N. PISKUnOVclculo diferencial e integraltoma IEditorial rfLa1 Mir Mosch. c. rmcKyHOBflHdxDEPEHlWAJIbHOE H HHTErPA bHOE HCHHCJIEHHflTOMIOH3JJATE JIbCTBO HAVKA MOCKBAN. PISKUNOVCALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL3" edicin TOMOIEDITORIAL MIR MOSCUTraducido del ruso por c! ingeniero K. MEDKOV(aa cnaHcxou nsuxe)Impreso on la CHSS Traduccin al espaol. Editorial Mir. 1977INDICEPREFACIOCAPITULO I. NUMERO. VARIABLE. FUNCION 1. Nmeros reales. Representacin de nmeros reales pormedio do puntos en el eje numrico ....7 2. Valor absoluto dol nmero real ....9 3. Magnitudes variables y constantes ...10 4. Campo de variacin de la magnitud variable . .11 5. Variable ordenada. Variables crocientes y decrecientes.Variable acotada .......13 6. Funcin14 7. Formas de expresin de funciones ...15 8. Funciones elementales fundamentales. Funciones elementales ........17 9. Funciones algebraicas .....22 10. Sistema de coordenadas polares ....24Ejercicio para el captulo ICAPITULO II. LIMITE. CONTINUIDAD DE LA FUNCION 1. Lmite do la magnitud variablo. Variable infinita-monto grande ........28 2. Lmite do la funcin ......31 3. Funcin quo tiende al infinito. Funciones acotadas34 4. Infinitesimales y sus principales propiedades . .38 5. Teoremas fundamentales sobre lmites ...42 6. Lmite de la funcin 9011 x , cuando x 046x 7. Nmero e .......48 8. Logaritmos naturales.....5312/ ndice11/ ndice33 -534 9. Continuidad de las funciones ....54 10. Algunas propiedades de las funciones continuas .59 11. Comparacin de las magnitudes infinitesimales .32Ejercicio para el captulo IJCAPITULO III. DERIVADA Y DIFERENCIAL 1. Velocidad del movimiento .....68 2. Definicin do la derivada ... . .70 3. Interpretacin geomtrica de la derivada . .72 4. Derivacin do las funciones ....74 5. Dorivadas do las funciones elementales. Derivada dela funcin y = siendo n entero y positivo . .76 6. Derivadas de las funciones y = son- x; y = coa x78 7. Derivadas de una magnitud constante, del producto de una magnitud constante por una funcin, de una suma,producto y cociente .......795 8. Derivada de la funcin logartmica ...84 9. Derivada do la funcin compuosta ...85 10. Derivadas de las funciones y = tg x, y = cotg x,y = ln | x |88 11. Funcin implcita y au derivacin ...90 12. Dorivadas de la funcin potencial con exponente real cualquiera, do la funcin exponencial y do la funcin exponencial compuesta .....92 13. Funcin inversa y su derivacin ...94 14. Funcionas trigonomtricas inversos y su derivacin98 15. Tabla de las frmulas fundamentales para la derivacin ........103 16. Roprosentacin paramtrica de funcin .104 17. Ecuaciones paramtricas do algunas curvas . .106 18. Derivada de la funcin dada paramtricamento109 19. Funciones hiperblicas . . . . .111 20. Diferencial114 21. Significado geomtrico de la diferencial118 22. Derivadas do diversos ordeos . .119 23. Diferenciales do diversos rdenos .122 24. Derivadas de diversos rdenes do funciones implcitas y de funciones reprosontadas paramtricamento .123 25. Interpretacin mecnica de la segunda derivada126 26. Ecuaciones do la lnea tangente y de la normal. Longitudes do la lnea subtangente y de la subnormal .127 27. Interpretacin geomtrica do la derivada del radio vector respecto al ngulo polar ....130 E/ercicios pora el captulo J JIIndice111Indice111CAPITULO IV. TEOREMAS SOBRE LAS FUNCIONES DERIVABLES5 1. Teorema sobre las races de la derivada (Teoremade Rolle)141 2. Teorema sobre los incrementos finitos (Teorema do Lagrange) ........ 143 3. Teorema sobro la razn de los incrementos do dos funciones (Teorema de Cauchy) ..... 145 4. Lmite de la razn de dos infinitesimales (Clculo dolmites indeterminados del tipo.... 146 5. Limito do la razn de dos magnitudes infinitamente grandes (Clculo do limites indeterminados de la formad) 149 6. Frmula de Taylor155 7. Desarrollo de las funciones cx, sen x y eos x por la frmula do Taylor ....... 159Ejercidos para el capitulo IVCAPITULO V. ANALISIS DE LA VARIACION DE LAS FUNCIONES 1. Generalidades ....... 166 2. Crecimiento y decrecimiento de una funcin. . 167 3. Mximo y mnimo de las funciones .. 169 4. Anlisis del mximo y mnimo de una funcin deri- vable medanlo la primera derivada .... 175 5. Anlisis del mximo y mnimo de una funcin mediante la segunda derivada ..... 178 6. Valores mximo y mnimo de una funcin en un segmento ........ 182 7. Aplicacin de la teora de mximos y mnimos de las funciones a la solucin de problemas . . . .183 8. Anlisis do los valores mximo y mnimo de una funcin mediante la frmula do Taylor ..185 9. Convexidad y concavidad de la curva. Puntos do inflexin .......188 10. Asntotas194 11. Esquema general del anlisis de funciones y de la construccin de grficas . . . . . .199 12. Anlisis de las curvas dadas en forma paramtrica 204 Ejercicios para el captulo VIVIndiceIndice111CAPITULO VI. CURVATURA DE UNA CURVA 1. Longitud del arco y su derivada. . 214 2. Curvatura216i 3. Clculo de la curvatura ..... 218 4. Clculo do la curvatura do una curva dada en forma paramtrica ........ 221{ 5. Clculo do la curvatura do una curva dado on coordenadas polares ....... 222| 6. Radio y crculo do curvatura. Centro de curvatura. Evoluta y evolvente ....... 224| 7. Propiedades de la evoluta ..... 229 8. Clculo aproximado do las races reales do unaecuacin233Ejercicios para el capitulo VICAPITULO VII. NUMEROS COMPLEJOS. POLINOMIOS 1. Nmeros complejos. Generalidades . . .241 $ 2. Operaciones fundamentales con nmeros complejos 243 3. Elevacin a potencia y extraccin do la raiz del nmero compiojo ....... 246 4. Funcin exponencial con exponento compiojo y sus propiedades ........ 249$ 5. Frmula de Euler. Forma exponencial del nmero complejo ........ 252$ 6. Desarrollo del polinomio on factores ..253$ 7. Races mltiples del polinomio ... .257 $ 8. Factorizacin de un polinomio con raices complejas 258 $ 9. Interpolacin. Frmula do la interpolacin de Lagrange 259 S 10. Frmula do la interpolacin do Newton262SU. Derivacin numrica ..... 264 12. Optima aproximacin de las funciones por medio de polinomios. Teora de Chbisbov ..... 265Ejercicios para el capitulo VIICAPITULO VIII. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLESS 1. Definicin de las funciones do varias variables . 268 i 2. Representacin geomtrica de una funcin de dos variables ........ 271 3. Incremento parcial y total de la funcin .272 4. Continuidad de la funcin de varia* variable* 274 S 5. Derivadas parciales do lo funcin de varias variables 277 6. Interpretacin geomtrica do las dorivadas parciales de una funcin do dos variables ... .279 5 7. Incremento total y diferencial total . .280 8. Aplicacin de la diferencial total para clculos aproximados ........ 284 9. Utilizacin do Ja diferencial para evaluar ol errorde clculo.286$ 10. Derivada de una funcin compuesta. Derivada total 290 1!. Derivada de una funcin definida implcitamente 292 12. Derivadas parciales de diferentes rdenes296 13. Superficies de nivel ...... 300 14. Derivada siguiendo una direccin .301 5 15. Gradionto304$ 16. Frmula do Taylor para una funcin do dos variables 307 $ 17. Mximo y mnimo do una funcin do varias variables 309 18. Mximo y mnimo do la funcin do varias variables relacionadas mediante ecuaciones dadas (mximos y mnimos condicionados) . ...... 318 19. Obtencin do una funcin a base de datos experimentales segn el mtodo do cuadrados mnimos. 323 $ 20. Puntos singulares do una curva . . . 328 Ejercicios para el capitulo Vil!CAPITULO IX. APLICACIONES DEL CALCULO DIFERENCIAL A LA GEOMETRIA DEL ESPACIO 1. Ecuaciones do la curva en el espacio . . 337 2. Lmite y derivada do una funcin vectorial do un argumonto escalar. Ecuacin do la tangente a una curva. Ecuacin del plano normal .340 3. Reglas do derivacin do los vectores (funciones vectoriales) ........ 347$ 4. Derivadas primera y secunda de un vector respecto a la longitud del arco. Curvatura do la curva. Normal principal. Velocidad y aceleracin del punto duranto el movimiento curvilinoo ...... 3505 5. Plano osculador. Binormal. Torsin. . 360$ 6. Plano tangente y norma) a una superficie . . 365 Ejercicios para el capitulo IXCAPITULO X. INTEGRAL INDEFINIDA 1. Funcin primitiva e integral indefinida . .372\ 2. Tabla de integrales375 3. Algunas propiedades de la integral indefinida .377 4. Integracin por cambio do variable o por sustitucin379 5. Integrales de ciertas funciones que contienen untrinomio cuadrado .......381 6. Integracin por partes .....385 7. Fracciones racionales. Fracciones racionales elementales y su integracin .....388 8. Descomposicin de la fraccin racional en fraccionessimples .........392 9. Integracin de las fracciones racionales .397 10. Mtodo de Ostrogradski40011. Integrales de las funciones irracionales . .403 12. Integrales del tipo R (*, l/ax -f bx -f c) dx .405 13. Integracin de los binomios diferenciales . .408 14. Integracin do ciertas ciases do funciones trigonomtricas . . . . . . .411 15. Integracin de ciertas funciones irracionales con ayuda de sustituciones trigonomtricas. . . .416 16. Funciones cuyas integrales no pueden expresarsemediante las funciones elementales ....418 Ejercicios para el capitulo XCAPITULO XI. INTEGRAL DEFINIDA 1. Planteo del problema. Sumas integrales inferiory superior . . . .428 2. Integral definida430| 3. Propiedades fundamentales de la integral definida437 4. Clculo do la integral definida. Frmula de New-too-Leibniz ........441 5. Sustitucin de variable en una integral definida 445 6. Integracin por partes.447 7. Integrales impropias ......450 8. Clculo aproximado de las integrales definidas458 9. Frmula de Cbbishov *464 5 10. Integrales dependientes de un parmetro . .469 11. Integracin de una funcin compleja de una variable real. 473Ejercicios para el captulo XIIndice111Indice111CAPITULO XII. APLICACIONES GEOMETRICAS y MECANICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA 1. Clculos de reas on coordenadas rectangulares ,478 2. Area do un sector curvilneo on coordenadas polares481 3. Longitud de un arco do curva ....483 4. Clculo del volumen do un cuerpo on funcin de lasreas de seccionos paralelas .....489$ 5. Volumen de un cuerpo de revolucin . . .491 6. Area do un cuerpo de revolucin . . .492 7. Clculo del trabajo con ayuda de la integral definida494 8. Coordenadas del centro de gravedad . . .496 9. Clculo del momento de inercia do una lnea, do uncrculo y de un cilindro mediante 1a integral definida .500Ejercicios para el captulo XII,. . .503Indice alfabtico de materias .....509Indice ....513CAPITULO VIIICAPITULO IXFUNCIONES DE VARIAS VARIABLESs 1. DEFINICION DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLESExaminando las [unciones de una sola variable, ya hemos indicado que el estudio de diferentes fenmenos obliga a utilizar las funciones de dos y ms variables independientes. Demos algunos ejemplos.Ejemplo 1. El rea S de un rectngulo do lados x e y, se da por la frmula:Sx y.A cada par do valores de x e y, corresponde un valor determinado del rea S; S es una funcin de dos variables.Ejemplo 2. El volumen V de un paraleleppedo recto, en que las aristas tienen longitudes iguales a x, y, i, se da por la formula:V**xyz.Aqu, V es una funcin de tres variables: x, y, t.Ejemplo 3. El alcance R de un proyoctil lanzado a la velocidad inicial i'o, bajo el ngulo 9 respecto al horizonte, se expresa por la frmula:R_ vi sen 2tp S(despreciando la resistencia del aire). El smbolo g en la frmula representa ia aceleracin debida a la fuexza de gravedad. Pera cada par de valores v0 y 9 la frmula da un determinado valor de /?, es decir, es una funcin de dos variables, v0 y cp.Ejemplo 4.T/i + x* 'Aqu, u es una funcin do cuatro variables x, y, s, 1.Definicin 1. Si a cada par (z, y) de valores de dos variables, x e y, independientes una de otra, tomadas de cierto campo D de su variacin, le corresponde un valor determinado do la magnitud z, se dice que z es una funcin de dos variables independientes x e y, definida en el campo D.Definicin de los funciones de varias variables209Definicin de los funciones de varias variables209En forma simblica una funcin de dos variables se representa asi: z f {x, y), z = F (x, y), etc.Una funcin de dos variables puede expresarse por medio de una tabla o analticamente mediante una frmula (como se ba hecho on los cuatro ejemplos examinados). La frmula permite formar la tabla de los valores que toma la funcin para cada par de valores de las variables independientes. Para el ejemplo f se puede formar la Siguiente tabla:5 = xyXv011.231011,5232023463034,5634046812En la tabla el valor de la funcin S se encuentra en la interseccin de los renglones y columnas correspondientes a los valores buscados de x e y.Si la dependencia funcional 2 = f (x, y) resulta de las mediciones de la magnitud z durante el estudio experimental de un fenmeno, obtenemos la tabla en que z se determina como funcin de dos variables. En este caso, la funcin se da slo mediante, la tabla.La funcin de dos variables igual que la funcin de una sola variable puede no estar definida para todos los valores arbitrarios de x e y.Definicin 2. B1 conjunto de los pares (x, y) de los valores de x e y, para los cuales est definida la funcin z = f (z, y), se llama dominio de definicin o dominio de existencia de la funcin.El dominio de existencia de una funcin puede ser interpretado geomtricamente. Si cada par de valores, x e y, lo representamos mediante un punto M (x, y) en el plano Oxy, el dominio de definicin de la funcin ser representado por el conjunto de puntos en este plano. Llamemos tambin a este conjunto de puntos, dominio de definicin de la funcin. En particular, todo el plano Oxy puede ser este dominio. En lo ulterior los dominios de definicin que estudiaremos estarn constituidos por las parles del plano limitadas por unas lneas. La lnea que limita el dominio dado se llama frontera de este dominio. Los puntos del dominio que no pertenecen a la frontera se llaman puntos interiores del dominio. Todo dominio integrado solamente de puntos interiores se llama dominio abierto.270Funciones de paras variables270Funciones de paras variablesUn dominio que incluye tambin los puntos do la frontera se llama dominio cerrado.El dominio se llama acolado, si existe una magnitud constante C tal que la distancia entre todo punto M del dominio y el origen de coordenadas sea menor que C: | OM | < C.Ejemplo 5. Hallar el dominio natural do definicin de la funcin i = 2ii/.La expresin analtica 2z y tieno sontido para todos los valores de x e y. Por consiguiente, ol dominio natural do definicin de osta funcin coincide con todo el .plano Oxy.Ejemplo 6.Para quo z tenga un valor real es preciso quo el nmero eubradical no eea negativo, es dccir, x o y deben satisfacer a la desigualdad:1x> u>0 x+0 6 y> x.El dominio natural de definicin do la funcin 2 es por consiguiente, el semiplano situado por arriba do la recta y = x, excluyendo la propia rocta (fig. 105).Ejemplo 8. El rea S de un tringulo es una funcin do la base x y la altura y:Representacin geomtrica de una funcin de dos variables27tRepresentacin geomtrica de una funcin de dos variables27tEl dominio do dofinicin do esta funcin, os evidentemente el dominio x > 0, y > 0 (puesto que la baso y la altura del tringulo pueden ser expresadas solamente por nmeros positivos). Notemos, que el dominio do dofinicin do la funcin examinada no coincide con el dominio natural de dofinicin de la expresin analtica, quo determina a esta funcin, puesto que el dominionatural de definicin de la expresin ocupa, evidentemente, todo el plano Oxy.La definicin de funcin de dos variables, puedo extenderse fcilmente al caso do tres y ms variables.Definicin 3. Si a todo conjunto estudiado do valores de las variables x, y, z, . . ., u, t corresponde un valor determinado do la variable w, entonces esta ltima es /uncin de las variables independientes x, y, z, . . .i u, t, es decir: w = F (x, y, z, . . ., u, t) o w = = f (x, y, z, . . ., u, t), etc.Anlogamente al caso de una funcin de dos variables, existe el dominio de definicin de la funcin do tres, cuatro y ms variables.Por ejemplo, el dominio de definicin do una funcin de tres variables es un conjunto de ternas de nmeros (x, y, z).Observemos que cada terna de nmeros define un punto M (x, y, z) en el espacio Oxyz. Por tanto, el dominio de definicin de una funcin de tres variables es un cierto conjunto de puntos en el espacio.De manera anloga se puede determinar el dominio de difinicin de una funcin de cuatro variables u => / (x, y, z, = Vi I* j/* S U.Aqu, w es una funcin do cuatro variables r, y, j, u, definida para los valores de las variables quo satisfacen a la correlacln: 2. REPRESENTACION GEOMETRICA DE UNA FUNCION DF. DOS VARIABLESSea la funcin:* = / y),(f)definida en el dominio G del plano Oxy (este dominio puede ocupar, en particular, todo el plano), y Oxyz, un sistema de coordenadasincremento parcial y total de la funcin273incremento parcial y total de la funcin273272Fundones de varias variablescartesianas en el espacio (fig. 166). En cada punto (x, y) del dominio G levantemos una perpendicular al plano Oxy y marquemos en sta un segmento igual a / (x, y). As obtenemos en el espacio un punto P do coordenadas x, y, z = / (x, y).El lugar geomtrico de los puntos P, cuyas coordenadas satisfacen a la ecuacin (1), se llama grfica de la funcin de dos variables.Del curso de Geometra analtica sabemos que la ecuacin (1) determina una superficie en el espacio. As la grfica de una funcinde dos variables es una superficie cuya proyeccin sobre el plano Oxy, es el dominio de definicin de esta funcin. Cada perpendicular al plano Oxy corta la superficie z = / {x, y) no ms que en un solo punto.Ejemplo. Por lo Geometra analtica sabemos que la grfica de la funcin i = x* + u' es un paraboloide de revolucin (fig. 167).Observacin. Es imposible dar la representacin geomtrica en el espacio de la grfica de una funcin de tres o ms variables.$ 3. INCREMENTO PARCIAL Y TOTAL DE LA FUNCIONExaminemos la curva PS de interseccin de la superficie z = / (x, y)con el plano y consl, paralelo al plano Oxz (fig. 168).Puesto que y es constante en todos los puntos del plano indicado, z variar a lo largo de la curva PS slo en funcin de x. Demos a la variable independiente x un incremento Az, entonces el incremento correspondiente de z recibir el nombro de incremento parcial de z respecto a x que designemos con el smbolo Az (el segmento SS' en la figura 168), as que:A*z = / (x + Az, y) 1 (*, y).(1)Anlogamente, si x es constante y damos a y un incremento Ar/, el incremento correspondiente de z recibir el nombre de incrementoparcial de z respecto a y que designemos con el simbolo Az (el segmento TV en la figura 168):Az =f(x,y+Ay)-V (z, y).(2)La funcin recibo el incremento Az a lo largo do la curva de interseccin de la superficie z f (x, y) con el plano x const, paralelo al plano Oyz.Por ltimo, si damos simultneamente un incremento Az a la variable x y un incremento A y a la variablo y obtenemos el incremento correspondiente de z, Az, que se llama incremento total de la funcin z y que se determina por la frmula:Az = f (x + Az, y + y) - f (*, y).(3)El incremento Az est representado por el segmento QQ' en la figura 168.Notemos que, en general, el incremento total no es igual a la suma de incrementos parciales, es decir, Az Az + Az.Ejemplo: z=*xy.=lxy yAz,As = x (|( + Aj) xy = xAy.A = (l + Al) (ff-f Ay) iy=Ax-f A|/+AxA.Para *=1, p=.2. Ai - 0,2, A y 0,3, tenemos: AjS^O., A,j 0,3, As 0,76.De manera somejante se determinan los incrementos parciales y total de la funcin de cualquier nmero de variables. As, para una funcin de tres variables u = / (z, y, t) tenemos:Axu =f(x+ Az, y, t) - f (z, y, t), Au = /(*, + Ay, i) - / (z, y, 0, existe un nmero r > 0 tal que para todos los puntos M (x, y), cuando cada punto M (x, y) tiende a M, (x, ya), se cumple la desigualdad MM0 - O, Ap -v 0: recprocamente, si Ap ->- O, entonces Ax ->- O y Ay ->- 0.La expresin encerrada entre corchetes en la igualdad (1*) es el incremento total Az de la funcin z. Por consiguiente, se puede escribir la igualdad (f") en la forma:lm Az = 0.(I'")a 0Una funcin, continua en cada punto de un cierto dominio, se llama continua en este dominio.Si la condicin (1) no se cumple en cierto punto N (x0, yo) ste se llama punto de discontinuidad de la funcin z = / (x, y). Demos algunos ejemplos en que la condicin (f) no se cumple: 1) z = / (*> y) est definida en todos los puntos de cierta vecindad del punto A' (xo, y0), excepto el mismo punto N (x0, y0); 2) la funcin z f (x, y) est definida en todos los puntos de una vecindad del punto N (xo, yo), pero no existe el lmite lm / (x, y);X-MtQv*uo3) la funcin est definida ep todos los puntos de la vecindad N (Xo, yo) y existe el lmite: lm / (x, y),275X-*Xf276Funciones de varias variables277Funciones de varias variablesEjemplo 1. La funcines continua para todos los valores de x e y. es decir, on coda punto del plano Oxy. En efecto, cualesquiera quo sean los nmeros x ti y, ax y Ay, tenemos:A l = 1(1 + A*) + ( + A)1] \x* + = 2x&x + 2yA|| -f Al' + Ay',por tanto,lm Az 0. xo 41/-.0Demos ahora un ojemplo.de la funcin discontinua. Ejemplo 2. La funcin._ Zxy *'+y'porolm /(x, !/)=?=/(x/(*, y, . . .),y existe por lo menos un punto N (x, y0) tal que para todos los dems puntos del dominio se cumpla la correlacin:/fo, tfo. ...)-/0jf/bolL es suficientemente pequeo, la expresin (2B eos ) conserva su signo, puesto que se encuentra en la vecindad de 2B, mientras que el factor sen < 0, podemos tomar p suficientemente pequeo, de modo que 2a0 no influya sobre el signo de la expresin entre corchetes). Por consiguiente, en este caso A/ tambin cambia de signo, para diferentes ip, es decir, para diferentes Az y Ay. Esto significa que la funcin no tiene mximo, ni mnimo.Asi, cualquiera que sea el signo de A, siempre ser vlida la afi rmacin:Si AC B2 \ Oy dy ) dxlista igualdad se cumple en todos los puntos en que hay un extremo. Elijamos X de manera tal que para los valores de x e ycorrespondientes a un extremo de la funcin u la expresin +'dy-)- X ) de la frmula (5) se reduzca a cero *),dy!dy dyEntonces para estos valores de x e y de la igualdad (5), se deduce que: dx dxPara ser ms precisos supongamos que en las puntos crticos dij66Funciones de varias variables67Funciones de varias variablesAsi, pues, en los puntos de extremos se satisfacen tres ecuacionesdi ILOy Oy f(x. y) = 0de tres incgnitas x, y, X. De estas ecuaciones determinemos x e y. asi como X. La ltima desempe un papel auxiliar y ya no es necesaria.Est claro que las ecuaciones (ti) son condiciones necesarias para la existencia de un extremo condicionado, es decir, en los puntos de Jos extremos se cumplen las ecuaciones (t). La proposicin reciproca no es cierta puesto que la funcin puede no tener un extremo condicionado para todos los xey (y X) que satisfagan las ecuaciones (6). Entonces hace falta realizar un estudio adicional de la naturaleza del punto crtico. Solucionando problemas concretos, se logra a veces determinar la naturaleza del punto crtico a base del carcter del mismo problema. Observemos, que los primeros miembros de las ecuaciones (6) son las derivadas parciales de la funcinF (x, y, X) / (x, y) (- X. (xy-f-xs-1 y: a). Hallemos sus derivadas parciales y las igualamos a cero: y)xy +(II). MsH-i>=0, I I M+)=0, > 121 problema se reduce a la solucin del sistema de cuatro ecuaciones (10) y (11) con cuatro incgnitas (x. y, z, y X). Para solucionar este sistema, multipliquemos la primera ecuacin de (11) por z, la segunda por y. la tercera, por x, y sumemos las expresiones obtenidas. Teniendo en cuenta la igual 3 xyzdad (10), hallemosIntroduciendo en la ecuacin (11) el valor 21 534obtenido de \ obtenemos: [i-|- (,+.)]-o,Puesto quo x, y, x segn la naturaloza del problema son distintos de cero de las ltimas ecuaciones se deduce:-^+'>=1, -ff=i. -|-=i.De las dos primeras ecuaciones hallemos x = y, de las ecuaciones segunda y torcera, y = x. Poro, en este caso so deduce de la ecuacin (10): x = y = x = As, obtenemos el nico sistema do los valores x, y, i para los cuales la funcin puede tener un mximo o un minimo.Se puede demostrar que ste es el punto de mximo. Lo mismo se deduce tambin de ciertas consideraciones geomtricas: segn las condiciones del problema, el volumen de Ja caja no puede ser infinitamentegrande, por tanto, el volumen debe ser mximo para ciertos valores de sus lados.Entonces, el volumen do la caja es mximo, cuando sta tiene la forma(12)do cubo, con arista igual a j/ y .Ejemplo 2. Hallar el valormximo dla raz do n-simo grado del producto do los nmeros xit x, . . x, a condicin de quo la suma de estos nmeros sea igual a un nmero dado a. El probloma, por consiguiente se puede plantear as:hallar ol mximo (lo la (uncin u = r,. . . xn, a condicin do que:*i + *2+...+in 0=0(x,>0, x2>0x>0).Formemos una funcin auxiliar:F (xtx, M = .rn + M*l+*I |-...+*n 0, esdecir, la funcin y tiene un mnimo cuando x :2o /TEn el segmento 0 -20- "" -Ir * lr-si x = u + v*, uai! I seny, it=>ln(x + y). fesputsla: ^-=2x + 2v 1eo., + 2L-. 21. Hallar -|- y , si 1=l/|pl; u=, yx + ydx'Oyrl + i/'ra cosx; c - cus x. fespuesta:1 ;0. 22. Hallar58^ 2 0052 T ""y , si i =u senx, v x3-fya. Respuesta: -^- = eu-P(cosx 6x')t-|L = u-ai.(o_2.2y)=23. Hallar las derivadas totales de las dy(unciones dadas: * = arcsen (u-ff); u sen x eos a; o = cosx sen a. fesp.si 2*iy.'ipltcaciones del clculo diferencial a la geometra del espacio339.'ipltcaciones del clculo diferencial a la geometra del espacio> 5:t4 se Manan ecuaciones vectoriales de una lnea en el espacio. Las ecuaciones (2) se llaman ecuaciones pnramtricas de una linea en el espario. Con ecuaciones se determinan las coordenadas x. y, z del punto corren pendiente de la curva para rada valor de 1.Observacin. La curva en el espacio puede definirse tambin como el lugar geomtrico de los puntos de interseccin de dos superficies. Por tanto, esta curva puede estar dada por las dos ecuaciones de estas superficies:'M*. y. => = . \ QM*. y. =)={ d>l>2, b2dt dy dz dz dy dtdz dx dx dzdz ~ t>,dt>t ,ili*V,M)2'dt dx dy dy dx dtdx dy dy dxSupongamos que ^ = 0. Sin ombargo, se puedo(9)demostrar que las frmulas definitivas (11) y (12) (que aparecen ms ahajo) son tambin vlidas para el caso en que esta expresin es igual a cero, siempre y cuando por lo menos uno de los determinantes que figuran en estas formulas es diferente de cero. De las igualdades (10) tenemos:dz_ dtdx dtdy di tKI'i d(t>2 *t>i *f>; rM>,M>z dtll, dt>, *f>, d;dy dzdz dxse anulan, el punto mencionado se llama punto singular de la curva en el espacio. La curva puede no tener ninguna tangente en este punto, igual que en los puntos singulares de las curvas planas (vase 19, cap. VID).tXI, (*l>,dx dy- M>.dx dyEjemplo 3. Hallar las ecuaciones de la tangente y del plano normal ala curva definida por la interseccin do la esfera xa -f- y1 -f z' = 4r, y el ilindro i' + y' = 2r, en el punto ,M Ir, r, r~\/2) (fig. 197).352.'ipltcaciones del clculo diferencial a la geometra del espacioHeglat de derivacin de los vectores {funciones vectoriales) 353Reglas de derivacin de los vectores (funciones vectoriales) 349Solucin.K. i)=xJ+K1 2r), i ., ,HT-*- ~du=2"' ~~di~ ~,2_2r. i^O. dx dydzLos valores de las derivadas en el punto dado M sern:- 2r 1/2, 0.y la ecuacin del plano normalV2(>'-r)-(Z-r V3 = 0.8 3. REGLAS DE DERIVACION DE LOS VECTORES (FUNCIONES VECTORIALES)Hemos definido la derivada del vector'(() - v (DI + tf (0J + X O*(1)es igual a. (I) + , (0 + 1h (t)\j + ixi 0) -f X-J (')l A-.Segn la definicin, la derivada de un vector variable es:d\r,(t) + M0] = [A partir de la frmula (14) obtenemos:- _ dv d (va)~ dt ~ diDesarrollando la ltima derivada segn la frmula (III) 3, tenemos: dv - dau> =a + v.(17)dt dtTransformemos la derivada , usando la frmula (5): dtda da ds tidt ~ ds dt ~~ fIntroduciendo la expresin de en la igualdad (17), obtenemos en definitiva:S = +(18)dtRAqu, o es el vector unitario orientado a lo largo do la tangente en direccin del movimiento, n es un vector unitario dirigido a lo largo de la normal principal.Por consiguiente, so puede interpretar la frmula (18) as: la proyeccin de la aceleracin de un punto sobre la tangente es igual a la primera derivada del valor absoluto de la velocidad; la proyeccin de la aceleracin sobre la normal principal es igual al cuadrado de la velocidad dividido por el radio de curvatura de la trayectoria en el punto dado.Puesto que los vectores o y rt son mutuamente perpendiculares,el mdulo de aceleracin se determina por la frmula:-(19) 5. PLANO OSC U LA DO K. RK NORMAL. TORSIONDefinicin I. El plano que pasa por la tangente y la normal principal a una curva dada en el punto A so llama plano osculatlor en este punto A. Cuando una curva es plana, el plano osculador coincido con ol plano de la curva. Si la curva no es piaa, dos planos osculadores en los puntos P y P, de la curva, forman entre s un diedro i. Cuanto inayor es el ngulo p, tanto ms la curva se diferencia de la curva plana. Con el fin de precisar este problema introduzcamos la definicin siguiente.Definicin 2. La normal a la curva, perpendicular al plano osculador, sC llama binormal.Tomemos un vector unitario b sobre la binormal y dirijmoslo de tal modo que los vectores a. //, b formen una terna de misma orientacin que los vectores unitarios ,./, k de los ejes de coordenadas (figs. 200, 201).En virtud do la definicin de los productos vectorial y escalar de vectores tenemos:b o>;n; hb = 1.(I)Hallemos la derivada j- . Segn la frmula (IV) 3,dO = i Hit= II o X ! .Tl ds JEl segundo miembro de esta igualdad es ei llamado producto mixto (triple) de tres vectores n, a y . Como sabemos, tal producto no varia por la permutacin de los factores en orden circular. Como n/i 1, escribamos la ltima igualdad en la forma:1 [ dn y 1 =0 - x n T L ds J7--["*]Pi-Pero, como ii = R ~rr, entonces:dn_ _ R dV dR_ r_ dsds3 ds ds*L ds J ds" l ds' ds dsz iPuesto que el producto vectorial de un vector por s mismo es igual.364Aplicaciones del clculo diferencial a lo geometra del espacto.365Aplicaciones del clculo diferencial a lo geometra del espactoPlano osculador. lllnormal. Torsin363a coro, As,I" por tanto,= \ + c.)a2-x* 2a |a-xlNotemos que la ltima frmula se deduce tambin de los resultados generales del 9, cap. X.378Integral IndefinidaIntegracin por cambio de variable o por sustitucin377?+' 2En el caso de la frmula 14 tenemos:(inix+v7T72irL=i+-=L=)=-=L=X + Vfa*\ Vx2 a2'por tanto[ -fif = ln|x + V772l + C.J Va2Esta frmula tamhin se deduce de los resultados generales del 11.De la manera anloga se verifican las frmulas 11' y 13'. Observemos que estas frmulas sern obtenidas en lo ulterior de las frmulas 11 y 13 (vase 4, ejemplos 3 y 4).$ 3. ALGUNAS PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDATeorema 1. La integral indefinida de la suma algebraica de dos o varias funciones es igual a la suma algebraica de sus integrales5I/. (*) + k ; = (ax) a = h" (ax) = / (ax).Las derivadas de los dos miembros son iguales, lo que se trataba de demostrar:Si^f(x)dx = F(x)+C.entonces:^f(x + b)dx = F(x+b) + C.(4)Si^f(x)dx=F(x) + C.entonces:/(ax + f)dx = -i F(ax+b)+C.(5)Las igualdades (4) y (5) so demuestran mediante la derivacin de sus miembros.Ejemplo 1.^ (2i> 3sonx + 5 \/i)di= ^ 2z'dx ^ 3senxWx+ 5 y7dx=.txSdx-3 ^ seni + (-4M/,-f f*+B dx=[*L,1J ax -f. bx c Jax' + bx + cax -f- bx 4- cRospresenternos la ltima integral en fornta de una suma de dos integrales. Sacando los factores constantes fuera del signo de la integral, obtenemos:dx' 2a J ax2 + fcx + c V 2a / JLn ltima es lo integral /,, que ya sabemos calcular. En la integral primera realicemos el cambio de variable:ax* + bx + c = l, (2ax h b) dx = di.Por consiguiente.f (2ax+J>)dx_ = f dt_ = ,n,n(ax= bx + c cJ axr + bx -+- c .1 (En definitiva obtenemos:/,= A ln | x2 + bx + c I + (fl - 4M /,. a\ a /Ejemplo 2. Calcular la integral'-Sacra--126Integral Indefinida126Integral IndefinidaApliquemos el procedimiento mencionado:, ,+> fi12-21^!2),. JiUzr-X.-2.-Sr=III. Calcular la integraldxVax1+ cUtilizando las transformaciones estudiadas en el punto I, se puede reducir In integral (segn sea el signo de a) a una de las integrales de la tabla: dt para a >0 6 f ^ para a < 0,V/2 A2J V/t2 - J ya'-z' J ya' X* x r> x dx a- arsen\ x =====.. JApliquemos a esta integral el mtodo de integracin por partes, poniendo u = x,du = dx,J l/a-x J l/a-xd Kx dxi, i> Va3x'-.|/a X*Entonces:x*drVil-x J ~ VxSustituyendo el ltimo resultado en la expresin de la integral dada obtenida antes, tenemos:^ Va1!1 dx - o arcsen -- + x V i* jj Va-xdx.Traslademos la integral de la derecha a la izquierda, y llevando a cabo las transformaciones elementales, obtenemos en definitiva:(j ya-x*dx = - arcsenVx |-C.Ejemplo 6. Hallar las integralesI, J * eos bx dx y /j = J caisen bx dx.dv = eos bx dx, v = sen bx.Aplicando el mtodo de integracin por partes a la primera Integral, obtenomos:une",du*=a>*,b^ eax eos bx dx e"x sen 6r ^ ex son f,j- jzApliquemos de nuevo a la ltima integral ol mtodo do intogracin por partes:u t,du > o,df sen bx dx,J-cos6x,ojj e la ltima igualdad bailemos J:(>+-) "XC0S bxdx = ... (x' + px + q)-' ...... (x' + lx+s)*-'.Y (x) es un polinomio cuyo grado es menor, en una unidad, que el del polinomio Q.Al sumar las integrales de lodas las fracciones del tipo I y 111, (incluyendo tambin las integrales del tipodx,x' + px +'/obtenidas mediante la integracin de las fracciones del tipo IV) obtenemos la integral de la fraccin propia del tipo < donde el polinomio P (x) es igual a(I)P (x) = (x ~ a)(xb) ... (xa + px + q) . . . (x1 + Ix + s). Asi, encontremos queJ /(x) Q(x) J P(x)Aqui, X (x) es un polinomio cuyo grado es menor en una unidad que ei del polinomio P (x).Determinemos ahora los polinomios X (x) y Y (x) de los numeradores. Para esto derivemos ambos miembros de la igualdad (1):F (x) QY-QY X /(x)F(x)= nx)T _l{x)Q-Y f(x)X QQPDemostremos que la expresin del segundo miembro es un polinomio. Notemos que / (x) PQ y escribamos la igualdad (2) en la forma:F (x) = P Y' - + QX.(Z)J6- 534PO'YQueda demostrar quo la expresin es un polinomio,o que PQ' es divisible por Q. Para esto observemos que~ = [In ... +(p-l)h.(x+px + 9)+ ... +(v-l)ln(x= + x + s))- = a-i , P - 1 , , (|t-1)(2x + p)=17+ ... -i3;h ...x a x oxr + px + q(v t) (2x + /)x2 + /x+sEl polinomio P ser el denominador comn de las fracciones del segundo miembro. El numerador ser un polinomio del grado inferior al del do P. Designmoslo por T. De tal modo,SL =I Q ~P 'Por consiguiente, la expresinO'TP Y = PY TY Q Pes 1111 polinomio. I.a igualdad (2') tomar la forma:F (x) = PY' - TY + QX.(3)Comparando los coeficientes de iguales potencias de la variable en la igualdad (3), obtenemos el sistema de ecuacionos, de donde encontramos los coeficientes desconocidos de los polinomios X y Y.Ejemplo. CalcularP 1 de.Solucin. En es lo caso:/(x) = (*-l) (*+*+).I.a igualdad (1) tiene la forma:f di Ai*+Bx + C , f Bx* + Fx+C j...i (x-t)" = ' x-l +J xi-t dl"(>Derivando ambos miombros de la igualdad (4) tenemos:1 (x' -1) (2Ax + B)(/Ir + llx + c) 3x . Ex'+Fx + G (x>-1)> "*(*-!)+ i^Tj 126Integral Indefinida126Integral Indefinida26*403Integrales de las /unciones IrracionalesEliminando el denominador, obtenemos:1 .-- ( El smbolo f (j-, xnx*) indica quo con las magnitudes*, xn, ..., *se ejecutan slo operaciones racionales.Del mismo modo hay que entender en lo ulterior los smbolos del tipom/'(X' (St^) '' " ) 'f (sen x, cosx), etc. As porejemplo, eV smbolo li (sen x, eos x) indica ouo con sen x y eos x se realizan operaciones racionales. -1) (2/lz + B)- ('!*+ Bx + C) 3l + (* - 1) If-x'+Fx + G).Igualando los coeficientes de los trminos con las mismas potencias de x en ambos miembros do la igualdad, obtenemos un sistema de seis ecuaciones para determinar los coeficientes A, B, C, E, F, G: 0 = ,0-r1-hF. 0= -2 U+G, 0=3CE, 0 -2,-1-f, 1= -B-G. La solucin de este sislema nos da:/ = 0, A 0, C ",F^O, G= .Sustituyendo los valores de los coeficientes determinados en la igualdad (4), obtenemos:1 2 ? dxn* r- Tx'-1 I J j3_tll denominador de la ltima integral tieno slo raices simples y. por eso, la integral se calcula fcilmente. En definitiva:r-2 1 ,lif dz-x_ . ( 9.9 9 11. INTEGRALES DE LAS FUNCIONES Ilt RACIONALESNo siempre es posible expresar la integral de funcin irracional mediante funciones elementales. En este prrafo y en los posteriores estudiaremos funciones irracionales, cuyas inlcgrales se reducen, mediante sustituciones de las variables correspondientes, a las integrales de funciones racionales y se integran, por tanto, totalmente.mr1. Examinemos la integral J /? (x, xn , .. x*) dx, donde f es una funcin racional de sus argumentos*.Sea k el comn denominador de las fracciones nsEjecutemos la sustitucin:jr = t\ di = ktk~ ' dt.Entonces, cada potencia fraccionaria de x se puede expresar media/ilc una potencia entera de t y, por consiguiente, el integrando se transformar en fulicin racional de /.Kjcuiplo I. C.;iIcnl.ir I integralidi _3x5-; i1 3Solucin. El comn denominador do las fracciones-- ; es 4. Por eso,i iefectuemos la sustitucin x-=t4. dx =41* df, entonces: J X4 I'< l " 0. En este caso se puedo usar la primera sustitucin.i 13. INTEGRACION DE LOS II1NOMIOS DIFERENCIALESLa expresin de la Utrmaxm (a + bx")" dx,en la que ni. n, p, a, b son nmeros constantes se llama binomio diferencial.Teorema. La integral del binomio diferencialS xm (a -f bx")'' dx.puede reducirse, si m, n, p, son nmeros racionales, a la integral de una funcin racional y, por consiguiente, puede expresarse mediante funciones elementales en los tres casos siguientes:p es un nmero entero (positivo, negativo o cero);es un nmero entero (positivo, negativo o cero);- p es un nmero entero (positivo, negativo o cero).Demostracin. Transformemos la integral dada con ayuda de la sustitucin-1-1 ir-'x = z", dx = z dz . nEntonces:^""(a + bx")" dx = i(a + bzy dz = -i j z" (a + bz)p dz, (') dondenSoa p un nmero entero. Siendo 17 un nmero racional, designmoslo por --. En este raso. Ja integral (1), tiene la forma:rJ f(z','z)dz.Hemos indicado en el II. cap. X, que uua integral de este tipo puede reducirse a una funcin racional mediante la sustitucin 2 = /'. _ m + i ., n ,mil .Sea un numero entero, l.iitouces = + C = -i (I - 3) + C =(- - 2) + C == 3Rfe""'10 3- $ zt y(T~p7aja - S 0, c> 0. Introduzcamos las designaciones4 aa m1, c -r- = n2. En este caso tenemos: 4aV x2 +bx + c = Vm2t2 + n2.Irb12) Sea: a > 0. cr < 0. Entonces, a = m2, cr- = n*.'4a4ab5 b* ) Sea: a < 0, c j > 0. Entonces, a = m2, ey =n*.4a4aPor consiguiente,Vax2 + bx c = Vmh2 - n\Por consiguienteVax---bx + c = Vn'-nrt2.I) s4) Sea: a < 0, c7 < 0. En este caso J ax' + bx + c es 4aun nmero complejo, para todo valor de x.Asi, la integral (1) puede reducirse a una de las siguientes clases de integrales:J li (t. Vmh2 + n2) dt.(3.1)J R (t, Vm2t2-n2) dt.(3.2)J R (, Vn m2t2) di.(3.3) Es evidente que la integral (3.1) se reduce a una integral de laforma (2), con ayuda de la sustitucin t tg z. La integral (3.2)mse reduce a una integral de la forma (2) mediante la sustitucin-_'? Mit= ser. 2. La integral (3.3) se reduce a una integral de la forma (2)mediante la sustitucin t = sen .md*Ejemplo. Calcular la integral ^Solucin. Es la integral del tipo III. llagamos la sustitucin r -asen:, entonces: dx = a eos z dz,C dr ^ e o eos t dxP q eos dx 1 P dxo y,i_,0 y(aT*) J V(a flsenx)3 ) l = \ 51. tg*xrfx.^-tgx+x + C.52- S (l+x.'Tarc.gx - """ '"iarotgxl+C. 53. . fesp.30.iln|3.gx+,| +C.U.ldi.fesp.t*{+C. 55. S yr=^arcsen x 'Hesp. ln | arcscn 11+ C. 56. ^ ^len 2x Z' R"p' T ln ' 2 + 3 S"n 21 ' + C' 57. ^ cos(lnx)--. fesp. sen (ln x) -|-C. 58. ^ eos (a-)-ix) dx. fesp.Xi-scn( (-ti)-5-C. 59. fesp. |t + C. 60. jj t3 di.X35 + C. 61. ^ Mn*cosxdx. rtp. f^'+c. 62. a''xdx. fesp. ** * -.4 f C. 63. K e" dx. fesp. ae"+C. 64. \ (e)iix. Hesp. -J-e"+C.2 ln no4ra( ' r"I65. ^ :ixe'dx. Hesp. |n'3 t' + S6- ^ e "di. Hesp. j c ** + C. 67. ? (i*+")i. fip. y ('*-(--j^- (-C) . 68. jj c'"**! 3(x (-2)ifx.fesp.69. V-^P-'dx. fesp. ty ~-2x K.r 2J o**"Ino Infc70. \. Hesp. 1 ln(3 + 4e") |-C\ 71. jj -f-^- . Resp.|-ln(2.| , V.72.1^. fesp. ^ardg (V2x)+ C. 73. $.Hesp '-arcscn (l/Sx) + C. 74. f , . 4" arcara +C.1/3J V)6-9i3475. ^. fesp. arcscn -g-f C. 76. jj . fesp. arel* ~ f C. S-A-M A" |f=5|++-c- l vfe- "'!P I-+V-4..I+C. 4--||ta + V4WI + C.8I.fesp. ilnlau + +,n|*Lt4| + C. 84.Hesp. l.rcsenx' + C.61/5 j xV5 I"> 1/1-$ "r" +c- 86- $ vT=k """ arcs6n '*++ c. 87. ? Jl_ . fesp. -Marcara l/|x + C. 88. \.J V3-5xVS' 3J a2 + sen1xfesp. -iarctg\ C. 8* + C-94. ? **flp. 4/l + Vi+f. 95. Hesp.J yKi+y0 1 +arctg ifX-|-C. 96. f "" 1 df Wp 3* aenx+C 97. f Vt + 3cosx sen 2x dx. J y' sen* xoHesp. -4 V(l + 3cisx)a + C. 98. [ son 2x dx ^ _ 2 y,+csJ x+11"> l/l+COS2!+ C. 99. S-^dx. H,. !~--+C.^5Edx.,) sen4 xr sen x 3 son3 x,) cos'x1'' S ,,ex+3eos2x ' Y"Clg ( V'^S '''I ++ C. Integrales del Upo ^-gi+^-di. 102. $ jl+t45 ',u:t- JscW yrrarclg"w+c'f dx 1 , | 2x + 3- V5 | , ... P dx04. \ - . ,r- . Hesp. In 7:+'. IOj. \ XXI .J x + 3x+l r y5 | 2x -f 3-f y 5 ld x2-6x-)-5Hp. In|3x>-7x4-ll|4-c. 109. ^-3x^2 'TO10-4 ln (2x-f 1) +6*. 112. Jl"1,., Hesp. ln(5*-x+2> +8 . tOx1 . _ ... P 6x Sx + 4x2 D - xH=^arctgp=r-4C. 113. \ dx. eip. x'j- 4-5y39y 39J 2x-x41r2Ejercicios para el captulo Xyi+x>flp. _ V' + ^'^p 150 Jntp yxi_a_ arccos -J-C.151. f *** /ip. -1. , ' -4-(7. J y(a + x>)' ya> + x>Integracin de las fracciones racionales:Reip. + In+ lo(x+2)K. 156. S (x-l)t(x-2)-4x + 3 ,, x , Jr ( xdx5x+122(+T)i + ln(TTr+C- ,M' J (xH-2)(x+4)-+ lB(^f)Vc. 160.*p.161.3(XH 3) ,,, f8. _ x8 10 (x+W+O J xT-4x ^ -x(x2)2xa3x3 . _ . (x> 2x + 5j* . 1 . x 1. - dx. Retp. ln1^+ arctg=1-C. 162. (x lj (x* 2x-t-5)7=12 B 2,63. t * . Hesp. i 1arclgf O. .64. , dx.! + C. 180. -2V2J X '^lnJ X'+16 x'-x+l y3 y3 |JVz -M-M V zy2 Ix2y2 | ' J xVx + 4x-4 . Resp.Jx+x+4i+4. x+4 ,1 . x , ... P 4dx 1 x+V2+l """ (x+")i+'2 gT ,65' J 3TT- P' yl x-xV2+l+ yj orctgH e 166- J-3- |x, + to(x*1)H-C.. fdx I x-l 10 . 2x1 2x 1,69- i (-)(xi-r+1)'vT~3(x.-,+1)+t-Integracin de las funciones irracionales 170. ^ , ^ dx. Hesp.J , x'+l171. ^J^ji^dx. Hesp. A J'i- -^a.+C. ,72. $dx. -+,.+.,_-241n(7x-+0+C. .73. SL T*+iVx- sVt + O'/x-91n('/-|- 1) + J- ln(J^i+ l) - + 3arclg'/x + C. ,74. $ /Jg*.n |-126Integral Indefinida126Integral Indefinida-i-arcsen fr+C. 181. f Vi*+ 2* Jx y 1>+2r + ln | x + 1 + z 2J r+ y**+5|+C. 182. f dlRetp. r~l + C.O y(2r-i)>yix-x*^ y'2i z*dz. Retp. -i- |(x-i) y2x-x3 + aresen (* 1)] + C.C Il'tp. ^+4- V^-T'n^ + V^l + C.d Jty r* 1- ,83. f *. Retp. ln I x+yTT^+g_ I (H'lVH " + 'I 2+l+yi + x+r ||M. \ *+*Retp. +C. 187. ? '-V^FPfa.J (2x+x) y2x+x r ysr+xiOxyi+x+x18.,B| jsy vn^g.[+c. 18g. j v flMp.8ln[x + 2+ yxM 4x|+6\x + yx + 4x Inlegracin Je los binomios diferenciales:y ~~r~i' - i^ -dx. Ret. 2( l-f x3)'+C. 190. x3(2 + x3)4 dx. rtp.4^(.JjU M.l-J^j. Retp..> x(l+x)=(I lx)2. c/,. -(1 + X) :(2x+i)-| C. 193. J)/ (, J)3dx.ftp.8 (7V-4) (H-VNc.flp. 2(4+3^(2-^1.4 x>< (7*i)iix. z.(l + x3)3 . Integracin de las funciones trigonomtricas:\ sen3 x dx. Retp. ~ eos3 x co x + C. 17. \ sen^xdx. Retp. cos* +4-^-cos'x 1 +C. 198. eos4xsen'xdx. Hesp. .i coss x f-- eos' x+C.p eos' X1*X199. ^ sen*xR"P c,c X-J CSC" x-hC. 200. \cosxdx. flep. T +202.nn, (* . , 3 sen 2x . son 4x , * -f- -r sen 2x-f C. 201. ^ sen4 x dx. Retp. -j x^11-C.^ eos xdx. Retp. --(5x4.4,0,, 2x-^-?l+|.3on4x)+C.Ejercicios para el captulo X m Axt -f m Ax, -t-...... + m Ax = m (A*, + Ax, -+ ... + Ax) = m (ba).As:s>m(>a)c) Dado queAf,); el limite / se llama integral definida de la funcin / (x) en el segmento [a, M t.y se desigua por: f f (x) dx. Entonces podemos escribir:nhl> 2 / (b) Ax, = S / (x) dx. mx Ax/ 0 I Ia178integral definida178integral definidaI,os nmeros a y i se llaman, respectivamente, lmite inferior y superior de la integral. El segmento la, l se llama segmento de integracin, la letra x, variable de integracin.Notemos sin demostracin que si la funcin y f (x) es continua en el segmento la, fe], es integrable en el mismo segmento.Si para cierta sucesin de las divisiones, tales que mx &x -+ 0 estudiamos la secuencia de las sumas integrales inferiores s y las sumas integrales superiores s para una funcin continua / (x), es evidento que estas sumas tendern a un mismo limito /, es decir, a la integral definida de la funcin f (x):nt,lim 2 m Ax, = J f{x)dx,mil Axj 0 ! Inn0lim 2 Mi = J / (x) dx.nial aij * 01 = 1aEntre las funciones discontinuas hay funciones integrables y no integrables.Si construimos la grfica del integrando y f (x) entonces, en el caso de / (x) > O, la integral\f(x)dxser numricamente igual al rea de asi llamado trapecio curvilneo formado por la curva i/ / (x), las rectas x a, x y el eje Ox (fig. 210).l'or consiguiente, el reaQ de un trapecio curvilneo comprendida entre la curva y f (x), las rectas x = a, x b y ol eje Ox se calcula mediante la integrala T *=*[ na-1Puesto que:ir. ==* r.+i=-i (*-.)-*n-ooL- JAsi,aEs fcil calcular el rea ABba (fig. 211), usando los mtodos de la geometra elemental, ll resultado ser el mismo.bEjemplo 2. Calcular ^ x*dx.oSolucin. La integral dada es igual al rea Q del trapecio curvilneo limitado por la parbola y - x1, la ordenado x = b y la recta y = 0 (fig. 212). Dividamos el segmento |a, >J en n partes iguales por medio de los puntos:x0 0, xj=Ax, x2-=2Axrn o n&x,Ax-. nComo los puntos tomemos los extremos derechos de cadn segmento.Formemos la suma integral n - x?Ax + xfAx + ... + x Ax == ((A*)* Ax -f (2Ax)a Ax-}-;.. f (nAx) Ax) = (Ax)3 (12-|-2*-f-... + n*J. Como es .sabido:por esto:b* n(n+l)(2n + l) b* ( I \ / i s6Km?n-.oct)^0/F/*. 2/2hEjemplo 3. Calcular \ m dr. im emst).Solucin6nn\ m dz-~ lmV, mAx/r= lm m V Axj =t)ni A*~mx A*I0ll1i = IJ= 1= m lm V Ax| = m (b fl). mdi A*4-*OAqu, Ax| es la suma de las longitudes do los segmentos parciales i=lque componen ol segmento (a, |.Cualquiera que sea ol modo de la divisin, esta suma es igual a la longitud del segmento b a.Ejemplo 4. Calcular ^ e*dx.Solucin. Dividamos do nuevo el segmento (n, fi\ en n partes iguales:bar0 = a, xl~a Ar. ..., rn - 0, la figura 213 da una ilustracin geomtrica de esta propiedad. Puesto que q> (x) ^ / (x), el rea del trapecio curvilneo aA^Bjli no es mayor que el rea del trapecio curvilneo uAHb.Fig. SI 3Propiedad 4. S m y Al son los valores mnimo y mximo respectivamente de la funcin f (xj en el segmento \a. 61 y (i 6, entonces:m(6-a)< J/(x)rfx< AMfc-o).(4)aDemostracin. Segn 1a hiptesis,">tiex'M I** &n+t a-!Ejemplo 3. \ x" dr ( I)." ' ' I" i f ItiEjemplo 4. \' ex maLa ltima es la frmula de Simpson. Aqu el nmero 2m do los puntos de divisin es arbitrario; pero cuanto mayor sea este nmero tanto mayor es la precisin con la que la suma del segundo miembro de la igualdad (5) expresa o) valor de la integral *).Ejemplo. Calculnr aproximuiliuncnlc:dxln 2-Solucin. Dividamos e( segmento (1, 2J on 10 partes iguales (fig. 227). Haciendoformamos ta tabla do loa valores del integrando:X-1I "1-;0 = 1,0 1-1.1 2=1,2 5=1,3 4=1,4 5=1.5|f0 = 1,00000 p,= 0,90909 yj =3 0.83333 1,5 = 0.76923 g4 = 0.71429 l/s= 0.66667a = 1,6 7=1.7 ,= 1,8 ,= 1.9xio = 2.0K, =.0,62500 g, = 0,58824 , = 0,55556 y,=0,52632 /to =0,50000I. Segn la pWmera frmula de los rectngulos (I) obtenemos:2^.I 7.18773 =0,71877.Segn la segunda frmula de los rectngulos (!') obtenemos:2^ - *>0, t (y, + yt+ ... + j/10) = 0,1 -6,68773 0,06877. 1Directamente de la figura 227 so deduce que en el caso dado la primera frmula da el valor do la integral por exceso y la segunda, por defecto.fl. Segn la frmula do los trapecios (2) obtenemos: 2( 1+20,5 + 6,18773) =0,69377.1III. Segn la frmula de Simpson tenemos:2 fr-J" IVaH io-f 2 4 4.(-*,) + (x2 X,) (Xj Xj) ... (x2 x)(x X,) (X X) . . . (X !-,) Obtenemos la siguiento frmula aproximada de intogracin:S / (x) dx J P (x) dx.(2)atila que despus de algunos clculos toma la forma:J f(x) dx C,f (x,) +Ci/(x2+ ... + CJ(x),(3)166integral de/lnlda166integral de/lnldaFrmula de Chblthcvdonde los coeficientes C se calculan por las frmulas: bc r (Jjj...(JI-I)I+I)...(xxj ^' J (z, X,) . . . (X, X,_,) (X| !,+ ,)... (X, X) aLa frmula (3) es complicada e incmoda para los clculos, puesto que los coeficientes C, se expresan mediante fracciones complejas.Chbishev plante el problema inverso: dados en vez de las abscisas?). x2, . . ., xn los coeficientes C,, C2, . . ., Cn, determinarlas abscisas x. xx.Los coeficientes C se dan de modo que la frmula (3) sea la ms simple posible para los clculos. Es evidente que esto se logra cuando todos los coeficientes C son iguales entre si:C, = C2 = . . . = C.Designemos por Cn el valor comn de los coeficientes C, C2. . . . . . ., C, entonces la frmula (3) torna la forma:J/(x)xwC[/(x,) + /(x2)+ ... +/(x)J.(5)aLa frmula (5) representa en general una igualdad aproximada, pero si / (x) es un polinomio de grado no superior a (n t) obtenemos entonces una igualdad exacta, lista circunstancia permitedeterminar las magnitudes C, x,. x2x.Para obtener una frmula cmoda para todo intervalo de integracin, transformemos el segmento de integracin la, b| en el segmento I1, 11. Para esto hagamosx = ab b-o 2 2entonces para t = 1; x = a; para I = 1, x = 6. Por consiguiente,o1-IIII 5.11donde por q> (t) est designado la (uncin de t, que se halla bajo el signo de la integral. Asi, la integracin de una funcin / (z) en el segmento |a, i] siempre puede ser reducida a la integracin de alguna otra funcin q> (z) en el segmento 11, II.El problema se ha reducido a ln eleccin do los nmeros C, Z|. z2z, en la frmula5 /(z)dz = C[/(z1) + /(z2) + ... +/(z)](6)-ide modo que esta frmula sea exacta para cualquier funcin / (z) de la forma/(z) = o0 + a,z + az,+ ... -fa^z"-'.(7)Notemos que i iJ /(x) dx = | (a, + a,z + a^ + ... + a-,x"-') dx = -i -i2(o + + + +si n es impar.\ 3 5 7n >+...sin es par. (8)\ 3n 1/Por otra parte, la suma del segundo miembro de la igualdad (6), on virtud de (7), os igual aCn (na, + a, (z, + z* + ... + z) + a, (z? + zf + ... +z)'+ ...... + a-, (*?"' + z"' + + li-')]. (9)Igualando las expresiones (8) y (9), obtenemos la igualdad que debe ser vlida para cualesquiera a0, ai, a^, .... a,,.,.2(* + f + t + T+-) == C[na, + a,(z1 + z2+ ... + z) + a2(z + zl + ... + **) + ..... -M_,(*r'+*r'+ +*r')j.470/ntfgral definidaIntegrales dependiente de un parmetro469Frmula de Chibtthev46730*Igualando los coeficientes de a0, a,, a2, a, . . a-, en los dos miembros de la igualdad, tenemos:2 = Cn o C = |; z, + x2 + ... +* = 0;** + + +I" = = I:(10)*? + *5+ ... =4 t i,42nHallamos las abscisas x,, x2, . . ., x de las ltimas n ecuaciones. Chbishev encontr estas soluciones para diferentes valores de n.Nmero de ordenada! nCoeficiente CnValores de abacias* xi. xixn32 3x, = x, = 0,707107 x, = 0412x, = _x4 = 0,794654 x2=ij = 0,18759252 5x, = xs = 0,892498 x,= xt=0,374541 xj=0613x,= x, = 0,866247 x2=x, = 0,4225)9 x3~xt = 0,26663572 71,= !, = 0.886862 x2=x,= 0.529657 x3 = ij = 0,323912 xt = 092 9x, = x = 0,911589 x2=x, =0,601019 xj=_x,=, 0,528762 xt_i,=0.167906 x5 = 0Abajo se dan las soluciones halladas por l para los casos en que el nmero n de puntos intermedios es igual a 3, 4, 5, 6, 7, 9.Por consiguiente, el clculo aproximado de la integral en el segmento 11, 1| se efecta segn la siguiente frmula de Chbishev iJ/(x)At = | [/(*,) + /(**) + ... +/(*)],-Idonde, n es uno de los nmeros 3, 4, 5, 0, 7 9, y x, . . ., x, nmeros representados en la tabla. No se puede tomar por n el nmero 8 u otros nmeros superiores a 9, puesto que en este caso el sistema de ecuaciones (10) da las raices imaginarias. Cuando los limites de integracin de la integral dada son a y , la frmula deChbishev toma la forma: j/(j-)dx = tl^[/(Xl)+f(Xl) + ... +/(*)).odonde X, = ''-y 'X' '' = ~"). y los x, tienen losvalores indicados en la tabla.Demos un ejemplo de clculo de una integral con ayuda de la frmula de Chbishev.2diP diEjemplo. Calcular 1 ( In2).Solucin. Mediante la sustitucin de variables, transformemos osla inte gral en otra que tiene 1 y f como lmites de integracin.1+2,2-1 3 , t 3+1r-Entonces,Siz P di i 3 + 1 '-tAplicando la frmula de Chbishev calculemos la ltima integral, haciendo f=S: I / (I) A 11/ (0,707107) + / (0) + / (- 0,707107)1. -tPuesto quo/")-7071O713 + 0,7O7.O7-XWiOf-O-26i)752- , (01-5^ = 0,333333,on toncos:ijj arclg a.La frmula de Leibniz se ha obtenido en la suposicin de quo los limites de integracin a y b son finitos. En este caso la frmula do Leibniz tambin es vlida, aunque uno de los limites de integracin es infinito.J II. INTEGRACION DE UNA FUNCION COMPLEJA DE UNA VARIABLE REALEn el $ 4, cap. VII, hemos determinado una [uncin compleja de la variable real x:7 (x) = u (x) + iv (z)()y su derivada:7 (x) = u (x) + iv (x).(2)Definicin. La funcin F (x) = V (x) + iV (x) se llama primitiva de una funcin compleja de la variable real z, sir0). fesp.. 43. jj r eos jr dx (a>0).Calcular los valores aproximados de las intgralos: f x44. In5= \ -j- , segn la frmula de los trapecios y la do Simpson (n=-12). tRespuesta: 1,0182 (segn la frmula de los trapecios); 1,6098 (sogn lafrmula do Simpson). 45. j dx, segn !a frmula de los trapecios y la de tlSimpson frigio;, fespuesta: 3690; 3660. 46. Jr*dx, segn la frmulao3n rde los trapecios (n = 6). fespuesta: 0.8109. 47. \. segn la frmula1tode Simpson (n = 4). fespuesta: 0,81 ti. 48. J logtoxdx. segn la frmula |pllos traprcios y la do Simpson (o =10). fespuesta: 6,0656; 6,0896.tCalcular el valor de n. partiendo de la correlacin\ . * .4 J l-f 0aplicando la frmula de Simpson (n=10). fespuesta: 3,14159. n_21 dx, segn la frmula de. Simpson (n 10). fespuesta: 1,371oPartiendo de la igualdad e"axdx -~-t donde a>C, hallar el0valor de la integral J e~xxn dx, para /> 0. fespuesta: niooPartiendo do la igualdad_2 y;, . i P dln 1.3.5... (Zn 1),nleKr"' \ (r'+l)"' -Tdx. fesp. ln (1 +ct) (o> 1).O54. Utilizando la igualdad ^ x"- dxcalcular la integral0"- (ln x)* dx. fesp.: (- 1)*.CAPITULO XIICAPITULO XIIAPLICACIONES GEOMETRICAS Y MECANICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA( I. CALCULO DE AREAS EN COORDENADAS RECTANGULARESSi la funcin / (x) ^ 0 est en el segmento lo, 6|, entonces, como ya es sabido ( 2, cap. XI), el rea del trapecio curvilneo limitado por la curva y = / (x), el eje Ox y las rectas x = a y x b (fig. 210) es igual a:Si / (x) . la longitud de un radio vector correspondiente a un ngulo 0, cualquiera, comprendido entre 0(_, y 0,.Examinemos el sector circular de radio p( y ngulo central A9,. Su rea es igual a:A31 331La sumannQn= 2 ~p Se puedo demostrar que esta definicin del rea no contradice a la dada anteriormente: en otras palabras, calculando el rea del sector curvilneo mediante los trapecios curvilneos, obtenemos el mismo resultado.Ao'=4 2[/ _= j Vl+[/-(x)fdx= j yi + ^Jdx.(2)Introduzcamos la designacin:A.V, - 1 fr) - / (/) son funciones continuas que tienen derivadas continuas, sin quo q>' (t) se anula en el sogmento dado.En este caso, las ecuaciones (4) determinan cierta funcin y = / (x) continua, que tiene tambin derivada continua:dy_dx () 'ds dxSea a ' (/) sean continuas en todos los puntos de la curva.Ejemplo 2. Calcular la longitud de lo liipocicioide (astroide): x acos3/, p = oseu3/.Solucin, l'uesto que la curva es simtrica respecto a los dos ejes do coordenadas, calculemos, al principio, la longitud del segmento de esta curva dispuesta en el primer cuadrante. Hallamos:~ - 3a eos2 t son /, 3o sen21 eos t. dt dtEl parmetro t variar desde 0 hasta . Por tanto,n/2nr>^ sen= jj 1/9rt* eos- t sen2 t -f 9a2 sen-11 eos* t di ^ 3a jj l/cos* t sen-1 dtn/2son2 11"/- 3a3a \ sen l ros t dt=- $a '- - ~ ; s 6a.Observacin 3. Si tenemos una curva en el espacio, dada por ecuaciones paramtricasdonde, a ^ / ^ ji (vase 1, cap. IX), la longitud de su arco se determina (igual que para un are plano) como el lmite al cual tiende la longitud de la lnea quebrada inscrita, cuando la longitud de su eslabn ms grande tienda a cero. Si las funciones , t=iz': : :.m,+ m+ ... -f my y,miyt =++ + y-'- _(9)">, + "'2+ ... +mv ^ rn.Utilicemos estas frmulas, para buscar los centros de gravedad de diversos cuerpos y figuras.1. (.entro de gravedad de una curva plana. Supongamos que la ecuacin y ~ j (x), a ^ x 4i. k define una curva material .-IB.Sea y la densidad Por densidad lineal se entiende la masa de la unidad de longitud de la curva dada. Suponemos quo la densidad lineal es igual cn todos los puntos de la curva.) lineal de esta curva material. Dividamos la curva en n parle? de longitudes As,. A s=, .... As. Las masas de estas partes sern iguales a los productos de sus longitudes por la densidad (constante): Am, y As,. Tomemos un punto arbitrario de abscisa en cada parle de la curva As,. Representando cada parte de la curva As, como un punto material P, !;,, / (,)] de masa y As,, y, sustituyendo en las frmulas (1) y (2) x, e y, respectivamente por los valores y / (Si) asi como m, por el valor y As, (1a masa de la parte As,), obtenemos las frmulas aproximadas para determinar el centro de gravedad de la curva:^ _ 2 S.yAs,-^ y/(y y As,C~ 2vAs 'VyAs,Coordenadas del centro de gravedad236Coordenadas del centro de gravedad237Si la funcin y = / (x) os continua igual que su derivada, las sumas del numerador y del denominador de cada fraccin, para mx As, 0, tienen sus limites iguales a los limites de las sumas integrales correspondientes. De este modo, las coordenadas del centro de gravedad de la curva se expresan por las integrales definidas:b b Jxds jxVi r/'*(r) dx*c=-s=JLr-=(OJ dsJ j [M*)+/t '2nr,Ar,.En virtud de la frmula (f) el momento de inercia de su masa respecto al centro ser, aproximadamente, igual a( \./), s 2nr, \r,-rj = f2nr-J Ar,.El momento de inercia de todo el circulo, como el sistema de anillos, se expresar mediante la frmula:2nr?-Ar,.(7)1-1Pasando al limite, para mx Ar, -* 0, obtendremos el momentoFig. Mude inercia del rea del crculo respecto a su centro:Ry = 2n|r,dr = ji6~.(8)oDada la masa M del circulo, la densidad superficial 6 esIntroduciendo este valor en (8), obtenemos en definitiva:h=M -.(9)2Es evidente que si tenemos un cilindro recto de radio /? y masa A/, entonces su momento de inercia respecto al eje se expresar por la frmula (9).506Aplicaciones geomtricas y mecnicas lie la integral de/tnidaIljerriclos para ct captulo A'//505Ejercicios .para el capitulo XII504Ejercicios para el captulo XIIClculo de reasHallar ol rea de la figura limitada por las curvas y* 9z, p = 3x. fespuesta: .Hallar el rea du la figura limitada por la hiprbola equiltera xy = a2. eje Ox y rectas x=>a, 6 = 2a. fespuesta: a2 ln 2.Hallar el rea de la figura comprendida entre la curva y = 4 x*2y ol eje Ox. fespuesta: 10 -g- .Hallar el rea de la figura limitada por la hipocicloide xi*-\-y%l* = a*,%.3fespuesta: -g- na*.Hallar el rea de la figura limitada por la catenaria y = xx xX (ea -f- e ), ejes ox y Oy, y la recta j fespuesta: i).Hallar el rea de la figura limitada por la curva y x3, la recta y 8, y el eje Oy. fespuesta 12.Hallar el rea del campo limitado por una semionda de la senoide y el eje de abscisas, fespuesta: 2.Hallar el rea del campo comprendido entre las parbolas y* 2px,4x2 2py. fespuesta: p2.Hallar el rea total de la figura limitada por las curvas: y = x*, y = 2x, y x. fespuesta: ~ .Hallar el rea del campo limitado por un arco de la cicloide .i sa (ND 0 'J (Ieos/), y el eje de abscisas, fespuesta: 3 na2.Hallnr el rea de la figura limitada por la hipocicloide: x a eos*/,// - asen3/, fespuesta: -jj- na2.Hallar el rea total del campo limitado por la lemniscata p* = a*cos 2 Sra alrededor del eje Ox. Hallar la superficie dol cuerpo derevolucin, fespuesta: 2ab--\-2nab arc^n e ^donde e =b .aDiferentes aplicaciones de la integral definidaHallar el contro do gravedad del rea de una cuarta parte do laHallar el centro do gravedad do la figura limitada por la parbola *2-f4y 16 = 0 y el ejo Ox. Respuesta: ^0. ) .508Aplicaciones geomtricas y mecnicas lie la integral de/tnidaEjercicios .para el capitulo XII507Hallar el centro de gravedad del volumen de la semiesfera. Respues-3ta: en ol eje do simetra, a la distancia R de la base.Hallar el centro de gravedad de la superficie do la semiesfera. Respuesta: en el eje do simetra a la distancia de la base.Hallar el centro de gravedad de la superficie del cono recto circular que tiene radio de la base R y altura h. Respuesta: en el eje de simetra, a la dis-lnlas de la baso.Hallar el centro de gravedad do la superficie de la figura limitada por las lneas y = sen x (0 Hallar el centro de gravedad del rea de la figura limitada por las parbolas y3 = 20x, x* 20y. Respuesta: (9; 9).Hallar el centro de gravedad del rea de un sector circular quo tiene ngulo central 2a y radio R. Respuesta: en el eje de simetra, a la distancia sen a , . ... , .H del vrtice del sector.aHallar la presin que se ejerco sobro un rectngulo sumergido vorti- calmente en agua, si se conoce quo su base es 8 in, altura 12 m. La baso superior es paralela a la superficie libre del agua y se encuentra a una profundidad do 5 m. Respuesta: 1056 toneladas.El borde superior de una esclusa oue tiene forma do cuadrado, do lado igual a 8 m, se halla en la superfico del agua. Determinar la presin que se ejerce sobre cada uno de los tringulos de la esclusa. Los tringulos so obtienen medianto la divisin del cuadrado por una do sus diagonales. Respuesta: 85 333,33 kg. 170 666,67 kg.Calcular el trabajo necesario para bombear el agua de un recipiento somiesfrico cuyo dimetro es igual a 20 m. Respuesta: 2,5-10" nkgm.Un cuerpo so encuentra en movimiento rectilneo segn la ley x - cs, donde, x es la distancia recorrida durante el tiempo t, c const. La resistencia del medio es proporcional al cuadrado de la velocidad, siendo k ol coeficlento do proporcionalidad. Hallar el trabajo de la resistencia al desplazarse el cuerpodel punto x = 0 hasta ol x a. Respuesta: k\' c*a7 .Calcular el trabajo que es preciso gastar para bombear el liquido de densidad y, desdo un recipiente que tiene forma do cono con vrtice dirigidohacia abajo. II es la altura del cono, II es el radio do su base. Respuesta:.Una boya de madera quo tiene forma cilindrica flota sobro la superficie del agua. So conoco aun la altura H es 50 cm, el rea de su base S es igual a 4000 cm*. Qu tranajo so necesita para sacar la boya del agua? (El pesoy-fl-Sespecfico do la madera es 0,8). Respuesta: ' ^=32 kgm.Calcular la fuorza total que ojerco el agua sobro una presa on forma del trapecio equiltero cuya base superior es a - 6,4 m y la inferior, b = 4,2 m. La altura II es igual a 3m. Respuesta: 22,2 t.Hallar la componento axial P (kg) de la presin total del vapor que se ejerce sobre el fondo esfrico do una caldera. El dimetro do la parte cilindrica de la caldera es 1/ mm. La presin del vapor en la caldera es P kg/cm. n pr>*Kl extremo de un rbol vertical de radio r se apoya sobro un tejuelo plano. El peso /' del rbol so distribuye uniformemente por toda la superficie del apoyo. Calcular el trabajo total do las fuerzas de friccin durante una revolucin del rbol. El coeficiente do friccin es p. fespuesta: ~:ipPr.Un rbol vertical termina en una rangua en forma del cono truncado. 1.a presin especfica de ta rangua sobre el tejuelo es constante e igual u P. El dimetro superior de la rangua es D, ol inferior, d. El ngulo al vrtice del cono ea 2a. El coeficiente do friccin, p.Hallar el trabajo de las fuerzas do friccin en una revolucin del rbol.fespuesta: "a/>,i (J3-d=>). r 6 sen aUna varilla prismtica de longitud l os estirada con uno fuerza que aumenta lentamente uesde 0 basta P, du modo tal que a cada instante la fuerza so equilibra por las fuerzas do olasticidad de la varilla. Calclese el trabajo A de la fuerza do tensin, suponiendo quo el estiramiento se baya realizado on los lmites de elasticidad. Kl rea do la seccin transversal de la varilla os F. El mdulo de elasticidad del material es igual a E.Indicacin. Si x es el alargamiento do la varilla, y /. la fuerza aplicada FEcorrespondiente, tenemos: ]x. El alargamiento bajo ol efecto do laPlP&l P'1fuerza P es Ai -^r fespuesta: A - A una barra prismtica suspendida vorticalmente se le aplica una fuerza le tensin P en su oxtromo inferior. Calcular el alargamiento de la barra bajo la accin do su propio peso y la fuerza P, si so conocen el largo l de la barra en reposo, el rea de la seccin transversal /', el poso do la barra Q y el mdulo( 4-2P) lde elasticidad E del material, fespuesta: M - - .CrDeterminar el tiompo durante ol cual so verter el lquido de un recipiente prismtico lleno basta la altura II. El roa do la seccin transversal del recipiente es igual a F, el rea del orificio es /. La velocidad dol derramo so determina segn la frmula i> p'[/ 2gh, donde p es el coeficiento do viscocidad, g es la aceleracin por la fuerza do gravedad, h es la distancia del orificioal nivel de lquido, fespuesta: T = Determinar ol gasto Q del agua (cantidad do agua quo so derrama por unidad de tiempo) a travs do un vortodoro de seccin rectangular. La altura2 del vertedero es h, el ancho os b. fespuesta: Q = -^\ibh ~\/2gh.Determinar ol gasto do agua Q, quo se derrama por un orificio rectangular lateral, de altura a y ancho , si la altura do la superficio libre del agua, por arriba del bordo inferior del orificio, os II. fespuesta:INDICE ALFABETICO DE MATERIAS Aceleracin 126Angulo do contingencia 217Area 478-483do la superficie do revolucin 493de un cuerpo de rovolucin 492 Argumento 14intermedio 85del nmero complejo 242 Asntota 194Aslroide 108. 206, 486Binomio diferencial 408, \ \ 1 Bnormal 360Clculo aproximado de la integral definida 458-463 las races reales do las ecuaciones 233-236Clculo de lmites indeterminados146-148, 154 Cambio do variablo 379 Campo escalar 300de variacin 11 Cardioido 27, 238. 503. 506 Catenaria 491, 503, 505 Centro de curvatura 224 gravedad 496, 497 la vecindad 13Cicloide 107, 222. 228, 481. 503. 504 Crculo de curvatura 224 Circunferencia 25, 106, 218, 238. 447. 485Concavidad de la curva 188. 189 Constante absoluta It Convergencia absoluta de la integralimpropia 454 Convexidad y concavidad de la rurva188-189 Coordenadas polares 24 Coseno 20, 78. 163hiperblico 111, 114 Cotangente 20, 88Cotangente hiperblica 111. 114 Crecimiento y decrecimiento de lafuncin 167 Curva do Causs 192 Curvatura 216-223, 350, 360Dependencia funcional 14 Derivacin 71de los vectores 347-349 Derivada 70de la constante 79 funcin compuesta 85, 290 Derivada de la fraccin 83 funcin compleja 251 dada paramtricamento 109, 124implcita 91, 123, 293-296 inversa 96vectorial 342, 350logartmica 94do n-simo orden 120-121 parcial 277-279 do n-simo orden 296-300del^ producto 81segn una direccin 302de la suma 81total 292 Desarrollo 226Descomposicin de la fraccin racional en fracciones simples 392-397 Diferencial 114-118 del arco 216de la funcin compuesta 118de n-simo orden 122total 280de la variable independiente 115.283Dominio abierto 269cerrado 270do definicin (de existencia) de la funcin 14. 17. 269510Indice alfabtico de materias509Indice alfabtico de materiasEcuacin algebraica 233, 254binomia 248Ecuaciones paramtricas 104, 338 Ecuacin vectorial