Cálculo I - Nota 01 CPIME 2015

CPIME 2014 – CÁLCULO 1

1. INTRODUÇÃO

Definição 1.

Dados dois conjuntos X eY , uma função é uma correspondência (uma “lei”) que associa a cada

x∈X um, e somente um, y∈Y. O conjunto X é denominado domínio da função, Y é o

contradomínio da função e o conjunto dos elementos y∈Y que estão associados aos elementos

x∈X é a imagem da função.

Notação: f , g , h , F , G , H para funções

x → y= f x , f : X →Y , f : x∣→ y= f x

Dom f, Df: domínio de f

Im f: imagem de f

Caso particular: Função real de variável real (ou função de valores reais de uma variável real, ou

ainda, funções reais).

X ⊂ R ,Y ⊂ R

1.1 Representação gráfica de funções reais

Em um sistema de eixos cartesianos, colocamos o conjunto X no eixo x e o conjunto Y no

eixo y. Representamos os pontos (x , y ) , com x∈X e y= f ( x)∈Y. O conjunto de tais

pontos é dito o gráfico da função f.

graf ( f )=(x , f (x ): x∈Dom f )

Exemplo 1: Função identidade

f (x )=x , x∈ℕ , ou y=x

Dom f = Im f = ℝ

Exemplo 2: Função valor-absoluto

φ(x )=∣x∣={ x , se x≥0−x , se x < 0

Dom f = ℝ Im f = [0,∞

1

X Y

x yf(x)

X Y

f(x)x y

y

x

y=xy = x

x

yy = x

x

y = |x|y

x


Algumas propriedades da função φ :

(a )φ(−x)=φ( x)

(b)φ(x2)=x2

(c )desigualdadetriangular :φ(x+ y)≤ φ( x)+ φ( y )

(d )φ(φ( x))=φ( x)

(e )φ( x)=√ x2

Exemplo 3: Função número-primo

Para qualquer x>0 , seja π( x) o número de primos menores ou iguais a x .

Domπ=ℝ+=(0 ;+ ∞)

Im π (x) = {0,1,2 , ...}=ℕ

Exemplo 4: Função fatorial

Para cada n∈Z + , definimos f (n)=n !=1.2.3…n .

Dom f =Z +

Im f ⊂Z

Exemplo 5: Função constante

f (x )=c , x∈R e c é uma constante real.

Dom f =ℝ

Im f = {c}

2

y

x

2 3 5

12

7 11

3

4

y

x

c

0

y

c

x


Exemplo 6: Função linear ou função afim

g ( x)=ax+b ,

x∈ℝ

a e b constantes reais

a : declividade da reta

b : intercepto da reta

a= tg(α)

Dom g=ℝ

Im g = ℝ ou Im g = {c}, quando a = 0

Casos particulares: g ( x)= x (função identidade) ou g ( x)= c (função constante).

Exemplo 7: Função potência

f (x )=xn , x∈ℝ e n∈Z +

Casos particulares: f (x )=x , f (x )=x2 , f (x )=x3

Exemplo 8: Função polinomial

P (x )=c0+ c1 x+ c2 x2+ ...+ cn xn=∑k=0

n

ck xk

onde c0, c1,... cn∈ ℝ são os coeficientes do polinômio.

Se cn≠0, n é dito o grau do polinômio.

Exemplo:

P x =12

x4−2 x2

DomP=ℝImP=?

3

x

P(x)

22−2-2

-2

y

x

b

a>0

0

a > 0

y

x

b

a<0

0

a < 0


Exemplo 9: Círculo

x²+ y²=r² , x , y∈ℝ , r > 0 constante

y={ √r²−x²−√r²−x²

Definimos f (x )=√r²−x² e g ( x)=−√r²−x² .

Dom f = [-r,r] Dom f = [-r,r]

Im f = [0,r] Im f = [-r,0]

Exemplo 10: Função maior inteiro

f (x )=[ x] : maior inteiro menor ou igual a x.

Exemplos: [0] = 0, [3.5] = 3, [- 4.2] = - 5

4

f(x)

x

1 2 3

1

2

-1

-1

f(x)

xr-r 0

r

g(x)

xr-r 0


2. OPERAÇÕES ALGÉBRICAS DE FUNÇÕES

Sejam f e g duas funções reais com mesmo domínio D.

(a) Soma de funções

( f + g )( x)= f ( x)+ g (x ) , x∈D

f + g: função soma

(b) Produto de funções

( f⋅g )(x )= f (x )⋅g ( x) , x∈D

f . g: função produto

(c) Quociente de funções

(fg)(x )=

f ( x)g (x)

, g ( x)≠0, x∈D

fg

: função quociente

Exemplo 1: Função racional algébrica

f (x )=P (x )Q(x )

P e Q são polinômios.

Dom f=(Dom P∩DomQ)−{x :Q( x)=0}

Exemplos:

f (x )=x+ 1x²−1

g ( x)=x³+ x²− x−1x²−1

h( x)=xx²−1

5


3. LIMITE DE UMA FUNÇÃO

Desejamos analisar o comportamento de uma função real f quando a variável x tende a um número

p∈ℝ . Qual o significado da afirmação “f(x) tende a L quando x tende a p”? Ou f(x) → L quando

x → p ?

Notação: limx p

f x=L

Consideremos funções com gráficos abaixo:

(1)

Dom f=ℝlimx→ p

f ( x)= f ( p)

(2)

Dom f=ℝlimx→ p

f ( x)=L≠ f ( p)

6

y

x

p

f(p)

0

y

x

p

f(p)

0

L


(3)

Dom f=[a , p )∪( p ,b ]limx→ p

f ( x)=L

(4)

Dom f=ℝlimx→ p+

f ( x)= f ( p) , limx→ p−

f ( x)=L

7

y

x

p

L

a

y

x

p

f(p)

L


(5)

Dom f=ℝlimx→ p+

f ( x)=+ ∞ , limx→ p−

f (x)=+∞

(6)

Dom f=(−∞ ; p)∪( p ;+ ∞)limx→ p+

f ( x)=−∞ , limx→ p−

f (x)=+∞

8

y

xp

f(p)

y

x

p


(7)

Dom f=(−∞ ; p)∪( p ;+ ∞)limx→ p

f ( x)=+∞

(8)

Dom f=ℤ

Não é possível caracterizar limx→ p

f ( x) , p∈ℝ .

9

y

x

p

y

x

10 2 3 4-4 -3 -2 -1


(9)

f (x )={x3 , x≥0

0, x=−2

limx→0

f ( x)=0

limx→−2

f ( x) não tem sentido.

(10)

Seja X={1,12

,13

,14

,…}={1n } , n∈ℕ∗

f :{X →ℝX → f ( x)= x2

Imf ={1,14

,19

,116

,…}limx→0

f ( x)=0

10

y

x0-2

y

x0


4. ALGUNS ASPECTOS TOPOLÓGICOS DA RETA

4.1 Conjuntos abertos e conjuntos fechados

Definição 1. Vizinhança

Uma vizinhança de um ponto a∈ℝ é qualquer intervalo aberto a – , a , onde tem-se

0.

Definição 2. Ponto interior

(a) Seja S⊂ℝ e a∈S . O número a é dito um ponto interior de S se existe uma vizinhança

V (a) tal que: V a⊂S ;V a=a – , a=V a ,.

(b) O conjunto de todos os pontos interiores de S é denominado interior de S : Int(S)

Observação: Int(S) ⊂ S; ℝ ⊂ S → Int(S) ⊂ Int(S)

Exemplos:

1) S={s1,… , sn} é um conjunto finito. Int(S) = ∅ (se S contém algum ponto interior, então

contém pelo menos um intervalo aberto; logo, é infinito).

2) S=(a ;b) ou S=(−∞ , b) ou S=(a ;+∞) . Int(S) = S

3) S=[a ,b] ; R=−∞ , b ] ;T=[a ,∞ → Int(S) = (a , b); Int(R) = (– ∞ , b); Int(T) =

(a ,+∞)

Definição 3. Conjunto aberto

Um conjunto S ⊂ℝ é dito aberto quando todos os seus elementos são pontos interiores, isto é,

Int(S) = S.

Exemplos:

1) Qualquer intervalo aberto é um conjunto aberto.

2) A união de dois ou mais intervalos abertos é um conjunto aberto.

3) Um intervalo fechado não é um conjunto aberto.

4) O conjunto vazio é aberto: um conjunto S só pode deixar de ser aberto se existir um

elemento em S que não seja ponto interior de S. Mas o conjunto vazio não tem

11


elementos.

Teorema 1.

(a) Se S 1⊂ℝ e S 2⊂ℝ são conjuntos abertos, então S 1∩S 2 é aberto.

(b) Se S 1 , … , S n são conjuntos abertos, então a interseção de todos eles é aberta.

Definição 4. Ponto Aderente

Dizemos que um elemento a∈ℝ é aderente a um conjunto S 1⊂ℝ se para qualquer vizinhança

V (a) de a , tem-se que S 1∩V (a)=∅.

Exemplos:

1) Se a∈S , então a é aderente a S.

2) S=(a ;b). O conjunto dos pontos aderentes a S é [a ;b] .

Definição 5. Fecho de um conjunto

O fecho de um conjunto S ⊂ℝ é o conjunto S formado por todos os pontos aderentes a S .

Observação: S ⊂ℝ→ S⊂ R

Desta forma, tem-se que: (a ;b)=[a ;b]

Definição 6. Conjunto fechado

Um conjunto S ⊂ℝ é dito fechado em ℝ se S =S .

Exemplos de conjuntos fechados: [a ;b]; [a ;+∞]; [+∞ ; b];a ;(−∞ ;+∞)

Teorema 2.

F⊂ℝ é fechado se, e somente se, R – F é aberto.

12


Definição 7. Ponto de acumulação

Seja X ∈ℝ . Um número a∈ℝ é dito ponto de acumulação de conjunto X quando qualquer

vizinhança V (a) do ponto a contém algum elemento x∈ X , x≠a , isto é, a é ponto de

acumulação de X se, e somente se, ∀0 , x∈X , tal que 0∣x−a∣ .

Definição 8.

O conjunto de todos os pontos de acumulação de X é dito derivado de X , cuja notação é

X ' .

Exemplos:

1) Um conjunto finito não tem pontos de acumulação.

2) X=(a ;b)→ X '=[a ;b]

Teorema 3.

Sejam X⊂ℝ e a∈ℝ . As seguintes afirmações são equivalentes:

(i) a é um ponto de acumulação de X .

(ii) existe uma sequência de números x1, x2, … , xn∈X , dois a dois distintos, com

limn∞

xn=a .

(iii) todo intervalo aberto contendo a possui uma infinidade de elementos de X .

Definição 9. Ponto isolado

Sejam X⊂ℝ e a∈ X . Dizemos que a é um ponto isolado de X se a não for ponto de

acumulação de X .

Observação: Para que a∈X venha a ser um ponto isolado de X é necessário e suficiente que

exista 0 tal que a− ;a∩X= {a }.

Exemplos:

1) X =(a ;b)∪ {c } , com a < b < c , acarreta X '=[a ;b] .

2) X={x1 , x2 ,… , xn} acarreta X '=∅.

13


Definição 10. Fronteira

Um elemento a∈ℝ está na fronteira de um conjunto X quando qualquer vizinhança V (a)

de a contém pontos de X e pontos do complementar de X , isto é:

∀V a , V a ∩ X ≠∅ e V a ∩ ℝ−X ≠∅

Notação: ∂ X significa fronteira de X .

Exemplos:

1) X=(a ;b)→∂ X={a ;b}

2) X={1,2}→∂ X= {1,2}→∂ (ℝ−X )={1,2}

14


5. DEFINIÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO

Definição 1. Limite

Seja f uma função com domínio Dom f ⊂ℝ . Seja p∈ℝ um ponto de acumulação do

domínio de f. Dizemos que um número L∈ℝ é o limite de f(x) quando x tende a p, isto é,

limx→ p

f ( x)=L , quando:

∀0,∃0,∀ x∈Dom f ,tal que0∣x−p∣ acarreta∣ f x−L∣ .

Observações:

1) 0∣x−p∣ ↔ p− x p e x≠p

2) Na notação limx→p

f ( x)=L , x → p significa que x se aproxima de p, assumindo valores em

Dom f e x→ p .

3) A definição de limite não exige que f esteja definida em p.

4) A Definição 1 acima é equivalente a:

•

limx p

f x=L ↔∀0,∃ 0,∀ x∈Dom f −{ p} , tal que :

p− x p acarreta L− f x L

ou

•

limx p

f x=L ↔∀V L0,∃V p0,∀ x∈Dom f −{ p } , x ∈V p , tal que :

f x ∈V L

5) Fazendo x− p=h , temos limx→ p

f ( x)= limh→0

f ( p+h)

Exemplo 1: Limite de uma função constante

f x =c , x ∈ℝ , onde cé uma constante. Sendo p∈ℝ , tem−se limx p

f x= c .

Exemplo 2: Limite da função identidade

f (x )= x , x∈ℝ ,∀ p∈ℝ , limx→p

f ( x)= p .

15


5.1 Definição de limites laterais

Definição 2. Seja f uma função real e p um ponto de acumulação do domínio de f .

(a) Limite à direita

limx p

f x =L ↔∀0,∃0,∀ x∈ Dom f , tal que p x p acarreta∣ f x−L∣

(b) Limite à esquerda

limx p−

f x =L ↔∀ 0,∃0,∀ x ∈Dom f , tal que p− x p acarreta ∣ f x−L∣

Exemplo 3: Função maior inteiro

f x =[ x ] , x∈ℝ .Se p∈ℤ , então limx p

f x= p e limx p−

f x= p−1

Exemplo 4:

f x ={1

x2, x≠0

0, x=0

Temos que f(x) → +∞ quando x → 0 pela direita ou pela esquerda.

Dizemos, então, que limx p

f x = limx p−

f x =∞ .

Portanto f não tem limite finito quando x → 0.

Exemplo 5:

f x ={4x2−1

2x−1, x≠

12

1, x=12

Como limx

12

f x= limx

12−

f x =2 . Logo, limx→

12

f ( x)=2

Exemplo 6:

f (x )=sen(1x )

p = 0 é o ponto de acumulação do Dom f. limx→0

f ( x) não existe devido à oscilação entre – 1 e + 1

em qualquer vizinhança de zero.

16


Conclusões:

Seja p um ponto de acumulação de Dom f. Podemos ter:

(1) limx→ p

f ( x)=L , L∈ ℝ

(2) Se limx→ p

f ( x)=+∞ , dizemos que o limite é infinito.

(3) Se limx p

f x =L1 e limx p−

f x =L2 , onde L1 ≠ L2, dizemos que não existe limite de f(x)

quando x → p.

(4) limx→ p

f ( x) não existe em qualquer vizinhança de p devido à oscilações de f(x).

(5) Se limx p

f x =∞ e limx p−

f x =−∞ , dizemos que o limite não existe.

Proposição:

limx p

f x=L⇔ limx p

f x = limx p−

f x =L

Teorema 1. Unicidade do Limite

Seja f uma função real e suponha que existe limx→ p

f ( x) e este é finito. Então o limite é único.

Prova:

Suponha que limx→ p

f ( x)=L1 e limx→ p

f ( x)=L2 com L1 ≠ L2.

Então, dado ε > 0, existem δ1, δ2 > 0 tais que ∀x ∈ Dom f,

0∣x− p∣1 ⇒ ∣ f x −L1∣ e 0∣x− p∣2 ⇒ ∣ f x−L2∣

Seja δ = min { δ1 , δ2 }. Temos:

0∣x− p∣ ⇒ ∣ f x−L1∣ e ∣ f x −L2∣

Mas p é um ponto de acumulação de Dom f. Logo existe x0 ∈ Dom f tal que 0 < |x0 – p| < δ.

Portanto,

∣L1−L2∣=∣L1− f (x0)+ f (x0)−L2∣≤∣L1− f (x0)∣+∣ f ( x0)−L2∣< ε+ ε=2ε

Como ε > 0 é arbitrário, segue que L1 = L2.

Teorema 2. Conservação do Sinal

Suponha que limx p

f x=L , onde L > 0. Então existe δ > 0 tal que ∀x ∈ Dom f,

0∣x− p∣ ⇒ f x 0 .

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7. TIPOS DE DESCONTINUIDADES

Uma função f é descontínua em um ponto p∈Dom f se f não for contínua em p , isto é,

∀0,∀0,∃ x∈Dom f∩ p− com∣ f x− f p∣ .

Há quatro tipos de descontinuidades:

(1) Descontinuidade removível

p∈Dom f , limx p

f x=L e L≠ f p

(2) Descontinuidade de Salto (ou de 1a espécie)

p∈Dom f , limx p

f x =L1 , limx p−

f x =L2 , L1≠L2

Neste caso, dizemos que não existe limite finito de f quando x → p.

(3) Descontinuidade Infinita (ou de 2a espécie)

f tem descontinuidade infinita no ponto p∈Dom f quando, pelo menos, um dos limites

laterais é infinito, isto é, limx p

f x =±∞ , limx p−

f x =±∞

(4) Descontinuidade de 3a espécie

∃ f ( p) , p é ponto de acumulação de Dom f , mas não existe limx p

f x devido às

oscilações em qualquer vizinhança de p.

Observação:

Quando p é ponto de acumulação de Dom f e não existe f ( p) , podemos definir f ( p)

arbitrariamente, incluindo então o ponto p no Dom f.

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7.1 Teoremas básicos de limites

Teorema 1.

Sejam f e g funções tais que limx p

f x=L1 e limx p

g x =L2, com L1 e L2∈ℝ.

Então:

i limx p[ f x g x ]=L1L2

ii limx p[ f x −g x ]=L1−L2

iii limx p[ f x . g x ]=L1 . L2

iv limx p

f x

g x =

L1

L2

, se L2≠0

v limx p

c.f x=c.L1

Teorema 2.

Sejam f e g funções contínuas em um ponto p. Então f + g , f−g , f.g são contínuas em

p . Também f / g é contínua em p desde que g ( p) seja diferente de zero.

Exemplo 1: Continuidade de polinômios

p (x )=co+c1 x+c2 x2+...+cn xn , cn≠0,n∈ℕ

(1) n=0 e n=1

lim(x→ p)

c0=c0, lim( x→ p)

c1 x=c1 lim(x→ p)

x=c1 p ,∀ p∈ℝ

P ( x)=c0 , P (x )=cx , P ( x)= x sãocontínuas

(2) f ( x)= x2

lim(x→ p)

f ( x)= lim(x→ p)

x2= lim(x→ p)

x . x= lim(x→ p)

x . lim(x→ p)

x= p2

(3) lim( x→ p )

(co+c1 x+c2 x2+ ...+cn xn , cn)=c0+c1 lim

(x→ p)x2+...+cn lim

(x→ p)x n=c0+c1 p+...+cn pn

=P ( p) ,∀ p∈ℝ

P( x)é contínua.

19


Exemplo 2: Continuidade de funções racionais

r (x)=P (x )Q(x )

,onde P eQ são polinômios.

r é contínua em p∈ℝ com Q( p)≠0. Portanto , toda função racional é contínua.

Exemplo 3: A função raiz quadrada é contínua

f x = x , x≥0

1 p0, limx p x= p ?

∣ x− p∣=∣ x− p. x p ∣

x p=∣x− p∣

x p≤∣x−p∣

p

Dado 0,tome = p. . Então :

0∣x− p∣∣ x− p∣≤∣x− p∣

p=

Logo : limx px = p

2 p=0, f p= f 0 =0, limx0

x =0?

Dado 0, tome=2 .Então : 0 x∣ x∣= x=

Teorema 3. Teorema do Confronto

Suponha que f (x )≤g ( x)≤h(x )∀ x≠ p em alguma vizinhança V ( p)∩D , onde D é o

domínio comum. Suponha também que limx p

f x=limx p

h x =L . Então: limx p

g x =L .

20


Exemplo 1: Suponha que ∣ f (x )∣≤x2 ,∀ x∈ℝ.

(a) Calcule, se existir, limx0

f x .

PeloTeorema do Confronto , como−x2≤ f x≤ x2e lim

x0x2=0, temos que :

limx0

f x existee é igual a0.

(b) f é contínua no ponto zero?

−x2≤ f x ≤x2

∀ x∈ℝ 0≤ f 0≤0 f 0=0.

Da letra a tem−se , então ,limx0

f x = f 0. Portanto f écontínua em zero.

Exemplo 2: Sejam f e g funções com mesmo domínio D , satisfazendo:

limx p

f x=0e∣g x ∣≤M ,∀ x∈D ,onde M é uma constante.

Prove que limx p

f x .g x =0 .

Prova:

limx p

f x=0⇔[∀0,∃0,∀ x∈Dom f ,0∣x− p∣∣ f x∣] se , e somente se :

limx p∣ f x ∣=0

Temos 0≤∣ f x . g x∣=∣ f x ∣.∣g x ∣≤∣ f x∣.M

Assim :−M .∣ f x ∣≤ f x . g x≤M ∣ f x∣

Mas limx p∣ f x ∣=0. PeloTeorema do Confronto , segue que lim

x pf x . g x =0

Exemplo 3: As funções trigonométricas (seno, cosseno, secante, cossecante, tangente, cotangente)

são contínuas.

21


Exemplo 4: Um limite fundamental: limx0

sen xx=1.

f (x )={sen x

x, se x≠0

1, se x=0. A função f(x) é contínua!

Prova:

Sabe-se que ∣sen x∣<∣x∣<∣tg x∣, x∈(−π2

, 0)∪(0, π2).

Se x∈(0, π2) , temos quea <

xsen x

<1

cos xou cos x <

sen xx< 1.

Pelo Teorema do Confronto, limx0

sen xx=1 .

Se x∈(−π2

,0) ,temos que−sen x <− x <−tg x , ou ainda , cos x<sen x

x<1 .

Novamente, pelo Teorema do Confronto, limx0−

sen xx=1 .

Portanto: limx0

sen xx=1 .

Exercícios:

1) Calcule limx0

1−cos xx

.

limx0

1−cos xx

= limx0

1−cos x .1cos xx. 1cos x

=limx0

1−cos2 xx.1cos x

= limx0

sen2 xx.1cos x

=

= limx0[sen xx

.sen x1cos x

]= limx0

sen xx

. limx0

sen x1cos x

=1.02=0

2) Calcule limx0

sen 2xx

.

limx0

sen 2xx

= limx0

sen 2x 2x

.

Fazendou=2k , tem−se limx0

sen 2x 2x

= limu0

2senu

u=2 .1=2

22


3) Calcule limx0

1−cos x

x2. Resposta :

12

.

4) Ache k≠0 que torne contínua em x=0 a função: f (x )={ tg(kx)

x, se x<0

3x+2k2 , se x≥0

.

limx0

f x= limx0

3x2k2= 2k2

limx0−

f x= limx0−

tg kx x

= limx0 −

sen kx x

.1

cos kx = k . lim

∣k∣x0 −

senkx x

. limx 0−

1cos kx

= k . 1= k

limx→0 +

f (x )= limx→0−

f (x )⇔2k2=k⇔2k2

−k=0⇔{k=0

k=12

Portanto f (x )={ tanx2

, x< 0

3x+12,

x≥0é contínua.

5) Faça conjecturas sobre os limites:

(a) limx→0

sen(1x)

(b) limx→0

x sen (1x)

23


9. FUNÇÕES COMPOSTAS E CONTINUIDADE

Sejam f e g funções reais tais que Im f ⊂ Dom g. Seja h=g ∘ f , isto é, h (x)=g ( f ( x)) ,

∀x∈Dom f .

Teorema 1:

Sejam f e g funções com Im f ⊂ Dom g. Assuma que f é contínua em p, e g é contínua em a = f(p).

Então h=g ∘ f é contínua em p.

Prova:

Dado ε> 0, ∃δ1> 0 tal que ∀t∈Dom g , 0≤∣t− f ( p)∣< δ1 ⇒(1)∣g (t)−g ( f ( p))∣< ε , pois g

é contínua em f(p).

Sendo f contínua em p, para ε=δ1> 0, ∃δ2> 0 tal que, ∀x∈Dom f ,

0≤∣x− p∣< δ2 ⇒(2)∣ f ( x)− f ( p)∣< δ1 . Mas Im f ⊂ Dom g.

Então, ∀x∈Dom f , 0≤∣x− p∣< δ2 ⇒(2)∣ f ( x)− f ( p)∣< δ1⇒

(1)∣g ( f ( x))−g ( f ( p))∣< ε .

Portanto, h=g ∘ f é contínua no ponto p.

Teorema 2:

Sejam f e g funções tais que Im f ⊂ Dom g, limx→ p

f ( x)=a e g é contínua em a.

Então, limx→ p

g ( f (x ))=g (limx→ p

f (x))=g (a) .

Prova:

Dado 0, pela continuidade de g em a, podemos afirmar que ∃δ1> 0 tal que, ∀t∈Dom g :

0≤∣t−a∣< δ1 ⇒∣g (t )−g (a)∣< ε (1)

Como limx→ p

f ( x)=a , para δ1> 0, ∃δ2> 0 tal que, ∀x∈Dom f :

0<∣x− p∣< δ2 ⇒∣ f ( x)−a∣< δ1 (2)

Como Im f ⊂ Dom g , ∀x∈Dom f , 0<∣x− p∣< δ2 ⇒(2)∣ f ( x)−a∣< δ1⇒

(1)∣g ( f (x ))−g (a )∣< ε .

Portanto, limx→ p

g ( f (x ))=g (a ) .

24


9.1 Limite de função composta

Como calcular limx→ p

g ( f (x )) , caso exista?

Seja p ponto de acumulação de Dom f.

1° caso: limx→ p

f ( x)=a e g é contínua em a.

Pelo Teorema 2, limx→ p

g ( f (x ))=g (limx→ p

f (x))=g (a) .

2° caso: limx→ p

f ( x)=a e limt→ a

g (t)=L

limx→ p

g ( f (x )) = ?

9.2 Mudança de variável

Seja u = f(x). Por hipótese, temos que x→ p⇒ f ( x)→a . limx→ p

g ( f (x ))=limu→ a

g (u) = L ?

É necessário que a seja ponto de acumulação de Im f, mas não é suficiente. (Veja Exemplo 7.)

Teorema 3.

Sejam f e g funções satisfazendo as condições:

(i) Im f ⊂ Dom g

(ii) limx→ p

f ( x)=a

(iii) limt→ a

g (t)=L

(iv) ∃r> 0, tal que f (x )≠a , ∀x∈Dom f satisfazendo 0<∣x− p∣< r .

Então limx→ p

g ( f (x ))=limu→a

g (u)=L .

Prova:

Seja ε> 0. Por (iii), ∃δ1> 0 tal que, ∀t∈Dom g ,

0<∣t−a∣< δ1 ⇒∣g (t )−L∣< ε (1)

Por (ii), para δ1> 0 , ∃δ2> 0 tal que, ∀x∈Dom f ,

0<∣x− p∣< δ2 ⇒∣ f ( x)−a∣< δ1 (2)

Seja r > 0 dado pela hipótese (iv). Tome δ = min{ r , δ2 }. Então,

0<∣x− p∣< δ ⇒ f (x )≠a (3)

25


Logo, ∀x ∈ Im f ⊂ Dom g, 0<∣x− p∣< δ ⇒(2)+ (3)

∣ f (x)−a∣< δ1⇒(1)∣g ( f ( x))−L∣< ε .

Portanto, limx→ p

g ( f (x ))=L .

Observação: A condição (iv) no Teorema 3 é suficiente para que a seja ponto de acumulação de

Im f. Temos:

(iv) ⇒ a é ponto de acumulação de Im f

Mas a recíproca pode não ser verdadeira.

Veremos no Exemplo 7 que a ser ponto de acumulação de Im f não é condição suficiente para

afirmarmos que limx→ p

g ∘ f=limt →a

g ( t)=L . Em outras palavras, a mudança de variável t = f(x) pode

não ser válida.

Proposição:

(iv) ⇒ a é ponto de acumulação de Im f

Prova:

Temos limx→ p

f ( x)=a .

Então, ∀ε> 0, ∃δ1> 0 tal que, ∀x∈Dom f , 0<∣x− p∣< δ2 ⇒∣ f ( x)−a∣< ε .

Tome δ = min{ r , δ1 }, onde r > 0 é dado em (iv). Logo:

0<∣x− p∣< δ ⇒0<∣x− p∣< δ1⇒∣ f ( x)−a∣< ε e 0<∣x− p∣< δ ⇒0<∣x− p∣< r ⇒ f (x )≠a .

Portanto a é ponto de acumulação de Im f.

Observação: Se a∉Dom g , como Im f ⊂ Dom g, então f (x )≠a , ∀x∈Dom f . Nesse

caso, a hipótese (iv) do Teorema 3, “ ∃r> 0, tal que f (x )≠a ,∀x∈Dom f , satisfazendo

0<∣x− p∣< r . ” é dispensável. No entanto, se a∈Dom g e L∉g (a) (g não é contínua em a),

tal hipótese é indispensável.

Exemplo 1: f(x) = sen x2. Pelo Teorema 1, f é contínua.

Exemplo 2: f (x )=√1−x 2, Dom f=[– 1,1] . f é contínua.

Podemos escrever f da seguinte forma: f =g ∘h , onde g ( x)=√ x e h (x)=1−x 2 .

Função composta de funções contínuas é contínua.

26


Exemplo 3: Calcule limx→1 √ x2−1

x−1.

Solução:

Seja u=√ x2−1

x−1. lim

x→1

x2−1

x−1= lim

x→1(x+ 1)=2. Então lim

x→1 √ x2−1

x−1= lim

u→2√u=√2 .

Exemplo 4: Calcule limx→1

(3−x3)

4−16

x3−1

.

Solução:

Seja u=3−x3 .

Então, limx→1

u=limx→1(3− x3

)=2 e (3−x3)

4−16

x3−1

=u4−16

2−u=(u−2)(u+ 2)(u2

+ 4)2−u

.

Logo limx→1

(3−x3)

4−16

x3−1

=limu→ 2

(u−2)(u+ 2)(u2+ 4)

2−u=lim

u→2(−(u+ 2)(u2

+ 4))=−32 .

Exemplo 5: Calcule limx→−1

3√ x+ 2−1x+ 1

.

Solução:

Seja u=3√ x+ 2 . x=u3−2⇒

3√ x+ 2−1x+ 1

=u−1

u3−1

, para x≠−1 .

limx→−1

3√ x+ 2−1x+ 1

=limu→1

u−1

u3−1=lim

u→1

u−1

(u−1)(u2+ u+ 1)

=13

.

Exemplo 6:

f (x )=1,∀x∈ ℝ

g ( x)={u+ 1, u≠13, u=1

Temos limx→ p

f ( x)=1 e limu→1

g (u)=2 .

Como g(f(x)) = 3, ∀x, segue que limx→ p

g ( f (x ))=3≠limu→1

g (u )=2 , onde u = f(x).

Vemos neste exemplo que limx→ p

g ( f (x ))=3≠limu→ a

g (u ) , onde u = f(x) → a quando x → p. Neste

caso, falhou a hipótese (iv) do Teorema 3.

Por outro lado, g(f(p)) = g(1) = 3. Então limx→ p

g ( f (x ))=3=g ( f ( p)) , i.e., g ∘ f é contínua em

27


qualquer p∈ℝ .

Exemplo 7:

f (x )=x sen1x

, x≠0

g ( x)={−1, x=0x+ 1, x≠0

Temos que Dom f = ℝ−{0} e Im f ⊂ ( – ∞ , 1 ]. Podemos fazer a mudança de variável u = x f(x)

para calcular limx→0(g ∘ f )( x) ?

Temos:

• limx→0

f ( x)=limx→ 0

x sen1x=0

•limx→0

g (x )=1

Se fosse válida a mudança de variável, teríamos limx→0

g ( f (x ))=limu→0

g (u)=1 .

Mas, por outro lado: g ( f ( x))={−1, f ( x)=0

x sen1x+ 1, f (x )≠0

Além disso f (x )=0⇔ x=1

k π, k∈ℤ−{0 }.

Logo: g ( f ( x))={ −1, x=1

k π, k∈ℤ−{0}

x sen1x+ 1, x≠

1k π

, k∈ℤ−{0 }

Podemos provar que limx→0

g ( f (x )) não existe.

Por contradição, supor que limx→0

g ( f (x ))=L∈ℝ . Então, dado ε> 0, ∃δ> 0 tal que

0<∣x−0∣< δ ⇒∣(g ∘ f )(x)−L∣< ε (1)

1° caso: L≠−1

Para qualquer δ> 0, existe k∈ℤ−{0 } tal que ∣1

k π∣< δ . Basta tomar k>

1πδ

.

No entanto, f ( 1πδ)=0 e, portanto, ∣( g∘ f )( 1

k π)−L∣=∣−1−L∣> ε se escolhermos em (1) o

valor ε=∣L+ 1∣

2.

28


2° caso: L=−1

Se f (x )≠0, ∣( g∘ f )(x )−L∣=∣(g∘ f )(x )+ 1∣=∣x sen1x+ 2∣. Tome xk=

2(2k+ 1)π

,

k∈ℤ−{0 }. Temos f (x k)=2

(2k+ 1)πsen [(2k+ 1) π

2 ]=2

(2k+ 1)π. Escolho k 0∈ℤ

+ tal que

2(2k0+ 1)π

< δ⇒2k0+ 1>2δπ

. Temos, então, ∣( g∘ f )(x k0)+ 1∣=∣

2(2k0+ 1)π

+ 2∣> 2 . Tomando

ε0< 1, temos uma contradição.

29


10. LIMITES INFINITOS

limx→ p

f ( x)=±∞ e p ponto de acumulação de Dom f .

(a) limx→ p

f ( x)=+∞ ⇔[∀M >0,∃δ>0,∀ x∈Dom f , tal que0<∣x− p∣<δ⇒ f ( x)≥M ]

(b) limx→ p

f ( x)=−∞ ⇔[∀M >0,∃δ>0,∀ x∈Dom f , tal que 0<∣x−p∣<δ⇒ f ( x)≤−M ]

Similarmente, define-se limites laterais infintos.

Exemplo 1: limx→ 0

1

x2=+∞

Exemplo 2: limx→1−

1

x2+ x−2

=−∞ e limx→−2−

1

x2+ x−2

= +∞

30


11. LIMITES NO INFINITO

(a) limx→+∞

f (x )=L com (a ; +∞)⊂Dom f , para algum a∈ℝ

limx→+∞

f (x )=L⇔[∀ε>0,∃M >0, x>M , tal que∣ f ( x)−L∣<ε]

(b) limx→−∞

f (x)=L com (−∞ ;a )⊂Dom f , para algum a∈ℝ

limx→−∞

f (x)=L⇔[∀ε>0,∃M >0, x<−M , tal que∣ f ( x)−L∣<ε]

Exemplo 3: limx→+∞

1x=0 , lim

x→+∞

1

xn=0

limx→−∞

xn={+∞ , se né par−∞ , se né ímpar

,n∈ℕ

(i) lim [ f ( x)+g (x)] quando lim f (x )=+∞ e lim g (x)=−∞

(ii) lim f(x )g (x )

quando lim f (x)= lim g (x )=0 ou lim f (x )= lim g (x )= +∞

(iii) lim [ f ( x) .g (x )] quando lim f ( x)=0 e lim g (x )=∞

Formas indeterminadas: +∞.−∞ , 0.∞ ,00

, ∞∞ , 00 , 1∞ ,∞0


3x2−5x+2= lim

x→+∞x2(3−

5x+

2

x2)=+∞


x5−2x+1x−2

= limx→+∞

x [ x 4−2+

1x]

x [1−2x]

=+∞

31


Limites Fundamentais:

(1) limx→0

sen xx

=1 ; Forma indeterminada :00

(2) limx→0

ln (x+1)x

=1 ; Forma indeterminada :00

(3)limx→0(1+ x)

1x= e ; Forma indeterminada :1∞

(4) limx→+∞

(1+1x)

x

= e ; Forma indeterminada :1∞

(5) limx→+∞

xa

(e x)

b =0 ; a>0 e b>0 ; Forma indeterminada :∞∞

(6) limx→+∞

(lnx)a

xb =0 ; a>0 e b>0 ; Forma indeterminada :∞∞

32


12. ASSÍNTOTAS

(a) Assíntota Vertical

A reta x=a é uma assíntota vertical para uma função f se ∣ f (x )∣→+∞ quando x→a+ ouquando x→a− .

Isto é, x=a é um reta vertical para f ⇔ limx→a

f (x )=∞ ou limx→a +

f (x)=∞ ou limx→ a−

f (x )=∞ .

Exemplo 6: x=0 é uma assíntota horizontal para f (x )=1x

.

33

x

f(x)

a

f(x)

a

f(x)

xa


(b) Assíntota Horizontal

Uma reta horizontal y=b é uma assíntota horizontal para uma função f quandolim(x→∞)

∣ f ( x)−b∣= 0 .

Exemplo 7: f (x )=x2−1

x2+1

limx→∞

f ( x)= limx→∞

x2(1−

1

x2)

x2(1+

1x2 )

=1

y=1 é uma assíntota horizontal.

(c) Assíntota

Uma reta y=ax+b é uma assíntota para um função f quando limx→∞∣ f ( x)−ax – b∣=0 .

Exemplo 8: f (x )=x+1x

A reta y=x é uma assíntota para f :

∣ f (x )−x∣=∣x+1x−x∣=∣

1x∣→0 quando x→∞

A reta x=0 é uma assíntota vertical:

limx→0 +

f ( x)= +∞ e limx→0−

f (x )=−∞

Faça um esboço do gráfico.

34

f(x)f(x)

y = 1

-1

1


13. SEQUÊNCIAS E SÉRIES

Definição 1. Uma sequência infinita é qualquer função cujo domínio é o conjuntoℤ+={1,2,3, ...}.

f :ℤ+→ℝn→ f (n)=an

ou f :ℤ+→ℂn→ f (n)=an+ i bn

Notações:

{an}n=1

∞, {an}n∈ℕ , {an}n≥1 , {an}n ou {an+i bn}n=1

∞, {an+i bn}n∈ℕ , {an+i bn}n≥1 , {an+i bn}n

Exemplo 1:

{an}={1n }={1,12,

13,

... ,1n

,...}Exemplo 2:

a2n−1=1, a2n=2n2 , n=1,2 ,...

a1=1, a2=2, a3=1, a4=8, a5=1, a6=18, ...

Exemplo 3: Sequência definida recursivamente

a1=a2=1, an+1=an+an−1 , n≥2

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...

Definição 2. Limite de uma sequência

Uma sequência { f (n)} é dita ter um limite L se:

∀ε>0,∃N >0, tal que n∈ℤ+ , n≥ N acarreta ∣ f ( x)−L∣<ε

Neste caso, dizemos que a sequência converge para L e escrevemos lim(n→∞)

f (n)= L .

Se tal limite não existe, dizemos que a sequência diverge.

Proposição 1. Se cn= {an+ i bn} , então {cn} converge se, e somente se, {an} e {bn}convergem.

Observação: Qualquer função definida nos reais positivos serve para definir uma sequência,restringindo o domínio a ℤ+ .

35


Definição 3.

(a ) { f (n)}é crescente quando f (n)≤ f (n+1) ,∀ n≥1

(b) { f (n)}é decrescente quando f (n)≥ f (n+1) ,∀n≥1

(c) { f (n)}é uma sequência monótona quando { f (n)}é crescente ou decrescente

Teorema 1. Uma sequência monótona converge se, e somente se, ela é limitada.

Observação:

{ f (n)} é limitada se, e somente se, existe M > 0 tal que ∣ f (n) – M∣≤M ,∀ n≥1 .

Exemplo 1:

{1nα} ,α>0, é convergente e lim

(n→∞)

1nα=0 .

1nα≥

1(n+1)α

,∀ n≥1, e 0≤1nα≤1 ,∀ n≥1.

A sequência é decrescente e limitada. Logo, converge.

Exemplo 2:

{xn},∣x∣< 1, lim

(n→∞)xn=0 .

xn> xn+1 ,0< x <1 : decrescente e limitada .

Se−1 < x < 0, tem−se sequência limitada , nãomonótona , e convergente .

Exemplo 3:

f (n)= sen( π2) apresenta oscilações!

36


Definição 4. Dada uma sequência {an}, definimos S n=a1+a2+ ...+an=∑i=1

n

ai , n≥1 . A nova

sequência {S n} das somas parciais da sequência {an} é dita uma série.

Se limn→∞

S n=S , dizemos que {S n} converge e que sua soma é S .

Notação: S=∑k≥1

ak

Exemplo 1: Série harmônica

∑k≥1

1k

diverge .

Exemplo 2:

∑k=1

n12k−1 =2−

12n−1

∑k≥1

n1

2k−1= lim(n→∞)

(2−1

2n−1 )=2

Exemplo 3: Série Telescópica

an=1

n2+n

, n≥1

an=1n2+n=

1n−

1n+1

S n=∑i=1

n

a i=∑i=1

n

[1i−

11+i

]=1−1

n+1

limn→∞

S n= limn→∞(1−

1n+1

)=1

Exemplo 4: Série Geométrica

∑n≥0

xn=1+x+ x2

+...+ xn+ ...=

11−x

, se∣x∣< 1.

Se∣x∣>1 , a sériediverge .

37


14. PRINCIPAIS TEOREMAS DE CONTINUIDADE

14.1 Teorema de Bolzano

Teorema 1. Propriedade da Conservação do Sinal

Seja f contínua em c e f (c)≠0 . Então existe um intervalo (c−δ ;c+δ) no qual f temo mesmo sinal de f (c) .

Observação:

Para continuidade à direita ou à esquerda, o intervalo que existe é [c ; c+δ ) ou (c−δ ; c ] ,respectivamente.

Teorema 2. Teorema de Bolzano

Seja f : [a ;b]→ℝ contínua e assuma que f (a ) e f (b) têm sinais contrários. Sendo assim,∃ c ∈[a;b ] tal que f (c)=0 .

14.2 Teorema do Valor Intermediário para funções contínuas

Teorema 3.

Seja f : [a ;b]→ℝ contínua. Sejam x1<x2 dois pontos arbitrários em [a ;b] tais quef (x1)≠ f (x2). Então f assume todos os valores entre f (x1) e f ( x2) em algum

subconjunto do intervalo (x1 ; x2).

Teorema 4. Todo número real positivo tem uma única raiz n-ésima positiva

Se n∈ℤ+ e a > 0, então existe exatamente um b > 0 tal que bn=a .

14.3 Propriedades de funções preservadas por inversão

Definição 1. Funções monótonas e funções monótonas por partes

(a) Uma função é dita crescente em um conjunto S quando ∀ x , y∈ S , tem-se que x < yacarreta f (x )≤ f ( y ) ;

f é dita estritamente crescente em S quando ∀ x , y∈ S , tem-se que x < y acarretaf (x )< f ( y) .

38


(b) Uma função é dita decrescente em um conjunto S quando ∀ x , y∈ S , tem-se que x < yacarreta f (x )≥ f ( y ) ;

f é dita estritamente decrescente em S quando ∀ x , y∈ S , tem-se que x < y acarretaf (x )> f ( y) .

(c) f é dita monotônica (ou monótona) em S quando f é crescente em S ou é decrescenteem S ;

f é dita estritamente monotônica em S quando f é estritamente crescente em S ouestritamente decrescente em S .

(d) Uma função f é dita monótona por partes em um intervalo I se I for uma união deintervalos disjuntos dois a dois, e f for monótona em cada um deles.

Exemplos:

39

f(x)

a c b

Estritamente Crescente

f(x)

a b

Crescente Crescente Crescente


Definição 2. Função Inversa

Dada uma função f real de A em B , bijetora, define-se a função inversa de f , denotadapor f −1 , por f −1: B→A tal que y= f −1 se, e somente, se x= f ( y).

Consequências: f ( f −1( x))= x ,∀ x ∈Dom f −1 e f −1

( f (x))= x ,∀ x∈Dom f

Algumas funções inversas

1) f (x )= e x , x∈ℝ e f −1(x )= ln(x ) , x > 0

2) f (x )= sen x , x∈[−π2,π2] e f −1

( x)=arcsen x , x∈[−1 ;1]

3) f (x )= cos x , x ∈[0,π ] e f −1(x )= arccos x , x∈[−1 ;1]

4) f (x )= tg x , x∈[−π2,π2] e f −1

( x)=arctg x , x ∈ℝ

5) f (x )= cotg x , x ∈[0,π] e f −1( x)=arccotg x , x ∈ℝ

Observação:

Toda função estritamente monótona é inversível.

40

f(x)

xba

Estritamente Decrescente

f(x)

Monótona por partes


Teorema 5.

Seja f : [a ;b]→ℝ contínua e estritamente crescente. Sejam c= f (a) e d = f (b) e seja ga inversa de f , isto é, para cada y∈[c ;d ] , seja x= g ( y)= f −1

( y) o número x∈[a ;b ]tal que f (x )= y . Então:

(a) g é estritamente crescente em [c ; d ];

(b) g é contínua em [c ; d ] .

Observação: Existe resultado análogo para funções estritamente decrescentes e contínuas em

[ a , b ].

Exemplo: Continuidade da função raiz enésima

g ( x)= x1n , g é contínua e estritamente crescente em qualquer intervalo [ c , d ] com 0≤c< d ,

pois g é a inversa de f (x )=xn , a qual é contínua e estritamente crescente em [ 0 , + ∞ ).

A função potência f (x )=xn , r=mn∈ℚ e

mn> 0, é contínua em [0 , + ∞), pois

xmn=x

1n⋅x

1n⋅…⋅x

1n⏟

m

e produto de funções contínuas é uma função contínua.

Outra maneira: xmn=( xm)

1n=( f ∘g )( x) onde f (x )=n√ x e g ( x)= xm. Composta de funções

contínuas é contínua.

41


15. INVERSAS DE FUNÇÕES MONÓTONAS POR PARTES

Exemplo: f (x )=x2 , x∈ℝ

f é estritamente monótona por partes

Defina: f 1(x )=x2 , x≥0

f 2(x )=x 2 , x≤0

f 1−1(x)=√ x , x≥0

f 2−1(x)=√(−x ) , x≤0

42


16. INVERSAS DE FUNÇÕES MONÓTONAS POR PARTES

Seja f uma função real definida em S⊂ℝ .

Definição 1.

(a) A função f é dita ter um máximo absoluto em S se existe pelo menos um c ∈ S tal que

f (x )≤ f (c ) ,∀x∈ S .

(b) A função f é dita ter um mínimo absoluto em S se existe pelo menos um d ∈ S tal que

f (x )≥ f (d ) ,∀x∈ S .

(c) Na definição (a), f (c) é dito máximo absoluto de f e c é dito um ponto de máximo absoluto. Na

definição (b), f (d) é dito máximo absoluto de f e d é dito um ponto de mínimo absoluto.

Teorema 6.

Seja f : [a , b]→ℝ contínua. Então f é limitada em [a,b], isto é, ∃M > 0 tal que

∣ f (x )∣≤M ,∀x∈[a ,b] .

Teorema 7.

Se f : [a , b]→ℝ é uma função contínua, então existem pontos c e d em [a,b] tais que f (c) = sup f

e f (d) = inf f, onde sup f é o supremo de Im f e inf f é o ínfimo de Im f.

Observação: Pelo Teorema 7, temos max f[a,b] = sup f[a,b] e min f[a,b] = inf f[a,b].

43


17. DERIVADAS

17.1. Definição, Interpretação Geométrica e Exemplos

Definição

Seja f definida em um intervalo aberto I.

Definição 1.

A derivada de uma função f em um ponto x é definida por

f ' ( x)=limh→ 0

f (x+ h)− f (x )h

se o limite existir.

Neste caso, dizemos que f é derivável no ponto x.

Observação: f ' ( x)=limy→ x

f ( y)− f (x)y−x

Interpretação Geométrica

Declividade da reta s: as( x , h)=f ( x+ h)− f ( x)

h

Declividade da reta t: a t( x)=limh→0

as(h ,h)= f ' (x )

Portanto, f '(x) = tg α , onde α onde é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x.

44

f (x+h)

x

f (x)

x+hα

h

∆y

t s


Observação: f '(x) > 0 ⇒ reta tangente crescente

f '(x) < 0 ⇒ reta tangente decrescente

f '(x) = 0 ⇒ reta tangente horizontal

Outras Noções para Derivadas

Seja y = f(x).

1) y' , f '(x)

2) y. , Df (x) ,

df ( x)dx

Derivadas de Ordem Superior

Seja y = f(x).

• f ' é uma nova função.

• f ''(x) = (f ')' (x) ⇒ derivada segunda de f no ponto x

• f (n)(x) = f (n)(x) ⇒ derivada enésima de f no ponto x

Df : operador diferenciação

As derivadas f ' , f '', … , f (n) podem ser escritas por Df , D2 f , … , Dn f .

Notação devida a Leibniz

f ( x+ h)− f (x )h

=Δ yΔ x

∆ : operador diferença

dydx= limΔ x→0

Δ yΔ x

Derivada como Taxa de Variação

Se y = f(t) é a posição de um móvel no instante t, entãof ( t+ h)− f (t )

hé a taxa de variação

média de deslocamento no tempo h.

45


v m=f ( t+ h)− f (t )

hé a velocidade média de deslocamento no tempo h.

f ' ( t)=limh→0

f ( t+ h)− f (t)h

é a velocidade instantânea do móvel, no instante t.

Exemplo: f (t)=144 t – 16 t 2

f (2)=224f (2+ h)=144 (2+ h) –16(2+ h)2=224+ 80h−16h2

v m=f (2+ h)− f (2)

h=

80 h−16 h2

h=80−16 h

v (2)=limh→0(80−16 h)=80 m / s

v (2)= f ' (2)

v ( t)=limh→0

f (t+ h)− f (t)h

=limh→0

144 (t+ h)−16 (t+ h)2−144 t+ 16 t 2

h=144−32 t

v ( t)=144−32 t

Exemplos de Derivadas

Exemplo 1: Derivada de uma função constante

f (x )=c ,∀x

f ' ( x)=limh→0

f (x+ h)− f (x )h

=limh→0

c−ch=0

Exemplo 2: Derivada de uma função linear

f (x )=a x+ b

f ' ( x)=limh→ 0

a (x+ h)+ b−a x−bh

=limh→0

a hh=a

Exemplo 3: Derivada de f (x) = xn , n∈ℤ+

f ' ( x)=limh→ 0

( x+ h)n−xn

h

Mas an−bn=(a−b)∑k=0

n−1

ak bn−1−k . Tomando a = x + h , e , b = x , temos:

f ' ( x)=limh→ 0

h∑k=0

n−1

( x+ h)k xn−1−k

h=∑

k=0

n−1

xn−1

46


Logo: f ' ( x)=n xn−1

Exemplo 4: Derivada de f (x) = sen x

f ' ( x)=limh→0

sen( x+ h)−sen( x)h

=limh→0

2 sen( h2)cos(2x+ h

2 )h

=limh→0 ( sen(h

2)h2

cos( x+h2))=cos x

Logo:ddx(sen x)=cos x

Exemplo 5: Derivada de f (x) = cos x

f ' ( x)=limh→ 0

cos (x+ h)−cos (x )h

=limh→ 0

−2 sen( x+ h−x2 )sen( x+ h+ x

2 )h

=limh→ 0 (−sen(h2 )

h2

sen(2x+ h2 ))=−sen x

Logo:ddx(cos x )=−sen x

Exemplo 6: Derivada de f (x )=n√ x

f ' ( x)=limh→ 0

n√ x+ h−n√ xh

Sejam u=n√ x+ h e v=n√ x . Assim: un= x+ h , vn

=x e u → v quando h → 0 .

f ' ( x)=limu→ v

u−vun−vn= lim

u→v

1un−1

+ un−2 v+…+ uvn−2+ vn−1=lim

u→ v∑k=0

n−1

uk vn−1−k=1

n vn−1=1

n xn−1

n

=1n

x1−n

n =1n

x(1

n−1)

Em particular: ddx(√ x)=

12

x−12 =

12√ x

, x> 0

Teorema 1.

Se uma função f é derivável em um ponto x, então f é contínua em x.

47


Exemplo 7: f (x )=∣x∣

f ' ( x)={ 1, x> 0−1, x< 0

, f ' (0) não existe.

f ' (0)=limh→0

f (h)− f (0)h

=limh→0

∣h∣h

limh→0+

∣h∣h=1 lim

h→ 0−

∣h∣h=−1 Logo: f ' (0) não existe.

Este é um exemplo de uma função contínua em um ponto e não derivável neste ponto.

17.2. A Álgebra das Derivadas

Teorema 1.

Sejam f e g funções definidas no mesmo intervalo aberto I. Se f e g são deriváveis em x∈I , então

f + g , f – g , f . g são deriváveis em x. Além disso,fg

é derivável em x desde que g ( x)≠0.

As derivadas dessas funções no ponto x são dadas por:

(i) ( f + g ) ' (x )= f ' ( x)+ g ' ( x)

(ii) ( f −g ) ' (x )= f ' ( x)−g ' ( x)

(iii) ( f.g )' ( x)= f ' (x ). g ( x)+ f ( x) . g ' ( x)

(iv) ( fg )

'

(x )=f ' ( x) .g (x)− f (x ). g ' (x )

g2(x )

, g (x)≠0

Definição 1.

Dizemos que uma função f é derivável em um intervalo aberto I quando ∃ f ' ( x) ,∀x∈I .

Exemplo 8: Função polinomial é derivável.

P (x )=a0 xn+ a1 xn−1

+ …+ an−1 x+ an

P ' ( x)=a0 n xn−1+ a1(n−1) xn−2

+…+ an−1

Exemplo 9: Funções racionais.

f (x )=P (x )Q(x )

48


f ' ( x)=P ' (x ).Q( x)−P ( x) .Q ' ( x)

Q2( x)

,∀x ,Q (x)≠0

Função racional é derivável no domínio de f .

Exemplo 10: f (x )=xr , r∈ℚ , x> 0

Seja r=1n

.

Logo: f ' ( x)=1n

x1n−1

Exercício: Prove por indução em m que, para r=mn

, f ' ( x)=mn

xmn−1

.

Exemplo 11: Derivada de f (x) = tg x

ddx( tg x )=sec2 x

Exercício:

Mostre que:

a) ddx(cotg x)=−cossec2 x

b) ddx(sec x )=sec x . tg x

c)ddx(cossec x )=−cossec x .cotg x

17.3. A Regra da Cadeia

Sejam u e v funções tais que Im v ⊂ Dom u .

Teorema 1. Regra da Cadeia

Seja f (x )=(u∘v )( x) . Suponha que existam v'(x) e u'(y), onde y = v(x) . Então a derivada de f no

ponto x existe e é dada por f ' ( x)=u ' (v (x)). v ' (x ).

49


Regra da Cadeia na notação de Leibniz

y=v( x) , z=u ( y )dydx=v ' (x ) ,

dzdy=u ' ( y )

dzdx=

dzdy

.dydx

Exemplo 1: f (x )=cos √ x2−1

f ' ( x)=−sen (√ x2−1).

1

2√ x2−1

.2x=−x sen(√ x2

−1)

√ x2−1

Exemplo 2: Um gás é bombeado para dentro de um balão esférico a uma taxa constante de 50

cm3/s. Assuma que a pressão de gás permanece constante e a forma do balão permanece esférica.

Quão rápido o raio do balão cresce quando o raio é de 5 cm ?

Solução:

r=r (t)

V ( t)=43π(r (t))3

dVdt=50

dV (t)dt

=43π⋅3 r 2

(t)⋅dr (t )dt

dr ( t )dt

=1

4π r 2(t)

dV (t)dt

No instante em que r(t) = 5 , temos:

drdt=

14 π⋅25

⋅50=1

2πcm/s

Observação: O Exemplo anterior é um problema de taxas relacionadas.

Exemplo 3: Diferenciação implícita

x2+ y2

=r 2

f (x )=√r 2−x2 , g (x )=−√r2

−x2

f ' ( x)=1

2√r2− x2

⋅(−2x)=−x

√r 2−x2

=−x

f ( x), x∈(−r , r )

50


g ' (x )=x

√r2−x2

=−x

g ( x), x∈(−r , r ) , ou ainda, y '=−

xy

, y≠0

Outra maneira: Método de Diferenciação Implícita

x2+ y2

=r 2 , y é uma função de x definida implicitamente

Derivando termo a termo:

ddx( x2+ y2

)=ddx(r 2)⇔2 x+ 2 y⋅

dydx=0⇔

dydx=−

xy

Definição.

Dizemos que y = f(x) está definida implicitamente pela equação F(x,y) = 0 quando

F (x , f (x ))=0,∀x∈Dom f .

Exemplo:

y=√r 2−x2

= f (x ) está definida implicitamente pela equação x2+ y2

=r 2.

Método de Diferenciação Implícita

Derivam-se os dois membros da equação F(x,y) = 0 supondo que y seja uma função de x, obtendo-

se uma igualdade que envolvedydx

. Em seguida, isola-sedydx

.

51

Cálculo I - Nota 01 CPIME 2015

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