CÁLCULO II

Grado en

Ingeniería en Tecnologías de Telecomunicación

Ingeniería en Sistemas de Telecomunicación

Ingeniería en Telemática

Ingeniería Electrónica de Comunicaciones

Universidad de Alcalá

Curso Académico 2014/2015

Curso 1º– Cuatrimestre 2

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GUÍA DOCENTE

Nombre de la asignatura: Cálculo II Código: 350006

Titulación en la que se imparte:

Grado en Ingeniería en Sistemas de Telecomunicación

Grado en Ingeniería en Tecnologías de Telecomunicación, Grado en Ingeniería Electrónica de Comunicaciones Grado en Ingeniería Telemática

Departamento y Área de Conocimiento:

Física y Matemáticas (Matemática Aplicada)

Carácter: Básica

Créditos ECTS: 6

Curso y cuatrimestre: Primero. Segundo Cuatrimestre

Profesorado:

Juan Gerardo Alcázar Arribas

Bonifacio Castaño Martín

Roberto Costas Santos

Amparo Delgado Delgado

Carlos Esebbag Benchimol David Orden Martín

Juan Ruiz Álvarez

Horario de Tutoría:

Idioma en el que se imparte: Español

1. PRESENTACIÓN

La asignatura de Cálculo II es una asignatura de carácter básico que se centra en el estudio de las funciones reales de varias variables y constituye una continuación natural de la asignatura de Cálculo I, en la que, además de generalizar los conceptos estudiados en la precedente, se añaden otros nuevos, propios del análisis matemático en varias variables. La asignatura provee al alumno de unas herramientas matemáticas indispensables para poder comprender y manejar conceptos fundamentales de las Ingenierías de Telecomunicación y de las leyes físicas que están en su base. Conocimientos relacionados con la teoría del electromagnetismo, la mecánica newtoniana o la termodinámica, con los que el alumno se encontrará a lo largo del grado en las asignaturas de Física e Ingeniería, se deben formular necesariamente en términos de funciones de varias variables, haciendo especial hincapié en el análisis vectorial y los teoremas relacionados.

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Prerrequisitos y Recomendaciones

Es muy recomendable haber cursado, con rendimiento satisfactorio, la asignatura de Cálculo I, ya que se aplicarán permanentemente los conceptos allí estudiados. Asimismo será de gran utilidad haber cursado la asignatura de Álgebra Lineal.

2. COMPETENCIAS

Competencias Genéricas:

Esta asignatura contribuye a adquirir las siguientes competencias genéricas,

definidas en el apartado 3 del Anexo de la Orden CIN/352/2009:

• TR2. Conocimiento de materias básicas y tecnologías, que le capacite para el aprendizaje de nuevos métodos y tecnologías, así como que le dote de una gran versatilidad para adaptarse a nuevas situaciones.

• TR3. Capacidad de resolver problemas con iniciativa, toma de decisiones, creatividad, y de comunicar y transmitir conocimientos, habilidades y destrezas, comprendiendo la responsabilidad ética y profesional de la actividad del Ingeniero Técnico de Telecomunicación.

• TR4. Conocimientos para la realización de mediciones, cálculos, valoraciones, tasaciones, peritaciones, estudios, informes, planificación de tareas y otros trabajos análogos en su ámbito específico de la telecomunicación.

• TRU1. Capacidad de análisis y síntesis.

Competencias de Carácter Profesional:

Esta asignatura contribuye a adquirir la siguiente competencia de carácter

profesional, definida en el Apartado 5 del Anexo de la Orden CIN/352/2009:

• CB1. Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos

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numéricos; algorítmica numérica; estadística y optimización. Específicamente, la asignatura aporta las competencias relacionadas con la aptitud para aplicar los conocimientos sobre cálculo diferencial e integral.

Competencias específicas:

• Competencia específica 1. Resolución de problemas de aplicación del cálculo diferencial en varias variables.

• Competencia específica 2. Resolución de problemas de aplicación del cálculo

integral en varias variables. • Competencia específica 3. Aplicación de las técnicas del análisis vectorial a la

resolución de problemas prácticos en Física e Ingeniería.

3. CONTENIDOS

Bloques de contenido Total de horas Tema 1. Funciones reales de varias variables : Ejemplos y Definiciones. Gráficas y Conjuntos de nivel. Límites y Continuidad.

• 5 horas

Tema 2. Derivación : Derivadas parciales y direccionales. Diferenciabilidad. Gradiente, interpretación geométrica y aplicaciones. Regla de la cadena. Derivación implícita.

• 7 horas

Tema 3. Máximos y Mín imos : Derivadas de orden superior. Polinomio de Taylor. Máximos y mínimos. Caracterización de extremos relativos. Extremos condicionados. Método de los multiplicadores de Lagrange. Máximos y mínimos en conjuntos compactos.

• 6 horas

Tema 4. Integración mú ltiple : Definición de Integral doble. Integral doble sobre un rectángulo. Integrales dobles sobre regiones generales. Definición de Integral triple. Cálculo de integrales triples. Cambios de variables en integrales dobles y triples. Sistemas de coordenadas.

• 10 horas

Tema 5. Integrales de línea : Curvas parametrizadas. Derivación y vector unitario tangente. Longitud de arco. Campos vectoriales. Integral de línea: definición y ejemplos. Integrales de gradientes y campos conservativos. Aplicaciones: trabajo, energía potencial, conservación de la energía mecánica, ley de Ampère. Teorema de Green.

• 8 horas

Tema 6. Integrales de superficie : Superficies parametrizadas. Área de una superficie. Integrales de superficie de funciones escalares. Integrales de superficie de campos vectoriales. Aplicaciones: Ley de Gauss.

• 10 horas

Tema 7. Análisis Vectorial : Operador , identidades básicas del análisis vectorial. Teorema de la divergencia. Flujo y cargas • 10 horas

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eléctricas. Teorema de Stokes. Rotacional y circulación. Aplicaciones.

La distribución semanal será de 2 horas teóricas y 2 horas prácticas, adaptando la distribución semanal de contenidos a las necesidades y progreso del grupo.

4. METODOLOGÍAS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE-ACTIVIDADE S FORMATIVAS

Número de horas presenciales: 28 Teoría+28 Prácticas + 2 Evaluación

Número de horas del trabajo

propio del estudiante: 92

Total horas 150

4.2. Estrategias metodológicas, materiales y recurs os didácticos

Clases presenciales

• Clases magistrales , en las que el profesor explica y orienta sobre los contenidos del programa, para que el alumno comprenda y trabaje sobre los conocimientos básicos de la asignatura.

• Clases prácticas , donde se desarrollan y aplican, los conocimientos teóricos adquiridos, a través de la resolución de problemas y casos prácticos.

Trabajo autónomo

• Utilización intensiva de la bibliografía como recurso fundamental.

• Resolución de ejercicios. Investigación y solución de cuestiones propuestas a través de la búsqueda de información.

• Utilización de software libre de cálculo simbólico y numérico, y de visualización gráfica para profundizar la comprensión de la asignatura. Ejemplos: Scilab, Octave, Sage, Wolfram Alpha, Maxima.

Tutorías individualizadas

• Atención a los estudiantes individualmente o en grupos pequeños mediante la celebración de tutorías, con el fin de resolver las dudas que se les presenten.

Materiales y recursos

Libros de referencia. Material docente impreso.

Trabajo en la Pizarra. Página web con material docente de la

asignatura y comunicación de novedades. Plataforma moodle para la distribución de materiales, creación de foros y realización de evaluaciones

Ordenador portátil y Cañón de

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proyección para visualización gráfica y trabajo “on line”. • Software matemático: Apoyo para la

visualización gráfica, enseñanza de algoritmos y técnicas computacionales.

5. EVALUACIÓN: Procedimientos, criterios de evaluación y de califi cación

De acuerdo a la normativa vigente, los alumnos serán evaluados mediante el sistema de evaluación continua, salvo los casos recogidos en el artículo 10, apartado 3, de la Normativa Reguladora de los Procesos de Evaluación de los Aprendizajes. Según él, para acogerse a la evaluación final, el estudiante tendrá que solicitarlo por escrito al decano o director de centro en las dos primeras semanas de impartición de la asignatura (o de incorporación a la titulación), explicando las razones que le impiden seguir el sistema de evaluación continua.

Para todos los tipos de evaluación, los criterios de evaluación serán el grado de comprensión de los conceptos básicos para la realización de cálculos, la habilidad en el uso de procedimientos y técnicas, la capacidad de resolver problemas y la corrección en los razonamientos y sus resultados.

Sistema de evaluación continua:

Consistirá en la realización de tres pruebas parciales, que comprenderán tanto cuestiones teóricas y conceptuales como resolución de problemas. La calificación de "No presentado" se aplicará a aquellos alumnos que no se hayan presentado a más de una de las tres pruebas. En cuanto a los criterios de calificación, cada una de las tres pruebas tendrá un peso de 1/3 sobre la calificación final en este tipo de evaluación. Todos los criterios de evaluación mencionados anteriormente tendrán el mismo peso en la calificación.

Sistema de evaluación final:

Consistirá en la realización de un examen, que comprenderá tanto cuestiones teóricas y conceptuales como resolución de problemas. La calificación de “No presentado” se aplicará a aquellos alumnos que no se presenten a dicho examen. En cuanto a los criterios de calificación, esta prueba supondrá el total de la calificación final en este tipo de evaluación. Todos los criterios de evaluación mencionados anteriormente tendrán el mismo peso en la calificación.

Evaluación de la convocatoria extraordinaria:

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Consistirá en la realización de un examen, que comprenderá tanto cuestiones teóricas y conceptuales como resolución de problemas. La calificación de “No presentado” se aplicará a aquellos alumnos que no se presenten a dicho examen. En cuanto a los criterios de calificación, esta prueba supondrá el total de la calificación final en este tipo de evaluación. Todos los criterios de evaluación mencionados anteriormente tendrán el mismo peso en la calificación. Conforme a la recomendación "AC05 Sobre compensación de materia en la prueba final" de la Comisión de Calidad de la Escuela Politécnica Superior, los alumnos que hayan suspendido alguna de las dos primeras pruebas parciales podrán recuperarlas en pruebas específicas, cuya calificación sustituirá a la obtenida en el parcial correspondiente. Para ello será necesario que se hayan presentado a todas las pruebas parciales o que sólo hayan dejado de hacerlo a una de ellas por causas justificadas que concurran en la denominación de “causa justa” según la Normativa de Evaluación de los Procesos de Aprendizaje de la Universidad de Alcalá.

6. BIBLIOGRAFÍA

Bibliografía Básica

• Calculus, una y varias variables, Volumen 2, S.L. Salas, E. Hille y G.J. Etgen, Editorial Reverté,

• Calculo II. Teoría y problemas de funciones de varias variables, A. Garcia; A. Lopez ; G. Rodriguez ; S. Romero ; A. De La villa, Ed. Clagsa.

• Cálculo Vectorial, Marsden J.E. Tromba A.J. ,. Ed. Addison Wesley. • Cálculo de varias variables (Volumen 2). G.L.Bradley, K.J.Smith. Ed. Prentice

Hall. • Cálculo, Vol II , Larson R. Hostettler, Edwards B.H.. Ed. McGraw-Hill. • Cálculo. Conceptos y contextos, J. Stewart, Ed Thomson. Méjico

Bibliografía Complementaria

o Spiegel M. Cálculo superior. Ed. Mc Graw-Hill. o Apostol, T.M. Calculus II. Ed. Reverté

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CALCULUS II

Graduate in Telecommunication Technologies Engineering

Graduate in Telecommunication Systems Engineering

Graduate in

Electronic Communication Engineering

Graduate in Telematics Engineering

Universidad de Alcalá

2014/2015

1st Year – 2nd Semester

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SUBJECT GUIDE

Subject: Calculus II

Code: 350006

Courses:

Graduate in Telecommunication Systems Engineering, Graduate in Telecommunication Technologies Engineering, Graduate in Electronic Communications Engineering and Graduate in Telematics Engineering

Department and Knowledge Area:

Physics and Mathematics (Mathematics)

Nature: Basic

ECTS Credits: 6

Year and Semester: 1st Year, 2nd. Semester

Teachers: Carlos López Lacasta

Tutorships Timetable:

Language: English

1. PRESENTATION

Calculus II is a subjet of basic character, natural continuation of Calculus I and generalization to many variables functions of concepts introduced along the first semester. It presents fundamental mathematical tools of broad application in Mechanics, Electromagnetism, Thermodynamics, etc., where smooth functions represent quantities of interest, that must be differentiated or integrated. In particular, in the second half of the term the subject of Vector Calculus is presented and applied to electromagnetic problems and Maxwell's equations.

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Prerequisites

Both Calculus I and Linear Algebra subjects are mandatory for an adequate comprehension and output of the subjet.

2. COMPETENCES

This subject will allow the student to acquire the following professional skills, all of them defined in Section 5 of the Annex of the Order CIN/351/2009. It also contributes to allow the student acquire the generic competences defined in Section 3 of the mentioned Annex.

Professional skills:

The subject provides the student with the capability to solve mathematical problems that may appear in engineering. The subject provides with the basic skills to apply the student knowledge to the following fields: Lineal algebra, geometry, differential geometry, differential and integral calculus, differential equations and partial differential equations, numerical methods, numerical algorithms, statistics and optimization.

Specific skills:

1. Problem resolution about many variables functions, partial derivatives and multiple integrals.

2. Application to the computation of areas and volumes of geometric figures, mass of non homogeneous bodies, line integrals (e.g., work) and surface integrals (e.g., flows).

3. Application of the skills and thecniques developped in Vector Calculus to problems in Physics and Engineering.

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3. CONTENTS

Lesson 1. Fuctions of many variables : Examples and definitions. Graphics and level sets. Limits and continuity.

Lesson 2. Derivation : Partial and directional derivatives. Differentiability. Gradient, geometric interpretation and applications. Implicit derivative.

Lesson 3. Maximum and minimum points : Higher order derivatives. Taylor polynomial. Critical points, characterization and classification. Restricted critical pointsof functions with constraints. Method of Lagrange multipliers. Absolute extrema in compact sets.

Lesson 4. Multiple integrals : Double integral on a rectangle. Double integral on general regions. Triple integral, definition and methods. Change of variables in double and triple integrals. Orthogonal and general systems of coordinates.

Lesson 5. Line integrals : Parametrized curves. Derivation and tangent vector. Arc length. Vector fields and line integrals. Line integral of conservative fields. Green theorem.

Lesson 6. Surface integrals : Parametrized surfaces. Area of a surface. Surface integrals of scalar functions. Surface integrals of vector flows. Application: Gauss Theorem.

Lesson 7. Vector Analysis : The nabla operator. Basic identities of vector analysis. Integral theorems of Vector analysis. Flow and electric charges. Stokes Theorem. Rotational and flow. Applications.

There will be two theoretical clases and two practical clases per week, although they might be adapted no the teaching needs and the progress of the group.

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Lessons Classes

Lesson 1. Fuctions of many variables

3 theoretical + 3 practical hours

Lesson 2. Derivation

4 + 4 hours

Lesson 3. Maximum and minimum points 3 + 3 hours

Lesson 4. Multiple integrals 4 + 4 hours

Lesson 5. Line integrals 4 + 4 hours

Lesson 6. Surface integrals 5 + 5 hours

Lesson 7. Vector Analysis 5 + 5 hours

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4. METHODOLOGY.

4.1. Distribution of credits (specify hours)

Number of Presential Classes: 58 (28 hours in big group + 28 hours in small Group + 2 exams)

Number of hours of students work: 92

Total amount of hours: 150

4.2. Methodological strategies, materials and didac tic resources

Presential classes

Classes of theory will be oriented to expose the basic theoretical contents of the subject, making use of informatic resources and the blackboard, and presenting illustrative examples of aplication.

Practical classes will be oriented to solve problems. These problems will be solved by the instructor, the students or both.

Didactic resources

Guide books mentioned in the bibliography will be used. Problems sheets will be provided. Page of moodle of the subject with additional resources.

Personal orientation Students are attended individually or in small groups in order to solve questions on the subject.

Materials and resources

Reference books. Printed material.

Blackboard.

Webpage with material and for communication with students.

Virtual platform for the distribution of

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materials, creation of forums and evaluation activities.

Portable and slides.

Mathematical software: graphical and algorithmical teaching, and computational techniques.

5. EVALUATION

According to current regulations, students will have two sessions at their disposal, an ordinary and an extraordinary one. The ordinary one will be based on a continued evaluation system, except fo those students who had been allowed to be evaluated by means of a final exam at the end of the semester (see next paragraph). We will refer to this as ``final evaluation”.

In order to apply for the final evaluation, the student must ask (in written form) for the permission of the Politechnic School’s Director, along the first two weeks of the semester, explaining the reasons why he cannot cope with the continued evaluation system. The Director will take these reasons into consideration, and will make a decision. If a written response to his request has not been received in 15 days, the student must understand that it has been accepted. In this case, the student must notify this (again, in written form) to his/her teacher as soon as possible, and in any case during the two weeks next to the acceptance of his request.

For those students who have not finished their matriculation at the beginning of the semester, the above time limits will be computed from the moment when the matriculation is completed.

1. In the case of final evaluation, the students will do a final exam at the end of the semester.

2. The students with continued evaluation system will do several exams and tests along the semester, and the final mark will be determined through an overall valuation of the marks obatined.

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Independently of the evaluation system, those students who fail in the ordinary session will have at their disposal an extraordinary session, consisting of a final exam, at the end of the year.

Evaluation Criteria:

• Continued evaluation system: We will take into account the formal correctness as well as the calculation abilities of the students, when solving the exercises presented in the exams and tests held along the semester.

• Final Evaluation: We will take into account the formal correctness as well as the calculation abilities of the students, in the exercises in the final exam.

Assesment Criteria:

• Continued evaluation system: The final mark will be determined through an overall valuation of the marks obatined in each exam and test along the semester.

It consists of three partial exams with both theoretical and problem solving questions. Each of these partial exams is one third of the final mark of the subject in this way of evaluation. Every evaluation criteria mentioned above will be equally considered in order to calculate the final mark.

• Final Evaluation: the final mark will be the one obtained in the final exam with both theoretical and problem solving questions.

• The extraordinary session will consist of an exam with both theoretical and problem solving questions. Regarding the criteria of evaluation, this exam turns out to be the whole of the final mark in this kind of evaluation. Every evaluation criteria mentioned above will be equally considered in order to calculate the final mark.

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Regarding “AC05 Sobre compensación de material en la prueba final” recommendation of Comisión de Calidad de la Escuela Politécnica Superior, any student who has not pass any of the first two partial exams of the continued evaluation system could try to pass them in specipic exams, whose mark will substitute the one obtaioned in the corresponding partial exam of the continued evaluation system. In this case, it is mandatory that the student has taken every partial exam or, two of them in case there is a proper ground for dismissal, in view of the Normativa de Evaluaciõn de los Procesos de Aprendizaje de la Universidad de Alcalá.

6. BIBLIOGRAPHY

Basic Bibliography

• Calculus, one and several variables, Vol. 2, S.L. Salas, E. Hille & G.J. Etgen, (10th. ed.) Wiley.

• Calculo II. Teoría y problemas de funciones de varias variables, A. Garcia; A. Lopez ; G. Rodriguez ; S. Romero ; A. De La villa, Ed. Clagsa.

• Cálculo Vectorial, Marsden J.E. Tromba A.J. ,. Ed. Addison Wesley. • Cálculo de varias variables (Volumen 2). G.L.Bradley, K.J.Smith. Ed. Prentice

Hall. • Cálculo, Vol II , Larson R. Hostettler, Edwards B.H.. Ed. McGraw-Hill. • Cálculo. Conceptos y contextos, J. Stewart, Ed Thomson. Méjico • Additional material for Vector Calculus, J.E. Marsden & A.J. Tromba, available

at http://bcs.whfreeman.com • CALCULUS, G. Strang, MIT, Wellesley-Cambridge Press • Vector Calculus, M. Corral, Schoolcraft College, 2008. GNU Free

Documentation License V1.2 or latter. Complementary bibliography

o Spiegel M. Cálculo superior. Ed. Mc Graw-Hill. o Apostol, T.M. Calculus II. Ed. Reverté