Calculo III Ejemplos Metodo de Lagrange Para Ingenieria.

7/28/2019 Calculo III Ejemplos Metodo de Lagrange Para Ingenieria.

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Profesor:

Pedro Colina

Maracaibo, junio de 2009

REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELALA UNIVERSIDAD DEL ZULIA

FACULTAD DE INGENIERIACICLO BSICOMARACAIBO

CALCULO III


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METODO DE LOS MULTIPICADORES DE LAGRANGE

Este es un mtodo que permite encontrar valores extremos, mximos o mnimos (maximizaro minimizar) de una funcin general ( )nxxxf ,...,. 21 sometida o sujeta a alguna condicin orestriccin de la forma ( ) kxxxg n =,...,, 21 .

El mtodo establece una ecuacin en funcin de las condiciones o restricciones que debecumplir la funcin, en todo caso se resuelve una ecuacin vectorial llamada ecuacin de Lagrange.

Considerando una restriccin.Para cuando la funcin ( )nxxxf ,...,. 21 debe cumplir una restriccin ( ) kxxxg n =,...,, 21

. La ecuacin de Lagrange tiene la forma:

gf = ,

Donde :f es el gradiente de la funcin;

:g es el gradiente de la restriccin;: es una constante, el multiplicador de Lagrange

Considerando dos restricciones.

Para cuando la funcin ( )nxxxf ,...,. 21 debe cumplir dos restricciones( ) kxxxg n =,...,, 21 y ( ) kxxxh n =,...,, 21 la ecuacin de Lagrange se escribe:

hgf += ,

Se debe resolver el sistema de ecuaciones dadas a travs de la ecuacin vectorial y ademsla condicin o condiciones formarn parte de ese sistema a resolver.

Se pudiera establecer un procedimiento general para aplicar el mtodo el cual se puedeestablecer as:

Identificar la funcin de donde se desea hallar el valor mximo o mnimo, esta se llamafuncin a optimizar, a la que se desea hallar los valores extremos.

Identificar la o las restricciones a cumplir por la funcin. Hallar el gradiente de la funcin: por ejemplo si la funcin es de tres variables:

( ) ( )fzfyfxzyxf ,,.. = Hallar el gradiente de la restriccin: ( ) ( )gzgygxzyxg ,,.. = Formar la ecuacin vectorial: gf = o hgf += , para cuando hay una o

dos condiciones a cumplir respectivamente. Formar el sistema de ecuaciones que incluya las condiciones las condiciones. Determinar todos los valores x, y, z y que satisfagan gf = y ( ) kzyxg =,, .

Formar los puntos Evaluar todos los puntos ( )zyx ,, del resultado anterior en la funcin ( )zyxf ,, . El

mayor de los valores ser el valor mximo de la funcin y el ms pequeo es el valormnimo de la funcin.

Matemtica III Prof. P. Colina2

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EJEMPLOS DEL METODO DE LAGRANGE

Ejemplo 1:Cul es el rea mxima que puede tener un rectngulo si la longitud de su diagonal es 4

Solucin:Represente un rectngulo con ladosxey, base y altura respectivamente.

La longitud de la diagonal es 4, fjese que se forma un triangulo rectngulo.Funcin a optimizar: maximizar en este caso: rea.rea de un rectngulo:A = x.yCondicin a cumplir: 224 yx += :

De una manera ms fcil:2216 yx +=

Al tener identificadas la funcin y la condicin, se determinan los gradientes.

( ) ( )xyAyAxA ,, ==( ) ( )yxgygxg 2,2, ==

As las ecuaciones de Lagrange son:

( )xy 2= . (1))2( yx = .. (2)422 =+yx (3)

Al resolver el sistema, una de las formas puede ser:Multiplicar la ecuacin (1) porx, y tambin la ecuacin (2) pory,

( )22xxy = . (4))2(

2yyx = .. (5)

Se igualan las ecuaciones (4) y (5)( ) ( )22 22 yx = Al simplificar queda:

22 yx = ; queda: xy = .Luego una variable se expresa en funcin de la otra y se sustituye en la ecuacin (3).

Si y = x( ) 222 216 xxx =+= , entonces

8=x

Matemtica III Prof. P. Colina

x

y4

3

3


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Como estamos midiendo distancias,xsolo puede tomar valores no negativos, as que se tiene unnico punto que es para x= 8, la altura y tambin vale.As se concluye que las dimensiones del rectngulo corresponden con un cuadrado de lado 8 . Surea ser: A= 8 * 8 =8

Ejemplo 2:Cules son los valores mximos y mnimos que puede tener una la funcin ( ) 22 2, yxyxf += ,sobre el crculo 122 =+yx ?

Solucin:Se pide calcular los valores extremos de la funcin ( ) 22 2, yxyxf += sujeta a la restriccin

( ) 1, 22 =+= yxyxg

Calculamos los gradientes:( )yxf 4,2=( )yxg 2,2=

Las ecuaciones de Lagrange pueden escribirse:

xx 22 = ec n 1yy 24 = ec n 2

122 =+yx ec n3

Partiendo de la ecuacin N 1 se tiene: xx 22 =

022 = xx ( ) 012 =x

0=x y 1= , entonces se verifican estos dos valores en las otras ecuaciones.

Six=0 en la ec n4 se obtiene: 1=y

Luego si 1= , en la ec n2 se tieney=0, y luego en la ec n3, 1=x

Como consecuencia, ( )yxf , tal vez tiene valores extremos en los puntos: (0,1) (0,-1) (1,0)

(-1,0)Al evaluar a ( )yxf , en esos cuatro puntos se encuentra que:

o

( )( )( )

1)0,1(

10,1

21,0

21,0

=

=

=

=

f

f

f

f

Por consiguiente, hay dos valores mximos en los puntos (0,1); (0,-1) y dos valores mnimos en lospuntos: (1,0) y (-1,0).


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Ejemplo 3:Determine las dimensiones de un cilindro circular recto con volumen mximo si el rea de

su superficie es de 24 (unidades de longitud cuadradas).

Solucin:Del enunciado se saca que la funcin que se quiere maximizar, en este caso, es la funcinvolumen del cilindro circular recto. La expresin de volumen para un cilindro circular recto es:

V(h,r) = hr

h: es la altura del cilindror: es el radio del cilindro

La restriccin o la condicin que debe cumplir la caja es que la superficie de la caja serigual a 24 (unidades de longitud cuadradas), escribimos la expresin de la superficie del envase

cilindro circular recto considerando el fondo del recipiente y su tapa.S(h,r)= 2 r + 2 hr = 24

Observe que las expresiones del volumen y de la superficie estn dadas respecto a lasmismas dos variables: h y r.

Determinamos los gradientes.

a) primero de la funcin a maximizar, la funcin volumen

Vh = r

Vr = 2 hr

( ) ( )hrrV rh 2,2

, =

b) luego el gradiente de la restriccin

Sh =2r

Sr = 4r + 2 h

( ) ( )hrrS rh 24,2, +=

La ecuacin de Lagrange se escribe:

( )hrr 2,2 = ( )hrr 24,2 +

Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualacin de cada componente:

r = 2r ec n 1

2 hr = (4r + 2 h) ec n 2, adems de

2 r + 2 hr = 24 ec n 3

Despejando de las ecuaciones n 1 y n 2, se tiene:


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22

2r

r

r==

( ) hrhr

hr

hr

+

=

+

=

222

2

Al igualar ambas se obtiene:

hr

hrr

+

=

22

( ) hrhrr 22 =+( ) hhr 22 =+

rh 2= , se sustituye en la ecuacin n 3 y se obtiene:

2 r + 2 2rr = 24

2 r + 4r = 24

6 r = 24

r = 4

r = 2, pero solo se considera el valor positivo ya que r representa una distancia,

as que el valor del radio r es 2, la altura h=4.

Finalmente se concluye que las dimensiones que producen el volumen mximo de uncilindro circular recto para una superficie de 24 son: h = 4 ; r = 2

Ejemplo 3:Se desea fabricar una caja de cartn donde el material de los lados y la tapa es de Bs

1/metro cuadrado y el costo del material del fondo es de Bs 3/ metro cuadrado. Determine lasdimensiones que debe tener la caja para que su volumen sea de 2 metros cbicos y su costo seamnimo.

Solucin:Primero dibujamos la caja donde sus lados sean paralelos al sistema de

referencia xyz.

Del enunciado se saca que la funcin que se quiere minimizar, en este caso, es la funcin

costo. Entonces debemos escribir la llamada funcin costo, veamos, hay dos precios diferentesinvolucrados en la fabricacin de la caja: el fondo por un lado y las paredes o lados laterales y latapa. Entonces:

Costo total = costo total fondo caja + costo total lados-tapa,Adems:

Costo total fondo caja= costo unitario fondo*rea de fondoCosto total lados-tapa = costo unitario lados-tapa*rea lados- tapa.


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As que se puede escribir el costo total de la siguiente manera:

Si Identificamos:Costo total: CT.Costo unitario fondo: Cf.Donde Cf = 3 Bs/m

rea de fondo:Af.Donde Af = x*yCosto unitario lados-tapa: Cl-t. Donde Cl-t =1 Bs/mrea lados-tapa:A l-t.Donde Al-t = x*y + 2x*z + 2y*z

Entonces:CT = Cf*Af + Cl-t*Al-t

Escribindolo en formulas se tiene:CT = 3 Bs/m* x*y + 1 Bs/m (x*y + 2x*z + 2y*z)

Asumiendo que las unidades son correspondientes:CT = 3 x*y + (x*y + 2x*z + 2y*z)

CT = 4 x*y + 2x*z + 2y*z

Finalmente esa es la formula a optimizar, de aqu vamos a hallar el costo mnimo de la cajacon esas condiciones.

La restriccin o la condicin que debe cumplir la caja es que el volumen de la caja ser:V= xyz = 2

Determinamos los gradientes.CTx = 4 y + 2z

CTy = 4x + 2z

CTz = 2x + 2y

( )yxzxzyCT 22,24,24 +++=

Vx= yz

Vy= xz

Vz= xy

( )xyxzyzV ,,=


( )yxzxzy 22,24,24 +++ = ( )xyxzyz ,,


4 y + 2z =yz ec n 1

4x + 2z = xz ec n 2

2x + 2y= xy ec n 3, y adems

xyz = 2 ec n4


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Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales por cualquiera de los mtodos conocidos para estoscasos.En particular, en este caso se multiplicara la ec n 1 porx, la ec n 2 pory, la ec n 3 porz. quedanas las ecuaciones:

4 xy + 2xz =xyz ec n 5

4xy + 2yz = xyz ec n 62xz + 2yz= xyz ec n 7, y aun se tiene la ec n 4.

Fjese que las tres ecuaciones poseen igual los segundos trminos (xyz), as que los igualaremos atravs de ellos.

Al igualar las ecuaciones n 5 y n 6:4 xy + 2xz = 4xy + 2yz, luego2xz = 2yz, entoncesx = y, .ec n8

Al igualar las ecuaciones n 5 y n 7:4 xy + 2xz = 2xz + 2yz , luego4 xy = 2yz , entonces2x =z, ec n9

Luego se sustituyen las expresiones encontradas en las ecuaciones n8 y n9 en la ecuacin n4, deesa manera queda una sola ecuacin con una sola incgnita que es la x.

xx2x = 2, entonces queda

x=1 y finalmente se obtiene

x= 1

Ahora por las ecuaciones n 8 y n 9 se obtiene que las dimensiones de la caja son:x = 1, y = 1, z = 2.

Note que efectivamente el volumen de la caja es de 2 m.

El costo mnimo de la caja a construir ser:CT = 4(1)(1) + 2(1)(2) + 2(1)(2) = 4 + 4 + 4 = 12 bolvares

Comentario:

En el costo del valor final de la caja, 12 bolvares, parece alto para la realidad, pero es que se

usaron valores enteros para que los valores a calcular fuesen fciles de ver.

Luego se resolvern ejemplos mas complicados.

Ejemplo 4:

El material para el fondo de una caja rectangular cuesta el triple por metro cuadrado que el materialpara los lados y la tapa. Determine la mxima capacidad (volumen) que la caja puede tener si lacantidad total de dinero a gastar es de 6 bolvares y el material del fondo cuesta Bs 0.90/metrocuadrado.


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Solucin:Primero dibujamos una caja donde sus lados sean paralelos a los ejes del sistema de referencia xyz.

Del enunciado se saca que la funcin que se quiere maximizar, en este caso, es la funcin capacidado volumen. Entonces debemos escribir la llamada funcin del volumen de la caja de acuerdo a suexpresin geomtrica.

V= xyz

Ahora identifiquemos la restriccin: el costo fijo de la caja es de 6 bolvares, pero observemos quehay dos precios diferentes involucrados en la fabricacin de la caja: el fondo por un lado y lasparedes o lados laterales y la tapa. Escribamos la expresin del costo que es fijo e igual a 6bolvares, entonces:

Costo total =6 Bs = costo total fondo caja + costo total lados-tapa,

Adems:

Costo total fondo caja= costo unitario fondo*rea de fondoCosto total lados-tapa = costo unitario lados-tapa*rea lados- tapa.

As que se puede escribir el costo total de la siguiente manera:

Si Identificamos:Costo total: CT.Costo unitario fondo: Cf.Donde Cf = 3 Bs/mrea de fondo:Af.Donde Af = x*yCosto unitario lados-tapa: Cl-t. Donde Cl-t =1 Bs/mrea lados-tapa:A l-t.Donde Al-t = x*y + 2x*z + 2y*z

Entonces:CT = 6 = Cf*Af + Cl-t*Al-t

Escribindolo en formulas se tiene:

6 = 0.9 Bs/m* x*y + 0.3 Bs/m (x*y + 2x*z + 2y*z)

Si decimos que las unidades son correspondientes, escribimos la expresin de manera mssencilla:

6 = 0.9 x*y + 0.3 (x*y + 2x*z + 2y*z)

6 = 1.2 x*y + 0.6x*z + 0.6y*z



Vx= yz

Vy= xz

Vz= xy


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( )xyxzyzV ,,=


CTx = 1.2 y + 0.6z

CTy = 1.2x + 0.6z

CTz = 0.6x + 0.6y

( )yxzxzyCT 6.06.0,6.02.1,6.02.1 +++=


( )xyxzyz ,, = ( )yxzxzy 6.06.0,6.02.1,6.02.1 +++


yz = ( 1.2 y + 0.6z) ec n 1xz = (1.2x + 0.6z) ec n 2

xy=(0.6x + 0.62y) ec n 3, y adems

6 = 1.2 x*y + 0.6x*z + 0.6y*z ec n4


xyz = 1.2 xy + 0.6 zx ec n 5

yxz = 1.2x y + 0.6 yz ec n 6xyz = 0.6 xz + 0.6 yz ec n 7, y adems

6 = 1.2 x*y + 0.6x*z + 0.6y*z ec n4

Fjese que las tres ecuaciones poseen igual los primeros trminos (xyz), as que los igualaremos atravs de ellos.

Al igualar las ecuaciones n 5 y n 6:

1.2 xy + 0.6zx = 1.2 x y + 0.6yz

0.6zx = 0.6yz

x = y

Al igualar las ecuaciones n 5 y n 7:1.2 xy + 0.6 zx = 0.6 xz + 0.6 yz

1.2 xy = 0.6 yz

1.2 x = 0.6 z

2 x = z

Se escribe la ec n 4 respecto de una variable


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6 = 1.2 xx + 0.6 x2x + 0.6 x2x

6 = 1.2 x + 1.2 x + 1.2 x

6 = 3.6 x

2

6.36 x= , 6.36=x

Como x representa una distancia se toma el valor positivo.

As que:6.3

6=x

Entonces los valores de las dimensiones de la caja son:

6.36=x ;

6.36=y ; ( )

6.362=z

La capacidad total ser:

V=6.3

6 *6.3

6 * ( )6.3

62 = 2 ( )36.3

6 [ ]3m .

Ejemplo 5:

Determine las dimensiones de una caja rectangular con la capacidad mxima, es decir con elmximo volumen, si el rea de la superficie total ser 64 cm. cuadrados.

Solucin:Primero dibujamos una caja donde sus lados sean paralelos a los ejes del sistema de

referencia xyz.

Del enunciado se saca que la funcin que se quiere maximizar, en este caso, es la funcincapacidad o volumen de una caja rectangular o de un paraleleppedo rectangular.

Entonces debemos escribir la llamada funcin del volumen de la caja de acuerdo a suexpresin geomtrica.

V= xyz

Adems, se identifica la condicin a cumplir o la restriccin, dada por la superficie que debeposeer dicha caja, que es de 64 cm. cuadrados. Escribimos el rea de la superficie (S):

S= 2xy + 2yz + 2xz = 64



Vx= yz

Vy= xz


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Vz= xy

( )xyxzyzV ,,=


Sx = 2y + 2z

Sy = 2x + 2zSz = 2x + 2y( )yxzxzyS 22,22,22 +++=


( )xyxzyz ,, = ( )yxzxzy 22,22,22 +++


yz = ( 2 y + 2z) ec n 1

xz = (2x + 2z) ec n 2xz = (2x + 2y) ec n 3 y adems

2xy + 2yz + 2xz = 64ec n4


xyz = 2 x y + 2 x z ec n 5

xyz = 2 xy + 2 y z ec n 6

xyz =2 xz + 2 yz ec n7

Fjese que las tres ecuaciones poseen igual los primeros trminos (xyz), as que los igualaremos atravs de ellos.

Al igualar las ecuaciones n 5 y n 6:

2 x y + 2 x z = 2 xy + 2 y z

2 x y + 2 x z = 2 xy + 2 y z

2 x z = 2 y z, se obtiene:

x = y

Al igualar las ecuaciones n 5 y n 7:2 x y + 2 x z = 2 xz + 2 yz

2 x y = 2 yz

x = z

As que se tiene:x =y = z

Se escribe la ecuacin n4 en funcin de una sola variable:2xy + 2yz + 2xz = 64ec n4, respecto de x por ejemplo, queda:


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64222222=++ xxx

6462=x

6642 =x

332

664 ==x ,por representar x una distancia se toma el valor positivo, as que:

332=x , entonces:

332=== zyx y se concluye que: el volumen mximo para la condicin dada es:

3

3

,3

323

323

323

32 cmxy zV

=== .

Ejemplo 5:

Determine cual es la distancia ms corta entre el plano cuya ecuacin es 1232 =++ zyx y elpunto origen del sistema 3 .

Solucin:

Del enunciado se obtiene que la funcin que se quiere minimizar, en este caso, es la funcindistancia entre dos puntos de 3 . Fjese que el enunciado establece: la distancia ms corta, eso serefiere a la menor de las distancias, a la mnima distancia entre dos puntos, donde uno de lospuntos es el origen y el otro punto debe estar sobre la superficie dada. Se desea optimizar la

distancia.

Entonces debemos escribir la llamada funcin distancia (d).222 zyxd ++=

Adems, se identifica la condicin a cumplir o la restriccin, eso es que el punto debe estarcontenido en el plano dado por: 1232 =++ zyx .

Una observacin muy importante y que nos ahorrara mucho tiempo y esfuerzo es quepodemos trabajar con la distancia al cuadrado, es decir la funcin a minimizar se puede escribircomo: 2222 zyxd ++= , el alumno deber demostrar que esto es cierto. Para ello deber

trabajar con la ecuacin normal de la distancia 222 zyxd ++= y/o revisar bibliografas parallegar a comprender y concluir que se obtienen los mismos valores.


a) primero de la funcin a minimizar, la funcin distancia:

dx= 2x

dy= 2y

dz= 2z


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( )zyxV 2,2,2=


Sx = 1

Sy = 2

Sz = 3

( )3,2,1=S


( )zyx 2,2,2 = ( )3,2,1

Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualacin de cada componente:=x2 ec n122 =y ec n232 =z ec n3, y adems

1232 =++ zyx ec n4

Se resuelve el sistema de ecuaciones a partir de la igualacin de .Al igualar las ecuaciones n 1 y n 2:

( )xy 222 = , y queda: xy 2= ec n 5

Al igualar las ecuaciones n 1 y n 3:( )xz 232 = , y queda: xz 3= ec n 6

Se sustituyen las expresiones de restas dos variables en la ec n 4 para que quede respectode una variable.

( ) ( ) 123322 =++ xxx , as que

1294=++

xxx1214 =x

7

6=x

Se obtienen los valores de los otras dos variables:

7

12=y Adems:

7

18=z .

As que la distancia mas corta entre el punto (0,0,0) y el plano dado es:

( ) ( ) ( ) 2227

187

127

6 ++=d 21.329,10

Ejemplo 6:Determine la mnima distancia entre el origen y la superficie 0922 =+zyx .

Solucin:


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Del enunciado se obtiene que la funcin que se quiere minimizar, en este caso, es la funcindistancia entre dos puntos de 3 , donde uno de los puntos es el origen y el otro punto debe estarsobre la superficie dada.Se desea optimizar la distancia.

Entonces la ecuacin la llamada funcin distancia (d).222 zyxd ++=

Adems, se identifica la condicin a cumplir o la restriccin, eso es que el punto debe estarcontenido en la superficie dada por. 0922 =+zyx . Es decir, debe satisfacer la ecuacin de esasuperficie.

Una observacin muy importante y que nos ahorrara mucho tiempo y esfuerzo es que, denuevo, al igual que en el ejemplo anterior, se puede trabajar con la distancia al cuadrado, es decir lafuncin a minimizar se puede escribir como: 2222 zyxd ++= , el alumno deber demostrar queesto es cierto. Para ello deber trabajar con la ecuacin normal de la distancia

222 zyxd ++= y/o revisar bibliografas para llegar a comprender y concluir que se obtienen losmismos valores.


a) primero de la funcin a minimizar, la funcin distancia:

dx= 2x

dy= 2y

dz= 2z( )zyxV 2,2,2=


Sx = 2xy

Sy = x

Sz = -2z( )zxxyS 2,,2 2 =


( )zyx 2,2,2 = ( )zxxy 2,,2 2

Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualacin de cada componente:xyx 22 = ec n 122 xy = ec n 2zz 22 = ec n 3, y adems

0922 =+zyx ec n 4

Se resuelve el sistema de ecuaciones, veamos como se hace en este caso:

De la ecuacion n 1 se tiene, al hacer cero de un lado:022 = xyx ,

( ) 012 = yx , de aqu salen dos situaciones:


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i. 0=x . Entonces six=0, de la ec n 2 queda y=0 , y al sustituir en ec n 4 seobtiene: 3=z . Se obtienen los puntos: 1P :(0,0,3) y 2P : (0,0,-3).

ii. 01 = y , se despeja , se tiene:y

1= ,

se sustituye en la ec n 3, se observa: 1=yse sustituye en la ec n 2 y queda: 22 x= ,entones 2=x luego al sustituir los

valores 1=y ,2

2 x= ambos en la ec n 4: ( ) 09122

=+ z que al resolver seobtiene: 7=z .

De esta parte se han obtenido los siguientes puntos: 7,1,2:3 P :

( 7,1,2:4 P :7,1,2:5 P :

( 7,1,2:6 P :

Seguimos analizando las opciones planteadas del sistema de ecuaciones, de la ec n 3.

zz 22 =

022 =+ zz

( ) 012 =+z de aqu tambin salen dos situaciones:i. 01 =+ , pero esta opcin ya fue considerada en la parte anterior, as que no se

estudiar de nuevo.ii. 0=z . De la ec n 4 se obtiene: 092 =+yx , .. ec n 5

adems92 =yx , se puede comentar aqu quey debe ser negativo.

Si multiplico la ec n 1 porx, la n 2 pory se obtiene:yxx 22 22 = as que 92 =x ec n 6

yxy 222 = as que 92 2 =y ec n 7Que al igualar estas dos ltimas ecuaciones se obtiene: 222 xy = ec n8que al sustituirla en la ec n 5 se obtiene:

092 2 =+yy ,092 3 =+y ,

33

2929 == yy

Esto representa otro valor probable paray.

Entonces de 222 xy = , se obtienen dos valores parax.2

32

292

=x ,

631

1624

812 ==x , de igual forma


16


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632 1624

812 ==x ,

Se forman dos puntos posibles ms:

0,

29,162: 36

7P : y

0,

29,162: 36

8P .

Con esta parte damos por terminada la bsqueda de los puntos crticos, hemos obtenido ochopuntos crticos al analizar todas las posibles condiciones que se pueden dar en este caso.

Finalmente vamos a hallar las distancias para saber cual es la menor de todas, que es el objetivodel ejercicio.

Fjese que la distancia a los puntos: 1P :(0,0,3) y 2P : (0,0,-3), es la misma: ( ) 33 2 ==d.

Tambin la distancia a los puntos: 3P , 4P , 5P , 6P es la misma y es igual a:

( ) ( ) 107122

22

=++=d

Adems la distancia a los puntos 7P y 8P , tambin es igual:

( ) ( ) 33.229162 2326 +=d

Concluimos que la distancia mnima del origen a la superficie es igual a 2,33 unidades delongitud.


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Ejercicios propuestos y tarea a realizar.

1) Determine las dimensiones de una caja rectangular de volumen 2 m para que la suma de laslongitudes de las aristas sea mnima.

2) Determine las dimensiones de una caja rectangular de volumen mximo si la superficie totaldeber ser 220 cm.

3) Se desea fabricar una caja donde el costo del material para los lados y la tapa es de Bsf1,2/m y el costo de la parte inferior es de Bsf 2,4/m. determine las dimensiones de la cajacon volumen 2 m.

4) El material para la fabricacin del fondo de una caja rectangular cuesta el doble por cadametro cuadrado que el material para los lados y la tapa. Determine la mxima capacidad quepuede tener la caja si la cantidad total de dinero disponible es de Bsf 6 y el material delfondo cuesta Bsf 0,80 por metro cuadrado.

5) Determine cual es el punto del plano 12642 =++ zyx que es ms cercano al origen Cules la distancia ms corta?

6) Un tanque metlico rectangular sin tapa debe contener 4,2 m de lquido. Cules son lasdimensiones del tanque que requieren menos material para su construccin?

7) Determine la mnima distancia entre el punto (1,2,0) y el cono cuadrtico 0222 =+ zyx .8) Determine el volumen mximo de una caja rectangular cerrada con caras paralelas a los

planos coordenados inscrita en el elipsoide de ecuacin: 1322

2

2

2

2

=++z

yx

9) Se desea hallar los dos nmeros positivos cuya suma sea 16 y donde el cuadrado del primerosumado al cubo del segundo den el valor mximo posible.

10) Determine la mnima distancia entre el punto (1,2) y la parbola 32 = xy

11) El material para la fabricacin del fondo y la tapa de una caja rectangular cuesta el triplepor cada metro cuadrado que el material para los lados. Determine la mxima capacidad quepuede tener la caja si la cantidad total de dinero disponible es de Bsf 6 y el material del

fondo cuesta Bsf 0,90 por metro cuadrado.12) Se desea construir una pecera de seccin rectangular, el fondo de esquisto y las paredes devidrio, si el esquisto cuesta 4 veces el costo del vidrio por metro cuadrado. Cuales sern lasdimensiones de la pecera si el volumen es 0.8 m si se desea que el costo sea mnimo.

13) Una caja rectangular cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas, se inscribe en unelipsoide de ecuacin: 369436 222 =++ zyx Cul es el mayor volumen posible para lacaja?

14) Determine el mnimo de la funcin ( ) 222,, zyxzyxf ++= , sujeta a la restriccin:1223 =+ zyx

Matemtica III Prof P Colina18

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Calculo III Ejemplos Metodo de Lagrange Para Ingenieria.

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