x=

k

V (S) = 2π

∫ b

a(k − x)[f(x)− g(x)]dx u3 (4.19)

CASO VII: Sea f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas tales que g(y) ≤ f(y),


torno a la recta y = k, k ≤ c, de la region plana Ω limitada por la grafica de x = f(y),

x = g(y) y las rectas y = c ∧ y = d esta dado por:

X

Y

Ω

x = g(y)x = f(y)

c0

d

k y = k

V (S) = 2π

∫ d

c(y − k)[f(y)− g(y)]dy u3 (4.20)

CASO VIII: Sea f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas tales que g(y) ≤ f(y),


torno a la recta y = k, d ≤ k, de la region plana Ω limitada por la grafica de x = f(y),

x = g(y) y las rectas y = c ∧ y = d esta dado por:


X

Y

Ω

x = g(y)x = f(y)c

0

d

k y = k

V (S) = 2π

∫ d

c(k − y)[f(y)− g(y)]dy u3 (4.21)

4.2.3. Volumen de un solido en coordenadas polares y ecuaciones parametri-

cas

Sea f : [α, β] −→ R una funcion continua. El volumen del solido de revolucion S que se

obtiene por la rotacion en torno al eje polar, de la region plana Ω limitada por la grafica de

r = f(θ) y las rectas θ = α y θ = β esta dado por:

Ω

r = f(θ)

αβ

V (S) =2π

3

∫ β

αf3(θ) sen θ dθ u3 (4.22)


4.3. Longitud de arco

4.3.1. Longitud de arco en coordenadas cartesianas

CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funcion definida por y = f(x) y con derivada

continua. La longitud de arco de f desde x = a hasta x = b esta dado por:

L =

∫ b

a

√

1 + [f ′(x)]2dx =

∫ b

a

√

1 +

[dy

dx

]2

dx u (4.23)

CASO II: Sea g : I −→ R, I = [c, d], una funcion definida por x = g(y) y con derivada

continua. La longitud de arco de g desde y = c hasta y = d esta dado por:

L =

∫ d

c

√

1 + [g′(y)]2dy =

∫ b

a

√

1 +

[dx

dy

]2

dy u (4.24)

4.3.2. Longitud de arco en coordenadas polares y ecuaciones parametricas

Sea f : [α, β] −→ R una funcion con derivada continua. La longitud de arco de la curva

r = f(θ) desde θ = α hasta θ = β esta dada por:

L =

∫ β

α

√

[f(θ)]2 + [f ′(θ)]2dθ u (4.25)

4.4. Area de una superficie de revolucion

4.4.1. Area de una superficie de revolucion en coordenadas cartesianas

CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funcion definida por y = f(x) y con derivada

continua. Haciendo girar la grafica de f desde x = a hasta x = b, alrededor del eje X,

se obtiene una superficie de revolucion, cuya area de superficie esta dado por:

A(S) = 2π

∫ b

af(x)

√

1 + [f ′(x)]2dx u2 (4.26)

CASO II: Sea f : I −→ R, I = [c, d], una funcion definida por x = g(y) y con derivada

continua. Haciendo girar la grafica de g desde y = c hasta y = d, alrededor del eje Y , se

obtiene una superficie de revolucion, cuya area de superficie esta dado por:

A(S) = 2π

∫ d

cg(y)

√

1 + [g′(y)]2dy u2 (4.27)


CASO III: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funcion definida por y = f(x) y con derivada

continua tal que su grafica esta a un mismo lado de la recta y = k. Haciendo girar

la grafica de f desde x = a hasta x = b, alrededor de la recta y = k, se obtiene una

superficie de revolucion, cuya area de superficie esta dado por:

A(S) = 2π

∫ b

a|f(x)− k|

√

1 + [f ′(x)]2dx u2 (4.28)

CASO IV: Sea g : I −→ R, I = [c, d], una funcion definida por x = g(y) y con derivada

continua tal que su grafica esta a un mismo lado de la recta x = k. Haciendo girar

la grafica de g desde y = c hasta y = d, alrededor de la recta x = k, se obtiene una

superficie de revolucion, cuya area de superficie esta dado por:

A(S) = 2π

∫ d

c|g(y) − k|

√

1 + [g′(y)]2dy u2 (4.29)

4.4.2. Area de una superficie de revolucion en coordenadas polares y ecua-

ciones parametricas

Sea C una curva suave definida parametricamente por C :

x = x(t)

y = y(t), y C no se intersecta

a sı misma en el intervalo [α, β], donde las funciones x = x(t) y y = y(t) son funciones con

derivada continua en [α, β]. Haciendo girar la grafica de la curva C desde α hasta β, alrededor

del eje X, se obtiene una superficie de revolucion, cuya area de superficie esta dado por:

A(S) = 2π

∫ β

αy(t)

√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2dt u2 (4.30)

4.5. Centro de gravedad


EJERCICIOS RESUELTOS 2.

I. Area de una region plana:

En cada uno de los siguientes ejercicios, graficar la region Ω y hallar su area. Ω esta li-

mitada por las graficas de:

1. y = cos x, x = −π/6, x = π/2, y = 0

Solucion

La grafica de la region Ω se muestra en la figura

X

Y

Ω

y = cosx1

−1

−π6 0 π

2

A(Ω) =

∫ π/2

−π/6cos x dx = senx

∣∣∣∣

π/2

−π/6

=

(

1 +1

2

)

u2

∴ A(Ω) =3

2u2

2. y = x2 + 2x− 3, x = −2, x = 0, y = 0

Solucion

La grafica de la region Ω se muestra en la figura 4.1

A(Ω) =

∫ 0

−2−(x2 + 2x− 3) dx = −

(x3

3+ x2 − 3x

)∣∣∣∣

0

−2

=

(

− 8

3+ 4 + 6

)

u2

∴ A(Ω) =22

3u2

3. y = 9− x2, y = x2 + 1

Solucion

Hallamos los puntos de interseccion de y = 9− x2 y y = x2 + 1, para ello,

9− x2 = x2 + 1 de donde x = ±2.

La grafica de la region se muestra en la figura 4.2

A(Ω) =

∫ 2

−2

[

(9− x2)− (x2 + 1)

]

dx = −(

8x− 2

3x3)∣∣∣∣

2

−2


–4

–3

–2

–1

0

1

2

–3 –2 –1 1x

Figura 4.1:

0

2

4

6

8

10

–3 –2 –1 1 2 3x

Figura 4.2:

∴ A(Ω) =64

3u2

4. y =x2 − x

1 + x2y = 0, x = −1, x = 2

Solucion

Para graficar la funcion y =x2 − x

1 + x2haremos uso de las aplicaciones de la derivada.

Para ello hacemos y′ = 0 de donde x = −1±√2 son los puntos crıticos.

−1−√2 −1 +

√2

+ − +

Se puede observar que en:

〈−∞, −1−√2 〉 la funcion es creciente

〈−1−√2, −1 +

√2 〉 la funcion es decreciente

〈−1 +√2, ∞〉 la funcion es creciente

La funcion alcanza su punto maximo en −1−√2 y f(−1−

√2) = −0,2071

es el punto maximo.


La funcion alcanza su punto mınimo en −1 +√2 y f(−1 +

√2) = 0,2071 es

el punto mınimo.

ahora hallamos los puntos de interseccion de y =x2 − x

1 + x2con el eje X

para ello hacemos y = 0 ⇒ x = 0 ∧ x = 1. La grafica de la region Ω se

muestra en la figura 4.3

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–1 1 2x

Figura 4.3:

A(Ω) =

∫ 0

−1

x2 − x

x2 + 1dx+

∫ 1

0−x2 − x

x2 + 1dx+

∫ 2

1

x2 − x

x2 + 1dx

A(Ω) =

[

x− arctan x− 1

2ln(x2 + 1)

]0

−1

−[

x− arctan x− 1

2ln(x2 + 1)

]1

0

+

[

x− arctan x− 1

2ln(x2 + 1)

]2

1

A(Ω) =

(

1− π

4+

1

2ln 2− 1 +

π

4+

1

2ln 2 + 2− arctan 2− 1

2ln 5− 1 +

π

4+

1

2ln 2

)

∴ A(Ω) =

(

1 +π

4− arctan 2 +

1

2ln

8

5

)

u2



I. Area de una region plana

Area de una region plana en coordenadas cartesianas:

En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el area de la region Ω limitada por las

graficas de:

1) Ω : y = x, y = 2x, x = −4, x = 4 Rpta.

2) Ω : y − 3x = 0, x− 3y = 0, x+ y = 4 Rpta. 4 u2

3) Ω : y = 2x, y = x2

4) Ω : y = x, y2 = 4x

5) Ω : y = 9− x2, y = 0

6) Ω : y = 4x− x2, y = 0

7) Ω : y = x2, y = 16 − x2

8) Ω : y = x2 − 9, y = 9− x2

9) Ω : y = x2 + 2x− 3, y = x− 1 Rpta. 9/2 u2

10) Ω : y = x2, y = 2x2, y = 1− x2

11) Ω : y = x2 − 2, y = |x| Rpta. 20/3 u2

12) Ω : y = x3, y = x2

13) Ω : y = x3 − 2x, y = 6x− x3

14) Ω : y2 = 2x, x2 + y2 − 4y = 0

15) Ω : y = x2 + 2x− 3, x = −2, x = 0, y = 0

16) Ω : y = 3x− x2, y = x2 − x Rpta. 8/3 u2

17) Ω : y = 2x− x2, y = x2 − 4x Rpta. 9 u2

18) Ω : x = y2 − 6, y = −x Rpta. 125/6 u2

19) Ω : y3 = x, y = 1, x = 8

20) Ω : y = x3, y = 8, x = 0

21) Ω : x = y2, x− y = 2 Rpta. 9/2 u2

22) Ω : y = (x− 1)3, x = 3, x = 8, y = 0

23) Ω : y = 6 + 2x− x2

4, y =

5

2x− 14


24) Ω : 4y = (x− 4)2, 4y = (x+ 4)2, 4y = −(x− 4)2, 4y = −(4 + x)2

25) Ω : x = y2, y = x3, x+ y = 2

26) Ω : y = x2, y = 8− x2, y = 4x+ 12

27) Ω : y2 + 8x = 16, y2 − 24x = 48

28) Ω : b2x2 + a2y2 = a2b2

29) Ω : y = x3 − 3x2 − x+ 3, y = 0 Rpta. 8 u2

30) Ω : y = x3 − 3x2 + 2x+ 2, y = 2x2 − 4x+ 2

31) Ω : y = 4− |x|, x = −4, x = 4, y = 0

32) Ω : y = 2− |x|, y = x2

33) Ω : y = |x|, y = 2− x2

34) Ω : y = |x− 1|, y = x2 − 2x, x = 0, x = 2

35) Ω : y =x2 − x

1 + x2, y = 0, x = −1, x = 2 Rpta. 2 ln 5 u2

36) Ω : y = ex, y = e−x, x = 1

37) Ω : y = ex, y = e−x, y = 0

38) Ω : y = 4− ln(x+ 1), y = ln(x+ 1), x = 0

39) Ω : y = cos x, x =−π

6, x =

π

2, y = 0

40) Ω : y = senx, x =−π

2, x =

−π

3, y = 0

41) Ω : y = senx, x =−π

3, x =

π

2, y = 0 Rpta. 3/2 u2

42) Ω : y = senx, y = cos x, x =−3π

4, x =

5π

4

43) Ω : y =2

3cos x, y = tan x, x = 0

44) Ω : y = |x+ 2| − |x− 2|, y = x Rpta. 8 u2

45) Ω : y = |x+ 2|+ |x− 2|, y = 10− |x|

46) Ω : y = |x+ 2|+ |x− 2|, y = −|x+ 2| − |x− 2|, x = −5, x = 5

47) Ω : y = | senx|, y = −x, y = −π + x

48) Ω : y =4

x2 + 2, y = |x|

49) Ω : y = arcsenx, y = arc cos x, x = 1

50) Ω : y = arc cos3x

2, y = arctan x, y = 0

51) Ω : x2/3 + y2/3 = a2/3


52) Ω : y =64

x2 + 16y su asıntota

53) Ω : y =2|x|

1 + x4, y =

−2|x|1 + x4

54) Ω : y = 6 + 2x− x2

4; y =

5

2x− 14, x ≤ 6

13− 2x, x > 6

55) Ω es la region de mayor area encerrada por las curvas x2 − 2y3 = 0, x2 − 8y = 0,

y = 3

56) Ω es la region de menor area encerrada por las curvas x2 + y2 = 20, y2 = 2x3

57) Ω es la region de mayor area encerrada por las graficas de 5x2 − 4y = 0 y la elipse

cuyos focos son los puntos (0 , ±6) y cuya longitud de su eje menor es 6.

Area de una region plana en coordenadas polares y ecuaciones parametricas:

En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el area de la region Ω limitada por las

graficas de:

1) Ω : r = 1 + cos θ Rpta. π u2

2) Ω : r = 4 sen 3θ Rpta. 4π u2

3) Ω : r = 2− 4 cos θ Rpta. 4π − 7√3 u2

4) Ω : Region interior a r = 3 + cos 4θ y r = 2− cos 4θ Rpta. 37π/6 u2

II. Volumen de un solido

Volumen de un solido usando secciones transversales:

Volumen de un solido de revolucion en coordenadas cartesianas:

En cada uno de los siguientes ejercicios, calcular el volumen del solido generado por la

rotacion de la region Ω alrededor de la recta L, donde:

1) A Rpta. A

2) L : y = 0; Ω : y =64

x2 + 16y su asıntota

3) L : y = 0; Ω : y =2|x|

1 + x4, y =

−2|x|1 + x4

Volumen de un solido en coordenadas polares y ecuaciones parametricas:

III. Longitud de arco

Longitud de arco en coordenadas cartesianas:


En cada uno de los siguientes ejercicios, calcular la longitud de arco de la curva C descrita

por:

1) C : y =2

3x3/2 + 1, x = [0, 1] Rpta. A

2) C : y =x4

8+

1

4x2, x = [1, 2] Rpta. A

3) C : y =x5

10+

1

6x3, x = [1, 2] Rpta. A

4) C : y =1

2(ex + e−x), x = [0, 2] Rpta. A

Longitud de arco en coordenadas polares y ecuaciones parametricas:

IV. Area de una superficie de revolucion

Area de una superficie de revolucion en coordenadas cartesianas:

En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el area de la superficie de revolucion que

se obtiene al girar alrededor de la recta L, la curva C descrita por:

a) L : y = 0; C : y =x3

9, x ∈ [0, 2]

Area de una superficie de revolucion en coordenadas polares y ecuaciones

parametricas:

V. Centro de gravedad

Bibliografıa

[1] Apostol, Tom. Calculus, volume 1 y 2. Reverte. Barcelona, 1975.

[2] Ayres, Frank. Calculo diferencial e integral. McGraw-Hill. Espana, 1991.

[3] Edwards y Penney. Calculo, con geometrıa analıtica. Prentice Hall, Pearson Educacion.Mexico, 4° edition, 2001.

[4] Larson, Roland. Hostetler, Robert. Edwards, Bruce. Calculo y Geometrıa Analıtica. McGraw Hill, Madrid, octava edition, 2002.

[5] Leithold, Louis. El calculo con geometrıa analıtica. Harla. Mexico, 1982.

[6] Pita Ruiz, Claudio. Calculo Vectorial. Prentice Hall, 1995.

[7] Purcell, Varberg y Rigdon. Calculo. Prentice Hall, Pearson Educacion. Mexico, 8° edition,2001.

[8] Simmons, George F. Calculo con geometrıa analıtica. MacGraw Hill. Espana, 2° edition,2002.

[9] Spivak, Michael. Calculo Infinitesimal, volume 1 y 2. Reverte. Barcelona, 1970.

[10] Stewart, James. Calculo de una variable. Transcendentes tempranas. Thomson, 4° edition,2001.

[11] Thomas, George; Finney, Ross L. Calculo con geometrıa analıtica, volume 1 y 2. AddisonWesley, 9° edition, 1999.

91

Indice alfabetico

antiderivada, 3

centro de gravedad, 83

integracionpor partes, 8por sustitucion, 7

integralde Riemann, 56inferior, 56superior, 56

longitud de arco, 82

particion regular, 52primitiva, 3

solido de revolucion, 73suma

inferior, 55superior, 55

superficie de revolucion, 82

93

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