Calculo II. 1o Primer curso de ingenierıa informatica. Curso 2009/2010. Ejercicios resueltos.

Hoja 1

6. Dibujar las curvas de nivel y la grafica de las siguientes funciones f : R2 −→ R.

(e) f(x, y) = 1 + (x2 + y2)

El conjunto de nivel, en este caso curvas de nivel, se obtienen haciendo f(x, y) = c, donde c es una constantereal positiva ≥ 1 al ser el dominio todo R2 y cumplirse que f(x, y) ≥ 1 ∀(x, y) ∈ R2. Para cada valor dec ≥ 1 tenemos la ecuacion 1 + x2 + y2 = c, que es la ecuacion de una circunferencia con centro (0, 0) yradio R =

√c− 1. En el caso c = 1, esa circunferencia degenera en el punto (0, 0). Para c ≤ 1, el conjunto

de nivel es vacıo. Si interpretamos las curvas de nivel como secciones de z = f(x, y) = c constante de la su-perficie z = f(x, y), encontramos que son circunferencias concentricas con centro (0, 0) y radio R =

√c− 1.

Figura 1: 6e). Curvas de nivel

Figura 2: 6e). Grafica

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(f) f(x, y) = x3 − xObservemos de entrada que no hay dependencia en y y el Dominio de la funcion es todo R2. Esto significaque, si interpretamos esta funcion como la ecuacion de una superficie en R3, las secciones de y constanteson todas iguales y ası la superficie z = f(x, y) tiene aspecto de “cilindro”teniendo como seccion transversalla grafica de la funcion cubica x3 − x = x(x+ 1)(x− 1).El conjunto de nivel esta dado por la ecuacion x3 − x = c donde c es un numero real cualquiera, ya que elconjunto Imagen de la funcion es R.Las curvas de nivel son rectas paralelas al eje y que surgen al resolver la ecuacion polinomica x3 − x = c.Si consideramos c como una variable dependiente de x y representamos la grafica de c = x3 − x (hacerlo)se comprueba que segun el valor de cada c hay una, dos o tres rectas paralelas al eje y. En efecto, sicalculamos las ordenadas de los extremos locales de la cubica x3 − x obtenemos los siguientes resultados:(i) Para cada c > 2

√3/9, el conjunto de nivel esta formado por una recta paralela al eje y cuya ecuacion

es x = x0, donde x0 es la unica solucion real (que es positiva) de la ecuacion x3 − x = c.(ii) Si c = 2

√3/9, el conjunto de nivel esta formado por dos rectas paralelas al eje y cuyas ecuaciones son

del tipo x = x0, donde x0 son las dos soluciones reales de distinto valor absoluto y signos contrarios de laecuacion x3 − x = 2

√3/9.

(iii) Para cada c tal que |c| < 2√

3/9, el conjunto de nivel esta formado por tres rectas paralelas al eje ycuyas ecuaciones son del tipo x = x0, donde x0 son las tres soluciones reales de la ecuacion x3 − x = c.(iv) Los casos c = −2

√3/9 y c < −2

√3/9 son analogos si tenemos en cuenta la simetrıa impar de la cubica

x3 − x.

Figura 3: 6f). Curvas de nivel

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Figura 4: 6f). Grafica

(g) f(x, y) =x

1 + y2

El conjunto de nivel esta dado para cada c real no-nulo por la ecuacion x = c(1 + y2), ya que 1 + y2 6=0 ∀y ∈ R. Reescrita ası

x− c = cy2

representa la ecuacion de una parabola con el eje x como eje de simetrıa y Vertice en el punto (c, 0). Lasramas estan abiertas hacia el eje x positivo si c es positivo y hacia el eje x negativo si c < 0. Para el casoc = 0 tenemos una recta x = 0. A medida que |c| va aumentando, las ramas de las parabolas van cerrandosecada vez mas (vease el dibujo).

Figura 5: 6g). Curvas de nivel

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Figura 6: 6g). Grafica

(h) f(x, y) = max{|x|, |y|

}Obviamente, por las propiedades del valor absoluto tenemos que f(x, y) ≥ 0. El conjunto de nivel se obtieneescribiendo max{|x|, |y|} = c con c ≥ 0. Para determinar que es esto dividimos el plano z = c en cuatrocuadrantes segun los ejes x e y. Si tenemos en cuenta la definicion de valor absoluto y que max{|x|, |y|}es |x| si |x| ≥ |y| y |y| si |x| < |y| podemos escribir la funcion en cada cuadrante. Ası, por ejemplo, en elsegundo cuadrante se tiene que si x < 0 y y > 0 entonces tenemos que la funcion es −x si x+ y ≤ 0 e y six + y > 0. Ası resulta que la curva de nivel correspondiente a z = c esta formada por los cuatro lados deun cuadrado centrado en (0, 0) y uno de cuyos vertices es el punto (c, c). El conjunto de nivel esta formadopor los lados de los cuadrados centrados en (0, 0), con vertices situados sobre las bisectrices de los cuatrocuadrantes, para c > 0. Cuando c = 0 es el punto (0,0) y cuando c < 0 es vacıo. La superficie correspon-diente es la de una piramide invertida con vertice en el origen de coordenadas y secciones transversalescuadradas, como se puede ver en el dibujo.

Figura 7: 6h). Curvas de nivel

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Figura 8: 6h). Grafica

(i) f(x, y) = sen2(x2 + y2)

Como 0 ≤ | senα| ≤ 1 ∀α ∈ R el conjunto de nivel es no-vacıo para 0 ≤ c ≤ 1. Para cada c tenemos laecuacion:

sen2 (x2 + y2) = c

que se desdobla en dos ecuaciones independientes: sen (x2 + y2) = ±√c. Sean θ tal que 0 ≤ θ = arc sen

√c ≤

π/2 y n ∈ {0} ∪ N. Las dos ecuaciones anteriores conducen a las cuatro ecuaciones de (familias de)circunferencias centradas en (0, 0) de radio Ri,n siguientes:

x2 + y2 = R2i,n

donde R21,n = θ + 2πn, R2

2,n = π − θ + 2πn, R23,n = θ + π + 2πn y R2

4,n = −θ + 2π + 2πnPara el caso c = 1 el numero de familias se reduce a 2 y para c = 0 tambien incluyendo ademas el punto(0, 0).

Figura 9: 6i). Curvas de nivel

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Figura 10: 6i). Grafica

7. Dibujar las superficies de nivel de las siguientes funciones f : R3 −→ R.

(d) f(x, y, z) = x2 + y2 − z2.

Para calcular las distintas superficies de nivel, basta igualar f a una constante, f(x, y, z) = c e ir dandodistintos valores a c para representar distintas superficies de nivel de f .

Si sustituimos f por su valor, nos queda lo siguiente:

x2 + y2 − z2 = c⇒ z2 = x2 + y2 − c

Para c = 0, nos queda la ecuacion z2 = x2− y2, que (como veremos en el apartado (g) del ejercicio 8)corresponde a un cono.

Figura 11: 7d)

Para c = 1, nos queda la ecuacion z2 = x2 +y2−1, que (como veremos en el apartado (h) del ejercicio8) corresponde a un hiperboloide de una hoja. En general, obtendremos una superficie similar sitomamos c > 0.

Para c = −1, nos queda la ecuacion z2 = x2 + y2 + 1, que (como veremos en el apartado (f) delejercicio 8) corresponde a un hiperboloide de dos hojas. En general, obtendremos una superficiesimilar si tomamos c < 0.

(e) f(x, y, z) = cos((x2 + y2)− z).

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Figura 12: 7d)

Figura 13: 7d)

Al igual que en el apartado anterior, vamos a considerar secciones del tipo f(x, y, z) = c, donde c es unaconstante. Sin embargo, en este caso hay que tener cuidado y darse cuenta de que f es una funcion coseno,por lo que solo toma valores entre −1 y 1. Sustituimos entonces f(x, y, z) por su valor y queda:

cos((x2 + y2)− z) = c⇒ cos((x2 + y2)− z) = c⇒ x2 + y2 − z = arccos(c)⇒ z = x2 + y2 − arccos(c)

La ecuacion z = x2 + y2 corresponde a un paraboloide. Tomando z igual a una constante positiva, laseccion correspondiente es una circunferencia, y si tomamos x o y como una constante cualquiera, laseccion sera una parabola. En general, variando c entre −1 y 1, la funcion arccos(c) variara entre 0 y π;luego todas las secciones seran paraboloides iguales, desplazados a lo largo del eje z.

Figura 14: 7d)

(f) f(x, y, z) = x− y.

f(x, y, z) = c⇒ x− y = c.

Como f(x, y, z) no depende de z, la ecuacion x − y = c sera siempre un plano. Para dibujarlo, basta consituarnos en z = 0 y trazar ahı la recta x − y = c. El plano correspondiente contiene a dicha lınea y esparalelo al eje Z. En la imagen mostramos el plano correspondiente a c = 0.

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Figura 15: 8f)

Tomando cualquier otro valor de c nos queda un plano similar, desplazado segun el valor de c.

(h) f(x, y, z) = − x2

9+y2

4− z.

f(x, y, z) = c⇒ − x2

9+y2

4− z = c⇒ z = − x2

9+y2

4− c.

Para c = 0, nos queda la ecuacion de un paraboloide hiperbolico,

Figura 16: 8f)

Para cualquier otro c que tomemos, nos queda la misma figura, solo que desplazada arriba o abajo a lolargo del eje z.

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8. Dibujar las superficies determinadas por las ecuaciones siguientes (Nota: Consultar la infor-macion adicional sobre este problema en las ultimas paginas):

(b) z = x2 − y2

Silla de montar.

Si damos valores a z:

z = 1, la ecuacion queda como 1 = x2 − y2 es decir, una hiperbola.

z = −1, nos queda −1 = x2 − y2, es decir una hiperbola cortando al eje y(al contrario que la anterior)

z = 0(plano xy), queda x2 − y2 = 0, que son las rectas y = x y y = −x.

Figura 17: 8b)

Figura 18: 8b)

(f) z2 = 1 + x2 + y2

En el plano xz, y = 0, la ecuacion queda como 1 = z2 − x2 es decir, como una hiperbola.

En el plano zy, x = 0, la ecuacion queda como 1 = z2 − y2, otra hiperbola.

Y en el plano xy, z = 0, queda x2 + y2 = −1, lo cual es imposible (dos numeros (reales) al cuadradosumados no pueden dar un numero menor que cero), por lo tanto ahı no esta definida nuestra funcion,ası como en z = 1 y z = −1, ya que en ambas la ecuacion quedarıa 0 = x2 + y2, que solo puede ocurrir

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Figura 19: 8f)

cuando x = 0, y = 0, pero como z tambien es cero, se cumplirıa que z2 = x2 +y2, lo cual contradice nuestraecuacion.Mirando a los conjuntos de nivel(z=c), c2 = x2 + y2 + 1 ⇒ x2 + y2 = −1 + c2 , con c 6= 0, 1 y − 1 vemosque, al igual que en apartado (h) son circunferencias que se van abriendo a lo largo del eje z(hacia arribay hacia abajo de el eje, de manera simetrica), ası, y sabiendo que no tenemos funcion en z = −1, 0, 1,intuitivamente podemos imaginar como quedara en tres dimensiones.

(g) z2 = x2 + y2

Si damos valores a la z nos damos cuenta de que se obtienen circunferencias de distinto radio( de hecho,de radio igual al valor tomado por z), ası:

con z = 1, la ecuacion nos queda 1 = x2 + y2: circunferencia de radio 1con z = 2, la ecuacion nos queda 4 = x2 + y2: circunferencia de radio 2con z = 3, la ecuacion nos queda 9 = x2 + y2: circunferencia de radio 3

Y ası sucesivamente, se van abriendo lsa circunferencias a medida que aumenta la z(o disminuye (de manerasimetrica por debajo de cero), ya que tenemos la z al cuadrado).En el corte con el plano zy, es decir, x = 0, tenemos las rectas z = y y z = −y. Y con el plano xz(y = 0),las rectas z = x y z = −x.

De manera que el dibujo en tres dimensiones intuitivo serıa circunferenias abriendose haceia arriba y haciaabajo, limitadas a los lados por las rectas z = y, z = −y, z = x y z = −x( como un reloj de arena).

(h) z2 = x2 + y2 − 1

En el plano xz, y = 0, la ecuacion queda como 1 = x2 − z2 es decir, como una hiperbola.

En el plano zy, x = 0, la ecuacion queda como 1 = y2 − z2, otra hiperbola.

Y en el plano xy, z = 0, queda x2 + y2 = 1, que es la circunferencia de radio unidad.Mirando a los conjuntos de nivel(z=c), c2 = x2+y2−1⇒ x2+y2 = 1+c2 vemos que son circunferencias quese van abriendo a lo largo del eje z(hacia arriba y hacia abajo de el eje, de manera simetrica), ası podemoshacernos una idea de como sera nuestra figura en tres dimensiones.( reloj de arena como en el apartado(g) pero cortado por hiperbolas a los lados, es decir, un reloj de arena mas ‘ancho’).

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Figura 20: 8f)

Figura 21: 8f)

12. Sea f(x, y) definida mediante

f(x, y) =x2y2

x2y2 + (x− y)2

en los (x, y) ∈ R2 tales que x2y2 + (x− y)2 6= 0 . Demostrar que

lımx→0

(lımy→0

f(x, y))

= lımy→0

(lımx→0

f(x, y))

= 0

y que no existe el lım(x,y)→(0,0)

f(x, y) .

Calculemos primero los lımites iterados:

lımx→0

( lımy→0

f(x, y)) = lımx→0

(0

0 + x2) = lım

x→0(0) = 0

lımy→0

( lımx→0

f(x, y)) = lımy→0

(0

0 + y2) = lım

y→0(0) = 0

⇒ lımx→0

( lımy→0

f(x, y)) = lımy→0

( lımx→0

f(x, y)) = 0

Veamos que ocurre con lım(x,y)→(0,0)

f(x, y).

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Para demostrar que ese lımite no existe bastarıa con ver que para alguna recta por la que nos acerquemos,el lımite NO es cero(no tiene el mismo valor que los lımites iterados).

Ası, si nos acercamos por la recta x = y:

lım(x,y)→(0,0)

f(x, y) = lımx→0

x4

x4 + 0= 1

De manera que no existe lım(x,y)→(0,0)

f(x, y).

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13. Demostrar que la funcion

f(x, y) =

y sen

1x

+ x sen1y

si x, y 6= 0

0 en otro caso

tiene lımite cuando (x, y) tiende a (0, 0) y que, sin embargo, no existen los lımites iterados

lımx→0

(lımy→0

f(x, y))

y lımy→0

(lımx→0

f(x, y)).

Calculemos primero los lımites iterados: No existe lımy→0

f(x, y) porque, si fijamos x 6= 0, el lımite serıa

lımy→0

y sin1x

+x sin1y

, y el lımite lımy→0

sin1y

no existe (cuando y tiende a 0, sin1y

puede tomar cualquier valor

real entre −1 y 1, y como x es una constante, no afecta a dicho lımite). Por tanto, no existe lımy→0

f(x, y) y

por tanto tampoco puede existir lımx→0

(lımy→0

f(x, y)).

Se prueba de manera exactamente igual que el otro lımite iterado no existe.

lımx→0

( lımy→0

f(x, y)) = lımx→0

(x sin∞)⇒6 ∃ lımx→0

( lımy→0

f(x, y))

lımy→0

( lımx→0

f(x, y)) = lımy→0

(y sin∞)⇒6 ∃ lımy→0

( lımx→0

f(x, y))

Veamos que ocurre con lım(x,y)→(0,0)

f(x, y).

Si nos acercamos por la recta x = 0:

lım(x,y)→(0,0),x=0

f(x, y) = 0

Si nos acercamos por la recta y = 0:

lım(x,y)→(0,0),y=0

f(x, y) = 0

Ası que si existe lımite tiene que ser cero.

Veamos que lo es: Utilizamos que el valor absoluto es siempre mayor o igual a cero y la DesigualdadTriangular:

0 ≤ |y sin1x

+ x sin1y| ≤ |y|| sin 1

x|+ |x|| sin 1

y|

Como | sin 1x| ≤ 1 y | sin 1

y| ≤ 1, entonces

0 ≤ |y sin1x

+ x sin1y| ≤ |y|+ |x|

De manera que hemos probado que

0 ≤ |f(x, y)| ≤ |y|+ |x| →(x,y)→(0,0) 0

Ası quelım

(x,y)→(0,0)f(x, y) = 0

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14. Para cada (x, y) 6= (0, 0) se define

f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2

Hallar el lımite de f(x, y) cuando (x, y) → (0, 0) a lo largo de la rectas y = λx . ¿Es posibledefinir f(0, 0) de modo que f sea continua en (0, 0) ?

Acercandonos por la recta y = λx (que es, en realidad un conjunto de rectas, definida cada una de ellaspor un valor distinto de λ)

lım(x,y)→(0,0),y=λx

x2 − y2

x2 + y2= lımx→0

x2 − λ2x2

x2 + λ2x2

Dividiendo arriba y abajo entre x2 queda:

lımx→0

1− λ2

1 + λ2

De manera que

lım(x,y)→(0,0),y=λx

x2 − y2

x2 + y2= lımx→0

1− λ2

1 + λ2

Como el lımite depende de λ, el lımite dependera de la recta por la que nos acerquemos, dando un valordistinto para el lımite por cada λ(por cada recta). De manera que no existe lım

(x,y)→(0,0)f(x, y).

No se puede definir un valor para f(0, 0) para que sea continua porque siempre sera discontinua en (0, 0).

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