Resumen cálculo III (certamen 2)

Gráficos en

Esfera: Si el centro es y su radio es r, entonces su ecuación es

Cilindro: Si su eje de simetría es paralelo al eje Z

Si su eje de simetría es paralelo al eje Y

Si su eje de simetría es paralelo al eje X

Si (respectivamente) la base del cilindro será una circunferencia en caso

contrario será una elipse.

Cono: Eje de simetría paralelo al eje Z

Eje de simetría paralelo al eje Y

Eje de simetría paralelo al eje X

Si (respectivamente) la base del cilindro será una circunferencia en caso

contrario será una elipse.

Paraboloide elíptico: Eje de simetría paralelo al eje Z

Cambio de variable

Fórmula del cambio de variables:

Bajo las condiciones de que la transformación

sea de clase y tal que el Jacobiano de T no se anule.

Coordenadas polares:

donde

Coordenadas cilíndricas:

donde

Coordenadas esféricas:

donde

Curvas en

Propiedades importantes de curvas:

a) La curva es simple cuando es inyectiva en el intervalo O sea, la

curva no se corta a sí misma.

b) la curva es cerrada cuando .

c) una curva simple y cerrada se denomina curva de Jordan.

d) dada una curva parametrizada por , la función ,

parametriza una curva que recorriendo el mismo conjunto

tiene punto inicial y punto terminal . Se denomina curva opuesta a y se

denota .

Definición Dada una curva parametrizada por de clase , su longitud se

define por

Integrales de línea

Definición (integral de trayectoria) Sea una curva parametrizada por de clase

y un campo escalar continuo en un abierto A que contiene a la curva C. La

integral de f a lo largo de C es

Definición (integral de línea) Sea una curva parametrizada por de clase y

un campo vectorial continuo en un abierto A que contiene a la curva C. La

integral de F a lo largo de C es

En forma diferencial:

Un caso particular de una integral de línea es el trabajo

Al tener un campo de vectores para el cual existe un campo escalar f tal que

se dice que es un campo gradiente y que es el potencial del campo vectorial .

Teorema

En el caso que sea una curva cerrada, esto es , se tiene que

Esta característica de un campo vectorial define a los llamados campos conservativos.

Integrales de línea sobre curvas con orientaciones opuestas

Sea la misma curva que , pero con la orientación opuesta. Entonces

Integrales de campos escalares sobre curvas con orientaciones opuestas

Sea la misma curva que , pero con la orientación opuesta. Entonces

Integrales de línea sobre curvas formadas por varias componentes

Una curva cerrada simple , tiene 2 orientaciones:

i. positiva: anti horario, se denota por .

ii. negativa: horario, se denota por .

Teorema de Green en el plano

Teorema Sea una curva en el plano, simple y cerrada con orientación positiva, y D la región

interior a C. Si es de clase en un abierto que contiene a D,

entonces

Teorema (segunda versión del teorema de Green) Sean una curva en el plano, simple y

cerrada con orientación positiva, una curva simple y cerrada con orientación negativa, con

en el interior de C y D la región interior a C y exterior a . Si

es de clase en un abierto que contiene a D, entonces

Superficies en

Supongamos que es una superficie parametrizada.

De la parametrización se obtienen los vectores

que son tangentes a la superficie en el punto . Estos vectores definen

el cual es perpendicular a la superficie.

Integrales de superficie

En las dos definiciones posteriores es una superficie suave parametrizada por

de clase .

Definición (integral de superficie para un campo escalar) Para un campo escalar f continuo en

un abierto que contiene a S

Para el caso particular que el campo escalar es constante e igual a 1 resulta

Definición (orientabilidad) La superficie suave S es orientable cuando existe un campo de

vectores unitarios normales a la superficie,

Intuitivamente, una superficie es orientable cuando tiene dos caras.

Definición (integral de superficie para un campo vectorial) (flujo) Dado un campo de vectores

continuo sobre la superficie S orientada por , la integral de sobre la superficie S es

Ésta última fórmula considera la normal al exterior.

Divergencia y rotacional de un campo vectorial

Definición (rotor) Sea diferenciable con . El rotacional o rotor de

, considerando el operador , es

Se dice que es irrotacional cuando .

Definición (divergencia) Sea un campo vectorial diferenciable. La divergencia

de es

Teorema de Gauss (divergencia)

Teorema Sea una región del espacio acotada por la superficie suave cerrada , orientada

exteriormente y un campo vectorial suave en un abierto que contiene a . Se tiene

entonces

Teorema de Stokes

En el enunciado del teorema de Stokes se considera una superficie S suave, orientada y con

borde .

Teorema Si es un campo de clase en un abierto que contiene a , entonces

Campos conservativos

Teorema Sea un campo de clase en , salvo quizás en un número finito de puntos. Son

equivalentes:

a) curva de Jordan:

b) curvas suaves con igual origen y extremo:

c)

d)

Cuando el campo satisface una de las cuatro condiciones (y por lo tanto todas ellas) se

denomina conservativo.

Teorema: Si es un campo vectorial conservativo y de clase en un abierto A

de , entonces

para todo

a) Para n=2 y la condición (*) se escribe

b) Para n=3 y la condición (*) se expresa por las tres igualdades:

Parametrizaciones

Recta: Dados dos puntos

Elipse: con

Circunferencia: con

Si C es la gráfica de una ecuación para , entonces C tiene ecuaciones

paramétricas