CALCULO III

DOCENTE :

LIC.

NOBEL LEYVA GONZALES.

HUANCAYO- PERU

2011PRESENTACIN

El curso de calculo III se desarrolla en todas las carreras profesionales de Ingeniera y matemtica, comprende los tema de funciones vectoriales y funciones de varias variables. La funciones indicadas lneas arriba son objetos que corresponde a formulas, relaciones de cantidades conocidas y desconocidas.

En esta asignatura solo se desarrollar la aplicacin de limites, derivadas e integrales a las funciones; con la salvedad que en cada definicin del tipo de funciones las derivadas e integrales se le va designando nombres caractersticos. Adems, integrales de lnea y superficie. Se ha elaborado los conjuntos de ejercicios para las clases, las que algunos ejercicios propuestos se van a resolver en la misma accin del proceso enseanza aprendizaje; mientras que otros deben servir como modelo para las evaluaciones que se administren en su momento correspondiente.

Algunos de los ejercicios propuestos han sido encontrados en internet, pasado por un filtro de calidad y resueltos.

El autor

CAPITULO I

RECTAS PLANOS EN EL ESPACIO Y SUPERFICIES CUADRTICAS

Graficar rectas y planos en el espacio. Identifica las diferentes superficies y Graficarlas a partir de su forma cuadrtica. Ilustrar las diferencias entre Coordenadas cilndricas y esfricas.

PRACTICA 01

PRACTICA 0201 Halle las coordenadas de los tres puntos que dividen al segmento AB en cuatro partes iguales.

a) A(3, 4, (1) y B(7, (2, 5).

b) A(1, (6, 0) y B(6, 12, 7).

02 Uno de los extremos de un segmento de recta es P1(4, 6, (3) y el punto medio es Q(2, 1, 6). Encuentre el otro extremo.

03 Uno de los extremos de un segmento de recta es P1((2, 1, 6) y el punto medio Q est en el plano y = 3. El otro extremo P2 est en la interseccin de los planos de ecuaciones x = 4 y z = (6. Encuentre las coordenadas de P2 y de Q.

04 Determine si los tres puntos dados en cada caso son colineales.

a) A(1, (1, 2), B((1, (4, 3) y C(3, 2, 1).

b) A(2, 3, 1), B(4, 6, 5) y C((2, (2, (7).

c) A(1, (1, 2), B(3, 3, 4) y C((2, (6, (1)

05 Describa el conjunto de puntos del espacio definido en cada caso:

a) {(x, y, z): x = 2; y = (4}

b) {(x, y, z): (2 ( y ( 5}

c) {(x, y, z): x ( 0; y ( 0; z ( 0}

d) {(x, y, z): x2 + y2 + z2 < 1}

06 Demuestre que las coordenadas de un punto Q(x0, y0, z0) que divide al segmento de recta con extremos P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2) en una razn de p es a q, estn dadas por las frmulas:

x0 = , y0 = , z0 =

07 Obtenga la ecuacin de la grfica de todos los puntos del espacio que son equidistantes de los puntos de coordenadas (2, (1, 3) y C(3, 1, (1). Podra usted describir esta grfica?

08 Obtenga la ecuacin de la grfica de todos los puntos del espacio tales que la suma de sus distancias a (1, 0, 0) y C((1, 0, 0) es siempre igual a 4. Describa la grfica.

09 Los puntos A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(,, ) y D(0, 1, 0) son los vrtices de una figura de cuatro lados. Demuestre que los cuatro lados miden 1, pero que no se trata de un rombo.

010 Encuentre un conjunto de nmeros directores y un conjunto de cosenos directores para cada recta que pasa por los puntos A y B dados.

a) A(2, 1, 4) y B(3, 5, (2).b) A((2, 1, (4) y B(0, (5, (7).

c) A(4, 2, (3) y B(1, 0, 5).d) A(6, 7, (2) y B(8, (5, 1).

011 En cada caso, se da un punto P1 y un conjunto de nmeros directores. Obtenga las coordenadas de otro punto de la recta L que determina cada punto P1 y los nmeros directores que le acompaan.

a) P1(4, 6, (3) y los nmeros directores 2, 1 y 4.

b) P1(0, 4, (3) y los nmeros directores 0, 0 y 5.

c) P1(3, 5, (1) y los nmeros directores 2, 0 y 4.

d) P1(1, 2, 0) y los nmeros directores 4, 0 y 0.

012 En cada caso, determine si la recta que pasa por los puntos P1 y P2 es paralela a la recta que pasa por los puntos Q1 y Q2.

a) P1(4, 8, 0) y P2(1, 2, 3); Q1(0, 5, 0) y Q2((3, (1, 3).

b) P1(2, 1, 1) y P2(3, 2, (1); Q1(0, 1, 4) y Q2(2, 3, 0).

c) P1(3, 1, 4) y P2((3, 2, 5); Q1(4, 6, 1) y Q2(0, 5, 8).

013 En cada caso, determine si la recta que pasa por los puntos P1 y P2 es perpendicular a la recta que pasa por los puntos Q1 y Q2.

a) P1(2, 1, 3) y P2(4, 0, 5); Q1(3, 1, 2) y Q2(2, 1, 6).

b) P1(2, (1, 0) y P2(3, 1, 2); Q1(2, 1, 4) y Q2(4, 0, 4).

c) P1(0, (4, 2) y P2(5, (1, 0); Q1(3, 0, 2) y Q2(2, 1, 1).

014 En cada caso, obtenga cos(, donde ( es el ngulo entre la recta L1 que pasa por los puntos P1 y P2 y la recta L2 que pasa por los puntos Q1 y Q2.

a) P1(2, 1, 4) y P2((1, 4, 1); Q1(0, 5, 1) y Q2(3, (1, (2).

b) P1(4, 0, 5) y P2((1, (3, (2); Q1(2, 1, 4) y Q2(2, (5, 1).

c) P1(0, 0, 5) y P2(4, (2, 0); Q1(0, 0, 6) y Q2(3, (2, 1).

015 Un tetraedro regular es una figura con cuatro caras que son tringulos equilteros. Proponga cuatro puntos del espacio que sean vrtices de un tetraedro regular con aristas de 2 unidades.

016 Dado el conjunto S = {(x, y, z): x2 + y2 + z2 = 1}, halle los puntos de S(L, donde L es la recta que pasa por el origen y con nmeros directores 2, 1 y 3.

017 Determine el centro y el radio de la esfera cuya ecuacin es:

a)

b)

018 Obtenga las ecuaciones para cada recta que pasa por los puntos A y B dados.

a) A(1, 3, 2) y B(2, (1, 4).

b) A(4, (2, 0) y B(3, 2, (1).

c) A(1, 0, 5) y B((2, 0, 1).

d) A(5, 5, (2) y B(6, 4, (4).

019 En cada caso, halle las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P1 dado y con los nmeros directores que le acompaan.

a) P1(1, 0, (1) y los nmeros directores 2, 1 y (3.

b) P1((2, 1, 3) y los nmeros directores 3, (1 y (2.

c) P1(4, 0, 0) y los nmeros directores 2, (1 y (3.

d) P1(3,(1, (2) y los nmeros directores 2, 0 y 0.

020 En cada caso, decida si las rectas L1 y L2 son perpendiculares.

a) L1: ;L1: .

b) L1: ;L1: .

c) L1: ;L1: .

d) L1: ;L1: .

e) L1: ;L1: .021 Encuentre los puntos de interseccin de L = {(x, y, z): } con cada uno de los planos coordenados.

022 Demuestre que las siguientes rectas son coincidentes: y .

023 Halle las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(3, 1, (2) y es perpendicular e intercepta a la recta de ecuaciones . [Sugerencia: Llame (x0, y0, z0) al punto de interseccin y determine sus coordenadas]

024 Obtenga la ecuacin del plano que pasa por el punto P0 y que tiene los nmeros posicionales dados.

a)P0(1, 4, 2); 3, 1, (4.

b)P0(2, 1, (5); 3, 0, 2.

c)

P0(4, (2, (5); 0, 3, (2.

d)P0((1, (2, (3); 4, 0, 0.

025 Construya la ecuacin del plano que pasa por los tres puntos dados.

a) (1, (2, 1); (2, 0, 3); (0, 1, (1). b) (2, 2, 1); ((1, 2, 3); (3, (5, (2).

c) (3, (1, 2); (1, 2, (1); (2, 3, 1). d) ((1, 3, 1); (2, 1, 2); (4, 2, (1).

026 Determine la ecuacin de un plano que pasa por el punto P1 y que es perpendicular a la recta L1.

a) P1(2, (1, 3); L1: x = 1 + 2t, y = 1 + 3t, z = 4t.

b) P1(1, (2, (3); L1: x = t, y = 2 2t, z = 1 + 3t.

c) P1(2, (1, (2); L1: x = 2 + 3t, y = 0, z = 1 2t.

027 Halle la ecuacin de la recta que pasa por el punto P1 y que es perpendicular al plano dado M1.

a)P1((2, 3, 1); M1: 2x + 3y + z 3 = 0.

b)P1(1, (2, (3); M1: 3x y 2z + 4= 0.

c)P1((1, 0, (2); M1: x + 2z + 3 = 0.

028 Determine la ecuacin de un plano que pasa por el punto P1 y es paralelo al plano (.

a) P1(1, (2, (1); (: 3x + 2y z + 4 = 0.

b) P1((1, 3, 2); (: 2x + y 3z + 5 = 0.

c) P1(2, (1, 3); (: x 2y 3z + 6 = 0.

029 Halle la ecuacin de la recta que pasa por el punto P1 y es paralela a la recta L.

a) P1(2, (1, 3); L:.

b)P1(0, 0, 1); L:

c)P1(1, (2, 0); L:

030 En cada caso, determine la ecuacin de un plano que contiene a las rectas L1 y L2.

a) L1: .; L2: .

b) L1: .; L2: .

d) L1:.; L2: . (L1 paralela con L2)

031 Demuestre que el plano 5x 3y z 6 = 0 contiene a la recta de ecuaciones

x = 1 + 2t; y = ( 1 + 3t; z = 2 + t.

032 Un plano tiene nmeros posicionales A, B, C, y una recta tiene nmeros directores a, b, c. Qu condicin se debe satisfacer para que el plano y la recta sean paralelos?

033 Demuestre que los tres planos de ecuaciones respectivas, 7x 2y 2z 5 = 0, 3x + 2y 3z 10 = 0, 7x + 2y 5z 16 = 0; contienen a una recta comn. Entregue las coordenadas de dos puntos de esta recta.

034 Calcule cos(, donde ( es el ngulo que forman los planos dados.

a) 2x y + 2z 3 = 0, 3x + 2y 6z 11 = 0.

b) x + 2y ( 3z + 6 = 0, x + y + z 4 = 0.

c) 2x y + 3z 5 = 0, 3x ( 2y + 2z 7 = 0.

035 Construya las ecuaciones paramtricas para la recta de interseccin de los planos dados.

a) 3x + 2y ( 3z + 5 = 0, 2x + y + 2z 3 = 0.

b) x + 2y + 2z ( 4 = 0, 2x + y ( 3z + 5 = 0.

c) x + 2y ( z + 4 = 0, 2x + 4y + 3z 7 = 0.

036 Determine el punto de interseccin del plano y la recta dados.

a) 3x y + 2z 5 = 0,

.

b) 2x + 3y ( 4z + 15 = 0, .

c) x + 2z + 3 = 0, .

037 Calcule la distancia desde el punto dado al plano dado.

a)(2, 1, (1); x ( 2y + 2z + 5 = 0.

b)(3, (1, 2); 3x + 2y 6z 9 = 0.

c)(0, 4, (3); 3y + 2z 7 = 0.

038 Determine la ecuacin de un plano que pasa por la recta y que es perpendicular al plano 2x + y 3z + 4 = 0.

039 Encuentre la ecuacin de un plano que pasa por la recta y que es paralelo a la recta .

040 Determine la ecuacin del plano que pasa por la recta y que es paralelo a la recta .

041 Obtenga las ecuaciones de cualquier recta que pase por el punto (1, 4, 2) y que sea paralela al plano 2x + y + z 4 = 0.

042 Halle la ecuacin del plano que pasa por (3, 2, (1) y (1, (1, 2) y que es paralelo a la recta .043 Determine todos los puntos de interseccin de los tres planos dados. Si los tres planos pasan por una recta, obtenga las ecuaciones paramtricas para ella.

a)2x + y 2z 1 = 0, 3x + 2y + z 10 = 0, x + 2y 3z + 2 = 0.

b)x + 2y + 3z 4 = 0, 2x 3y + z 2 = 0, 3x + 2y 2z 5 = 0.

c)3x y + 2z 4 = 0, x + 2y z 3 = 0, 3x 8y + 7z + 1 = 0.

044 Construya las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por el punto dado P1 y que intercepta y es perpendicular a la recta dada L.

a)P1(3, (1, 2); L:.

b)P1((1, 2, 3); L:

045 Si A1x + B1y + C1z + D1 = 0 y A2x + B2y + C2z + D2 = 0 son dos planos que se intersectan, cul es la grfica de todos los puntos que satisfacen la ecuacin A1x + B1y + C1z + D1 + k (A2x + B2y + C2z + D2) = 0, donde k es una constante real?

046 Obtenga la ecuacin del plano que pasa por el punto (2, 1, (3) y por la interseccin de los planos 3x + y z 2 = 0; 2x + y + 4z 1 = 0. .

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PRACTICA 0301Estudia la posicin relativa en funcin de "a" de los planos:

02Dados los vectores (3,-2,1) ; (1,-3,5) ; (2,1,-4) del espacio V 3 :

a) Demuestra que forman tringulo

b) Halla el rea de dicho tringulo.

03Calcula los valores de m para que las rectas:

Sean paralelas y calcula los vectores directores de L1 y de L2 para que sean perpendiculares.

04. a) Calclense los valores de a para los cuales las rectas y son perpendiculares.

b) Para , calclese la recta que pasa por y se apoya en L1 y L2. 05. a) Demuestra que el tringulo de vrtices (0, 0, 4) , (4, 0, 0) y (0,4, 0) es equiltero

b) Calcula la ecuacin de la recta que pasa por el origen y es perpendicular al plano que contiene al tringulo

c) Calcula la ecuacin de una recta que pasa por el origen y es paralela al plano que contiene al tringulo.

6. Dados los vectores

EMBED Equation.3 calcula la proyeccin del

vector sobre la direccin de . Determina la ecuacin de la recta que pasa por el punto C(1,1,1) y es perpendicular e incidente a la recta determinada por los puntos A(1,-1,2) y B(2,1,-1) .7. Determina a y b para que los planos se corten en una recta.

8. Calcula la distancia del punto A(1,2,3) a la recta

9. a) Calcular la distancia del punto P(1,0,1) a la recta

b) Halla la ecuacin del plano que contiene a P y a L.

10. Un cuadrado ABCD est situado sobre un plano 2x + y + z = 4 ; dos de sus vrtices opuestos son A(1,1,1) y C(0,2,2). Hallar el rea del cuadrado y la ecuacin de la diagonal BD.

11. Determina la condicin que deben verificar las coordenadas de un punto P(x,y,z) para que equidiste de los puntos A(2,0,1) y B(0,2,1). Comprueba que la condicin obtenida es la ecuacin de un plano que pasa por el punto medio de AB.

12. Sean las rectas ; a) calcula su posicin relativa.

b)Sabiendo que dos lados de un cuadrado estn situados sobre las rectas L1 y L2, calcula su rea.

13. Halla la ecuacin del plano que contiene a la recta de ecuaciones

y es paralelo a la recta que pasa por los puntos ( 2,0,0 ) y ( 0,1,0 )14. De los planos que contienen a la bisectriz del cuadrante positivo del plano coordenado XY, determina la ecuacin del que contiene al eje OZ.

15. Dadas las rectas y , se pide :

a) Calcula y para que sean ortogonales y coplanarias.

b) Para = 1/2 y = -2 halla la ecuacin del plano que contiene a L1 y a L2.

16. Sea el plano x + y - z = 2 y la recta . Se pide:

a) Razona que se cortan en un punto.

b) Halla dicho punto de corte.

c) Halla la ecuacin general del plano que contiene a L y es perpendicular a

17. a) Cuntas rectas hay paralelas al plano 2x y + 3 z= 4 y que pasen por el punto P(1,0,1)b) Cuntos planos hay que sean perpendiculares al plano y que pasen por P ? Escribir la ecuacin de uno de ellos que adems sea paralelo a uno de los ejes coordenados.

18. Dados los planos 2x - z = 3 , x - y + 2z = 1, se pide : a) Cuntas rectas hay paralelas a ambos a la vez ?

b) De ellas escribe la ecuacin de la que pasa por el origen de coordenadas.

c) Halla la ecuacin del plano simtrico de 1respecto al origen de coordenadas.

19. Halla la ecuacin del plano paralelo a las rectas de ecuaciones y

y que pasa por el punto(1,1,2)20. Dada la familia de planos 2mx+(m+1)y-3(m-1)z+2m+4=0a. Calcula la ecuacin del plano de esta familia que pasa por el punto (1,-1,2)

b. Calcula la ecuacin del plano de esta familia perpendicular a la recta

21. Determina la posicin relativa de los planos de ecuaciones: para los distintos valores de k.

22. Dadas las rectas y , calcula el valor de a para que las rectas se corten y, para dicho valor, calcula el plano que las contiene

23. Se considera la recta r: x = y = z , y los puntos A (1,0,1) y B (0,3,1) . Determina los puntos P de la recta r tales que los los vectores y sean perpendiculares.

24. Dada la recta de ecuaciones y el plano de ecuacin x + 3y - 3z = -3 . Calcula:a) El plano que contiene a la recta y es perpendicular al plano .

b) El volumen del tetraedro determinado por el plano p y los planos coordenados.

25. Se considera el plano de ecuacin ax + y + z +1 = 0 y las rectas:

, , .

Determina a para que los puntos de corte del plano con cada una de las rectas estn alineados.

26. Para a se consideran las rectas

y

a) Determina a para que L1 y L2 sean perpendiculares.

b) Para a = 2 determina un plano que contenga a L1 y sea perpendicular a L2.

27. Se consideran los puntos O = (0,0,0) , A (1,0,0) , B (0,1,0) y C(a,a,a) a a) Calcula la distancia entre las rectas que pasan por A y B y por O y Cb) Calcula la distancia de O al plano determinado por los otros tres puntos.

28. Dadas las rectas y

a) Determina su posicin relativa.

b) Calcula la distancia entre ambas

29. Los puntos A(1,0,-1), B(3,2,1) y C(-7,1,5) son vrtices consecutivos de un paralelogramo ABCD.

Calcula las coordenadas de D Halla el rea de dicho paralelogramo.

30. Estudia en funcin de a la posicin relativa de las rectas y Halla la interseccin de las rectas anteriores para a=2.

31. Se considera el tringulo A(1,4,2) B(3,1,-1) C(-2,3,5)

a) Halla la ecuacin del plano que contiene a dicho tringulo

b) halla la recta contenida en dicho plano que, pasando por el punto medio del segmento AB, es perpendicular a dicho segmento.

32. Dadas las rectas y decir si existen, y hallar en ese caso:

a) El plano paralelo a la recta s que contenga a la recta r.

b) El plano perpendicular a s que contenga a r.

c) La recta de direccin perpendicular a ambas que pasa por el origen.

33. Probar que los planos -x + 2ay - 2az = 0, y x + ay - az = 0 se cortan en una recta r que pasa por el origen de coordenadas, cualquiera que sea el valor de a 0 . Hallar la posicin relativa de r con el plano 12x - (a+3)y +2z = 0 para los diferente valores de a 0.34. Un tringulo issceles ABC, con el ngulo desigual en A, tiene por vrtices B y C los puntos (1,-1,2) y ( 3,1,0 ), mientras que el vrtice A est en la recta : . Halla las coordenadas de A y el rea del tringulo ABC.

35. Desde el punto P(1,3,4) se trazan rectas perpendiculares a los planos OXY, OYZ, OXZ a los que cortan en los puntos A, B y C respectivamente. Hallar la distancia del punto P al plano ABC.

36. Halla la recta que corta perpendicularmente a las rectas :

y

37. Determinar la posicin relativa de los planos

EMBED Equation.3 , segn los valores de a.

38. Dadas las rectas y , hallar su posicin relativa. Hallar la distancia entre ellas y el plano que las contiene, en caso de que este exista.

39. Se considera el plano ( de ecuacin 2x y + z + 1 = 0, la recta y el punto A(4,0,-1). Hallar el plano que pasando por A, es paralelo a la recta s y perpendicular al plano (.

40. Se considera el punto P(1,-3,-4), el plano ( ( x + 2y z = 0 y el plano ( que pasa por los puntos (0,0,0), (0,1,2) y (1,0,7)a. Determinar el plano que pasa por P y es perpendicular a los planos ( y (.

b. Calcular la distancia de P al plano (41. Hallar la recta que pasa por el punto (1,0,2) y que corta a las rectas y .

42. Dadas las rectas , , determina una recta que corte al eje OZ, a las dos dadas, y sea paralela al plano OXY.

43. Determinar un punto sobre la recta que diste 2 unidades del plano de ecuacin 3x-4y+12z-5=0. Cuntas soluciones existen?

44. Para se consideran los planos y .

a) Hallar la posicin relativa de ambos planos en funcin de a .

b) Determinar la recta paralela a ambos pasando por el punto (0,0,0).

c) Existe el plano paralelo a ambos pasando por (0,0,0)? Razonar la respuesta.45. Dadas las rectas y

a) Determinar, en funcin de su posicin relativa.

b) Determinar para , la distancia entre ellas.

46. Hallar la recta que corta a las rectas y, y pasa por el punto A(2, 0, 7).

Calcular la distancia del punto A a la recta r.

47. Se consideran los planos y . Se pide:

a)Hallar un plano perpendicular a ambos pasando por el punto (1, 2, -1).b)Determinar una recta paralela a ambos pasando por el punto (2, 1, 1).c) Calcula el ngulo que forman ambos planos.

48Calcular el valor de a para que la recta y el plano sean paralelos

a)Existe algn valor de a para el que r y sean perpendiculares?

b)Hallar el valor de a para que r y formen un ngulo de 30.

49La recta corta al plano en el punto A, y al plano en el punto B. Si O es el origen de coordenadas:

a)Halla el ngulo formado por los vectores .

b)Halla el rea del tringulo AOB50Consideramos los puntos A(-5, 2, 4), B(-3,2,0) y la recta .

a)Calcular la recta que corta perpendicularmente a s pasa por B .

b)Consideramos el rectngulo que tiene por vrtices opuestos a A y B, y uno de los lados que pasa por A est contenido en la recta s. Calcula su rea.

51 Hallar el valor del parmetro a para que los planos de ecuaciones se corten en una recta r. Obtn la ecuacin del plano que pasa por el punto P (2, 1, 3) y contiene a la recta r del apartado anterior.

52Dadas las rectas

a)Hallar el valor de a para que estn en el mismo plano.

b)Hallar la ecuacin de dicho plano.

53Sea la recta .

a)Escrbase la recta en forma paramtrica

b)Para cada punto P de r, determnese la ecuacin de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente al eje OZ

54Sea m un nmero real y sean r y la recta y el plano dados respectivamente por

a)Estdiese la posicin relativa de r y en funcin del valor de m

b)Para el valor m = 1, hllese la ecuacin del plano que pasa por el punto de corte de r y y es perpendicular a la recta .55. a) Determnese el punto simtrico de respecto de la recta .

b) Hllese la distancia entre A y r.

56Determina b para que la recta no corte al plano 2x - 4 y +5 z = 6 .

SUPERFICIES CUADRTICASLas secciones cnicas: elipse, parbola e hiprbola tienen su generalizacin al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.

Elipsoide

La grfica de la ecuacin corresponde a un elipsoide.

Elipsoide

Paraboloide elptico

La grfica de la ecuacin es un paraboloide elptico.

Paraboloide elptico

Paraboloide hiperblico

La grfica de la ecuacin es un paraboloide hiperblico.

Paraboloide hiperblico

Cono elptico

La grfica de la ecuacin es un cono elptico.

Cono elptico

Hiperboloide de una hoja

La grfica de la ecuacin es un hiperboloide de una hoja.

Hiperboloide de una hoja

Hiperboloide de dos hojas

La grfica de la ecuacin es un hiperboloide de dos hojas.

Hiperboloide de dos hojas PRACTICA 04

I.Identifique cada una de las siguientes superficies cuadrticas:

01.

02.

03.La siguiente ecuacin representa una superficie cudrica. Identifquela y ubique su centro de simetra: x2 - 4y2 - 2z2 +16y - 4z -21 = 0.

04.S S = (x, y, z) IR3/ 9y2 - x2 = 9. Qu lugar geomtrico representa S?. Indique un grfico aproximado de S.

IIPara las ecuaciones siguientes, hacer un estudio completo: trazas, cortes con los ejes, e identificar la superficie y hacer un grfico aproximado.

01.

(hiperboloide de una hoja con centro en ( 1,1,-1))

02.

(esfera )

03.

(cono elptico de 2 hojas)

04.

(cono circular)

05.

(paraboloide elptico)

06.

(paraboloide hiperblico)

07.

( hiperboloide de una hoja)

08.

(paraboloide circular recto)

09.

( paraboloide )

10.

( hiperboloide de dos hojas)

12.

13.

14.

( cilindros )

15.

16.

17.

III. 01Trace la regin limitada por

02Obtener la curva de interseccin de las superficies y hacer su grafica

03Graficar:a) La parte del hiperboloide que se encuentra abajo del rectngulo

b) La parte del paraboloide elptico que se encuentra a la derecha del plano xz

c) La parte de la esfera que se encuentra arriba del cono

d) La parte del cilindro que se encuentra entre los planos y =-1 y y =3

e) La parte del plano z=5 que se encuentra dentro del cilindro

f) La parte del plano z = x +3 que se encuentra dentro del cilindro

g) La parte del plano x +2y + z=4 que se encuentra dentro del cilindro

h) La parte de la superficie que se encuentra arriba del triangulo de vrtices (0,0), (1,1) , y (0,1)

i) La parte del paraboloide hiperblico que se encuentra entre los cilindros

IV.Graficar los slidos indicados, marcando los cortes con los ejes coordenados.

a) Slido limitado , el plano z = y + 3 y el plano xy

b) Slido limitado por y los planos y = 0 y x + y=2

c) El slido limitado por z = 0

d) El slido limitado por

EMBED Equation.DSMT4 e)El slido limitado por el plano x + y + z =1 y los planos coordenados en el primer octante.

f)El slido limitado por y z=-1

g)El slido limitado por

h)El slido dentro del tetraedro de vrtices (0,0,0), (1,0,0),(0,1,0) y (0,0,1)

SISTEMAS DE COORDENADAS

ICOORDENADAS ESFERICAS

RELACION ENTRE LAS COORDENADAS CARTESIANAS Y ESFERICAS

II.COORDENADAS CILINDRICAS

RELACION ENTRE LAS COORDENADAS CARTESIANAS Y CILINDRICAS

PRACTICA 05COORDENADAS ESFERICAS

01

Obtenga las coordenadas cartesianas del punto que tiene las coordenadas esfricas dadas:

a)

b)

c)

d)

02

Determine un conjunto de coordenadas esfricas del punto que tiene las coordenadas cartesianas del punto indicadas:

a)

b)

c)

d)

03

Obtenga una ecuacin en coordenadas esfricas de la superficie, de ser posible, identifique la superficie:

3.1 x2 + y2 + z2 -9z = 0

3.2 x2 + y2 = z2

3.3 x2 + y2 = 9

3.4 x2 + y2 + z2 -8x = 0

3.5 x2 + y2 = 2z

3.6 x + 4y = 0

3.7 y 2 = 0

3.8 x2 + y2 = 4

3.9 x2 + y2 + 2z2 = 4

04

Obtenga una ecuacin en coordenadas cartesianas para la superficie, cuya ecuacin se da en coordenadas esfricas, identifique su superficie:

4.1 r = 9

4.2 = /4

4.3 = /4

4.4 r = 9sec

4.5 r = 3cos

4.6 r = 6csec

4.7 r = 2tan

4.8 r = 6sen sen + 3cos 4.9 0 < < /2

4.10 /2 < < 4.11 r = k, k > 0

4.12 = c

4.13 = c, 0 < c < 4.14 rsen sen = 7

4.15 r 2 cos = 0

COORDENADAS CILINDRICAS

01

Obtenga las coordenadas cartesianas del punto que tiene las coordenadas cilndricas dadas:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

02

Determine un conjunto de coordenadas cilndricas del punto que tiene las coordenadas cartesianas del punto indicadas:

a)

b)

c)

d)

03

Obtenga una ecuacin en coordenadas cilndricas de la superficie, de ser posible, identifique la superficie:

3.1 x2 + y2 + 4z2 = 16

3.2 x2 + y2 = z2

3.3 x2 + y2 = 9

3.4 x2 - y2 = 3z2

3.5 x2 + y2 = 3z

3.9 y2 4z2 = 36

3.7 y2 + z2 = 4

3.8 9x2 + 4y2 = 36

3.9 x2 + y2 - 2y = 0

04

Obtenga una ecuacin en coordenadas cartesianas para la superficie, cuya ecuacin se da en coordenadas cilndricas, identifique su superficie:

4.1 r = 3cos4.2 r = 3 +2cos4.3

z2 sen3 = r34.4

r = 4

4.5 = /4

4.6

r2 cos2 = z34.7

r = 2sen

4.8

2r + rcos = 1

4.9

r - 2rcos = 1

4.10 r - rsen = 2

4.11 r = 2(1 + cos )

4.12 r2 = 2cos2

INCLUDEPICTURE "http://www.sc.ehu.es/acpmiall/CAPITULO_4/Image309.gif" \* MERGEFORMATINET

CAPITULO IIFUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Calcular grafica el lmite, continuidad y derivadas parciales de funciones de ms de una variable. Usar la regla de la cadena para funciones de ms de una variable.

Describir grficamente las derivadas parciales, derivadas direccionales y gradientes. Establecer geomtricamente el plano tangente y recta normal a superficies.

PRACTICA 06Evaluar las siguientes funciones de varias variables en el punto indicado01Si f(x, y) = x2 y2 + 4xy -7x +10, calcular:

a)f(2, 1)

b)f(x + h, y)

c)f(x, x)

d)f(-3, 5)

e)f(x, y + k)

02Si g(x, y) = ln(xy + y - 1), calcular:

a)g(1, 1)

b)g(x + h, y)

c)g(x, 1)

d)g(e, 1)

e)g(x, y + k)

03Si F(x, y) = 3xy / (x2 + 2y2 ), encuentre:

a)F(1, 1)

b)F(-1, 2)

c)F(T, 1)

d)F(-1, y)

e)F(x2, x2 )

04Si g(x, y, z) = xseny cosx, determine:

a)g(2, pi/ 6, pi/3)

b)g(4, pi/4, 0)

c)g(t, t, t)

d)g(u, v, 0)

e)g(x, x + y, x)

EN CADA UNO DE LOS EJERCICIOS DETERMINAR SU DOMINIO Y TRAZAR SU GRAFICA:

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23Determine su dominio y su grafica de las funciones

a)

b)

c)

d)

CONSTRUIR LAS CURVAS DE NIVEL

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

PRACTICA 0701 Sea , con 0( f(x, y) ( PI. Determinar el dominio y graficar f.

02 Hallar el rango y graficar

03 Sea , g(t) = t2, h(t) = 1 t. Encontrar : a) g(f(x, y)) b) f(g(t), h(t)) c) f(g(1), h(0))

04 En los siguientes ejercicios estn definidas las funciones f y g. Encontrar h(x, y) si h = fog. Hallar el dominio de h

a) f(t) = arctan(t),

b) f(t) = arcsen(t),

EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS LOCALICE LOS PUNTOS DE DISCONTINUIDAD

05

06

07

08

09

10

11

12

PRACTICA 081. Encontrar el dominio de las siguientes funciones:

1.1.

1.2.

1.3.

2. Calcular:

3. Calcular los siguientes lmites:

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

4. Analizar la continuidad de las siguientes funciones:

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

05 Hallar D1f(0, 0) y D2f(0, 0) si es que existe de la funcin:

06 Determinar , .Sabiendo que

07 Si , verificar que:

08Sea .Verificar si es armnica, es decir cumple con:

09Usando la definicin, determinar las derivadas parciales de

10 Hallar D1f(0, 0) y D2f(0, 0) si es que existe de la funcin:

11 Determinar , .Sabiendo que

12Si , verificar que:

13 Determinar las derivadas parciales de

14Sea .Verificar si es armnica, es decir cumple con:

15Sean las funciones f(x, y) = sen2(x 3y2), donde x = 3u2 3su; y = tan(2u + 3s). Hallar: fu y fs 16Calcular las derivadas parciales : considerando , ,

PRACTICA 09Usar las derivadas parciales para demostrar lo que se pide:

01Sea f(x, y) = exp(xy2) . comprobar las igualdades:

a)fxy = fyx

b)fxxy = fyxy = fyxx

03La ecuacin:

se conoce como la ecuacin de Laplace. Probar que las siguientes funciones son solucin de dicha ecuacin:

05La ecuacin

Usar las derivadas parciales para calcular en el punto indicado:

13Si f(x; y) = 16 - 4x2 - y2 , calcule fx(1; 2) y fy(1; 2) e interprete estos n _ meros como pendientes. Ilustre con esbozos.

14 Si f(x; y) = ((4 - x2 - 4y2), calcule fx(1; 0) ; fy(1; 0), e interprete estos nmeros como pendientes. Ilustre con esbozos.

15En un estudio de la penetracin del fro se encontr que la temperatura T en el tiempo t (medido en das) a una profundidad x (medidas en pies) puede describirse mediante la funcin:

T(x; y) = T0 + T1e-x sen(( t - x) donde ( = 2 / 365 , y es una constante positiva.

a) Calcule (T/ (x . Cual es su significado fsico?

b) Determine (T / ( t . Cual es su significado fsico?

c) Muestre que T satisface la ecuacin de calor Tt = kTxx , para una cierta constante k.

d) Si = 0.2 , T0 = 0 , T1 = 10 , utilice la computadora para graficar

T(x; y).

e) Cul es el significado fsico del termino -x en la expresin sen((t - x)?

16Si se le dijera que existe una funcin f(x; y) cuyas derivadas parciales

son fx(x; y) = x + 4y , y fy(x; y) = 3x - y, usted lo creera?

17Determine las derivadas parciales que se indican.

a) f(x; y) = x3y5 ; fx(3;-1)

b)f(x; y) = ((2x + 3y) ; fy(2; 4)

c)f(x; y) = xe-y + 3y ; (f / (y (1; 0)

d)f(x; y) = sen(x - y) ; ( f / (x (3; 3) e)z = (x3+y3 ) / (x2+y2 ); (z / (x ; (z / (y

f) z = x(y - y / (x ; (z / (x ; (z / (y

g)xy + yz = xz ; (z / (x ; (z / (y

h) zyx = cos(x + y + z) ; (z / (x ; (z / (y

i)x2 + y2 - z2 = 2x(y + z) ; (z / (x ; (z / (y

j)xy2z3 + x3y2z = x + y + z ; (z / (x ; (z / (y

k) f(x; y; z) = xyz ; fz(0; 1; 2)

l) f(x; y; z) = ((x2 + y2 + z2 ); fz(0; 3; 4)

m)u = xy + yz + zx ; ux ; uy ; uzn)u = x2y3t4 ; ux ; uy ; ut)z = f(x) + g(y),

(z / (x ; (z / (y

o)z = f(x)g(y),

(z / (x ; (z / (y

p)z = f(x + y),

(z / (x ; (z / (y

q)z = f(xy),

(z / (x ; (z / (y

r)z = f( x , y ),

(z / (x ; (z / (y

s)z = f(ax + by),

(z / (x ; (z / (y

18Use la regla de la cadena para calcular dz/dt o dw/dt

19Use la regla de la cadena para calcular (z/(s o (z/(t

a)z = x2 sen y ; x = s2 + t2 ; y = 2st

b)z = sen x cos y ; x = (s - t)2 ; y = s2 - t2c) z = x2 - 3x2y3 ; x = set ; y = se-td) z = x arctan(xy) ; x = t2 ; y = sete)z = 2x - 3y ; x = s2t ; y = st2f)z = xey + ye- x ; x = et ; y = st220Emplee la regla de la cadena para indicar las derivadas parciales.

21 Encuentre las primeras derivadas parciales de la funcin

a)

b)

c)

d)

22Utilice la regla de la cadena para hallar dz/dt o dw/dt.

a)

b)

,

,

23Utilice la regla de la cadena para hallar y .

a)

b)

24La longitud y ancho de un rectngulo son 30cm y 20cm, respectivamente, con un margen de error en la medicin de 0.1cm en cada dimensin. Utilice diferenciales para estimar el mximo error en el rea calculada del rectngulo.

25Encuentre el diferencial de la funcin

a)Utilice diferenciales para estimar la cantidad de estao en una lata cerrada con dimetro de 8cm y altura de 12cm, si la lamina tiene un grosor de 0.04cm.

b)Si pinto una franja de 3 pulgadas de ancho como frontera de un rectngulo cuyas dimensiones 100x200 pies. Utilice diferenciales para aproximar el nmero de pies cuadrados de pintura en la franja.

c)Si R es la resistencia total de 3 resistores, conectados en paralelo, con resistencias R1, R2, R3, entonces.

26Encuentre la derivada direccional deen el punto dado, en la direccin indicada por el ngulo

b)

27Halle las ecuaciones de (a) en el plano tangente y (b) la recta normal a la superficie dada en el punto especificado.

a)

(4,-1,1)

b)

(1,0,1)28Sea f una funcin de dos variables que tiene derivadas parciales continuas y considere los puntos . La derivada direccional de f en A en la direccin del vector es 3 y la derivada direccional de f en A en la direccin del vector es 26. Encuentre la derivada direccional de f en A en la direccin del vector .

RESPUESTA.

28Halle las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la superficie dada en el punto especificado.

(1,0,1)

RESPUESTA.

29Demuestre que la ecuacin del plano tangente al paraboloide elptico en el punto se puede escribir como:

30Encuentre la distancia ms corta del punto (2,-2,3) al plano 6x+4y-3z=2 RESPUESTA.

PRACTICA 1001. Obtener y representar grficamente las lneas o superficies de nivel de las siguientes funciones:

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

02. Mediante el lmite correspondiente, encontrar las derivadas direccionales de las siguientes funciones en el punto P segn la direccin definida por v:

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

03. Mediante el lmite correspondiente, estudiar todas las derivadas direccionales de la siguiente funcin en el origen. Nota: utilizar un vector genrico v = (v1, v2):

04. Mediante clculo del lmite, demostrar que la siguiente funcin no es continua en el origen y sin embargo existen todas las derivadas direccionales en dicho punto:

05. Aplicando el lmite en su caso, calcular las derivadas parciales primeras de las funciones siguientes:

5.1.

5.2.

5.3.

06. Calcular el gradiente de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

07. Para cada una de las funciones siguientes y mediante el gradiente, calcular el valor de la derivada direccional en los puntos que se indican y segn las direcciones correspondientes:

8.1.

8.2.

8.3.

8.4.

08. Hallar la derivada de la funcin z = 3x4 xy + y3 en el punto M (1, 2) segn la direccin que forma con el eje OX un ngulo de 60.

09. Hallar la derivada de la funcin z = 5x2 3x y 1 en el punto M (2, 1) segn la direccin de la recta que une este punto con el punto N (5, 5).

10. Para cada una de las funciones siguientes, calcular el valor de la derivada direccional mxima en los puntos que se indican, as como la direccin en que sta tiene lugar:

10.1.

10.2.

10.3.

10.4.

10.5.

11. Calcular todas las derivadas parciales segundas de las funciones siguientes en los puntos que se indican. Comprobar qu ocurre con las segundas derivadas cruzadas:

11.1.

11.2.

12. Encontrar el plano tangente a la superficie z = x2 + 2y2 que es paralelo al plano x + 2y z = 10.

13. Hallar la ecuacin de la recta tangente a la curva expresada por interseccin de dos superficies en cada uno de los casos y los puntos siguientes:

a)

b)

c)

CAPITULO III

EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES.

Expone los Valores Extremos de las Funciones de Varias Variables usando los Mtodos de las segundas derivadas y Multiplicadores de Lagrange.

Campara y optimiza los valores extremos de funciones de varias variables.

PRACTICA 11Determine los puntos crticos de:

01

02

03

04

05

Determine la matriz Hessiana de los siguientes ejercicios:

01

02

03

04 z = f(x, y)

05

06

Encuentre los extremos relativos de la funcin, obteniendo primero los puntos crticos y despus aplicando el criterio de la segunda derivada:

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

17 Determinar el vector gradiente y el la derivada direccional de , en P(1, 1) y u = (-2, 1). Haga su grafico.

18a)Si z = y + f(x2 y2), donde f es diferenciable, pruebe que

b) Determine su plano tangente de f(x, y) = 1 - x2 y2 , en el punto P(-1, -1). Haga su grfico.18 Encuentre los puntos sobre la esfera 1 = x2 + y2 + z2, donde el plano tangente es paralelo al plano 2x + y 3z =2.

19Determinar el Hessiano de

a)

b)

c)

d)

, para

20 Determinar los valores extremos de :

a)

b)

c)

d)

21Determinar los valores extremos de : , condicionado a: x2 + y2 = 1. Haga su grafico.

22Muestre que z = 1 - x y no tiene extremos en R2, pero sujeto a y = x2 si los tiene. Explique que situacin se ilustra en este caso. Sustente su respuesta.

23Determinar los valores extremos de : , condicionado a: x2 + y2 = 9. Haga su grafico.

24Muestre que z = 1 - x y no tiene extremos en R2, pero sujeto a x = y2 si los tiene. Explique que situacin se ilustra en este caso. Sustente su respuesta.

PRACTICA 1201. Obtener todos los puntos crticos de la funcin z = xy (1 x2 y2).

[Sol. (0, 0), ((1, 0), (0, (1), ((1/2, 1/2), ((1/2, 1/2)]

02. Hallar y clasificar los puntos crticos de la funcin z = x3 + 3xy2 15x 12y.

[Sol. No hay extremos en (1, 2) y (1, 2). Mnimo en (2, 1), z = 28. Mximo en (2, 1), z = 28]

03. Encontrar los extremos de la funcin z = x3y2 (6 x y), siendo x > 0 e

y > 0.

[Sol. Mximo en (3, 2), z = 108]

04. Encontrar y clasificar los puntos crticos de la funcin z = x4 + y4 2x2 + 4xy 2y2.

[Sol. Mnimo en ((2, (2) y ((2, (2), z = 8. No existe extremo en (0, 0)]

05. Calcular los extremos de la funcin z = (x2 + y2) exp ( x2 y2).

[Sol. Mnimo en (0, 0), z = 0. Mximo en todos los puntos de la circunferencia x2 + y2 = 1, z = 1/e]

06. Calcular los extremos de la funcin U = x2 + y2 + z2 xy + x 2z.

[Sol. Mnimo en (2/3, 1/3, 1), U = 4/3]

07. Calcular los extremos de la funcin U = x + y2 / 4x + z2 / y + 2 / z, siendo x > 0, y > 0, z > 0.

[Sol. Mnimo en (1/2, 1, 1), U = 4]

08. Calcular los extremos de la funcin z = x + 2y condicionados por la funcin x2 + y2 = 5.

[Sol. Mximo en (1, 2), z = 5. Mnimo en (1, 2), z = 5]

09. Estudiar la existencia de mximos y mnimos de la funcin z = ex + ey situados sobre el plano de ecuacin x + y + 2 = 0.

[Sol. Mnimo en (1, 1), z = 2/e]

10. Hallar los extremos de la funcin z = 6 4x 3y con la condicin de que las variables estn situadas sobre la circunferencia de centro el origen y radio unidad.

[Sol. Mnimo en (4/5, 3/5), z = 1. Mximo en (4/5, 3/5), z = 11]

11. Hallar los extremos de la funcin z = cos2 x + cos2 y donde se verifica y x = ( / 4.

[Sol. Mx. en (7(/8 + k(, 9(/8 + k(), z = (2 + (2) / 2. Mn. en (3(/8 + k(, 5(/8 + k(), z = (2 (2) / 2]

12. Calcular los extremos de la funcin U = x2 + y2 + z2 condicionados por las funciones xz + yz + 2 = 0 y xy = 1.

[Sol. Mnimos en (1, 1, 1) y (1, 1, 1), U = 3]

13. Hallar los extremos de la funcin U = x2 + y2 + z2 condicionados por las funciones x2 + y2 + z2/4 = 1 y x + y z = 0.

[Sol. Mnimos en (1/(2, 1/(2, 0) y (1/(2, 1/(2, 0), U = 1. Mximos en (1/(3, 1/(3, 2/(3) y

(1/(3, 1/(3, 2/(3), U = 2]

14. Calcular los valores mximo y mnimo absolutos de la funcin z = x2 + y2 xy + x + y en la regin definida por las expresiones { x ( 0, y ( 0, x + y ( 3 }.

[Sol. zmax = 6 en (0, 3) y (3, 0); zmin = 1 en (1, 1)]

15. Calcular los valores mximo y mnimo absolutos de la funcin z = xy2 en la regin definida por las expresiones { x ( 0, y ( 0, x2 + y2 ( 1 }.

[Sol. zmax = 2(3/9 en (1/(3, (2/(3) y zmin = 0 en todo punto (x, 0) y (0, y) de la regin]

16. Calcular los valores mximo y mnimo absolutos de la funcin z = 3x2 + xy2 +2y2 4x 8 en la regin definida por las expresiones { x ( 1, y ( 2, x + y 2 ( 0 }.

[Sol. zmax = Infinito y zmin = 28/3 en (2/3, 0)]

17. Calcular los valores mximo y mnimo absolutos de la funcin z = x3 + y3 3xy en la regin definida por las expresiones {0 ( x ( 2,1 ( y ( 2 }

[Sol. zmax = 13 en (2, 1) y zmin = 1 en (1, 1) y (0, 1)]

18. Calcular los valores mximo y mnimo absolutos de la funcin z = sen x + sen y + sen (x + y) en la regin definida por las expresiones

{ 0 ( x < (/2, 0 ( y ( (/2 }.

[Sol. zmax = 3(3/2 en ((/3, (/3) y zmin = 0 en (0, 0)]

19. Entre todos los paraleleppedos de volumen dado, hallar el de superficie total menor.

[Sol. El cubo]

20. Entre todos los tringulos de permetro igual a 2p, hallar el que tiene mayor rea.

[Sol. El equiltero]

21. Representar el nmero positivo a en forma de producto de cuatro factores positivos cuya suma sea la menor posible.

[Sol. Cuatro factores iguales a la raz cuarta de a]

22. Hallar aqul punto del plano tal que la suma de los cuadrados de sus distancias hasta las rectas x = 0, y = 0, x y + 1 = 0 es la menor posible.

[Sol. (1/4, 1/4)]

23. Encontrar el plano que pasando por el punto (a, b, c) forma con los planos coordenados un tetraedro de volumen mnimo.

[Sol. x/a + y/b + z/c = 3]

24. Los cursos de dos ros dentro de una determinada regin representan aproximadamente las ecuaciones de la parbola y = x2 y la recta x y 2 = 0. Se quiere unir ambos ros mediante un canal rectilneo de longitud mnima. Encontrar los puntos por los cuales habr que trazarlo.

[Sol. (1/2, 1/4) y (11/8, 5/8)]

25. Hallar las distancias mxima y mnima desde el origen a la curva definida por interseccin de las superficies siguientes: F: x2 xy + y2 z2 = 1, y G: x2 + y2 = 1.

[Sol. (3/(2 y 1]

26. Para determinar los valores de 4 incgnitas x, y, z, t, se han realizado en laboratorio las siguientes observaciones obtenindose los resultados que siguen: a) x + y + z + t = 12 (observacin obtenida 4 veces); b) x y + z t = 3 (observacin obtenida 2 veces); c) 2x + y z + t = 6 (observacin obtenida 3 veces; d) x 2y + z + t = 5 (observacin obtenida 2 veces); e) x + y 2z t = 8 (observacin obtenida 1 vez). Encontrar la solucin mnimo cuadrtica del sistema formado por las 12 ecuaciones, aproximando los resultados a la cuarta cifra decimal.

[Sol. x = 1.0874, y = 2.3521, z = 3.4220, t = 5.0449]

Encuentre los valores mximo y mnimo locales y punto(s) de ensilladura de las funciones siguientes. Si el lector cuenta con un software de grficas en tres dimensiones, trace la grfica de la funcin con un dominio y un punto de vista que deje ver los aspectos importantes de cada funcin:

27

RESPUESTA. f tiene un valor mximo local de 1 en todos los puntos de la forma

28

RESPUESTA. Mximo

Encuentre los valores mximo y mnimo absolutos de f en el conjunto D:

29

, D es la regin triangular cerrada con vrtices (0,0), (4,0) y (4,5)

RESPUESTA. Mnimo , mximo

30

, D es la regin acotada por la parbola y la recta y = 4RESPUESTA. Mnimo , mximo

CAPITULO IVINTEGRALES MULTIPLES

Calcular e Interpretar las Aplicaciones de las integrales dobles.

PRACTICA 13Calcular las integrales iteradas, realizar su grafico de la regin D

01

02

03

05

06

07

08

09

10 Usar una integral iterada para calcular el rea de la regin acotada por las graficas de

2x 3y = 0, x + y = 5, y = 0.

11 Realizar un esbozo de la regin R y calcular la integral doble:

a)

y R: es el sector circular en el primer cuadrante acotado por , 3x 4y = 0, y = 0.

b)

y R: es el sector semicirculo acotado por , y = 0.12a) Estime el volumen del slido que se encuentra debajo de la superficie y arriba del rectngulo . Utilice una suma de Riemann con m=2, n=3, y tome como muestra la esquina superior derecha de cada sub-rectngulo.

b)Utilice la regla del punto medio para estimar el volumen del slido de la parte (a).

RESPUESTA. a) -17.75 b) -15.75

Calcule las integrales iteradas:

13

RESPUESTA. 1

14

RESPUESTA.

15

RESPUESTA. 6

16Calcule la integral doble:

,

RESPUESTA.

17Halle el volumen del slido que se encuentra bajo el plano z=2x+5y+1 y arriba del rectngulo .

RESPUESTA. 37.5

18Halle el volumen del slido limitado por la superficie y los planos x=0, x=1, y=0, y=1 y z=0. RESPUESTA.

PRACTICA 1401Determinar la integral

a)

b)

02 Evalu la integral iterada: .Haga su grafico.

03 Calcule el valor exacto de la integral doble: ; R es la regin acotada por la circunferencia: x2 + y2 = 9

04 Dada la funcin f(x, y) definida en el rectngulo , se demostrar, si se cumple: .

05 Utilice integrales dobles para calcular el rea de la regin limitada por las curvas del plano xy, siendo estas: x2 + y2 = 16; y2 = 6x.

Evalue la integral dada, pasando a coordenadas polares:

06

, donde R es el disco con centro en el origen y radio 5.

RESPUESTA. 0

07

, donde R es la regin del primer cuadrante, que se encuentra entre los crculos y

RESPUESTA.

08

, donde D es la regin limitada por el semicrculo y el eje y. RESPUESTA.

PRACTICA 1501. Calcular siendo Q la regin del plano limitada por y = x2, y = 0, x = 2.

[Sol. (1 cos 8) / 3]

02. Calcular siendo Q el tringulo de vrtices (0,0), (3,1), (-2,1).

[Sol. 1/2]

03. Calcular siendo Q la regin limitada por x2 + y2 = 1, y

x2 + y2 = 4.

[Sol. 3(/2]

04. Calcular

[Sol. 36]

05. Calcular

[Sol. 32(]

06. Calcular en Q = { (x, y) ( R2; x ( 0, y ( 0, x2 + (y - 2)2 ( 4 }.

[Sol. 20(]

07. Definir los lmites de integracin en siendo Q la regin del plano:

a) x ( 0, y ( 0, x + y ( 1.

b) x2 + y2 ( x.

c) y ( -1, y ( 1, y ( x.08. Calcular en Q = { (x, y) ( R2; x ( 0, 0 ( y ( 4, x2 ( y }.

[Sol. (e16 1) / 4]

09. Calcular siendo Q el tringulo de vrtices (0,0), (10,1), (1,1).

[Sol. 6]

10. Calcular donde Q es la regin limitada por y2 = x, x = 0, y = 1.

[Sol. 1/2]

11. Calcular en la corona circular Q: a2 ( x2 + y2 ( b2.

[Sol. ( (exp(a2) exp(b2))]

12. Calcular donde Q es el crculo x2 + y2 4x = 0.

[Sol. 8(]

13. Calcular donde Q es la regin [0,1] x [0, 1 + x].

[Sol. 29/6]

14. Calcular donde Q es la regin [0,2] x [x2, 2x].

[Sol. 88/15]

15. Calcular siendo Q el tringulo de vrtices (-1,1), (1,1), (0,0).

[Sol. 6.323]

16. Calcular siendo Q el tringulo de vrtices (0,0), (4,0), (4,4).

[Sol. 24.486]PRACTICA 1601. Calcular siendo Q la regin limitada por x = 0, y = 0, z = 0,

x + y + z = 1.

[Sol. 1/2520]

02. Calcular siendo Q la regin determinada por z = 2,

x2 + y2 = 2z

[Sol. 32(/3]

03. Calcular siendo Q la regin limitada por el plano z = 1 y la hoja superior del cono z2 = x2 + y2.

[Sol. (/6]

04. Calcular siendo Q el recinto comn al paraboloide z = (x2 + y2) y la esfera de centro el origen y radio (6.

[Sol. ( (15 14(7/3) ]

05. Calcular siendo Q el recinto limitado por las dos esferas con centro en el origen y radios 1 y 2.

[Sol. 4(L2]

06. Calcular siendo Q la semiesfera de radio 1 con centro en el origen y z ( 0.

[Sol. (/2 (1 cos1)]

07. Volumen del slido acotado por z = 4 x2 y2, z = 0.

[Sol. 8(]

08. Volumen del slido limitado por el exterior de z2 = x2 + y2 y el interior de x2 + y2 + z2 = 1.

[Sol. 2(2 (/3]

09. Volumen del slido limitado por las condiciones z = 0, z = h que es exterior al cilindro x2 + y2 = 1 e interior al hiperboloide x2 + y2 z2 = 1.

[Sol. (h3/3]

10. Masa del slido de densidad = 2 obtenido al taladrar un agujero de radio b a travs del centro de una esfera de radio R > b.

[Sol. 8(/3 (R2 b2)3/2]

11. Volumen del slido limitado por el cilindro x2 + y2 = R2, el plano z = 0 y el plano que contiene al eje OX y forma un ngulo con OXY.

[Sol. 4/3 R3 tg (]

12. Volumen del slido limitado por los cilindros x2 + y2 = a2 y x2 + z2 = a2.

[Sol. 16 a3/3]

13. Volumen limitado por las superficies (x 1)2 + (y 1)2 = 1; xy = z; z = 0.

[Sol. (]

14. Volumen interior al cilindro x2 + y2 = 2ax, limitado por el paraboloide x2 + y2 = az y el plano z = 0.

[Sol. 3(a3/2]

15. Demostrar que el volumen de un cono circular recto de radio de la base R y altura h es (1/3)R2h.

16. Volumen limitado por dos esferas concntricas de radios a y b < a y el cono

[Sol. 4(/3 (a3 b3) (1 cos17. Volumen de la regin limitada por la superficie = a (1 cos ).

[Sol. 8(a3/318. Centro de gravedad del slido limitado por las semiesferas concntricas 0 < b ( ( a.

[Sol. 3(a4 b4) / 4(a3 b3)]

19. Se corta una cua de una esfera slida de radio a mediante dos planos que intersecan en un dimetro. Si es el ngulo entre los planos, hallar el volumen de la cua.

[Sol. (a3/3 sen 20. Masa de una esfera de radio a cuya densidad en cada punto es proporcional (k) a la distancia al centro.

[Sol. (a4k]Utilice una integral doble para hallar el rea de la regin:

21Un ptalo de la rosa

RESPUESTA.

22La regin interior a la lemniscata

RESPUESTA. 4

Utilice las coordenadas polares para hallar el volumen del slido dado en cada uno de los incisos siguientes:.

23Debajo del paraboloide y arriba del disco

RESPUESTA.

24Una esfera de radio a

RESPUESTA.

25Arriba del cono y debajo de la esfera

RESPUESTA.

26Interior al cilindro y al elipsoide

RESPUESTA.

CAPITULO VFUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL.

Define y grfica funciones vectoriales de una variable real. Explica la solucin de funciones vectoriales en problemas con lmites, continuidad, derivadas e integrales. Calcular integrales y la longitud de arco de funciones vectoriales. Comparar los Vectores Tangencial Unitario, Normal Unitario, y binormal y la Longitud de Arco como parmetro.

PRACTICA 1701. Utilizando ecuaciones paramtricas, dibujar una circunferencia :

a) de centro el origen y radio 1.

b) de centro C (2,2) y radio 2.02. Utilizando ecuaciones paramtricas, dibujar una elipse con a = 4, b = 1, centro C(2,2) y el eje mayor inclinado 30 con respecto a la horizontal.

03. Utilizando ecuaciones paramtricas, dibujar la rama derecha de una hiprbola en posicin cannica , con a = 2, b = 1, y 2 (x (8.

04. Utilizando ecuaciones paramtricas, dibujar la parbola y2 = 4x en el intervalo 0 (x ( 4.

05. Dibujar en la misma grfica, un cilindro vertical de radio 1 y un cilindro horizontal de radio 0.5.

07. Dibujar un toro circular.

08. Una cicloide es una curva plana, que traza un punto P situado en el borde de un crculo que rueda sin resbalarse sobre una recta. Establecer que una representacin paramtrica de la cicloide es:

() = (a(( - sen (); a(1- cos ()). Parametrizarda con el parmetro arco y determinar sus puntos singulares. El ngulo puede ser denotado por t u (.

09. Trace la grafica de la imagen de las siguientes funciones vectoriales:

9.1)

9.2)

9.3)

9.4)

9.5)

9.6)

9.7)

9.8)

9.9)

9.10)

9.11)

10 Encontrar una representacin paramtrica de las siguientes curvas:

a)

b)

c)

d)

11. Sean , . Calcular:

a)

;b) ; c)

; d)

y sus dominios de definicin.

PRACTICA 18I.Hallar el dominio de las siguientes funciones vectoriales:

01

02

03

04

05

06

07

08

PRACTICA 19I Calcular los limites

01Calcular los siguientes limites cundo t se aproxima al punto t = t0

a)

, t0 = 2b)

, t0 = 0c)

, t0 = 102 Calcula los siguientes lmites:

a)

b)

c)

d)

II.Calcular los siguientes limites:

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

III. Analizar la continuidad de las funciones vectoriales:

01

02

IV.De las siguientes funciones vectoriales, calcular la primera y segunda derivada.01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

VDada las siguientes funciones vectoriales:

Dibujar la curva determinada por y para el valor de t indicado, representar sobre la misma grafica el vector velocidad y el vector aceleracin .

01

, t = 3/2

02

, t = 3pi/4

03

, t= pi

04

, t = 2

05

, t = 0

VISea el vector de posicin de una partcula en movimiento, donde t (t>0) es el tiempo, describir la forma geomtrica de la trayectoria y encontrar el vector velocidad, aceleracin y rapidez del movimiento de:

01

, en t = pi/4

02

, t = 1

03

04

VIIHallar la funcin vectorial que describe el movimiento indicado: Un punto se mueve sobre la curva y = x3 +1 comenzando en (0, 1) en el instante t = 0, se mueve hacia la derecha y llega al (1, 2) en el instante t = 5.El desplazamiento horizontal del punto es proporcional a la raz cuadrada del tiempo transcurrido desde el comienzo.VIIIConsiderar una partcula movindose sobre la trayectoria descrita (cost, sent, t) donde t es el tiempo. En el tiempo t = Pi, la partcula deja la trayectoria y se va por una tangente (como se despega el lodo de una rueda de bicicleta). Hallar la ubicacin de la partcula en el tiempo t = 2Pi. Suponer que ninguna fuerza acta sobre ella despus de dejar la hlice.IXConsiderar una partcula que se mueve a lo largo de una trayectoria circular por r(t) = (bcos(wt), bsen(wt)), donde w = d(/dt es la velocidad angular constante.

a)Hallar el vector velocidad y comprobar que es ortogonal a r(t)

b)Demostrar que la rapidez de la partcula es bw.

c)Hallar el vector aceleracin y verificar que apunta en todo momento hacia el centro del crculo.

d)Probar que la magnitud del vector aceleracin es w2b.XTrace la curva con la ecuacin vectorial dada. Indique con una flecha la direccin en la que aumenta t.

01 r (t) = ( t4 + 1 , t )

02r (t) = (t , -t , 2t )

03 r (t) = t2i + t4j + t6k

XIDemuestre que la curva con ecuaciones paramtricas x = t cos t, y y = t sen t, z = t se encuentra en el cono z2 = x2 + y2, y utilice este dato para ayudar a trazar la curva.

XIIEncuentre una funcin vectorial que represente la curva de interseccin de las dos superficies.

El cono z = y el plano z = 1 + y

Solucin [ r(t) = t i + (t2 - 1) j + (t2 - 1) k]

XIIISea r(t) = et i + e-2t j, t = 0a) Trace la curva plana con la ecuacin vectorial dada.

b) Halle r(t)

c) Trace el vector de posicin r(t) y el vector tangente r(t) para el valor dad de t.

XIVEncuentre la derivada de la funcin vectorial:

r(t) =Ln (4 t2 ) i + j - 4e3t k

XV.Evale las Integrales

01 dt 02( ( et i + 2t j + Ln t k ) dt

PRACTICA 2001Demostrar que la pendiente de la recta tangente en = 1 a la cicloide

x = a( - sen ), y = a(1 - cos ) es cotan(1/2). Y deducir que la recta tangente a la cicloide es (x, y) forma un ngulo de Pi/2 /2 con el eje X.

02 Considerar la hlice descrita por la funcin vectorial , w>0. Demostrar que la recta tangente, forma un ngulo constante con el eje z y que el coseno de este ngulo es :

03 En el tiempo t una partcula tiene el vector de posicin: .

a) Demostrar que tiene una magnitud constante.

b) Trazar la grafica correspondiente a t en [0, 4Pi].

04Si describe la cada de una pelota. Calcular y dibujar: ,; para t = 0, t = 1, t = 2.

05 Calcular las siguientes integrales:

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

06 Defina lo siguiente:

6.1Qu es curva parametrizada?

6.2 Curva con punto dobles

6.3 Reparmetrizacion de una curva.

6.4 Curva cerrada

6.5 Curva regular.

6.6 Curva simple.

6.7 Orientacin de curvas07Encuentre la velocidad, la aceleracin y la rapidez de una partcula con funcin de posicin dada. Trace la trayectoria de la partcula y trace los vectores de velocidad y aceleracin para el valor dado de t.

a)r(t) = et i + e t j , t = 0

b)r(t) = sen t i + t j + cos t k, t = 0

08Encuentre la velocidad, aceleracin y rapidez de una partcula con la funcin de posicin dada.

a)r(t) = t i + et j + e t k

b)r(t) = et (cos t i + sen t j + t k)

11Se lanza un pelota con un ngulo de 45( con respecto al suelo. Si la pelota cae a 90 m de distancia cul fue la velocidad inicial ?Sol. [30 m/s]12Halle las componentes tangencial y normal del vector de aceleracin

a)r(t) = (3 t t3) i + (3t2) j

Solucin [ 6t, 6]b)r(t) = cos t i + sen t j + t k

Solucin [ 0,1]c)r(t) = et i + t j + e t k

Solucin [et - e t , ]CAPITULO IIVECTORES TANGENCIAL UNITARIO Y NORMAL UNITARIO, Y LA LONGITUD DE ARCO COMO PARMETRO.

Describe los vectores tangente, normal y binormal unitario.

Establece relaciones entre lmites, derivadas y el movimiento (trayectoria, posicin, velocidad, aceleracin).I.VECTOR TANGENTE UNITARIO:

II.VECTOR NORMAL UNITARIO

III.VECTOR BINORMAL UNITARIA

IV.EL VECTOR CURVATURA

V,TORSION

VILA CURVATURA

PRACTICA 2101 Graficar la siguiente funcin, determinando su vector tangente, normal y binormal.

02 Graficar la siguiente funcin , determinando su vector tangente, normal y binormal.

03 Determinar su vector tangente y recta tangente de en t = -pi/204 Determinar su vector tangente y recta tangente de en t = pi/405 Dada las funciones vectoriales. Realizar su grafica y ubicar las tangentes en los puntos indicadosa). t0 = -1,t0 = 0, t0 = 1b). t0 = -1,t0 = 0, t0 = 1

c) t0 = -1,t0 = 0, t0 = 1

d) t0 = -, t0 = 0, t0 = Pi/4

06 Dada la funcin vectorial:.Realizar su grafica y ubicar los vectores tangentes y normales en t0 = -, t0 = 0, t0 = Pi/4

07Determinar la primera y segunda derivada de:

En los ejercicios del 01 al 14, determine T(t), N(t) y B(t); haga un grafico para representar cada uno de ellos que tienen un punto inicial e t = t0 . Adems, calcular el vector curvatura, la curvatura y la torsin.

01

; t0 = pi/2

02

; t0 = pi/3

03

; 0 < t < pi; t0 = pi/2

04

; -pi/2 < t < pi/2; t0 = 0

05

; t0 = 2

06

; t0 = 1

07

; t0 = pi/2

08

; t0 = pi/3

09

; t0 = 0

10

; 0 < t < pi/2

11

12

; t = 0

13

;

14

; t = pi/2

PRACTICA 22En los ejercicios del 01 al 18 obtenga la curvatura usando la formula que corresponda:

;

01

; t = 0

02

; t = 0

03 y = ex ,

04

05 x = seny

06

07

08 y = lnx

09 4x2 + 9y2 = 36

10 y = cosh

11 x = tany

12 x = arctany

13 4x2 - 9y2 = 16

14 y2 = 4px

15 x2 = 4py

16 x2 + y2 = a217 x2 - y2 = a218x1/2 + y1/2 = a1/219 Introducir la longitud de arco como parmetro a lo largo de la curva

a)

b)

20Calcular la primera y segunda derivada de :

a)

b)

21Calcula los vectores T(t), N(t) y B(t) de las funciones vectoriales:

a)

: en t = 0b)

c)

: en t = 0

d)

en t = 3pi/2

e)

: en t = 022

Demostrar que la tangente y la normal a una hlice son o no ortogonales. Usar

23. Calcular las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a cada una de las curvas siguientes en los puntos que se indican:

a)

b)

c)

d)

24

Calcular las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a cada una de las superficies siguientes en los puntos que se indican:

a)

b)

c)

d)

25Encuentre la longitud de la curva de :

R.

26Sea

a)Halle los vectores normal, unitario N(t) y tangente unitario T(t).

b)Hallar la curvatura y el vector curvatura en t = 0.

R. (a)

, (b)

27Hallar la curvatura . En t = pi/4

R.

28Halle la curvatura y el vector curvatura en t = 1 de en el punto

R.

29Hallar la curvatura y el vector curvatura en t = 1 de:

R.

CAPITULO VIINTEGRALES DE LINEA E INTEGRALES DE SUPERFICIE

Explicar geomtricamente los Campos vectoriales. Describir las Integrales de lnea y de superficie.

INTEGRALES CURVILINEAS INDEPENDIENTES DEL CAMINO DE INTEGRACION

Una expresin de la forma P(x,y) dx + Q(x,y) dy es una diferencial exacta si existe una funcin U(x,y) tal que

En este caso la funcin U recibe el nombre de funcin potencial del par de funciones P(x,y) y Q(x,y). En este caso, decimos que la integral curvilnea (C P(x,y) dx + Q(x,y) dy es independiente del camino de integracin. Para que ello ocurra deber ser

luego

Que nos muestra que este resultado es independiente del camino de integracin y que solo depende de las coordenadas de los puntos extremos.

, , , ,

LEMA DE GREEN

Dada una curva cerrada simple regular que limita a una regin R. Si P, Q , son continuas en R, entonces se cumple:

Estas frmulas determinan la relacin entre la integral doble extendida en R y la integral curvilnea a lo largo de la frontera C de R.

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Si la funcin vectorial A(x;y;z) y (.A son continuas sobre la superficie cerrada regular S y en su interior V, y si n es el vector unitario normal a S en cada punto y dirigido hacia el exterior de S entonces: ((S A.n ds = (((V (.A.dv

TEOREMA DE STOKES (O DEL ROTACIONAL)

Sea S una superficie del E3 , cerrada por una curva simple C, cuyas proyecciones sobre los planos coordenados son regiones cerradas por curvas simples y supongamos adems que dicha superficie S puede ser representada por una funcin diferenciable de cualquiera de las siguientes formas : z=f(x,y) , y=g(x,z) , o x= h(y,z)

Sea adems F = F1i + F2j +F3k una funcin vectorial que posee derivadas parciales de primer orden continuas en una regin del espacio que contiene a S

La integral curvilnea de la componente del vector F, en direccin al vector tangente a la curva C, sobre la curva cerrada, en sentido directo, es igual a la integral de superficie de la componente del rotacional de F en direccin normal a S

PRACTICA 23

01Seleccione el campo vectorial correspondiente a cada una de las grficas marcadas del I-IV. Fundamente su seleccin.

R. II

02Seleccione el campo vectorial correspondiente a cada una de las grficas marcadas del I-IV. Fundamente su seleccin.

PRACTICA 2401 Calcular la integral , donde A(3,0) y B(0,3) con respecto de la curva . Sol:

02 Determine el valor de la integral de lnea , a lo largo del segmento de recta que une los puntos y .

03 Calcular , siendo

a)

b) Cualquier circunferencia de centro en el origen.

Sol:a)

b)

04 Compruebe el teorema de Green en el plano, para la integral de lnea , siendo C la circunferencia unidad .

05 Determinar entre A(0,2,0) y B(,1,1) , a lo largo de la curva C el valor de:

Sol:1+

06 Suponga que la fuerza sobre una partcula en el punto (x,y,z) es a) Es conservativo ste campo de fuerzas?

b)Encuentre el trabajo hecho al mover una partcula desde el punto (1,0,0) hasta el (- 1,0,0) a lo largo de la mitad superior de la circunferencia unitaria en el plano XY.

c) Encuentre el trabajo hecho al mover una partcula desde (1,0,0) a (-1,0,0) a lo largo del eje X.

07 Determinar ,

b) Mediante coordenadas paramtricas

c) Integrando respecto de x.

Sol:

08 Determine el trabajo realizado por la fuerza variable , al desplazarse desde el punto A(0,0) hasta el B(1,1):

a)Por el camino (C1)b)Por (C2)

c)Por la curva cerrada compuesta por C1 y C2, en el sentido positivo.

Sol:a) 5/4

b) 4/3

c) -1/12

09 Determinar el valor de la siguiente integral curvilnea: , en donde

Sol:

010 Sea

a)Obtener el valor de la integral a lo largo de toda la curva cerrada C.

b)Hallar I a lo largo de C entre los puntos A(3,0) y B(0,3/2).

Sol:a) 0

b) 27/8

011 Estudiar si a lo largo de todas las circunferencias de centro (0,0) es constante:

(sentido negativo)

012 Para el caso anterior calcular la integral a lo largo de la recta y=1 entre A(-1,1) y B(1,1). Coincide este valor con el que resulta a lo largo del camino ? Justifique.

013 Consideremos , y asimismo , la superficie cerrada S cuyas tapas superior e inferior son respectivamente las superficies . Denotemos por C la circunferencia en el espacio, interseccin de las superficies anteriores.

a) Determine el valor de (sentido positivo)

b) El teorema de Stoke relaciona a la anterior integral I con una integral de superficie J. Obtener una expresin para esta integral J.

Sol:

014 Calcule con donde es la superficie en el primer octante limitada por .015 Calcule la integral con y es la superficie externa del slido acotado por y .

016 Consideremos , y la seccin S del cono , que es interior al cilindro . Comprobar el teorema de Stokes.

017 La superficie esfrica , se cierra con la superficie plana formando una superficie cerrada S. Consideremos , determinar

a) Determinar . se da siempre este ltimo resultado?

b) Se define , calcular , y para comprobar el resultado aplicando el teorema de Gauss.Sol: a) 2, , 0

b)

018 Calcule la integral

a) , donde C es el segmento de recta que va (1,2) a (3,5)

b) , donde C es el cuarto de la circunferencia x2 + y2 = 4 que va (0,2) a (-2,0)

019 Calcule la integral, donde C es el arco de la elipse , a > b situado en el segundo cuadrante.020 Calcule la integral, en la curva C que se indica entre los puntos (0, 0) a (1,1) a lo larga de a) y = x ; b) y = x2 ; c) x = y3; d) y = x3 .

021 Calcule la integral, donde C es la cuarta parte de la astroide desde el punto (0, 0) hasta el punto (0, b).022 Siendo los puntos inicial A(0,1) y final B(1, 2) . Calcular la integral

023 Calcule la integral a) , donde C es el segmento de recta que va (1,2) a (3,5)

024 Calcule la integral, donde C es el arco de la elipse , situado en el segundo cuadrante.

025 Calcule la integral, en la curva C que se indica entre los puntos (0, 0) a (1,1) a lo larga de

a) y = - x ; b) y = -x2 ; c) x2 = y3; d) y = - x3 .

026 Calcule la integral, donde C es la cuarta parte de la astroide desde el punto (-b, 0) hasta el punto (0, -b).027 Siendo los puntos inicial A(-3,-1) y final B(1, 2) . Calcular la integral

PRACTICA 2501Calcular:

, siendo ( la curva mostrada en la Fig.5 , con la orientacin indicada.

02Evaluar donde C es la lnea cerrada que consta de las siete partes mostradas en la figura.

03Calcular la integral curvilnea tomndola a lo largo de los diferentes caminos, que parten del origen de coordenadas O(0;0) y que finalizan en el punto A(2;1):

a) sobre la recta OmA

b) sobre la parbola OnA, cuyo eje de simetra es el eje de ordenadas.

c) sobre la parbola OpA, cuyo eje de simetra es el eje de abscisas.

d) Sobre la poligonal OBA

e) Sobre la poligonal OCA

04Evaluar , , en la curva C indicada:

a)G(x, y) = 2xy; x = cost, y = sent, .

b)G(x, y) = x3 + 2xy2 + 2x; x = 2t, y = t2, .

05Evaluar , ,

EMBED Equation.3 en la curva C indicada:

a)G(x, y,z) = z; x = cost, y = sent, z = t; .

b)G(x, y,z) = 4xyz+ 2x; x = 1/3 t3, y = t2, z = 2t.

06Evaluar en la curva C que se indica entre los puntos [-1, 2] y (2, 5]:a) y = x + 3

b) y = x2 + 1

c) En la poligonal que se muestra en la figura

07Evaluar en la curva C indicada entre (0, 0) y (1, 1):

a)y = x

b)y = x2.

c)y = x3

d) C consiste en los segmentos de recta de (0, 0) a (0, 1) y de (0, 1) a (1, 1)e) C consiste en los segmentos de recta de (0, 0) a (1, 0) y de

(1, 0) a (1, 1).08Calcular si C esta dada por ; y = t ,

09Determinar, donde C es el cuadrado de vrtices (0, 0); (1, 0); ( 0, 1); (1, 1).

10Evaluar, donde C es el tringulo de vrtices (0, 0); (0, 4); (2, 4).

11Calcular, si C es la circunferencia x2 + y2 = 25 .

12Determinar, donde C es la elipse x =2cos t , y = 3sen t, 0 t 2pi A qu es igual el valor de esta integral?.

13Evaluar , en la curva C indicada, entre los puntos (0, 0, 0) y (6, 8, 5):

a) C consiste en los segmentos de recta de (0, 0, 0) a (2, 3, 4) y de (2, 3, 4) a (6, 8, 5).

b) x = 3t y= t 3 z= 5 t2 / 4 .

14Evaluar: si:

a)

b)

15Aplicar el teorema de Green para calcular las siguientes integrales:

a)

, donde C es la circunferencia (x -1)2 + (y + 3)3 = 25

b)

, donde C es la circunferencia x 2 + y 3 = 25.

c)

, donde C es la elipse 9(x -1)2 - 4(y - 3)3 = 36.d)

, siendo C el triangulo con vrtices (0, 0); (0, 1); (-1, 1).

e)

, donde C es la frontera de la regin del primer cuadrante determinada por las graficas de y = 0; x = y2; x = 1 y2.

16Evaluar , sobre la curva cerrada mostrada en la figura.

17Calcular el rea del recinto:

a)

b)para la figura:

18 Evaluar utilizando el teorema de Green la integral curvilnea

en donde C ( R2 es el cuadrado con vrtices (0; 0), (1; 0), (1; 1) y (0; 1). (Sol: -1/3).

Evaluar las siguientes integrales curvilneas de dos maneras:

(a) de manera directa, y (b) utilizando el teorema de Green.

19, en donde C es el triangulo con vrtices (0; 0), (1; 1) y (0; 1). (Sol: -1/5).

20(C(x + 2y)dx + (x - 2y)dy, en donde C consta del arco de la parbola y = x2 de (0; 0) a (1; 1), seguido por el segmento rectilneo de (1; 1) a (0; 0). (Sol: -1/6).

En los ejercicios del 21 al 28, aplicar el teorema de Green para evaluar en cada caso concreto la integral curvilnea a lo largo de la curva positivamente orientada C dada.

21(C xydx + y5dy, en donde C es el triangulo con vrtices (0; 0), (2; 0) y (2; 1). (Sol: -4/3).

22(C x2ydx + xy5dy, en donde C es el cuadrado con vrtices (1; 1). (Sol: -4/ 3).

23(C (y + e2x)dx + (2x + cos y2)dy, en donde C es la frontera de la regin limitada por las parbolas y = x2 y x = y2. (Sol: 1/3).

24 (C x2dx+ y2dy, en donde C es la curva x6 +y6 = 1, que es cerrada y simple. (Sol: 0).

25(C x2ydx -3y2dy, en donde C es la circunferencia x2 + y2 = 1. (Sol: -/4).

26(C x2ydx _ 3y2dy, en donde C consta del segmento rectilneo que va de (-2; 0) a (2; 0) y la mitad superior de la circunferencia x2 + y2 = 4. (Sol: 0).

27(C (xy + exp(x2) )dx + (x2 -log(1 + y))dy, en donde C consta del segmento rectilneo de (0; 0) a (; 0) y la curva y = sen x, 0 ( x ( . (Sol: ).

28(C (y2 - x2y)dx + xy2dy, en donde C consta del arco de la circunferencia x2 + y2 = 4 que va de (2; 0) a ((2;(2) y los segmentos rectilneos de ((2;(2) a (0; 0) y de (0; 0) a (2; 0). (Sol: + 16(1- (2)/3(2).

29Calcular el rea de la regin limitada por la hipocicloide, que es una curva con ecuacin (t) = (cos3 t; sen3 t), 0 ( t ( 2 . (Sol: 3 / 8).

30Sea C ( R2 una curva cerrada simple que encierra un dominio D ( R2. Demostrar que el rea de D es (C xdy.

31Aplicar el ejercicio anterior para calcular el rea de la regin limitada por la curva C parametrizada por (t) = (cos t; sen3 t), 0 ( t (2 . (Sol: 3 / 4).

32Evaluar la integral (C -2x2ydx + xy3dy; donde C es la curva positivamente orientada de R2 que consta del segmento que une

(-1; 0) con (0; 0), el segmento que une (0; 0) con (0;-1) y el arco de circunferencia que une (0;-1) con (-1; 0) y pasa por el punto (1; 0).

33Calcular la integral curvilnea (C (x2y - cos x)dx + (x - xy2)dy aplicando el teorema de Green. Aqu C es positivamente orientada y consta del arco de la circunferencia unidad que une (1; 0) con ((2=2; (2/2), y los segmentos rectilneos de ((2/ 2; (2/ 2) a (0; 0) y de (0; 0) a (1; 0), en ese orden.

34Sea D (R2 una lmina pesada con densidad lineal constante (x; y) = , limitada por una curva cerrada simple C. Demostrar que los momentos de inercia de la lamina respecto de los ejes son:

PRACTICA 2601. Calcular la circulacin del campo vectorial: v (P) = x i + y j + (xz y) k a lo largo del segmento rectilneo r (t) = t i + 2t j + 4t k desde el origen de coordenadas al punto (1, 2, 4). [Sol. 23/6]

02. Calcular la circulacin del campo vectorial: v (P) = (2a y) i + x j a lo largo de la curva: r (t) = a (t sen t) i + a (1 cos t) j desde el punto (2a, 0) al origen de coordenadas. [Sol. 2(a2]

03. Calcular la circulacin dada por la integral siendo L el cuarto de circunferencia que une el punto (a, 0) con el (0, a). [Sol. a2 / (1 + a2)1/2]

04. Calcular la circulacin dada por la integral a lo largo de la circunferencia: r (t) = R cos a cos t i + R cos a sen t j + sen a k desde t = 0 hasta t = 2[Sol. R2(cos2a]

05. Calcular la circulacin dada por la integral siendo L la primera espira de la hlice: r (t) = (a cos t, a sen t, b t), partiendo del punto (a, 0, 0). [Sol. (a2 + b2)1/2 /ab * Arctg (2(b/a)]

06. Calcular la circulacin dada por la integral siendo L el arco de espiral logartmica de ecuacin polar = a e m(con m > 0) desde el punto = a) hasta ( = (, = 0). [Sol. a5 (1 + m2)1/2 / 5m]

07. Calcular la circulacin del campo vectorial v (P) = (x + y, y x) a lo largo del circuito cerrado que une los puntos (1, 0) y (2, 3) mediante la parbola x2 = y + 1 y el segmento de recta correspondiente, en sentido positivo. [Sol. 1/3]

08. Calcular la circulacin del campo vectorial v (P) = z i, a lo largo de la curva L interseccin de la esfera x2 + y2 + z2 = R2 y el cilindro x2 + y2 Rx = 0, desde el punto (0, 0, R) al punto (R, 0, 0). [Sol. 2R2 / 3]

09. Obtener el trabajo (circulacin) de la fuerza (campo vectorial) F (P) = xy i + x6 y2 j para mover una partcula desde el origen (0, 0) hasta la recta x = 1 siguiendo la curva y = x2. [Sol. 5/12]

10. Dado el campo vectorial v (P) = (2xy + y2, x2 + 2xy). Se pide:

a) Demostrar que v (P) es un gradiente y por tanto un campo conservativo.

b) Calcular la circulacin de v (P) desde el punto (0, 0) al (2, 1). [Sol. 6]

c) Calcular la correspondiente funcin potencial U (x, y). [Sol. U = yx2 + y2x + K]

d) Calcular la circulacin de v (P) desde el punto (0, 0) al (2, 1) mediante la funcin potencial. [Sol. 6]

e) Calcular la circulacin cerrada de v (P) a lo largo de la circunferencia x2 + y2 = R2 en sentido positivo. [Sol. 0]

11. Mediante el teorema de Green, calcular la circulacin cerrada del campo vectorial v (P) = (-x2y, xy2) a lo largo de la circunferencia de radio R centrada en el origen de coordenadas y recorrida en sentido positivo. [Sol. (R4 / 2]

12. Mediante el teorema de Green, calcular la circulacin cerrada del campo vectorial v (P) = (y2, x) a lo largo del cuadrado de vrtices (2, 0), (0, 2), (-2, 0) y (0, -2) recorrido en sentido positivo. [Sol. 4]

( P

(

P2

(

P1

0

( (

P1P = t P1P2

( ( (

0P = 0P1 + P1P

( ( (

0P = 0P1 + t P1P2

( (

0P = 0P1 + t V

Ecuacin vectorial de la recta en el espacio

x x1 = y y1 = z z1

a b c

Ecuacin simtrica

Sea Po=(xo,yo,zo) un punto conocido perteneciente al plano y n un vector dado, normal; n= (a, b, c)

Sea P=(x,y,z) un punto genrico del plano.

El vector PoP ( ( PoP ( n = 0

( a(x-xo) + b(y-yo) + c(z-zo) = 0

ax+by+cz = axo+byo+czo

d

d se obtiene a partir de trminos conocidos

Po (xo, yo, zo)

P (x, y, z)

(

(

n

ax+by+cz = d

Ecuacin cartesiana del plano

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

PAGE 1FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL UNCP CALCULO III

NOBEL LEYVA

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2

2

2

x + y = a

X

Y

3a

a

a

x+y = 3a

0

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