Calculo Diferencial e Integral

Granville / Smith / Longley

UTEHA

Impreso en España. 1978

PARTE II

Problemas Paginas 21 - 22

Soluciones por Benito Camela Vergara

Demostrar cada una de las siguientes igualdades:

2. lim 4x + 5 = 2 x∞ 2x + 3

Dividiendo númerador y denominador por x y luego sustituyendo por .

4x + 5 4 + 5 4 + 5 .

lim x x = x = = 4 + 0 = 4 = 2. x∞ 2x + 3 2 + 3 2 + 3 2 + 0 2 x x x

3. lim 4t 2 + 3t + 2 = - 1 .

t0 t3 + 2t - 6 3

Se sustituye t 0 en el numerador y denominador.

lim 4 (0) 2 + 3(0) + 2 = 0 + 0 + 2 = 2 = - 1 . t0 (0)3 + 2(0) - 6 0 + 0 - 6 - 6 3

4. lim x 2 h + 3xh 2 + h 3 = x . h0 2xh + 5h2 2

lim h (x 2 + 3xh + h 2 ) = x 2 + 3xh + h 2 h0 h (2x + 5h) 2x + 5h

Se sustituye h 0 tanto en el numerador como en el denominador.

lim x 2 + 3x(0) + (0) 2 = x 2 + 0 + 0 = x 2 = x .x = x . h0 2x + 5(0) 2x + 0 2x 2 x 2

5. lim 6x 3 - 5x 2 + 3 = 3 x 2x3 + 4x - 7

Primero dividimos, tanto en el numerador como en el denominador por x3.

6 x 3 - 5 x 2 + 3 6 - 5 + 3 .

lim x 3 x 3 x 3 = x x 3 = x 2 x 3 + 4 x - 7 2 + 4 - 7 x3 x3 x3 x2 x3

Luego sustituyendo x y teniendo presente que todo número para = 0 .

6 - 5 + 3 . 3 = 6 - 0 + 0 = 6 = 3 . 2 + 4 - 7 2 + 0 - 0 2 2 3

6. lim (2z + 3k) 3 - 4k 2 z = 1 k 0 2z ( 2z - k )2

lim (2z) 3 + 3(2z) 2 (3k) + 3(2z)(3k) 2 + (3k) 3 - 4k 2 z . k0 2z [(2z)2 - 2zk + (k)2]

lim 8z 3 + 36z 2 k + 54zk 2 + 27k 3 - 4k 2 z . k0 2z (4z2 - 2zk + k2)

Sustituyendo k 0

lim 8z 3 + 36z 2 (0) + 54z (0) 2 + 27 (0) 3 - 4(0) 2 z . k0 2z [4z2 - 2z(0) + (0)2]

lim 8z 3 + 0 + 0 + 0 - 0 = 8z 3 = 1 k0 2z (4z2 - 0 + 0) 8z3 .

7. lim ax 4 + bx 2 + c = 0 x dx5 + ex3 + fx

Dividiendo numerador y denominador para x4 .

a x 4 + b x 2 + c a + b + c .

lim x 4 x 4 x 4 = x 2 x 4 . x en la operación. x d x 5 + e x 3 + f x dx + e + f .

x4 x4 x4 x x3

a + b + c .

lim 2 4 = a + 0 + 0 . x d. + e + f + 0 + 0 3

lim a = 0 x

8. lim ax 4 + bx 2 + c = . x dx3 + ex2 + fx + g

Dividiendo numerador y denominador para x4.

a x 4 + b x 2 + c a + b + c .

lim x 4 x 4 x 4 = x 2 x 4 .

x d x 3 + e x 2 + f x + g d + e + f + g .

x4 x4 x4 x4 x x2 x3 x4

Sustituyendo x en la operación.

lim a + b + c .

x 2 4 = a + 0 + 0 = a = d + e + f + g 0 + 0 + 0 + 0 0

2 3 4

9. lim s 4 - a 4 = 2a2

sa s2 - a2

lim (s 2 + a 2 ) (s 2 - a 2 ) = s2 + a2.sa ( s2 - a2 )

Sustituyendo s a en la operación.

lim a2 + a2 = 2a2

sa

10. lim x 2 + x - 6 = 5 .

x2 x2 - 4 4

lim (x + 3) (x - 2) = (x + 3) . Sustituyendo x2 :

x2 (x + 2) (x - 2) (x +2)

lim (2 + 3) = 5 .x2 (2 + 2) 4

11. lm 4y 2 - 3 = 0y 2y3 + 3y2

Dividimos para y3. 4 y 2 - 3 4 - 3.lim y 3 y 3 = y y 3 .

y 2 y 3 + 3 y 2 2 + 3 y 3 y 3 y

Sustituyendo y en la operación :

4 - 3 .

lim = 0 - 0 = 0 = 0 y 2 + 3 2 + 0 2

12. lim 3h + 2xh 2 + x 2 h 3 = - 1 .h 4 - 3xh - 2x3h3 2x

Dividiendo todo para h3.

3h + 2xh 2 + x 2 h 3 3 + 2x + x2

lim h 3 h 3 h 3 = h 2 h .

h 4 - 3xh - 2x 3 h 3 4 - 3x - 2x3

h3 h3 h3 h3 h2

Sustituyendo h en la operación :

lim 3 + 2x + x2 3 + 2x + x2

h 2 = = 0 + 0 + x 2 = x 2 = - 1 . 4 - 3x - 2x3 4 - 3x - 2x3 0 - 0 - 2x3 -2x3 2x 3 2

13. lim aox n + a 1x n-1 + … + a n = ao . x boxn + b1xn-1 + … + bn bo

lim aox n + a 1x n .x -1 + … + a n . Dividiendo todo para el mayor exponente xn x boxn + b1xn.x-1 + … + b

aox n + a1x n .x -1 + … + an ao + a1.x-1 + … + an .

lim x n x n x n = x n .

x box n + b1.x n .x -1 + … + bn bo + b1.x-1 + … + bn

xn xn xn xn

Sustituyendo en x.

ao + a1 + … + an lim = lim ao + 0 + … + 0 = ao . x bo + b1 + … + bn x bo + 0 + … + 0 bo

14. lim aox n + a 1x n-1 + … + a n = an

x0 boxn + b1xn-1 + … + bn bn

Sustituyendo x0 en x

lim ao ( 0 ) n + a 1 ( 0 ) n-1 + … + a n = ao (0) + a1 (0) + … + an . x0 b0 ( 0 )n + b1 ( 0 )n-1 + … + b n bo (0) + b1 (0) + … + bn lim 0 + 0 + … + an = an .

x 0 + 0 + … + bn bn

15. lim (x + h) n - x n = nxn-1

h0 h

Desarrollando el Binomio de Newton.

lim xn + nxn-1h + n(n-1).x n-2 .h 2 + n(n-1)(n-2).x n-3 .h 3 + … + hn - xn.h0 1x2 1x2x3

lim nxn-1.h + n(n-1).xn-2.h2 + n(n-1)(n-2).xn-3.h3 + … + hn

h0 2 6

Dividiendo todo para h .

lim nx n-1 . h + n(n-1).x n-2 . h 2 + n(n-1)(n-2).x n-3 . h 3 + … + h n . h0 h 2 h 6 h h .

lim nxn-1 + n(n-1).x n-2 .h + n(n-1)(n-2).x n-3 .h 2 + … + hn-1

h0 2 6

Sustituyendo h0 en la operación.

lim nxn-1 + n(n-1).x n-2 ( 0 ) + n(n-1)(n-2).x n-3 ( 0 ) 2 + … + ( 0 )n-1

h0 2 6

lim nxn-1 + 0 + 0 + … + 0 = nxn-1

h0

16. lim √ x + h - √ x = 1 . h0 h 2 √x

Racionalizando el numerador:

lim ( √ x + h - √ x ) ( √ x + h + √ x ) h0 h (√x + h + √x)lim ( √ x + h ) 2 - ( √ x ) 2 = x + h - x . h0 h(√x + h + √x) h(√x+h + √x)

lim h = 1 .

h0 h (√x + h + √x) (√x + h + √x )

Sustituyendo h0 en la operación.

lim 1 = 1 = 1 . h0 (√x + 0 + √x ) (√x + √x ) 2√x

17. Dado f (x) = x2 , demostrar que :

lim f (x+h) - f (x) = 2xh0 h

Si f (x) = x2

f (x+h) = (x+h)2

lim (x + h) 2 - x 2 = x 2 + 2xh + h 2 - x 2 = 2xh + h 2 = h (2x + h) = 2x + h h0 h h h h .

Sustituyendo h 0 en la operación:

lim 2x + h = 2x + 0 = 2x h0

18. Dado f (x) = ax2 + bx + c , demostrar que:

lim f (x + h) - f (x) = 2ax + b.h0 h f ( x ) = ax2 + bx + c.f (x + h) = a (x + h)2 + b (x + h) + c.f (x + h) = a (x2 + 2xh + h2 ) + bx + bh + c.f (x + h) = ax2 + 2axh + ah2 + bx + bh + c.

Reemplazando en la función:

lim f (x + h) - f (x) = ax 2 + 2axh + ah 2 + bx + bh + c - (ax 2 + bx + c) .h0 h h

lim ax 2 + 2axh + ah 2 + bx + bh + c - ax 2 - bx - c = 2axh + ah 2 + bh .h0 h h

lim h (2ax + ah + b ) = 2ax + ah + b ; h0 h .

lim 2ax + a ( 0 ) + b = 2ax + bh0

19. Dado f (x) = 1 ,demostrar que : x

lim f (x + h) - f (x) = - 1 .h0 h x2

f(x) = 1 . xf(x+h) = 1 .

x + h

1 - 1 x - (x + h) x - x - h - h .

lim x + h x = x (x + h) = x (x + h) = x (x + h) = h0 h h h h .

1 1 1lim - 1 .

h0 x (x + h).

Sustituyendo h 0 en la operación final:lim - 1 = - 1 = - 1 .h0 x (x + 0) x . x x2

20. Si f (x) = x3 , hallar

lim f (x + h) - f (x) = 3x2

h0 h

f (x) = x3.f (x + h) = (x + h)3 = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3.

Reemplazando estos valores:

lim f (x+h) 3 - f (x) = x 3 + 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 - x 3 = 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 . h0 h h h

lim h (3x 2 + 3xh + h 2 ) = 3x2 + 3xh + h2

h0 h .

Sustituyendo h0 en la operación.

lim 3x2 + 3x ( 0 ) + ( 0 )2 = 3x2 + 0 + 0 = 3x2

h0