calculo diferencial ejecicios resueltos

8/18/2019 calculo diferencial ejecicios resueltos

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1. Hallar, paso a paso, los 6 primeros términos de las siguientes sucesiones:

a. U n=( n−1 )n−1

n≥ 3

n ≥3, paralos6 primeros términos remplazo n por3,4,5,6,7 y 8.

U 3=

(3−1 )3−1=22=4

U 4=(4−1 )4−1=33=27

U 5=(5−1 )

5−1=4

4=256

U 6= (6−1 )6−1=55=3125

U 7=(7−1 )7−1=66=46656

U 8=(8−1 )8−1=77=823543

R/. {4,27,256,3125,46656,823543 }

b. V n=( 3nn+1 )n ≥1n ≥1, paralos6 primeros términos remplazo n por1,2,3,4,5 y6.

V 1=( 3.11+1 )=3

2

V 2=( 3.22+1 )=6

3=2

V 3=( 3.33+1 )=9

4

V 4=( 3.44+1 )=12

5

V 5=( 3.55+1 )=15

6 =

5

3

V 6=

(

3.6

6+1 )=

18

7

R/. {32 ,2, 94 , 125 , 53 , 187 }

c. U n=( n−1 )n−2

n≥ 1


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n ≥1, paralos6 primeros términos remplazo n por1,2,3,4,5 y6.

U 1=(1−1 )1−2=0−1=∞ (No existe)

U 2=(2−1 )2−2=10=1

U 3=(3−1 )3−2

=21

=2

U 4=(4−1 )4−2=32=9

U 5=(5−1 )5−2=43=64

U 6= (6−1 )6−2=54=625

U 7=(7−1 )7−2=65=7776

R/. {1,2,9,64,625,7776}

2. Determine si la sucesión W n={ n2n+1 } es convergente o divergente. Demuéstrelo

paso a paso.

Para poder determinar si una sucesión es convergente o divergente aplicamos el

límite de la sucesión, de la siguiente manera.

W n={ n2n+1 }=limn → ∞ n2n+1limn →∞

n2n+1

divido numerador y denominador por n

n

n

2n+1n

=¿

n

n

2n

n +

1

n

limn → ∞

¿

1

2+

1

n

(¿1

n esiguala cero)

limn → ∞

¿

Por lo tanto limn → ∞

1

2=0,5

R/. Podemos decir que la sucesión convergea0,5.


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3. Sucesiones acotadas. Halle las cotas de las siguientes sucesiones determinar, con

ellas, si son o no crecientes.

a. Oc= 3n

2+1

6n2

+2n+1

O1= 3 (1 )2+1

6 (1 )2+2(1)+1=

3.1+16.1+2+1

= 3+16+2+1

=4

9=0.4444

O2= 3(2)2+1

6(2)2+2(2)+1=

3(4)+16(4)+4+1

= 12+124+4+1

=13

29=0.4482

O3= 3(3)2+1

6(3)2+2(3)+1=

3(9)+16 (9)+6+1

= 27+154+6+1

=28

61=0.4590

O4= 3

(4)

2

+1

6 (4)2+2(4)+1= 3(16

)+1

6 (16)+8+1= 48+196+6+1= 49103=0.4757

O5= 3(5)2+1

6(5)2+2(5)+1=

3(25)+16 (25)+10+1

= 75+1150+10+1

= 76

161=0.4720

O100= 3(100)2+1

6 (100)2+2(100)+1=

3 (10000)+16(10000)+200+1

= 30000+160000+200+1

=30001

60201=0.4983

O10000= 3(10000)2+1

6(10000)2+2(10000)+1=

3(100000000)+16 (100000000)+20000+1

= 300000000+1

600000000+20000+1=

3

6

Cotainerior :0,4

Cota superior :0,5

!s una suceción acotada creciente

!. Oc=

5n+1

n2

O1=5(1)+1

12 =

5+11 =

6

1=6

O2=5(2)+1

22 =

10+14 =

11

4 =2,75

O3=5(3)+1

32 =

15+19 =

16

9 =1,77


4/7

O4=5(4)+1

42 =

20+116

=21

16=1,31

O5=5(5)+1

52 =

25+125

=26

25=1,04

O100=5(100)+1

1002 =

500+110000

= 501

10000=0,0501

O10000=5(10000)+1

100002 =

50000+1100000000

= 50001

100000000=0,0005

Cotainerior :0

Cotasuperior :6

!s una suceción acotada decreciente

c. " n=( 1n )n ≥1" 1=(11 )n≥ 1=1

" 2=(12 )n≥ 1=0,5

" 3

=

(1

3

)n ≥1

=0,33

" 4=( 14 )n ≥1=0,25

" 5=( 15 )n ≥1=0,2

" 100=( 1100 )n ≥ 1=0,01

" 10000=( 1

10000 )n ≥1=0,0001

Cotainerior :0

Cotasuperior :1

!s una suceción acotadadecreciente


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". Halle la suma de los n#meros m#ltiplos de 6 menores o iguales a $126. % diga

&'u(ntos términos )a*

Para sa!er la suma de los m#ltiplos cu(ntos términos )a, de!emos aplicar las

siguientes ecuaciones:

an=a1+r (n−1 ) y #n=( n2 ) $ ( a1+an )an=esel %ltimo término

a1=es el primer término

r=dierencia que&ay entreun término y el siguiente ( constante )

n=n%merodetérminos#n=esla sumade todoslos términos

an=a1+r (n−1 ) pasamosa despe'ar n

n=an−a1

r +1

n=1+9126−6

6 =1+

9120

6 =1+1520=1521

n=1521

R/. Hay en total 1521 términos

#n=( n2 ) $ ( a1+an )#n=( 15212 )$ (9126+6 )=(15212 ) $ (9132 )=138897722 =6944886#n=6944886

R/. La suma total de los términos es de 69!!6

+. Halle la suma de los n#meros pares de tres ciras. % diga &'u(ntos términos )a* Primero tenemos que sa(er cu)ntos términos &ay

an=a1+r (n−1 )

an=998

a1=100


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r=2

n=n%merodetérminos

*espe'o a n :n=an−a1

r +1

n=998−100

2 +1=

898

2 +1=449+1=450

R1/. "n total #ay 5$ términos. +&ora aplicamos la siguinete órmula para sa(er lasuma total de todoslos valores

#n=( n2 ) $ ( a1+an )

#n=( 4502 ) $ (100+998 )=(450

2 ).1098=494100

2 =247050

#n=247050

R2/. La suma total de los términos es 2%$5$.

6. -n una progresión aritmética el tercer término es 2" el décimo término es 66.

Hallar el primer término la dierencia com#n de la progresión.-enemoslas siguiente incognitasen unaecuación r=. y a1=.

an=a1+r (n−1 )

!nla anterior ecuaciónremplazo n por el órdende los términosque tengo asi:

a3=24 y a10=66

Primera ecuación :

an=a1+r (n−1 )

a3=a1+r (3−1 )

24=a1+r (3−1 )

24=a1+2 r

a1=24−2r

#egunda ecuación :

an=a1+r (n−1 )

a10=a1+r (10−1 )


7/7

66=a1+r (10−1 )

66=a1+9 r

a1=66−9r

/gualolas dos ecuaciones:

a1=24−2ra1=66−9r

24−2 r=66−9 r

−2 r+9 r=66−24

7 r=42

r=42

7

r=6

+&ora para sa(er el primer término , simplemente sustituyo r en una ecuación anterior

a1=24−2r

a1=24−2 (6 )

a1=24−12

a1=12

R/. "l &rimer término de la &ro'resin aritmética es 12 y la dierencia com*n

de la &ro'resin es 6.

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