Cálculo Diferencial e Integral - Luis Acuña - 2013

Cálculo diferenciale integral

M. Sc. Luis Alejandro Acuña P.

2013

Contenido

0 Calculo proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 “Y”, “o”, “no” y DeMorgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3 Proposiciones condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.4 Tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.5 Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Lımites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1 Lımites a partir de graficos o tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Lımites de polinomios y de funciones radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Lımites con funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Lımites infinitos y lımites al infinito a partir de graficos o tablas . . . . . . . . . . . . 211.5 Calculo de lımites infinitos y lımites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6 El teorema del encaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.7 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1 Derivadas por definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Reglas de derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3 Derivada como razon de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4 Reglas del producto y del cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.6 Funciones exponenciales y logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.7 Derivacion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.8 Derivacion logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.9 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1 Extremos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3 El Criterio de la segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4 Extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5 Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.5.1 Problemas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.5.2 Problemas de aumento/reduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.5.3 Problemas que involucran areas o volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5.4 Problemas en el plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4 Otras aplicaciones de las derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.1 La regla de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2 Asıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3 Trazo de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.4 Tasas de cambio relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5 Integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.1 La integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2 La integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.3 Integracion por sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6 Mas sobre integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.1 Fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.2 Funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.3 Sustitucion trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.4 Integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.5 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7 Temas adicionales sobre integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.1 Fracciones parciales con factores cuadraticos repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.2 La sustitucion u = tan(x/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.3 Sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.4 Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.5 Trabajo realizado por una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.6 Valor promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

A Sugerencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

B Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Cap

´

ıtulo 0

Calculo proposicional

0.1 Proposiciones

Una proposicion es una oracion que puede ser verdadera o falsa. Se acostumbra usar letras comop, q, r para denotar proposiciones. El valor logico de una proposicion es verdadero o falso (quedenotaremos con la letra V o la letra F, respectivamente).

Ejemplo 1

• Sea q la oracion “La altura del volcan Irazu sobre el nivel del mar es mayor que tres milmetros”. Esta oracion puede ser verdadera o falsa, de modo que es una proposicion.Su valor logico resulta ser verdadero.

• La oracion q: “El jugo de naranja se extrae de las vacas” tambien es una proposicion.Su valor logico es falso.

• La oracion s(x): “x2 = 9” es una proposicion cuyo valor logico es indeterminadomientras no se conozca el valor de x.

La notacion s(x) indica que la afirmacion depende de x (como la notacion f(x) parafunciones). La oracion s(1) dice “12 = 9” y es falsa. La oracion s(�3) dice (�3)2 = 9y es verdadera.

• Oraciones como “que calor hace”, “¿donde esta el bano?” o “pasenme la sal” no sonproposiciones.

Una proposicion universal es una de la forma “Para todo x en S, p(x)”, donde S es algun conjuntoy p(x) es alguna proposicion acerca de x. Se simboliza ası: “8x 2 S, p(x)”. Puede decirse “cada x” o“cualquier x” en vez de “todo x”.

Ejemplo 2

• La proposicion universal “8k 2 ZZ, 2k es par” es cierta (ZZ es el conjunto de los numerosenteros, y si k es un entero entonces 2k es un numero par). Aquı p(k) es la proposicion“2k es par”, que por sı solo no es verdadera ni falsa. Pero si k es un entero, p(k) esverdadera.

• En contraste con la anterior, la proposicion “8t 2 IR, 2t es par” es falsa. Es cierto que2t es par para algunos valores de t 2 IR, pero no para todos (por ejemplo, si t = 1.5entonces 2t = 3, que no es par).

2 Capıtulo 0. Calculo proposicional

• ¿Es cierta la proposicion q: “8y 2 IR, y2 � y”? En otras palabras, ¿la desigualdady2 � y se cumple para todo y 2 IR?

No bastan muchos ejemplos para comprobar la veracidad. Denotando p(y): “y2 � y”,es cierto que p(3): 32 � 3, p(0): 02 � 0, y p(�5): (�5)2 � �5 son verdaderas. Perohay excepciones.

Una excepcion a una proposicion universal se llama contraejemplo, y en este caso uncontrajemplo se da con y = 0.5: la proposicion p(0.5) dice que 0.52 � 0.5, lo cual esfalso. Entonces la proposicion universal q es falsa: la desigualdad q(y) no se cumplepara todo y 2 IR.

• La proposicion “8a, b 2 IR, a + b = b + a” es una proposicion universal verdadera.Aquı hay dos variables, a y b, y una proposicion p(a, b): a+ b = b+a. La proposicionp(a, b) es verdadera para todo a 2 IR y todo b 2 IR.

Una proposicion existencial es una de la forma “Existe algun x 2 S para el cual p(x)”, o equiva-lentemente, “Para algun x 2 S, p(x)”, donde S es algun conjunto y p(x) es alguna proposicion acercade x. Se simboliza ası: “9x 2 S, p(x)” (que se puede leer “existe un x en S tal que p(x)”).

Ejemplo 3

• “9n 2 ZZ, n2 = 5” dice que existe algun n, en el conjunto de los enteros, tal quen2 = 5. Eso es, que algun numero entero elevado al cuadrado da 5. Esta es unaproposicion existencial falsa (no existe tal numero entero).

• Sea A2009

el conjunto de dıas en el ano 2009, y sea t(d): “Se registro un temblor enCosta Rica en el dıa d”. Entonces la proposicion existencial “9d 2 A

2009

, t(d)” esverdadera: existio algun dıa en el ano 2009 en que se registro un temblor en CostaRica. De hecho, hubo varios dıas en que se registraron temblores, pero una proposicionexistencial es cierta con solo que algun elemento del conjunto satisfaga la condicion.Sigue siendo cierta si varios elementos la satisfacen.

• “9z 2 IR, 8x 2 IR, x + z = x” dice que existe algun z 2 IR tal que para cualquierx 2 IR, z+x = x. Es cierto: sı existe tal z, y es igual a cero. El numero z = 0 cumpleque 8x 2 IR, x+ 0 = x.

• “8x 2 IR, 9y 2 IR, x + y = 0” es realmente una proposicion universal. Afirma quepara todo x 2 IR existe algun y 2 IR tal que x + y = 0. En efecto, para cualquierx 2 IR existe el numero y = �x tal que x+ (�x) = 0.

Determine si la oracion es una proposicion

1. Marte es mas grande que Venus.

2. Todos los cuadrados son rectangulos.

3. Salganse ya.

4. ¿A que hora sale el sol manana?.

5.

3

p64 = 8

6. El agua se evapora a 0�C.

7. Estudiar logica.

8. Algunos numeros racionales son enteros.

0.2. “Y”, “o”, “no” y DeMorgan 3

Simbolice la proposicion existencial o universal

9. Una de mis primas estudio medicina.

10. Algunas aves no pueden volar.

11. Un dıa en 1998 cayo nieve en el Irazu.

12. Hay una cancion de los Beatles que no llevabaterıa.

13. Todas las canciones de los Beatles soncantadas.

14. Todos sus companeros le dicen apodos.

15. Cada computadora portatil es un riesgo derobo.

16. Ningun humano puede vencer a Superman.

17. Hubo un dıa el mes pasado en que todos losalumnos de este grupo llegaron temprano.

18. Para cada y 2 IR existe un r 2 IR tal quer2 = y.

0.2 “Y”, “o”, “no” y DeMorgan

Si p y q son proposiciones, su conjuncion es p^ q, que se lee “p y q” o a veces “p pero q”. Es ciertasolamente si p y q son ciertas, como indica esta tabla:

p q p ^ q

V V VV F FF V FF F F

Ejemplo 4

La proposicion r: “Roberto lleva saco y corbata” puede descomponerse como la conjuncionde s: “Roberto lleva saco” con c: “Roberto lleva corbata”; es decir, r = s ^ c (r es iguala “s y c”). La proposicion r es cierta solamente si Roberto lleva saco y Roberto llevatambien corbata.

Si, por ejemplo, Roberto lleva saco pero no corbata, entonces s = V y c = F, y entoncesr = F (porque Roberto no lleva saco y corbata; solamente saco). En sımbolos, V ^ F = F.

La disyuncion de p y q es p _ q, que se lee “p o q”, y es cierta cuando al menos una de las dosproposiciones p y q (o ambas) es cierta. La tabla es

p q p _ q

V V VV F VF V VF F F


Ejemplo 5

Sea q: “Las tijeras estan en la gaveta o sobre la mesa”. Esta proposicion puede descompo-nerse como la disyuncion de g: “Las tijeras estan en la gaveta” con m: “Las tijeras estansobre la mesa”. En sımbolos, q = g _m (q es igual a “g o m”).

La proposicion q es cierta si alguna de las dos proposiciones g o m es cierta. Basta con queuna sea verdadera para que su disyuncion q = g _m sea cierta. Si g = V (las tijeras estanen la gaveta), entonces q sera cierta independientemente del valor de m. Simetricamente,si m = V entonces q sera cierta sin importar g. Y si tanto g como m son ciertas (las tijerasestan en la gaveta y tambien estan sobre la mesa, tal vez porque la gaveta esta sobre lamesa), entonces q tambien es cierta.

La unica forma de que q sea falsa es que tanto g como m sean falsas: si g = F (las tijerasno estan en la gaveta) y m = F (tampoco estan sobre la mesa) entonces q = F.

Si p es una proposicion, su negacion es ¬p (tambien se acostumbra denotarla ⇠ p, pero aquıusaremos la notacion ¬p).

La negacion de una proposicion p es la afirmacion de que p es falsa. Si el valor logico de p esverdadero entonces ¬p es falso, y si el valor de p es falso entonces ¬p es verdadero. En otros sımbolos,¬V = F y ¬F = V. Eso es lo que indica esta tabla:

p ¬pV FF V

Es claro que ¬(¬p) = p para cualquier proposicion p.

Ejemplo 6

• Si p: “Hoy es lunes” entonces ¬p: “Hoy no es lunes”. En un dıa lunes, p sera verdaderay ¬p sera falsa. En cualquier otro dıa de la semana, p sera falsa y ¬p sera verdadera.

• Si q: “Todas las vacas tienen cuatro patas” entonces ¬q: “No todas las vacas tienencuatro patas” o, en otras palabras, ¬q: “Hay alguna vaca que no tiene cuatro patas”.Si q fuera cierto, que todas las vacas tienen cuatro patas, entonces ¬q serıa falso (nohabrıa vacas que no tengan cuatro patas). Pero si q fuera falso, ¬q sera verdadero.

• Sea r: “Todos los estudiantes de universidades publicas se graduaron de colegiospublicos”. La proposicion r es falsa, ası que debe ser verdadera su negacion ¬r: “Hayestudiantes de universidades publicas que no se graduaron de colegios publicos”.

En sımbolos, usando UP = { estudiantes de universidades publicas } y cp(x): “x segraduo de un colegio publico”, podemos escribir

r : “8x 2 UP , cp(x)”

que es falsa, y¬r : “9x 2 UP , ¬cp(x)”

(existe algun estudiante de universidad publica que no se graduo de un colegio pu-blico), que es verdadera. De hecho, la negacion ¬cp(x) es cierta para muchos estu-diantes x 2 UP .

0.2. “Y”, “o”, “no” y DeMorgan 5

• Sea C = { conejos en el mundo }, y para un conejo x 2 C sea h(x): “x puede hablarespanol”.

Ahora sea s: “9x 2 C, h(x)”; es decir, existe algun conejo que habla espanol. Laproposicion s es falsa, y su negacion es verdadera: ¬s: “No existe ningun conejoque hable espanol”, o en otras palabras, “Todos los conejos no hablan espanol”. Asıvemos que la negacion de

s : “9x 2 C, h(x)”

es¬s : “8x 2 C, ¬h(x)”

En este ejemplo, note la diferencia entre la proposicion “todos los conejos no hablan espanol”,8x 2 C, ¬h(x), y la proposicion “no todos los conejos hablan espanol”, ¬[8x 2 C, h(x)]. En este casoparticular ambas son ciertas, pero note la diferencia entre “todas las vacas no tienen cuatro patas”(falso, porque algunas vacas sı tienen cuatro patas) y “no todas las vacas tienen cuatro patas” (cierto:algunas nacen con mas o menos, o pierden alguna).

La siguiente tabla indica como se simbolizan la negacion de una proposicion universal y la de unaproposicion existencial.

q ¬q8x 2 S, p(x) 9x 2 S, ¬p(x)9x 2 S, p(x) 8x 2 S, ¬p(x)

Leyes de DeMorgan

En el Ejemplo 4, note que la negacion de r: “Roberto lleva saco y corbata” es ¬r: “Roberto nolleva saco o no lleva corbata”. En sımbolos,

¬r = ¬(s ^ c) = (¬s) _ (¬c)

Y en el Ejemplo 5, la negacion de q: “Las tijeras estan en la gaveta o sobre la mesa” es ¬q: “Lastijeras no estan en la gaveta ni tampoco sobre la mesa”. En sımbolos,

¬q = ¬(g _m) = (¬g) ^ (¬m)

Las leyes de DeMorgan dicen que si p y q son proposiciones entonces

¬(p ^ q) = (¬p) _ (¬q) y ¬(p _ q) = (¬p) ^ (¬q)

Simbolice la proposicion y su negacion, y enuncie (en palabras) la negacion

19. Ayer llovio e hizo frıo.

20. Ese carro es blanco y no esta muy limpio.

21. No le gusto, y estaba caro.

22. Sandra viene manana o el viernes.

23. x es entero o positivo.

24. No voy en tren; voy en avion.

25. Esa obra es clasica o no es de este siglo.

26. El sujeto no estaba armado, pero llevaba


gorra o capucha.

27. Es nuevo, pero esta descompuesto o se legasto la baterıa.

28. n es entero o bien racional y positivo.

29. La modelo sera alta y delgada, o no seraelecta.

Enuncie (en palabras) la negacion

30. Una de mis primas estudio medicina.

31. Algunas aves no pueden volar.

32. Un dıa en 1998 cayo nieve en el Irazu.

33. Hay una cancion de los Beatles que no llevabaterıa.

34. Todas las canciones de los Beatles soncantadas.

35. Todos sus companeros le dicen apodos.

36. Cada computadora portatil es un riesgo derobo.

37. Ningun humano puede vencer a Superman.

38. Hubo un dıa el mes pasado en que todos losalumnos de este grupo llegaron temprano.

39. Para cada y 2 IR existe un r 2 IR tal quer2 = y.

0.3 Proposiciones condicionales

Una proposicion condicional, o implicacion, es una proposicion de la forma “Si p entonces q”o, equivalentemente, “p implica q”. Se simboliza p ! q. La proposicion p se llama antecedente ohipotesis, y q se llama consecuente o conclusion.

Ejemplo 7

En la proposicion r: “Si llueve me voy a mojar” tenemos la implicacion p ! q, donde lahipotesis es p: “Llueve”, y la conclusion es q: “Me mojo”.

En el caso de que llueve y me mojo, r es verdadera. Cuando no llueve y me mojo, tambienes verdadera. Pero note que si no llueve y no me mojo, tambien en ese caso r es verdadera.La unica forma de que r sea falsa es que llueva y no me moje.

La tabla de valores para p ! q es ası:

p q p ! q

V V VV F FF V VF F V

El unico caso en que p ! q es falso es cuando p = V y q = F, de modo que la negacion de p ! q es

¬(p ! q) = p ^ (¬q)

0.3. Proposiciones condicionales 7

Tomando la negacion de ambos lados de la igualdad anterior vemos que

¬(p ! q) = p ^ (¬q)¬[¬(p ! q)] = ¬[p ^ (¬q)]

(p ! q) = (¬p) _ (¬¬q)= (¬p) _ q

En resumen, p ! q es equivalente a (¬p) _ q.

Ejemplo 8

La proposicion r: “Perro que ladra, no muerde” puede simbolizarse ası:

8x 2 P, `(x) ! [¬m(x)]

donde P = { perros }, `(x): “x ladra” y m(x): “x muerde”.

Su negacion es

¬r = ¬[8x 2 P, `(x) ! ¬m(x)]

= 9x 2 P, ¬[`(x) ! ¬m(x)]

= 9x 2 P, [`(x) ^ ¬(¬m(x))]

= 9x 2 P, [`(x) ^m(x)]

= “Existe algun perro que ladra y muerde.”

El contrapositivo de la proposicion condicional p ! q es (¬q) ! (¬p). Las dos son equivalentes.El recıproco de p ! q es q ! p. Estas dos proposiciones no son equivalentes. Por ejemplo, aunque

la proposicion “si esta lloviendo, hay nubes en el cielo” sea cierta, su recıproco “si hay nubes en elcielo, esta lloviendo” puede ser falsa.

Ejemplo 9

Sea q: “Para ver esta pelıcula es necesario ser mayor de edad o venir acompanado porun adulto”. Denotando v: “ver esta pelıcula”, m: “ser mayor de edad” y a: “veniracompanado por un adulto”, podemos simbolizar

q = v ! (m _ a)

El recıproco de q es (m_ a) ! v, que claramente no es equivalente: enuncia que si alguienes mayor de edad o viene acompanado por un adulto, entonces ve la pelıcula (falso aunqueq sea cierto; tal vez la persona ni siquiera entre al cine).

El contrapositivo de q es

¬(m _ a) ! (¬v) = (¬m ^ ¬a) ! (¬v)

que dice que si alguien no es mayor y no viene acompanado por un adulto, entonces no vela pelıcula. Esto sı es equivalente a q.


Determine si la implicacion es verdadera o falsa, enuncie su recıproco y determinesi es verdadero o falso

40. Si x 2 IR y x > 0 entonces x2 > 0.

41. Si n = 5 entonces n3 = 25.

42. Si t2 = 9 entonces t = 3 (donde t es un numero real).

43. Si t = 3 o t = �3, entonces t2 = 9 (donde t es un numero real).

44. Si hoy es lunes entonces los bancos abren normalmente hoy.

45. Si el hielo es solido, el vapor es gaseoso.

46. Si los perros vuelan, los caballos tambien vuelan.

47. Si todos los cuadrados son rectangulos, todos los triangulos son redondos.

48. Si la Tierra es plana, hay vida en la Tierra.

Simbolice la proposicion y enuncie el contrapositivo

49. Si lo detienen le van a poner una multa.

50. Si no le gusta, lo devuelve.

51. Puede llevarselo si trae efectivo o tarjeta decredito.

52. Si llego tarde y no traigo excusa, no podrehacer el quiz.

53. Si se gradua, van a comprarle un carro yllevarlo de viaje.

54. Si se apura, llegara de primera o desegunda.

55. Todos los dıas que hay rayos, se va la luz.

56. Las personas menores de edad no pagan.

0.4 Tablas de verdad

Una tabla de verdad es una tabla (como las que ya hemos visto) que enumera cada combinacionposible de valores logicos de una o varias proposiciones basicas, junto con los valores de algunascombinaciones de ellas.

Ejemplo 10

Construir una tabla de verdad para (p ! q) ^ q, donde p y q son dos proposiciones.

Como hay dos proposiciones basicas (p y q), cada una con dos valores posibles, entonceshay cuatro combinaciones de valores. La tabla tendra una fila para cada combinacion.Vamos a incluir una columna para p y una para q, luego una para el resultado intermedio(p ! q) y una para el resultado final (p ! q) ^ q.

0.4. Tablas de verdad 9

p q p ! q (p ! q) ^ q

V V V VV F F FF V V VF F V F

Una tautologıa es una proposicion que siempre es verdadera. Por ejemplo, p ! p es una tautologıa,porque es verdadera independientemente del valor logico de p (V ! V y tambien F ! F).

Se pueden usar tablas de verdad para demostrar tautologıas, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 11

Demostrar que ¬p _ (q ! p) es una tautologıa.

Una tabla de verdad para esa proposicion es

p q ¬p q ! p ¬p _ (q ! p)V V F V VV F F V VF V V F VF F V V V

Todos los valores en la ultima columna son V (verdadero), lo cual indica que ¬p_ (q ! p)es verdadero para cualquier combinacion posible de valores de p y q. Es decir, es unatautologıa.

Tambien se puede usar una tabla de verdad para demostrar la equivalencia entre dos proposiciones(dos proposiciones son equivalentes si siempre tienen el mismo valor de verdad).

Ejemplo 12

Demostrar que (p ! q) ^ (p ! r) es equivalente a p ! (q ^ r).

Esta tabla tendra ocho lıneas, porque para tres proposiciones basicas (p, q y r) hay ochocombinaciones de valores1. Vamos a incluir una columna para cada resultado intermedio,(p ! q), (p ! r) y (q^r), y una para cada resultado final, (p ! q)^(p ! r) y p ! (q^r).

p q r (p ! q) (p ! r) (q ^ r) (p ! q) ^ (p ! r) p ! (q ^ r)V V V V V V V VV V F V F F F FV F V F V F F FV F F F F F F FF V V V V V V VF V F V V F V VF F V V V F V VF F F V V F V V

1

En general, para n proposiciones habra 2

ncombinaciones de valores.


Comparando los valores en las ultimas dos columnas, concluimos que las dos proposicionesdadas son equivalentes.

Haga una tabla de verdad

57. (¬x) ^ y

58. p ! (¬q)

59. ¬[p _ (¬q)]

60. (¬x) ^ (x ! y)

61. x ^ [y _ (¬z)]

62. (a ! b) ^ (b ! c)

Use una tabla de verdad para determinar si es una tautologıa

63. a ! (a _ b)

64. y _ (z ! y)

65. z _ (z ! y)

66. [p ^ (p ! q)] ! q

67. (x ! y) _ (y ! x)

68. [a ! (¬b)] _ (a ^ b)

69. [p ^ (q ! r)] ! (r ! q)

70. [(x ! y) _ z] _ [x ^ ¬(y _ z)]

Use una tabla de verdad para determinar si son equivalentes

71. ¬(a ^ b) y (¬a) _ (¬b)

72. ¬(p _ q) y (¬p) ^ (¬q)

73. a ! b y (¬a) _ b

74. (¬x) ! y y x _ y

75. (p ! r) ^ (q ! r) y (p _ q) ! r

76. x ^ (y _ z) y (x ^ y) _ (x ^ z)

77. x _ (y ^ z) y (x _ y) ^ (x _ z)

78. ¬[p ^ (q ! r)] y (p ! q) ^ [p ! (¬r)]

0.5 Demostraciones

Una demostracion es un razonamiento que lleva de una serie de premisas (o hipotesis) a unaconclusion. Se puede considerar que una demostracion es una sucesion de inferencias, en la que cadainferencia es un paso basico en el razonamiento.

Hay muchas reglas de inferencia. Veamos seis de las mas importantes. En la notacion de la columnaderecha, las premisas o hipotesis se enumeran una en cada renglon, y debajo de una lınea horizontalse enuncia la conclusion.

0.5. Demostraciones 11

Modus ponens (MP — modo afirmativo): si se supone una implicaciony se supone su antecedente, entonces se concluye el consecuente.

1. p ! q2. p

q

Modus tollens (MT — modo negativo): si se supone una implicaciony se supone que la conclusion es falsa, se deduce que el antecedente esfalso.

1. p ! q2. ¬q

¬p

Silogismo disyuntivo (SD): si se supone la disyuncion de dos proposicio-nes y la negacion de una de ellas, se deduce la otra.

1. p _ q2. ¬p

q

Silogismo hipotetico (SH): en pocas palabras, dos implicaciones se pue-den concatenar (unir en una cadena).

1. p ! q2. q ! r

p ! r

Simplificacion (S): si se supone la conjuncion de dos premisas, se con-cluye cualquiera de ellas.

1. p ^ q

p

Amplificacion (A): si se supone una premisa, se concluye la disyuncionde esa premisa con cualquiera otra proposicion.

1. p

p _ q

Adjuncion (Ad): si se suponen dos premisas, se concluye la conjuncionde ambas.

1. p2. q

p ^ q

Ejemplo 13

A partir de las tres premisas

(¬p _ ¬q) ! (r ^ s), (r ! t) y (¬t)

demostrar la conclusion q.

Si numeramos las premisas como 1, 2 y 3, vemos que se puede aplicar MT a 2 y 3 paraconcluir ¬r.

La premisa 1 habla de (r^s). Es claro que si r es falso, (r^s) tambien es falso, aunque notenemos una regla que lo diga. De todos modos podemos usar DeMorgan: ¬(r^s) = (¬r)_(¬s). Como ya tenemos (¬r) por el parrafo anterior, aplicando A llegamos a (¬r) _ (¬s),que acabamos de decir que es equivalente a ¬(r ^ s).

Ahora, combinando esto con la premisa 1, la regla MT concluye ¬(¬p _ ¬q).

El siguiente esquema sintetiza lo que acabamos de decir y el resto de la demostracion (noteque despues de la lista de premisas continuamos numerando cada inferencia):


1. (¬p _ ¬q) ! (r ^ s)2. r ! t3. ¬t4. ¬r MT 2, 35. (¬r) _ (¬s) A 46. ¬(r ^ s) DeMorgan 57. ¬(¬p _ ¬q) MT 1, 68. p ^ q DeMorgan 79. q S 8

con lo cual esta demostrada la conclusion q.

Demuestre

79. 1. a ^ b2. c ! (¬b)

¬c

80. 1. x ^ z2. (¬x) _ y

y _ (¬z)

81. 1. p _ q2. q ! r3. ¬r

p

82. 1. z2. x ! (¬y)3. z ! y

¬x

83. 1. p _ (¬q)2. r ^ q

p ^ r

84. 1. (a _ d) ! (¬c)2. c ^ b

¬d

Cap

´

ıtulo 1

Lımites y continuidad

1.1 Lımites a partir de graficos o tablas

A veces sucede que, aunque una funcion f no este definida en un punto x = a, los valores dey = f(x) se acercan a un lımite L conforme x se acerca a a. En ese caso se dice que L es el lımite def(x) cuando x tiende a a, y se escribe

limx!a

f(x) = L

Otra forma de expresar lo mismo es diciendo que f(x) tiende a L cuando x tiende a a, o ensımbolos, que f(x) ! L cuando x ! a.

Ejemplo 1

La funcion f(x) =x3 � 25x

x� 5no esta definida en x = 5, pero para x cercano a 5 podemos

observar los siguientes valores de la funcion:

x 4 4.5 4.9 4.999 5 5.001 5.1 5.5 6f(x) 36 42.75 48.51 49.985 6 9 50.015 51.51 57.75 66

Graficamente,

35

40

45

50

55

60

65

70

4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6

Es claro, tanto en la tabla de valores como en el grafico, que entre mas se acerca x a 5,mas se acerca f(x) a 50, aunque f(5) no es 50. En sımbolos, escribimos que f(x) ! 50cuando x ! 5, o bien que lim

x!5

f(x) = 50.

14 Capıtulo 1. Lımites y continuidad

Para hablar del lımite de una funcion en un punto no es necesario que la funcion este indefinidaallı. Si la funcion f esta definida en x = a, es usual que lim

x!a

f(x) = f(a), aunque hay excepciones.Vea los dos ejemplos que siguen.

Ejemplo 2

La funcion h(t) = t+5 esta definida en t = 3 y, como vemos en la siguiente tabla, su lımiteallı es lim

t!3

h(t) = 8 = h(3):

t 2.5 2.9 2.999 3 3.001 3.1 3.5h(t) 7.5 7.9 7.999 8 8.001 8.1 8.5

Ocasionalmente, una funcion f puede tener lımites distintos en los dos lados (izquierdo y derecho)del punto x = a. En ese caso se habla de lımites laterales , que se denotan

limx!a

�f(x) y lim

x!a

+

f(x)

y se llaman lımite por la izquierda y lımite por la derecha (o lımite cuando x tiende a a por la izquierday por la derecha), respectivamente. El lımite general de la funcion (tambien llamado lımite bilateral)existe solamente si ambos lımites laterales existen y son iguales.

Ejemplo 3

La funcion

f(x) =

8<

:x� x2 si x 2

x

9� x2si x > 2

esta definida en dos trozos alrededor de x = 2. Calculemos los lımites laterales de f cuandox ! 2.

–2

–1

0

0.4

1

2

1 2 3

1.1. Lımites a partir de graficos o tablas 15

Para el lımite por la izquierda, limx!2

� f(x), necesitamos usar la formula f(x) = x� x2,que se aplica cuando x es menor que 2. No necesitamos una tabla de valores para evaluarel lımite: es claro que si x se acerca a 2 entonces x � x2 se acercara a 2 � 22. Entonceslim

x!2

� f(x) = 2� 22 = �2.

Por la derecha, para calcular limx!2

+ f(x), vamos a usar la formula f(x) = x/(9 � x2),para x mayor que 2. Tambien ahora podemos evaluar el lımite sustituyendo: si x ! 2+,entonces x/(9� x2) tiende a 2/(9� 22) = 2/5. Entonces lim

x!2

+ f(x) = 2/5 = 0.4.

En resumen, los lımites cuando x ! 2 son �2 por la izquierda y 0.4 por la derecha. Comoson distintos, no existe el lımite bilateral cuando x ! 2.

El ejemplo anterior ilustra que, aunque una funcion este definida en un punto, su lımite en esepunto puede no ser igual al valor de la funcion. En efecto, en el ejemplo se tiene f(2) = �2, perolim

x!2

f(x) no es �2 (de hecho, el lımite no existe). Vea la definicion de continuidad en la pagina 30.

Estime a partir del grafico

y = f(x)

�1 1

1

2b�

r b-

1. limx!1

f(x)

2. limx!0

f(x)

3. limx!�1

+

f(x)

4. limx!�1

�f(x)

y = g(t)

�3 3

3rH

HHHHHb

r

b@

@@

@@@brAAAAAArb��

�br

5. limt!�3

+

g(t)

6. limt!�1

�g(t)

7. limt!�1

+

g(t)

8. limt!1

�g(t)

9. limt!1

+

g(t)

10. limt!2

�g(t)

11. limt!2

+

g(t)

12. limt!3

�g(t)


Complete la tabla de valores para estimar el lımite

13. limx!2

2x2 � 6x+ 4

4� x2x 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1

f(x) �.4962 �.5004 �.5366

14. limt!�5

t2 � 25

t+ 5t �5.1 �5.01 �5.001 �4.999 �4.99 �4.9

f(t) �10.01 �9.9

15. limw!3

pw � 2� 1

w � 3w 2.9 2.99 2.999 3.001 3.01 3.1

f(w) 0.5132 0.5001 0.4881

16. limy!�1

2�p5 + y

1 + y

y �1.1 �1.01 �1.001 �0.999 �0.99 �0.9f(y) �.2502 �.2498

17. limt!0

sen t

t(con t en radianes)

t �0.1 �0.01 �0.001 0.001 0.01 0.1f(t) 0.9983

18. limy!4

�

1� e4�y

4y � y2y 3.9 3.99 3.999 3.9999

f(y) �0.2519

19. limt!0

+

t ln tt 0.0001 0.001 0.01 0.1

f(t) �.0069

Haga una tabla de valores para estimar el lımite

20. limy!1

ln y

1� y

21. limx!0

x

1� ex

22. limx!0

�x e1/x

23. limt!e

e� t

1� ln t

24. limt!0

(1 + t)2/t

25. limx!0

2x � 1

x

1.2 Lımites de polinomios y de funciones radicales

Si f(x) es una combinacion (suma, resta, producto, cociente o composicion) de polinomios, raıces,logaritmos y exponenciales, entonces lim

x!c

f(x) = f(c) siempre que f(c) este definido.

Ejemplo 4

Para calcular limt!3

t2 � 4tp4t+ 1

notamos que la expresiont2 � 4tp4t+ 1

es una combinacion de poli-

nomios y raıces, y que esta definida en t = 3. Entonces el lımite es

limt!3

t2 � 4tp4t+ 1

=(3)2 � 4(3)p

4(3) + 1=

�3p13

1.2. Lımites de polinomios y de funciones radicales 17

Si f(x) es una combinacion de polinomios, raıces, logaritmos y exponenciales, pero f(c) no estadefinido, entonces para calcular lim

x!c

f(x) a veces es posible simplificar f(x) de modo que la formasimplificada se pueda evaluar en c, como en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 5

Para calcular limw!�1

w2 � 1

w + 1, notemos que la expresion

w2 � 1

w + 1no esta definida en w = �1.

Pero podemos factorizar y simplificar para aplicar el principio del ejemplo anterior:

limw!�1

w2 � 1

w + 1= lim

w!�1

(w + 1)(w � 1)

w + 1

= limw!�1

w � 1 = (�1)� 1 = �2

Ejemplo 6

Para limy!9

py � 3

y � 9, como no es posible evaluar en y = 9, necesitamos racionalizar el nume-

rador antes de simplicar:

limy!9

py � 3

y � 9= lim

y!9

py � 3

y � 9·py + 3

py + 3

= limy!9

y � 9

(y � 9)(py + 3)

= limy!9

1py + 3

=1

6

Calcule

26. limt!�2

t2 + 3t

27. limz!3

p1 + z3

28. limy!5

2yp2y3 + 6

29. limh!4

h2

h2 � 9

30. limx!3

f(x), donde

f(x) =

(2x� 3 si x < 3

4� x si x � 3

Calcule para g(x) =

8><

>:

x

2 � 5 si x �1

3x+ 2 si �1 < x < 1

4x2 + 2x si x � 1

31. g(�1)

32. limx!�1

�g(x)

33. limx!�1

+

g(x)

34. limx!�1

g(x)

35. g(1)

36. limx!1

�g(x)

37. limx!1

+

g(x)

38. limx!1

g(x)

39. g(0)

40. limx!0

�g(x)

41. limx!0

+

g(x)

42. limx!0

g(x)


Simplifique cada expresion y calcule su lımite

43. limt!�1

2t2 � t� 3

t+ 1

44. limx!�2

2x+ x2

2 + x

45. limy!1

y2 + 3y � 4

y � 1

46. limw!3c

cw2 � 3c2w

w2 � 9c2

47. limx!3

2x2 � 5x� 3

x3 + 5x� 3x2 � 15

48. limh!0

3h2 � 5h

4h

49. limy!4

y � 4py � 2

50. limy!k

2

y � k2py � k

, con k > 0

51. limx!3

3x� x2

1 +p1 + x

52. limt!5/2

4�p2t+ 11

2t� 5

53. limy!�2

py + 6 + y

y + 2

54. limu!a

2pu+

pa

4u� a

55. limp!1

p3 + p2 � 2

2�pp+ 3

56. limv!2

v � 23

p4v � 2

57. limt!�1

t2 + t3

p2t+ 1 + 3

pt+ 2

58. limu!�2

3u+ 6

1� 6

pu+ 3

59. limw!3

w � 35

p9w + 5� w + 1

60. limz!0

3

p5z + 1� 4

p5z + 1

z

1.3 Lımites con funciones trigonometricas

Ası como en la seccion anterior, si f(x) es una combinacion de funciones trigonometricas, entonceslim

x!c

f(x) = f(c) siempre que f(c) este definido. Tambien, si f(c) esta indefinido, a veces es posibblesimplificar f(x) para que la forma simplificada se pueda evaluar en c.

Ejemplo 7

Para calcular lim✓!⇡/2

cos(✓ � ⇡/6)

2� sen ✓basta con evaluar inmediatamente en ✓ = ⇡/2:

lim✓!⇡/2

cos(✓ � ⇡/6)

2� sen ✓=

cos(⇡/2� ⇡/6)

2� sen(⇡/2)=

cos(⇡/3)

2� 1=

1

2

Ejemplo 8

Al calcular limy!⇡

1 + cos y

tan yno es posible sustituir y = ⇡ porque el resultado serıa 0/0.

Debemos simplificar primero, y para eso podemos usar la idea de racionalizar que vimos

1.3. Lımites con funciones trigonometricas 19

en la seccion anterior. Como (1+cos)(1�cos) = 1�cos2 = sen2, empecemos por multiplicarnumerador y denominador por (1� cos y):

limy!⇡

1 + cos y

tan y= lim

y!⇡

(1 + cos y)(1� cos y)

tan y (1� cos y)= lim

y!⇡

1� cos2 y

tan y (1� cos y)

= limy!⇡

sen2 ysen y

cos y(1� cos y)

= limy!⇡

sen2 y cos y

sen y (1� cos y)

= limy!⇡

sen y cos y

1� cos y=

sen⇡ cos⇡

1� cos⇡=

0

2= 0

En otros casos habra que basarse en alguno de los siguientes lımites.

• limx!0

senx

x= 1 • lim

x!0

1� cosx

x= 0 • lim

x!0

1� cosx

x2=

1

2

Ejemplo 9

Calcular limz!1/2

6z � 3

sen(1� 2z).

Notemos primero que no es posible sustituir z = 1/2 porque eso nos llevarıa al resultado0/0, y tampoco hay nada que se pueda simplificar. Pero notando que el numerador es iguala �3(1 � 2z), hacemos el cambio de variable w = 1 � 2z, que tiende a 0 cuando z ! 1/2(porque w = 1� 2z ! 1� 2(1/2) = 0). Entonces tenemos

limz!1/2

6z � 3

sen(1� 2z)= lim

z!1/2

�3(1� 2z)

sen(1� 2z)= lim

w!0

�3w

senw= �3 lim

w!0

w

senw

= �3 limw!0

⇣senww

⌘�1

= �3(1)�1 = �3

Ejemplo 10

Calcular L = limt!0

cos t� 1

2t tan t.

De nuevo, no es posible evaluar sustituyendo t = 0. Sı serıa util multiplicar numerador ydenominador por (cos t+1), siguiendo la idea del Ejemplo 8 (hagalo usted como ejercicio),pero investiguemos aquı otra opcion.

Al escribir tan = sen / cos en el denominador, y multiplicar extremos y medios, llegamos a

L = limt!0

cos t� 1

2t tan t= lim

t!0

(cos t� 1) cos t

2t sen t


Esta fraccion sigue siendo de la forma 0/0 al sustituir t = 0, pero note que el cos t en elnumerador y el 2 en el denominador no son parte de este problema. Podemos separarlos yescribir

L = limt!0

cos t

2limt!0

cos t� 1

t sen t=

1

2limt!0

cos t� 1

t sen t

Multiplicando numerador y denominador por t, y separando en dos fracciones, obtenemos

L =1

2limt!0

(cos t� 1)t

t2 sen t=

1

2limt!0

cos t� 1

t2limt!0

t

sen t=

1

2· �1

2· 1 =

�1

4

Calcule

61. limy!⇡/4

y � 2 sen y

62. limx!⇡/6

sec 2x

63. lim�!5⇡/6

3 sen� � 2 cos�

64. limt!�4⇡/3

sen t

t

65. limw!�⇡/4

tanw

4w

66. limw!⇡/2

cosw

cotw

67. limw!⇡/4

senw � cosw

1� tanw

68. lim�!⇡

sen2 �

1 + cos�

69. limx!⇡/2

cotx cosx

1� senx

70. lim✓!0

sen2 ✓

✓

71. limt!0

t cot t

cos t

72. limr!0

3r

sen r

73. lim�!0

sen 5�

�

74. limv!1

v � 1

sen(1� v)

75. limz!0

5 sen2(3z)

2z2

76. lim↵!0

↵ csc(⇡↵)

77. limv!⇡/2

sen(cos v) sec v

78. limt!0

sen tpt

79. limy!1

y2 � 1

sen(⇡y)

80. limr!1

(1� r) tan(⇡r/2)

81. limy!0

cos y � cos2 y

y

82. limu!0

8u2

1� cos 2u

83. lim✓!0

sec ✓ � 1

✓

84. lim↵!⇡

1� sen(↵/2)

⇡ � ↵

85. limx!�⇡/6

tan(x+ ⇡/6)

6x+ ⇡

86. limz!0

cos z � 1

sen z

87. lim↵!0

sen 6↵

tan 5↵

1.4. Lımites infinitos y lımites al infinito a partir de graficos o tablas 21

88. limr!0

r sen r

cos r � 1

89. lim↵!0

(1� cos↵) cot↵

90. limh!0

sen(x+ h)� senx

hcon x constante

91. limh!0

cos(x+ h)� cosx

hcon x constante

92. limu!a

senu� sen a

u� acon a constante

93. limu!a

cosu� cos a

u� acon a constante

1.4 Lımites infinitos y lımites al infinito a partir de graficos o tablas

Cuando f(x) crece sin cota cuando x ! a, se dice que f(x) tiende a infinito: f(x) ! 1, o en otrossımbolos, lim

x!a

f(x) = 1. Si f(x) decrece sin cota, entonces f(x) ! �1, o limx!a

f(x) = �1. Encualquiera de los dos casos, esto es lo que se considera un lımite infinito.

Ejemplo 11

Calcular limr!�4

5r

r + 4.

La tabla de valores y el grafico son ası:

r �4.5 �4.1 �4.001 �4.00001f(r) 45 205 20005 2000005

(por la izquierda)

r �3.99999 �3.999 �3.9 �3.5f(r) �1999995 �19995 �195 �35

(por la derecha)

–40

–30

–20

–10

510

20

30

40

–12 –8 –4 4 8 12

En ellos vemos, de distintas maneras, que cuando r ! �4 por la izquierda, f(r) crece sincota, hacia 1, y que cuando r ! �4 por la derecha, f(r) decrece sin cota, hacia �1.Entonces

limr!�4

�f(r) = 1 y lim

r!�4

+

f(r) = �1


Cuando es x el que crece o decrece sin cota (en sımbolos, x ! 1 o x ! �1), entonces se hablade un lımite al infinito.

Ejemplo 12

Con la misma funcion del ejemplo anterior, f(r) =5r

r + 4, veamos que sucede cuando

r ! 1.r 10 10000 1000000

f(r) 4.8077 4.9980 4.99998

La tabla confirma lo que muestra tambien el grafico del ejemplo anterior: limr!1

5r

r + 4= 5.

Estime a partir del grafico

y = f(v)

�4 �2 2 4

2

�2

�

6

? ??

-

94. limv!�1

f(v)

95. limv!1

f(v)

96. limv!�2

�f(v)

97. limv!�2

+

f(v)

98. limv!1

�f(v)

99. limv!1

+

f(v)

y = g(x)

�2 2

1

K

br

66

?

-

6

100. limx!�1

g(x)

101. limx!�2

�g(x)

102. limx!�2

+

g(x)

103. limx!�1

�g(x)

104. limx!�1

+

g(x)

105. limx!2

�g(x)

106. limx!2

+

g(x)

107. limx!1

g(x)

1.5. Calculo de lımites infinitos y lımites al infinito 23

Haga una tabla de valores para estimar el lımite

108. limy!0

+

ln y

1� y

109. lim✓!0

✓

cos ✓ � 1

110. limk!1

✓1 +

0.2

k

◆k

111. limx!0

+

x e1/x

112. limt!1

ln t

t

113. limu!0

u

1 + u� eu

114. limx!1

x ex

115. limx!�1

x ex

Dibuje el grafico de una funcion con las caracterısticas dadas

116. dom(f) = IR� {�3 }, f(�2) = 0, limx!�1

f(x) = 1, limx!�3

�f(x) = 1,

limx!�3

+

f(x) = �1, limx!1

f(x) = 1.

117. dom(g) = IR� { 0 }, limx!�1

g(x) = �1, limx!0

g(x) = �1, limx!1

g(x) = 1.

118. dom(h) = ]�1, 0] [ ]5,1[, limx!�1

h(x) = 1, limx!0

�h(x) = f(0) = 0, lim

x!5

+

h(x) = 1,

limx!1

h(x) = 1.

1.5 Calculo de lımites infinitos y lımites al infinito

Si en el lımite de un cociente, limx!c

f(x)

g(x), el numerador f(x) tiende a algun numero y el denominador

g(x) tiende a infinito (positivo o negativo), entonces el lımite es cero. En sımbolos, escribimos

a

±1 = 0 para cualquier a 2 IR.

Si el denominador g(x) tiende a cero y el numerador f(x) tiende a otro numero (distinto de cero),entonces el lımite es infinito positivo o infinito negativo. En ese caso basta con encontrar los signosde f(x) y g(x) para determinar el signo del resultado. Escribimos

a

0= ±1 para cualquier a 2 IR� { 0 }.

Otras propiedades utiles acerca de lımites al infinito son

1n =

(1 si n > 0

0 si n < 0y b1 =

(1 si b > 1

0 si 0 b < 1

logb

1 =

(1 si b > 1

�1 si 0 < b < 1y log

b

0 =

(�1 si b > 1

1 si 0 < b < 1


Ejemplo 13

En limy!2

1� y

2� yel denominador tiende a cero pero el numerador no: el lımite es de la forma

�1

0

. Entonces el lımite sera infinito, pero no sabemos si +1 o �1. Para eso necesitamosconocer los signos del numerador y del denominador.

El numerador, 1 � y, es claramente negativo cuando y ! 2 (porque tiende a �1), peroel denominador, 2 � y, puede ser positivo o negativo dependiendo de si y ! 2 por laizquierda o por la derecha (porque 2 � y ! 0). Entonces calculamos los lımites lateralespor separado:

limy!2

�

1� y

2� y=

�1

0+= �1

(donde 0+ denota una cantidad que tiende a cero pero es positiva), y

limy!2

+

1� y

2� y=

�1

0�= +1

Ejemplo 14

En el lımite limz!1

z

|1� z| , de la forma 1

0

, tenemos tambien un denominador que tiende a cero

y un numerador que tiende a otro numero. El lımite sera +1 o �1 dependiendo de lossignos. El numerador es positivo cuando z ! 1, y el denominador, aunque tiende a cero,no tiene ambiguedad de signo por el valor absoluto: el denominador es tambien positivosiempre. Por eso el lımite es 1

0

+

= +1 por ambos lados.

Si p(x) = an

xn + an�1

xn�1 + · · · y q(x) = bm

xm + bm�1

xm�1 + · · · son dos polinomios de grados

n y m respectivamente, entonces el lımite limx!±1

p(x)

q(x)puede calcularse tomando solo los terminos

principales (con grado mas alto) de cada polinomio:

limx!±1

p(x)

q(x)= lim

x!±1

an

xn

bm

xm

Ejemplo 15

Los lımites limt!1

5� 2t2

6t3 + t+ 1, limy!1

1� 4y + 3y2

6y � 5y2y lim

u!�1

2u5 + u2

u2 � 4se calculan ası:

• limt!1

5� 2t2

6t3 + t+ 1= lim

t!1

�2t2

6t3= lim

t!1

�1

3t=

�1

1 = 0

• limy!1

1� 4y + 3y2

6y � 5y2= lim

y!1

3y2

�5y2= lim

y!1

3

�5= �3

5

• limu!�1

2u5 + u2

u2 � 4= lim

u!�1

2u5

u2= lim

u!�12u3 = 2(�1)3 = 2(�1) = �1


Para calcular otros lımites al infinito que involucran potencias de la variable, puede ser util facto-rizar la potencia mas alta de la variable en cada parte de la expresion.

Ejemplo 16

Para calcular limv!1

v�p

3v2 � 2, que tiene la forma indeterminada 1�1, puede sacarse

v2 como factor comun de la raız, y luego v como factor comun de la diferencia:

limv!1

v �p

3v2 � 2 = limv!1

v �pv2(3� 2v�2) = lim

v!1v � v

p3� 2v�2

= limv!1

v(1�p3� 2v�2) = 1(1�

p3 + 0) = �1

(el cero dentro de la raız se debe a que 2v�2 = 2/v2 ! 2/12 = 0, y el signo final se debea que 1�

p3 ⇡ �0.732 es negativo).

Es importante recordar quepx2 = |x| =

(x si x � 0

�x si x 0. En el ejemplo anterior, como v ! 1

entonces v > 0 ypv2 = v. Pero en el siguiente, donde x ! �1, tendremos

px2 = �x.

Ejemplo 17

Para limx!�1

p5x2 + x

2x+ 3se puede sacar x2 como factor comun de la raız, y x como factor

comun del denominador (note que ahorapx2 = |x| = �x porque x es negativo):

limx!�1

p5x2 + x

2x+ 3= lim

x!�1

px2(5 + x�1)

x(2 + 3x�1)= lim

x!�1

�xp5 + x�1

x(2 + 3x�1)

= limx!�1

�p5 + x�1

2 + 3x�1

=�p5 + 0

2 + 0=

�p5

2

Ejemplo 18

Para calcular limt!1

3 + 0.7t

4 + 2�t

, encontremos primero los lımites de 0.7t y de 2�t.

El primero es inmediato: limt!1 0.7t = 0.71 = 0 (forma b1 con 0 b < 1). Para el

segundo tenemos dos opciones. Podemos decir que

limt!1

2�t = limt!1

✓1

2

◆t

= 0 (de nuevo b1 con 0 b < 1)

o que

limt!1

2�t = 2�1 =1

21=

1

1 (porque 21 = b1 con b > 1)

que tambien es igual a 0.

Estos calculos nos llevan a que limt!1

3 + 0.7t

4 + 2�t

=3 + 0

4 + 0=

3

4.


Calcule

119. limx!1

x2 + 3x

x� 1

120. limh!0

1� h

h

121. limx!3

2 + x+ x2

6 + x� x2

122. limt!0

2t� 1

t2 � t4

123. limh!�3

1

h2 � 9

124. limy!5

1

y� 2� y

(5� y)2

125. limp!�1

p+ 2

ln(p+ 2)

126. limt!0

e�t

1� e�t

127. limc!4

+

r4c

c� 4

128. limr!�1

r2 � r3

p2r + 1 + 3

pr + 2

129. limp!�2

1�pp+ 3

(p+ 2)2

130. limt!5

��t� 6

t� 5

��

131. limx!5

|x� 2|� 3

1� |4� x|

132. limt!�2

t� 1

|t+ 2|

133. limu!3

1� u

|6� 2u|

134. limw!0

1� cosw

w3

135. limu!0

+

pu

senu

136. lim�!⇡/2

sen(cos�) sec2 �

137. limt!0

+

psen 3t

tan 2t

138. limy!1

(1� y2) csc2(⇡y)

139. limz!1

�log

8

(1� z)

140. limz!0

+

ln z

z

141. limr!0

+

1

ln(r2 + r)

142. limt!0

e1/t

143. limv!0

1

21/v

144. limx!�2

2.1(|x|�2)/(x+2)

145. lim✓!⇡/2

0.9sec ✓

146. limu!1

3� u

2u� 1

147. limx!�1

x+ 8

x2 � 5x+ 1

148. limx!�1

x2 � 4

x3 + 2x2 + x+ 2

149. limw!1

2w3 � 5w + 6

4� w3

150. limt!�1

2t3 + 1

7t3 + 2t+ 8

151. limz!1

4z + z2 � z3

5 + 2z2

152. limy!1

y2 � 1

3y + 6y3

153. limt!�1

4t2 � 6t+ 3

2t2 + 1+

3t+ 5

5t� 3

154. limy!�1

y3 � 2y + 1

y � 5+

y2 + 6

y2 � y

155. limr!1

1� r2

2 + r� 4r3 + r

2r2 � 5r + 3


156. limw!�1

w3

2 + w2

� 1� 6w2

3w + 4

157. limx!1

x2 + 1

x+ 9� x

158. limu!1

1� u

|6� 2u|

159. limy!�1

|3y � 5y2|2y � 9

160. limr!�1

3r + 2p4r2 � r + 1

161. limh!�1

h2 � 1p3h+ 5h4

162. limt!1

1�pt

1 +pt

163. limu!1

p2u� 5 + 1

1 + 3

p2u

164. limt!1

s4t2 � 5

t+ 9t2

165. limw!�1

2w � 3

w �p1� w

166. limy!�1

y3 +p

1 + y3 + y6

167. limu!1

2� u

2 +pu

168. limp!1

2p�pp2 + 1

169. limr!1

r �pr2 + 1

r + 6

170. limv!1

v + 1pv2 + 4

�pv2 + 4

2v � 1

171. limh!1

(2 + 1/h)h

172. limx!0

51/x

173. limq!1

eq � e�q

2

174. limt!1

ln(t2 � 4)� ln(4t2 + 1)

175. limu!1

u�1� sec(1/u)

�

176. limv!1

ln(2v + 5)

177. limu!1

log1/2

u2 � 5u

u+ 1

178. limw!1

log0.1

6w

w2 + 1

179. limy!1

1

ln(y2 + y)

180. limx!1

1

ln(x+ 1)� lnx

181. limx!1

1

lnx� ln(x+ 1)

182. limu!1

0.6u

183. limr!�1

0.6r

Resuelva

184. Cuando el precio unitario de un artıculo es x, el proveedor ofrece una cantidad S(x) =105x2

5x2 + 48de unidades por semana. ¿A cuanto se aproxima la oferta del proveedor cuando el precio tiendea infinito?

185. Una escalera de 8m de longitud esta apoyada sobre una pared. La base de la escalera se alejade la pared a 1m por segundo. Cuando la base esta a x metros de la pared, el extremo superior

de la escalera se desliza hacia abajo por la pared a una velocidad v =xp

64� x2m/s. Calcule


la velocidad a la que baja el extremo cuando la distancia de la base a la pared es 7m, a 7.9m,7.99m. ¿A cuanto tiende la velocidad del extremo cuando este esta a punto de tocar el piso?

186. Si el costo de producir q unidades de un producto es C(q) = 800 + 6q, y el costo promedio porunidad es C(q) = C(q)/q, ¿a cuanto tiende el costo promedio por unidad conforme el numerode unidades tiende a infinito?

187. La velocidad de un avion t minutos despues del despegue es v = 3003t+ 2

t+ 2en km/h. ¿Cual

es la velocidad en el momento del despegue? ¿Cual es la velocidad 10min despues? ¿A cuantotiende la velocidad conforme pasa el tiempo?

188. Para una cierta pelıcula, el ingreso total por taquilla n meses despues del lanzamiento esta dado

por la funcion I(n) =95n2

n2 + 3, en millones de dolares. ¿Cuanto es el ingreso total despues de dos

meses? ¿Despues de seis meses? ¿A cuanto tiende el ingreso total al largo plazo?

189. Se estima que el tiempo necesario para completar la construccion de un edificio es T (n) =6/(1 � 0.95n) en meses, donde n es el numero de trabajadores en el sitio. ¿A cuanto tiende eltiempo de construccion conforme el numero de trabajadores aumenta sin cota?

190. La suma de los angulos internos de un polıgono con n lados es (n � 2)180�. En un polıgonoregular todos los angulos internos miden igual. ¿A cuanto tiende la medida de cada angulointerno cuando el numero de lados tiende a infinito?

1.6 El teorema del encaje

Hay algunos lımites que no pueden calcularse evaluando, simplificando ni usando ningun metododirecto. Existe una herramienta mas para calcular estos lımites indirectamente, comparando con otros.Especıficamente, el Teorema del encaje dice que si f , g y h son tres funciones tales que

f(x) g(x) h(x) para todo x

y ademas

limx!c

f(x) = limx!c

h(x) = L para algun c

entonces

limx!c

g(x) = L

En palabras, si entre tres funciones una siempre es menor y otra siempre es mayor, y los lımitesde estas dos en algun punto c son iguales, entonces el lımite de la tercera funcion en el mismo puntotambien es igual. El “punto” c tambien podrıa ser infinito.

1.6. El teorema del encaje 29

c

L

y = h(x)

y = g(x)

y = f(x)

Ejemplo 19

Encontrar limr!1

2 + cos r

r.

Aquı no funciona sustituir r = 1 porque cos(1), o mas formalmente limr!1 cos r, no

existe (ni siquiera es infinito). Pero note que cos r, aunque no tiene lımite cuando r ! 1,al menos esta con toda seguridad entre �1 y 1 porque los resultados de la funcion cosenosiempre oscilan en ese intervalo. Entonces

�1 cos r 12� 1 = 1 2 + cos r 2 + 1 = 3

1

r 2 + cos r

r 3

r

para todo r > 0 (pero si fuera r < 0, la desigualdad se habrıa invertido al dividir por r enla tercera lınea).

Como limr!1

1

r= lim

r!1

3

r= 0, por el Teorema del encaje se concluye que lim

r!1

2 + cos r

r= 0.

En el ejemplo anterior, note que la desigualdad 1/r (2 + cos r)/r 3/r se cumple para r > 0,no para todo r 2 IR. Pero esto es suficiente, porque como el lımite que buscamos es cuando r ! 1,no importa que sucede para r 0.

Ejemplo 20

Encontrar limx!3

2 + (x� 3)2 sen

✓5

x� 3

◆.


Al sustituir x = 3 obtenemos la forma 2 + 0 sen(1), pero sen(1) no existe del todo. Deahı la dificultad para calcular este lımite en forma directa. Pero podemos comparar1:

�1 sen⇣

5

x�3

⌘ 1

�(x� 3)2 (x� 3)2 sen⇣

5

x�3

⌘ (x� 3)2

2� (x� 3)2 2 + (x� 3)2 sen⇣

5

x�3

⌘ 2 + (x� 3)2

para todo x (de hecho, las funciones en el grafico anterior son precisamente f(x) = 2 �(x� 3)2, g(x) = 2 + (x� 3)2 sen

⇣5

x�3

⌘y h(x) = 2 + (x� 3)2).

Entonces, como

limx!3

2� (x� 3)2 = limx!3

2 + (x� 3)2 = 2

se sigue que

limx!3

2 + (x� 3)2 sen

✓5

x� 3

◆= 2

Calcule

191. limz!0

z sen(1/z)

192. lim↵!0

1 + cos(↵� ⇡/2) cos(3/↵)

193. lim✓!⇡/2

p6✓ � 3⇡ sen

✓2

⇡ � 2✓

◆

194. limr!1

sen 4r

r

195. limv!�1

2 + cos v

v

196. limw!1

w + 2 senw

w

197. lim↵!�1

3

↵+ cos↵

198. limz!1

2z � 5 cos zpz

1.7 Continuidad

Una funcion f es continua en un punto a 2 IR si limx!a

f(x) = f(a). Note que esta igualdadimplica varias cosas: que existe el lımite por la derecha, que existe el lımite por la izquierda, que lafuncion esta definida en a, y que los tres valores son iguales. Los polinomios, las raıces, las funcionesexponenciales, las logarıtmicas y las trigonometricas son continuas en todo su dominio.

Si f y g son continuas en a, entonces f + g, f � g y f · g tambien son continuas en a; si ademasg(a) 6= 0 entonces tambien f/g es continua en a.

1

El paso de la primera a la segunda lınea se justifica multiplicando todo por (x � 3)

2

, que por ser positivo conserva

las desigualdades. De la segunda a la tercera lınea, se suma 2.

1.7. Continuidad 31

Ejemplo 21

La funcion f(x) =3x2 � 2x+ 1

x3 � 4xes un cociente de polinomios. Su numerador y su de-

nominador son continuos en todo IR, por lo que su cociente es continuo siempre que eldenominador sea distinto de 0. Los unicos puntos de discontinuidad de f son entonces lospuntos en que el denominador es 0:

x3 � 4x = 0 , x(x� 2)(x+ 2) = 0 , x = 0, 2,�2

Entonces f es continua en IR� { 0, 2,�2 }.

Si f esta definida en trozos entonces sus puntos de discontinuidad son los puntos de discontinuidadde cada trozo, y posiblemente los puntos donde se unen los trozos.

Ejemplo 22

La funcion h(t) =

(3t+ 5 si t > 2

2t2 � 2t+ 3 si t 2esta definida en dos trozos, cada uno de los

cuales es continuo en su dominio. El unico punto de posible discontinuidad es t = 2, dondelos trozos se unen. Como

limt!2

�h(t) = lim

t!2

�2t2 � 2t+ 3 = 7

y

limt!2

+

h(t) = limt!2

+

3t+ 5 = 11

son distintos, entonces limt!2

h(t) no existe, y h es discontinua en 2.

Determine si la funcion es continua en el valor dado de c

199. f(x) =4x� 8

x2 � 4en c = 2

200. h(t) =6t2 � 5t+ 1

3t2 � 18en c = 3

201. g(x) =

(8x� 5 si x < �1

10x� 2x2 si x � �1en c = �1

202. p(r) =

8><

>:

4� r si r < �1

4 si r = �1

2r + 7 si r > �1

en c = �1

203. y(x) =

(|4� x| si x > �5

|3x+ 6| si x < �5en c = �5

Determine el conjunto de valores de la variable donde la funcion es continua

204. h(t) =t� 3

t2 � 9205. g(y) =

y � 1py � 1


206. f(u) =

8<

:

1� u

1� u2si u 6= ±1

1/2 si u = ±1

207. p(u) =

8<

:

3u� 5

u+ 5si u 6= �5

4 si u = �5

208. f(x) =

(2x� 5 si x < 3

7� x si x � 3

209. r(t) =

8><

>:

6� t si t < �2

10 + t si �2 t < 1

5 + 6t si t > 1

210. q(t) =

8><

>:

t

t� 1si t < 0

t

t+ 1si t > 0

211. g(x) =

8<

:

x+ 5

x2 + 2xsi x < �1

x� 3 si x � �1

212. h(y) =

8>>>>>><

>>>>>>:

y2 � 1

y � 1si y < �1

1

y2 � 4si �1 < y < 3

2y2 � 9y + 4

y2 � 3y � 4si y � 3

Encuentre los valores de a y b para que la funcion sea continua en IR

213. f(p) =

(p4 si p 3

ap2 si p > 3

214. q(v) =

(v2 + 4v � 2b si v < �1

v2 si v � �1

215. p(x) =

(x2 � 1 si x < a

x+ 1 si x � a

216. g(t) =

8><

>:

2 si t �1

at+ b si �1 < t 3

�2 si t > 3

217. r(u) =

8><

>:

u+ 1 si u 0

u2 + a si 0 < u b

7� u si u > b

Cap

´

ıtulo 2

Derivacion

2.1 Derivadas por definicion

Si f es una funcion definida en un intervalo alrededor de a, entonces su derivada en a es f 0(a), lapendiente de la recta tangente al grafico de f en a. Dos formulas para calcular f 0(a) son:

f 0(a) = limx!a

f(x)� f(a)

x� ay f 0(a) = lim

h!0

f(a+ h)� f(a)

h

La primera formula es preferible si se conoce el valor de a. La segunda puede usarse para valoresindeterminados de a. Vea los ejemplos que siguen.

Si y = f(x), la derivada puede denotarse y0, f 0(x),dy

dxo

d

dxf(x).

Ejemplo 1

Si g(t) =p5� t entonces su derivada en a = 1 es (usando la primera formula porque

conocemos el valor de a)

g0(1) = limt!1

g(t)� g(1)

t� 1= lim

t!1

p5� t�

p5� 1

t� 1

= limt!1

p5� t� 2

t� 1·p5� t+ 2p5� t+ 2

= limt!1

(5� t)� 4

(t� 1)(p5� t+ 2)

= limt!1

(1� t)

(t� 1)(p5� t+ 2)

= limt!1

�1p5� t+ 2

=�1p4 + 2

=�1

4

Ejemplo 2

Si f(x) = x2 � 3x, entonces su derivada en cualquier valor de x es (usando la segundaformula)

f 0(x) = limh!0

f(x+ h)� f(x)

h= lim

h!0

[(x+ h)2 � 3(x+ h)]� [x2 � 3x]

h

= limh!0

[x2 + 2xh+ h2 � 3x� 3h]� x2 + 3x

h

= limh!0

2xh+ h2 � 3h

h= lim

h!0

2x+ h� 3 = 2x� 3

34 Capıtulo 2. Derivacion

Ejemplo 3

Para calcular la derivada de senx, usamos el resultado del Ejercicio 90 del Capıtulo 1(pagina 21):

limh!0

sen(x+ h)� senx

h= cosx

Entonces concluimos de inmediato que (senx)0 = cosx.

Recuerde que la ecuacion punto-pendiente de la recta que pasa por el punto (x0

, y0

) y que tienependiente m es y � y

0

= m(x � x0

), y que la forma pendiente-interseccion (y = mx + b) puedeconseguirse despejando y en la ecuacion punto-pendiente.

Ejemplo 4

En referencia al Ejemplo 1, la recta tangente al grafico de g en t = 1 pasa por el punto(1, g(1)) = (1, 2) y tiene pendiente m = g0(1) = �1

4

. Entonces su ecuacion es y � 2 =�1

4

(t� 1) en la forma punto-pendiente. La forma pendiente-interseccion es y = �1

4

t+ 9

4

.

0

1

2

3

–5 –3 –1 1 3 5t

Use la definicion para calcular la derivada

1. 3r � 8 en r = �2

2. 2� 6(t+ 1) en t = 3

3. u2 � 4u en u = 5

4. 1� 3x+ x2 en x = �6

5. 2y3 � y en y = 1

6.

1

1� zen z = 2

7.

3

2w + 5en w = �2

8.

2

y� 1 en y = �2

2.2. Reglas de derivacion 35

9.

2v + 3

v � 4en v = 3

10.

4� 3x

2 + xen x = �1

11.

2t2 � 5t

t+ 3en t = 0

12.

pv + 3 en v = 1

13. 2� 3px en x = 25

14. t+p1� t en t = �2

15.

p2y2 � 5 en y = 2

16. 1�p1� 2u en u = 0

17.

1

1 +pr

en r = 1

18. sen(3u) en u = 0

19. 2 cos(2↵+ ⇡/2) en ↵ = 0

20. 5 cos(v � ⇡) en v = ⇡

21. sen r � 3 cos r en r = ⇡/3

22. 2 cos(y/2)� sen(y + ⇡/2) en y = 0

23. Use la definicion para calcular la derivada de cada funcion en los ejercicios 1–21 impares, comofuncion de la variable (no en el punto dado).

24. Use la definicion para calcular la derivada de cada funcion en los ejercicios 2–22 pares, comofuncion de la variable (no en el punto dado).

Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva en el punto dado

25. y = 5x� x2 en x = 1

26. q = 1/p en p = �1

27. y =2t

t+ 4en t = �3

28. y =1� r

4� ren r = 2

29. z =p3 + w en w = 6

30. w =1p

2u+ 5en u = �2

2.2 Reglas de derivacion

En la practica, no es comun calcular derivadas por definicion. Existen reglas para derivar su-mas, productos, cocientes y composiciones de funciones, ası como para funciones particulares comopotencias, logaritmos y otras. Empecemos por tres reglas basicas de derivacion:

• Si f es una funcion derivable y c 2 IR, entonces (cf)0 = cf 0

• Si f y g son funciones derivables, entonces (f + g)0 = f 0 + g0

• Si f(x) = xn entonces f 0(x) = nxn�1

Tambien tenemos, por los Ejercicios 90 y 91 del capıtulo anterior, que

• (sen)0 = cos

• (cos)0 = � sen


Ejemplo 5

Usando las reglas anteriores, ası calculamos estas derivadas:

• (5x3)0 = 5(x3)0 = 5 · 3x2 = 15x2

• (2t2 � 3t+pt)0 = 2 · 2t1 � 3 · 1t0 + 1

2

t�1/2 = 4t� 3 +1

2pt

•✓2u3 + u

3u2

◆0=�2

3

u+ 1

3

u�1

�0= 2

3

� 1

3

u�2

• (6 cos y + 2 sen y)0 = �6 sen y + 2 cos y

Derive

31. x9

32. 5t3

33.

7

4

u4

34. 12y�3

35. 6r1/3

36. 13t4 � 5t2 + 6t

37. 12y3/2 � 6y1/2 � 3y�1

38. �5x2 + 3x� 6

39.

11q

4+

9

5

40.

2

3� 1

5u+ 0.5u2

41. 3y5 + cos y

42.

p5v � 6 cos v + 2 sen v

43.

5(y4 � 3)

2

44.

2 sen� + 5 cos�

4

45.

p8

x5

46.

5t2 � 3t+ 1

t2

47.

5w + 1

w� 6w � 2

w2

48. rpr +

1

r2pr

49. (2u+ 3)(3u2 � 1)

50. x(3x2 � 7x+ 7)

51. 3t

✓t2 � 2

t

◆

52. (s2 + s+ 1)(s2 + 2)

53. 2py

✓y2 � 1

y

◆

54. (v2 + 2v)(v + 1)� 6v2 + 5

55. (6w � 4)2

56.

px (x3 �

px+ 1)

57.

6py5 � 9

py

3py3

58.

40t5 � t3pt

5t2pt

59. 9 sen ✓ (1� csc ✓)

2.3. Derivada como razon de cambio 37

Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva en el punto dado

60. z = �6t2 + t3 en t = 0

61. y = 2r5 � 3r2 en r = �1

62. y =1

3

px2

en x = 8

63. w =pu� 2 en u = 0

64. y = senx+ 2 cosx en x = ⇡/2

65. y = 3 cosw � w2 en w = ⇡/3

Encuentre los puntos donde la recta tangente a. . .

66. . . . y = x3 � 12x es horizontal

67. . . . y = w + cosw es horizontal

68. . . . y = 4u2 � 5u+ 6 es paralela a la recta

con ecuacion y = 7u� 2

69. . . . y = 1 + t1/3 es vertical

70. y = 7 sen↵� 1

↵es vertical

2.3 Derivada como razon de cambio

Si f(t) da la posicion de un objeto en el momento t, entonces f 0(t) es la velocidad del objeto en elmomento t.

En general, si y = f(x), la derivada y0 es la tasa de cambio de y con respecto a x: la velocidad ala cual cambia y, especıficamente el numero de unidades en que se incrementa y por cada unidad quese incrementa x.

Ejemplo 6

Si la distancia recorrida por un objeto t horas despues de empezar a moverse es d(t) = 20t�0.1t2, en kilometros, entonces su velocidad a las t horas es d0(t) = 20� 0.2t, en kilometrospor hora. A las 2.5 horas desde el inicio, su velocidad es d0(2.5) = 20�0.2(2.5) = 19.5 km/h.

Resuelva

71. Un objeto se lanza hacia arriba desde cierta altura, y t segundos despues su altura, en metros,es h(t) = 40 + 6t� 4.9t2.

(a) Calcule su velocidad promedio durante el primer segundo.

(b) Calcule su velocidad promedio durante el intervalo [1, 2].

(c) Calcule su velocidad promedio durante el intervalo [1, 1.01].

(d) ¿Cual es su velocidad instantanea 1 s despues de ser lanzado?

(e) ¿Con que velocidad golpea el suelo?


72. Una piedra se deja caer desde un puente de 150m de altura, y t segundos despues su altura, enmetros, es h(t) = 150� 4.9t2.

(a) Calcule su velocidad promedio para 3 t 4.

(b) Calcule su velocidad promedio para 3 t 3.1.

(c) Calcule su velocidad promedio para 3 t 3.001.

(d) ¿Cual es su velocidad instantanea a los tres segundos?

(e) ¿Con que velocidad golpea el suelo?

73. Un objeto se deja caer desde cierta altura h0

, en metros sobre el suelo, y t segundos despues sualtura, en metros, es h(t) = h

0

� 4.9t2. Al caer al suelo su velocidad es de �15m/s. ¿Desde quealtura se dejo caer?

74. Un automovil se dirige hacia una pared. El conductor aplica los frenos y t segundos despues ladistancia entre el automovil y la pared es d(t) = 40� 18t+ 2t2.

(a) ¿Cual es la velocidad del automovil t segundos despues de aplicar los frenos?

(b) ¿Cuanto tiempo tardarıa en detenerse si no choca antes?

(c) ¿Cuanto tiempo tardarıa en chocar con la pared si no se detiene antes?

(d) ¿Chocara con la pared?

75. Un globo esferico se infla de modo que su volumen es V (t) = 50t dm3 a los t segundos de estarinflandose. ¿A que velocidad esta aumentando su radio luego de tres segundos?

2.4 Reglas del producto y del cociente

Al derivar productos o cocientes de funciones pueden usarse las siguientes reglas, para dos funcionesderivables u y v:

• La Regla del producto dice que (u · v)0 = u0 · v + u · v 0

• La Regla del cociente dice que⇣uv

⌘0=

u0 · v � u · v 0

v2

Ejemplo 7

La derivada del producto t1/3(t2 � 3t) es

ht1/3(t2 � 3t)

i0= (t1/3)0 · (t2 � 3t) + t1/3 · (t2 � 3t)0

= 1

3

t�2/3 · (t2 � 3t) + t1/3 · (2t� 3)

2.4. Reglas del producto y del cociente 39

Ejemplo 8

La derivada del cociente2y � 1

3y + 5es

✓2y � 1

3y + 5

◆0=

(2y � 1)0 · (3y + 5)� (2y � 1) · (3y + 5)0

(3y + 5)2

=(2)(3y + 5)� (2y � 1)(3)

(3y + 5)2=

13

(3y + 5)2

Ejemplo 9

Para calcular la derivada de la funcion tangente la escribimos como un cociente:

(tan t)0 =

✓sen t

cos t

◆0=

(sen t)0 cos t� sen t(cos t)0

cos2 t

=cos t cos t� sen t(� sen t)

cos2 t=

cos2 t+ sen2 t

cos2 t=

1

cos2 t= sec2 t

Las derivadas de las funciones secante, cotangente y cosecante se calculan de manera parecida.Las seis funciones trigonometricas tienen estas derivadas (vea los Ejercicios 89–91):

• (sen)0 = cos

• (cos)0 = � sen

• (tan)0 = sec2

• (cot)0 = � csc2

• (sec)0 = sec tan

• (csc)0 = � csc cot

Ejemplo 10

Para derivar y =(x� 1)(1�

px)

x2 + 1se combinan las dos reglas:

y0 =

(x� 1)(1�

px)

x2 + 1

�0

=

⇥(x� 1)(1�

px)⇤0 · (x2 + 1)� (x� 1)(1�

px) · [x2 + 1]0

(x2 + 1)2

=

⇥(x� 1)0(1�

px) + (x� 1)(1�

px)0⇤(x2 + 1)� (x� 1)(1�

px)[2x]

(x2 + 1)2

=

⇥1(1�

px) + (x� 1)(�1

2

x�1/2)⇤(x2 + 1)� 2(x2 � x)(1�

px)

(x2 + 1)2

=(1� 3

2

x1/2 + 1

2

x�1/2)(x2 + 1)� (2x2 � 2x)(1�px)

(x2 + 1)2

En la Seccion 2.8 veremos un metodo mas sencillo para derivar funciones como la anterior.


Derive

76. (x2 � 3x+ 5)(4x3 + x� 7)

77. (s3 + s� 1)(s2 � 4)

78. y2 (1 +py)

79.

3

pt (

pt+ 3)

80. (5w2 � 2)(2pw � 1/w)

81. (✓ + 1) sen ✓

82. sen(2x)

83. (7t4 � 4t2)(2 sen t+ cos t)

84. (1 + tanu)(1� cotu)

85.

z4 + 5

3 + z

86.

3x+ 2

x2 � 5x+ 3

87.

t+ 1

t2 + 2t+ 2

88.

u2 + 2

u2 + u+ 1

89. sec v

90. csc�

91. cot↵

92.

1 + cscx

1� cscx

93.

ax+ b

cx+ dcon respecto a x

94. t2 �p3 +

1

3� t

95.

y

y + 1� y � 1

y + 3

96.

sen r

1 + r� cos r

1� r

97.

2x� 1

2x+ 1(3x+ 1)

98. (2u� 5)u+ 1

u+ 2

99.

(s+ 1)(s2 + 1)

s� 2

100.

(1� sen v) csc v

tan v

101. y2 sec y cot y

102. (1� 2p)(3p+ 2)(p2 + 1)

103. 6pu (u4 + u+ 1)(2u� 3)

104. w4

✓1� 2

w + 1

◆

105.

2

x+ 1

✓1� 3

x+ 1

◆

106.

4� 1

1� tt� 2

107.

u+ 1

u� 1· u

2 + 2

5 + u

108.

(4r + 6)(2 + 3r)

r(1� 2r)

Calcule el valor numerico

109. (fg)0(2), dado que f(2) = �1, g(2) = 3, f 0(2) = 1 y g0(2) = �2

110. h0(�1), dado que h(x) = x2p(x), p(�1) = 4 y p0(�1) = 2

111. (f/g)0(5), dado que f(5) = �2, g(5) = �1/2, f 0(5) = 4 y g0(5) = 2

112. q0(4), dado que q(x) = f(x)/px, f(4) = �3 y f 0(4) = 0

2.4. Reglas del producto y del cociente 41

Encuentre la ecuacion de la recta. . .

113. . . . tangente a q = (p3 + 4)(p2 � 5) en p = �2

114. . . . tangente a w = ✓ sin ✓ en ✓ = 2

115. . . . tangente a v = (sen� � 1)(1� sec�) en � = ⇡/3

116. . . . tangente a w =5

4� uen u = 9

117. . . . tangente a r =t

t2 + 1en t = 0

118. . . . normal a y =pw (6w � 3) en w = 1/4

119. . . . normal a y =1�

px

1 +px

en x = 4

120. . . . normal a t =tan↵

↵en ↵ = ⇡/6

Resuelva

121. La velocidad de un avion t segundos despues del despegue es v = 83180t+ 2

60t+ 2m/s. ¿Cuanto es

la aceleracion (la tasa de cambio de la velocidad) 10 s despues del despegue?

122. Para una cierta pelıcula, el ingreso total por taquilla n meses despues del lanzamiento esta dado

por la funcion I(n) =95n2

n2 + 3, en millones de dolares. Calcule I 0(12) e interprete el resultado.

123. Se estima que el costo, en miles de dolares, de eliminar x% de los contaminantes en un pozo de

agua es C(x) =0.8x

100� x. Calcule C 0(50) y C 0(90), e interprete los resultados.

124. Una persona observa el despegue de un cohete desde una distancia de 600m del punto delanzamiento. El cohete se eleva verticalmente. Determine la tasa a la que aumenta la alturadel cohete con respecto al angulo de elevacion del observador al cohete, en metros por grado,cuando el angulo es de 20�.

125. La utilidad mensual de una pastelerıa es U(x) =400x

x+ 2�2x�300 en millones de colones, donde

x es el numero de toneladas de pastel que producen. Sabiendo que el punto mas alto en el graficode U es el punto donde la tangente es horizontal, encuentre el nivel de produccion que maximizala utilidad. ¿Cual es la utilidad maxima?


2.5 Regla de la cadena

La regla que sigue se usa para derivar composiciones de funciones.Si f y g son funciones derivables en IR, entonces la Regla de la cadena dice que

(f � g)0(x) = f 0[g(x)] · g0(x)

(donde (f � g)(x) = f [g(x)]).

Ejemplo 11

La derivada depx2 + 1 es

h(x2 + 1)1/2

i0= 1

2

(x2 + 1)�1/2 · (x2 + 1)0

=1

2

1px2 + 1

(2x) =xp

x2 + 1

Ejemplo 12

La funcion u(t) =

✓t

t+ 1

◆3

tiene un cociente dentro de una composicion, por lo que deben

usarse las reglas de la cadena y del cociente:

✓t

t+ 1

◆3

= 3

✓t

t+ 1

◆2

✓t

t+ 1

◆0

= 3

✓t

t+ 1

◆2 (t)0(t+ 1)� t(t+ 1)0

(t+ 1)2

= 3

✓t

t+ 1

◆2 1

(t+ 1)2=

3t2

(t+ 1)4

Derive

126. 3(5� 6x)5

127.

3

p9t2 + 5

128.

1

(16u+ 1)3

129. 20 5

p(y3 + 4y)2

130. 105(4w2 � 7)3 �p1� 5w

131. sen(1� v2)

132. �2 tan3 t

133. 1� csc(⇡r)

134.

�5u+

p1� 3u

�2

135.

pv +

pv

136. sen2⇥⇡(z � 1)

⇤

137.

p1 + sec2 ↵

2.5. Regla de la cadena 43

138.

⇣�(y2 + 3)5 + 1

�3 � 2

⌘4

139. yp1� y2

140. (p2 � 5p)3 (2p+ 1)5

141. u2 cos(6u� 5)

142. (2w � 1) cot2w

143.

3

p3q + 1 · 5

p5q � 1

144.

p3w(4w + 2)3

145. sen(5✓) sec2(5✓)

146.

✓x� 7

x+ 2

◆3

147.

r3x

5� x

148.

2t� 5

(t3 � 4)2

149.

3t4pt2 � 5t

150.

y + 1

1 + cos2 y

151.

tan2 x� 1

csc2 x+ 2

152.

(6r � 5)3

(7r + 2)4

153.

pv3 � v

(2v + 1)4


154. (p � q)0(6), dado que q(6) = 2, p0(2) = �1 y q0(6) = 4

155. g0(�1), dado que g(x) = r(x2) donde r es alguna funcion con r0(1) = 5

156. h0(2), dado que h(t) =f(3� t)

tdonde f es alguna funcion con f(1) = 3 y f 0(1) = �1

157. q0(⇡/6), dado que q(✓) = p(cos 2✓), donde p es alguna funcion con p0(1/2) =p3


158. . . . tangente a y = (x2 � 3x)2 en x = 1

159. . . . tangente a y = sen2(2w) en w = ⇡/4

160. . . . tangente a u = t2p2 + t en t = �1

161. . . . tangente a z = 2u3 �✓

u

u+ 1

◆2

en u = 0

162. . . . normal a w = 2(v2 � 1)2 en v = 2

163. . . . normal a y = 3(r2 + 3r)4 en r = �1

164. . . . normal a y = sen2(2w) en w = ⇡/4

165. . . . normal a y =

p7x+ 2

x� 1en x = 2



166. . . . y = (6t� 1)4 es horizontal

167. . . . y = 3

pp2 � p es vertical

168. . . . y =2x

(3� x)2es paralela a la recta 10x� y = 5

169. . . . y =p5 + 2x es perpendicular a la recta x+ 2y = 1

Resuelva

170. Si un tanque de agua contiene 5000 litros y tarda 30 minutos en vaciarse por el fondo, entoncesel volumen de agua aun en el tanque a los t minutos es V = 5000

�1� 1

30

t�2

(para 0 t 30).Calcule V 0(12) e interprete. ¿Cuando es mayor el flujo de agua?

171. Si el precio unitario p de un producto y la cantidad vendida q estan relacionados por p =100 �

pq2 + 20, encuentre la derivada del ingreso como funcion de la cantidad (el ingreso es

I = pq).

172. En un grupo de mil personas, el numero de ellas que viven por lo menos x anos es N(x) =100

p100� x (para 0 x 100). Calcule N 0(75) e interprete.

173. Un poste de 7m de altura proyecta sobre la calle una sombra de longitud y = 7 cot↵ en metros,donde ↵ es el angulo de elevacion del sol y esta dado por la formula ↵ = (6 � t)⇡/12, donde tes el numero de horas despues del mediodıa. A las 4:30 pm, ¿a cuantos milımetros por segundoesta creciendo la sombra?

2.6 Funciones exponenciales y logarıtmicas

Las derivadas de las funciones exponencial y logarıtmica naturales son

(ex)0 = ex y (lnx)0 =1

x

Para funciones exponenciales y logarıtmicas en otras bases, las derivadas son

(bx)0 = bx ln b y (logb

x)0 =1

x ln b

Ejemplo 13

La derivada de 23x2�5x es, por la regla de la cadena,

⇣23x

2�5x

⌘0= 23x

2�5x ln 2 · (3x2 � 5x)0 = 23x2�5x(6x� 5) ln 2

2.6. Funciones exponenciales y logarıtmicas 45

Ejemplo 14

La derivada de y = ln

✓2x+ 3

4� 3x

◆es, por las reglas de la cadena y del cociente,

ln

✓2x+ 3

4� 3x

◆�0=

1⇣2x+3

4�3x

⌘✓2x+ 3

4� 3x

◆0

=4� 3x

2x+ 3· (2)(4� 3x)� (2x+ 3)(�3)

(4� 3x)2

=4� 3x

2x+ 3· 17

(4� 3x)2=

17

(2x+ 3)(4� 3x)

Pero una manera mucho mas sencilla de calcular y0 es empezar por descomponer y segunlas propiedades de logaritmos, y luego derivar:

y = ln

✓2x+ 3

4� 3x

◆= ln(2x+ 3)� ln(4� 3x)

y0 =1

2x+ 3(2x+ 3)0 � 1

4� 3x(4� 3x)0 =

2

2x+ 3+

3

4� 3x

En general, cuando una funcion contiene logaritmos de productos, cocientes o potencias, es muchomejor descomponer los logaritmos en partes mas sencillas antes de derivar. A esto regresaremos en laSeccion 2.8.

Derive

174. 2t+ et

175. eu � e�u

176. 3 · 5r � rer

177. (1/2)x + 2x

178.

1

2

(e2y � 3e4y)

179. 3 lnpt

180. lnx5 � 3 lnx2

181. ln

✓3u

u2 � 1

◆

182. 8 log y

183. log2

5

px

184. (w2 + 1)e3w

185. e2x2�5x+3

186.

pu eu + u

187. (q � 3eq/3)5

188.

ex � 1

ex + 1

189. y 102�5y

190. ln(tpt2 + 1)

191. ln

"(p3 � 1)e�p

2

p1� 5p

#

192. log(3r2 � 5r)

193. ln(s�ps2 � 1)

194.

p1 + ln z + ln(1 +

pz)

195. ln2(2y + 6)


196. (q2 + q) ln(5q2 + 1)

197. ww+1

198. ln2⇥ln(2z3 � 8z)

⇤

199. e3x g(ln2 x), donde g es una funcionderivable


200. q0(1), dado que q(t) = f(ln t) y f 0(0) = �3

201. h0(0), dado que h(x) =p

f(ex2�x), f(1) = 4 y f 0(1) = 6

202. g0(0), dado que g(y) = ln f(2y), f(1) = ln 2 y f 0(1) = �3


203. . . . tangente a q = 5e2�2p en p = 1

204. . . . tangente a z = t2 10t+3 en t = �2

205. . . . perpendicular a y = 3ex2

+ x2 en x = 0

206. . . . perpendicular a w =ln(2u+ 7)

u+ 6en u = �3


207. . . . y = eu2

+2u es horizontal

208. . . . y = t 2t�1 es paralela al eje T

209. . . . y = 2e4�6q + 3e3+4q es perpendicular al eje Y

210. . . . y = x lnx es paralela a y = 2x+ 1

211. . . . y = (r + 4)[1� ln(2r + 8)] es perpendicular a y + r = 6

Resuelva

212. Se sabe que si una cantidad P de dinero se invierte a una tasa de interes anual r compuestacontinuamente, entonces a los t anos el valor de la inversion sera A = P ert. Compruebe que latasa de cambio relativa del valor con respecto al tiempo es r. (La tasa de cambio relativa de yes y0/y.)

213. Un recipiente contiene agua caliente cuya temperatura, a los t segundos, es T (t) = 24+60·0.997tgrados centıgrados. ¿A que velocidad se esta enfriando luego de un minuto?

2.7. Derivacion implıcita 47

214. Segun C. F. Richter, el numero de terremotos de magnitud M o mayor, por unidad de tiempo,es N = 10a�bM , donde a y b son constantes. ¿A que tasa cambia el numero N de terremotoscon respecto a la magnitud M?

215. La demanda mensual de cierto artıculo es q = 375 000 � 2500 ln(0.01p), donde p es el preciounitario en dolares. ¿A que tasa disminuye la demanda por cada dolar de aumento en el precio,cuando el precio es $40?

216. En cierto paıs se estima que la cantidad de petroleo necesaria para aumentar la productividad,en numero de barriles por $1000 de produccion, es f(t) = 1.5+0.18te�0.12t, donde t es el numerode anos transcurridos desde 1965. Calcule f 0(25) e interprete.

217. Si C =4000eq/400

qes el costo promedio de producir q unidades de un producto, calcule la

derivada del costo, C 0, y usela para aproximar el costo de la unidad numero 344.

2.7 Derivacion implıcita

Si la relacion entre las variables x y y se da como una ecuacion en forma implıcita (donde y no estadespejado), todavıa es posible calcular dy/dx derivando ambos lados de la ecuacion con respecto a x.En ese caso, si la variable y aparece dentro de una expresion (como 5y3, o ey) se debe recordar que yes una funcion y usar la regla de la cadena (por ejemplo, (5y3)0 = 15y2 · y0, o (ey)0 = ey · y0). Luego dederivar se pueden sustituir los valores de x y y, si se conocen, y finalmente despejar la incognita y0.

Ejemplo 15

Dada la ecuacion t2 + z2 = 5, queremos calcular dz/dt en el punto (3, 4). Empezamos pornotar que la expresion dz/dt indica que t es la variable independiente y z la dependiente(z es funcion de t). Entonces el punto (3, 4) se refiere a t = 3 y z = 4. Ademas, (t)0 = 1 y(z)0 = z0. Al derivar ambos lados de la ecuacion con respecto a t obtenemos

(t2 + z2)0 = (5)0 ) 2t+ 2z · z0 = 0

Sustituyendo los valores t = 3 y z = 4, y despejando z0, llegamos a

2(3) + 2(4)z0 = 0 ) z0 = �6

8= �3

4

Ejemplo 16

Calcular dp/dx dado 3px � 5ep = x. Notemos que x es la variable y p es la funcion, asıque (x)0 = 1 y (p)0 = p0.

(3px� 5ep)0 = (x)0

(3p)0x+ 3p(x)0 � 5epp0 = 1

3xp0 + 3p� 5epp0 = 1

p0(3x� 5ep) = 1� 3p

p0 =1� 3p

3x� 5ep


Algunas derivadas de funciones inversas pueden calcularse usando derivacion implıcita. Vea elsiguiente ejemplo y los Ejercicios 218–222.

Ejemplo 17

Calcular la derivada de y = arcsenx.

La ecuacion y = arcsenx implica, por la definicion de arcsen como funcion inversa de sen,que sen y = x. Al derivar implıcitamente esta segunda ecuacion, considerando a y comofuncion de x, obtenemos

sen y = x

(cos y)y0 = 1

y0 =1

cos y

Con eso ya tenemos y0, pero podemos ir mas alla y escribirlo en terminos de x si recordamosque

cos2 y = 1� sen2 y ) cos y = ±p1� sen2 y = ±

p1� x2

¿Cual es el signo correcto? Como el rango de la funcion arcsen es [�⇡/2,⇡/2], y comoy esta en ese rango, entonces cos y � 0 (recuerde que la funcion cos es positiva entre�90� = �⇡/2 y 90� = ⇡/2). Con esto resolvemos la incertidumbre del signo y averiguamosque

cos y =p

1� x2

Finalmente, entonces, y0 =1p

1� x2.

Las funciones trigonometricas inversas tienen las siguientes derivadas (vea el ejemplo anterior ylos Ejercicios 218–222):

(arcsenx)0 =1p

1� x2(arccosx)0 =

�1p1� x2

(arctanx)0 =1

1 + x2(arccotx)0 =

�1

1 + x2

(arcsecx)0 =1

|x|px2 � 1

(arccscx)0 =�1

|x|px2 � 1

Derive, usando las ideas del Ejemplo 17

218. arccos↵ 219. arctan r 220. arcsecu 221. arccsc v 222. arccotw

2.7. Derivacion implıcita 49

Calcule la derivada que se indica

223. dp/dt en (2,�1), dado t3 + p3 = pt+ 9

224. dz/dx en (�3, 0), dado x2z + xz2 = 3x+ 9

225. dy/du en (1, 4), dadopu+

py = 3

226. dx/dt en (4,�4), dado x+ t+ ex+t = 1

227. dz/dx en (1, e), dado x ln z � z lnx = 1

228. dy/dx en (5, 3), dado y = f�1(x) donde f es una funcion invertible con f 0(3) = 2/7

229. dy/dx, dado 12x2 + 5y2 = 13

230. dv/dt, dado 2t3 + 3tv + v3 = 0

231. d↵/d�, dado sen2 ↵+ cos2 � = 1

232. dz/dw, dado z2 = ln(w + z)

233. dy/dt, dado 2yey + t = 2

234. dx/dy, dado 4x ln(2x+ y) = 4


235. . . . tangente a 3x2 + 5y2 = 48 en (�1, 3)

236. . . . tangente a yexy + x = 1 en (0, 1)

237. . . . perpendicular ax2

4+

y2

9= 1 en (2,�3)

238. . . . perpendicular a1

x+

1

y+

1

6= 0 en (3,�2)

239. . . . tangente a x ln(x+ y) = 5x+ y2 � 1 en (0, 1)

240. . . . tangente a x sen y � y cosx2 = 2xy en (0, 0)

241. . . . perpendicular a x2 =sec y

2x+ y � 1en (1, 0)

242. . . . perpendicular a 5y � 2x+ y3 � x2y = 0 en (0, 0)


Resuelva

243. Un globo esferico se infla con agua a razon de 2 dm3/s, de modo que su volumen en dm3 esV = 2t a los t segundos de empezar a inflarse. ¿A que velocidad esta aumentando su radio luegode tres segundos?

244. Un objeto cae verticalmente hacia el suelo, y su altura en metros es h(t) = 19.6� 4.9t2 donde tes el numero de segundos desde que empezo a caer. La caıda es registrada por una camara queesta a nivel del suelo y a cinco metros del punto donde el objeto caera. ¿A que velocidad estacambiando el angulo de elevacion del objeto con respecto a la camara en el momento en que elobjeto golpea el suelo?

2.8 Derivacion logarıtmica

Algunas funciones, sobre todo las que tienen muchos productos, cocientes, potencias o raıces,pueden derivarse mas sencillamente si primero se toma el logaritmo de la funcion, luego se simplificael logaritmo, entonces se deriva y por ultimo se despeja la derivada. Este metodo se conoce comoderivacion logarıtmica. El siguiente ejemplo ilustra las ideas generales.

Ejemplo 18

La funcion y =(x+ 1)2

(2x+ 1)5 e3xpodrıa derivarse directamente usando las reglas del cociente,

del producto y de la cadena. Pero en vez de eso podemos tomar el logaritmo y simplificarloantes de derivar:

ln y = ln(x+ 1)2

(2x+ 1)5 e3x

= ln(x+ 1)2 � ln(2x+ 1)5 � ln e3x

= 2 ln(x+ 1)� 5 ln(2x+ 1)� 3x

Ahora derivamos ambos lados, usando la regla de la cadena en el lado izquierdo. Luegodespejamos y0.

1

yy0 = 2

1

x+ 1� 5

2

2x+ 1� 3

y0 = y

✓2

x+ 1� 10

2x+ 1� 3

◆

=(x+ 1)2

(2x+ 1)5 e3x

✓2

x+ 1� 10

2x+ 1� 3

◆

2.9. Derivadas de orden superior 51

Derive

245. (z + 1)4(z2 + 3) 3

p2z + 1

246.

(1 + y)(2� y)

(1� y)(2 + y)2

247.

p1� 2x2(x+ 3)

(4x� 1)2

248.

3

rz2 + 1

z2 � 1

249.

s(v � 1)3

(2v + 7)(5� v)2

250. tln t

251. (3y + 1)2y

252. (2/y) y

253. (u+ 1)1/u

254. ew w1�w

2.9 Derivadas de orden superior

Si y = f(x), la segunda derivada (o derivada de segundo orden) de y es la derivada de y0 = f 0(x),y se denota y00 = f 00(x). En sımbolos,

y00 = (y0)0 o bien f 00(x) = (f 0(x))0

Similarmente se definen la tercera y la cuarta derivada como

y000 = (y00)0 y y0000 = (y000)0

y ası sucesivamente la quinta derivada y las de ordenes superiores.

Para simplificar la notacion se puede escribir tambien y(2) en vez de y00, y(3) en vez de y000, etc (enesta notacion, y(1) significa y0, y y(0) es simplemente y).

Otra notacion usual esd2y

dx2para y00, y en general

dky

dxkpara y(k).

Ejemplo 19

Las tres primeras derivadas de w = 2t3 � 5t� 6t�1 son

w0 = 6t2 � 5 + 6t�2

w00 = 12t� 12t�3

w000 = 12 + 36t�4


Ejemplo 20

Para calcular d2y/dx2 en la ecuacion implıcita lnx + ln y = x + y, empezamos por laprimera derivada:

(lnx+ ln y)0 = (x+ y)0

1

x+

1

yy0 = 1 + y0

y0✓1

y� 1

◆= 1� 1

x

y0 =1� 1

x

1

y

� 1

Lo siguiente sera derivar y0, pero antes de eso conviene simplificarla:

y0 =1� 1

x

1

y

� 1=

x�1

x

1�y

y

=xy � y

x� xy

Entonces

y00 =

✓xy � y

x� xy

◆0=

(y + xy0 � y0)(x� xy)� (xy � y)(1� y � xy0)

(x� xy)2

= · · · = (x2 � x)y0 + y � y2

(x� xy)2=

(x2 � x)⇥xy�y

x�xy

⇤+ y � y2

(x� xy)2

=x2y � 2xy + 2y � 2y2 + y3

x2(1� y)3

Calcule la derivada que se indica

255. (t2 � 5e3t)00

256. (px2 + 1)00

257.

✓r

1� r

◆000

258. (u2 � 5u+pu+ u�1)(4)

259. (ln p)(6)

260.

✓4p1� s

◆(2)

261. (9 sen� � 7 cos�)(97)

262. (tanw)000

263. (v csc v)00

264. d2y/dx2 si y = 3x5 � 4x2 + 3x+ 1

265. d3z/dq3 si z = e1�4q

266. d5q/dw5 si q = 4w2 � 6w � 9

267. d2x/ds2 si x =1� 2s

1 + 2s

268. d40r/d✓40 si r = sen 2✓

269. d2y/dx2 en (�1, 4) si x2 � xy = 5

270. d2q/dp2 en (0, 2) si q + p ln q = 2

271. d2r/dt2 si r3 + t3 = 1

2.9. Derivadas de orden superior 53

272. d4x/dt4 si x+ t+ ex+t = 1

273. d2z/dw2 si z2 = ew+z

274. d2�/d↵2 si sen↵+ sen� = 1

275. d2x/dy2 en (0,⇡/6) si (x+ 2) sen y = cosx

Cap

´

ıtulo 3

Optimizacion

3.1 Extremos locales

Recuerde que una recta con pendiente positiva es creciente, y una con pendiente negativa esdecreciente. Como la derivada de una funcion es la pendiente de la recta tangente al grafico de lafuncion, se tienen las siguientes relaciones:

• Si f 0(x) � 0 en un intervalo I, entonces f es creciente en I.

• Si f 0(x) 0 en un intervalo I, entonces f es decreciente en I.

Los puntos crıticos de f son los valores de x donde f 0(x) = 0 o f 0(x) no existe. Si f esta definidaen un intervalo abierto, y alcanza un extremo (maximo o mınimo) local1 en x = c, entonces c debeser un punto crıtico de f .

El Criterio de la primera derivada dice que si c es un punto crıtico de f , entonces:

• Si f 0 cambia de signo positivo a negativo en c, f(c) es un maximo local.

• Si f 0 cambia de negativo a positivo en c, f(c) es un mınimo local.

• Si f 0 no cambia de signo en c, no hay extremo en c.

Ejemplo 1

Sea f(x) = x � 1 + x2 � x3. Su derivada es f 0(x) = 1 + 2x � 3x2 = (3x + 1)(1 � x), conlos siguientes signos:

f 0:

�1/3 1

� 0 + 0 �

Entonces f es creciente en [�1/3, 1], y decreciente en ]�1,�1/3] y en [1,1[. Alcanzaun mınimo local en x = �1/3 y un maximo local en x = 1. El valor mınimo local esf(�1/3) = �32/27 y el valor maximo es f(1) = 0. El punto mınimo es (�1/3,�32/27) yel punto maximo es (1, 0).

Parte de la importancia del analisis de los signos de y0 esta en que no es necesario conocer el graficode la funcion para averiguar donde es creciente/decreciente ni donde alcanza sus extremos locales.

1

Un punto (x, y) es un extremo local si es el punto mas alto o mas bajo entre los que estan cerca. Por ejemplo, en el

grafico del Ejemplo 1, (�0.

¯

3,�1) es un mınimo local, aunque no es el punto mas bajo de todo el grafico (hay otros mas

bajos a la derecha).

56 Capıtulo 3. Optimizacion

Solo por referencia, veamos el grafico de la funcion f del ejemplo anterior:

–1

1

–0.333 1x

En el ejemplo anterior dijimos que f decrece en ]�1,�1/3] y en [1,1[, no que decrece en la unionde esos intervalos. Aunque f 0(x) 0 en ]�1,�1/3][ [1,1[, no podemos decir que f sea decrecienteallı, porque ese conjunto no es un intervalo. Las propiedades “f 0(x) � 0 en I ) f crece en I” y“f 0(x) 0 en I ) f decrece en I” son validas solamente si I es un intervalo.

Encuentre los intervalos donde la funcion es creciente o decreciente, y los extremoslocales

1. 1� 4u� u2

2. y3 � 3y � 2

3. r2(3� r)

4. s4 + 4s3 + 4s2

5. 4w2 � 2� 3w4

6. 8u3 � 18u2 � u4

7. 5z2/3 + z5/3

8. sen↵� ↵

9. arctanx

10.

w2 � 5w3

pw

11.

5

pr

12. upu+ 1

13.

v + 1

v2 + v + 1

14.

1

3t� 4

15.

y

y2 + 1

16. x ex

17. z3ez

18. 6e4s�s

2

19. e y + e�y

20. x2 + x e�x + e�x

21. 5y2 � 2e y(y � 1)

22. 2q2 � 2 ln q

23. t2 ln t

24. (3r3 � 81r) ln r + 81r � r3

3.2 Concavidad

Si f 00(x) � 0 en un intervalo I, entonces f es concava hacia arriba en I. Si f 00(x) 0 en I, entoncesf es concava hacia abajo en I. Un punto de inflexion es un punto donde cambia la concavidad delgrafico. En los puntos de inflexion, f 00(x) = 0 o f 00(x) esta indefinida.

3.2. Concavidad 57

Ejemplo 2

Sea g(t) = t4 � 3t3 � 5t + 1. Sus dos primeras derivadas son g0(t) = 4t3 � 9t2 � 5 yg00(t) = 12t2 � 18t = 12t(t� 3/2). El mapa de signos de g00 es

g00:

0 3/2

+ 0 � 0 +

Entonces g es concava hacia arriba en ]�1, 0] y en [3/2,1[, y concava hacia abajo en[0, 3/2]. Hay dos puntos de inflexion: (0, 1) y (3/2,�185/16).

Compare los resultados del ejemplo anterior con el grafico de la funcion g:

–20

20

40

–1 1 2 3t

Encuentre los intervalos donde la funcion es concava hacia arriba o hacia abajo,y los puntos de inflexion

25. 6y2 � y3 � 9y � 1

26. z4 � 6z2

27. (v + 1)4

28. 3� 11p� p2 � 2p4

29.

q

q � 2

30.

s2

s2 + 3

31.

t3

t2 � 4

32. w1/3

33. ypy + 3

34.

v3p4 + v

35. x lnx� x2

36. (y2 + 1) e y

37. ln(r2 + 1)

38. q2 ln q

39. u2 � cosu

40. ↵2 � 5↵+ 3 cos↵ para ↵ 2 [�⇡,⇡]

41. 2 cos y � sen y para y 2 [0, 2⇡]


3.3 El Criterio de la segunda derivada

El criterio de la primera derivada nos dio una forma de averiguar si en un punto crıtico se alcanzaun maximo o un mınimo, o si no hay un extremo. Una alternativa es el Criterio de la segunda derivada,que dice que si c es un punto crıtico de f , entonces:

• Si f 00(c) > 0, f alcanza un mınimo local en c.

• Si f 00(c) < 0, f alcanza un maximo local en c.

Ejemplo 3

Si g(t) = 2t3 � 17t2 + 40t � 3, entonces g0(t) = 2(3t � 5)(t � 4) y g00(t) = 12t � 34. Lospuntos crıticos de g son t = 5/3 y t = 4.

En t = 5/3, g00(t) = �14 < 0, ası que g(5/3) es un maximo local.

En t = 4, g00(t) = 14 > 0, por lo que g(4) es un mınimo local.

Ejemplo 4

Para h(x) = x5 � 10x3 + 20x2 � 15x se tiene h0(x) = 5(x + 3)(x � 1)3 y h00(x) = 20(x �1)2(x+ 2). Los puntos crıticos son x = �3 y x = 1.

En x = �3, h00(x) = �320 < 0, de modo que h alcanza un maximo en �3.

En x = 1, h00(x) = 0, ası que el criterio de la segunda derivada no se aplica. Pero como h0

cambia de signo negativo a positivo en 1, por el criterio de la primera derivada se concluyeque h alcanza un mınimo en 1.

Encuentre los extremos locales

42. 2x3 + 3x2 � 12x� 7

43. 3u4 � 4u3 + 1

44. 4z5 � 5z4 + 2

45. r � 3 3

pr

46.

u2

u� 1

47.

p2 � 2p+ 2

p� 1

48.

v2

v2 + 1

49.

ps2 + 1

50. 2rpr + 3

51. v2 ev

52. x2 + e4�x

2

53. z � ln z

54. ln(t2 + 5)

55. y � arctan 5y

56. 3r + 7 sen r � 4 para r 2 [0, 2⇡]

57. 1� 2x+ 5 cosx para x 2 [�⇡,⇡]

3.4. Extremos absolutos 59

3.4 Extremos absolutos

Si una funcion f es derivable en un intervalo cerrado [a, b], entonces alcanza un maximo absolutoy un mınimo absoluto en el intervalo. Esos extremos absolutos se alcanzan en algun punto crıtico, ena o en b.

Ejemplo 5

Encontrar los extremos absolutos de h(v) = v3 � 3v2 � 9v en [1, 5].

Los puntos crıticos se encuentran resolviendo

0 = h0(v) = 3v2 � 6v � 9 = 3(v + 1)(v � 3)

y resultan ser v = �1 y v = 3, pero v = �1 esta fuera del intervalo de interes.

Los extremos absolutos se pueden alcanzar entonces en v = 3 (punto crıtico), v = 1(punto inicial del intervalo) o v = 5 (punto final del intervalo). Sabiendo eso, es suficientecomparar los valores de h en esos tres puntos:

v 1 3 5h(v) �11 �27 5

En la tabla es claro que el maximo es h(5) = 5 y que el mınimo es h(3) = �27.

Encuentre los extremos absolutos de la funcion en el intervalo dado

58. 2z2 + 6z � 3 en [�2, 3]

59. 2p3 + 3p2 � 12p+ 1 en [�1, 5]

60. 2p3 + 3p2 � 12p+ 1 en [�10, 12]

61. �3r4 + 4r3 + 72r2 en [�3, 2]

62.

t

t2 + 1en [0, 2]

63.

7x

x� 2en [3, 5]

64.

p9� w2 en [�1, 2]

65.

q + 1pq2 + 5

en [�2, 2]

66. p4/5 en [�32, 1]

67. x e�x en [0, 1]

68. t2/et en [�1/2, 1]

69. y ln y � 2y en [1, 4]

70. t2(2 ln t� 3) en [1, 4]

71.

ln(r + 1)

r + 1en [0, 5]

72. cos 4✓ en [�⇡/2,⇡/2]

73. 2 sen 3w + 3w en [0,⇡]

74. 2 sen� � 3 cos� en [�⇡,⇡]

75. 2 lnu� u en [1,1[

76.

r

eren [0,1[

77. q4 � 2q3 � 2q2 en IR

78. z e�3z en IR


3.5 Optimizacion

La optimizacion, en nuestro contexto, es el proceso de busqueda del valor optimo de una funcion,que puede ser el maximo o el mınimo segun el contexto. Se acostumbra llamar funcion objetivo a lafuncion por optimizar (maximizar o minimizar).

Para resolver problemas aplicados de optimizacion pueden darse los siguientes pasos:

1. Identificar las variables.

2. Plantear la funcion objetivo.

3. Plantear una o varias ecuaciones que relacionen las variables.

4. Escribir la funcion objetivo en terminos de una sola variable.

5. Optimizar la funcion objetivo.

6. Responder la pregunta que se planteo.

3.5.1 Problemas generales

Ejemplo 6

Se dispone de 500 cm2 de material para construir una caja rectangularsin tapa y con base cuadrada. ¿Con cuales dimensiones se obtiene elvolumen maximo, aprovechando todo el material disponible?

##

##

##

xx

y

1. Las variables son x = el lado de la base, que es cuadrada, y y = la altura de la caja,ambos en cm.

2. El objetivo es maximizar el volumen, V = x2y.

3. La superficie debe ser 500 cm2. Como la base mide x2 y cada uno de los cuatro ladosverticales mide xy, entonces la superficie es x2 + 4xy = 500.

4. De la ecuacion en el paso anterior despejamos y:

x2 + 4xy = 500 ) y =500� x2

4x= 125x�1 � 1

4

x

Entonces la funcion objetivo es

V = x2(125x�1 � 1

4

x) = 125x� 1

4

x3

5. Puntos crıticos: V 0 = 125 � 3

4

x2 = 0 ) x = ±p500/3, y como x es una longitud,

debe ser positiva: x =p500/3 ⇡ 12.910.

Confirmamos que hay un maximo calculando V 00 = �3

2

x y evaluando V 00(p

500/3) ⇡�19.4 < 0: en efecto hay un maximo en x =

p500/3.

6. Dimensiones de la caja: x =p500/3 ) y =

p125/3 ⇡ 6.455, ası que el lado de la

base debe medir 12.910 cm y la altura 6.455 cm.

3.5. Optimizacion 61

En el paso 5, optimizar, hay dos posibles variaciones:

• En el ejemplo anterior usamos el criterio de la segunda derivada para confirmar que lo quetenıamos era un maximo. A veces se puede plantear la funcion objetivo dentro de un dominiocerrado y finito, y buscar su maximo absoluto allı como en la Seccion 3.4. Vea el Ejemplo 7 enesta seccion.

• A veces es posible, pero solamente si la funcion objetivo es cuadratica, usar lo que sabemos sobreparabolas: que su valor extremo se encuentra en el vertice y que es un maximo o un mınimodependiendo de la concavidad. Vea el Ejemplo 8 (pagina 63), pero ya puede usar esa idea enalgunos de los ejercicios de esta seccion.

Ejemplo 7

En el ejemplo anterior, es claro que 0 x p500 (la primera desigualdad se debe a que x

es una longitud; la segunda a que el material disponible es 500 cm2, lo que no permite unabase mayor que

p500 ⇥

p500). Entonces el dominio es [0,

p500], y buscamos el maximo

absoluto entre los puntos crıticos y los bordes del dominio.

Pero de los dos puntos crıticos, x = ±12.91, solamente x = 12.91 pertenece al dominio[0,

p500] ⇡ [0, 22.36]. Entonces el maximo absoluto se encuentra a partir de la siguiente

tabla:x 0 12.91

p500

V (x) 0 1075.83 0

Ası confirmamos, por otro metodo, que el maximo se alcanza en x = 12.91.

Resuelva

79. Encuentre dos numeros cuya suma sea 200 y cuyo producto sea maximo.

80. Encuentre dos numeros cuya diferencia sea 50 y su producto sea mınimo.

81. Encuentre dos numeros positivos cuyo producto sea 192 y su suma sea mınima.

82. Encuentre dos numeros en [1, 10] cuyo producto sea 10 y su diferencia sea maxima.

83. Encuentre dos numeros en [�10, 10] cuya suma sea 0 y su producto sea mınimo.

84. El dueno de un automovil determina que el costo en colones por kilometro al conducir su vehıculoa una velocidad de v km/h es C = 0.015v2� 2.5v+120. Encuentre la velocidad mas economica.

85. Un objeto es arrojado al aire de manera que su altura h (en metros) sobre el terreno, t segundosdespues de lanzado, es h = 14t� 5t2. Encuentre la altura maxima alcanzada.

86. El dueno de una fabrica de refrescos sabe que su ganancia (en miles de colones semanales),como funcion del numero x de cajas de refrescos vendidas, esta dada por la ecuacion G =�0.01x2 + 9x � 1296. ¿Cuantas cajas debe vender semanalmente para obtener una gananciamaxima? ¿Cual es la ganancia maxima?


87. La tasa de crecimiento de una poblacion es C(t) = 2t3 � 11t2 + 12t+ 5, donde t es el numero demeses desde el 10 de abril del 2000. ¿Aproximadamente en que fechas se alcanzaron las tasas decrecimiento maxima y mınima durante los primeros dos meses (0 t 2)?

88. La funcion de costo promedio de un fabricante esta dada por C = 0.25q+3+400q�1, donde q esel numero de unidades producidas. ¿A que nivel de produccion es mınimo el costo promedio?¿Cual es ese costo promedio mınimo?

89. El costo administrativo de un pedido de n unidades de un producto es

C =2

n2

+10n

10n+ 3

en miles de dolares. ¿Cual es el tamano del pedido que minimiza el costo administrativo?

90. Demuestre que ex � 1 + x para todo x 2 IR.

91. Demuestre que senx x para todo x � 0.

92. Demuestre que cosx � 1� x2/2 para todo x 2 IR.

93. Un grupo de personas quiere alquilar un autobus para un viaje. Si viajan hasta 40 personas,la cuota de cada una sera C||3000. Por cada pasajero adicional a los primeros 40, la cuota porpasajero se rebaja en C||50 para cada uno (por ejemplo, si viajan 42 personas, la cuota sera C||2900para cada una de las 42 personas). La capacidad del autobus es de 60 pasajeros. ¿Cual numerode pasajeros minimiza la cuota por persona?

94. La ecuacion de demanda2 para cierto producto es 3q + 100p � 1800 = 0, donde p es el preciounitario y q el numero de unidades vendidas. Determine el nivel de produccion que maximiza elingreso del fabricante para este producto (el ingreso es I = pq).

95. La ecuacion de demanda2 para cierto producto es p = 3

5

(650�q), donde p es el precio unitario endolares y q el numero de unidades vendidas por semana. La capacidad maxima de produccion esde 300 unidades semanales, y el costo de produccion es de $24 por unidad. ¿Que cantidad debeproducirse por semana para maximizar la utilidad? ¿Cuanto es la utilidad semanal maxima?(La utilidad es el ingreso menos el costo, y el ingreso es pq.)

96. Un camion consume 0.002x litros de gasolina por kilometro cuando viaja a x km/h, para 70 x 100. Suponga que la gasolina cuesta $1.20 por litro, y que el salario del conductor es $6 porhora. ¿Cual velocidad, entre 70 y 100 km/h, minimiza el costo total (gasolina mas salario) deun viaje de 700 km?

97. Cuando un foco ilumina un objeto, la iluminacion es directamente proporcional a la intensidad(potencia) del foco e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el foco y elobjeto (iluminacion = k · intensidad/distancia2, donde k es alguna constante). Si se colocan dosfocos, uno de ellos con el doble de intensidad del otro y a 2m entre ellos, ¿en que punto entreellos debe colocarse un objeto para que reciba la menor iluminacion posible?

2

Una ecuacion de demanda relaciona el precio p de venta de un producto con el numero q de unidades que se espera

vender a ese precio.


98. Se lanza un proyectil desde el suelo a 20m/s y con un angulo de elevacion ✓ (en radianes). Luegode t segundos su posicion, en metros, esta dada por las coordenadas (x, y), donde x = 20t cos ✓y y = 20t sen ✓ � 4.9t2. ¿Cual angulo de elevacion maximiza el alcance (es decir, el valor de xcuando el objeto cae al suelo)? ¿Cual es el alcance maximo?

99. Un avion pasa sobre un punto P a las 8 am y se dirige hacia el sur a600 km/h. Otro avion vuela de este a oeste a 450 km/h y pasa sobre elpunto P a las 9 am. ¿A que hora estan mas cerca los dos aviones?

rP

?

b� b

100. Una persona esta en el punto A en la orilla de un rıo recto de 50mde ancho, y quiere llegar al punto B, en la orilla opuesta y 75m rıoabajo. Puede correr a 250m/min por su lado del rıo para luego nadar a30m/min en lınea recta hasta llegar a B. Desestimando la corriente delrıo, ¿que distancia debe correr antes de entrar al agua, y que distancianadar, de modo que minimice el tiempo total? ¿Cuanto es el tiempomınimo?

rA

rB

101. Un pozo petrolero marıtimo esta bajo el mar, a 1500m de la costa.La refinerıa esta sobre la costa, a 3 km del punto mas cercano al pozo.Instalar la tuberıa cuesta en el mar el doble de lo que cuesta en tierra.¿Que ruta debe seguir el oleoducto del pozo a la refinerıa para minimizarel costo total?

rRef

rPozo102. Un poste de 8m y otro de 12m de altura estan a 40m de distancia

entre ellos. Un cable esta atado al extremo superior de cada poste ya un punto en el suelo entre los dos postes. ¿En que punto del suelodebe atarse para minimizar la cantidad de cable? ¿Cual es la cantidadmınima de cable?

103. Encuentre los valores de b y c para que f(x) = x2 + bx+ c alcance un mınimo en (1, 3).

104. Encuentre los valores de a y b para que (�0.6, 3.6) sea un punto crıtico de g(t) = a cos t+b sen t.

3.5.2 Problemas de aumento/reduccion

En algunos problemas se tiene que una cantidad aumenta mientras otra disminuye, y se deseaencontrar el equilibrio optimo entre ambas. Un caso tıpico puede ser que conforme un precio aumentala cantidad vendida disminuye, o viceversa, y se quiere maximizar el ingreso. En problemas ası, ayudaplantear ambas cantidades en terminos de una tercera variable y definir la funcion objetivo tambienen terminos de ella.

Es comun en estos problemas que la funcion objetivo resulte ser cuadratica, en cuyo caso podemosencontrar su maximo o mınimo en el vertice, sin necesidad de derivar.

Ejemplo 8

Un agricultor estima que si cosecha papas ahora obtendra 180 kg con valor de C||300 el kilo.Si espera, la cosecha se incrementara en 30 kg por semana, pero el precio disminuira enC||20 por semana. ¿Cuando debe cosechar para obtener el maximo ingreso? ¿Cuanto es esemaximo ingreso?


1. Las dos variables principales son el numero de kilos cosechados y el precio por kilo;llamemoslas q y p respectivamente. Pero el problema se simplifica grandemente alanadir la variable n = el numero de semanas por esperar.

2. El objetivo es maximizar el ingreso: I = pq.

3. La cosecha aumenta: q = 180 + 30n; el precio disminuye: p = 300� 20n.

4. En terminos de n, la funcion objetivo es

I = pq = (300� 20n)(180 + 30n) = �600n2 + 5400n+ 54000

5. Como I es cuadratica y concava hacia abajo (porque a = �600, negativo), su maximose alcanza en el vertice: n

v

= �b/(2a) = �5400/(�1200) = 4.5.

6. Debe esperar 4.5 semanas. El ingreso sera I(4.5) = 66 150 colones.

Resuelva

105. Entre mas bombillos se conectan en un mismo circuito electrico, menor es la luminosidad decada uno, segun la formula L = 1500 � 18n donde L es la luminosidad, en lumenes, y n elnumero de bombillos conectados. ¿Cuantos bombillos deberan conectarse para maximizar laluminosidad total?

106. Una revista vende 10 000 ejemplares a C||1500 cada uno. Puede vender 100 mas por cada C||10que disminuya el precio (por ejemplo, a C||1480 venderan 200 mas). Determine a que precio semaximizara el ingreso.

107. Una companıa de television por cable da servicio actualmente a 5000 usuarios y cobra C||16 000mensuales a cada uno. Un estudio de mercado indica que por cada disminucion de C||100 en latarifa mensual se suscribiran 40 nuevos clientes (por ejemplo, si rebajan C||300 se suscribiran 120nuevos clientes). Determine la cuota mensual que resulta en un ingreso mensual maximo.

108. Una fabrica de computadoras ha estado vendiendo 1000 unidades de cierto modelo por semana,a $600 cada una. Un estudio de mercado indica que podrıan vender 80 unidades mas por semanapor cada $10 de descuento en el precio.

(a) ¿Que precio deben fijar para maximizar sus ingresos?

(b) Si el costo de producir x unidades por semana es C(x) = 65000 + 200x, ¿que preciomaximizara las utilidades? (La utilidad es el ingreso menos el costo.)

109. Un fabricante vende su producto a C||900 la unidad, mientras que el costo unitario de producciones de C||600. Para favorecer los pedidos de mas de 100 unidades, por cada unidad adicional a 100el precio unitario se reduce en C||2 para todas las unidades. ¿Cual tamano de pedido maximizala utilidad? ¿Cual es la utilidad maxima? (La utilidad es el ingreso menos el costo.)

110. La edicion dominical de un periodico vende 150 000 ejemplares a C||500 cada uno. Se ha de-terminado que por cada rebaja de C||10 en el precio, las ventas aumentaran en 5000 ejemplares.Sin embargo, la capacidad de produccion es de 180 000 ejemplares como maximo. ¿Que preciodeben fijar para maximizar el ingreso? ¿Cuanto es el ingreso maximo?


111. Una tienda de alquiler de videos cobra C||1500 por pelıcula si el cliente alquila cinco videos omenos. Pero si el cliente alquila mas de cinco, el precio de cada pelıcula disminuye en C||150 porcada video adicional. ¿Cuanto es el maximo ingreso que puede tener la empresa en un alquiler?

112. Un agricultor calcula que si siembra 120 arboles por hectarea, entonces cada arbol adulto dara600 naranjas al ano. Por cada arbol mas que plante por hectarea, la produccion de cada arboladulto disminuye en tres naranjas al ano. ¿Cuantos arboles debe plantar por hectarea paraobtener el mayor numero posible de naranjas al ano, por hectarea?

113. Si el numero de turistas que hace un recorrido en autobus a una ciudad es treinta o menos,la empresa de transportes cobra $10 por persona. Por cada persona adicional a las primerastreinta se reduce el cobro en $0.40 por persona. ¿Cual numero de turistas maximiza el ingresode la empresa por viaje, si la capacidad del bus es de sesenta pasajeros?

114. Una agencia de viajes esta negociando con una aerolınea el alquiler de un avion. El avion tienecapacidad para 320 pasajeros, y la aerolınea pide a la agencia vender un mınimo de 200 tiquetes.La aerolınea cobra a la agencia $250 por persona si la agencia vende 200 tiquetes, pero porcada persona adicional rebajan en $1 el costo de cada tiquete. ¿Cuantos tiquetes debe vender laagencia para minimizar su costo total?

115. En una ciudad, el tren subterraneo tiene una tarifa de $1.80 y es usado por 5000 personasdiariamente. Se esta considerando un incremento en la tarifa, y se ha determinado que por cada$0.20 de incremento habra 1000 pasajeros menos al dıa. ¿Que tarifa debe fijarse para maximizarlos ingresos diarios?

116. Un capataz de construccion sabe que si paga el salario mınimo podra contratar a diez peonespara la obra que esta dirigiendo, y que cada uno rendira un 100% de su capacidad. Por cada5% adicional que pague sobre el salario mınimo podra contratar a un peon mas. Sin embargo,por cada peon adicional a los diez primeros, el rendimiento de cada uno se reducira en un 2%(porque se distraen, conversan y se estorban entre ellos). ¿Que porcentaje del salario mınimodebera pagar para maximizar el rendimiento total?

3.5.3 Problemas que involucran areas o volumenes

Para los problemas que involucran figuras geometricas, recuerde las siguientes formulas:

`

a En un rectangulo con largo ` y ancho a, el area es A = `·a y el perımetroes P = 2`+ 2a.

⇢⇡�⇠

r En un cırculo con radio r, el area es A = ⇡r2 y el perımetro (circunfe-rencia) es C = 2⇡r.

b⇣⇣⇣⇣⇣

@@h En un triangulo con base b y altura h el area es A = 1

2

bh.

`a

h El volumen de un prisma con lados `, a y h es V = ` · a · h.


r

h El volumen de un cilindro con radio basal r y altura h es V = ⇡r2h. Elarea lateral es A = 2⇡rh.

��

@@@

r

h El volumen de un cono circular recto con radio basal r y altura h esV = 1

3

⇡r2h. El area lateral es A = ⇡rpr2 + h2.

&%'$

r El volumen de una esfera con radio r es V = 4

3

⇡r3. Su superficie esS = 4⇡r2.

Resuelva

117. Se desea cercar una superficie de 60 000m2 en forma rectangular, paradespues dividirla en dos mitades con una cerca paralela a uno de loslados del rectangulo. ¿Que dimensiones debe tener el rectangulo y enque direccion debe ir la division para minimizar el costo de la cerca?

118. Se dispone de 120m de cerca para rodear un terreno rectangular. Seusara un muro existente en uno de los lados del terreno, y se cercaranlos otros tres lados. Calcule las dimensiones que encierran una areamaxima.

119. Se dispone de $300 para cercar una area rectangular contigua a unapared existente. El costo de la cerca paralela a la pared es $15/m,y el de los otros dos lados es $10/m. Encuentre las dimensiones delrectangulo que maximizan el area encerrada.

120. El disenador grafico en una imprenta decide que las paginas de un librotendran margenes superior e inferior de 3 cm, y derecho e izquierdo de2.5 cm, y que la hoja tendra una superficie de 600 cm2. ¿Que dimensionesde la hoja maximizan el area impresa?

121. El disenador grafico en una imprenta decide que las paginas de un librotendran margenes superior e inferior de 3 cm, y derecho e izquierdo de2.5 cm, y que el area impresa debe medir 360 cm2. ¿Que dimensiones dela pagina minimizan la cantidad de papel?

122. El interior de una pista de carreras de 800 metros consiste en unrectangulo con semicırculos en dos de sus extremos opuestos (en la figura,la pista es el perımetro). Encuentre las dimensiones que maximizan elarea del rectangulo.

�⇠

⇢⇡123. Una ventana tiene la forma de un rectangulo con un semicırculo arriba.

Si el perımetro debe medir 6m, ¿cuales dimensiones maximizan la su-perficie total de la ventana?

�⇠


124. Una caja se construye a partir de un carton de 10 cm ⇥ 16 cm, cortandocuadrados iguales de las cuatro esquinas. ¿Que tamano de cuadrado dael maximo volumen?

125. Determine las dimensiones del rectangulo de mayor area que puede ins-cribirse en un triangulo rectangulo cuyos catetos miden 5 cm y 12 cm,si el rectangulo tiene un vertice en el angulo recto del triangulo y otrovertice en la hipotenusa del triangulo.

TTTTTTTT

126. Una cuerda de 40 cm se corta en dos partes para formar un cırculo con la primera parte y uncuadrado con la segunda. ¿Cuantos centımetros deben usarse para el cırculo y cuantos para elcuadrado de modo que la suma de las areas sea maxima? ¿Cuantos para que la suma de lasareas sea mınima?

127. ¿Cuales son las dimensiones del rectangulo con area 20 y con la diagonal mas corta posible?

128. ¿Cuales son las dimensiones del rectangulo con diagonal 10 y el area maxima posible?

129. Una lata cilındrica con tapa debe contener 225 cm3 de lıquido. El costo por cm2 de material esde 15 centimos para el fondo y la tapa, y 10 centimos para la pared lateral. ¿Que dimensionesde la lata minimizan el costo de los materiales? ¿Cual es el costo mınimo?

130. Una caja sin tapa y con base cuadrada debe tener un volumen de 32 dm3 (vea la figura delEjemplo 6, pagina 60). Encuentre las dimensiones que minimizan la cantidad de material.

131. ¿Cuales son las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumenque se puede inscribir en una esfera de radio 5? &%

'$

132. ¿Cuales son las dimensiones del cono circular recto de mayor volumenque se puede inscribir en una esfera de radio 5? &%

'$T

TT

133. Un envase circular se construye poniendo una semiesfera en un extremode un cilindro circular recto. El envase, incluyendo la semiesfera, debetener una capacidad de 1.8 litros. ¿Cuales dimensiones minimizan lacantidad de material requerido?

�⇠

134. Un tanque se construye poniendo una semiesfera en cada extremo de uncilindro circular recto. El tanque debe tener un volumen de 4.2 m3. Elcosto del material para los extremos semiesfericos es el triple del costodel material para el tubo cilındrico. ¿Cuales dimensiones minimizan elcosto total?

⇠⇡

�⇢

135. Un cono para beber se fabrica a partir de una pieza circular de papel deradio 10 cm, recortando un sector circular y uniendo los segmentos ABy AC en el dibujo. ¿Cual es la capacidad maxima del cono?

#" !A

B

C


3.5.4 Problemas en el plano cartesiano

Ejemplo 9

La ecuacion x2+ y2 = 1, con y � 0, describe en el plano cartesiano una semicircunferenciacon radio 1 y centro en el origen. ¿Cual es el area del mayor rectangulo que se puedeinscribir en esa circunferencia?

�1 10

1

(x, y)

↵

Hay al menos dos opciones para plantear este problema. En la primera, la variable principales x, la coordenada del lado derecho del rectangulo.

1. Sean b y h la base y la altura, respectivamente, y (x, y) las coordenadas de la esquinasuperior derecha del rectangulo.

2. El objetivo es maximizar el area, A = bh.

3. Tenemos b = 2x, h = y, y x2 + y2 = 1, de donde despejamos y =p1� x2.

4. Entonces A = (2x)(y) = 2xp1� x2, en la que podemos restringir x al intervalo [0, 1].

5. La derivada de la funcion objetivo es A0 = (2 � 4x2)/p1� x2 y sus puntos crıticos

son x = ±p0.5. En el intervalo [0, 1] se alcanzan los valores

x 0p0.5 1

A 0 1 0

6. Entonces el area maxima es A = 1.

Otra opcion es tomar como variable el angulo ↵ entre el eje X positivo y el segmento desdeel origen hasta la esquina superior derecha.

1. Sean b y h la base y la altura, (x, y) las coordenadas de la esquina superior derechay ↵ el angulo mencionado, como se indica en la figura.

2. El objetivo es maximizar A = bh.

3. Ahora x = cos↵ y y = sen↵, y como antes, b = 2x y h = y, de modo que la funcionobjetivo es A = (2x)(y) = 2 cos↵ sen↵ = sen 2↵, con ↵ en [0,⇡/2].

4. La derivada de A es ahora A0 = 2 cos 2↵ y el unico punto crıtico en [0,⇡/2] es ↵ = ⇡/4.Entonces tenemos

↵ 0 ⇡/4 ⇡/2A 0 1 0

5. De nuevo, el area maxima es A = 1.


Resuelva

136. ¿Cual es el punto de la recta y = 3x+ 2 que esta mas cerca del origen?

137. ¿Cual es el punto de la parabola y = x2 + 1 mas cercano al punto (1, 0)?

138. ¿Cual es el punto en el grafico de y =px mas cercano al punto (4, 0)?

139. Un rectangulo tiene un vertice en (0, 0), un lado sobre el eje X y otrolado sobre el eje Y. El vertice opuesto a (0, 0) esta sobre la parabolay = 2x2 � 9x+ 12 con 0 x 3. ¿Cual es el area maxima posible parael rectangulo? 3

12

140. La ecuacion x2+y2 = 9 describe en el plano cartesiano una circunferencia de radio 3 con centroen el origen. ¿Cual es el area del mayor rectangulo que se puede inscribir en esa circunferencia?

141. ¿Cuales son las dimensiones del triangulo isosceles de mayor area que se puede inscribir en uncırculo de radio 5?

142. Un triangulo rectangulo en el primer cuadrante tiene sus catetos sobre los ejes X y Y , y suhipotenusa pasa por el punto (2, 3). ¿Cuales son las coordenadas de los vertices que maximizansu area?

143. ¿Cual es la ecuacion de la recta que pasa por el punto (4, 2) y forma con los ejes cartesianos untriangulo en el primer cuadrante de area mınima?

144. ¿Cual es la distancia mınima entre la parabola P con ecuacion y = x2 yla recta R con ecuacion y = x� 1?

��p

145. Un pasillo tiene un segmento de 3m de ancho que se une con otro seg-mento de 4m de ancho formando un angulo recto. ¿Cuanto mide la barrarecta mas larga que puede pasar de un segmento al otro sin atascarse?

4m

3m

Cap

´

ıtulo 4

Otras aplicaciones de las derivadas

4.1 La regla de L’Hopital

Algunos lımites en formas indeterminadas no pueden resolverse simplificando, factorizando, racio-nalizando ni usando ninguna de las tecnicas que vimos en el Capıtulo 1. Considere, por ejemplo, loslımites

limt!1

t

e ty lim

z!0

+

✓1

z+ ln z

◆

en los que ningun procedimiento algebraico resuelve el problema.Muchos de esos lımites algebraicamente indeterminados pueden calcularse usando la regla de

L’Hopital, que involucra las derivadas de las funciones que aparecen en el lımite.

La regla de L’Hopital dice que si el lımite limf(x)

g(x)tiene la forma

0

0o la forma

±1±1 (sin importar

a cuanto tiende x); esto es, si f(x) ! 0 y g(x) ! 0 o bien f(x) ! ±1 y g(x) ! ±1, entonces

limf(x)

g(x)= lim

f 0(x)

g0(x)

Ejemplo 1

El lımite limt!1

ln t

tes de la forma

11 , ası que

limt!1

ln t

t= lim

t!1

(ln t)0

(t)0= lim

t!1

1/t

1=

0

1= 0

Para lımites de la forma 0 · 1 el producto puede convertirse en un cociente de la forma 0

0

o 11 .

Especıficamente, un producto u · v se reescribe comou

v�1

o comov

u�1

para usar la regla de L’Hopital.

Ejemplo 2

El lımite limy!0

+

y ln y es de la forma 0 ·1 (en realidad ln y ! �1, pero el signo no afecta

la forma). Entonces el producto y ln y puede escribirse comoln y

y�1

para calcular el lımite

de esta manera1:

limy!0

+

y ln y = limy!0

+

ln y

y�1

✓=

�11

◆

= limy!0

+

(ln y)0

(y�1)0= lim

y!0

+

1/y

�y�2

= limy!0

+

�y = 0

1

Tambien se puede escribir y ln y =

y

(ln y)

�1

, pero ası es mas complicado derivar.

72 Capıtulo 4. Otras aplicaciones de las derivadas

En este ejemplo note, despues de derivar, que la fraccion1/y

y�2

tiene la forma11 cuando y ! 0+.

Pero en vez de usar L’Hopital otra vez, es mejor simplicar algebraicamente (restando exponentes). Enalgunos casos sı sera necesario usar L’Hopital varias veces.

Para la forma 1 � 1 se puede separar uno de los terminos como factor comun para conseguiruna fraccion de la forma 1

1 . En general, la expresion u � v puede escribirse como u(1 � v

u

) o comov(u

v

� 1).

Ejemplo 3

limx!1

x� ex es de la forma 1�1. Sacando x como factor comun se obtiene

limx!1

x� ex = limx!1

x

✓1� ex

x

◆

Por aparte, la fraccionex

xtiende a

11 , ası que su lımite es

limx!1

ex

x= lim

x!1

(ex)0

(x)0= lim

x!1

ex

1= 1

Regresando al lımite original, tenemos entonces

limx!1

x� ex = limx!1

x

✓1� ex

x

◆= 1(1�1) = �1

Ejemplo 4

Sea L = lim✓!⇡/2

1

1� sen ✓+ tan ✓.

Como 1� sen(⇡/2) = 0 y tan⇡/2 = ±1, necesitamos investigar el lımite por los dos lados.

Por la izquierda tenemos

L� = lim✓!(⇡/2)

�

1

1� sen ✓+

sen ✓

cos ✓=

1

0++

1

0+= 1

sin mas trabajo. Pero por la derecha,

L+ = lim✓!(⇡/2)

+

1

1� sen ✓+

sen ✓

cos ✓=

1

0++

1

0�= 1�1

que es indeterminado.

Podemos tomar denominador comun y convertir el lımite en uno de la forma 0/0:

L+ = lim✓!(⇡/2)

+

cos ✓ + sen ✓(1� sen ✓)

(1� sen ✓) cos ✓=

0

0

4.1. La regla de L’Hopital 73

Usando L’Hopital,

L+ = lim✓!(⇡/2)

+

� sen ✓ + cos ✓(1� sen ✓)� sen ✓ cos ✓

� cos ✓ cos ✓ � (1� sen ✓) sen ✓=

�1 + 0 + 0

0� 0= ±1

El signo depende de si el denominador es positivo o negativo. Evaluandolo en un valor de✓ un poco a la derecha de ⇡/2, digamos ✓ = 1.58, obtenemos aproximadamente �0.000127,negativo. Entonces L+ = +1.

Resulta entonces que el lımite es igual por la izquierda y por la derecha: L = 1.

Para las formas exponenciales indeterminadas 10, 11 y 00 se puede calcular primero el logaritmodel lımite, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5

El lımite M = limh!0

(1+h)1/h es de la forma 11. Calculemos primero su logaritmo natural:

lnM = ln limh!0

(1 + h)1/h = limh!0

ln(1 + h)1/h

= limh!0

1

hln(1 + h) = lim

h!0

ln(1 + h)

h

Ahora este es de la forma 0

0

, y entonces aplicamos L’Hopital:

lnM = limh!0

ln(1 + h)

h= lim

h!0

⇥ln(1 + h)

⇤0

(h)0= lim

h!0

1/(1 + h)

1= 1

Ası es que lnM = 1, por lo que, finalmente, M = e1 = e.

Este metodo tiene cierta analogıa con la diferenciacion logarıtmica, en la que primero se tomalogaritmo de la funcion, luego se simplifica el logaritmo, despues se deriva el logaritmo y por ultimo sedespeja la derivada de la funcion original. Basicamente ese es el procedimiento aquı: tomar logaritmodel lımite, simplificar el logaritmo, calcular el lımite del logaritmo y despejar el lımite original.

Calcule

1. limy!1

y3 � 2y2 � y + 2

y3 � 7y + 6

2. limv!1

2v + 1

4v2 + v

3. limp!3

pp+ 1� 2

p� 3

4. limx!0

e2x � 1

x

5. limt!0

et � e2t

t

6. limw!0

ew � w � 1

w2

7. limr!�1

r2

e�r

8. limw!1

ew

w5


9. limt!0

1� 2t

t

10. limz!1

ln z3

pz

11. limq!1

ln q

q

12. limu!1

lnu

u2 � 1

13. limw!1

(lnw)3

w2

14. lims!1

es

ln s

15. limr!0

+

e1/r

ln r

16. limx!1

1� x+ lnx

x3 � 3x+ 2

17. limt!1

t

ln(1 + 2et)

18. limz!0

ez � 1

sen z

19. limx!0

2 sen�⇡

4

� x)�p2

x

20. limy!0

sec y � 1

y sec y

21. lim✓!0

✓ cos ✓ � sen ✓

✓3

22. limu!0

1� cos 2u

1� cosu

23. limw!(⇡/2)

+

tanw

ln(2w � ⇡)

24. lim↵!0

↵ csc(⇡↵)

25. limv!⇡/2

sen(cos v) sec v

26. limr!1

(1� r) tan(⇡r/2)

27. limu!1

lnu ln(u� 1)

28. limy!1

y e�y

2

29. limr!0

r4 e�1/r

30. limv!0

+

v2 ln v

31. limz!�1

z ez

32. limv!1

e�v ln v

33. limx!0

+

px lnx

34. limy!1

y ln

✓y

1 + y

◆

35. limr!0

+

(er � 1) ln r

36. limt!1

t ln

✓e1/t � 5

t

◆

37. limp!1

p� ln p

38. limt!1

te1/t � t

39. limy!1

3y � 2y

40. limz!0

+

1

z+ ln z

41. lims!�1

s+ e�s

42. limx!3

1

x� 3� 5

x2 � x� 6

43. limp!1

1

2(1�pp)

� 1

3(1� 3

pp)

44. limt!1

t

t� 1� 1

ln t

45. lims!1

3

ln s� 2

s� 1

46. limq!0

1

q� 1

eq � 1

47. limt!0

+

csc t� ln t

48. lim�!0

csc� � cot�

49. limr!⇡/2

r tan r � ⇡

2sec r

4.2. Asıntotas 75

50. lim↵!0

csc↵� ↵�1

51. limy!1

y1/y

52. limr!1

r1/(1�r)

53. limq!0

q3/(4+ln q)

54. limt!0

(1� t)1/t

55. limw!0

(1� 2w)1/w

56. limu!0

(1 + u2)1/u

57. limx!0

+

(1/x)x

58. limx!1

+

(x� 1)px�1

59. limz!0

zln(1+z)

60. limq!1

(10q + q)1/q

61. limy!1

(ey + y)3/y

62. limr!1

(ln r)1�r

63. limy!1

✓1 +

1

y

◆y

64. limx!1

✓1� 5

x

◆x

65. lims!1

(s�2 + 3s�1 + 1)s

66. limt!(⇡/2)

�(tan t)2t�⇡

67. lim↵!0

+

(cot↵)sen↵

68. limr!1

�(1� r)cos(r⇡/2)

69. lim✓!(⇡/2)

�(sen ✓)sec ✓

70. limu!0

+

(u+ 1)lnu

71. limv!1

�

✓1� v

v

◆ln v

72. limt!�1

+

✓1

t+ 1

◆t+1

73. limy!1

✓y

y + 1

◆y�1

74. limn!1

⇣1 +

r

n

⌘nt

con r y t constantes, t > 0

4.2 Asıntotas

Una recta asıntota al grafico de y = f(x) es una recta a la cual la curva se aproxima conformex ! 1 o bien conforme y ! 1 (o ambos). Hay tres tipos de rectas asıntotas.

• Horizontal:

Si limx!±1

f(x) = c entonces la recta y = c es una asıntota horizontal.

• Vertical:

Si limx!a

±f(x) = ±1 entonces la recta x = a es una asıntota vertical2.

• Oblicua:

Si limx!±1

f(x)

x= m y lim

x!±1f(x)�mx = b entonces la recta y = mx+ b es una asıntota oblicua.

2

La notacion x ! a

±indica que x ! a por la izquierda o por la derecha, ası como lim = ±1 significa que el lımite

puede ser infinito positivo o negativo. En cualquiera de los cuatro casos hay una asıntota vertical.


El grafico en el Ejemplo 9 (que empieza en la pagina 79) muestra una asıntota vertical y unaoblicua, y el del Ejemplo 10 (empezando en la pagina 80) muestra una vertical y dos horizontales.

Las asıntotas horizontales y las oblicuas son excluyentes: si un grafico tiene una asıntota horizontalen 1 o en �1, no puede tener una oblicua ahı mismo (pero sı es posible tener una horizontal en 1y una oblicua en �1, o viceversa; vea el Ejercicio 100).

Ejemplo 6

El grafico de h(u) =3u� 1

u+ 2tiene:

• limu!±1

h(u) = limu!±1

3u

u= 3, por lo que y = 3 es una asıntota horizontal.

• limu!�2

h(u) =�7

0= ±1 (el signo depende de si u ! �2+ o u ! �2�, pero en

cualquier caso el lımite es infinito), ası que u = �2 es una asıntota vertical.

• Como hay asıntotas horizontales en ±1, el grafico no tiene asıntotas oblicuas.

Ejemplo 7

Para p(t) =2t3 � t2 � 1

1� t2el analisis es el siguiente:

• limt!±1

p(t) = limt!±1

2t3

�t2= ⌥1, ası que no hay asıntotas horizontales.

• limt!�1

p(t) =�4

0= ±1, de modo que t = �1 es una asıntota vertical.

• limt!1

p(t) = limt!1

(t� 1)(2t2 + t+ 1)

(1� t)(1 + t)= lim

t!1

2t2 + t+ 1

�(1 + t)= �2, no 1, por lo que no hay

asıntota vertical en t = 1 (aunque el denominador tiende a cero).

• Por un lado

m = limt!±1

p(t)

t= lim

t!±1

2t3 � t2 � 1

t� t3= �2

y por otro

b = limt!±1

p(t)�mt = limt!±1

2t3 � t2 � 1

1� t2� (�2)t

= limt!±1

�t2 + 2t� 1

1� t2= 1

de manera que y = �2t+ 1 es una asıntota oblicua.

4.3. Trazo de curvas 77

Encuentre las ecuaciones de todas las rectas asıntotas

75.

4

w

76.

t

t2 � 4

77.

p

p2 + 1

78.

6� 2v

v � 3

79.

2� r2

r2 + r

80.

3s

s2 � s� 6

81.

1� q3

1 + q3

82.

2z + 3� z2

2z2 � 3z � 9

83.

vpv2 + 3

84.

rx

x� 3

85.

ew + 1

ew � 1

86.

1� cosx

x2

87. cot t

88.

3u+ 1� sen 2u

u

89.

1

cos↵� 1

90. w +32

w2

91.

r2 � 3r � 1

r � 2

92.

u3 � 1

u2 � 1

93.

t3

4� t2

94.

p� 1

p2 + 1� p

95. u� 2 +u2

u+ 2

96. v � v2 � 1

v3 + 1

97.

s2ps2 � 9

98. 2q + e1�q

99.

3t2 � t� 1� ln t2

t� 2

100.

x ex + 1

ex � 1

101.

2z2 � 2 + ln(1� z)

1 + z

102.

2r2 + sen r

r

103.

w2 � 1 + cos 3w

w + 1

4.3 Trazo de curvas

Para trazar con detalle el grafico de una funcion f pueden darse los siguientes pasos:

1. Determinar el dominio.

2. Determinar las intersecciones con los ejes.

3. Encontrar todas las asıntotas al grafico.

4. Calcular f 0 y hacer su mapa de signos; indicar los extremos relativos.

5. Calcular f 00 y hacer su mapa de signos; indicar los puntos de inflexion.

6. Hacer el cuadro de variacion de f .

7. Trazar el grafico.


Ejemplo 8

Trazar el grafico de h(v) = v3 � 3v2 � 9v + 27.

1. El dominio de h es todo IR.

2. Las intersecciones con los ejes son:

• Con el eje Y : v = 0 ) y = 27, ası que el punto es (0, 27).

• Con el eje V : y = 0 ) 0 = v3�3v2�9v+27 = (v+3)(v�3)2 ) v = 3 o v = �3,por lo que los puntos son (�3, 0) y (3, 0).

3. El grafico no tiene asıntotas.

4. h0(v) = 3v2 � 6v � 9 = 3(v + 1)(v � 3), y sus signos son

h0:

�1 3

+ 0 � 0 +

Hay un maximo en (�1, 32) y un mınimo en (3, 0).

5. h00(v) = 6v � 6, con signos

h00:

1

� 0 +

Hay un punto de inflexion en (1, 16).

6. El cuadro de variacion es

�1 1�1 1 3

h0 + 0 � � 0 +

h00 � � 0 + +7. El grafico es

–32

–16

16

32

–4 –2 1 3


Ejemplo 9

Graficar y =1� t3

1� t2.

1. El dominio es IR� {�1, 1 }.2. Las intersecciones con los ejes son

• Con el eje Y : t = 0 ) y = 1, de modo que el punto es (0, 1).

• Con el eje T : y = 0 ) 0 = 1� t3 ) t = 1, pero 1 no esta en el dominio, ası queno hay intersecciones con el eje T .

3. Las asıntotas son t = �1 y y = t.

4. y0 = t(t+ 2)/(t+ 1)2, con signos

y0:

�2 �1 0

+ 0 �⇥

� 0 +

Hay un maximo en (�2,�3) y un mınimo en (0, 1).

5. y00 = 2/(t+ 1)3, con signos

y00:

�1

�⇥

+

No hay puntos de inflexion.

6. El cuadro de variacion de y es

�1 1�2 �1 0y0 + 0 � ⇥ � 0 +

y00 � � ⇥ + +7. El grafico es

–6

–4

–2

2

4

–6 –4 –2 2 4


Ejemplo 10

Trazar el grafico de una funcion g con dominio IR�{�3 } y con las siguientes condiciones:

• g(�5) = g(0) = g(6) = 0 y g(2) = �2;

• g0(2) = 0, g0(x) > 0 si x < �3 o x > 2, g0(x) < 0 si �3 < x < 2;

• g00(5) = 0, g00(x) > 0 si x < �3 o �3 < x < 5, y g00(x) < 0 si x > 5;

• limx!�3

g(x) = +1, limx!�1 g(x) = �2 y lim

x!1 g(x) = 1.

Toda esa informacion, aunque aparentemente confusa, simplemente describe algunos pun-tos del grafico, su cuadro de variacion y sus asıntotas. Veamos.

• Puntos: como g(�5) = g(0) = g(6) = 0 y g(2) = �2, se deduce que el grafico pasapor los puntos (�5, 0), (0, 0), (6, 0) y (2,�2).

• Cuadro de variacion: g0 es positiva en ]�1,�3[ y en ]2,1[, es negativa en ]�3, 2[ yes cero en x = 2:

g0:

�3 2

+⇥

� 0 +

Luego, g00 es positiva en ]�1,�3[ y en ]�3, 5[, es negativa en ]5,1[ y es cero en x = 5:

g00:

�3 5

+⇥

+ 0 �

El cuadro es ası:�1 1�3 2 5

g0 + ⇥ � 0 + +

g00 + ⇥ + + 0 �

• Asıntotas: x = �3, y = �2 hacia la izquierda y y = 1 hacia la derecha.

Entonces un grafico posible es

�5 �32 5 6

�2

1


Trace el grafico de una funcion que cumpla las condiciones dadas

104. f(1) = 2, f(3) = �1, f 0(1) = f 0(3) = 0, f 0(x) > 0 si x < 1 o x > 3, f 0(x) < 0 si 1 < x < 3,lim

x!�1 f(x) = �1, limx!1 f(x) = 1

105. f(�4) = f(�2) = f(0) = f(2) = 0, f(�1) = �1, f(1) = 2, f 0(�3) = f 0(�1) = f 0(1) = 0,f 0(x) > 0 si x < �3 o �1 < x < 1, f 0(x) < 0 si �3 < x < �1 o x > 1,lim

x!�1 f(x) = limx!1 f(x) = �1

106. f(�1) = 0, f(1) = 4, f 0(�1) = f 0(1) = 0, f 0(x) > 0 si |x| < 1, f 0(x) < 0 si |x| > 1,lim

x!�1 f(x) = limx!1 f(x) = 2

107. f(�2) = 2, f(0) = 1, f 0(�2) no existe, f 0(0) = 0, f 0(x) > 0 si x < �2 o x > 0, f 0(x) < 0 si�2 < x < 0, lim

x!�1 f(x) = 0, limx!1 f(x) = 1

108. domf = ]0,1[� { 2 }, f(1) = 1, limx!0

+ f(x) = limx!2

f(x) = �1, f 0(x) > 0 si 0 < x < 1 ox > 2, f 0(x) < 0 si 1 < x < 2

109. f(0) = f(2) = 0, f 0(x) > 0 para x < 1, f 0(1) = 0, f 0(x) < 0 para x > 1, f 00(x) < 0 paratodo x

110. f(2) = �1, f 0(2) = 1, f 00(x) > 0 para x < 2, f 00(x) < 0 para x > 2

111. f(�3) = 4, f(3) = 0, f 0(�3) = f 0(3) = 0, f 0(x) < 0 para |x| < 3, f 0(x) > 0 para |x| > 3,f 00(x) < 0 para x < 1, f 00(x) > 0 para x > 1

112. f(0) = 0, f 0(0) no existe, f 00(x) < 0 para todo x 6= 0, limx!�1 f(x) = lim

x!1 f(x) = 1

113. f(�2) = f(0) = 0, f(1) = 2, f(2) = 1, f 0(�1) = f 0(1) = 0, f 0(x) > 0 si |x| < 1, f 0(x) < 0 si|x| > 1, f 00(0) = f 00(2) = 0, f 00(x) > 0 si x < 0 o x > 2, f 00(x) < 0 si 0 < x < 2,lim

x!�1 f(x) = 1, limx!1 f(x) = 0

Haga el analisis completo y trace el grafico

114. r3 � 12r + 16

115. q3 � 3q2

116. 7 + 12p+ 3p2 � 2p3

117. 3x4 + 4x3

118. v4 � 12v3 + 48v2 � 64v + 27

119.

q + 2

q + 3

120.

t2

t� 1

121.

w

w2 � 4

122.

2� 2v + v2

1� v

123.

2p2 + 3p

p+ 2

124.

x2 � 9

4� x2

125.

r2 � 2r

(r + 1)2

126.

u3 � 4

u2

127.

v2pv + 1


128.

sps2 + 2

129. t� 12 3

pt

130.

8

xpx2 � 4

131.

p8 + w + 2

p8� w

132.

rx

x� 3

133. ep + e�p

134. ln(w + 2)� w � 1

135. e4x�x

2

136. ln(p2 + 1)

137.

3

1 + e�q

138. cos� para � 2 [�⇡,⇡]

139. t� 2 sen t para t 2 [0, 2⇡]

140. 2u� tanu para u 2 ]�⇡/2,⇡/2[

4.4 Tasas de cambio relacionadas

En algunas situaciones se tienen dos cantidades que varıan con el tiempo, y sus tasas de cambioestan relacionadas por alguna ecuacion. Si se conoce la tasa de cambio de una de las variables,generalmente es posible calcular la tasa de cambio de la otra.

Para resolver estos problemas pueden darse los siguientes pasos.

• Planteo:

1. Identificar las variables.

2. Identificar las derivadas. ¿Cual se conoce y cual se pide?

3. Encontrar una ecuacion que relacione las variables.

• Procedimiento:

4. Derivar la ecuacion anterior con respecto al tiempo.

5. Sustituir los valores conocidos y despejar la derivada que se busca.

6. Responder la pregunta.

Ejemplo 11

Un tanque tiene forma de cono con su vertice en el fondo. Su altura es3m y su radio en la tapa es 1m. El tanque se esta llenando con aguaa razon de ocho litros por segundo. ¿A que velocidad aumenta el niveldel agua cuando alcanza los 2m?

AAAAAA�

��

� -1m

6

?

3m

h

r

1. Las dos variables son V , el volumen de agua dentro del tanque, y h, el nivel del agua.Midamos V en dm3 (que equivalen a litros), h en dm y el tiempo en segundos.

2. Se sabe que V 0 = 8 (ocho litros por segundo equivalen a 8 dm3/s), y se pide averiguarh0 en el momento en que h = 20dm.

4.4. Tasas de cambio relacionadas 83

3. Definamos r como el radio de la superficie del agua, como en la figura. Entonces

V =1

3⇡r2h

(recuerde las formulas en la pagina 65). Por semejanza de triangulos notamos que

r

h=

1

3) r =

h

3

ası que

V =1

3⇡

✓h

3

◆2

h =⇡h3

27

4. Usamos derivacion implıcita (porque V y h son funciones de t, el tiempo):

V 0 =3⇡ h2 h0

27=

⇡ h2 h0

9

5. Sabemos que V 0 = 8 y que h = 20 en el momento que nos interesa. Entonces

8 =⇡ 202 h0

9

de donde despejamos h0 = (8)(9)/(400⇡) ⇡ 0.0572958, en dm/s.

6. El nivel del agua esta subiendo aproximadamente 5.73mm/s.

Algunos problemas pueden involucrar mas de dos variables. En ese caso, para encontrar la razonde cambio de una de ellas puede ser necesario conocer todas las demas.

Ejemplo 12

Una lınea de tren y una carretera, ambas rectas, forman angulo rectoen el punto P donde se intersecan. Un tren viaja hacia el punto P a50 km/h y un automovil viaja hacia el mismo punto a 60 km/h. Los dosllegaran al punto P al mismo tiempo. ¿A que velocidad disminuye ladistancia entre ellos 5 segundos antes del choque?

�

6

rP bx

by d

1. En este caso tenemos tres variables: x la distancia del tren a P , y la distancia delautomovil a P y d la distancia entre ellos.

2. Si medimos las distancias en metros y el tiempo en segundos, entonces conocemosx0 = �13.8 y y0 = �16.6, ambas en m/s, y negativas porque las dos distancias estandisminuyendo.

El problema pide calcular d0.

3. Por el teorema de Pitagoras es claro que d2 = x2 + y2.

4. Derivando con respecto al tiempo obtenemos

2dd0 = 2xx0 + 2yy0


5. Conocemos x0 y y0, y sabemos que d0 es la incognita. Pero todavıa necesitamosdeterminar x, y y d para terminar de sustituir.

Como faltan 5 s para el choque, x = 5(13.8) = 69.4 y y = 5(16.6) = 83.3, ambos enmetros. Ademas, d =

px2 + y2 ⇡ 108.476, tambien en metros.

Entonces

2(108.476)d0 = 2(69.4)(�13.8) + 2(83.3)(�16.6) = �4706.79

y de allı despejamos d0 = �21.6951.

6. En ese momento la velocidad entre ellos disminuye a 21.6951m/s.

Resuelva

141. Una escalera de 4m de longitud esta apoyada en una pared vertical. Su extremo inferior resbala,alejandose de la pared a 25 cm/s. ¿A que velocidad se desliza por la pared el extremo superiorde la escalera cuando le faltan 2m para llegar al suelo?

142. Un hombre esta parado en el borde de un muelle, remolcando con una cuerda una lancha. Elrecoje la cuerda a 40 cm/s, y sus manos estan 2m por encima del punto en que la cuerda estaatada a la lancha. ¿A que velocidad se acerca la lancha al muelle cuando le faltan 3m parallegar?

143. Un poste vertical de 6m de altura ilumina una calle horizontal. Una persona de 1.7m deestatura camina hacia el poste a 100m/min. ¿Cual es la velocidad, en m/s, del extremo de lasombra cuando la persona esta a 4m del poste?

144. Una piedra cae en una laguna, creando una onda circular que crece centrada en el punto decontacto. El radio de la onda aumenta a 30 cm/s. ¿A que velocidad crece el area del cırculoencerrado por la onda cuando su radio es 1m?

145. Un globo esferico se llena con agua a razon de 100 cm3 por segundo. ¿Que tan rapido aumentael radio del globo cuando el volumen es 1000 cm3?

146. Una esfera de hielo se derrite de manera tal que su superficie decrece a 2 cm2 por minuto. ¿Aque velocidad disminuye el radio de la esfera cuando es 15 cm?

147. Conforme una gota esferica de lluvia cae, se evapora a una tasa proporcional a su superficie.Muestre que el radio decrece con una velocidad constante.

148. Un tanque conico tiene su vertice abajo, y mide 2m de altura y 2m de radio en la parte superior.Por su extremo inferior esta saliendo agua a razon de 25 litros por segundo. Al mismo tiempo,al tanque le entra agua por su parte superior a una tasa constante de litros por segundo. Si elnivel de agua desciende a 5mm/s cuando es igual a un metro, ¿a que tasa le esta entrando aguaal tanque?

149. Se esta depositando arena en una pila conica cuyo diametro en la base se mantiene igual a sualtura. Si la arena se deposita a 0.8m3 por minuto, ¿a que velocidad, en cm/s, esta aumentandola altura de la pila cuando llega a un metro?

4.4. Tasas de cambio relacionadas 85

150. Una canoa de desague mide tres metros de largo, y sus extremos son triangulos isosceles de10 cm de altura y 10 cm de base, con su vertice hacia abajo. Si la canoa esta recibiendo agua a50 cm3/s (y esta agua no sale), ¿a que velocidad aumenta el nivel del agua cuando ha alcanzadolos 8 cm?

151. Una piscina mide 12m de largo y 6m de ancho. Su profundidad es 1.2m en un extremo y 2.7men el otro extremo, aumentando en lınea recta de un extremo al otro. Si se bombea agua en lapiscina a 3m3 por minuto, ¿que tan rapido sube el nivel del agua cuando es 1m en el extremomas profundo?

152. Una escalera de 4m de longitud esta apoyada en una pared vertical. Su extremo inferior resbala,alejandose de la pared a 25 cm/s. ¿A que velocidad aumenta el angulo entre la pared y la escaleracuando el extremo superior esta 2m sobre el suelo?

153. Un poste vertical de 5m de altura arroja una sombra cuya longitud varıa conforme el sol semueve alrededor de la Tierra3. Suponiendo que el sol se dirige hacia el cenit (el punto mas altoen la esfera celeste, directamente sobre el observador), ¿que tan rapido disminuye la longitud dela sombra cuando es igual a un metro?

154. Una ambulancia esta detenida a 13m de una larga pared recta. La luz en el techo de laambulancia gira a 40 revoluciones por minuto, y su proyeccion se mueve a lo largo de la pared.¿Con que velocidad se mueve la proyeccion cuando el rayo de luz forma un angulo de 30� con lapared?

155. Un avion vuela a una altura constante de 10 000m sobre terreno horizontal, en lınea recta y avelocidad constante. Un radar en tierra, directamente delante del avion, percibe un angulo deelevacion que aumenta a 0.5� por segundo cuando el avion esta a 14 km de distancia del radar.¿Cual es la velocidad del avion?

156. Un avion vuela a 400 km/h elevandose con un angulo de 20�. Cuando alcanza una altura de2500m, ¿a que velocidad esta cambiando la distancia entre el avion y el punto P en la tierradirectamente debajo de el? (Suponga que ese punto es fijo y que no se mueve con el avion.)

3

Claro que es la Tierra la que se mueve alrededor del Sol, pero podemos tomar como referencia un punto fijo en la

Tierra y suponer que es el Sol el que gira.

Cap

´

ıtulo 5

Integracion

5.1 La integral indefinida

Si f es una funcion, una antiderivada de f es una funcion F cuya derivada es f ; es decir, una funcionF tal que F 0 = f . Por ejemplo, una antiderivada de f(x) = 2x es F (x) = x2, y una antiderivada deg(t) = 1+ t3 es G(t) = t+ 1

4

t4. Pero las antiderivadas no son unicas. Otras antiderivadas de f(x) = 2xson x2 + 1, x2 � 3 y en general x2 + C para cualquier constante C.

La integral indefinida de f(x), denotadaRf(x) dx, es la familia de todas las antiderivadas de f(x).

En los ejemplos recien mencionados,

Zf(x) dx =

Z2x dx = x2 + C

yZ

g(t) dt =

Z(1 + t3) dt = t+ 1

4

t4 + C

donde C 2 IR es cualquier constante, llamada la constante de integracion.

Algunas formulas importantes:

•Z

k dx = kx+ C si k es constante

•Z

xn dx =xn+1

n+ 1+ C si n 6= �1

•Z

x�1 dx = ln |x|+ C

•Z

exdx = ex + C

•Z

axdx =ax

ln a+ C para a > 0, a 6= 1

•Z ⇥

af(x) + bg(x)⇤dx = a

Zf(x) dx+ b

Zg(x) dx para a, b 2 IR

88 Capıtulo 5. Integracion

Tambien, de las formulas de derivadas de funciones trigonometricas y trigonometricas inversasobtenemos, omitiendo la constante de integracion en cada caso:

•Z

cosx dx = senx

•Z

senx dx = � cosx

•Z

sec2 x dx = tanx

•Z

secx tanx dx = secx

•Z

csc2 x dx = � cotx

•Z

cscx cotx dx = � cscx

•Z

dx

1 + x2= arctanx

•Z

dxp1� x2

= arcsenx

•Z

dx

xpx2 � 1

= ± arcsecx

(en esta ultima, el signo es + si x > 0 o � si x < 0).

Ejemplo 1

La integral de 2pu� 5u +

3

ues

Z(2pu� 5u + 3u�1)du = 2

Zu1/2 du�

Z5u du+ 3

Zu�1 du

= 2u3/2

3/2� 5u

ln 5+ 3 ln |u|+ C

=4

3u3/2 � 1

ln 55u + 3 ln |u|+ C

Ejemplo 2

Encontrar una funcion h tal que h0(x) =x2 � 4

2x2y que h(2) = �1.

Sabemos que h es una antiderivada de h0, ası que

h(x) =

Zx2 � 4

2x2dx =

Z ✓1

2� 2x�2

◆dx

=1

2x� 2

x�1

�1+ C =

1

2x+ 2x�1 + C

donde C es alguna constante que falta determinar. Para determinarla usamos el datoh(2) = �1:

�1 = h(2) = 1

2

(2) + 2(2)�1 + C = 2 + C ) C = �3

Entonces la solucion es h(x) = 1

2

x+ 2x�1 � 3.

5.1. La integral indefinida 89

Calcule

1.

Z5 du

2.

Z6y dy

3.

Z(2t+

p3) dt

4.

Z(3w2 + 8w � 4) dw

5.

Z(2x3 � 5x+ 1) dx

6.

Z(6q3 � q2/3 + 5q�2) dq

7.

Z(3 sen ✓ � 2 cos ✓) d✓

8.

Z(cos z + 3 sec2 z) dz

9.

Z ✓2

t� 5 + sec t tan t

◆dt

10.

Z(5r4 + csc r cot r) dr

11.

Z(pr + 1)(3r + 4r�1) dr

12.

Zp2(5p� 3

pp) dp

13.

Z ✓pu+

3pu

◆du

14.

Z5s2 � 3s+ 1

2ps

ds

15.

Z(2v � 1)2

3pv3

dv

16.

Z ✓2

t2+

1

3t5� 1p

t

◆dt

17.

Z ✓4

t2+

3

t+

2pt

◆dt

18.

Z13s14 � 5s6 + 2s

4s2ds

19.

Z ✓3

z� 1

z2+ 2

◆5

zdz

20.

Z(w2 � 2)(w2 + 2)

4w3

dw

21.

Z(w2 � 3)(w2 + 6)

3w3

dw

22.

Z(3x2 � ex) dx

23.

Zer � 2r

5dr

24.

Z(ev + ve) dv

25.

Z(t3 � 3t) dt

26.

Z(2z � (1/2)z) dz

27.

Z(10w � 1)2 dw

28.

Z4e2u du

29.

Zet + e�t

2dt

30.

Z6x � 4 · 15x

32xdx

31.

Z(ev � 2)3 dv

32.

Z(eq � 1)(eq + 1)

eqdq

33.

Z2

3y2 + 3dy

34.

Z12p

9� (3u)2du


Encuentre la funcion que cumple las condiciones dadas

35. y0 = 6s� 7, y(2) = 1

36. p0 = 2pw + 1, p(1) = 4

37. r0 = 5z4 +2

z, r(�1) = 0

38. w0 = 2q � 6eq, w(1) = 1

39. u0 = 2 + 5 cos�, u(⇡/2) = ⇡

40. w0 = x� 1/(x2 + 1), w(1) = ⇡/4

41. z00 = 6r2 + 2 + r�2, z0(�1) = �1, z(1) = 1/2

42. d2y/dv2 = 0, y0(0) = �3, y(�4) = 13

43. u00 = �18z, u(�1) = 10, u(1) = �6

44. q00 = 12t2 � 12t� et, q0(1) = �1� e, q(1) = 0

45. v000 = 2p�5/3, v00(1) = 0, v0(1) = v(0) = �2

46. z000 = 30� cos ✓, z0(0) = 1, z0(⇡/2) = 4⇡2, z(0) = �1

Resuelva

47. El conductor de un automovil aplica los frenos y su velocidad, t segundos despues, es v(t) = 16�3ten m/s. ¿Que distancia recorre durante los siguientes 4 s?

48. Un objeto se deja caer desde una altura de 40m, y su velocidad t segundos despues sera v(t) =�9.8tm/s. Encuentre una formula para h(t), la altura a los t segundos. ¿Cuanto tarda el objetoen caer al suelo? ¿Con que velocidad golpea el suelo?

49. Un objeto se mueve acelerando y desacelerando de modo que su velocidad a los t segundos esv(t) = t� 0.8 sen t. ¿Que distancia recorre durante los primeros 10 s?

50. Conforme un globo se infla, su radio crece a una tasa de 8/(1 + t2) cm/s, donde t es el numerode segundos desde que empezo a inflarse. Si el radio inicial es 0 cm, ¿que volumen alcanza luegode dos segundos?

51. Se estima que el numero de afiliados a cierto servicio aumenta a razon de 100 + 210 t3/4 pormes, a los t meses de iniciarse el servicio (por ejemplo, con t = 1, el primer mes se afilian100+210(1)3/4 = 310 nuevos clientes; con t = 2, el segundo mes se afilian 100+210(2)3/4 ⇡ 453clientes mas). Si ya 3500 personas se habıan afiliado en el momento en que se inicio el servicio,encuentre una funcion que de el numero de afiliados a los t meses. ¿Cuantos afiliados habra alfinal del primer ano?

52. Sea P (t) la poblacion de Costa Rica t anos despues de 1900. En los ultimos cien anos la tasa decrecimiento de la poblacion ha sido P 0(t) = 6037 · 1.02973t. Suponiendo que lim

t!�1 P (t) = 0,encuentre una formula para P (t). ¿Cuanto fue la poblacion estimada en el ano 1984?

5.2. La integral definida 91

5.2 La integral definida

Si f es una funcion continua en un intervalo [a, b], entonces la integral definida de f desde a hasta b,

denotadaRb

a

f(x) dx, representa el area entre el eje X y el grafico de f desde a hasta b.El Primer teorema fundamental del Calculo establece que si F es cualquier antiderivada de f

entonces Zb

a

f(x) dx = F (b)� F (a)

Las integrales definidas cumplen estas propiedades:

•Z

b

a

f(x) dx = �Z

a

b

f(x) dx

•Z

b

a

f(x) dx =

Zc

a

f(x) dx+

Zb

c

f(x) dx para cualquier c 2 [a, b]

•Z

c

c

f(x) dx = 0 para cualquier c 2 [a, b]

Ejemplo 3

Para calcular la integral definida de g(t) = 3t2 � 6t + 5 en el intervalo [�1, 4] se necesitaencontrar una antiderivada de g, como

G(t) =

Z(3t2 � 6t+ 5) dt = t3 � 3t2 + 5t

No hace falta escribir el tradicional + C en la formula de G(t), porque para la integraldefinida se usa cualquier antiderivada de g. La funcion G(t) = t3 � 3t2 + 5t es una demuchas antiderivadas, la mas sencilla, y con ella basta. Entonces

Z4

�1

(3t2 � 6t+ 5) dt = G(4)�G(�1) = (36)� (�9) = 45

El valor de la integral del ejemplo anterior es el area entre el eje X y el grafico de la funcion sobreel intervalo [�1, 4], como en la siguiente figura.

0

5

10

15

20

25

30

–2 –1 1 2 3 4 5


En la practica, el procedimiento puede escribirse en forma continua, sin necesidad de encontrarpor separado la integral indefinida:

Z4

�1

(3t2 � 6t+ 5) dt = (t3 � 3t2 + 5t)��4

�1

= (43 � 3 · 42 + 5 · 4)� ((�1)3 � 3(�1)2 + 5(�1))

= (36)� (�9) = 45

donde la notacion G(t)��ba

representa G(b)�G(a).

Para calcular el area entre dos curvas se integra la diferencia entre las dos funciones: la superiormenos la inferior (y si por error se restara la inferior menos la superior, la consecuencia sera que elvalor de la integral tendra signo negativo; tomar el valor absoluto del resultado corregira el error).

Ejemplo 4

Calcular el area encerrada entre las parabolas dadas por y1

= 2x2 � 3x� 8 y y2

= �4x2 �4x+ 7, como muestra la figura:

–10

–5

5

–3 –2 –1 1 2

Notamos que el grafico superior es el de y2

(porque es concavo hacia abajo) y el inferiorel de y

1

. Entonces el area sera la integral de y2

� y1

sobre el intervalo entre las dosintersecciones. Los puntos de interseccion se encuentran resolviendo y

1

= y2

:

2x2 � 3x� 8 = �4x2 � 4x+ 7 ) 6x2 + x� 15 = 0

cuyas soluciones son x1

= �5

3

y x2

= 3

2

, ası que el area es

A =

Z3/2

�5/3

(y2

� y1

) dx =

Z3/2

�5/3

(�6x2 � x+ 15) dx = · · · = 6859

216⇡ 31.755

Ejemplo 5

Calcular el area encerrada entre el grafico de y1

= 6x3 � 9x y el de y2

= 13x2 � 10.

Esta vez no disponemos del grafico, pero eso no nos detendra. Los puntos de interseccionse encuentran resolviendo

y1

= y2

) 6x3 � 13x2 � 9x+ 10 = 0


cuyas soluciones, de izquierda a derecha, son x1

= �1, x2

= 2

3

y x3

= 5

2

.

Como son mas de dos puntos de interseccion, necesitamos separar el area en dos partes: A1

el area desde �1 hasta 2

3

, y A2

desde 2

3

hasta 5

2

(compare con los graficos de los ejercicios73 y 74, en la pagina 96). Lo que resta por averiguar es si en cada parte debe integrarsey1

� y2

o y2

� y1

.

Para A1

, en [�1, 23

], podemos tomar un punto de prueba en el intervalo, digamos x = 0, yevaluar y

1

y y2

allı. Como y1

(0) = 0 y y2

(0) = �10, vemos que y1

> y2

en [�1, 23

] y queentonces debe integrarse y

1

� y2

(la mayor menos la menor):

A1

=

Z2/3

�1

(y1

� y2

) dx =

Z2/3

�1

(6x3 � 13x2 � 9x+ 10) dx

=1000

81⇡ 12.3457

Para A2

, en [23

, 52

], tomemos el punto de prueba x = 1. Que y1

(1) = �3 y y2

(1) = 3 indicaque y

1

< y2

en ese intervalo. Entonces integramos y2

� y1

:

A2

=

Z5/2

2/3

(y2

� y1

) dx =

Z5/2

2/3

(�6x3 + 13x2 + 9x� 10) dx

=41261

2592⇡ 15.9186

Finalmente, el area total es A1

+A2

⇡ 28.2643.

Una integral definida tambien puede interpretarse como el incremento en una funcion a lo largo deun intervalo. Especıficamente, si g es una funcion derivable en [a, b], entonces g es una antiderivada

de g0, de modo queRb

a

g0(x) dx = g(b)�g(a). Esta ultima diferencia mide el incremento en g a lo largodel intervalo [a, b]: cuanto aumenta el valor de g cuando x varıa desde a hasta b. En resumen,

Zb

a

g0(x) dx = incremento en g a lo largo de [a, b]

(note con cuidado que no esRb

a

g sinoRb

a

g0 ). Vea el siguiente ejemplo, y use esta idea para resolverlos ejercicios 90 y siguientes.

Ejemplo 6

El valor V de un inmueble, en millones de colones, se ha estado incrementando a unatasa V 0(t) = 0.7 · 1.085t por ano, donde t es el numero de anos desde 1998, ano en que secompro por C||8.3 millones. ¿En cuanto se incremento el valor del inmueble entre los anos2002 y 2005?

En el 2002 era t = 4, y en el 2005, t = 7. Entonces el incremento que buscamos es la dife-rencia entre V (4) y V (7), los valores del inmueble en los anos 2002 y 2005 respectivamente:

V (7)� V (4) =

Z7

4

V 0(t) dt =

Z7

4

0.7 · 1.085t dt

= 0.71.085t

ln 1.085

��7

4

= 15.188769� 11.891410

= 3.297359


en millones de colones: el valor de inmueble se incremento en C||3 297 359 durante eseperıodo.

El Segundo teorema fundamental del Calculo dice que si f es una funcion continua en el intervalo[a, b] y se define la funcion F (x) =

Rx

a

f(t) dt para x 2 [a, b], entonces F 0(x) = f(x). En otrossimbolos1,

d

dx

Zx

a

f(t) dt = f(x)

Ejemplo 7

a. Si se define A(x) =

Zx

�1

p1 + u3 du entonces, aunque no podamos calcular A(x), sabe-

mos por el segundo teorema fundamental del Calculo que A0(x) =p1 + x3.

b. Para calcular la derivada de B(y) =

Z5

y

e�t

2

dt usamos el hecho de queRb

a

= �Ra

b

:

B0(y) =

✓�Z

y

5

e�t

2

dt

◆0= �e�y

2

c. La derivada de C(u) =

Zu

7

2

cosx2 dx se calcula usando la regla de la cadena:

C 0(u) = cos�(u7)2

�· 7u6

d. Para derivar la funcionD(t) =

Z2t

3

4t

2

sen(lnx) dx tomamos un c entre 4t2 y 2t3, constante,

y escribimos

D0(t) =

Z2t

3

4t

2

sen(lnx) dx

!0

=

Zc

4t

2

sen(lnx) dx+

Z2t

3

c

sen(lnx) dx

!0

= � sen⇥ln(4t2)

⇤8t+ sen

⇥ln(2t3)

⇤6t2

La cuarta integral en el ejemplo anterior ilustra la regla de la integral de Leibniz, que dice que

d

dx

Zq(x)

p(x)

f(t) dt = f(q(x)) q0(x)� f(p(x)) p0(x)

1

Note que como consecuencia del primer teorema fundamental del Calculo vimos que

R b

ag

0= g(b)� g(a), que puede

interpretarse como que la integral de una derivada es la funcion original. El segundo teorema fundamental del Calculo

dice ahora que la derivada de una integral es tambien la funcion original.


Para finalizar, una advertencia sobre la formula

Zdx

xpx2 � 1

= ± arcsecx+C: si ella se usa en una

integral definida, el signo sera positivo si x > 1 o negativo si x < 1 (note que no puede ser �1 x 1por el dominio de la funcion). Por ejemplo,

Z6

4

dx

xpx2 � 1

= arcsecx��6

4

y

Z �3

�10

dx

xpx2 � 1

= � arcsecx��3

�10

Calcule

53.

Z2

0

(3x2 � 8x+ 6) dx

54.

Z3

�2

p3(p� 4p�2) dp

55.

Z4

1

(6pq � 2q�4) dq

56.

Z12

4

(4� 5sps) ds

57.

Z8

�8

(u1/3 + u�1/3) du

58.

Z5

2

r2 +

1

(3r)2

�dr

59.

Z2

1

t2 + 1

t3dt

60.

Z1

�1

2v dv

61.

Z⇡

�⇡/2

⇥4 cos r + sen(r � ⇡

2

)⇤dr

62.

Z1/2

�1/2

d✓p1� ✓2

63.

Z2

p2

dy

ypy2 � 1

64.

Z �2/

p3

�2

du

upu2 � 1

65.

Z3

�2

|y| dy

66.

Z5

1

|6� 4u| du

67.

Z3

�1

(mx+ b) dx

68.

Z2a

a

1

zdz con a 6= 0

Calcule el area sombreada

69.

0

4

8

12

1 2 3 4

y =5 +

6x�x2

70.

0

1

2

–2 –1

y = 1� 2x� x2


71.

0

–1

–2

1 2 3 4 5

y= p

x�x

72.

10

–1 1 2

y =3x

+ 5

y = 5x2 � 3

73.

–6

–3

–2 –1 1 2 3

y = x2 � x3 + 4x� 4

74.

–1 1 2y = 2x3 � 3x2

y = x2 � 2

75.

1

2

1

y = 2

y = 1/x

y = x2

76.

1

0.5

y = x+ 1

y = x2 � 2x

y = x2 + 2x

Calcule el area encerrada entre los graficos de . . .

77. y = 0, y = 1� x2, x = �1, x = 1

78. y = 0, y = x�2, x = 3, x = 5

79. y = sen ✓, y = cos ✓, ✓ = �3⇡/4,✓ = ⇡/4

80. y = sec t tan t, y = 0, t = 0, t = 1

81. y = 0, y = 2� |x|, x = �2, x = 2

82. y = 0, y = 3� 2x� x2

5.3. Integracion por sustitucion 97

83. y = 0, y = 1/x2, x = 1, x = 5

84. y = x2, y = x3

85. y = x2 � 4x+ 3, y = 3 + 2x� x2

86. y = 1, 1/(1 + x2)

87. y = x4 � 2x2, y = 2x2

88. y = t(t� 2), y = t

89. y = x3, y = 3x� 2

Resuelva

90. El numero de unidades de un artıculo que produce una fabrica depende de la cantidad de mano deobra disponible. Se ha determinado que la produccion P (en unidades producidas) aumenta conla mano de obra x (en unidades de mano de obra disponibles) a una tasa P 0(x) = 1

15

x2�4x+70.Calcule el aumento en la produccion cuando la mano de obra aumenta de 30 a 36 unidades.

91. Se estima que en cierta ciudad el costo habitacional mensual, en dolares, estara aumentandodentro de t anos a la tasa C 0(t) = 56e�0.16t. ¿En cuanto aumentara el costo habitacionalmensual durante los proximos tres anos?

92. En el Ejercicio 52, suponiendo que se mantiene la tasa de crecimiento, estime el aumento en lapoblacion entre los anos 2010 y 2020.

93. El flujo de caja de un nuevo restaurante durante los primeros tres meses de operacion es f(x) =0.15x2 � 0.001x3 miles de colones por dıa, donde x es el numero de dıas desde la inauguracion.¿Cuanto es el ingreso durante los primeros 30 dıas? ¿Durante los siguientes 30 dıas?

94. Un objeto se mueve acelerando y desacelerando de modo que su velocidad a los t segundos esv(t) = t� 0.8 sen t. ¿Que distancia recorre entre los 5 s y los 15 s?

Derive

95. cosx ·Z

3

x

2

tet2

dt

96.

Ze

t

4

lnu du

2t

5.3 Integracion por sustitucion

Si u = f(x), entonces su derivada puede denotarsedu

dx= f 0(x). De aquı se puede despejar

du = f 0(x) dx (du es el diferencial de u, y dx el de x). Entonces se tiene la igualdad

Zg(u) du =

Zg[f(x)] f 0(x) dx

que puede simplificar el calculo de algunas integrales.


Ejemplo 8

Para calcular I =

Z2x(x2 + 4)6 dx podemos tomar u = x2 + 4 y notar que du = u0 dx =

2x dx. De aquı que

I =

Z2x(x2 + 4)6 dx =

Z(x2 + 4)6 · 2x dx

y como (x2 + 4)6 es igual a u6, y 2x dx es precisamente du, entonces

I =

Zu6 du = 1

7

u7 + C = 1

7

(x2 + 4)7 + C

Comprobemos: la derivada de 1

7

(x2 + 4)7 + C es

⇥1

7

(x2 + 4)7 + C⇤0= 1

7

· 7(x2 + 4)6 · 2x = 2x(x2 + 4)6

ası que 1

7

(x2 + 4)7 + C es la integral de 2x(x2 + 4)6, como debıa ser.

En general, el metodo de sustitucion (o cambio de variable) se recomienda cuando se necesitaintegrar una composicion de funciones. En tal caso, la seleccion mas natural para la nueva variable esla funcion que esta dentro de la composicion; en el ejemplo anterior, u = x2 + 4 era la parte dentrodel parentesis.

Note que este metodo consta de tres pasos:

1. Definir una nueva variable que simplifique la expresion por integrar.

2. Calcular la integral en terminos de la nueva variable.

3. Escribir el resultado en terminos de la variable original.

Ejemplo 9

Calcular J =

Zcot t dt.

Tenemos

J =

Zcos t dt

sen t

y notando que el numerador es precisamente el diferencial del denominador, hacemos lasustitucion z = sen t de modo que dz = cos t dt y entonces

J =

Zdz

z= ln |z|+ C = ln | sen t|+ C


Ejemplo 10

Calcular K =

Zyp

1� 2y dy.

Empezamos por tomar u = 1�2y, de donde calculamos du = �2dy. Es obvio que la partep1� 2y es igual a

pu, pero el resto, y dy, no se ajusta a du tan bien como en los ejemplos

anteriores. Necesitamos averiguar, por separado, que son y y dy en terminos de u, para locual los despejamos en las formulas de u y du respectivamente:

u = 1� 2y ) y =1� u

2

du = �2dy ) dy =du

�2

Entonces

K =

Z1� u

2

pu

du

�2= �1

4

Z(1� u)u1/2du

= �1

4

Z(u1/2 � u3/2) du = �1

4

u3/2

3/2� u5/2

5/2

!+ C

= �1

6(1� 2y)3/2 +

1

10(1� 2y)5/2 + C

En algunos casos puede ser necesario hacer mas de un cambio de variable.

Ejemplo 11

Calcular L =

Z(q + 2)3 dqp1 + (3q + 6)4

.

Podemos definir u = 3q + 6 (la parte mas interna en la composicion), con du = 3dq.Entonces

L =

Z(q + 2)3 dqp

1 + u4

Ahora necesitamos notar que como u = 3q+6 = 3(q+2) entonces q+2 = 1

3

u, y que comodu = 3dq entonces dq = 1

3

du. De ahı obtenemos que

L =

Z(13

u)3 1

3

dup1 + u4

=

Z1

27

u3 · 1

3

dup1 + u4

=1

81

Zu3 dup1 + u4

=1

81

Z(1 + u4)�1/2 u3 du

Esta integral todavıa no es inmediata, pero podemos hacer una segunda sustitucion:tomando la parte dentro del parentesis, r = 1 + u4, tendremos dr = 4u3du, ası queu3du = 1

4

dr. Ahora

L =1

81

Zr�1/2

1

4

dr =1

324

Zr�1/2 dr

=1

324· r

1/2

1/2+ C =

1

162r1/2 + C


Lo ultimo es devolver las sustituciones. Recordando que r = 1+ u4 y u = 3q+ 6, tenemos

L =1

162

p1 + u4 + C =

1

162

p1 + (3q + 6)4 + C

Con algo de practica puede verse la posibilidad de resolver la integral del ejemplo anterior haciendouna sola sustitucion,

t = 1 + (3q + 6)4

(el subradical completo), con

dt = 12(3q + 6)3 dq = 12(3)3(q + 2)3 dq = 324(q + 2)3 dq

De aquı el numerador, (q + 2)3 dq, resulta ser 1

324

dt, y entonces

K =

Z1

324

dtpt

=1

324

Zt�1/2dt

=1

324· t

1/2

1/2=

1

162

pt+ C

=1

162

p1 + (3q + 6)4 + C

Si la integral es definida, para hacer una sustitucion se pueden cambiar los lımites de integracionde acuerdo con el cambio de variable, y calcular la nueva integral definida sin necesidad de regresar ala variable original.

Ejemplo 12

Para calcular M =

Z2

�1

dw

9w2 � 6w + 2podrıamos intentar la sustitucion x = 9w2� 6w+2,

pero su diferencial, dx = (18w � 6)dw, no se ajusta al numerador presente.

En vez de eso, completemos un cuadrado en el denominador:

9w2 � 6w + 2 = 9w2 � 6w + 1 + 1 = (3w � 1)2 + 1

lo que sugiere que tomemos x = 3w�1, con dx = 3dw. Entonces el numerador se convierteen 1

3

dx y el denominador en x2+1. Pero tambien los lımites de integracion se transforman:

w = �1 ) x = 3(�1)� 1 = �4

w = 2 ) x = 3(2)� 1 = 5

Finalmente,

M =

Z5

�4

1

3

dx

x2 + 1=

1

3arctanx

��5

�4

=1

3(arctan 5� arctan(�4)) ⇡ 0.899739


Calcule

97.

Z12y2(6y3 � 7)4 dy

98.

Z6w(5w2 + 4)2/3 dw

99.

Z1

�1

4yp5y2 + 4 dy

100.

Zdqp6q � 5

101.

Zv dvpv2 + 1

102.

Z5t+ 4

3

p1 + 8t+ 5t2

dt

103.

Zx2 dx

(5x3 � 4)7

104.

Z1

�1

x2

(2� x3)2dx

105.

Zu dup2u+ 1

106.

Z7

2

qpq + 2 dq

107.

Zp3 5

p4� p2 dp

108.

Zr2p1� r dr

109.

Z(s3 + 4s)

ps2 + 4 ds

110.

Z5

2� xdx

111.

Z24q

4q2 + 7dq

112.

Z1

�2

p

5� p2dp

113.

Z2

1

v2 + 3

2v3 + 18v � 5dv

114.

Z3t+ 2

3t2 + 4tdt

115.

Z(z + 1)(z � 4)

z + 5dz

116.

Z2y � 1

3y � 1dy

117.

Z �1

0

x+ 1

x+ 2dx

118.

Z ✓3

z2� 3z

z2 + 1

◆dz

119.

Zer � e�r

er + e�r

dr

120.

Zev � 2

3ev + 5� 6vdv

121.

Z1

0

dp

1 +pp

122.

Zdu

(1 +pu)2

123.

Z2t � 1

5 + t ln 2� 2tdt

124.

Zdx

(ax+ b)k

125.

Ze3p�1 dp

126.

Z5w e1�w

2

dw

127.

Z ⇣eu/2 + e�u/2

⌘2

du

128.

Ze1/z

z2dz

129.

Z0.3

�0.1

z ez2�4 dz

130.

Zdxpex

131.

Zln 8

ln 3

erp1 + er dr


132.

Z2pt

ptdt

133.

Z3y 101�y

2

dy

134.

Zdv

v 5ln v

135.

Ztan ✓ d✓

136.

Z⇡/2

⇡/4

6 cos 2y dy

137.

Z3 cos2(⇡w) sen(⇡w) dw

138.

Zcsc2(7↵) d↵

139.

Z⇡/4

⇡/6

3 sec2 u (tanu+ 5) du

140.

Ztan ✓psec ✓

d✓

141.

Z �1

�2

cos(1/r)

r2dr

142.

Z9

1 + 9v2dv

143.

Z p2

0

1p4� t2

dt

144.

Zarctan z

1 + z2dz

145.

Z9 dx

26 + x2 � 10x

146.

Z6 dw

5� 12w + 9w2

147.

Zdup

6u� u2 � 8

148.

Zdy

(2y + 1)p4y2 + 4y

149.

Zer dr

1 + e2r

150.

Zsenx ecosx dx

151.

Zer dr

1 + 2er

152.

Z1

�1

dt

1 + e�t

153.

Zln(p+ 1)

p+ 1dp

154.

Zln 2

0

eu dupeu � 1

155.

Z0.5

0.2

dq

q ln q

156.

Z1 + lnx

x lnxdx

157.

Zdw

(w � 1) ln2(1� w)

158.

Zdr

rpln r

159.

Z5t ln(t2 + 1)

t2 + 1dt

160.

Zln2(y + 1)

y + 1dy

161.

Z2s2 + 1

sps2 + ln s

ds

162.

Z3

p1 +

pvp

vdv

163.

Zu du

(u2 + 1)p1 + ln(u2 + 1)

164.

Zln(p+ 1) dp

(p+ 1)q1 + ln2(p+ 1)

165.

Zx ex

2

pex2 + 1 dx

166.

Zz 104z

2

+1

1� 104z2+1

dz

167.

Zx

1

4y2p1 + y3 dy


Calcule el area encerrada entre los graficos de . . .

168. y = 0, y =px+ 9, x = �5, x = 0

169. y = 0, y = e3x, x = �1, x = 0

170. y = 0, y = x/p16� x2, x = 3

171. y = 4/(2� x), y = 4, x = 0

172. y = cot 2x, x = 2, x = 3

173. y = senx/ cos3 x, x = 0, x = 1

Resuelva

174. Encuentre la formula para f(t), dado que f 0(t) = tp1� t2 y que f(1) = 0.

175. Encuentre la formula para g(u), dado que g(0) = 1 y que

g0(u) =1� up4� u2

176. Una maquinaria que vale $63 000 nueva se deprecia a razon de 1500pt+ 1 dolares por ano,

t anos despues de comprada. Escriba una funcion que de el valor de la maquina a los t anos.¿Cuanto tarda la maquina en depreciarse completamente (cuando su valor es cero)?

177. La velocidad de un avion, t minutos despues de despegar, es v = 3003t+ 2

t+ 2en km/h. Determine

la distancia recorrida durante los primeros tres minutos.

178. Un avion se prepara para despegar y su aceleracion, t segundos despues de empezar a moverse,es a(t) = 3000/(t2 + 225) en m/s2. ¿Cual es su velocidad despues de 20 segundos?

179. Una poblacion tiene inicialmente 35 individuos. Luego de t horas, su tasa de crecimiento esP 0(t) = t e0.01t

2

. Encuentre la formula para P (t), el numero de individuos t horas despues delinicio, y calcule el numero de individuos a las 12 horas.

180. Un derrame de petroleo de un buque tanque forma una mancha circular, cuyo radio r aumentaa una velocidad r0(t) = 9/

p2t+ 4 metros por minuto a los t minutos de iniciarse el derrame.

¿Cual es el area de la mancha a los 30min?

181. Se estima que el flujo de inversion de una empresa recien fundada sera 100tp1 + 0.5t2 miles

de dolares por ano durante el ano t. Calcule el capital acumulado por la empresa durante susegundo ano.

182. Se espera que un nuevo yacimiento de petroleo produzca petroleo a una tasa

P 0(t) =600t2

t3 + 32+ 5

de miles de barriles por ano, a los t anos de haberse iniciado la produccion. ¿Cuantos barrilesse espera producir durante los primeros tres anos? ¿Durante el decimo ano?


183. La cantidad de cafe recolectada en una finca aumenta con el numero de recolectores segun laformula C 0(n) = 1/

p1 + 0.3n, donde n es el numero de recolectores y C la cantidad de cafe

recolectada en kilogramos por hora. ¿Cuantos kg/h se obtendran con 30 recolectores? ¿Encuanto aumentara la recoleccion si el numero de recolectores aumenta de 15 a 20?

184. En el Ejercicio 180, ¿en cuanto aumenta el radio de la mancha durante la segunda media hora?

185. Las utilidades al vender un artıculo aumentan con el monto invertido en publicidad, a una tasaU 0 = (2x+ 3)/(2x2 + 6x), donde x es la inversion mensual en publicidad, en cientos de dolares,y U es la utilidad mensual, en miles de dolares. Calcule el aumento en utilidades en un mes enque la inversion en publicidad aumenta de $500 a $600.

Cap

´

ıtulo 6

Mas sobre integracion

6.1 Fracciones parciales

Si en un cociente de polinomios f(x) =p(x)

q(x)el grado de p(x) es estrictamente menor que el de

q(x), se dice que la fraccion es propia.Si la fraccion es propia y ademas q(x) se factoriza completamente como producto de factores

lineales con ceros distintos,

q(x) = (a1

x+ b1

)(a2

x+ b2

) · · · (an

x+ bn

)

entonces existen constantes A1

, A2

, . . .An

tales que

f(x) =A

1

a1

x+ b1

+A

2

a2

x+ b2

+ · · ·+ An

an

x+ bn

En general es mucho mas facil integrar cada fraccion parcial Ai

/(ai

x+ bi

), usualmente por susti-tucion, que integrar la fraccion completa p(x)/q(x).

Ejemplo 1

Para calcular I =

Z11y � 15

6y3 + 13y2 � 5ydy se empieza por factorizar el denominador1:

6y3 + 13y2 � 5y = y(3y � 1)(2y + 5)

que es un producto de factores lineales con ceros distintos (0, 1/3 y �2/5). Entoncesexisten tres constantes A, B y C tales que

11y � 15

6y3 + 13y2 � 5y=

11y � 15

y(3y � 1)(2y + 5)=

A

y+

B

3y � 1+

C

2y + 5

Para encontrar A, B y C, se multiplica la igualdad anterior por el denominador de laexpresion en el centro:

11y � 15 = A(3y � 1)(2y + 5) +By(2y + 5) + Cy(3y � 1)

Luego se le asignan a y los ceros de los factores del denominador:

y = 0 ) �15 = A(�1)(5) + 0 + 0 = �5A ) A = 3

y = 1

3

) �34

3

= 0 +B(13

)(173

) + 0 = 17

9

B ) B = �6

y = �5

2

) �85

2

= 0 + 0 + C(�5

2

)(�17

2

) = 85

4

C ) C = �2

1

En realidad el primer paso deberıa ser intentar la sustitucion u = 6y

3�13y

2�5y, porque si por suerte du se adaptara

al numerador (11y � 15) dy, el metodo de sustitucion serıa mucho mejor (vea por ejemplo los ejercicios 110–114 de la

pagina 101). Ese no es el caso en este ejemplo: du = (18y

2 � 26y � 5)dy, que no se parece a (11y � 15)dy.

106 Capıtulo 6. Mas sobre integracion

Ahora la integral I se descompone como

I =

Z11y � 15

6y3 + 13y2 � 5ydy =

Z3

ydy +

Z �6

3y � 1dy +

Z �2

2y + 5dy

y cada una de las tres integrales se calcula por separado (tomando u = 3y � 1, du = 3dyen la segunda, y v = 2y + 5, dv = 2dy en la tercera, o bien recordando el resultado delEjercicio 124).

Z3

ydy = 3 ln |y|

Z �6

3y � 1dy = �6

Zdy

3y � 1= �6 · 1

3

ln |3y � 1| = �2 ln |3y � 1|Z �2

2y + 5dy = �2

Zdy

2y + 5= �2 · 1

2

ln |2y + 5| = � ln |2y + 5|

Finalmente,I = 3 ln |y|� 2 ln |3y � 1|� ln |2y + 5|+K

donde K 2 IR es cualquier constante (serıa incorrecto terminar la integral indefinida con+ C, porque habıamos dicho que C = �2).

Por propiedades de ln, el resultado tambien puede escribirse como

I = ln

��y3

(2y + 5)(3y � 1)2

��+K

donde K es alguna constante.

Cuando la fraccion no es propia, es necesario dividir los polinomios primero.

Ejemplo 2

En J =

Z3t3 � 2t2 � 9

3t2 � 5t� 2dt el grado del numerador no es menor que el del denominador,

ası que primero se hace la division de polinomios: (3t3 � 2t2 � 9) ÷ (3t2 � 5t � 2) da uncociente t+ 1 y un residuo 7t� 7, de modo que

3t3 � 2t2 � 9

3t2 � 5t� 2= t+ 1 +

7t� 7

3t2 � 5t� 2

El denominador se factoriza 3t2�5t�2 = (3t+1)(t�2), con ceros distintos, ası que ahora

se descompone7t� 7

3t2 � 5t� 2en fracciones parciales:

7t� 7

3t2 � 5t� 2=

7t� 7

(3t+ 1)(t� 2)=

A

3t+ 1+

B

t� 2

6.1. Fracciones parciales 107

Dando a t los valores 2 y �1/3 sucesivamente, encontramos que A = 4 y B = 1. Entoncesla integral completa es

J =

Z ✓t+ 1 +

7t� 7

3t2 � 5t� 2

◆dt

=

Z ✓t+ 1 +

4

3t+ 1+

1

t� 2

◆dt

= 1

2

t2 + t+ 4 · 1

3

ln |3t+ 1|+ ln |t� 2|+ C

= 1

2

t2 + t+ ln��(t� 2)(3t+ 1)4/3

��+ C

Cuando el grado del numerador es menor que el del denominador pero algunos de los factoreslineales del denominador tienen el mismo cero o, en otras palabras, la factorizacion incluye (ax+ b)k

para algun k > 1, entonces la descomposicion en fracciones parciales incluira los terminos

C1

ax+ b+

C2

(ax+ b)2+ · · ·+ C

k

(ax+ b)k

para ese factor (ax+ b)k, ademas de todos los terminos necesarios para los otros factores.

Ejemplo 3

En la integral K =

Zr4 + 2r � 1

r3(r � 1)2dr, el grado del numerador es 4 y el del denominador

es 5, por lo que no es necesario empezar por dividir los polinomios. Como la factorizaciondel denominador,

r3(r � 1)2 = r · r · r · (r � 1) · (r � 1)

contiene al factor r tres veces y a (r�1) dos veces, la descomposicion tendra tres fraccionespara r y dos para (r � 1):

r4 + 2r � 1

r3(r � 1)2=

A

r+

B

r2+

C

r3+

D

r � 1+

E

(r � 1)2

Al multiplicar ambos lados por el denominador de la izquierda tendremos

r4 + 2r � 1 = Ar2(r � 1)2 +Br(r � 1)2 + C(r � 1)2 +Dr3(r � 1) + Er3

Evaluando con r = 0 encontramos que C = �1, y con r = 1, que E = 2. Al no haber masceros de factores del denominador, podemos pasar a igualar coeficientes (esto es, compararel coeficiente de cada potencia de r en el polinomio a la izquierda de la igualdad con sucoeficiente a la derecha).

• Para r1, el coeficiente al lado izquierdo es 2, y al lado derecho es B � 2C = B + 2(porque C = �1). Como ambos coeficientes deben ser iguales, 2 = B+2, concluimosque B = 0.

• Para r2, el coeficiente a la izquierda es 0, y a la derecha es A� 2B+C. Como B = 0y C = �1, el coeficiente a la derecha es A�0�1. Entonces 0 = A�1, ası que A = 1.


Para la incognita restante, D, podemos escoger entre seguir igualando coeficientes o darlea r un tercer valor (diferente de 0 y 1, que ya usamos). Por ejemplo, con r = �1 yrecordando que A = 1, B = 0, C = �1 y E = 2, la ecuacion da

�2 = (1)(1)(4) + 0 + (�1)(4) +D(�1)(�2) + (2)(�1) = 2D � 2

de donde despejamos D = 0.

La integral K resulta ser

K =

Zr4 + 2r � 1

r3(r � 1)2dr

=

Z ✓1

r+

0

r2+

�1

r3+

0

r � 1+

2

(r � 1)2

◆dr

=

Z �r�1 � r�3 + 2(r � 1)�2

�dr

= ln |r|+ 1

2

r�2 � 2(r � 1)�1 +M

donde M es la constante de integracion.

Debe tenerse cuidado de identificar los ceros repetidos de factores lineales, aunque los factores seandistintos. Vea el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4

Al descomponer2 + 5u� 4u2

4u3 + 8u2 � 11u+ 3en fracciones parciales, se puede factorizar el deno-

minador notando que uno de los ceros es u = 1/2, y haciendo division sintetica para llegara

4u3 + 8u2 � 11u+ 3 = (u� 1

2

)(4u2 + 10u� 6)

El segundo parentesis puede factorizarse por tanteo, y llegamos a esta factorizacion deldenominador en tres factores lineales:

4u3 + 8u2 � 11u+ 3 = (u� 1

2

)(4u� 2)(u+ 3)

Serıa un error decir en este momento que

2 + 5u� 4u2

4u3 + 8u2 � 11u+ 3=

A

u� 1/2+

B

4u� 2+

C

u+ 3

porque los dos primeros factores, aunque distintos, tienen ceros repetidos: u = 1/2 es uncero de cada uno. Lo mejor es “uniformizar” esos dos factores, sea como

4u3 + 8u2 � 11u+ 3 = (u� 1

2

)(u� 1

2

)(4u+ 12)

bien como4u3 + 8u2 � 11u+ 3 = (2u� 1)(2u� 1)(u+ 3)

o de alguna manera equivalente. Adoptando la segunda, tendremos

2 + 5u� 4u2

4u3 + 8u2 � 11u+ 3=

A

2u� 1+

B

(2u� 1)2+

C

u+ 3

El resto del procedimiento es semejante al del ejemplo anterior.

6.1. Fracciones parciales 109

Si la fraccion es propia y la factorizacion del denominador incluye algun factor ax2 + bx + c,cuadratico irreducible (con discriminante negativo) pero no repetido, entonces la descomposicion enfracciones parciales incluye el termino

Ax+B

ax2 + bx+ c

para ese factor (ax2 + bx+ c), ademas de todos los terminos necesarios para los otros factores. Paraintegrar una fraccion ası puede ser necesario completar un cuadrado en el denominador y usar laformula Z

dx

x2 + a2=

1

aarctan

⇣xa

⌘+ C

Ejemplo 5

Calcular L =

Z3t2 + 7

(t� 1)(t2 + 2t+ 2)dt.

La fraccion es propia y el denominador ya esta factorizado al maximo, ası que la descom-posicion en fracciones parciales es

3t2 + 7

(t� 1)(t2 + 2t+ 2)=

A

t� 1+

Bt+ C

t2 + 2t+ 2

Multiplicando,3t2 + 7 = A(t2 + 2t+ 2) + (Bt+ C)(t� 1)

y sustituyendo obtenemos

t= 1 ) 10= 5A ) A= 2t= 0 ) 7= 2A� C ) C = �3

Igualando coeficientes de t2 tenemos

3 = A+B ) B = 1

ası que la descomposicion es

3t2 + 7

(t� 1)(t2 + 2t+ 2)=

2

t� 1+

t� 3

t2 + 2t+ 2

Es claro que

Z2dt

t� 1= 2 ln |t � 1|. Para la segunda fraccion primero completemos un

cuadrado en el denominador:

t2 + 2t+ 2 = t2 + 2t+ 1 + 1 = (t+ 1)2 + 1

Ahora tomemos u = t+ 1, de modo que du = dt y t = u� 1. EntoncesZ

t� 3

t2 + 2t+ 2dt =

Z(u� 1)� 3

u2 + 1du =

Zu

u2 + 1du�

Z4

u2 + 1du

= 1

2

ln(u2 + 1)� 4 arctanu

= 1

2

ln(t2 + 2t+ 2)� 4 arctan(t+ 1)


Finalmente,L = 2 ln |t� 1|+ 1

2

ln(t2 + 2t+ 2)� 4 arctan(t+ 1) +K

donde K es alguna constante.

Para el caso de factores cuadraticos no factorizables y ademas repetidos, vea la Seccion 7.1.En algunos casos puede ser necesario hacer una sustitucion antes de usar fracciones parciales. Por

ejemplo, para L =

Zdx

1� e2xpuede usarse la sustitucion u = ex, que lleva a du = ex dx. Entonces

e2x = u2 y dx = du/ex = du/u, de manera que L =

Zdu

(1� u2)u, que se resuelve usando fracciones

parciales. Vea los ejercicios 30 y siguientes en esta seccion.

Calcule

1.

Zp� 7

p2 � 8p+ 15dp

2.

Z3

v2 + v � 2dv

3.

Zu� 8

u2 � 2u� 8du

4.

Z5t� 2t2 + 4

t2 � t� 2dt

5.

Z2x+ 1

4x2 + 10x+ 6dx

6.

Z5

1� r � 6r2dr

7.

Zu

27� 3u2du

8.

Z2

q3 � qdq

9.

Z8� 10w2 � w3

8w + 2w2 � w3

dw

10.

Z9z + 19

4z3 + 18z2 + 8z � 30dz

11.

Z2� 8y

y4 � y3 � 4y2 + 4ydy

12.

Z87� 43s� 77s2 � 15s3

(s2 + s� 2)(s2 � 9)ds

13.

Z3� 7s+ s3

s3 � 3s2ds

14.

Z18v4 � 59v2 � 31v

3v3 + 7v2 + 5v + 1dv

15.

Z14x2 + 3x

8x3 + 12x2 � 18x� 27dx

16.

Zp3 + 14p2 + 2

4p4 + 4p3 � 7p2 + 2pdp

17.

Zr3 + 4r2 + 4

r4 + 4r3 + 4r2dr

18.

Z532� 182q

(3q2 � 10q � 8)2dq

19.

Z5z3 � z2 + 4z + 4

(z2 + z)(z3 � z)dz

20.

Z2t2 + 3t� 2

3t4 � 2t3dt

21.

Zw3 � 12w2 + 112w

(1 + w)(4� w)3dw

22.

Z2y5 � 60y2 + 150y � 125

(4� y2)(2y � 5)3dy

23.

Z26u� 34 + 2u4

(u� 2)3(2u+ 1)2du

24.

Z42x4 + 8x2 + x� 1

9x5 � x3dx

6.2. Funciones trigonometricas 111

25.

Z7z2 + 5� z

z + z3dz

26.

Zq � 1

q2 + 2q + 2dq

27.

Z7w2 + 6

4w3 + w � 5dw

28.

Zr3 + 5

r4 + 5r2dr

29.

Z8t3 + 10

4t2 � 4t+ 5dt

30.

Zey dy

(2ey + 3)(ey + 2)

31.

Zes � 2

es + 1ds

32.

Zdx

1� e2x

33.

Z9r + 3r + 6

9r � 3r � 2dr

34.

Z4t + 5 · 2t + 4

4t + 2t+1 + 2dt

35.

Z1 + ln2 q

q(1� ln2 q)dq

36.

Zdv

v3/2 + 9v1/2

6.2 Funciones trigonometricas

Existen algunos procedimientos estandarizados para calcular integrales de productos y cocientesde funciones trigonometricas.

Para integrar un cuando el se recomienda

producto de. . . exponente de. . . tomar. . .

senos y cosenos seno es impar u = cosxsenos y cosenos coseno es impar u = senxsecantes y tangentes secante es par u = tanxsecantes y tangentes tangente es impar u = secxcosecantes y cotangentes cosecante es par u = cotxcosecantes y cotangentes cotangente es impar u = cscx

Para un producto de senos y cosenos donde ambos exponen-tes son pares, pueden usarse las identidades

cos2 x =1 + cos 2x

2y sen2 x =

1� cos 2x

2

En otros casos, puede ser util convertir la funcion a senos y cosenos.

Ejemplo 6

Calcular I =

Z15 sen3 r cos2 r dr.


Como la potencia de seno es impar, tomamos u = cos r, con du = � sen r dr, y ası

I =

Z15 sen2 r cos2 r (sen r dr) =

Z15(1� cos2 r) cos2 r (sen r dr)

=

Z15(1� u2)u2 (�du) = �15

Z(u2 � u4) du+ C = �5u3 + 3u5 + C

= �5 cos3 r + 3 cos5 r + C

Ejemplo 7

Calcular J =

Ztan3 y sec4 y dy.

El exponente de secante es par, ası que tomamos v = tan y, con dv = sec2 y dy. Entonces

J =

Ztan3 y sec2 y (sec2 y dy) =

Ztan3 y (tan2 y + 1)(sec2 y dy)

=

Zv3(v2 + 1) dv =

Z(v5 + v3) dv = 1

6

v6 + 1

4

v4 + C

= 1

6

tan6 y + 1

4

tan4 y + C

Al mismo tiempo, el exponente de tangente es impar, ası que tambien es posible usar lasustitucion w = sec y, con dw = sec y tan y dy, de esta manera:

J =

Ztan2 y sec3 y (sec y tan y dy) =

Z(sec2 y � 1) sec3 y (sec y tan y dy)

=

Z(w2 � 1)w3 dw =

Z(w5 � w3) dw = 1

6

w6 � 1

4

w4 +D

= 1

6

sec6 y � 1

4

sec4 y +D

Ejemplo 8

Calcular K =

Zcos4 ↵ d↵.

Usando la identidad recien mencionada, escribimos

K =

Z(cos2 ↵)2 d↵ =

Z ✓1 + cos 2↵

2

◆2

d↵ =1

4

Z(1 + 2 cos 2↵+ cos2 2↵) d↵

=1

4(↵+ sen 2↵+ L)

donde

L =

Zcos2 2↵ d↵ =

Z1 + cos 4↵

2d↵ =

1

2

Z(1 + cos 4↵) d↵ =

1

2

✓↵+

1

4sen 4↵

◆

=1

2↵+

1

8sen 4↵

6.2. Funciones trigonometricas 113

Finalmente,

K =1

4↵+

1

4sen 2↵+

1

4

✓1

2↵+

1

8sen 4↵

◆+ C =

3

8↵+

1

4sen 2↵+

1

32sen 4↵+ C

Ejemplo 9

Para calcular M =

Zcsc v dv, como no estamos en ninguno de los casos estandarizados,

convertimos la funcion a senos y cosenos:

M =

Zdv

sen v

Ahora estamos en el caso de senos y cosenos cuando el exponente de seno es impar, ya queel exponente de coseno es 0 y el de seno es �1. Entonces tomamos

t = cos v ) dt = � sen v dv ) dv = � dt

sen vy pasamos a

M =

Z �dt/ sen v

sen v=

Z �dt

sen2 v=

Z �dt

1� cos2 v=

Zdt

t2 � 1

que descomponemos en fracciones parciales:

M =

Z ✓1/2

t� 1� 1/2

t+ 1

◆dt =

1

2

⇥ln |t� 1|� ln |t+ 1|

⇤+ C

=1

2

�ln | cos v � 1|� ln | cos v + 1|

�+ C

Note que ese resultado se puede simplificar como

M = �1

2ln

��cos v + 1

cos v � 1

��+ C = �1

2ln

��(cos v + 1)(cos v + 1)

(cos v � 1)(cos v + 1)

��+ C

= �1

2ln

��(cos v + 1)2

� sen2 v

��+ C = �1

2ln

��

✓cos v + 1

sen v

◆2

��+ C

(el signo menos en el denominador puede omitirse por el valor absoluto)

= �1

2· 2 ln

��cos v

sen v+

1

sen v

��+ C = � ln | cot v + csc v|+ C

En el ejemplo anterior obtenemos una formula paraRcsc que, junto con la de

Rsec, vale la pena

de memorizar, dado lo complejo de su calculo. Las dos formulas son (omitiendo el + C)Z

sec = ln | sec+ tan | y

Zcsc = � ln | csc+ cot |

Vea el Ejercicio 60.


Calcule

37.

Zcos ✓ sen6 ✓ d✓

38.

Zsen5 x dx

39.

Zcos3(2w + 1) sen6(2w + 1) dw

40.

Zsen�9 y cos3 y dy

41.

Zsen5(⇡v/2)

cos4(⇡v/2)dv

42.

Zsen2 � cos2 � d�

43.

Zsen4 3u du

44.

Z8 cos6(t/2) dt

45.

Zsec4 y tan2 y dy

46.

Z(sec2 ↵)

p5 + 2 tan↵ d↵

47.

Zsec3 z tan3 z dz

48.

Z48 sec4(2�) tan5(2�) d�

49.

Z(sec4 ↵� sec2 ↵) tan↵ d↵

50.

Zsec2 x

4 + tanxdx

51.

Ztan4✓ d✓

52.

Z9 csc2 v cot2 v dv

53.

Zcscx cot3 x dx

54.

Ztan2 ↵ sec2 ↵ sen↵ d↵

55.

Z10 cot6y sec5y dy

56.

Ztan v

1 + sec2 vdv

57.

Z1� sen r

cos rdr

58.

Z1

1� sen zdz

59.

Ztan2 t sec t dt

60.

Zsecx dx

6.3 Sustitucion trigonometrica

Para integrar funciones que incluyanpa2 � x2,

pa2 + x2, o

px2 � a2, donde a > 0 es una cons-

tante, puede intentarse uno de los siguientes cambios de variable:

Para integrar una intente la que resulta en. . .

funcion con. . . sustitucion. . .

pa2 � x2 x = a sen t

pa2 � x2 = a cos tp

a2 + x2 x = a tan tpa2 + x2 = a sec tp

x2 � a2 x = a sec tpx2 � a2 = ±a tan t

(+ si x > 0, o � si x < 0)

6.3. Sustitucion trigonometrica 115

Ejemplo 10

Calcular I =

Zdw

w2

pw2 + 9

.

Aquı tenemos la segunda forma en la tabla, con a = 3. Entonces tomamos

w = 3 tan t, dw = 3 sec2 t dt,pw2 + 9 = 3 sec t

y la integral se convierte en

I =

Z3 sec2 t dt

(3 tan t)2 · 3 sec t =1

9

Zsec t dt

tan2 t=

1

9

Zcos t dt

sen2 t

Ahora hacemos la sustitucion y = sen t, con dy = cos t dt, y entonces

I =1

9

Zdy

y2=

1

9(�y�1) + C = �1

9csc t+ C

Para regresar de t a w podemos dibujar un triangulo que refleje la relacion tan t = w/3 (apartir de la definicion de w) ası: en un triangulo rectangulo tomamos t como uno de losangulos agudos, w como el cateto opuesto y 3 como el cateto adyacente, y calculamos lahipotenusa como

pw2 + 9.

3

w

⌘⌘⌘⌘

⌘⌘⌘

⌘⌘

p w2

+9

t

En este triangulo vemos que csc t =pw2 + 9/w, de modo que, finalmente,

I =�pw2 + 9

9w+ C

En general, antes de usar una de las sustituciones trigonometricas en la tabla, intente una susti-tucion algebraica. Por ejemplo, para calcular

J =

Zw dwpw2 + 9

en vez de tomar w = 3 tan t como en el ejemplo anterior, es mucho mas sencillo tomar x = w2 + 9.Entonces dx = 2w dw, y

J =

Z1

2

dxpx

=1

2

Zx�1/2 dx =

1

2· x

1/2

1/2+ C =

px+ C =

pw2 + 9 + C


Ejemplo 11

Para calcular K =

Z �2

�4

p9x2 + 12x� 3

(3x+ 2)4dx, primero completamos el cuadrado dentro de

la raız. Como el integrando empieza con 9x2+12x, que es el inicio de (3x+2)2, escribimos

9x2 + 12x� 3 = 9x2 + 12x+ 4� 7 = (3x+ 2)2 � 7

Ahora tomamos y = 3x+ 2, dy = 3dx, y entonces

K =

Z �4

�10

py2 � 7

y4dy

3

En y2 � 7 reconocemos la forma y2 � a2 con a =p7, y notando que y < 0 en el intervalo

de integracion, hacemos el cambio

y =p7 sec t, dy =

p7 sec t tan t dt,

py2 � 7 = �

p7 tan t

En vez de cambiar los lımites de integracion (que no es tan sencillo al usar una sustitucioninversa, esto es una en la que la variable original se define en terminos de una nueva),podemos concentrarnos en calcular la integral indefinida y luego evaluar en los lımitesactuales de integracion para y. Dejemos tambien la fraccion 1

3

para despues. Por ahora,

L =

Z py2 � 7

y4dy =

Z �p7 tan t

(p7 sec t)4

p7 sec t tan t dt =

�1

7

Ztan2 t sec t

sec4 tdt

=�1

7

Zsen2 t cos3 t

cos2 tdt =

�1

7

Zsen2 t cos t dt

=�1

7

Zu2 du =

�1

21u3 =

�1

21sen3 t

(donde u = sen t, du = cos t dt en la ultima lınea). Note que no anadimos + C al finalporque estamos en medio de calcular una integral definida.

Para regresar de t a y usamos un triangulo que ilustre las relaciones y =p7 sec t yp

y2 � 7 = �p7 tan t:

p7

�py2 � 7

⌘⌘⌘⌘

⌘⌘⌘

⌘⌘

y

t

Aquı vemos que sen t = �py2 � 7/y, ası que el valor de la integral indefinida es

L =�1

21

�py2 � 7

y

!3

=1

21

py2 � 7

3

y3

6.4. Integracion por partes 117

Por ultimo,

K =1

3

1

21

py2 � 7

3

y3

��4

�10

=1

63

p(�4)2 � 7

3

(�4)3� 1

63

p(�10)2 � 7

3

(�10)3⇡ 0.00753944

Calcule

61.

Z p4� p2 dp

62.

Z2y3

p9� y2 dy

63.

Zt2p

1� t2 dt

64.

Zdr

r2p9r2 + 1

65.

Zdq

q2(q2 + 8)3/2

66.

Z6v dv

p4v2 + 1

5

67.

Z p4t2 � 9

tdt

68.

Zdu

u4pu2 � 5

69.

Z(q2 � 100)�3/2 dq

70.

Zz + 2p

3� 2z � z2dz

71.

Zdx

(4x2 � 4x+ 5)2

72.

Zdm

(m+ 1)pm2 + 2m

73.

Z4

3

dx

xp25� x2

74.

Z1

�4

2p

v2 + 48 dv

75.

Z �5

�4

pt2 � 16

tdt

76.

Z p4� ln2 y

ydy

77.

Z pw � 9pw

5

dw

78.

Zdu

eup1 + e2u

6.4 Integracion por partes

La formula de integracion por partes dice que si u y v son funciones de alguna variable entonces

Zu dv = uv �

Zv du

Para usar esta formula deben escogerse las partes u y dv de manera que su producto u dv sea iguala la funcion por integrar. Entonces se encuentran du y v para calcular la integral en el lado derecho.


Ejemplo 12

Para calcular I =

Zx lnx dx definimos u = lnx y dv = x dx, de modo que u dv = x lnx dx.

Entoncesu = lnx ) du = dx/x

dv = x dx ) v = x2/2

(no habrıa sido util tomar u = x y dv = lnx dx, porque no sabrıamos cuanto es v). Ası,por la formula de integracion por partes,

I =

Zx lnx dx =

Zu dv = uv �

Zv du

= lnx · x2

2�Z

x2

2· dx

x=

1

2x2 lnx� 1

2

Zx dx

=1

2x2 lnx� 1

4x2 + C

Para calcular por partes la integral de un cociente, como

Zf(x)

g(x)dx, serıa un error grave tomar

u = f(x) y dv = g(x) dx. Eso servirıa solo para calcularRf(x)g(x) dx, que no es el objetivo. En vez

de eso, generalmente es mejor escribir la integral comoRf(x)g(x)�1dx y entonces tomar u = f(x)

con dv = g(x)�1dx, o bien u = g(x)�1 con dv = f(x)dx, como mas convenga.En general, al escoger cual factor sera u y cual sera dv, tenga en cuenta que u debera ser derivado

y dv debera ser integrado, y que el objetivo es que la integral de vdu sea mas sencilla que la de udv.A veces sera necesario usar partes mas de una vez, o combinar el metodo de partes con el de

sustitucion. Los siguientes ejemplos ilustran lo dicho en este parrafo y en el anterior.

Ejemplo 13

Calcular J =

Zr2

erdr.

El metodo de integracion por partes es para integrar productos, no cocientes, ası que lo

primero aquı sera transformar la integral en J =

Zr2e�r dr. Entonces tomamos

u = r2 ) du = 2r drdv = e�r dr ) v = �e�r

ası que

J =

Zr2e�r dr = r2(�e�r)�

Z(�e�r) · 2r dr

= �r2e�r + 2

Zre�r dr = �r2e�r + 2K

donde K =

Zre�r dr. Ahora, para calcular K tomamos2

u = r ) du = drdv = e�r dr ) v = �e�r

2

No es problema reusar las letras u y v esta vez con distintos significados. Cuando las definimos hace un momento

fue solo temporalmente, y una vez que usamos la formula de integracion por partes las desocupamos al regresar a r.

6.4. Integracion por partes 119

de donde

K =

Zre�r dr = �re�r +

Ze�r dr = �re�r � e�r

Finalmente,

J = �r2e�r + 2K = �r2e�r + 2(�re�r � e�r)

= �e�r(r2 + 2r + 2) + C

Note que no incluimos + C en la formula de K. En realidad nos concentramos en encontraruna antiderivada cualquiera de r2e�r, y solo al final, cuando hubimos encontrado �e�r(r2 + 2r + 2),anadimos la constante C.

Para integrales definidas, la formula de integracion por partes se interpreta como

Zb

a

u dv = uv��b

a

�Z

b

a

v du

Ejemplo 14

Calcular L =

Z4

1

ln v dv.

Como la letra v ya esta tomada, usemos x y y para la integracion por partes, ası:

x = ln v ) dx = dv/vdy = dv ) y = v

Entonces

L =

Z4

1

ln v dv = ln v · v��4

1

�Z

4

1

vdv

v

= (ln 4 · 4)� (ln 1 · 1)�Z

4

1

dv = 4 ln 4� 0� v��4

1

= 4 ln 4� (4� 1) = 4 ln 4� 3

Ejemplo 15

Calcular M =

Zez cos z dz.

Ambas funciones, ez y cos z son igualmente faciles de integrar o derivar, ası que escogemosaleatoriamente

u = ez ) du = ez dzdv = cos z dz ) v = sen z

con lo que

M = ez sen z �Z

sen z ez dz


Ahora trabajemos en N =

Zsen z ez dz. Pruebe usted tomar u = sen z y dv = ez dz, y

vera que no funciona. Pero haciendo

u = ez ) du = ez dzdv = sen z dz ) v = � cos z

llegaremos a N = �ez cos z +

Zez cos z dz.

Esta ultima integral es igual a M , con la que empezamos. Al final tenemos entonces que

M = ez sen z �Z

sen z ez dz = ez sen z �N

= ez sen z � (�ez cos z +M)

= ez sen z + ez cos z �M

Sumando M llegamos a 2M = ez sen z + ez cos z, de donde despejamos

M = 1

2

ez (sen z + cos z) + C

(sin olvidar el + C al final).

Calcule

79.

Z1/3

0

z e3z dz

80.

Z4

2

p3 ln p dp

81.

Z9

1

ps ln s ds

82.

Ze

3

1

2 lnpx dx

83.

Zln tptdt

84.

Zt

2tdt

85.

Zw + 1

ewdw

86.

Zx2 10x dx

87.

Z⇡

0

� sen� d�

88.

Z⇡/6

�⇡/6

z cos 2z dz

89.

Z1

0

p arctan p dp

90.

Zq2 e3q�1 dq

91.

Z(r + e2r)2 dr

92.

Z(9u2 + 4u+ 1) log

5

u du

93.

Z✓2 cos 2✓ d✓

94.

Z1/2

0

ln(2w + 1) dw

95.

Z2

�4

p ln(p+ 5) dp

96.

Zlog(5y2 � 4y) dy

6.5. Integrales impropias 121

97.

Zarctanu du

98.

Zarcsen 2y dy

99.

Z4

3

ln(v3 � 2v2) dv

100.

Z0

�1

w3 8w2

+1 dw

101.

Z(p� 1)3ep

2�2p dp

102.

Zepu du

103.

Z15

�1

tp4 + 3t

dt

104.

Z0

3

v3p9� v2

dv

105.

Ze

1

(1 + lnu)2 du

106.

Z0

�3

ln(4� 7x)p4� 7x

3

dx

107.

Z18y(y2 + 1)2 ln(y2 + 1) dy

108.

Zt et

(t+ 1)2dt

109.

Zln�p+

p1 + p2

�dp

110.

Z2q cos q dq

111.

Ze�w sen 2w dw

112.

Zsec3↵ d↵

113.

Ztan2 t sec t dt

114.

Zcos(ln r) dr

115.

Z⇡

2

/4

0

senpt dt

116.

Zln z

(z + 1)2dz

117.

Z(3y2 + 1) ln(y2 � 1) dy

6.5 Integrales impropias

En la Seccion 5.2 vimos que si f es continua en [a, b], y F es una antiderivada de f , entoncesRb

a

f(x) dx = F (b)� F (a).Una integral impropia es una en la que el intervalo de integracion es infinito, o bien una en la que

f tiene una asıntota vertical o discontinuidad en algun punto del intervalo. Los dos casos basicos son:

Primer tipo: Si f esta definida en [a,1[ entonces

Z 1

a

f(t) dt = limx!1

Zx

a

f(t) dt

a x

-

o bien, si f esta definida en ]�1, b] entonces

Zb

�1f(t) dt = lim

x!�1

Zb

x

f(t) dtx b

�


Segundo tipo: Si limx!b

� f(x) = ±1 entonces

Zb

a

f(t) dt = limx!b

�

Zx

a

f(t) dt

a x b

6

o bien, si limx!a

+ f(x) = ±1 entonces

Zb

a

f(t) dt = limx!a

+

Zb

x

f(t) dt

a x b

6

En cualquier caso, se dice que la integral converge si el lımite existe, o que diverge si no. Otrostipos de integrales impropias son combinaciones de estos.

Ejemplo 16

Calcular I =

Z5

1

dvpv � 1

.

Note que el integrando tiende a infinito cuando v ! 1+, ası que esta integral es impropiadel segundo tipo. Empecemos por hacer la sustitucion w = v � 1. La nueva integral siguesiendo impropia, ası que usamos la formula dada arriba:

I =

Z4

0

dwpw

= limx!0

+

Z4

x

w�1/2 dw = limx!0

+

2w1/2

��4

x

= limx!0

+

⇥2(4)1/2 � 2x1/2

⇤= 2

p4� 2

p0 = 4

Entonces se dice que la integral converge a 4.

Ejemplo 17

Calcular J =

Z0

�1x�2e1/x dx.

Esta integral es impropia por dos razones: por un lado, uno de los lımites de integraciones infinito, y por otro, el lımite de la funcion es infinito en el otro lımite de integracion.Para calcularla necesitamos dividir el intervalo de integracion en dos partes, en cualquierpunto entre �1 y 0. Haciendolo en �1 tendremos

J =

Z �1

�1x�2e1/x dx+

Z0

�1

x�2e1/x dx = J1

+ J2

Ahora tenemos dos integrales, J1

impropia del primer tipo y J2

impropia del segundo.Las calcularemos por separado, pero primero encontremos una antiderivada para usar enambas. Con u = 1/x y du = �x�2 dx tenemos

Zx�2e1/xdx =

Z�eu du = �eu + C = �e1/x + C

6.5. Integrales impropias 123

Entonces

J1

= lima!�1

Z �1

a

x�2e1/x dx = lima!�1

�e1/x��1

a

= lima!�1

�e�1 + e1/a = �e�1 + e0 = 1� e�1

y

J2

= limb!0

�

Zb

�1

x�2e1/x dx = limb!0

��e1/x

��b

�1

= limb!0

��e1/b + e�1 = �e�1 + e�1 = e�1

de modo que J = J1

+ J2

= 1� e�1 + e�1 = 1.

Ejemplo 18

La integral K =

Z5

3

dr

r � 4no es impropia de ninguno de los dos tipos basicos, pero el

integrando tiene una asıntota vertical en r = 4, dentro del intervalo de integracion. Paracalcular la integral debemos separarla:

K =

Z4

3

dr

r � 4+

Z5

4

dr

r � 4= K

1

+K2

donde K1

y K2

son impropias del segundo tipo.

Es claro queRdr/(r � 4) = ln |r � 4|+ C, ası que

K1

= limb!4

�

Zb

3

dr

r � 4= lim

b!4

�ln |r � 4|

��b

3

= limb!4

�ln |b� 4|� ln 1 = �1

Entonces K1

diverge, y no es necesario calcular K2

: ya podemos concluir que la integralK tambien es divergente3.

Como vemos en el ejemplo anterior, si una integral se divide en varias partes, la integral enteraconverge solamente si cada una de sus partes converge.

Calcule o indique si es divergente

118.

Z1

0

dwp1� w2

119.

Z 1

1

dp

p2 + 8

120.

Z 1

e

lnu

udu

121.

Z10

2

dt3

pt� 2

3

De hecho, K

2

= lima!4

+ ln |r � 4|��5

a= 1, por lo que tambien diverge.


122.

Z 1

1

dx

xpcon p > 0, constante

123.

Z⇡/2

⇡/4

tan2 ↵ d↵

124.

Z⇡/2

0

tan ✓ d✓

125.

Z0

�1p ep dp

126.

Z1

0

v ln v dv

127.

Z 1

0

e�q cos q dq

128.

Z1

�1

csc2 � d�

129.

Z 1

�1

dr

1 + r2

130.

Z 1

1

dy

y ln y

131.

Z 1

�1

dw

ew + e�w

132.

Z3

�3

dz

z2 � 9

Cap

´

ıtulo 7

Temas adicionales sobre integracion

7.1 Fracciones parciales con factores cuadraticos repetidos

En la Seccion 6.1 vimos como descomponer fracciones racionales en fracciones parciales, para loscasos en que el denominador se factoriza como producto de factores lineales simples o repetidos,o factores cuadraticos simples. Veamos que hacer cuando hay factores cuadraticos repetidos en eldenominador. En esencia, se usa una fraccion para cada potencia del factor cuadratico, desde 1 hastael numero de veces que se repita, como en el caso de factores lineales con ceros repetidos. Y luego seusa una sustitucion trigonometrica para integrarlas.

Ejemplo 1

Calcular M =

Z2 + r3

r (r2 + 1)2dr.

Vamos a empezar por descomponer en fracciones parciales, notando que hay un factorcuadratico sin ceros reales y ademas repetido.

2 + r3

r (r2 + 1)2=

A

r+

Br + C

r2 + 1+

Dr + E

(r2 + 1)2

2 + r3 = A(r2 + 1)2 + (Br + C) r (r2 + 1) + (Dr + E)r

• Con r = 0 tenemos 2 = A(1) + 0, ası que A = 2.

• Los coeficientes de r4 son 0 a la izquierda y A+B a la derecha, ası que 0 = A+B yentonces B = �A = �2.

• Los coeficientes de r1 son 0 = C + E.

• Sustituyendo r = 1 obtenemos 3 = 4A+2B+2C +D+E, o bien �1 = 2C +D+E.

• Y con r = �1 vemos que 1 = 4A+2B�2C+D�E, o simplemente �3 = �2C+D�E.

Ahora tenemos, ademas de A = 2 y B = �2, el sistema

8><

>:

C + E = 0

2C +D + E = �1

�2C +D � E = �3

cuyas soluciones son C = 1, D = �2 y E = �1. Entonces

2 + r3

r (r2 + 1)2=

2

r+

1� 2r

r2 + 1� 2r + 1

(r2 + 1)2

126 Capıtulo 7. Temas adicionales sobre integracion

Ya podemos empezar a integrar. Para eso, descompongamos la integral M como resta dedos integrales, M = P �Q donde

P =

Z ✓2

r+

1� 2r

r2 + 1

◆dr y Q =

Z2r + 1

(r2 + 1)2dr

La integral P no presenta novedades, y su valor, dejando la constante de integracion parael final, es P = 2 ln |r|+arctan r� ln(r2 +1) (repase el Ejemplo 5 del capıtulo anterior, enla pagina 109).

Para calcular Q hacemos la sustitucion1 r = tan t. Entonces dr = sec2 t dt, r2 + 1 = sec2 ty

Q =

Z2 tan t+ 1

(sec2 t)2sec2 t dt =

Z(2 tan t+ 1) cos2 t dt =

Z(2 sen t cos t+ cos2 t) dt

El primer sumando puede integrarse haciendo u = sen t, y resulta en sen2 t. Para el segundose usa cos2 t = 1

2

(1 + cos 2t), y su integral es 1

2

t+ 1

4

sen 2t = 1

2

(t+ sen t cos t). Entonces

Q = sen2 t+ 1

2

(t+ sen t cos t)

Para regresar a r nos guiamos con el triangulo abajo, basado en que habıamos definidor = tan t.

1

r

⌘⌘⌘⌘

⌘⌘

⌘⌘⌘

p r2

+1

t

Aquı vemos que sen t = r/pr2 + 1 y cos t = 1/

pr2 + 1, y concluimos que

Q =r2

r2 + 1+

1

2

✓arctan r +

rpr2 + 1

· 1pr2 + 1

◆=

1

2arctan r +

1

2· 2r

2 + r

r2 + 1

Finalmente, la integral M era igual a P �Q:

M = 2 ln |r|+ arctan r � ln(r2 + 1)� 1

2arctan r � 2r2 + r

2(r2 + 1)+K

= 2 ln |r|+ 1

2arctan r � ln(r2 + 1)� 2r2 + r

2(r2 + 1)+K

En la integral M del ejemplo anterior tambien es posible empezar tomando r = tan t desde elinicio. Entonces dr = sec2 t dt y r2 + 1 = sec2 t, y la integral se convierte en

M =

Z2 + tan3 t

tan t sec4 t· sec2 t dt = · · · = 2

Zcos3 t

sen tdt+

Zsen2 t dt

(vea el Ejercicio 5).Recuerde que para un factor cuadratico no factorizable de la forma ax2+ bx+ c con b 6= 0 primero

se debe completar un cuadrado, como en el Ejemplo 5 en la pagina 109.

1

La idea viene de las sustituciones trigonometricas estudiadas en la Seccion 6.3. Aunque aquı no hay explıcitamente

una raız de r

2

+ 1, si es necesario podemos escribir explıcitamente (r

2

+ 1) =

pr

2

+ 1

2

.

7.2. La sustitucion u = tan(x/2) 127

Calcule

1.

Z5t

(2t2 + 3)2dt

2.

Z6

(1 + q2)2dq

3.

Zr3

(r2 + 5)3dr

4.

Zz3 � 2z2

(z2 + 4)2dz

5.

Z2 + r3

r (r2 + 1)2dr tomando r = tan t

6.

Zw4 + 9w3 + 108

(w + 1)(w2 + 9)2dw

7.

Z4u2 + 4u+ 1

(4u2 + 4u+ 2)2du

8.

Zx2 � x+ 5

(x2 � 2x+ 5)2dx

7.2 La sustitucion u = tan(x/2)

Algunas fracciones racionales de senos y cosenos (es decir, cocientes de sumas, restas y productos desenx y cosx) pueden integrarse con el cambio de variable u = tan(x/2), con las siguientes propiedades:

Al tomar u = tan(x/2), o equivalentemente u =senx

1 + cosxo bien u =

1� cosx

senx

resulta 1 + u2 =2

1 + cosx, cosx =

1� u2

1 + u2, senx =

2u

1 + u2, dx =

2du

1 + u2

Ejemplo 2

Para calcular N =

Zsen� + 1

cos� � 1d� tomamos u = tan(�/2), y ası

N =

Z2u

1+u

2

+ 11�u

2

1+u

2

� 1· 2 du

1 + u2=

Z2u+1+u

2

1+u

2

1�u

2�(1+u

2

)

1+u

2

· 2

1 + u2du

=

Z2u+ 1 + u2

�2u22

1 + u2du =

Z2u+ 1 + u2

�u2 (1 + u2)du

Al descomponer el integrando en fracciones parciales obtenemos

2u+ 1 + u2

�u2 (1 + u2)=

�2

u� 1

u2+

2u

1 + u2

que se integra facilmente, resultando en

N = �2 ln |u|+ u�1 + ln(1 + u2) +K

Por ultimo, devolviendo la sustitucion llegamos a

N = �2 ln

��sen�

1 + cos�

��+1 + cos�

sen�+ ln

��2

1 + cos�

��+K


Calcule

9.

Z1

1� sen zdz

10.

Z8 sen t

(cos t� 1)3dt

11.

Z13

5 cos q � 12 sen qdq

12.

Zsecx dx

13.

Z1

1 + senx� cosxdx

14.

Z2

1� cos v � 2 sen vdv

15.

Z3 senw

cosw + cos2wdw

16.

Z1� sen r

cos rdr

17.

Z1

cos r + cos2 rdr

18.

Zdz

(1� sen z)(1 + cos z)

19.

Zsen�

1 + sen�d�

20.

Zsen p� cos p

1 + 2 cos 2pdp

7.3 Sumas de Riemann

Una forma de aproximar una integral definida usando principios geometricos es dividir el intervalode integracion en varios subintervalos y para cada uno calcular el area de un rectangulo que aproximeel area entre la curva y el eje horizontal.

Ejemplo 3

Sea h(x) = 5 � x2 y sea I =

Z3

�2

(5� x2) dx. Podemos dividir el intervalo [�2, 3] en

los cuatro subintervalos [�2,�1], [�1, 1], [1, 2] y [2, 3]; esta particion se describe con elconjunto de puntos extremos de los subintervalos, P = {�2,�1, 1, 2, 3 }, que llamaremosx0

= �2, x1

= �1, x2

= 1, x3

= 2 y x4

= 3 (cinco puntos, cuatro subintervalos).

Diremos que el intervalo i-esimo es [xi�1

, xi

], para i = 1, 2, 3, 4 (por ejemplo, el primerintervalo es [x

0

, x1

], el segundo es [x1

, x2

] y el cuarto es [x3

, x4

]). Si en cada subintervalotomamos un rectangulo cuya base es la longitud �

i

= xi

� xi�1

y la altura es el valor dela funcion en el extremo izquierdo, h(x

i�1

), tendremos la siguiente figura.

–4

–2

2

4

–2 –1 1 2 3

7.3. Sumas de Riemann 129

Sumando las areas de los rectangulos obtenemos una aproximacion del valor de la integral:

I ⇡4X

i=1

h(xi�1

)�i

=4X

i=1

(5� x2i�1

)(xi

� xi�1

)

= (5� x20

)(x1

� x0

) + (5� x21

)(x2

� x1

) + (5� x22

)(x3

� x2

) + (5� x23

)(x4

� x3

)

= (1)(1) + (4)(2) + (4)(1) + (1)(1) = 14

En general, una particion de un intervalo [a, b] es un conjunto P = {x0

, x1

, x2

, . . . , xn

}, cona = x

0

< x1

< x2

< · · · < xn

= b.Dada una funcion f definida en [a, b], una suma de Riemann para la integral

Rb

a

f(x) dx es

nX

j=1

f(tj

)�j

donde tj

es algun punto en [xj�1

, xj

] y �j

= xj

� xj�1

, para cada j = 1, 2, . . . , n.

La suma tambien puede denotarsen�1X

j=0

f(tj+1

)�j+1

, donde tj+1

2 [xj

, xj+1

] y �j+1

= xj+1

� xj

.

Aunque hay muchas otras posibilidades, es usual tomar los puntos tj

como los extremos izquierdos(x

j�1

), los extremos derechos (xj

) o los puntos medios ((xj�1

+ xj

)/2) del intervalo [xj�1

, xj

].

Ejemplo 4

En el ejemplo anterior calculamos la suma de Riemann para

Z3

�2

h(x) dx usando la particion

P = {�2,�1, 1, 2, 3 } y tomando los puntos izquierdos de cada subintervalo. Tomando lospuntos medios, t

i

= (xi�1

+ xi

)/2, obtenemos la figura

–4

–2

2

4

–2 –1 1 2 3

en la que el area sombreada mide

I ⇡4X

i=1

h(ti

)�i

=4X

i=1

h�xi�1

+xi

2

�(x

i

� xi�1

)

= h(�1.5)(1) + h(0)(2) + h(1.5)(1) + h(2.5)(1) = 14.25


Una particion regular de un intervalo [a, b] es una en la que todos los subintervalos tienen iguallongitud (la particion en los dos ejemplos anteriores no es regular). Si el intervalo [a, b] se divide en nsubintervalos de igual longitud, entonces cada longitud sera � = (b�a)/n, y los puntos en la particionseran

x0

= a, x1

= a+�, x2

= a+ 2�, x3

= a+ 3�, . . . , xn

= a+ n� = b

Como vemos, se cumple la formula

xj

= a+ j� para cada j = 0, 1, 2, . . . , n.

Otras formulas utiles en lo que sigue son, para cualquier entero positivo n,

nX

j=1

1 = n

nX

j=1

j =n(n+ 1)

2

nX

j=1

j2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

nX

j=1

j3 =n2(n+ 1)2

4

Ejemplo 5

Calcular la suma de Riemann para I =

Z3

�2

(5� x2) dx usando una particion regular con

n = 10 subintervalos y tomando los extremos derechos de cada subintervalo, como en lafigura.

–4

–2

2

4

–2 –1 1 2 3

El ancho de cada subintervalo sera � =b� a

n=

3� (�2)

10= 0.5, y la particion sera

P = {xj

| j = 0, 1, . . . , 10 } con xj

= a+ j� = �2 + 0.5j.

7.3. Sumas de Riemann 131

Tomando los extremos derechos, la suma es

10X

j=1

h(xj

)� =nX

j=1

⇥5� (�2 + 0.5j)2

⇤0.5

= 0.510X

j=1

⇥5� (4� 2j + 0.25j2)

⇤= 0.5

10X

j=1

(1 + 2j � 0.25j2)

= 0.5⇣ 10X

j=1

1 + 210X

j=1

j � 0.2510X

j=1

j2⌘

= 0.5⇣10 + 2

(10)(11)

2� 0.25

(10)(11)(21)

6

⌘

= 11.875

Un teorema importante en el calculo integral dice que si f es continua en [a, b] entonces el lımitede las sumas de Riemann sobre particiones regulares de n subintervalos, cuando n ! 1, es igual alvalor de la integral

Rb

a

f(x) dx.

Por ejemplo, la siguiente figura representa la suma de Riemann de

Z3

�2

(5� x2) dx para una par-ticion regular con 50 subintervalos, usando los extremos derechos.

–4

–2

2

4

–2 –1 1 2 3

Ejemplo 6

Evaluar la integral I =

Z3

�2

(5� x2) dx como lımite de sumas de Riemann.

Para un entero positivo n, la particion regular P = {x0

, . . . , xn

} tendra

� =b� a

n=

5

ny x

j

= a+ j� = �2 +5j

n.


Tomando extremos derechos tendremos la suma

nX

j=1

h(xj

)� =nX

j=1

"5�

✓�2 +

5j

n

◆2

#5

n

=5

n

nX

j=1

5�

✓4� 20j

n+

25j2

n2

◆�

=5

n

nX

j=1

✓1 +

20j

n� 25j2

n2

◆

=5

n

⇣ nX

j=1

1 +20

n

nX

j=1

j � 25

n2

nX

j=1

j2⌘

=5

n

✓n+

20

n

n(n+ 1)

2� 25

n2

n(n+ 1)(2n+ 1)

6

◆

=5

n· 16n

2 � 15n� 25

6n=

40

3� 25

2n� 125

6n2

Finalmente, tomando lımite cuando n ! 1 llegamos al valor I = 40/3.

Dadas la funcion y la particion, calcule la suma de Riemann para los puntos izquier-dos, la suma para los puntos medios y la suma para lo puntos derechos

21.

p2u+ 4, {�2, �1.8, �1.6, �1.3, �1 }

22. 3 ln t, { 1, 1.1, 1.5, 1.8, 2 }

23. 2 cos(x� 1), { 0, ⇡/4, ⇡/2, 3⇡/4, ⇡ }

24. r2p1� r2, {�1, �0.7, �0.4, �0.1, 0.3, 0.7, 1 }

25. tan ✓, {�⇡/4, �0.6, �0.2, 0, 0.3, 0.7, ⇡/4 }

26. h(z), { 2, 2.5, 3, 3.02, 4, 5 } donde h(z) =

(4� z2 si z 3

5� z si z > 3

Dadas la funcion, el intervalo y el valor de n, calcule la suma de Riemann de lafuncion en el intervalo usando n subintervalos regulares para los puntos izquierdos,para los puntos derechos y para los puntos medios

27.

p2u+ 4, [�2,�1], n = 5

28. 3 ln t, [1, 2], n = 6

29. 2 cos(x� 1), [0,⇡], n = 8

30. r2p1� r2, [�1, 1], n = 8

31. tan ✓, [�⇡/4,⇡/4], n = 10

32. h(z), [2, 5], n = 12

donde h(z) =

(4� z2 si z 3

5� z si z > 3

7.4. Longitud de arco 133

Calcule cada integral como lımite de sumas de Riemann

33.

Z2

�2

6 du

34.

Z1

0

5x dx

35.

Z6

1

4y dy

36.

Z3

0

(1� 4v) dv

37.

Z5

2

(3t� 1) dt

38.

Z0.5

�1

x2 dx

39.

Z7

3

u(2u� 5) du

40.

Z �1

�5

(1� 2y � y2) dy

41.

Z8

3

(1� 2r)2 dr

42.

Z1

�1

(2t� t3) dt

Resuelva

43. Sea I =

Z1

0

px dx.

(a) Para n natural, tome una particion

P = { 0, 1/n2, 4/n2, . . . , (n� 1)2/n2, 1 } = { i2/n2 | i = 0, 1, . . . , n }

y calcule la suma de Riemann para I usando los puntos izquierdos de P .

(b) Encuentre el valor de I como el lımite de la suma calculada en (a), conforme n ! 1.

44. Escriba el lımite limM!1

M�1X

j=0

j 5

M

q�j 5

M

�2

+ 1 · 5

M

como una integral definida.

45. Escriba el lımite limn!1

nX

k=1

ln�3 + 2

�1 + 3k

n

��· 3

n

como una integral definida.

7.4 Longitud de arco

Dado el grafico de una ecuacion y = f(x), la longitud del arco de su grafico sobre el intervalo [a, b]es

s =

Zb

a

q1 +

⇥f 0(x)

⇤2

dx


Ejemplo 7

Calcular la longitud del arco de y = x2 para x desde �1 hasta 2, como en la figura.

1

2

3

4

–1 1 2

Segun la formula, como y 0 = 2x,

s =

Z2

�1

p1 + (2x)2 dx =

Z2

�1

p1 + 4x2 dx = 2

Z2

�1

q1

4

+ x2 dx

(lo ultimo es por sacar 4 de factor comun dentro de la raız).

Ahora hacemos la sustitucion trigonometrica x = 1

2

tan t, con dx = 1

2

sec2 t dt yq

1

4

+ x2 =1

2

sec t. Entonces, dejando de lado los lımites de integracion por un momento,

2

Z q1

4

+ x2 dx = 2

Z1

2

sec t · 1

2

sec2 t dt = 1

2

Zsec3 t dt

= 1

4

sec t tan t+ 1

4

ln | sec t+ tan t|

(la integral de sec3 no es facil de calcular, pero vea el Ejercicio 112 en la pagina 121). Por

ultimo, como tan t = 2x y sec t = 2q

1

4

+ x2 =p1 + 4x2, llegamos a

s =⇣1

4

p1 + 4x2 · 2x+ 1

4

ln��p1 + 4x2 + 2x

��⌘ ��

2

�1

⇡ (4.64678)� (�1.47894) ⇡ 6.12573

Esa es la longitud del arco, en unidades lineales.

Calcule la longitud de la curva en el intervalo dado

46. 3q + 5 en [�2, 3]

47. 3x3/2 � 1 en [1, 4]

48.

w2

2� lnw

4en [1, 2]

49.

r3

6+

r�1

2en [1

2

, 2]

50.

p4

4+

p�2

8en [�5,�3]

51.

z5

10+

z�3

6en [1, 2]

52. ln(cos ✓) en [0,⇡/4]

53. 2t2 + 5 en [0, 1]

7.5. Trabajo realizado por una fuerza 135

54. ln(1� y2) en [0, 12

]

55. ln v en [p3,p8]

56. 2pu en [1

9

, 1]

7.5 Trabajo realizado por una fuerza

En fısica se define el trabajo realizado por una fuerza constante F a lo largo de una distancia d(por ejemplo, al alzar 15 kg a una altura de 2m, o al tirar de un remolque por 2 km), como

W = Fd

Si la fuerza no es constante sino que depende de la distancia recorrida x, de modo que la fuerzaes una funcion F (x), entonces el trabajo realizado por esa fuerza desde el punto x = a hasta el puntox = b es

W =

Zb

a

F (x) dx

• Para una aceleracion constante a, la fuerza es F = ma, donde m es la masa del objeto acelerado.

• La aceleracion debida a la gravedad es aproximadamente 9.8m/s2.

• Un newton es una unidad de fuerza: 1N = 1kg ·m/s2.

• Un julio es una unidad de trabajo: 1 J = 1N ·m.

Ejemplo 8

Calcular el trabajo necesario para alzar un peso de 15 kg a una altura de 2m.

La fuerza es F = ma = (15)(9.8) = 147N, constante. Entonces el trabajo realizado es

W =

Z2

0

147 dx = 147x

��2

0

= 294 J

(o mas simplemente, como la fuerza es constante, W = Fd = (147)(2) = 294 julios).

Ejemplo 9

Un tanque de agua subterraneo tiene forma cilındrica con un metro de radio en la base yuna profundidad de dos metros. Para vaciarlo, el agua debe bombearse hasta el desague,que esta a la altura de la tapa. ¿Cuanto trabajo se realiza al vaciar el tanque cuando estalleno?


Sea x la profundidad del agua en el tanque, en metros. Paracada valor de x entre 0 y 2, imagine la superficie del aguacomo un disco cilındrico de radio r = 1 y altura h = dx,como en la figura. Este disco tiene un volumen V = ⇡r2h =⇡ dx en m3, y una masa

m = (⇡ dx)m3 · 1000 dm3

1m3

· 1L

1 dm3

· 1 kg1L

⇡ 3141.59 dx

en kilogramos, porque 1 dm3 equivale a 1 L y un litro de aguatiene una masa de 1 kg.

1m

x

2� x

dx

La fuerza necesaria para elevar el disco es F = ma ⇡ (3141.59 dx)(9.8) ⇡ 30 787.6 dxnewtons, y para sacarlo del tanque hay que elevarlo una altura 2�x metros (lo que le faltapara llegar al desague). Entonces el trabajo necesario para sacar toda el agua del tanquees

W =

Z2

0

30 787.6 (2� x) dx = 30 787.6 (2x� 1

2

x2)

��2

0

= 61 575.2 J

La ley de Hooke establece que la fuerza necesaria para mantener estirado un resorte una distancia dex unidades mas alla de su longitud de equilibrio (longitud natural, o longitud de reposo) es proporcionala x: F (x) = kx, donde k es alguna constante que depende del resorte.

Ejemplo 10

Si se necesita una fuerza de 15N para estirar un resorte a 5 cm de su longitud natural,¿cuanto trabajo se realiza al estirarlo desde su longitud natural hasta 10 cm de esa longitud?

Empecemos por determinar la constante k. Sabemos que la fuerza es F = 15 (newtons)para un estiramiento de x = 0.05 (metros), ası que 15 = k(0.05), de donde k = 300.Entonces la fuerza necesaria para estirarlo x metros es F = 300x newtons, y el trabajorealizado al estirarlo desde x = 0 hasta x = 0.10 (10 cm = 0.10m) es

W =

Z0.10

0

300x dx = 150x2��0.10

0

= 1.5 J

Resuelva

57. Calcule el trabajo necesario para alzar una caja de 3 kg a una altura de 80 cm.

58. ¿Cuanto trabajo se necesita para alzar un automovil de 1500 kg a una altura de 1.5m?

59. Calcule el trabajo necesario para tirar de un remolque una distancia de 600m, ejerciendo unafuerza constante de 750N.

7.6. Valor promedio 137

60. Un ciclista sube por una rampa cuya inclinacion aumenta conforme el avanza. Ası, la fuerza conque debe pedalear es F (x) = 800 sen(0.01x) en newtons, donde x es la distancia recorrida, enmetros. ¿Cuanto trabajo realiza para avanzar los primeros 10m? ¿Los siguientes 10m?

61. ¿Cuanto trabajo es necesario para vaciar el tanque del Ejemplo 9 cuando esta medio lleno (elnivel del agua es 1m)?

62. Un tanque tiene forma de cono con el vertice abajo, y mide 1m de alto y 1m dediametro en la parte superior. Calcule el trabajo necesario para vaciar el tanque porsu extremo superior cuando esta lleno de agua.

AAAA�

��

63. Un recipiente tiene forma semiesferica con el vertice abajo, y mide 20 cm de ra-dio. Calcule el trabajo necesario para vaciar el tanque por su extremo superiorcuando esta lleno de agua.

64. Una fuerza de 1N estira un resorte a 10 cm de su longitud de equilibrio. Calcule el trabajorealizado al estirar el resorte desde el reposo hasta 15 cm de su longitud de equilibrio.

65. Se requiere una fuerza de 40N para mantener un resorte estirado a 5 cm de su longitud natural.¿Cuanto trabajo se realiza al estirarlo desde allı hasta 3 cm mas (es decir, desde 5 cm hasta 8 cmde su longitud natural)?

66. Si se requiere un trabajo de 0.5 J para estirar un resorte a 20 cm de su longitud de equilibrio,¿que fuerza es necesaria para estirarlo 25 cm?

67. Se realizan 2 J de trabajo al estirar un resorte 12 cm desde su longitud de reposo. ¿Cuantotrabajo se necesita para estirarlo desde allı hasta 5 cm mas (es decir, desde 12 cm hasta 17 cmde su longitud de reposo)?

68. Un cable mide 20m de longitud y tiene una masa de 25 kg. Si el cable cuelga verticalmente desdeuna azotea, ¿cuanto trabajo se requiere para subirlo a la azotea? Suponga que la masa del cablese distribuye uniformemente en toda su longitud.

7.6 Valor promedio

Si f es una funcion definida en el intervalo [a, b], entonces el valor promedio de f en [a, b] es

f =1

b� a

Zb

a

f(x) dx

Ejemplo 11

Si la velocidad de un avion t minutos despues del despegue es v = 3003t+ 2

t+ 2kilometros por

hora, entonces su velocidad promedio durante los primeros cinco minutos de vuelo (esto


es, durante el intervalo [0, 5]) es

v =1

5� 0

Z5

0

3003t+ 2

t+ 2dt =

1

5300

Z5

0

✓3� 4

t+ 2

◆dt

= 60(3t� 4 ln |t+ 2|)��5

0

= 60(15� 4 ln 7)� 60(�4 ln 2)

⇡ 599.34 km/h

Encuentre el valor promedio de la funcion en el intervalo

69. 3p2 � 4p en [1, 3]

70. 3ew + 1 en [�2, 0]

71. sen ✓ en [0,⇡]

72. 12yp

4y2 + 1 en [�3, 3]

73.

2u� 1

u2 � u+ 1en [2, 5]

74.

ln2 x� 3 lnx

xen [1, e]

75. z2e3z en [0, 2]

76. tan2 ↵ en [�⇡/4,⇡/4]

77.

ln t

t2en [e�2, e�1]

78. v ln(v + 4) en [�3, 1]

79.

3

1� 4s2en [1, 2]

80.

r

r2 � r3en [0.1, 0.9]

Resuelva

81. ¿Cual es la fuerza promedio que ejerce el ciclista del Ejercicio 60 durante los primeros 10m?¿Durante los siguientes 10m?

82. Si un objeto se deja caer desde cierta altura, su velocidad de caıda a los t segundos es v = 9.8tm/s.¿Cual es la velocidad promedio entre los 5 y los 8 segundos?

83. Una varilla de metal que mide 5m de longitud tiene una temperatura T = 21+ 1.68�x grados Ca los xm de distancia de uno de los extremos (en un extremo x = 0, y en el otro extremo x = 5).¿Cual es la temperatura promedio de la varilla?

84. La cantidad de cierto medicamento en el cuerpo de una paciente t dıas despues de ser administradoes C(t) = 5e�0.2t unidades. ¿Cual es la cantidad promedio presente en el cuerpo de la pacientedurante los primeros cuatro dıas desde la administracion del medicamento? ¿Durante el quintodıa? ¿Durante el primer dıa?

85. Para cierta pelıcula, el ingreso por taquilla durante el n-esimo mes desde el lanzamiento esta

dado por la funcion f(n) =570n

(n2 + 3)2, en millones de dolares. Encuentre el ingreso promedio

mensual durante el segundo ano.

86. Las ventas semanales de una pequena tienda han sido V (n) = 2.6 ·1.03n+1�0.001n2, en millonesde colones, donde n es el numero de semanas desde que abrio sus puertas.

7.6. Valor promedio 139

(a) ¿Cuanto fue el promedio semanal de ventas durante las tres primeras semanas?

(b) ¿Cuanto fue el promedio durante los siguientes dos semanas?

(c) ¿Cuanto fue el promedio durante los primeros seis meses? (Use 6 meses = 26 semanas.)

87. Si C||5 000 000 se invierten al 15% compuesto continuamente, el valor de la inversion luego de tanos es 5e0.15t en millones de colones. ¿Cual es el valor promedio de la inversion durante losprimeros dos anos?

Ap

´

endice A

Sugerencias

0. Calculo proposicional

42 Tambien (�3)2 = 9.

44 Podrıa ser un lunes feriado.

46 La implicacion F ! F es cierta.

47 De hecho, los cuadrados son rectangulos. La implicacion F ! V es cierta.

48 La implicacion F ! V es cierta, pero V ! F es falsa.

64 Falla si y = F, z = V.

69 Falla si p = V, q = F, r = V.

1. Lımites y continuidad

58 Tome t = 6

pu+ 3. Factorice (t6 � 1) por division sintetica.

59 Tome x = 5

p9w + 5. Factorice (x5 � 32) y (�x5 + 9x+ 14) por division sintetica.

60 Tome r12 = 5z + 1 de modo que 3

p5z + 1 = r4 y 4

p5z + 1 = r3. Factorice (r12 � 1) por division

sintetica.

68 Escriba sen2 = 1� cos2, factorice y simplifique, o bien multiplique numerador y denominador por(1� cos�).

69 Multiplique numerador y denominador por (1 + senx).

78 Multiplique numerador y denominador porpt.

79 Factorice el numerador y tome u = y � 1. Luego descomponga sen(⇡u+ ⇡). Sustituya los valores(constantes) de cos⇡ y sen⇡. Despues tome v = ⇡u.

80 Tome u = 1� r. Despues escriba tan = sen / cos y descomponga sen y cos de�⇡

2

� ⇡

2

x�. Cuando

sea momento, tome v = ⇡

2

x.

82 Puede hacer x = 2u o escribir cos 2u = cos2 u� sen2 u.

83 Escriba sec = 1/ cos y tome denominador comun.

142 Apendice A. Sugerencias

84 Tome u = ⇡ � ↵. Despues descomponga sen(⇡2

� u

2

). Por ultimo tome v = u/2.

85 Tome u = x+ ⇡/6 y escriba tan = sen / cos.

86 Multiplique numerador y denominador por z y separe como producto de dos fracciones.

87 Multiplique numerador y denominador por ↵, escriba tan = sen / cos, separe como producto dedos fracciones y luego tome u = 6↵ en una y v = 5↵ en la otra.

88 Multiplique numerador y denominador por r y separe como producto de dos fracciones.

89 Escriba cot = cos / sen, multiplique numerador y denominador por ↵ y separe como producto dedos fracciones.

90 Desarrolle sen(x+ h) y despues separe la fraccion en dos.

91 Desarrolle cos(x+ h) y despues separe la fraccion en dos.

92 Tome h = u� a y siga como en el Ejercicio 90.

93 Tome h = u� a y siga como en el Ejercicio 91.

135 Multiplique numerador y denominador porpu.

136 Tome x = cos�.

137 Multiplique numerador y denominador porpsen 3t, despues por 2t y por 3t; separe la fraccion

como producto de tres fracciones.

138 Escriba csc = 1/ sen. Tome u = y � 1, descomponga sen(⇡u+ ⇡) y factorice el numerador.

153 Calcule el lımite de cada fraccion.



157 Tome denominador comun.

166 Racionalice.

168 Racionalice.


172 Calcule los lımites laterales por aparte.

174 Combine los logaritmos en uno.

175 Tome x = 1/u.

Sugerencias del Capıtulo 2, Derivacion 143

180 lnA� lnB = ln(A/B)

181 lnA� lnB = ln(A/B)

190 Cada angulo mide 1

n

(n� 2)180�.

213 Los lımites laterales en 3 deben ser iguales.

216 Los lımites laterales en �1 deben ser iguales, y en 3 tambien.

217 Los lımites laterales en 0 deben ser iguales, y en b tambien. Si fuera b < 0 habrıa unacontradiccion entre las lıneas primera y tercera.

2. Derivacion

20 Use la primera formula y tome h = v � ⇡, o mejor use la segunda formula.

21 Use la primera formula y tome h = r � ⇡/3, o mejor use la segunda formula.

22 En 2 cos(y/2)� cos y � 1, reste y sume 2 ası: 2 cos(y/2)� 2� cos y � 1 + 2; luego agrupe los dosprimeros y los tres ultimos terminos.

63 La derivada es infinita, ası que la recta es vertical.

69 Si la tangente es vertical, la derivada esta indefinida.

70 Si la tangente es vertical, la derivada esta indefinida.

71 (e) Golpea el suelo cuando su altura es cero: h(t) = 0.

72 (e) Golpea el suelo cuando su altura es cero: h(t) = 0.

73 Golpea el suelo cuando su altura es cero.

74 (a) d0 es la tasa de cambio de la distancia hasta la pared, negativa porque el automovil se estaacercando. Considere que la velocidad del automovil es positiva. (b) Se detiene cuando su velocidades cero.

75 El volumen es V = 4

3

⇡r3. Despeje r como funcion de t.

82 sen(2x) = 2 senx cosx

100 Primero desarrolle el producto en el numerador.

101 Puede tomar y2 como el primer factor y sec y cot y como el segundo.

109 (fg)0(2) = f 0(2)g(2) + f(2)g0(2)


124 Si y es la altura del cohete, en metros, y ↵ el angulo de elevacion, entonces tan↵ = y/600.Despeje y, derıvelo y evalue la derivada en ↵ = 20⇡/180. Recuerde que este resultado esta en metrospor radian.

154 (p � q)0(6) = p0(q(6)) · q0(6)

155 g0(x) = r0(x2) · 2x

156 h0(t) = [f 0(3� t)(�1) · t� f(3� t) · 1]/t2

157 q0(✓) = p0(cos 2✓) · (�2 sin 2✓) · 2

173 Evalue la derivada de y con respecto a t y evalue en t = 4.5 (cuatro horas y media despues demediodıa). Recuerde que ese resultado esta en metros por hora.

181 Use la regla ln(A/B) = ln(A)� ln(B) para separar antes de derivar.

190 Use las reglas de descomposicion de logaritmos para separar antes de derivar.

191 Use las reglas de descomposicion de logaritmos para separar antes de derivar.

197 Recuerde que ax = ex ln a.

200 q0(t) = f 0(ln t) · ln0(t)

201 h0(x) = 1

2

[f(ex2�x)]�1/2f 0(ex

2�x)ex2�x(2x� 1)

205 Si la recta tangente es horizontal, la perpendicular es vertical.

217 El costo promedio esta dado por C = C(q)/q.

243 El volumen de una esfera con radio r es V = 4

3

⇡r3. A los tres segundos el volumen es V = 6.¿Cuanto es el radio?

244 Si el angulo de elevacion es ↵ entonces tan↵ = h(t)/5. Cuando el objeto cae al suelo, h = 0 y↵ = 0. ¿Cuanto es t?

261 Calcule algunas de las primeras derivadas. ¿Que tienen en comun las de orden par? ¿Las deorden impar?

269 y0 = (2x� y)/x, y vale 6 en (�1, 4).

270 q0 = �q ln q/(p+ q), y vale � ln 2 en (0, 2).

271 r0 = �t2/r2

272 x0 = �1

273 z0 = ew+z/(2z � ew+z) = z2/(2z � z2) = z/(2� z)

274 �0 = � cos↵/ cos�

275 x0 = �(x+ 2) cos y/(senx+ sen y), y vale �2p3 en (0,⇡/6).

Sugerencias del Capıtulo 3, Optimizacion 145

3. Optimizacion

22 El dominio es ]0,1[.



75 Encuentre los puntos crıticos y estime limu!1 y (con una tabla).

76 Encuentre los puntos crıticos y estime limr!1 y.

77 Encuentre los puntos crıticos y calcule limq!±1 y.

78 Encuentre los puntos crıticos y estime limx!±1 y.

79 Maximizar P = x(200� x).

80 Minimizar P = x(x� 50).

81 Minimizar S = x+ 192x�1.

82 Maximizar D = x� 10x�1 en [1, 10].

83 Maximizar P = �x2 en [�10, 10].

90 Demuestre que el mınimo de ex � 1� x es mayor o igual que cero.

91 Demuestre que el mınimo de x� senx en [0,1[ es mayor o igual que cero.

92 Demuestre que el mınimo de cosx� 1 + x2/2 es mayor o igual que cero. La unica solucion desenx = x es x = 0.

93 Minimizar C = 3000� 50n en [0, 20], donde n = numero de pasajeros adicionales.

94 Maximizar I = (18� 0.03q)q.

95 Maximizar U = 3

5

(650� q)q � 24q en [0, 300].

96 El consumo de gasolina sera 0.002x por km, y el viaje es de 700 km. El viaje tardara 700/xhoras, y el conductor cuesta $6 por hora. Se debe minimizar C = 1.68x+ 4200x�1 en [70, 100].

97 Si I es la intensidad de un foco y 2I la del otro, y si x es la distancia entre el primer foco y elobjeto, entonces la iluminacion total es kI/x2 + 2kI/(2� x)2, que se debe minimizar en [0, 2].

98 El objeto cae cuando y = 0. Despeje t de esa ecuacion. Se debe maximizarx = 20 · (20 sen ✓/4.9) cos ✓ en [0,⇡/2].

99 Sea t el numero de horas despues de las 8 am. La distancia entre los aviones esd =

p(600t)2 + [450(1� t)]2, que se debe minimizar en [0, 1].


100 Minimizar T = 1

250

x+ 1

30

p502 + (75� x)2 en [0, 75], donde x = distancia que corre.

101 Sean k el costo por km de instalar en tierra (constante), 2k el costo de instalar en el mar, y x ladistancia en tierra, en km. Se debe minimizar C = kx+ 2k

p1.52 + (3� x)2 para x 2 [0, 3].

102 Minimizar C =px2 + 64 +

p(x� 40)2 + 144 en [0, 40], donde x es la distancia desde el poste

de 8m.

103 f(1) = 3 y f 0(1) = 0.

104 g(�0.6) = 3.6 y g0(�0.6) = 0.

105 Maximizar LT = 1500n� 18n2.

106 Tome n = numero de disminuciones de C||10, de modo que p = 1500� 10n y q = 10000 + 100n.Maximizar I = �1000n2 + 50000n+ 15000000.

107 Tome n = numero de disminuciones de C||100, de modo que p = 16000� 100n y q = 5000 + 40n.Maximizar I = �4000n2 + 140000n+ 80000000.

108 Maximizar (a) I = �800n2 + 38000n+ 600000 y (b) U = �800n2 + 22000n+ 335000, donden = numero de descuentos de $10.

109 Maximizar U = �2n2 + 100n+ 30000, donde n = numero de unidades adicionales.

110 Maximizar I = �50 000n2 + 1000 000n+ 75 000 000 en [0, 6], donde n = numero de rebajasde C||10.

111 Maximizar I = �150n2 + 750n+ 7500 donde n = numero de videos por encima de cinco. Noteque n debe ser entero.

112 Maximizar N = �3n2 + 240n+ 72000, donde n = numero de arboles adicionales.

113 Maximizar I = �0.4n2 � 2n+ 300 en [0, 30], donde n = numero de pasajeros adicionales.

114 Minimizar C = �n2 + 50n+ 50000 en [0, 120], donde n = numero de personas adicionales.

115 Maximizar I = �200n2 � 800n+ 9000, donde n = numero de incrementos de $0.20. Note que nno puede ser negativo (se esta considerando un incremento, no una reduccion en la tarifa).

116 Maximizar RT = �2n2 + 80n+ 1000, donde n es el numero de incrementos de 5% en el salariomınimo.

117 Minimizar C = 3x+ 120000x�1, donde x = longitud del lado paralelo a la division.

118 Maximizar A = x(120� 2x), donde x = longitud del lado perpendicular.

119 Maximizar A = x(20� 4x/3), donde x = longitud del lado perpendicular.

120 Maximizar A = (b� 5)(600b�1 � 6), donde b = base de la hoja.

Sugerencias del Capıtulo 3, Optimizacion 147

121 Minimizar b[6 + 360/(b� 5)], donde b = base de la hoja.

122 Maximizar A = 2r(400� ⇡r), donde r = radio de los semicırculos.

123 Maximizar A = 2r(3� r � r⇡/2) + ⇡r2/2, donde r = radio del semicırculo.

124 Maximizar V = (10� 2x)(16� 2x)x en [0, 5], donde x = lado del cuadrado.

125 El triangulo pequeno a la derecha del rectangulo y el triangulo pequeno encima del rectanguloson semejantes al triangulo grande. Se debe maximizar A = x(12� 12x/5) en [0, 5], donde x = ladodel rectangulo sobre el lado de 5 cm.

126 Si x es la longitud de la primera parte, r el radio del cırculo y ` el lado del cuadrado, entonces2⇡r = x y 4` = 40� x. Despeje r y `. Se debe optimizar A = ⇡x2/(2⇡)2 + (10� x/4)2 en [0, 40].

127 Minimizar d =px2 + (20/x)2.

128 Maximizar A = xp100� x2 en [0, 10], o bien A = (10 cos↵)(10 sen↵) en [0,⇡/2], donde x es la

longitud de la base del rectangulo y ↵ es el angulo entre la base y la diagonal.

129 Minimizar C = 30⇡r2 + 4500r�1, donde r = radio de la base.

130 Minimizar M = x2 + 128x�1, donde x = lado de la base.

131 Si el cilindro tiene radio r y altura h, entonces r2 + (h/2)2 = 52. Se debe maximizarV = ⇡(25� h2/4)h en [0, 10].

132 Si el cono tiene radio r y altura h, entonces r2 + (h� 5)2 = 52. Se debe maximizarV = 1

3

⇡(10h� h2)h en [0, 10].

133 Minimizar M = ⇡r2 + 2⇡r(1.8r�2/⇡ � 2

3

r) + 2⇡r2 donde r es el radio de la base, en dm.

134 Minimizar C = 2⇡r(4.2r�2/⇡ � 4

3

r) ·K + 4⇡r2 · 3K, donde r es el radio de la base, en m, y K esel costo por metro del material del cilindro.

135 Maximizar C = 1

3

⇡r2p100� r2 en [0, 10], donde r es el radio de la base del cono.

136 Minimizar d =px2 + (3x+ 2)2.

137 Minimizar d =p(x� 1)2 + (x2 + 1)2.

138 Minimizar d =p(x� 4)2 + x en [0,1[.

139 Maximizar A = x(2x2 � 9x+ 12) en [0, 3].

140 Maximizar A = (2x)(2y) = 4xp9� x2 en [0, 3] donde x es la coordenada horizontal de la

esquina superior derecha, o bien A = 36 cos ✓ sen ✓ = 18 sen 2✓ en [0,⇡/2], donde ✓ es el angulo entreel eje X positivo y la esquina superior derecha.


141 Considere la circunferencia x2 + y2 = 52 en el plano cartesiano con centro en (0, 0) y radio 5, yel triangulo isosceles con vertices en (x, y), (�x, y) y (0, 5). Su base es b = 2x y su altura esh = 5� y. Se debe maximizar A = 1

2

(2x)(5 +p25� x2).

Tambien puede tomar el angulo ✓ entre el eje X positivo y la esquina inferior derecha del triangulo.Entonces x = 5 cos ✓ y y = 5 sen ✓, y se debe maximizar A = 1

2

(10 cos ✓)(5� 5 sen ✓).

142 Sean (0, 0), (x, 0) y (0, y) los vertices. Abajo a la derecha se forma un segundo triangulo, convertices (2, 0), (x, 0) y (2, 3), semejante al primero. Entonces y = 3x/(x� 2) y el objetivo esmaximizar A = 1

2

x · 3x/(x� 2).

143 Sean (0, 0), (x, 0) y (0, y) los vertices. Abajo a la derecha se forma un segundo triangulo, convertices (4, 0), (x, 0) y (4, 2), semejante al primero. Entonces y = 2x/(x� 4) y el objetivo esminimizar A = 1

2

x · 2x/(x� 4).

144 (Vea tambien la siguiente sugerencia.) Tome un punto (x1

, y1

) en la parabola P y un punto(x

2

, y2

) en la recta R. El objetivo es minimizar la distancia d =p(x

1

� x2

)2 + (y1

� y2

)2, cony1

= x21

y y2

= x2

� 1 (por estar los puntos en P y R respectivamente). Ademas, como los puntosoptimos forman un segmento perpendicular a la recta L (por minimizar la distancia) y la pendientede L es m = 1, entonces (y

2

� y1

)/(x2

� x1

) = �1.

144 (Vea tambien la sugerencia anterior.) La distancia mınima se alcanza entre dos puntos, unpunto p

1

en la recta R y un punto p2

en la parabola P , tales que el segmento que los une esperpendicular a la recta y a la parabola. Encuentre:

1. El punto p1

en la parabola P donde la tangente a la parabola es paralela a la recta R.

2. La ecuacion de la recta que pasa por p1

y es perpendicular a la recta R.

3. El punto p2

donde la perpendicular anterior interseca a la recta R.

4. La distancia entre p1

y p2

.

145 Sea L la longitud de la barra mas larga, y suponga que una barra de longitud L esta pasandopor la esquina, tocando las paredes inferior e izquierda. Defina un sistema de coordenadas con elorigen (0, 0) en la esquina inferior izquierda del dibujo, y sean (0, x) y (y, 0) los puntos de contactode la barra con las paredes inferior e izquierda respectivamente.Sea h la ”altura” de la barra sobre el punto (0, 4) como en el primer dibujo abajo. Note dostriangulos semejantes: uno con catetos x y y, y el otro con catetos x� 4 y h.Conforme la barra se traslada hacia la izquierda y x decrece, h aumenta, alcanza un maximo y luegodisminuye. Para que la barra apenas pase sin atascarse, ese maximo debe ser igual a 3. Tome hcomo la funcion objetivo, donde h(x) = (1� 4x�1)

pL2 � x2. El punto crıtico es x =

3

p4L2. Iguale el

maximo de h a 3 y despeje L.

y

x

h

Sugerencias del Capıtulo 4, Otras aplicaciones de las derivadas 149

4. Otras aplicaciones de las derivadas

3 Puede ser mejor racionalizar.

15 Despues de usar L’Hopital (o tal vez mejor antes) puede tomar x = 1/r.

26 Escriba tan = sen / cos. Note que sen(⇡r/2) no tiende a cero; puede separarlo del lımite yconcentrarse en los dos factores que sı tienden a cero.

35 Escriba ln r/(er � 1)�1. Despues de usar L’Hopital, separe lim(�1/er) · lim[(er � 1)2/r]; el primerfactor es inmediato, y solo el segundo necesita L’Hopital.

36 Haga la sustitucion u = 1/t.



47 Este no es indeterminado.

50 Escriba csc = 1/ sen y ↵�1 = 1/↵, y tome denominador comun.

63 Tome u = 1/y, y el lımite se convierte en limu!0

+(1 + u)1/u.

64 Tome u = 1/x, y el lımite se convierte en limu!0

+(1� 5u)1/u.

65 Tome u = 1/s, y el lımite se convierte en limu!0

+(u2 + 3u+ 1)1/u.

74 Despues de llegar a la expresion limn!1

t ln(1 + r/n)

1/n, tome u = 1/n.

86 Use el Teorema del encaje (Seccion 1.6).

87 Escriba cot t = cos t/ sen t.

88 Separe como (3u+ 1)/u� (sen 2u)/u, y para la segunda fraccion use el Teorema del encaje(Seccion 1.6).



114 y0 = 3(r � 2)(r + 2); y00 = 6r.

115 y0 = 3q(q � 2); y00 = 6q � 6.

116 y0 = �6(p+ 1)(p� 2); y00 = �12p+ 6.

117 y0 = 12x2(x+ 1); y00 = 12x(3x+ 2).


118 y0 = 4(v � 1)(v � 4)2; y00 = 12(v � 2)(v � 4).

119 y0 = 1/(q + 3)2; y00 = �2/(q + 3)3.

120 y0 = t(t� 2)/(t� 1)2; y00 = 2/(t� 1)3.

121 y0 =�(w2 + 4)

(w � 2)2(w + 2)2; y00 =

2w(w2 + 12)

(w � 2)3(w + 2)3.

122 y0 = �v(v � 2)/(1� v)2; y00 = 2/(1� v)3.

123 y0 = 2(p+ 3)(p+ 1)/(p+ 2)2; y00 = 4/(p+ 2)3.

124 y0 =�10x

(2� x)2(2 + x)2; y00 =

�10(3x2 + 4)

(2� x)3(2 + x)3.

125 y0 = (4r � 2)/(r + 1)3; y00 = (10� 8r)/(r + 1)4.

126 y0 = (u+ 2)(u2 � 2u+ 4)/u3; y00 = �24/u4.

127 y0 = 1

2

v(3v + 4)/(v + 1)3/2; y00 = 1

4

(3v2 + 8v + 8)/(v + 1)5/2.

128 y0 = 2/(s2 + 2)3/2; y00 = �6s/(s2 + 2)5/2.

129 y0 = ( 3

pt� 2)( 3

pt+ 2)t�2/3; y00 = 8

3

t�5/3.

130 y0 =�16(x2 � 2)

x2(x� 2)3/2(x+ 2)3/2; y00 =

16(3x4 � 10x2 + 16)

x3(x� 2)5/2(x+ 2)5/2.

131 y0 =

p8� w � 2

p8 + w

2p8� w

p8 + w

; y00 = �(8� w)3/2 + 2(8 + w)3/2

4(8� w)3/2(8 + w)3/2. Puede haber extremos locales en

los bordes del dominio.

132 y0 =�3

2px(x� 3)3

; y00 =3(x� 3)2(4x� 3)

4p

x(x� 3)33

. Puede haber extremos locales en el borde del

dominio.

133 y0 = ep � e�p; y00 = ep + e�p.

134 La unica solucion de ln(w + 2)� w � 1 = 0 es w = �1; y0 = �(w + 1)/(w + 2);y00 = �1/(w + 2)2.

135 y0 = 2(2� x)e4x�x

2

; y00 = 2(2x2 � 8x+ 7)e4x�x

2

.

136 y0 = 2p/(p2 + 1); y00 = �2(p� 1)(p+ 1)/(p2 + 1)2.

137 y0 = 3e�q/(1 + e�q)2; y00 = 3e�q(e�q � 1)/(1 + e�q)3.

138 y0 = � sen�; y00 = � cos�.

Sugerencias del Capıtulo 4, Otras aplicaciones de las derivadas 151

139 y0 = 1� 2 cos t; y00 = 2 sen t.

140 y0 = 1� tan2 u; y00 = �2 tanu (1 + tan2 u).

141 Si x es la distancia del pie a la pared y y es la altura del extremo superior, ambos en m,entonces x0 = 0.25 y x2 + y2 = 42.

142 Si d es la distancia de la lancha al muelle y ` la longitud de la cuerda, ambos en m, entonces`0 = �0.4 y d2 + 22 = `2.

143 Si x es la distancia de la persona al poste y y es la distancia del extremo de la sombra al poste,ambos en m, entonces x0 = �100 (con el tiempo en minutos) y (y � x)/1.7 = y/6.

144 Si r es el radio y A el area, ambos en cm, entonces r0 = 30 y A = ⇡r2.

145 Si r es el radio en cm y V el volumen en cm3, entonces V 0 = 100 y V = 4

3

⇡r3.

146 Si r es el radio en cm y S la superficie en cm2, entonces S0 = �2 y S = 4⇡r2.

147 Si r es el radio en cm, V el volumen en cm3 y S la superficie en cm2, entonces V = 4

3

⇡r3,S = 4⇡r2 y V 0 = kS con k constante.

148 Si h es el nivel de agua en dm, E la cantidad de agua que entra y S la cantidad que sale, enlitros, y V es el volumen de agua en dm3, entonces S0 = 25, h0 = �0.05, V = 1

3

⇡r2h = E � S yh/2 = r/2.

149 Si r y h son el radio y la altura de la pila en m, y V es el volumen en m3, entonces V 0 = 0.8,V = 1

3

⇡r2h y h = 2r.

150 Si h es el nivel del agua, b la longitud de la superficie del agua en cada extremo triangular,ambos en cm, y V es la cantidad de agua en cm3, entonces V 0 = 50, b/10 = h/10 y V = 1

2

bh · 300.

151 Si h es el nivel del agua, b la longitud de la superficie del agua en cada extremo (perpendiculara las paredes de 6m), ambos en m, y V es la cantidad de agua en m3, entonces V 0 = 3, b/12 = h/1.5y V = 1

2

bh · 6.

152 Si x es la distancia del pie a la pared, en m, y ↵ el angulo entre la pared y la escalera, entoncesx0 = 0.25 y sen↵ = x/4.

153 El sol gira 360� cada 24 horas. Si x es la longitud de la sombra, en m y ↵ el angulo de elevaciondel sol, entonces ↵0 = 2⇡/(24 · 60 · 60) rad/s y tan↵ = 5/x.

154 Sea ✓ el angulo central en el techo de la ambulancia, entre el rayo de luz y el segmento del techoal punto mas cercano en la pared, y sea x la distancia desde la proyeccion de la luz hasta el puntomas cercano en la pared, en m. Entonces ✓0 = 40(2⇡) rad/min y tan ✓ = x/13. Cuando el angulo enla pared es 30�, ✓ = ⇡/3.

hQ

QQQ

QQQ

QQ-

✓

x

13m


155 Si d es la distancia del avion al radar y x es la distancia que le falta al avion para pasar sobre elradar, ambas en km, y si ↵ es el angulo de elevacion, entonces ↵0 = 0.5 grados por segundo,sen↵ = 10/d, d2 = x2 + 102 y tan↵ = 10/x.

-

10 km

x↵

d

156 Suponiendo que el avion ha volado en lınea recta desde que despego y que el punto de despeguees D, la distancia DP en km desde D hasta P satisface tan 20� = 2.5/DP . Si x es la distancia que elavion ha volado, y la distancia horizontal que ha cubierto, h la altura del avion y d la distancia delavion al punto P , todas en km, entonces x0 = 400 (con el tiempo en horas), cos 20� = y/x,sen 20� = h/x y d2 = h2 + (DP � y)2.La incognita es d0. Escriba h y y en terminos de x antes de derivar. La ecuacion esd2 = x2 sen2 20� + (DP � x cos 20�)2. Cuando la altura es 2500m, sen 20� = 2.5/x (en km).

��

��

��

��*

xh

2.5 kmd

rD

ry rP

20�

5. Integracion

28 e2u = (e2)u

29 e�t = (e�1)t

30 6x/32x = (2/3)x, y 15x/32x = (5/3)x.

34 Saque 9 como factor comun de la raız.

47 La velocidad es la derivada de la distancia, ası que d(t) =Rv(t) dt.

48 La velocidad es la derivada de la altura, ası que h(t) =Rv(t) dt.

49 A los 0 s no ha recorrido ninguna distancia.

50 Recuerde que V = 4

3

⇡r3.

53 F (x) = x3 � 4x2 + 6x+ C

54 F (p) = 1

5

p5 � 2p2 + C

Sugerencias del Capıtulo 5, Integracion 153

55 F (q) = 4q3/2 + 2

3

q�3 + C

56 F (s) = 4s� 2s5/2 + C

57 F (u) = 3

4

u4/3 + 3

2

u2/3 + C

58 Note que 1/(3r)2 = 1

9

r�2. F (r) = 1

3

r3 � 1

9

r�1 + C

59 F (t) = ln|t|� 1

2

t�2 + C

60 F (v) = 2v/ ln 2 + C

61 Use la identidad sen(x+ y) = senx cos y + cosx sen y. F (r) = 3 sen r + C.

62 F (✓) = arcsen ✓ + C

63 La derivada de arcsec y es 1/(|y|py2 � 1), y y > 0 en el intervalo de integracion. Entonces

F (y) = arcsec y.

64 La derivada de arcsecu es 1/(|u|pu2 � 1), y u < 0 en el intervalo de integracion. Entonces

F (u) = � arcsecu.

65 DescompongaR3

�2

comoR0

�2

+R3

0

.

66 Separe la integral en dos, dependiendo del signo de 6� 4u.

67 F (x) = 1

2

mx2 + bx+ C

68 F (z) = ln |z|+ C

71 La superior es y = 0 y la inferior es y =px� x.

72 Intersecciones: x = �1 y x = 1.6.

73 Intersecciones: x = �2, x = 1 y x = 2. Las funciones superior e inferior se intercambian: a laizquierda la superior es y = 0; a la derecha es y = x2 � x3 + 4x� 4.

74 Intersecciones: x = (1±p5)/2 y x = 1 (factorice por division sintetica).

75 Intersecciones: x = 0, x = 0.5 y x = 1.

76 Intersecciones: x = (3�p13)/2, x = 0 y x = (

p5� 1)/2.

87 Las curvas se intersecan en �2, 0 y 2. Calcule el area entre �2 y 0, y por aparte el area entre 0y 2; luego sumelas.

91 e�0.16t =�e�0.16

�t

93 El flujo de caja es la tasa de cambio del ingreso total.


107 Si toma u = 4� p2 entonces du = �2p dp y p3 dp = (p2) · (p dp) = (4� u) · (�1

2

du).

109 s3 + 4s = s(s2 + 4)

115 Tome u = z + 5.

116 Tome u = 3y � 1.

117 No importa que �1 sea menor que 0.

121 Tome y = 1 +pp.

127 Desarrolle el cuadrado.

130 1/pex = e�x/2

142 Tome x = 3v.

143 Saque 4 como factor comun de la raız y tome u = t/2.

145 Complete cuadrado en el denominador y tome u = x� 5.

146 Complete cuadrado en el denominador y tome z = 3w � 2.

147 Complete cuadrado en el denominador y tome x = u� 3.

148 Complete cuadrado en la raız y tome v = 2y + 1.

149 Tome y = er.

152 Multiplique el numerador y el denominador por et.

153 Tome u = ln(p+ 1).

172 Puede tomar u = sen 2x, o usar el resultado del Ejemplo 9.

175 Separe la fraccion en dos. Para la primera, saque 4 como factor comun de la raız y tomex = u/2. Para la segunda, tome y = 4� u2.

176 Si V (t) es el valor en dolares a los t anos, entonces V (t) decrece a razon de 1500pt+ 1 dolares

por ano: V 0(t) = �1500pt+ 1.

177 Recuerde que la velocidad es la derivada de la distancia, ası que d(t) =Rv(t) dt. Tambien note

que t esta en minutos pero v esta en km/h; primero convierta v a km/min dividiendolo por 60:

v = 53t+ 2

t+ 2km/min, y luego integre con respecto a t de 0 a 3 (minutos).

Otra opcion es convertir el tiempo a horas: si x es el numero de horas, entonces x = 1

60

t y t = 60x,

ası que v = 3003(60x) + 2

(60x) + 2; integre con respecto a x de 0 a 3

60

(horas).

178 Recuerde que la aceleracion es la derivada de la velocidad, ası que v(t) =Ra(t) dt. Note

tambien que v(0) = 0. Para integrar, escriba t2 + 225 = 225((t/15)2 + 1) y tome u = t/15.

180 El radio a los tmin es r(t) = 9p2t+ 4� 18, y el area es ⇡r2.

181 El flujo de inversion es la tasa de cambio de la inversion total.

183 Si no se contratan recolectores, no hay recoleccion: C(0) = 0.

Sugerencias del Capıtulo 6, Mas sobre integracion 155

6. Mas sobre integracion

7 Recuerde intentar sustitucion antes que fracciones parciales.

30 Tome t = ey.

31 Tome y = es.

32 Tome u = ex, y entonces el denominador sera 1� u2.

33 Tome v = 3r, y entonces 9r = v2. El numerador sera v2 + v + 6.

34 Tome u = 2t, ası que 4t = (2t)2 = u2 y el denominador sera u2 + 2u+ 2.

35 Tome x = ln q.

36 Tome x = v1/2, y el denominador sera x3 + 9x.

46 Puede tomar u = 5 + 2 tan↵.

49 Puede sacar sec↵ como factor comun y tomar u = sec↵, o sacar sec2 ↵ como factor comun ytomar u = tan↵.

51 Escriba tan2 · tan2 = tan2(sec2�1).

53 Escriba (cot2)(csc cot) = (csc2�1)(csc cot).

54 Convierta a senos y cosenos.

55 Convierta a senos y cosenos.

56 Convierta a senos y cosenos, y despues puede tomar x = cos2 v + 1. Otra opcion es multiplicarnumerador y denominador por sec v, tomar y = sec v y descomponer en fracciones parciales.

57 Note que el exponente de cos r es impar. O bien multiplique numerador y denominador por1 + sen r. O, si recuerda las formulas para

Rsec y para

Rtan, simplemente separe la fraccion (y si no

las recuerda, calculelas (notando que cos tiene exponente impar en ambas).Vea tambien el Ejercicio 16 en el Capıtulo 7 (pagina 128).

58 Multiplique numerador y denominador por 1 + sen z, y separe la fraccion resultante.Vea tambien el Ejercicio 9 en el Capıtulo 7 (pagina 128).

59 Convierta a senos y cosenos, multiplique numerador y denominador por cos t y tome u = sen t.Tambien vea el Ejercicio 113 y su sugerencia.

60 Vea el Ejemplo 9. Vea tambien el Ejercicio 12 en el Capıtulo 7 (pagina 128) y su sugerencia.

62 Puede ser mas facil tomar u = 9� y2.

63 Tome t = sen� y use el resultado del Ejercicio 42.


64 Tome u = 3r.

66 Puede ser mas facil tomar x = 4v2 + 1.

71 Piense en (4x2 � 4x+ 5)2 =p4x2 � 4x+ 5

4

.

73 F (x) = �1

5

ln�� 5x

+p25�x

2

x

��+ C

74 Para integrar sec3 t escrıbalo como 1/ cos3 t, tome x = sen t y use fracciones parciales.

75 F (t) =pt2 � 16 + 4 arcsec(t/4) + C

76 Tome x = ln y.

77 Tome z =pw.

78 Tome t = eu.

79 F (z) = 1

9

e3z(3z � 1)

80 F (p) = 1

4

p4 ln p� 1

16

p4

81 F (s) = 2

3

s3/2 ln s� 4

9

s3/2

82 F (x) = 2x lnpx� x

87 F (�) = sen� � � cos�

88 F (z) = 1

4

cos 2z + 1

2

z sen 2z

89 Para integrar p2/(p2 + 1), divida los polinomios. F (p) = 1

2

(p2 arctan p� p+ arctan p).

91 Desarrolle el cuadrado.

94 F (w) = (w + 1

2

) ln(2w + 1)� w

95 Antes (o despues) de integrar por partes, haga la sustitucion t = p+ 5.F (p) = 1

2

ln(p+ 5)(p2 � 25)� 1

4

p2 + 5

2

p.

96 Despues de integrar por partes, use la sustitucion u = 5y � 4.

99 Despues de integrar por partes, simplifique (3v3 � 4v2)/(v3 � 2v2).F (v) = v ln(v3 � 2v2)� 2 ln(v � 2)� 3v.

100 Primero sustituya x = w2 + 1. F (x) = (x� 1)8x/(2 ln 8)� 8x/(2 ln2 8).

101 Primero sustituya x = p2 � 2p. Entonces (p� 1)2 = x+ 1 y dx = 2(p� 1)dp. Descomponga(p� 1)3 = (p� 1)2 · (p� 1).

102 Primero sustituya x =pu.

Sugerencias del Capıtulo 6, Mas sobre integracion 157

103 Use partes con u = t, dv = (4 + 3t)�1/2 dt; o mejor sustituya u = 4 + 3t.F (t) = 2

3

t(4 + 3t)1/2 � 4

27

(4 + 3t)3/2 = 2

27

(4 + 3t)3/2 � 8

9

(4 + 3t)1/2.

104 Use partes con x = v2, dy = v(9� v2)�1/2dv; o mejor haga una sustitucion trigonometrica.Todavıa mejor, sustituya x = 9� v2. F (v) = �v2(9� v2)1/2 � 2

3

(9� v2)3/2 = �1

3

(v2 + 18)p9� v2.

105 F (u) = u+ u ln2 u

106 Primero sustituya y = 4� 7x. F (y) = 2

7

y�1/2 ln y + 4

7

y�1/2.

108 Tome u = tet y dv = (t+ 1)�2dt.

109 Use partes con u = ln�p+

p1 + p2

�; du resulta ser dp /

p1 + p2.

112 Use partes con u = sec↵. Vea el ejercicio siguiente y su sugerencia.

113 Escriba tan2 = sec2�1, desarrolle y separe en dos integrales. Para la primera, vea el ejercicioanterior y su sugerencia. Para la segunda, la formula de

Rsec se da despues del Ejemplo 9 de este

capıtulo. Vea tambien el Ejercicio 59 y su sugerencia. Todavıa otra opcion es usar partes conu = tan t.

115 Primero sustituya x =pt. Vea el Ejercicio 87 y su sugerencia. F (t) = 2 sen

pt� 2

pt cos

pt+C.

116 Use integracion por partes con u = ln z, y despues fracciones parciales.

117 Use integracion por partes con u = ln(y2 � 1), y despues fracciones parciales.

118 F (w) = arcsenw + C

119 F (p) = 1p8

arctan pp8

+ C

120 Tome x = lnu. F (u) = 1

2

ln2 u+ C.

121 F (t) = 3

2

(t� 2)2/3 + C

122 F (x) = 1

1�p

x1�p + C si p 6= 1. La convergencia depende de si p > 1 o p < 1.

123 F (↵) = tan↵� ↵+ C

124 F (✓) = ln | sec ✓|+ C

125 F (p) = (p� 1) ep + C

126 F (v) = 1

2

v2 ln v � 1

4

v2 + C

127 F (q) = 1

2

e�q(sen q � cos q) + C. Para encontrar limq!1

1

2

e�q(sen q � cos q), use el Teorema delencaje (Seccion 1.6).

128 F (�) = � cot� + C

129 F (r) = arctan r + C

130 F (y) = ln | ln y|+ C

131 Tome x = ew. F (w) = arctan(ew) + C.

132 F (z) = 1

6

(ln |z � 3|� ln |z + 3|) + C


7. Temas adicionales sobre integracion

1 Mejor tome u = 2t2 + 3.

3 Mejor tome u = r2 + 5.

9 Ademas de probar u = tan(z/2), vea tambien el Ejercicio 58 del Capıtulo 6 (pagina 114) y susugerencia.

10 Mejor tome u = cos t� 1.

12 Escriba secx = 1/ cosx. Vea tambien el Ejercicio 60 en el Capıtulo 6 (pagina 114) y susugerencia.

15 Tambien puede tomar x = cosw.

16 Ademas de probar u = tan(y/2), vea tambien el Ejercicio 57 del Capıtulo 6 (pagina 114) y susugerencia.

18 Despues de hacer la sustitucion, note que la fraccion racional es impropia.

20 Recuerde que cos 2p = cos2 p� sen2 p.

44 Tome � = 5/M y xj

= j�.

45 Tome � = 3/n y xk

= 1 + k�.

46

R p10 dq = q

p10 + C

47

R1

2

p4 + 81x dx = 1

243

(4 + 81x)3/2 + C

48

R(4w2 + 1)/(4w) dw = 1

2

w2 + 1

4

ln |w|+ C

49

R(r4 + 1)/(2r2) dr = �1

2

r�1 + 1

6

r3 + C

50

R(4p6 + 1)/(�4p3) dp = 1

8

p�2 � 1

4

p4 + C

51

R(z8 + 1)/(2z4) dz = �1

6

z�3 + 1

10

z5 + C

52

Rsec ✓ d✓ = ln | sec ✓ + tan ✓|+ C

53

R p1 + 16t2 dt = 1

2

tp1 + 16t2 + 1

8

ln |4t+p1 + 16t2|+ C

54

R(1 + y2)/(1� y2) dy = �y + ln |y + 1|� ln |y � 1|+ C

55

R pv2 + 1/v dv =

pv2 + 1 + 1

2

ln |pv2 + 1� 1|� 1

2

ln |pv2 + 1 + 1|+ C

56

R q1 + 1

u

du =pu2 + u+ 1

2

ln |1 + 2u+ 2pu2 + u|+ C. Para integrar, tome x =

q1 + 1

u

y note

que u = 1/(x2 � 1); luego use fracciones parciales.O bien empiece por intercambiar las variables en la ecuacion de la curva: si y = 2

pu para u 2 [1

9

, 1]entonces u = (y/2)2 para y 2 [2

3

, 2].

Sugerencias del Capıtulo 7, Temas adicionales sobre integracion 159

62 Compare con el Ejemplo 9. Ahora cada disco tiene radio r = x/2, donde x es el nivel del agua enmetros.

63 Compare con el Ejemplo 9. Ahora cada disco tiene radio r =p4x� x2, donde x es el nivel del

agua en decımetros.

2 dm

2dm

x

r

2� x2

66 Recuerde que F = kx con k constante. Despeje k en la ecuacionR0.20

0

F dx = 0.5.

67 Vea la sugerencia del ejercicio anterior.

68 La masa del cable es de 1.25 kg por metro. Cuando falta recoger x metros de cable, la masa quecuelga es m(x) = 1.25x kg. Entonces la fuerza necesaria para recogerla es F (x) = (1.25x)(9.8), para0 x 20.

Ap

´

endice B

Soluciones

0. Calculo proposicional

1 Sı

2 Sı

3 No

4 No

5 Sı

6 Sı

7 No

8 Sı

9 9x 2 P , m(x) donde P = {mis primas } y m(x): “x estudio medicina”

10 9x 2 A, nv(x) donde A = { aves } y nv(x): “x no puede volar”

11 9d 2 A1998

, n(d) donde A1998

= { dıas en 1998 } y n(d): “el dıa d cayo nieve en el Irazu”

12 9x 2 B, nb(x) donde B = { canciones de los Beatles } y nb(x): “x no lleva baterıa”

13 8x 2 B, c(x) donde B = { canciones de los Beatles } y c(x): “x es cantada”

14 8x 2 C, a(x) donde C = { sus companeros } y a(x): “x le dice apodos”

15 8x 2 P , r(x) donde P = { computadoras portatiles } y r(x): “x es un riesgo de robo”

16 8x 2 H, nv(x) donde H = { humanos } y nv(x): “x no puede vencer a Superman”

17 9d 2 M , 8a 2 G, t(a, d) donde M = { dıas del mes pasado }, G = { alumnos de este grupo }, yt(a, d): “el alumno a llego temprano el dıa d”

18 8y 2 IR, 9r 2 IR, r2 = y

19 ` ^ f , (¬`) _ (¬f): “ayer no llovio o no hizo frıo”

20 b ^ (¬`), (¬b) _ `: “Ese carro no es blanco, o esta muy limpio”

21 (¬g) ^ c, g _ (¬c): “Le gusto o no estaba caro”

22 m _ v, (¬m) ^ (¬v): “Sandra no viene manana ni el viernes”

23 e _ p, (¬e) ^ (¬p): “x no es entero ni positivo”

24 (¬t) ^ a, t _ (¬a): “Voy en tren o no voy en avion”

25 c _ (¬s), (¬c) ^ s: “La obra no es clasica y es de este siglo” (podrıa ser “pero” o “sino que” envez de “y”)

162 Apendice B. Soluciones

26 (¬a) ^ (g _ c), a _ [(¬g) ^ (¬c)]: “El sujeto estaba armado, o no llevaba gorra ni capucha”

27 n ^ (d _ b), (¬n) _ [(¬d) ^ (¬b)]: “No es nuevo, o bien no esta descompuesto ni se le gasto labaterıa”

28 e _ (r ^ p), (¬e) ^ [(¬r) _ (¬p)]: “n no es entero, y no es racional o no es positivo”

29 (a ^ d) _ (¬e), [(¬a) _ (¬d)] ^ e: “La modelo no es alta o no es delgada, pero sera electa”

30 Ninguna de mis primas estudio medicina.

31 Todas las aves pueden volar.

32 Ningun dıa de 1998 cayo nieve en el Irazu.

33 Todas las canciones de los Beatles llevan baterıa.

34 Hay una cancion de los Beatles que no es cantada.

35 Alguno de sus companeros no le dice apodos.

36 Hay una computadora portatil que no es un riesgo de robo.

37 Algun humano puede vencer a Superman.

38 Cada dıa del mes pasado hubo algun alumno de este grupo que no llego temprano.

39 Existe un y 2 IR tal que para todo r 2 IR se tiene r2 6= y.

40 V; “Si x2 > 0 entonces x 2 IR y x > 0”: F

41 F; “Si n3 = 25 entonces n = 5”: F

42 F; “Si t = 3 entonces t2 = 9”: V

43 V; “Si t2 = 9 entonces t = 3 o t = �3”: V

44 F; “Si hoy los bancos abren normalmente entonces hoy es lunes”: F

45 V; “Si el vapor es gaseoso, el hielo es solido”: V

46 V; “Si los caballos vuelan, los perros tambien vuelan”: V

47 F; “Si todos los triangulos son redondos, todos los cuadrados son rectangulos”: V

48 V; “Si hay vida en la Tierra, la Tierra es plana”: F

49 d ! m; “Si no le hacen multa, no lo detuvieron”

50 (¬g) ! d; “Si no lo devuelve, entonces le gusto”

51 (e _ t) ! `; “Si no puede llevarselo, entonces no trae efectivo ni tarjeta de credito”

52 [t ^ (¬e)] ! (¬q); “Si puedo hacer el quiz, entonces no llegue tarde o bien traje excusa”

53 g ! (c ^ v); “Si no le compran carro o no lo llevan de viaje, no se graduo”

54 a ! (p _ s); “Si no llega de primera ni de segunda, no se apuro”

55 8x 2 D, r(x) ! v(x); “Todos los dıas que no se va la luz, no hay rayos”

56 8x 2 P , m(x) ! (¬p(x)); “Las personas que pagan no son menores de edad”

Soluciones del Capıtulo 0, Calculo proposicional 163

57 x y ¬x (¬x) ^ y

V V F FV F F FF V V VF F V F

58 p q ¬q p ! (¬q)V V F FV F V VF V F VF F V V

59 p q ¬q p _ (¬q) ¬[p _ (¬q)]V V F V FV F V V FF V F F VF F V V F

60 x y ¬x x ! y (¬x) ^ (x ! y)V V F V FV F F F FF V V V VF F V V V

61 x y z ¬z y _ (¬z) x ^ [y _ (¬z)]V V V F V VV V F V V VV F V F F FV F F V V VF V V F V FF V F V V FF F V F F FF F F V V F

62 a b c a ! b b ! c(a ! b)^(b ! c)

V V V V V VV V F V F FV F V F V FV F F F V FF V V V V VF V F V F FF F V V V VF F F V V V

63 Sı

64 No

65 Sı

66 Sı

67 Sı

68 Sı

69 No

70 Sı

71 Sı

72 Sı

73 Sı

74 Sı

75 Sı

76 Sı

77 Sı

78 Sı

79

3. b S 14. (¬c) MT 2, 3

80

3. x S 14. y SD 2, 35. y _ (¬z) A 4

81

4. ¬q MT 2, 35. p SD 1, 4

82

4. y MP 1, 35. ¬x MT 2, 4

83

3. q S 24. p SD 1, 35. r S 26. p ^ r Ad 4, 5

84

3. c S 24. ¬(a _ d) MT 1, 35. (¬a) ^ (¬d) DeMorgan6. ¬d S 5


1. Lımites y continuidad

1 1

2 0

3 1

4 2

5 3

6 2

7 3

8 1

9 2

10 0

11 1

12 2

13 �1/2

14 �10

15 1/2

16 �1/4

17 1

18 �1/4

19 0

20 �1

21 �1

22 0

23 e ⇡ 2.7183

24 e2 ⇡ 7.3891

25 ln 2 ⇡ 0.6931

26 �2

27

p28

28 160

29 16/7

30 No existe(3 izq, 1 der)

31 �4

32 �4

33 �1

34 No existe

35 6

36 5

37 6

38 No existe

39 2

40 2

41 2

42 2

43 �5

44 �2

45 5

46 c/2

47 1/2

48 �5/4

49 4

50 2k

51 0

52 �1/8

53 5/4

54 1/pa

55 �20

56 3

57 �1

58 �18

59 �80/71

60 5/12

61 ⇡/4�p2 ⇡

�0.628815

62 2

63 3/2 +p3 ⇡ 3.23205

64 �3p3/(8⇡) ⇡

�0.206748

65 1/⇡ ⇡ 0.318310

66 1

67 �p2/2

68 2

69 2

70 0

71 1

72 3

73 5

74 �1

75 45/2

76 1/⇡ ⇡ 0.318310

77 1

78 0

79 �2/⇡ ⇡ �0.636620

80 2/⇡ ⇡ 0.636620

81 0

82 4

83 0

84 0

85 1/6

86 0

87 6/5

88 �2

89 0

90 cosx

91 � senx

92 cos a

93 � sen a

94 �1

95 2

96 1

97 �1

98 �1

99 �1

100 1

101 1

102 1

103 1

104 1

105 �1

106 1

107 1

108 �1

109 1 izq, �1 der

110 e0.2 ⇡ 1.2214

111 1

112 0

113 1 izq, �1 der

114 1

115 0

Soluciones del Capıtulo 1, Lımites y continuidad 165

116

–10–8–6–4–20

246810

–6 –4 –2 2

117

–15

–10

–5

5

–6 –4 –2 2 4 6

118

–1

0

1

2

3

4

5

–10 –5 5 10 15

119 �1 izq, 1 der

120 �1 izq, 1 der

121 1 izq, �1 der

122 �1

123 1 izq, �1 der

124 1

125 �1 izq, 1 der

126 �1 izq, 1 der

127 1

128 �1 izq, 1 der

129 1 izq, �1 der

130 1

131 �1

132 �1

133 �1

134 �1 izq, 1 der

135 1

136 1 izq, �1 der

137 1

138 1 izq, �1 der

139 �1

140 �1

141 0

142 0 izq, 1 der

143 1 izq, 0 der

144 2.1�1

145 0 izq, 1 der

146 �1/2

147 0

148 0

149 �2

150 2/7

151 �1

152 0

153 13/5

154 1

155 �1

156 �1

157 �9

158 �1/2

159 �1

160 �3/2

161 1/p5

162 �1

163 1

164 2/3

165 2

166 �1/2

167 �1

168 1

169 0

170 1/2

171 1

172 0 izq, 1 der

173 1

174 � ln 4

175 0

176 1

177 �1

178 1

179 0

180 1

181 �1

182 0

183 1


184 A 21

185 1.8074, 6.2651, 19.98m/s. A 1m/s.

186 A 6.

187 300 km/h; 800 km/h; a 900 km/h

188 $54.286 millones; $87.692 millones;a $95 millones

189 A seis meses

190 180�

191 0

192 1

193 0

194 0

195 0

196 1

197 0

198 1

199 No, f(2) no existe

200 Sı

201 No, los lımites laterales son distintos

202 No, p(�1) 6= limr!�1

p(r)

203 No, y(�5) no existe

204 IR� { 3,�3 }

205 [0,1[� { 1 }

206 IR� {�1 }

207 IR� {�5 }

208 IR� { 3 }

209 IR� { 1 }

210 IR� { 0 }

211 IR� {�2 }

212 IR� {�1, 2, 3, 4 }

213 a = 9

214 b = �2

215 a = 2 o a = �1

216 a = �1, b = 1

217 a = 1, b = 2

2. Derivacion

1 3

2 �6

3 6

4 �15

5 5

6 1

7 �6

8 �1/2

9 �11

10 �10

11 �5/3

12 1/4

13 �3/10

14 1�p3/6

15 4/p3

16 1

17 �1/8

18 3

19 �4

20 0

21 (1 + 3p3)/2

22 0

Soluciones del Capıtulo 2, Derivacion 167

23 1 3. 3 2u� 4. 5 6y2 � 1. 7 �6/(2w+5)2. 9 �11(v� 4)�2. 11 (2t2 +12t� 15)(t+3)�2. 13 �3

2

x�1/2. 15 2y(2y2 � 5)�1/2. 17 �1

2

r�1/2(1 +pr)�2. 19 �4 cos(2↵). 21 cos r + 3 sen r.

24

2 �6. 4 2x�3. 6 (1�z)�2. 8 �2y�2. 10 �10/(2+x)2. 12 1/(2pv + 3). 14 (2

p1� t�

1)/(2p1� t). 16 1/

p1� 2u. 18 3 cosu. 20 5 sen v. 22 sen y � sen(y/2).

25 y � 4 = 3(x� 1)

26 q + 1 = �(p+ 1)

27 y + 6 = 8(t+ 3)

28 y + 1

2

= �3

4

(r � 2)

29 z � 3 = 1

6

(w � 6)

30 w � 1 = �(u+ 2)

31 9x8

32 15t2

33 7u3

34 �36y�4

35 2r�2/3

36 52t3 � 10t+ 6

37 18y1/2 � 3y�1/2 + 3y�2

38 �10x+ 3

39 11/4

40 �1/5 + u

41 15y4 � sen y

42

p5

2

v�1/2 + 6 sen v + 2 cos v

43 10y3

44

1

2

cos� � 5

4

sen�

45 �5p8x�6

46 3t�2 � 2t�3

47 5w�2 � 4w�3

48

3

2

r1/2 � 5

2

r�7/2

49 18u2 + 18u� 2

50 9x2 � 14x+ 7

51 9t2

52 4s3 + 3s2 + 6s+ 2

53 5y3/2 + y�3/2

54 3v2 � 6v + 2

55 72w � 48

56

7

2

x5/2 � 1 + 1

2

x�1/2

57 2 + 3y�2

58 20t3/2 � 1/5

59 9 cos ✓

60 z = 0

61 y + 5 = 16(r + 1)

62 y � 1

4

= � 1

48

(x� 8)

63 u = 0

64 y � 1 = �2(x� ⇡/2)

65 y � 0.403377 = �4.69247(w � 1.0472)

66 (2,�16) y (�2, 16)

67 (⇡/2 + 2k⇡, ⇡/2 + 2k⇡) para cualquier k 2 ZZ

68 (3/2, 15/2)


69 (0, 1)

70 No hay

71 (a) 1.1m/s. (b) �8.7m/s. (c) �3.849m/s.(d) �3.8m/s. (e) �28.6356m/s.

72 (a) �34.3m/s. (b) �29.89m/s.(c) �29.4049m/s. (d) �29.4m/s.(e) �54.2218m/s.

73 h0

= 11.4796m

74 (a) 18� 4tm/s. (b) 4.5 s. (c) 4 s. (d) Sı,porque tarda menos en chocar que en detenerse.

75 0.366234 dm/s

76 20x4 � 48x3 + 63x2 � 20x+ 26

77 5s4 � 9s2 � 2s� 4

78 2y + 5

2

y3/2

79

5

6

t�1/6 + t�2/3

80 25w3/2 � 5� 2w�1/2 � 2w�2

81 sen ✓ + (✓ + 1) cos ✓

82 2 cos2 x� 2 sen2 x

83

(28t3�8t)(2 sen t+cos t)+(7t4�4t2)(2 cos t�sen t)

84 sec2 u(1� cotu)� (1 + tanu) csc2 u

85 (12z3 + 3z4 � 5)/(3 + z)2

86 (19� 4x� 3x2)/(x2 � 5x+ 3)2

87 �t(t+ 2)/(t2 + 2t+ 2)2

88 (u2 � 2u� 2)/(u2 + u+ 1)2

89 sec v tan v

90 � csc� cot�

91 � csc2 ↵

92 �2 cscx cotx/(1� cscx)2

93 (ad� bc)/(cx+ d)2

94 2t+ 1/(3� t)2

95 1/(y + 1)2 � 4/(y + 3)2

96 [(1 + r) cos r � sen r]/(1 + r)2 � [� sen r(1�r)� cos r]/(1� r)2

97 (12x2 + 12x+ 1)/(2x+ 1)2

98 (2u2 + 8u� 1)/(u+ 2)2

99 (2s3 � 5s2 � 4s� 3)/(s� 2)2

100 [� csc v � (csc v � 1) sec2 v]/ tan2 v

101 y csc y (2� y cot y)

102 �24p3 � 3p2 � 8p� 1

103 66u9/2 � 81u7/2 + 30u3/2 � 9u1/2 � 9u�1/2

104 (4w5 + 2w4 � 4w3)/(w + 1)2

105 (10� 2x)/(x+ 1)3

106 [�4t2 + 6t� 1]/[(1� t)2(t� 2)2]

107

[u4 + 8u3 � 13u2 � 14u� 18]/[(u� 1)2(5 + u)2]

108 [64r2 + 48r � 12]/[r2(1� 2r)2]

109 5

110 �6

111 8

112 3/16

113 q � 4 = 4(p+ 2)

114 w � 1.81859 = 0.0770038(✓ � 2)

115 v � 0.133975 = �0.0358984(� � 1.0472)

116 w + 1 = 1

5

(u� 9)


117 r = t

118 y + 3

4

= �2

3

(w � 1

4

)

119 y + 1

3

= 18(x� 4)

120 t� 1.10266 = �2.26985(↵� 0.523599)

121 0.054966m/s2

122 I 0(12) ⇡ 0.316535. A los doce meses, elingreso adicional es aproximadamente $316 535por mes.

123 0.032, 0.8. Despues de eliminar 50%, elsiguiente 1% costara aproximadamente $32;despues de 90%, el siguiente 1% costaraaproximadamente $800.

124 11.8592m/ �

125 x = 18 toneladas; U(18) = 24 millones decolones

126 �90(5� 6x)4

127 6t(9t2 + 5)�2/3

128 �48(16u+ 1)�4

129 (24y2 + 32)(y3 + 4y)�3/5

130 2520w(4w2 � 7)2 + 5

2

(1� 5w)�1/2

131 �2v cos(1� v2)

132 �6 tan2 t sec2 t

133 ⇡ csc(⇡r) cot(⇡r)

134 2(5u+p1� 3u)[5� 3

2

(1� 3u)�1/2]

135

1

2

(v + v1/2)�1/2(1 + 1

2

v�1/2)

136 2⇡ sen(⇡(z � 1)) cos(⇡(z � 1))

137 sec2 ↵ tan↵/p1 + sec2 ↵

138 120⇣�

(y2 + 3)5 + 1�3 � 2

⌘3 �

(y2 + 3)5 +

1�2

(y2 + 3)4y

139 (1� 2y2)/p

1� y2

140

3(p2�5p)2(2p+1)5(2p�5)+10(p2�5p)3(2p+1)4

141 2u cos(6u� 5)� 6u2 sen(6u� 5)

142 2 cot2w � (4w � 2) cotw csc2w

143 8q(3q + 1)�2/3(5q � 1)�4/5

144 [3w(4w + 2)3]�1/2(4w + 2)2(24w + 3)

145 5 sec(5✓) + 10 sen2(5✓) sec3(5✓)

146 27(x� 7)2/(x+ 2)4

147

15

2

(5� x)�3/2(3x)�1/2

148 (�10t3 + 30t2 � 8)/(t3 � 4)3

149 (18t5 � 105t4)/�2pt2 � 5t

3

�

150 [1 + cos2 y+2(y+1) cos y sen y]/(1+ cos2 y)2

151

2tanx sec2 x(csc2 x+ 2) + (tan2 x� 1) csc2 x cotx

(csc2 x+ 2)2

152 �2(6r � 5)2(21r � 88)/(7r + 2)5

153 (�5v3 + 3

2

v2 + 7v � 1

2

)(v3 � v)�1/2(2v + 1)�5

154 �4

155 �10

156 �1/4

157 �3

158 y � 4 = 4(x� 1)

159 y = 1

160 u� 1 = �3

2

(t+ 1)

161 z = 0

162 w � 18 = � 1

48

(v � 2)


163 y � 48 = 1

96

(r + 1)

164 w = ⇡/4

165 y � 4 = 8

25

(x� 2)

166 (1/6, 0)

167 (0, 0) y (1, 0)

168 (2, 4)

169 (�19/8, 1/2)

170 V 0(12) = �200: a los 12 minutos el agua salea 200 litros por minuto. El flujo es mayor a los0 minutos.

171 I 0 = 100� (2q2 + 20)/p

q2 + 20

172 N 0(75) = �10: a los 75 anos, el numero depersonas disminuye en 10 por cada ano adicional

173 3.47604mm/s

174 2 + et

175 eu + e�u

176 3 · 5r ln 5� er � rer

177 (1/2)x ln(1/2) + 2x ln 2

178 e2y � 6e4y

179 3/(2t)

180 �1/x

181 u�1 � 2u(u2 � 1)�1

182 8/(y ln 10)

183 1/(5x ln 2)

184 e3w(3w2 + 2w + 3)

185 (4x� 5)e2x2�5x+3

186 (eu + ueu + 1)/(2pueu + u)

187 5(q � 3eq/3)4(1� eq/3)

188 2ex/(ex + 1)2

189 102�5y � 5y102�5y ln 10

190 t�1 + t(t2 + 1)�1

191 3p2(p3 � 1)�1 � 2p+ 5(2� 10p)�1

192 (6r � 5)/[(3r2 � 5r) ln 10]

193 �1/ps2 � 1

194

1

2

z�1(1 + ln z)�1/2 + 1

2

z�1/2(1 +pz)�1

195 2 ln(2y + 6)/(y + 3)

196 (2q + 1) ln(5q2 + 1) + 10(q3 + q2)/(5q2 + 1)

197 ww+1(lnw + 1 + w�1)

198

2 ln(ln(2z3�8z))(6z2�8) / [(2z3�8z) ln(2z3�8z)]

199 3e3xg(ln2 x) + 2e3xg0(ln2 x) lnx/x

200 �3

201 �3/2

202 �3

203 q � 5 = �10(p� 1)

204 z � 40 = 40(ln 10� 1)(t+ 2)

205 x = 0

206 w = �3

2

(u+ 3)

207 (�1, e�1)

208 (�1/ ln 2,�e�1/ ln 4)

209 (0.1, 5e3.4)

210 (e, e)

211 (e�1/2� 4, e�1)

212 A0(t) = Prert ) A0/A = r


213 �0.150534 grados por segundo

214 �10a�bMb ln 10

215 q0(40) = �62.5: cuando el precio es $40, lademanda disminuye en 62.5 unidades por dolarde aumento

216 f 0(25) = �0.36e�3 ⇡ �0.01792: en 1990 lacantidad de petroleo necesaria para cada $1000de produccion disminuıa a 0.01792 barriles porano

217 C 0(q) = 10eq/400; C 0(343) ⇡ 23.5726

218 �1/p1� ↵2

219 1/(1 + r2)

220 1/(|u|pu2 � 1)

221 �1/(|v|pv2 � 1)

222 �1/(1 + w2)

223 �13

224 1/3

225 �2

226 �1

227 e2 � e

228 7/2

229 �2.4x/y

230 �(2t2 + v)/(t+ v2)

231 sen� cos�/(sen↵ cos↵)

232 1/(2wz + 2z2 � 1)

233 �1/(2ey + 2yey)

234 �x / [ln(2x+ y)(2x+ y) + 2x]

235 y � 3 = 1

5

(x+ 1)

236 y � 1 = �2x

237 y + 3 = �2

3

(x� 2)

238 y + 2 = 9

4

(x� 3)

239 y � 1 = �5

2

x

240 y = 0

241 y = 1

4

(x� 1)

242 y = �5x/2

243 0.125250 dm/s

244 �3.92 radianes por segundo

245 (z + 1)4(z2 + 3) 3

p2z + 1

✓4

z + 1+

2z

z2 + 3+

2

6z + 3

◆

246

(1 + y)(2� y)

(1� y)(2 + y)2

✓1

1 + y� 1

2� y+

1

1� y� 2

2 + y

◆

247

p1� 2x2(x+ 3)

(4x� 1)2

✓�2x

1� 2x2+

1

x+ 3� 8

4x� 1

◆

248

3

rz2 + 1

z2 � 1

✓2z

3z2 + 3� 2z

3z2 � 3

◆

249

s(v � 1)3

(2v + 7)(5� v)2

✓3

2v � 2� 1

2v + 7+

1

5� v

◆


250 2tln t�1 ln t

251 (3y + 1)2y✓2 ln(3y + 1) +

6y

3y + 1

◆

252 (2/y)y [ln(2/y)� 1]

253 (u+ 1)1/u✓

1

u2 + u� ln(u+ 1)

u2

◆

254 eww1�w(w�1 � lnw)

255 2� 45e3t

256 (x2 + 1)�3/2

257 6/(1� r)4

258 �15

16

u�7/2 + 24u�5

259 �120p�6

260 3(1� s)�5/2

261 9 sen� + 7 cos�

262

262 4 sec2w tan2w + 2 sec4w

263 �2 csc v cot v � v csc v cot2 v + v csc3 v

264 60x3 � 8

265 �64e1�4q

266 0

267 16(1 + 2s)�3

268 240 sen 2✓

269 10

270 ln 2

271 �2t(t3 + r3)/r5

272 0

273 2z/(2� z)3

274 (sen↵ cos2 � + sen� cos2 ↵)/ cos3 �

275 �10

3. Optimizacion

1 Crece en ]�1,�2]; decrece en [�2,1[; max en(�2, 5)

2 Crece en ]�1,�1] y en [1,1[; decrece en[�1, 1]; max en (�1, 0); mın en (1,�4)

3 Crece en [0, 2]; decrece en ]�1, 0] y en [2,1[;max en (2,4); mın en (0,0)

4 Crece en [�2,�1] y en [0,1[; decrece en]�1,�2] y en [�1, 0]; max en (�1, 1); mın en(�2, 0) y en (0, 0)

5 Crece en ]�1,�p6/3] y en [0,

p6/3]; decrece

en [�p6/3, 0] y en [

p6/3,1[; max en

(�p6/3,�2/3) y en (

p6/3,�2/3); mın en

(0,�2)

6 Crece en ]�1, 0]; decrece en [0,1[; max en(0, 0)

7 Crece en ]�1,�2] y en [0,1[; decrece en[�2, 0]; max en (�2, 3 3

p4); mın en (0, 0)

8 Decrece en IR

9 Crece en IR

10 Crece en ]�1, 0[ y en [2,1[; decrece en ]0, 2];mın en (2,�6/ 3

p2)

11 Crece en IR

12 Crece en [�2/3,1[; decrece en [�1,�2/3];max en (�1, 0); mın en (�2/3,�2

p3/9)

Soluciones del Capıtulo 3, Optimizacion 173

13 Crece en [�2, 0]; decrece en ]�1,�2] y en[0,1[; max en (0, 1); mın en (�2,�1/3)

14 Decrece en ]�1, 4/3[ y en ]4/3,1[

15 Crece en [�1, 1]; decrece en ]�1,�1] y en[1,1[; max en (1, 1/2); mın en (�1,�1/2)

16 Crece en [�1,1[; decrece en ]�1,�1]; mınen (�1,�e�1)

17 Crece en [�3,1[; decrece en ]�1,�3]; mınen (�3,�27e�3)

18 Crece en ]�1, 2]; decrece en [2,1[; max en(2, 6e4)

19 Crece en [0,1[; decrece en ]�1, 0]; mın en(0, 2)

20 Crece en ]�1,� ln 2] y en [0,1[; decrece en[� ln 2, 0]; max en (� ln 2, 1.09416); mın en (0, 1)

21 Crece en [0, ln 5]; decrece en ]�1, 0] y en[ln 5,1[; mın en (0, 2); max en (ln 5, 6.85707)

22 Crece en [1/p2,1[; decrece en ]0, 1/

p2]; mın

en (1/p2, 1 + ln 2)

23 Crece en [e�1/2,1[; decrece en ]0, e�1/2]; mınen (e�1/2,�1/(2e))

24 Crece en ]0, 1] y en [3,1[; decrece en [1, 3];max en (1, 80), mın en (3, 38.0248)

25 Arriba en ]�1, 2]; abajo en [2,1[; inflexionen (2,�3)

26 Arriba en ]�1,�1] y en [1,1[; abajo en[�1, 1]; inflexion en (1,�5) y en (�1,�5)

27 Arriba en IR

28 Abajo en IR

29 Arriba en ]2,1[; abajo en ]�1, 2[

30 Arriba en [�1, 1]; abajo en ]�1,�1] y en[1,1[; inflexion en (1, 1/4) y en (�1, 1/4)

31 Arriba en ]�2, 0] y en ]2,1[; abajo en]�1,�2[ y en [0, 2[; inflexion en (0, 0)

32 Arriba en ]�1, 0]; abajo en [0,1[; inflexionen (0, 0)

33 Arriba en [�3,1[

34 Arriba en [0,1[; abajo en ]�4, 0]; inflexion en(0, 0)

35 Arriba en ]0, 1/2]; abajo en [1/2,1[; inflexionen (1/2,�1/4� (ln 2)/2)

36 Arriba en ]�1,�3] y en [�1,1[; abajo en[�3,�1]; inflexion en (�3, 10e�3) y en (�1, 2e�1)

37 Arriba en [�1, 1]; abajo en ]�1,�1] y en[1,1[; inflexion en (1, ln 2) y en (�1, ln 2)

38 Arriba en [e�3/2,1[; abajo en ]0, e�3/2];inflexion en (e�3/2,�3e�3/2)

39 Arriba en IR

40 Arriba en [�⇡,�0.841069] y en [0.841069,⇡];abajo en [�0.841069, 0.841069]; inflexion en(�0.841069, 6.91274) y en (0.841069,�1.49795)

41 Arriba en [1.10715, 4.24874]; abajo en[0, 1.10715] y en [4.24874, 2⇡]; inflexion en(1.10715, 0) y en (4.24874, 0)

42 Max en (�2, 13); mın en (1,�14)

43 Mın en (1, 0)

44 Max en (0, 2); mın en (1, 1)

45 Max en (�1, 2); mın en (1,�2)

46 Max en (0, 0); mın en (2, 4)

47 Max en (0,�2); mın en (2, 2)

48 Mın en (0, 0)

49 Mın en (0, 1)

50 Max en (�3, 0); mın en (�2,�4)


51 Max en (�2, 4e�2); mın en (0, 0)

52 Max en (0, e4); mın en (�2, 5) y en (2, 5)

53 Mın en (1, 1)

54 Mın en (0, ln 5)

55 Max en (�0.4, 0.707149); mın en(0.4,�0.707149)

56 Max en (2.01371, 8.36568); mın en(4.26948, 2.48388)

57 Mın en (�2.73008, 1.87758); max en(�0.411517, 6.40561)

58 Max en (3, 33); mın en (�3/2,�15/2)

59 Max en (5, 266); mın en (1,�6)

60 Max en (12, 3745); mın en (�10,�1579)

61 Max en (�3, 297); mın en (0, 0)

62 Max en (1, 1/2); mın en (0, 0)

63 Max en (3, 21); mın en (5, 35/3)

64 Max en (0, 3); mın en (2,p5)

65 Max en (2, 1); mın en (�2,�1/3)

66 Max en (�32, 16); mın en (0, 0)

67 Max en (1, e�1); mın en (0, 0)

68 Max en (�1/2, 0.41218); mın en (0, 0)

69 Max en (1,�2); mın en (e,�e)

70 Max en (1,�3); mın en (e,�e2)

71 Max en (e� 1, e�1); mın en (0, 0)

72 Max en (�⇡/2, 1), (0, 1) y (⇡/2, 1); mın en(�⇡/4,�1) y (⇡/4,�1)

73 Max en (2.79253, 10.1096); mın en (0, 0)

74 Mın en (�0.588003,�3.60555); max en(2.55359, 3.60555)

75 Max en (2, ln 4� 2)

76 Mın en (0, 0); max en (1, e�1)

77 Mın en (2,�8)

78 Max en (1/3, e�1/3)

79 100 y 100

80 25 y �25

81 8p3 y 8

p3

82 10 y 1

83 10 y �10

84 83.3 km/h

85 9.8m

86 450 cajas; C||729 000

87 Max el 30 de abril (t = 2/3); mın el 10 dejunio (t = 2)

88 q = 40 unidades; C = 23

89 13.91 unidades

93 60 pasajeros

94 300 unidades

95 300 unidades; $55 800

96 70 km/h

97 A 0.884987m del primer foco

98 El angulo es ⇡/4 = 45�, y el alcance es40.8163m

99 A las 8:21’36” am (9/25 de hora despues delas 8 am)

100 Correr 68.956m, nadar 50.364m; 1.955min(aprox. 1min 57.3 s)

Soluciones del Capıtulo 3, Optimizacion 175

101 2133.97m en tierra a lo largo de la costa y1732.05m en lınea recta hacia el pozo bajo el mar

102 A 1.6m del poste de 8m; 20.3961m decable.

103 b = �2, c = 4

104 a = 2.97121, b = �2.03271

105 42 bombillos

106 C||1250

107 C||14 250

108 (a) $362.50. (b) $462.50

109 125 unidades; C||31 250

110 C||440; C||79 200 000

111 C||8400

112 160 arboles

113 30 turistas

114 320 tiquetes

115 $1.80

116 200% (un 100% adicional)

117 200m⇥ 300m, con la division paralela allado de 200m

118 30m el lado perpendicular a la pared, 60mel paralelo

119 7.5m el lado perpendicular a la pared, 10mel paralelo

120 22.36 cm de base y 26.83 cm de altura

121 22.32 cm de base y 26.78 cm de altura

122 63.66m el radio de los semicırculos, 200mlos lados rectos

123 Rectangulo: 1.68m de base y 0.84m dealtura; semicırculo: 0.84m de radio

124 2 cm de lado

125 2.5 cm⇥ 6 cm

126 40 cm y 0 cm para maxima; 17.596 cm y22.404 cm para mınima

127 4.47214⇥ 4.47214

128 7.07107⇥ 7.07107

129 2.8794 cm el radio de la base, 8.6382 cm laaltura; costo C||23.44

130 4 dm el lado de la base, 2 dm la altura

131 4.08248 el radio de la base, 5.7735 la altura

132 4.71405 el radio de la base, 6.6 la altura

133 7.00527 cm el radio del cilindro, 7.00527 cmla altura del cilindro

134 0.52322m el radio del cilindro, 4.18579m lalongitud del cilindro

135 403.067ml

136 (�0.6, 0.2)

137 (0.312908, 1.09791)

138 (3.5,p3.5)

139 A = 9 cuando x = 3

140 18

141 8.66025 la base, 7.5 la altura

142 No hay solucion

143 y � 2 = �1

2

(x� 4)

144 3p2/8, entre (1/2, 1/4) y (7/8,�1/8)

145 9.866m


4. Otras aplicaciones de las derivadas

1 1/2

2 0

3 1/4

4 2

5 �1

6 1/2

7 0

8 1

9 � ln 2

10 0

11 0

12 1/2

13 0

14 1

15 �1

16 �1/6

17 1

18 1

19 �p2

20 0

21 �1/3

22 4

23 1

24 1/⇡

25 1

26 2/⇡

27 0

28 0

29 1 izq, 0 der

30 0

31 0

32 0

33 0

34 �1

35 0

36 �4

37 1

38 1

39 1

40 1

41 1

42 1/5

43 1/12

44 1/2

45 �1 izq, 1 der

46 1/2

47 1

48 0

49 �1

50 0

51 1

52 e�1

53 e3

54 e�1

55 e�2

56 1

57 1

58 1

59 1

60 10

61 e3

62 1

63 e

64 e�5

65 e3

66 1

67 1

68 1

69 1

70 1

71 1

72 1

73 e�1

74 ert

75 w = 0, y = 0

76 t = �2, t = 2, y = 0

77 y = 0

78 y = �2

79 r = �1, r = 0, y = �1

80 s = �2, s = 3, y = 0

81 q = �1, y = �1

82 z = �3/2, y = �1/2

83 y = �1 en �1, y = 1 en 1

84 x = 3, y = 1

85 w = 0, y = �1 en �1, y = 1 en 1

Soluciones del Capıtulo 4, Otras aplicaciones de las derivadas 177

86 y = 0

87 t = ⇡/2 + k⇡ para k 2 ZZ

88 u = 0, y = 3

89 ↵ = 2k⇡ para k 2 ZZ

90 w = 0, y = w

91 r = 2, y = r � 1

92 u = �1, y = u

93 t = �2, t = 2, y = �t

94 y = �p

95 u = �2, y = 2u� 4

96 y = v

97 s = �3, s = 3, y = �s en �1, y = s en 1

98 y = 2q en +1

99 t = 0, t = 2, y = 3t+ 5

100 x = 0, y = �1 en �1, y = x en 1

101 z = 1, z = �1, y = 2z � 2 en �1

102 y = 2r

103 w = �1, y = w � 1

104

3

2

↵

�

105

�3

2

✏ N

106

�

1

4

-

107

�2

2

�

7

108

1

1

? ??

-

109

1

↵ U

110

2

�1

K

U

111

3

4

?

⌫

112 1� -


113

2

2O

-

114 Dom IR; inters (0, 16), (�4, 0), (2, 0); maxen (�2, 32); mın en (2, 0); infl en (0, 16)

–40

–20

0

20

40

60

80

–4 –2 2 4

115 Dom IR; inters (0, 0), (3, 0); max en (0, 0);mın en (2,�4); infl en (1,�2)

–20

–10

0

10

20

–2 –1 1 2 3 4

116 Dom IR; inters (0, 7), (�1, 0), (7/2, 0); maxen (2, 27); mın en (�1, 0); infl en (1/2, 27/2)

–100

–50

0

50

100

–4 –2 2 4

117 Dom IR; inters (0, 0), (�4/3, 0); mın en(�1,�1); infl en (�2/3,�16/27) y en (0, 0)

–2

–1

1

2

3

4

–2 –1.5 –1 –0.5 0.5 1

118 Dom IR; inters (0, 27), (1, 0); mın en (1, 0);infl en (2, 11) y en (4, 27)

10

20

30

40

50

1 2 3 4 5 6

119 Dom IR� {�3 }; inters (0, 2/3), (�2, 0);asıntotas q = �3, y = 1

–10–8–6–4–20

246810

–6 –4 –2 2


120 Dom IR� { 1 }; inters (0, 0); max en (0, 0);mın en (2, 4); asıntotas t = 1, y = t+ 1

–4

–2

2

4

6

8

10

–6 –4 –2 2 4 6 8

121 Dom IR� {�2, 2 }; inters (0, 0); infl en(0, 0); asıntotas w = �2, w = 2, y = 0

–4

–2

0

2

4

–4 –2 2 4

122 Dom IR� { 1 }; inters (0, 2); max en (2,�2);mın en (0, 2); asıntotas v = 1, y = �v + 1

–10–8–6–4–20

246810

–4 –2 2 4 6

123 Dom IR� {�2 }; inters (0, 0), (�3/2, 0);max en (�3,�9); mın en (�1,�1); asıntotasp = �2, y = 2p� 1

–20

–15

–10

–5

0

5

10

–8 –6 –4 –2 2 4

124 Dom IR� {�2, 2 }; inters (0,�9/4), (�3, 0),(3, 0); max en (0,�9/4); asıntotas x = �2, x = 2,y = �1

–12–10–8–6–4–20

2468

–6 –4 –2 2 4 6

125 Dom IR� {�1 }; inters (0, 0), (2, 0); mın en(1/2,�1/3); infl en (5/4,�5/27); asıntotasr = �1, y = 1

–20

5

10

15

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10


126 Dom IR� { 0 }; inters ( 3

p4, 0); max en

(�2,�3); asıntotas u = 0, y = u

–15

–10

–5

5

–6 –4 –2 2 4 6

127 Dom ]�1,1[; inters (0, 0); mın en (0, 0);asıntota v = �1

2

4

6

8

10

–2 –1 1 2 3 4 5

128 Dom IR; inters (0, 0); infl en (0, 0); asıntotasy = �1 en �1, y = 1 en 1

–1

–0.5

0

0.5

1

–6 –4 –2 2 4 6

129 Dom IR; inters (0, 0), (�24p3, 0), (24

p3, 0);

max en (�8, 16); mın en (8,�16); infl en (0, 0)

–40

–20

20

40

–100 –80 –60 –40 –20 20 40 60 80 100

130 Dom ]�1,�2[ [ ]2,1[; asıntotas x = �2,x = 2, y = 0

–8

–6

–4

–20

2

4

6

8

–8 –6 –4 –2 2 4 6 8

131 Dom [�8, 8]; inters (0, 6p2); max en

(�24/5, 4p5); mın en (�8, 8) y en (8, 4)

5

6

7

8

9

–10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10


132 Dom ]�1, 0] [ ]3,1[; inters (0, 0); mın en(0, 0); asıntotas x = 3, y = 1

–1

0

1

2

3

4

5

–10 –5 5 10 15

133 Dom IR; inters (0, 2); mın en (0, 2)

0

2468101214161820

–3 –2 –1 1 2 3

134 Dom ]�2,1[; inters (0, ln 2� 1), (�1, 0);max en (�1, 0); asıntota w = �2

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–10

1–2 2 4 6 8

135 Dom IR; inters (0, 1); max en (2, e4); infl en(2�

p1/2, e7/2) y en (2 +

p1/2, e7/2); asıntota

y = 0

0

10

20

30

40

50

–1 1 2 3 4 5

136 Dom IR; inters (0, 0); mın en (0, 0); infl en(�1, ln 2) y en (1, ln 2)

0.5

1

1.5

2

2.5

3

–4 –2 2 4

137 Dom IR; inters (0, 3/2); infl en (0, 3/2);asıntotas y = 0 en �1, y = 3 en 1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

–6 –4 –2 2 4 6


138 Dom [�⇡,⇡]; inters (0, 1), (�⇡/2, 0),(⇡/2, 0); max en (0, 1); mın en (�⇡,�1) y en(⇡, 1); infl en (�⇡/2, 0) y en (⇡/2, 0)

–1

–0.5

0

0.5

1

–3 –2 –1 1 2 3

139 Dom [0, 2⇡]; inters (0, 0), (1.89549, 0); maxen (5⇡/3, 6.96804); mın en (⇡/3,�0.684853); inflen (⇡,⇡)

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6

140 Dom ]�⇡/2,⇡/2[; inters (�1.16556, 0),(0, 0), (1.16556, 0); max en (⇡/4,⇡/2� 1); mın en(�⇡/4, 1� ⇡/2); infl en (0, 0)

–4

–2

0

2

4

–1.5 –1 –0.5 0.5 1 1.5

141 Baja 0.433013m/s

142 Se acerca 0.480740m/s

143 2.32558m/s

144 Crece 18 849.6 cm2/s

145 Aumenta 0.206783 cm/s

146 Disminuye 0.00530516 cm/min

148 Entran 9.29204L/s



151 Sube 6.25 cm/min

152 Aumenta 0.125 rad/s

153 Disminuye 2.26893 cm/s

154 Se mueve a 217.817m/s

155 615.752 km/h

156 Cambia a 136.808 km/h

Soluciones del Capıtulo 5, Integracion 183

5. Integracion

1 5u+ C

2 3y2 + C

3 t2 + tp3 + C

4 w3 + 4w2 � 4w + C

5

1

2

x4 � 5

2

x2 + x+ C

6

3

2

q4 � 3

5

q5/3 � 5q�1 + C

7 �3 cos ✓ � 2 sen ✓ + C

8 sen z + 3 tan z + C

9 2 ln |t|� 5t+ sec t+ C

10 r5 � csc r + C

11

6

5

r5/2 + 8r1/2 + 3

2

r2 + 4 ln |r|+ C

12

5

4

p4 � 3

10

p10/3 + C

13

2

3

u3/2 + 6u1/2 + C

14 s5/2 � s3/2 + s1/2 + C

15

8

9

v3/2 � 8

3

v1/2 � 2

3

v�1/2 + C

16 �2t�1 � 1

12

t�4 � 2t1/2 + C

17 �4t�1 + 3 ln |t|+ 4t1/2 + C

18

1

4

s13 � 1

4

s5 + 1

2

ln |s|+ C

19 �15z�1 + 5

2

z�2 + 10 ln |z|+ C

20

1

8

w2 + 1

2

w�2 + C

21

1

6

w2 + ln |w|+ 3w�2 + C

22 x3 � ex + C

23

1

5

(er � r2) + C

24 ev + ve+1/(e + 1) + C

25

1

4

t4 � 3t/ ln 3 + C

26

2z + (1/2)z

ln 2+ C

27 100w/ ln 100� 2 · 10w/ ln 10 + w + C

28 2e2u + C

29

1

2

(et � e�t) + C

30

(2/3)x

ln(2/3)� 4(5/3)x

ln(5/3)+ C

31

1

3

e3v � 3e2v + 12ev � 8v + C

32 eq + e�q + C

33

2

3

arctan y + C

34 4 arcsenu+ C

35 y = 3s2 � 7s+ 3

36 p = 4

3

w3/2 + w + 5

3

37 r = z5 + 2 ln |z|+ 1

38 w = q2 � 6eq + 6e

39 u = 2� + 5 sen� � 5

40 w = 1

2

x2 � arctanx+ ⇡

2

� 1

2

41 z = 1

2

r4 + r2 � ln |r|+ 2r � 3

42 y = �3v + 1

43 u = �3z3 � 5z + 2

44 q = t4 � 2t3 � et + t+ e

45 v = �27

4

p4/3 + 3

2

p2 + 4p� 2

46 z = 5✓3 + sen ✓ + ⇡

4

✓2 � 1

47 40m


48 h(t) = 40� 4.9t2; tarda 2.857 s;golpea a 28m/s

49 48.5287

50 2910.56 cm3

51 100t+ 120t7/4 + 3500; 13 984 afiliados

52 P (t) = 206064.6 · 1.02973t; P (84) ⇡ 2 414 161habitantes (nota: segun el censo de 1984, lapoblacion era 2 416 809 habitantes)

53 4

54 45

55 875/32 = 27.34375

56 96� 576p3 ⇡ �901.661

57 0

58 1171/30 = 39.03

59 ln 2 + 3

8

⇡ 1.06815

60 3/(2 ln 2) ⇡ 2.16404

61 3

62 ⇡/3

63 ⇡/12

64 �⇡/6

65 13/2 = 6.5

66 25

67 4m+ 4b

68 ln 2 ⇡ 0.693147

69 76/3 = 25.3

70 8p2/3 ⇡ 3.77124

71 17/6 = 2.83

72 2197/150 = 14.646

73 71/6 = 11.83

74 13/6 = 2.16

75

2

3

+ ln 2 ⇡ 1.35981

76 (13p13 + 5

p5� 52)/12 ⇡ 0.504376

77 4/3 = 1.3

78 2/15 = 0.13

79 2p2

80 sec 1� 1 ⇡ 0.850816

81 4

82 32/3 = 10.6

83 4/5 = 0.8

84 1/12 = 0.083

85 9

86 ⇡ � 2 ⇡ 1.14159

87 128/15 = 8.53

88 9/2 = 4.5

89 27/4 = 6.75

90 64.8 unidades

91 En $133.43

92 1 760 193 habitantes

93 C||1 147 500; C||6 412 500

94 99.1653

97

2

15

(6y3 � 7)5 + C

98

9

25

(5w2 + 4)5/3 + C

99 0

Soluciones del Capıtulo 5, Integracion 185

100

1

3

p6q � 5 + C

101

pv2 + 1 + C

102

3

4

(1 + 8t+ 5t2)2/3 + C

103 � 1

90

(5x3 � 4)�6 + C

104 2/9 = 0.2

105

1

6

(2u+ 1)3/2 � 1

2

(2u+ 1)1/2 + C

106 886/15 = 59.06

107 �5

3

(4� p2)6/5 + 5

22

(4� p2)11/5 + C

108 �2

7

(1� r)7/2 + 4

5

(1� r)5/2 � 2

3

(1� r)3/2 +C

109

1

5

(s2 + 4)5/2 + C

110 �5 ln |2� x|+ C

111 3 ln(4q2 + 7) + C

112 � ln 2 ⇡ �0.693147

113

1

6

ln(47/15) ⇡ 0.19035

114

1

2

ln |3t2 + 4t|+ C

115

1

2

z2 � 8z + 36 ln |z + 5|+ C

116

2

3

y � 1

9

ln |3y � 1|+ C

117 ln 2� 1 ⇡ �0.306853

118 �3z�1 � 3

2

ln(z2 + 1) + C

119 ln(er + e�r) + C

120

1

3

ln |3ev + 5� 6v|+ C

121 2� 2 ln 2 ⇡ 0.613706

122 2 ln(1 +pu) + 2/(1 +

pu) + C

123 � log2

|5 + t ln 2� 2t|+ C

124

1

a(1�k)

(ax+ b)1�k + C si k 6= 1,

o 1

a

ln |ax+ b|+ C si k = 1

125

1

3

e3p�1 + C

126 �5

2

e1�w

2

+ C

127 eu + 2u� e�u + C

128 �e1/z + C

129

1

2

(e�3.91 � e�3.99) ⇡ 0.000770393

130 �2e�x/2 + C

131 38/3 = 12.6

132 21+pt/ ln 2 + C

133 �3

2

101�y

2

/ ln 10 + C

134 �1/(5ln v ln 5) + C

135 � ln | cos ✓|+ C = ln | sec ✓|+ C

136 �3

137 � 1

⇡

cos3 ⇡w + C

138 �1

7

cot 7↵+ C

139 16� 5p3 ⇡ 7.33975

140 �2/psec ✓ + C

141 sen 1� sen 0.5 ⇡ 0.362045

142 3 arctan 3v + C

143 ⇡/4

144

1

2

arctan2 z + C

145 9 arctan(x� 5) + C

146 2 arctan(3w � 2) + C

147 arcsen(u� 3) + C

148 ±1

2

arcsec(2y + 1) + C

149 arctan er + C

150 �ecosx + C


151

1

2

ln(1 + 2er) + C

152 1

153

1

2

ln2(p+ 1) + C

154 2

155 ln | ln 0.5|� ln | ln 0.2| ⇡ �0.842398

156 ln | lnx|+ lnx+ C

157 �1/ ln(1� w) + C

158 2pln r + C

159

5

4

ln2(t2 + 1) + C

160

1

3

ln3(y + 1) + C

161 2ps2 + ln s+ C

162

3

2

(1 +pv)4/3 + C

163

p1 + ln(u2 + 1) + C

164

q1 + ln2(p+ 1) + C

165

1

3

(ex2

+ 1)3/2 + C

166 �1

8

log10

|1� 104z2

+1|+ C

167

1

9

⇥8(1 + x3)3/2 � 16

p2⇤

168 38/3 = 12.6

169 (1� e�3)/3 ⇡ 0.316738

170 4�p7 ⇡ 1.35425

171 4� ln 16 ⇡ 1.22741

172 �0.498201

173 1.21276

174 f(t) = �1

3

(1� t2)3/2

175 g(u) = arcsen(u/2) +p4� u2 � 1

176 V (t) = 64000� 1000(t+ 1)3/2 dolares;15 anos

177 45 + 20 ln(2/5) ⇡ 26.674 km

178 200 arctan(4/3) ⇡ 185.459m/s

179 P (t) = 50e0.01t2 � 15; P (12) ⇡ 196

individuos

180 9160.9m2

181 $223 935.67

182 137 360 barriles; 65 924 barriles

183 14.415 kg/h; en 2.004 kg/h

184 En 28.2198m

185 $150.05

6. Mas sobre integracion

1 2 ln |p� 3|� ln |p� 5|+K

2 ln |v � 1|� ln |v + 2|+K

3

5

3

ln |u+ 2|� 2

3

ln |u� 4|+K

4 ln |t+ 1|+ 2 ln |t� 2|� 2t+K

5 ln |2x+ 3|� 1

2

ln |x+ 1|+K

6 ln |1 + 2r|� ln |1� 3r|+K

7 �1

6

ln |9� u2|+K

8 ln |q + 1|+ ln |q � 1|� 2 ln |q|+K

9 w + ln |w|+ 2 ln |w + 2|+ 9 ln |w � 4|+K

Soluciones del Capıtulo 6, Mas sobre integracion 187

10

1

2

ln |2z + 5|+ 1

2

ln |z � 1|� ln |z + 3|+K

11

2 ln |y� 1|+ 1

2

ln |y|� 3

4

ln |y+2|� 7

4

ln |y� 2|+K

12

2 ln |s�1|� ln |s+2|+3 ln |s+3|�19 ln |s�3|+K

13 s+ s�1 + 2 ln |s|+ ln |s� 3|+K

14 3v2 � 14v � 5(v + 1)�1 + 3 ln |3v + 1|+K

15

9

4

(2x+ 3)�1 + 5

4

ln |2x+ 3|+ 1

2

ln |2x� 3|+K

16

�9

4

(2p� 1)�1+ 1

4

ln |2p� 1|+ln |p|� ln |p+2|+K

17 �3(r + 2)�1 � r�1 + 2 ln |r + 2|� ln |r|+K

18

(q�4)�1�10(3q+2)�1� 1

2

ln |q�4|+ 1

2

ln |3q+2|+K

19

4z�1 � 3(z + 1)�1 � 3 ln |z + 1|+ 3 ln |z � 1|+K

20 �1

2

t�2 � ln |t|+ ln |3t� 2|+K

21 32(4� w)�2 � ln |w + 1|+K

22 �1

4

y + 125

16

(2y � 5)�2 + 75

8

(2y � 5)�1 �1

4

ln |y � 2|+ 1

4

ln |y + 2|� 15

8

ln |2y � 5|+K

23 �2(u� 2)�1 � (u� 2)�2 � 3

2

(2u+ 1)�1 +1

2

ln |2u+ 1|+K

24

x�1� 1

2

x�2+ln |x|+ 1

3

ln |3x+1|+ 10

3

ln |3x�1|+K

25 5 ln |z|+ ln(z2 + 1)� arctan z +K

26

1

2

ln(q2 + 2q + 2)� 2 arctan(q + 1) +K

27

ln |w�1|+ 3

8

ln(4w2+4w+5)� 5

8

arctan(w+ 1

2

)+K

28 �r�1 + 1

2

ln(r2 + 5)� 1p5

arctan(r/p5) +K

29

t2 + 2t� 1

4

ln(4t2 � 4t+ 5)� 1

4

arctan(t� 1

2

) +K

30 ln(2ey + 3)� ln(ey + 2) +K

31 3 ln(es + 1)� 2s+K

32 x� 1

2

ln |1� ex|� 1

2

ln |1 + ex|+K

33 2 log3

|3r � 2|+ 2 log3

|3r + 1|� 3r +K

34

2t� 1

2

log2

|4t + 2t+1 + 2|+ 2

ln 2

arctan(2t + 1) +K

35 ln | ln q + 1|� ln | ln q � 1|� ln |q|+K

36

2

3

arctan(pv/3) +K

37

1

7

sen7 ✓ + C

38 �1

5

cos5 x+ 2

3

cos3 x� cosx+ C

39

1

14

sen7(2w + 1)� 1

18

sen9(2w + 1) + C

40 �1

8

csc8 y + 1

6

csc6 y + C

41

2

3⇡

sec3(⇡v/2)� 4

⇡

sec(⇡v/2)� 2

⇡

cos(⇡v/2)+C

42

1

8

� � 1

32

sen 4� + C

43

3

8

u� 1

12

sen 6u+ 1

96

sen 12u+ C

44

5

2

t+ 4 sen t+ 3

4

sen 2t� 1

3

sen3 t+ C

45

1

3

tan3 y + 1

5

tan5 y + C

46

1

3

(5 + 2 tan↵)3/2 + C

47

1

5

sec5 z � 1

3

sec3 z + C

48 3 sec8(2�)� 8 sec6(2�) + 6 sec4(2�) + C= 3 tan8(2�) + 4 tan6(2�) +D

49

1

4

sec4 ↵� 1

2

sec2 ↵+ C1

= 1

4

tan4 ↵+ C2

50 ln |4 + tanx|+ C

51

1

3

tan3 ✓ � tan ✓ + ✓ + C

52 �3 cot3 v + C

53 cscx� 1

3

csc3 x+ C

54

1

3

sec3 ↵� sec↵+ C


55 �2 csc5 y + C

56 �1

2

ln(cos2 v + 1) + C, o bienln | sec v|� 1

2

ln(1 + sec2 v) +D

57 ln |1 + sen r|+ C

58 tan z + sec z + C

59

1

4

⇥(1� sen t)�1 � (1 + sen t)�1 + ln |1�

sen t|� ln |1 + sen t|⇤+ C

60 ln | secx+ tanx|+ C

61 2 arcsen(p/2) + 1

2

pp4� p2 + C

62 �6p9� y2

3

+ 2

5

p9� y2

5

+ C

63

1

8

arcsen t� 1

8

tp1� t2(1� 2t2) + C

= 1

8

arcsen t� 1

32

sen(4 arcsen t) +D

64 �p9r2 + 1/r + C

65 �(q2 + 4)/(32qpq2 + 8) + C

66 �1

2

(4v2 + 1)�3/2 + C

67

p4t2 � 9� 3 arctan

�1

3

p4t2 � 9

�+ C

68

pu2 � 5/(25u)�

pu2 � 5

3

/(75u3) + C

69 �q/(100p

q2 � 100) + C

70 arcsen�1

2

(z + 1)��

p3� 2z � z2 + C

71

1

32

⇥(4x� 2)/(4x2 � 4x+ 5) + arctan(x� 1

2

)⇤+ C

72

± arcsec(m+1)+C1

= � arccot�p

m2 + 2m�+C

2

73

1

5

ln(3/2) ⇡ 0.0810930

74 39 + 48 ln 2 ⇡ 72.2711

75 3 + 4 arcsec(�5/4)� 4⇡ ⇡ 0.425996

76 2 arcsen(12

ln y) + (12

ln y)p4� ln2 y + C

77

2

27

p1� 9w�1

3

+ C

78 e�u

p1 + e2u + C

79 1/9 = 0.1

80 124 ln 2� 15 ⇡ 70.9503

81 36 ln 3� 104

9

⇡ 27.9945

82 2e3 + 1 ⇡ 41.1711

83 2pt ln t� 4

pt+ C

84 �2�t(1 + t ln 2)/ ln2 2 + C

85 �we�w � 2e�w + C

86 10x(x2/ ln 10� 2x/ ln2 10 + 2/ ln3 10) + C

87 ⇡ ⇡ 3.14159

88 0

89 (⇡ � 2)/4 ⇡ 0.285398

90

1

27

e3q�1(9q2 � 6q + 2) + C

91

1

4

e4r � 1

2

e2r + re2r + 1

3

r3 + C

92 (3u3 +2u2 + u) log5

u� (u3 + u2 + u)/ ln 5+C

93

1

2

✓2 sen 2✓ � 1

4

sen 2✓ + 1

2

✓ cos 2✓ + C

94 ln 2� 1

2

⇡ 0.193147

95 18� 21

2

ln 7 ⇡ �2.43206

96 y log(5y2 � 4y)� (2y+ 4

5

ln |5y� 4|)/ ln 10+C

97 u arctanu� 1

2

ln(u2 + 1) + C

98 y arcsen 2y + 1

2

p1� 4y2 + C

99 18 ln 2� 6 ln 3� 3 ⇡ 2.88498

100 (28� 32 ln 8)/ ln2 8 ⇡ �8.91338

101

1

2

ep2�2p(p2 � 2p) + C

102 2epu(pu� 1) + C

103 20

Soluciones del Capıtulo 7, Temas adicionales sobre integracion 189

104 �18

105 2e� 1 ⇡ 4.43656

106 (2 ln 4 + 4)/14� (2 ln 25 + 4)/35 ⇡ 0.185535

107 3(y2 + 1)3 ln(y2 + 1)� (y2 + 1)3 + C

108 et/(t+ 1) + C

109 p ln�p+

p1 + p2

��p1 + p2 + C

110 2q(sen q + (ln 2) cos q)/(1 + ln2 2) + C

111 �2

5

e�w cos 2w � 1

5

e�w sen 2w + C

112

1

2

(sec↵ tan↵+ ln | sec↵+ tan↵|) + C

113

1

2

(sec t tan t� ln | sec t+ tan t|) + C

114

1

2

r⇥cos(ln r) + sen(ln r)

⇤+ C

115 2

116 � ln z/(z + 1) + ln z � ln |z + 1|+K

117 (y3 + y) ln(y2 � 1)� 2

3

y3 � 4y + 2 ln |y + 1|�2 ln |y � 1|+K

118 ⇡/2 ⇡ 1.57080

119 0.435210

120 Diverge

121 6

122 1/(p� 1) si p > 1; diverge si p 1

123 Diverge

124 Diverge

125 �1

126 �1/4

127 1/2

128 Diverge

129 ⇡ ⇡ 3.14159

130 Diverge

131 ⇡/2 ⇡ 1.57080

132 Diverge

7. Temas adicionales sobre integracion

1 �5

4

(2t2 + 3)�1 +K

2 3q(1 + q2)�1 + 3arctan q +K

3 �1

2

(r2 + 5)�1 + 5

4

(r2 + 5)�2 +K

4

1

2

ln(z2 + 4)� 1

2

arctan z

2

+ (z + 2)(z2 + 4)�1 +K

5 2 ln |r|+ 1

2

arctan r � ln(r2 + 1)� 1

2

(r + 2)(r2 + 1)�1 +K

6 ln |w + 1|+ 2arctan(w/3)� 1

2

(6w � 27)(w2 + 9)�1 +K

7

1

4

arctan(1 + 2u)� (12

u+ 1

4

)(4u2 + 4u+ 2)�1 +K

8

9

16

arctan 1

2

(x� 1) + 1

8

(x� 5)(x2 � 2x+ 5)�1 +K


9 2 sen z/(cos z + sen z � 1) + C

10 4(cos t� 1)�2 + C

11 ln | sen q + 5 + 5 cos q|� ln |5 sen q � 1� cos q|+ C

12 ln |1 + cosx+ senx|� ln |1 + cosx� senx|+ C = ln | secx+ tanx|+D

13 ln | senx|� ln |1 + senx+ cosx|+ C

14 ln | sen v � 2� 2 cos v|� ln | sen v|+ C

15 3 ln |1 + cosw|� 3 ln | cosw|+ C

16 2 ln |1 + tan(r/2)|� ln |1 + tan2(r/2)|+ C

17 ln |1 + tan(r/2)|� ln |1� tan(r/2)|� tan(r/2) + C

18 tan(z/2) + 2 ln | tan(z/2)� 1|� 2(tan(z/2)� 1)�1 + C

19 2(tan(�/2) + 1)�1 + � + C

20

1

4

ln |1 + 2 cos p|� 1

4

ln |1� 2 cos p|+p3

12

ln |3� 2p3 sen p|�

p3

12

ln |3 + 2p3 sen p|+ C

21 0.749784, 0.950158, 1.08461

22 0.831963, 1.16528, 1.46005

23 4.03976, 3.45398, 2.34235

24 0.292272, 0.412889, 0.326270

25 �0.303931, �0.000781726, 0.307193

26 1.7154, �0.3125, �2.6054

27 0.777448, 0.949333, 1.06029

28 0.982130, 1.16061, 1.32870

29 3.74687, 3.38761, 2.89816

30 0.324540, 0.410727, 0.324540

31 �0.157080, 0, 0.157080

32 �0.342084, �0.333333, �0.342084

33 24

34 2.5

35 70

36 �15

37 28.5

38 0.375

39 332/3

40 �40/3

41 1625/3

42 0

43 (a) 1

n

3

�2

3

n3 � 1

2

n2 � 1

6

n�= 2

3

� 1

2

n�1 � 1

6

n�2.(b) 2/3

44

Z5

0

xp

x2 + 1dx

45

Z4

1

lnx dx

Soluciones del Capıtulo 7, Temas adicionales sobre integracion 191

46 15.8114

47 21.2209

48 1.67329

49 2.0625

50 136.008

51 3.24583

52 0.881374

53 2.32339

54 0.598612

55 1.20273

56 1.61677

57 23.52 J

58 22 050 J

59 450 000 J

60 399.667 J; 1195.01 J

61 46 181.4 J

62 641.409 J

63 12.5664 J

64 0.1125 J

65 1.56 J

66 6.25N

67 2.0138 J

68 32 666.7 J

69 5

70 (5� 3e�2)/2 ⇡ 2.2970

71 2/⇡ ⇡ 0.636620

72 0

73 (ln 7)/3 ⇡ 0.648637

74 �7/(6e� 6) ⇡ �0.678973

75 (13e6 � 1)/27 ⇡ 194.206

76 4/⇡ � 1 ⇡ 0.273240

77 e4/(1� e) ⇡ �31.7749

78 5(4� 3 ln 5)/8 ⇡ �0.517696

79 (3/4) ln(5/9) ⇡ �0.44084

80 ln 243 ⇡ 5.49306

81 39.9667N; 119.501N

82 63.7m/s

83 37.53�C

84 3.442 un; 2.036 un; 4.532 un

85 $120 545.63

86 (a) C||3 715 763.75 (b) C||3 910 415.72(c) C||4 687 515.56.

87 C||5 830 980.15

Cálculo Diferencial e Integral - Luis Acuña - 2013

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