Calculo electrotecnico

7/23/2019 Calculo electrotecnico

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TECSUP - PFR Matemtica II

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UUNNIIDDAADDVVIIII

EESSTTAADDSSTTIICCAA

1. INTRODUCCIN

El actual desarrollo cientfico-tecnolgico de la sociedad, en casi todos susniveles, exige permanentemente el manejo de una gran masa de datos que porsu extensin hace prcticamente imposible el proceso de manipulacin de ellos ypor tanto se dificulta enormemente los estudios y conclusiones que debenobtenerse en cada situacin concreta.

El mtodo estadstico es uno de los procesos que utilizamos para tratar deresolver tales situaciones y as poder efectuar el tipo de generalizaciones que nospermitan la comprensin de un fenmeno econmico, social, fsico, poltico, etc.

La industria precisa de la informacin estadstica para poder tomar decisiones enmateria de inversin, planeacin, ventas, produccin, etc.

El estado utiliza este instrumento para estimar la recaudacin de impuestos, paracontrol de precios y de productos, para proyectar la construccin de obras deinfraestructura, para investigaciones en materia econmica que le permitan

aplicar nuevas y mejoras polticas ajustadas a sus propsitos y metas. Lamedicina, la qumica, la fsica, las ciencias sociales, en fin todas las reas de laciencia, precisan de los conceptos y tcnicas estadsticas para su desarrollo.

1.1 POBLACIN Y MUESTRA

Poblacin es el conjunto mayor de personas o cosas cuyo estudio nosinteresa o acerca de los cuales se desea informacin. Los elementos deeste conjunto se denominan datos u observaciones.

La poblacin puede ser infinita, y por tanto, es imposible tener una

informacin completa sobre ella o si la poblacin es numerosa y no seaposible estudiar todos y cada uno de sus elementos, se acude a lainformacin proporcionada por una parte finita de dicha poblacinllamada muestra.

En trminos matemticos: Poblacin es el universo de la teora deconjuntos y muestra es un subconjunto propio finito de la poblacin.

1.2 ESTADSTICA

Disciplina que nos proporciona un conjunto de mtodos y procedimientosque nos permitan recopilar, clasificar, presentar y describir datos enforma adecuada para tomar decisiones frente a la incertidumbre o


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Matemtica II TECSUP - PFR

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predecir o afirmar algo acerca de la poblacin a partir de los datosextrados de la misma.

Esta definicin nos permite distinguir la Estadstica Descriptiva de laInferencial.

Estadstica Descriptiva.- trata de la recopilacin, clasificacin,presentacin y descripcin de los datos.

Estadstica Inferencial.- nos proporciona la teora necesaria paraafirmar algo acerca de la poblacin o tomar decisiones generales apartir de los datos bajo estudio.

1.3 CICLO METODOLGICO DE UN TRABAJO ESTADSTICO

Cuando no sea posible obtener una informacin completa de la poblacin,se extraen muestras representativas de dicha poblacin mediante lastcnicas de muestreo, y en base al estudio o informacin obtenidas de losdatos muestrales se afirma algo acerca de la poblacin total o se tomandecisiones generales confiables con ayuda de la Estadstica Inferencial.

Este ciclo se cumple en la mayora de las veces del quehacer estadstico

1.4 VARIABLES

La estadstica se interesa fundamentalmente en el estudio de ciertasvariables llamadas aleatorias, cuyo comportamiento lo veremos luego. Porahora se especificar que existen dos tipos de variables estadsticas, asaber:

Variables discretas: aquellas que solo pueden tomar valores enteros. Porejemplo, el nmero de hijos de una familia, el nmero de objetosproducidos por una mquina, etc., pueden ser descritos mediante unavariable del tipo discreto:

x = 1, 2, 3, 4, etc.

(Tcnicas de muestreo)

MUESTRA

POBLACIN

MUESTRA

Estadstica

Descriptiva

EstadsticaInferencial

-

-

-


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Variables continuas: aquellas cuyo campo de variacin o conjunto devalores a tomar son nmeros reales pertenecientes a cierto intervalo. Porejemplo, pesos de individuos, estaturas, medidas de longitud, dimetros

de piezas producidas por una o varias mquinas pueden ser descritosmediante variables del tipo continuo. As, si 1 x 2; x es una variableque puede tomar cualquier nmero real comprendido entre 1 y 2 incluidosambos.

2. ESTADSTICA DESCRIPTIVA

La estadstica descriptiva se ocupa de la recopilacin, clasificacin, presentacin ydescripcin de los datos.

RECOPILACIN

Los datos pueden recopilarse de dos maneras fundamentales:

a) Si se consideran todos los elementos de la poblacin y se registransus caractersticas se denomina censo.

b) Si se seleccionan algunos elementos de la poblacin, pero no todos,se denomina muestra y la informacin obtenida por esteprocedimiento se llama por muestreo; si la recopilacin de loselementos muestrales se efecta al azar se dice que el muestreo esaleatorio y la muestra se denomina muestra aleatoria.

Un ejemplo de una recopilacin completa o censo es el Censo Poblacionaldel Per realizado en el ao 1993.

CLASIFICACIN

Los datos obtenidos por observacin o medicin suelen ser registrados enel orden en que se recopilan. Para facilitar su interpretacin y el anlisiscorrespondiente deben ser clasificados y esto equivale a que los datosdeben ser organizados de alguna manera sistemtica o particionado enclases bien definidas y una manera sencilla de hacerlo es ordenar los

datos segn su magnitud o agruparlos de acuerdo a sus caractersticas.

PRESENTACIN DE DATOS

Una vez recolectados los datos y optado por su posible clasificacin esnecesario presentarlos en forma tal que se facilite su comprensin y suposterior anlisis. Para ello se ordenan en cuadros numricos llamadosTABLAS (Tablas de frecuencias) y luego se presentan mediante GRFICAS(de barras, sectores circulares, histograma, polgono de frecuencias, ojiva,pictograma, etc.)

Haremos algunas definiciones en base a un ejemplo: Clasificar lossiguientes datos recopilados del nmero de cabezas de ganado vacuno


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que posee cada una de las 40 familias de las comunidades campesinas dela Sierra Central del Per, tomados al azar.

1 2 0 3 5 1 0 8 1 24 3 3 5 12 10 4 3 0 100 0 4 9 0 1 3 13 1 35 4 6 8 11 0 1 3 8 0

Alcance (A):es el intervalo definido por los datos de mayor y menorvalor.

En el ejemplo: A 0; 13

Intervalos de clase ( Ii ) y Lmites de clase ( Li ): clasificar los

datos en k grupos equivale a particionar el alcance A en k clases o kintervalos Ii ,donde: i=1, 2, ...,k y determinar cuntos datospertenecen a cada uno.

1, iii LLI , i=1, 2, ...,k

Los intervalos semi-abiertos por la derecha Ii se denominan intervalos declase.

Los Li, i=1, 2, ...,k+1 se denominan los lmites de clase.

El valor entero de k, fundamentalmente, depende del estadstico y/oinvestigador, pero es recomendable utilizar la regla de Sturges paradeterminar un valor aproximado de k:

Donde n es el nmero total de datos disponibles.

La frmula es un poco conservadora y nos da un nmero de intervalosun poco menor del que se utiliza en la prctica. Cuando el nmero dedatos es menor que 100, el nmero de intervalos se debe tomar menorque 10. Para un nmero de datos bastante grande, el nmero deintervalos es mayor que 10, la prctica aconseja los siguientes lmites: 5k 15 .

En el ejemplo:

k = 1 + 3,3 log(40) = 6,286

Luego k podr tomar valores enteros: 5, 6 o 7

Tomemos: k = 7 .

3,3logn1k


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Ancho de Clase ( Wi):es la longitud de un intervalo de clase.

iiii LLIlW 1)(

Para conseguir anchos de clase iguales (W ), como es deseable; se usala siguiente relacin:

,)(

k

AlW donde )(Al es la longitud del alcance.

En el ejemplo:

13W 1,857

7 tomamos W= 2

Frecuencia Absoluta (ni):una vez decidido el valor de k y calculadoel ancho de clase. Mediante la tabulacin se determina el nmero dedatos contenidos en cada clase y este nmero entero se denominafrecuencia absoluta( ni)

ni : frecuencia absoluta de isima clase .

SELECCIN DE LA MUESTRA

Evaluar el comportamiento de una o varias caractersticas o variables de una poblacinsera muy costoso, por lo que la estadstica nos brinda procedimientos para seleccionara una parte de esa poblacin y analizarla de tal forma que sus caractersticas coincidancon la poblacin.

Definiciones Bsicas

Poblacin: Es el conjunto de unidades del universo a las cuales se enfocael estudio de investigacin.

Segn el nmero de elementos la poblacin puede ser finita o infinita. Cuando elnmero de elementos que integra la poblacin es muy grande, se puede considerar aesta como una poblacin infinita.

Muestra: Es el conjunto de unidades extradas de la poblacin y se espera que sea loms representativa de ella.

Marco muestral: Es el listado o instrumento que contiene todas las unidadesque integran la poblacin estudiada, el cual sirve de soporte para laextraccin de la muestra.

El muestreo ofrece algunos beneficios importantes en comparacin con larealizacin de un censo.


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1. Una muestra ahorra dinero.

2. Una muestra ahorra tiempo; en cuanto a las horas de entrevistas, de

impresin del cuestionario, entrenar a los entrevistadores y preparar loscuestionarios completos para el anlisis de la informacin.

3. Una muestra puede ser ms precisa. Mientras ms pequea sea el estudio,sern mayores las posibilidades de obtener ms personal calificado paracada una de las etapas del proceso de investigacin. Adems un censopuede tomar tanto tiempo que el fenmeno de mercado que se estanalizando puede haber cambiado.

PROCEDIMIENTOS DE MUESTREO

A) Muestreo probabilstico: cada elemento de la poblacin tiene unaoportunidad conocida de ser seleccionado para la muestra. Ntese quedecimos una oportunidad conocida y no una oportunidad igual de serseleccionado

B) Muestreo no probabilstico: la seleccin de un elemento de la poblacinpara que forme parte de la muestra se basa en parte en el juicio delinvestigador o del entrevistador de campo. No existe una oportunidadconocida de que cualquier elemento particular de la poblacin seaseleccionado.

MUESTRAS NO PROBABILISTICASEntran en esta categora todas aquellas muestras en las cuales, los individuos seescogen en base a la opinin personal. La persona que selecciona los elementos de lamuestra, usualmente es un experto en la materia dada.

Muestreo de JuicioUn "experto" usa el juicio para identificar muestras representativas.

Hay situaciones en las que el muestreo de juicio es til y aconsejable.

a) Hay ocasiones en las que el muestreo probabilstico no es factible o esprohibitivamente costoso.Ej. Una muestra aleatoria de homosexuales puede ser imposible de obtener yuna muestra de juicio de aquellos que frecuentan los bares ser ms usada.

b) Si el tamao de la muestra es muy pequeo (menos de 10) una muestra dejuicio generalmente ser ms confiable y representativa que una muestraprobabilstica.


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Muestreo por cuotasEs un muestreo de juicio, con la restriccin de que la muestra incluye un

nmero mnimo de cada subgrupo especificado dentro de la poblacin.

Se basa frecuentemente en datos demogrficos como localizacin geogrfica,edad, sexo, educacin e ingreso.

MUESTRAS PROBABILSTICAS.

Son aquellas en que cada individuo de la poblacin tiene una probabilidadperfectamente conocida de ser incluida en la muestra. No es ni siquiera necesario quelos diferentes individuos tengan un igual chance de pertenecer a la muestra, basta conque tengan cualquier posibilidad (diferente de cero) de formar parte de ella y que esa

probabilidad sea conocida.Primero.- Es esencial que la probabilidad de elegir cada individuo sea perfectamenteconocida, pues si no lo es, no ser posible calcular errores que puedan cometerse alhacer su seleccin.Segundo.- Es indispensable que los individuos se elijan al azar, sin permitir laintervencin de ningn factor que favorezca la eleccin de unos en detrimento de losotros.

Muestreo Aleatorio SimpleEn este caso cada observacin tiene la misma probabilidad de ser seleccionada.Ejemplo: para seleccionar al delegado del aula en forma aleatoria, todos ponen sunombre en un papelito, lo introducen dentro de una bolsa, y luego cogen uno al azar.Tambin puede simplificarse el mtodo de seleccin empleando la tabla de nmerosaleatorios y un computador.

Muestreo SistemticoSe selecciona una muestra tomando k-sima unidad de la poblacin una vez que todoslos elementos de la poblacin estn numerados a arreglados en una lista.Entonces si se va a seleccionar una muestra de 40 unidades a partir de una poblacinde 1000 unidades, la muestra se obtiene tomando cada 25 sima (1000 /40 ) unidadde la poblacin.Puede utilizarse el procedimiento de la urna para determinar con cul de las primeras

25 unidades se deben empezar.

Muestreo EstratificadoSeleccin aleatoria en estratos de diferente tamao de acuerdo a su peso relativo.Ejemplo: se desea asistir a una visita en una empresa y que se beneficien los alumnosde todas los departamentos de Tecsup. Por especialidad, el nmero de alumnosdifieren entre ellos, por lo tanto debo tomar una muestra que refleje el peso relativo decada especialidad.

Muestreo por ConglomeradoPermite dividir la poblacin en grupos y seleccionar una muestra de estos

conglomerados. El muestreo por conglomerado es diferente del muestreo estratificado,


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pues las diferencias entre los conglomerados son generalmente pequeas, pero lasdiferencias entre las unidades dentro de cada conglomerado en general son mayores.

Ejercicios de Muestreo

1. Como seleccionara aleatoriamente 5 estudiantes de un aula de 40 alumnos.2. Como seleccionara una muestra de 50 estudiantes de TECSUP del 1 ro al 6to

ciclo de una sola especialidad.3. Como seleccionara una muestra de 300 estudiantes de TECSUP del 1 ro al 6to

ciclo de las 6 especialidades.4. Como seleccionara una muestra de 30 computadoras de 4 aulas de laboratorio

de computo de TECSUP.5. En un proceso de empaquetado de galletas, se desea seleccionar una muestra

100 galletas para determinar la calidad del producto. Si durante un da unamaquina empaquetan 800 galletas. Cul ser el proceso para seleccionar lamuestra?

6. Del problema anterior. Si se trabajan con 30 maquinas diferentes y deseamosseleccionar las 100 galletas. Cul ser el proceso para seleccionar la muestra?

7. Un profesor quiere investigar sobre el tiempo diario de estudio de 20estudiantes de una clase

Nombre Nmero de horas Nombre Nmero de horasJuan 2,3 Mara 2,9Alicia 1,9 Fernanda 0,7

Pedro 2,0 Julio 0,8Marcos 1,5 Rosa 1,0Alberto 1,7 Fabin 1,3Jorge 2,2 Ana 2,8Jos 1,8 Laura 0,8Carlos 1,9 Enrique 0,9Miguel 1,9 Carmen 1,1Victoria 1,6 Marcelo 1,2

En cada alternativa, use la tabla de nmeros aleatorios, empiece en la fila 1

columna 1 y contine seleccionando hacia la derecha.a) Elija una muestra aleatoria simple de tamao n=4 de esta poblacin.b) Calcule la media y desviacin estndar en (a).c) Elija una muestra estratificada de tamao n=4 por sexo de esta

poblacind) Calcule la media aritmtica y desviacin estndar de cada estrato

8. El gerente de una compaa de urbanizacin quiere averiguar lasopiniones de los residentes ante las instalaciones recreativas del lugary los mejoramientos que les gustara que se hicieran. En la poblacinviven residentes de varias edades y niveles de ingresos, pero una granproporcin es de clase media y su edad flucta entre 30 y 50 aos. Elgerente todava no est seguro de que haya diferencias entre los grupos


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de edades o los niveles de ingresos respecto al deseo de lasinstalaciones recreativas. Conviene aplicar en este caso el muestreoestratificado?

9. Un fabricante de cmaras fotogrficas est tratando de investigar culesson, a juicio de los empleados, los principales problemas de la compaay que mejoramientos se necesitan hacer. Con objeto de evaluar lasopiniones de los 37 departamentos, la gerencia est estudiando un plan demuestreo. Se ha recomendado al jefe de personal que la gerencia adopte unplan de muestreo por conglomerados. La gerencia escoger 6 departamentosy entrevistar a todos los empleados. Luego de reunir y valorar losdatos recabados de ellos, la compaa estar en condiciones de introducircambios y planear las reas de mejoramiento del trabajo. Es apropiado unplan de muestreo por conglomerados?

10.El presidente de una compaa quiere ofrecer a los empleados cursos concintas de video durante la hora de la comida; desea adems recibirsugerencias de los cursos que los empleados desearan que fueranimpartidos. As, pues ha ideado una papeleta que el empleado puede llenaren 5 minutos, anotando en ella sus preferencias entre los cursosposibles. La papeleta cuya impresin cuesta muy poco, sern distribuidascon los cheques de nmina; los resultados sern tabulados por el personaladministrativo de un grupo recin disuelto de la compaa. El presidentede ella proyecta encuestar a todos los empleados Hay motivos quejustifiquen encuestar una muestra de empleados y no toda la poblacin?


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Distribucin de Frecuencias Absolutas:

Tabla N1

Cabezas de ganado Tabulacin N de familias porclases

Intervalos de clase oclases: Ii

Frecuencias Absolutas:ni

[0; 2> 14

[2; 4> 9

[4; 6> 7

[6; 8> 1[8; 10> 4

[10; 12> 3

[12; 14> 2

TOTAL 40

En el ejemplo: n = 40 , k = 7

Se verifica que:

1 in 14k

n n n n n n n n 14 9 7 1 4 3 2 40 ni 1 2 3 4 5 6 7i 1

n3= 3 , se lee: la frecuencia absoluta de latercera clase es

Los intervalos de clase son:

I 0;2 , I 2;4 , I 4;6 , I 6;8 , I 8;10 , I 10;12 , I 12;141 2 3 4 5 6 7

Los lmites de clase son:

L 0, L 2, L 4, L 6, L 8, L 10, L 12, L 141 2 3 4 5 6 7 8


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Tabla N2

Cabezasde ganado

N defamilias

Marcasde clase

Frecuenciasrelativas


acumuladas

Frecuenciasabsolutas

acumuladas


porcentuales


acumuladasporcentuales

Clases ni xi hi Hi Ni 100hi% 100Hi%[0; 2> 14 1 0,350 0,35 14 35 35

[2; 4> 9 3 0,225 0,575 23 22,5 57,5

[4; 6> 7 5 0,175 0,750 30 17,5 75

[6; 8> 1 7 0,025 0,775 31 2,5 77,5

[8; 10> 4 9 0,100 0,875 35 10 87,5

[10; 12> 3 11 0,075 0,950 38 7,5 95

[12; 14> 2 13 0,050 1 40 5 100

TOTALES 40 1 100

Sigamos con las definiciones, observando la tabla N2:

Marcas de Clase ( xi):son los puntos medios de los intervalos declase.

2

1 iiiLL

x ; i = 1, 2, ....., k

L L 0 21 2x 112 2

L L 2 42 3x 322 2

; ......

x3= 5 , se lee: la marca de clase del tercer intervalo de clase es 5

Frecuencias Relativas ( hi):se define:n

nh ii ; i = 1, 2, ....., k

n 141h 0,3501n 40

n 92h 0,2252n 40

; .....

Se verifica que:

0 ih 1


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kh h h h h h h h 0,350 0, 225 0,175 0,025 0,100 0,075 0, 050 1i 1 2 3 4 5 6 7

i 1

h3= 0,175, se lee: la frecuencia relativa de la tercera clase es 0,175

Frecuencia Relativa Porcentual (100 hi%)

Nos permite contestar preguntas del siguiente tipo: Qu porcentajede familias, de las 40 bajo estudio, tienen 4 5 cabezas de ganado?

Respuesta: 17,5 %

Frecuencia Absoluta Acumulada ( Ni ):

Se define:

Ni = n1 + n2 + .... + ni ; i = 1, 2, ....., k

En el ejemplo:

N n 141 1

N n n 14 9 232 1 2

N 30,.... N 403 7

Se verifica:

0 N 40i

N N 40k 7

4N 31, se lee: la frecuencia absoluta acumulada hasta la cuartaclase es 31

Frecuencia Relativa Acumulada ( Hi ):

Se define:

kin

NHhhhH iiii ,...,2,1;...21

H h 0,3501 1

H h h 0,5752 1 2

H 0,750,..... H 13 7


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Se verifica:

0 H 1i

H H 1k 7

2H 0,575, se lee: la frecuencia relativa acumulada hasta la2da.clase es 0,575

Frecuencia Relativa Acumulada Porcentual (100 Hi%):Nos permite contestar preguntas del siguiente tipo: Qu porcentajede familias, de las 40 bajo estudio tienen menos de 8 cabezas deganado?

Respuesta: 77,5 %

GrficasLas distribuciones de frecuencias pueden ser representadas grficamentemediante:

a) HistogramasSon grficas de barras o rectngulos cuyas bases representan losintervalos de clase y las alturas las frecuencias absolutas o relativas.

(Fig. N 2)

b) Polgonos de frecuencias

Son polgonos construidos uniendo los puntos iiii hxnx ,, mediante segmentos de recta, o uniendo los puntos medios de lostechos de los rectngulos del histograma.(Fig. N 3)

ii nvsI . ii hvsI .

15

10

5

0 2 4 6 8 10 12 14

ni

Ii

Histograma

Fig. N215

10

5

0 2 4 6 8 10 12 14

ni

Ii

Polgono de Frecuencias

Fig. N3


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c) Diagramas escalonados o funciones escalonadas

Son grficas de barras o rectngulos cuyas bases representan losintervalos de clase y las alturas las frecuencias absolutas o relativasacumuladas.

(Fig. N 4)

d) Ojivas

Son poligonales asociadas a distribuciones de frecuencias absolutas o

relativas acumuladas construidas como aparece en la Figura N5

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Los accidentes en una planta de papas fritas se clasifican de acuerdo con la partedel cuerpo lesionada.

Dedos: 17 Ojos: 5Brazos: 2 Piernas: 1

ii NvsI . ii HvsI .

10

20

30

40

0 2 4 6 8 10 12 14

Ni

Ii

Fig. N4

Funcin Escalonada

10

20

30

40

0 2 4 6 8 10 12 14

Ni

Ii

Fig. N5

Ojiva


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Trace un diagrama de barras

2. Los siguientes datos son velocidades (en Km/h) de 30 carros que pasaron por unpunto de control de velocidad. Clasificar estos datos convenientemente. Hallar lastablas de frecuencias, graficar el histograma y la ojiva correspondiente a lasfrecuencias absolutas.

60 30 38 60 45 2035 20 40 54 38 35

40 10 46 60 49 3830 55 45 105 29 4980 40 28 15 82 72

3. Los siguientes datos constituyen las vidas tiles en horas de una muestra aleatoriade 60 bombillas de luz de 100 watts:

807 811 620 650 815 725 743 703 844 907660 753 1050 918 850 876 1027 889 878 890881 872 869 841 863 842 851 837 822 811766 787 923 792 799 937 816 758 817 7531056 1076 958 970 765 896 740 891 1075 1074832 863 852 788 968 817 678 865 759 923

a) Constryase una distribucin de frecuencias con anchos de clases iguales

b) Trcese el polgono de frecuencias sobre un Histograma de intervalos declases vs. frecuencias relativas.

c) Trcese la ojiva asociada a la funcin escalonada representando intervalos declases vs. frecuencias absolutas acumuladas.


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4. La siguiente tabla muestra la distribucin de los empleados de una compaaaseguradora por sueldos mensuales en nuevos soles (ao 2001)

Clases Frecuenciasmenos de 450 32450 a menos de 900 47900 a menos de 1350 751350 a menos de 1800 891800 a menos de 2500 1262500 a menos de 4250 384250 a mas 10

TOTAL 417

a) Qu porcentaje de empleados ganan sueldos mensuales inferiores a 900nuevos soles?. Qu porcentaje ganan 2500 nuevos soles o ms?

b) Qu porcentaje de empleados ganan entre 1350 y 4250 nuevos soles?

c) Determinar los anchos y las marcas de clase.

Nota.- Se averigu que el mximo haber percibido en la compaa es de 5500nuevos soles. Si no se tiene ninguna informacin se asume un mximo valor

de acuerdo al problema en cuestin; as como se supondr cero, como elhaber mnimo.

5. Para un estudio sobre resistencia de un metal, se han realizado cien experienciasde rotura frente a la carga de un hilo del mismo grosor, y han sido anotados lospesos lmites en cada caso.

Cargas de rotura de un hilo en gramos

711 862 851 912 922 791 825 935 895 758915 873 926 864 800 931 722 774 903 925

853 700 885 857 844 907 917 786 820 930789 790 753 910 847 784 936 706 758 887941 909 784 882 859 903 925 704 792 888

890 925 895 768 869 892 895 912 850 920763 805 796 759 916 853 789 943 712 764892 893 915 890 888 865 909 931 710 798914 794 931 701 772 935 887 880 933 905889 791 782 713 724 868 842 892 905 792

a) Reagrupar estos datos en 7 intervalos de clase de igual longitud.

b) Trcese el histograma y el polgono de frecuencias.


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c) Trcese la ojiva correspondiente, y conteste:

Qu porcentaje presentan una carga no menor de 770 gramos?Qu porcentaje presentan una carga entre 800 y 900 gramos?

6. Las distribuciones cualitativas o por categoras se suelen presentar en diagramasde sectores en la que un crculo aparece dividido en sectores proporcionales en suabertura a las frecuencias de las categoras que representan:

a) Construir un diagrama de sectores para trasmitir la informacin de que (segn las cifrasms recientes disponibles) en el Per el nmero total de botellas de vinoconsumidas provienen el 69% de ICA, el 18% de otras partes del pas, el 5%se importan de Francia y el resto de otros pases.

b) Dibujar un diagrama de sectores para mostrar que en un hospital de una granciudad la distribucin de su presupuesto es como sigue: 73% de sueldos,honorarios profesionales mdicos y bonificaciones a los empleados; 13% ensuministros y equipo mdico y quirrgico; 8% en mantenimiento, alimentaciny energa y el 6% en gastos administrativos.

7. En 1972, la poblacin activa de Francia estaba compuesta de:

11,1% de agricultores,10,6% de patronos,

16,5% de ejecutivos,16,7% de empleados,38,6% de obreros,6,5% de personal de servicios y otras categoras.Representar esta distribucin mediante el grfico que parezca ms adecuado.

8. Las prdidas en una fbrica de papel (en miles de dlares) debidas a rasgaduraspueden dividirse segn el producto:

Papel higinico: 132 Toallas desechables: 85

Servilletas: 43 Otros: 12 productos

a) Trace un diagrama en barras.

b) Qu porcentaje de las prdidas ocurre en la elaboracin de papel higinico?.

c) Qu porcentaje de las prdidas ocurre en la elaboracin de papel higinico otoallas desechables?

9. Los pesos de ciertos especimenes minerales, dados en la dcima ms cercana de

una onza, se agrupan en una tabla con los intervalos: 10,5 11,4; 11,5 12,4;12,513,4; y 13,514,4 onzas.


19/50


73

a) Determine las marcas de clase.b) Es posible determinar a partir de los datos agrupados cuntos especimenes

minerales pesan?:

Menos de 11, 5 onzas. Ms de 11,5 onzas.Al menos 12,4 onzas. Cuando mucho 12,4 onzas. De 11,5 a 13,5 onzas?

10.La siguiente tabla muestra el nmero de jvenes que obtuvieron los puntajessealados en una prueba de ingreso.

Puntaje Nmero de Jvenes 1510 10

2015 15

2520 28

3025 20

3530 17

Siendo A el porcentaje de jvenes con puntaje mayor a 20, B el porcentaje dejvenes con puntaje menor a 15. Seale el valor de A-B

11.Dado el tablero incompleto de la distribucin de frecuencias de las notas de 50alumnos. Completar el tablero, con un ancho de clase constante e igual a 2.

Seale: Cuntos alumnos sacaron un puntaje menor de 10? y Qu porcentaje dealumnos obtuvieron 12 ms de 12 pero menos de 16?

Ii xi ni Ni hi%

, 9

, 22%

, 11 12

,

, 7

, 6%


20/50


74

12.Dada la siguiente tabla incompleta, de las frecuencias de las edades de 80empleados:

Ii xi ni Ni hi%

,26 8,75%

, 20

, 20

, , 44 18,75%

Siendo el ancho de clase constante, encontrar:

a) Cuntos empleados tienen ms de 30 aos?

b) Qu porcentaje del total de empleados poseen menos de 42 aos?

13.En cierta fbrica se hizo un estudio sobre la edad de los trabajadores con el fin deestablecer un plan de seguro grupal. Los resultados fueron los siguientes:

25 54 43 32 23 22 4760 63 52 37 42 39 29

21 39 20 35 49 58 4543 47 48 38 41 57 4228 21 33 41 36 57 6726 38 49 43 41 59 2619 27 23 58 38 49 4036 30 50 32 23 28 4951 28 55 60 39 27 3337 40 52 36 48 41 37

a) Construya una distribucin de frecuencias apropiada para estos datos.

b) Conteste las siguientes preguntas, a partir de la tabla obtenida en a):

Cul el ancho de clase comn? Cul es el lmite inferior de la tercera clase? L3= Cul es la frecuencia absoluta de la cuarta clase? n4 = Cul es la frecuencia relativa de la segunda clase? h2= Cuntos trabajadores tienen menos de 50 aos? Y qu porcentaje

representan? Cuntos trabajadores tienen 50 aos o ms? Y qu porcentaje

representan? Qu porcentaje de trabajadores tienen entre 30 a 45 aos?


21/50


75

Trcese el polgono de frecuencias y la ojiva correspondiente.14.Los siguientes datos son las velocidades (en km/h) de 80 carros que pasaron por

un punto de control de velocidad:

60 30 31 60 45 20 34 29 35 2040 54 38 35 27 45 40 55 45 6049 49 85 83 30 40 46 105 29 38102 60 80 35 28 60 82 72 63 3670 60 31 65 34 73 68 81 65 8025 70 108 26 24 27 40 75 43 85120 45 39 83 65 72 46 62 43 6360 70 100 55 50 63 64 65 61 69

Clasifique estos datos convenientemente y:

a) Muestre el histograma y el polgono de frecuencias correspondiente.

b) Disee la funcin escalonada y la ojiva respectiva.

c) Los carros con velocidades mayores a 80 km/h, son multados por exceso develocidad. Qu porcentaje sern multados?

d) Los carros con velocidades entre 45 y 70 km/h, van a ser considerados enpremios organizados por una compaa. Qu porcentaje sern premiados?

15.El grfico muestra el impuesto mensual (en soles) que debe pagar una persona,segn su sueldo mensual (en soles):

Cunto de impuesto mensual paga una persona que gana s/.1500?. Cunto gana

una persona que paga mensualmente s/.300 de impuesto?

IMPUESTO

SUELDO2200 3400 40001000

120

360

900


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76

16.La siguiente tabla de frecuencias muestra los haberes mensuales de 200 obreros

de cierta fbrica, en nuevos soles (ao2000)

Haberes mensuales Nmero de obreros

Menores a 500 4

700,500 60

900,700 40

1100,900 48

1300,1100 24

1500,1300 14

1700,1500 8ms de 1700 2

TOTAL 200

Con referencia a esta tabla, contestar:

a) Qu porcentaje de obreros tienen haberes inferiores a s/.1000 mensuales?

b) Qu porcentaje de obreros tienen haberes superiores a s/.1100 mensuales?

c) Qu porcentaje de obreros tienen haberes entre 1000 a 1500 solesmensuales?

d) Graficar el histograma, el polgono de frecuencias y la ojiva correspondientes.


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77

DESCRIPCIN DE DATOS

En esta etapa nos ocuparemos del clculo y estudio de los estadgrafos.Estadgrafos.- Son nmeros que describen alguna caracterstica de lamuestra y se obtienen a partir de los datos muestrales o experimentales.Existen bsicamente dos tipos de estadgrafos:

a) Estadgrafos de Posicin:Localizan el centro de la distribucinde frecuencias. Se denominan tambin medidas de tendencia centralo de localizacin. Ejemplos: media, mediana, moda, cuarteles, etc.

b) Estadgrafos de Dispersin:Nos indican como estn dispersos losdatos con respecto a algn estadgrafo de posicin. Miden el grado devariabilidad de los datos alrededor de alguna medida de tendenciacentral, por esta razn, se les denomina tambin estadgrafos devariabilidad. Ejemplos: rango, la desviacin media, varianza,desviacin tpica, etc.

2.4.1 MEDIA (x )

Llamada tambin media aritmtica o promedio aritmtico es unestadgrafo que localiza el centro de la distribucin en base asu centro de gravedad y se obtiene a partir de las siguientefrmulas.

Para datos no clasificados:

Sean nxxx ,...,, 21 las variables matemticas que representan

los datos muestrales, entonces:n

x

x

n

i

i 1

Para datos clasificados:

n

nx

xi

k

i

i 1 o

k

i

iihxx1

Donde:

k: nmero de clases kxxx ,...,, 21 : marcas de clase

n: nmero total de datos knnn ,...,, 21 : frecuencias absolutas

khhh ,...,, 21 : frecuencias relativas.


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78

Media Ponderada:

k

i

i

i

k

i

i

P

Px

x

1

1

Siendo kPPP ,...,, 21 pesos asociados a las variables

kxxx ,...,, 21 respectivamente.

Media global:

Si una muestra de tamao n se particiona en ksubmuestrasy kxxx ,...,, 21 son las medias de las k submuestras de

tamaos knnn ,...,, 21 respectivamente.

Entonces:n

xn

x

ii

k

i

1 se denomina la media global de la

muestra particionada.

Ejemplos:

Media de datos no clasificados:

91x , 52 x , 33x , 104 x , 85 x

5xi

x x x x x 9 5 3 10 81 2 3 4 5i 1x 75 5 5

Media de datos clasificados:

Halle la velocidad media de los 30 carros que pasaron por unpunto de control de velocidad, del problema 2.

Use las frmulas que incluyen frecuencias absolutas yrelativas.


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79

Tabla N 3

Intervalos de clasein ix iinx ih iihx

[10, 26 4 18 72 0,133 2,394[26, 42 12 34 408 0,400 13,600[42, 58 7 50 350 0,233 11,650[58, 74 4 66 264 0,133 8,778[74, 90 2 82 164 0,067 5,494[90, 106 1 98 98 0,033 3,234

Total 30 1356 1 45,15

x ni i1356i 1

x 45,2n 30

ox x h 45,15

i ii 1

Media ponderada:

Tabla N4

Notas Pesos

ix iP iiPx

Ex. Parcial 05 1 5Ex. Final 13 3 39

4 44

kx Pi i

44i 1x 11k 4

Pii 1

Media Global:

Si una muestra de tamao 60 se particiona en 5 sub-muestras de tamaos 8, 18, 12, 9, 13 con medias15,14,12,8,11 respectivamente. Entonces, la media globalser:

x ni i8 * 15 18 * 14 12 * 12 9 * 8 13 * 11 731i 1x 12,18

n 60 60


26/50


80

2.4.2 MEDIANA )( mX

La mediana es un valor que divide a un conjunto deobservaciones ordenadas en forma ascendente o descendenteen dos grupos de igual nmero de observaciones.

Para datos no clasificados:

Sean nxxx ,...,, 21 los datos muestrales tales que

nxxx ...21 . Entonces:

paresnsixx

imparesnsix

X

nn

n

m

;)(2

1

;

2

2

2

2

1

En palabras: una vez ordenados los datos en orden creciente(o decreciente) de sus magnitudes:

Si n es impar, la mediana es el valor del dato que equidistade los extremos.

Si n es par, la mediana es el promedio aritmtico de dosdatos consecutivos equidistantes de los extremos.

Ejemplos:

Hallar la mediana de los siguientes conjuntos de datos:

{ 10, 9, 3, 6, 14 }

Previamente ordenamos los datos:

x 3 x 6 x x 10 x 141 2 3 9 4 5

como n es impar (n= 5 )

mX 5 1 x 9x 32

{ 5, 10, 29, 43, 21, 17 }

Previamente ordenados los datos:

x 5 x 10 x 17 x 21 x 29 x 431 2 3 4 5 6


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81

como n es par ( n= 6 ) X 19m Para datos clasificados:

Est dada por la frmula:

m

m

mmmn

Nn

WLX1

2

donde:

mL : Lmite inferior de la clase mediana (*)

n : Nmero total de datos

:1mN Frecuencia absoluta acumulada hasta la claseinmediata

anterior a la clase mediana

1

1

1

m

i

im nN

mn : Frecuencia absoluta de la clase mediana.

mW : Ancho de clase de la clase mediana: mmm LLW 1

Clase Mediana

Es el intervalo de clase que contiene el dato que ocupa laposicin media o central. Se identifica observando lasfrecuencias acumuladas absolutas o relativas y es aquella que

hasta ese nivel acumul la mitad del nmero total de datos ( 2

n

0,5) o super por primera vez a la mitad.

Clase mediana= 1,[ mm LL ; mX 1,[ mm LL

Ejemplo:


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82

Ta

blaN5

n 3015

2 2

La frecuencia absoluta acumulada correspondiente a la segundaclase (N2 = 16), supera por primera vez a 15; o la frecuenciarelativa acumulada a la segunda clase (H2 = 0,533), supera porprimera vez a 0,5.

Luego la clase mediana es [26;42>. mL 26

n = 12

mW 16

mn 12

1mN 430

42X 26 16 40,67m12

Velocidades en

Km/h

ni Ni Hi

[10, 26 4 4 0,133[26, 42 12 16 0,533[42, 58 7 23 0,766[58, 74 4 27 0,899[74, 90 2 29 0,966[90, 106 1 30 1

Total 30

5

10

15

20

25

30

10 26 42 58 74 90 106 Ii

Ni


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83

MEDIANA COMO UNA MEDIDA DE TENDENCIA CENTRALMS REPRESENTATIVA

La media es un estadgrafo bastante sensible a los valoresextremos y como medida del centro de gravedad de ladistribucin tiende a inclinarse a los datos de mayor valor. Siexisten valores extremos que difieren considerablemente delresto no localiza como se debe el centro de la distribucin. Entanto que la mediana por no ser sensible a los valores extremosy localizar el centro de la distribucin en base a la posicincentral que ocupa resulta siendo mejor que la media o msrepresentativa en el sentido que localiza mejor el centro de ladistribucin; pero, en general, la media es ms representativaque la mediana, como estadgrafo de localizacin:

Ejemplo:

Un empleador dice que el promedio mensual de salario pagadoa los ingenieros de su firma es de 3 500, esto sugiere que estafirma paga bien. Sin embargo, un examen posterior indica quese trata de una pequea compaa que emplea 5 jvenesingenieros con 1 000 soles de haber mensuales c/u y la rentadel ingeniero Jefe es de 16 000 soles mensuales.

Ud. puede seguir afirmando que la firma paga bien?. No.

Halle la mediana y compare, cul de los estadgrafos es msrepresentativo?

X 3500;

x 1000, x 1000, x 1000, x 1000, x 1000, x 16 0001 2 3 4 5 6

mX = 1000

En este caso, la mediana es la ms representativa en el sentido

que localiza mejor que la media el centro de los datos bajoconsideracin.

Existe un valor extremo bastante discrepante o exagerado( 6x 16 000).

USOS DE LA MEDIA ARITMTICA

La media de la muestra se usa cuando se necesita unamedida de tendencia central que no vare mucho entre una yotra muestra extrada de la misma poblacin, esta es la

razn para preferirla cuando se desea la mximaconfiabilidad en la estimacin de la media poblacional.


30/50


31/50


85

Porque ninguno de ellos est repetido

3.-La siguiente distribucin es bimodal es decir, tiene dos

modas:

8, 9, 9, 13, 13, 13, 18, 20, 24,24,24, 33, 59, 78, 78.

Mo= 13 y tambin Mo = 24

La siguiente distribucin es trimodal:

4, 8, 8, 8, 8, 15, 15, 15, 20, 20, 21, 21, 21, 21,32, 40,40,40, 40, 80, 80, 90.

Mo = 8, Mo = 21, Mo = 40 Tiene tres modas.b) Para datos clasificados

21

1

iio WLM

1,[ iii LLI : clase modal, es aquella que tiene la

frecuencia mxima

iL : lmite inferior de la clase modal.

:iW ancho de la clase modal

11 ii nn : exceso de la frecuencia modal sobre la

frecuencia de la clase contigua inferior.

12 ii nn : exceso de la frecuencia modal sobre la

frecuencia de la clase contigua superior.

Ejemplo

Determinar la moda de la siguiente distribucin defrecuencias:


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86

Tabla N 6

La clase modal ser: I = [36,5; 44,5

Adems es una distribucin unimodal.

1 = 26 -22 = 4

2 = 26 -20 = 6

41M 36,5 W 36,5 8 39,7o 4 61 2

iI in

[12,5 20,5 1[20,5 28,5 8

[28,5 36,5 22[36,5 44,5 26[44,5 52,5 20[52,5 60,5 12

[60,5 68,5 6[68,5 76,5 5

TOTALES

5

10

15

20

25

in

12,5 iI

39,7

20,5 28,5 36,5 44,5 52,5 60,5 68,5 76,5


33/50


87

2.4.4 CUARTILES (QI)

Son medidas de posicin que dividen en cuatro partes iguales al

conjunto de valores ordenados en una distribucin defrecuencias. Estas medidas son: el primer Cuartil Q1, el segundoCuartil Q2y el tercer Cuartil Q3

Las frmulas para calcular los cuartiles se derivan de la frmula

utilizada para calcular la mediana y los pasos para el clculoson los mismos:

Para el primer cuartil: Para el tercer cuartil:

i

i

iin

Nn

WLQ1

14

i

i

iin

Nn

WLQ1

34

3

Ejemplo

A partir de la siguiente tabla determinar el 25% inferior y el25% superior.

Tabla N 7

Altura enpulgadas

in iN iH

[60, 63 5 5 0,05

[63, 66 18 23 0,23[66, 69 42 65 0,65

[69, 72 27 92 0,92

[72, 75 8 100 1

TOTALES

Para determinar el 25% inferior debemos calcular el primercuartil.

Para determinar el 25% superior debemos calcular el tercercuartilClculo de Q1:

Q1

Q2

Q3

25% 75%

25%


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88

n 10025

4 4 .Luego tomamos la clase: I = [66; 69

Luego: 10023

4Q 66 3 66,14142

Clculo de Q3:

3n 3x10075

4 4 .Luego tomamos la clase: I = [69; 72

Luego: 3x10065

4Q 69 3 70,11327

2.4.5 DECILES ( DI )

Son medidas de posicin que dividen en 10 puntos iguales alconjunto de los valores ordenados de una distribucin defrecuencias. Estas medidas son: el primer decil D1, el segundo

decil D2y as sucesivamente hasta el noveno decil D9.El primer decil distribuye al lado izquierdo el 10% de los datos yal otro lado el 90%, es decir, ocupa la posicin n/10.

En igual forma para los dems deciles hasta el noveno decil9n/10 que deja a la izquierda el 90% de los datos y a laderecha el 10%.

Entre cada dos deciles consecutivos debe encontrarsecomprendido el 10% del nmero de datos.

La frmula para calcular deciles es:

i

i

iirn

Nrn

WLD1

10

D1

D510%90%

30%

D2

D3

D4

D6

D7

D8

D9


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89

Donde:

Dr= el decil buscado.

Li= lmite inferior del intervalo donde se halla el decil buscado

r = indica el decil. Por ejemplo si queremos el tercer decil r= 3.

10

rnindica la situacin del decil, es decir, la clase donde est el

decil

Los dems signos: n , Ni-1 , Wi , ni tienen los mismos

significados que para el caso de la mediana.

Ejemplo

Se presenta la distribucin de frecuencias de los puntajesobtenidos por 250 alumnos en una prueba de rendimiento deFsica. Determinar qu puntajes deben tener los que se hallenen el 20% inferior y cules puntajes los que se encuentren enel dcimo superior.

Tabla N8

Primero debemos determinar el segundo decil a fin de

determinar el 20% inferior.

Intervalos ni Ni

4

10

18

25

46

53

4

14

32

57

103

156

45;40

50;45

55;50

60;55

65;60

Totales

70;65

75;70

80;75

85;80

90;85

37

29

18

10

250

193

222

240

250


36/50


90

Clculo de D2:

2n 2x25050

10 10

; Luego el segundo decil est en la clase: I

= [55, 60

Por frmula: 50 32D 55 5 58,625

Para hallar los que se encuentran en el dcimo superiorcalculamos el noveno decil.

Clculo de D9:

9n 9x250

22510 10 ; Luego el noveno decil est en la clase: I= 80; 85

Por frmula: 225 222D 80 5 80,8318

CARACTERSTICAS DE DISPERSIN

Las dos siguientes series de datos:

Tienen la misma media aritmtica y la misma mediana (100).Sin embargo difieren profundamente. Lo que las hacediferentes es lo que, en estadstica, se llama dispersin; lasegunda serie es mucho ms dispersa que la primera.

Es pues importante resumir una serie estadstica no slo porcaractersticas de tendencia central, sino por caractersticas dedispersin. Veremos de dos tipos: las ligadas a la media:desviacin tpica; las ligadas a la mediana: intervalointercuartlico, intervalo interdeclico.

2.4.6 MEDIDAS DE DISPERSIN

Varianza ( )(2

xx VS )

Se define:

osclasificaddatosn

nxx

sclasifcadonodatosn

xx

SVk

i

ii

n

i

i

xx

,

)(

,

)(

1

2

1

2

2

)(

95 97 100 103 10550 75 100 125 150


37/50


91

Se interpreta como la media aritmtica de los cuadrados delas desviaciones de las x icon respecto a x .

A menudo el clculo de la varianza es muy laborioso, sobretodo si la media no es entera, para facilitar los clculospodemos usar una segunda forma:

osclasificaddatosxn

xn

V

k

i

ii

x ;2

1

2

)(

Desviacin Tpica xS

)(xx VS

Una idea sencilla del significado de la desviacin tpica seobtiene cuando se comparan dos series de la mismanaturaleza: la que posee una desviacin tpica ms alta es lams dispersa.

Coeficiente de variacin (C.V.)

x

SVC x..

Generalmente se expresa en porcentajes. Es til para lacomparacin en trminos relativos del grado deconcentracin en torno a la media de dos distribucionesdistintas.

Rango o extensin (e)

Indica la extensin del intervalo en donde se halla toda lapoblacin estudiada.

e = LkL1 =l(A)

Por ejemplo de la Tabla N8, tenemos e = 90 - 40 = 50

Rango interdeclico = D9 D1

Rango intercuartlico = Q3 Q1

Por ejemplo, a partir de la tabla N8, tenemos:

Rango intercuartil = 74,2660.97 = 13,99

Rango interdeclico = 80,8353,06 = 27,77


38/50


92

ASIMETRA

Es la deformacin horizontal de las curvas de frecuencias.

Cuando la curva est inclinada o alargada hacia la derecha sedenomina asimetra a la derecha o asimetra positiva (Fig.1).Observamos que la media aritmtica queda hacia el lado mslargo (el derecho) y que om MXx .

Cuando la curva est inclinada o alargada al lado izquierdo sedenomina asimetra a la izquierda o negativa (Fig.2). Notamosque la media aritmtica est del lado ms largo (el izquierdo) yque om MXx .

En la Fig. 3 observamos que la curva est igualmente inclinadaa los dos lados por eso se llama curva simtrica. En este caso:

om MXx

Primer coeficiente de Asimetra de Pearson

x

o

S

MxAS

estndardesviacin

ModaMedia

AS

1

1

Notar que el valor del Primer coeficiente de Asimetra dePearson nos indica el tipo de asimetra que tendr la curva.

Ejemplo:

Considerando la tabla del Problema 1, calcular: la varianza, la

desviacin tpica, el coeficiente de variacin, el rango, el rangointercuartil, el rango interdeclico y con ayuda del primer

x MdMo

x Md MoMo Mdx

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3


39/50


93

coeficiente de Pearson indicar que tipo de asimetra presenta alcurva.

Tabla N9

304

4Q 26 16 30,671

12

9016

4Q 42 16 56,8637

R Q Q 56,86 30, 67 26,19IQ 3 1

Ii ni xi

Total

4

12

7

4

2

1

30

18

34

50

66

82

98

26;10

42;26

58;42

74;58

90;74

106;90

2959,36

1505,28

161,28

1730,56

2708,48

2787,84

11852,8

xi.ni

72

408

350

264

164

98

1356

1296

13872

17500

17424

13448

9604

73144

ii nXx

2 2iixn

11852,8V 395,09(x)

30

73144 2V 45,2 395,09(x)30

S 395, 09 19, 88x 1356

X 45,230

S 19,88xC.V. 0,4445,2X

8M 26 16 35,850

8 5

e l(A) 105 10 95


40/50


94

300

10D 10 16 2214

27023

10D 58 16 7494

R D D 74 22 52ID 9 1

X MoAS1Sx

45,2 35,85AS 0,471

19,88

Asimetra a la derecha o positiva.


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PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si el salario promedio semanal de n obreros es de 150 soles y cada obrero recibeun aumento general de 7,5 soles semanales y una bonificacin semanal del 1,5%del salario incrementado.

Cul es el salario promedio actual semanal de los obreros?

2. En una fbrica trabajan 20 mujeres y 45 hombres, el salario promedio semanalde las mujeres es de 100 soles y el de los hombres 120 soles.

Cul es el promedio del salario semanal de todos los trabajadores de la fbrica?

3. Para los siguientes datos:

55.31 81.47 64.90 70.88 86.02 77.25 76.76 84.21 56.02

84.92 90.23 78.01 88.05 73.37 87.09 57.41 85.43

74.76 86.51 86.37 76.15 88.64 84.71 66.05 83.91

a) Calcular la mediana antes de clasificar los datos.

b) Agrupar los datos en una tabla de frecuencias cuyas marcas de clase sean:60, 70, etc. y calcular la desviacin tpica y la mediana.

4. El salario medio semanal pagado a los trabajadores de una compaa es de 300soles. Los salarios medios semanales pagados a hombres y mujeres de lacompaa son 315 y 240 soles respectivamente. Determinar el porcentaje dehombres y mujeres que trabajan en la compaa.

Un estudio final realizado determin que existen 800 trabajadores, Cuntos sonhombres?

5. En una seccin de matemtica 24 estudiantes llevan el curso por primera vez, 6llevan por segunda vez y 2 por tercera vez. Se sabe que 12 es el promedio de

notas de los que llevan por primera vez y que las notas de los que llevan porsegunda vez en promedio son superiores en un 10% de los que llevan porprimera vez.

Calcular el promedio de notas de los que llevan el curso por tercera vez si lasuma total de las notas es de 390.

6. Se tiene la siguiente informacin sobre la distribucin de frecuencias de 100elementos de un material sometido a prueba de ruptura (en kg/cm2).

La longitud de los intervalos de clase es constante:


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96

Ii in ix Ni iinx 2iixn

, 30 600

, 800

, 46 700

, 34

120, 880

, TOTALES

a) Determinar la media, la mediana y los cuartiles de la distribucin.

b) El N de datos que estima pertenezcan al intervalo [media, mediana].

c) La desviacin estndar.

d) El intervalo interdeclico. Precisar el significado del resultado obtenido.

7. 100 elementos de un material determinado fueron sometidos a prueba de rupturapor compresin (obtenindose los resultados en kg/cm2).

Cuando se acudi a la tabla de clculos que el operador debi confeccionar seencontr solamente lo siguiente:

Ii in ix Ni iinx 2iixn

, 10 180

,5.12 42 360

, 30 750

, 98

5.72, 120

TOTALES

a) Determinar la media, la moda y el valor mediano.

b) El coeficiente de variacin.

c) El primer coeficiente de Pearson. Qu puede afirmar acerca de la asimetra?

d) El intervalo intercuartlico. Precisar el significado del resultado obtenido.


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97

8. Una mquina llena automticamente paquetes de tabaco. Se extrae una muestrade la produccin; tras su pesado, se obtiene:

Pesos de los paquetes de tabacoPesos en gramos Cantidadesmenos de 38 0menos de 39 3menos de 39,5 8menos de 40 18menos de 40,5 31menos de 41 51menos de 41,5 69

menos de 42 84menos de 42,5 95menos de 43 99menos de 44 100ms de 44 0

a) Trazar el histograma de esta serie estadstica.

b) Construir una nueva tabla, dando las frecuencias por clases de amplitud 2gramos. Trazar el histograma representativo. Qu se puede deducir de la

comparacin de los dos histogramas?c) Calcular la media, la mediana y la desviacin tpica de la distribucin de los

pesos de los paquetes de tabaco.

d) Utilizando los datos agrupados por clases de amplitud 2 (b), repetir losmismos clculos. Qu se puede deducir de ello?

9. Sea la siguiente distribucin de lados X en mm medidos en 10 piezas: 1,20 2,406,007,2012,0013,2016,8021,6022,80 y 25,20 mm.

a) Determinar la media x y la desviacin tpica Sx de la variable X.

b) Tras emplear el cambio de variable 6/545 XY determinar la media y yla desviacin tpica Sy de la nueva variable Y.

10. Los siguientes datos son las temperaturas registradas en grados Farenheit:

415 510 460 475 420

490 480 450 435 485

470 465 500 455 435

Encontrar x y Sxa partir de los datos.


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98

11. Dada la siguiente grfica de la distribucin de salarios bsicos de 90 trabajadoresde una fbrica, donde el haber bsico mnimo es de 650 soles y el haber bsicomximo es de 3150 soles. Determinar:

a) La moda, la desviacin tpica.

b) El coeficiente de variacin.

c) El coeficiente de Pearson

d) El decil D4 y el cuartil Q3 .

12. La siguiente tabla muestra la distribucin de salarios de 150 trabajadores deTECSUP durante el mes de Abril del ao 2001.

Haberes Nmero detrabajadores

900,600 15 1400,900 24 1700,1400 29 2100,1700 38 2400,2100 24

2600,2400 20

Por incremento del costo de vida se plantean dos alternativas de aumento para elmes siguiente. La primera propuesta consiste en un aumento general de 350soles mensuales.

La segunda propuesta consiste en un aumento del 30% de los salarios de Abril alos trabajadores que ganan menos de 2100 soles y del 5% a los trabajadores que

90

15

45

30

Ii

9

60

75

9083

72

45

650 1150 1650 2150 2650 3150

Ni


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ganan ms de 2100 soles y un aumento adicional de 100 soles para todos lostrabajadores.

a) Cul de las propuestas convendra a los trabajadores?b) Para los trabajadores que ganan menos de 2100 soles Qu propuesta les

convendra?

13. El ingreso percpita anual de un pas es de 9000 dlares. El sector obrero que

constituye el 60% de la poblacin percibe 51

del ingreso total. Calcular el ingresopercpita del sector no obrero.

14. La produccin de la fbrica A es el triple de la de B y la de sta 18% inferior a la

de C. Si los costos unitarios correspondientes, todos inferiores en 20% de susrespectivos precios de venta son:

200, 240 y 260. Se pide calcular el precio medio de venta.

15. Se da la clasificacin de un grupo de nios por estaturas:

Estatura (en cm) in ix iinx 2iixn

80 a menos de 90 cm 390 a menos de 95 cm 1595 a menos de 100 cm 22100 a menos de 105 cm 18105 a menos de 110 cm 12110 a menos de 120 cm 5

TOTALES

a) Calcular la media y la desviacin tpica S de la distribucin de los nios porestaturas.

b) Determinar la mediana de estas observaciones.

c) Cul es la moda de la distribucin?d) Cul es la proporcin de nios que tienen una estatura comprendida entre

SxySx 22 ?

16. Sea la distribucin de salarios (en nuevos soles) de 20 trabajadores de unacompaa (ao 2000)

ix 150 300 420 570

in 3 11 4 2

Hallar xSyx


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100

17. Se tiene la siguiente tabla de frecuencias de los pesos de 200 objetos de similarconfeccin, cuya distribucin es simtrica: Cuntos objetos tienen pesoscomprendidos entre 15 y 20Kg?

Pesos in Ni 100 hi%

,10 13%

, a

,

, b 142

,18 , c

TOTALES

Cunto resulta a+b-c?.

Nota.- el ancho de clase es constante

ANLISIS DE DATOS BIVARIADAS

Hemos estudiado ahora datos provenientes de una sola variable, sin embargocon frecuencia es necesario analizar respecto a la relacin entre dos variables.La relacin entre dos variables puede darse de la siguiente manera:

1 Cualitativa vs cualitativa2 Cualitativa vs cuantitativa

Para el segundo caso cualitativa vs cuantitativa puede trabajarse la variablecuantitativa con sus datos originales o puede elaborarse intervalos y analizarlo

como el primer caso cualitativa vs cualitativa.

Cualitativa vs cualitativa

Supongamos que se toma una muestra de tamao n de una poblacin que seest investigando.

Sean X e Y las variables a estudiar, tal que los datos obtenidos son:

( X1,Y1),( X2,Y2), .,( Xn,Yn).


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101

Distribucin conjunta y marginal.La tabla de frecuencia que agrupa a esta informacin se conoce tabla decontingencia. Por ejemplo, para el caso de dos variables cualitativas con dos

modalidades o categoras, la tabla sera:

Y

Categora 1 Categora 2 Total

Categora 1

Celda

f11

Celda

f12

Total marginal

f1.

Categora 2

Celda

f21

Celda

f22

Total marginal

f2.

Total

Total

marginal

f.1

Total

marginal

f.2

Total de

individuos

n

Distribucin Marginal

Cuando slo interesa conocer la frecuencia de ocurrencia de cada una de lasvariables por separado se habla de Frecuencia Marginalde la variable

Por ejemplo:

Hbitos de FumarSEXO

SI NOTotal

VARON

MUJER

DISTRIBUCION

CONJUNTA

DISTRIBUCION

MARGINAL

Total

DISTRIBUCION

MARGINAL

Tamao

de

muestra


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102

Cuntas variables tenemos?

..

Cules son?

..

Ejemplo 1:

Frecuencia absoluta: conjunta y marginal

Hbitos de FumarSEXO

SI NO Total

VARON 800 1200 2000

MUJER1000 2000 3000

Total1800 3200 5000

Frecuencia relativa: conjunta y marginal

X / Y Categoravariable Y

Categoravariable Y

Total

Categora

variable X

f11

n

f12

n

Total

marginal

f1./n

Categora

variable X

f21

n

f22

n

Total

marginal

f2./n

Total

Total

marginal

f.1/n

Total

marginal

f.2/n

Total de

indivduos

n/n


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103

Hbitos de FumarSEXO

SI NO Total

VARON 0.16 0.24 0.40

MUJER 0.20 0.40 0.60

Total 0.36 0.64 1

Frecuencia Condicional

Cuando se pregunta por la frecuencia relativa de una de las variables, digamos

X, restringida a los elementos observados de una clase dada de la otra; esto es,estudiar el comportamiento de una variable dado un valor fijo de la otra.

Y

Categora

variable Y

Categora

variable Y

Categora 1 f1/ f.1 f12/f.2

Categora 2 f21/f.1 f22/f.2

Total 1 1

EJERCICIO

En la ciudad de Lima se ha incrementado durante los ltimos cinco aos el nmero derestaurantes de comida rpida. Debido a esto los expertos la empresa de investigacinde mercado Consultores-ECE se pregunta. La preferencia de un cliente por la comidarpida tiene que ver la edad?. La empresa eligi una muestra aleatoria de 500 clientes

de comida rpida mayores de 16 aos y se les pregunt su restaurante favorito,obtenindose los siguientes datos:

Kentuky McDonalds Burger-King Otro

16 - 21 75 34 10 6

21 - 30 89 42 19 10

30 - 49 54 52 28 18

50 a ms 21 25 7 10

Grupo de

edad

Restaurant

Cules sern las conclusiones que llegarn los expertos de la empresaConsultores-ECE?


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ANOTACIONES:

Calculo electrotecnico

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