Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable 1.3 Continuidad Continuidad de una función en un...
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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
1.3 Continuidad
Continuidad de una función en un punto.
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2Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Habilidades
• Define el concepto de continuidad de una función en un punto.
• Explica con sus palabras que se entiende por continuidad desde la izquierda y desde la derecha y en un intervalo.
• Aplica los teoremas sobre funciones continuas para establecer la continuidad de funciones sencillas.
• Reconoce la continuidad en su dominio natural de las funciones más empleadas.
• Explicar con sus palabras el teorema de valor intermedio para funciones continuas.
• Clasifica las discontinuidades mediante la observación de la gráfica, o mediante el análisis de sus expresiones analíticas.
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3Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Motivación
En la sesión anterior, se estableció que si f es un polinomio ó una función racional y a está en el dominio de f, entonces
• ¿Son estás las únicas funciones que cumplen con esta propiedad?• Será posible crear una clase que agrupe ha un conjunto más amplios de funciones y se cumpla que
afxfax
lim afxf
ax
lim
afxfax
lim
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4Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Definición
Una función f es continua en un número a si
Es decir:
)()(lim afxfax
)(lim xfax
existe2
3 )()(lim afxfax
Nota: Si f no es continua en a decimos que es discontinua en a
f(a) existe1
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5Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ejemplo 1
• En la figura se muestra la gráfica de una función. ¿En qué puntos es discontinua? Justifique su respuesta.
5 x
yy = f(x)
1 2 3 4
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6Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Discontinuidad evitable
Discontinuidad evitableo removible
a x
yy = f(x)
)(lim xfax
existe
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7Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Discontinuidad por salto
)(lim xfax
existe
)(lim xfax
existe
y
Discontinuidad por salto
a x
y = f(x)
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8Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Discontinuidad infinita
y
Discontinuidadinfinita
a x
y = f(x)
Uno o ambos límites laterales infinitos.
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9Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ejemplo 2
¿En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.
0,1
0,2
2,23
2,24
2,2
2,5
2,3
123
2
2
3
2
2
x
xxxfd
xx
xxx
xfc
xx
x
xxx
xfbx
xxxfa
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10Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ejemplo 2
¿ En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.
1
232
xxx
xfa
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11Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ejemplo 2
¿ En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.
2,2
2,5
2,3
3
2
xx
x
xxx
xfb
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12Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ejemplo 2
¿ En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.
2,23
2,242
xx
xxx
xfc
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13Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ejemplo 2
¿ En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.
0,1
0,2
2
x
xxxfd
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14Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Continuidad lateral
Una función f es continua por la derecha o desde la derecha de a si
Una función f es continua por la izquierda o desde la izquierda de a si
)()(lim afxfax
)()(lim afxfax
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15Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Continuidad en un intervalo
f es continua para todo x(a, b).
f es continua en (a, b) y por la derecha de a.
f es continua en (a, b) y por la izquierda de b.
• f continua en (a, b)
• f continua en [a, b)
• f continua en (a, b]
• f continua en [a, b] f es continua en (a, b), por la derecha de a y por la izquierda de b.
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16Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ejemplo
Analice la continuidad de la función en los siguientes intervalos: [a,b], (b,c] y en [a,c]
a b c
f
x
y
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17Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Operaciones con funciones continuas
Si f y g son continuas en a, entonces
también son continuas en a:
f + g
f - g
f.g
cf c: constante
gf
0)(si ag
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18Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Funciones continuas importantes
Son continuas en todo número de su dominio:
polinomiosfunciones racionalesfunciones raízfunciones trigonométricasfunciones trigonométricas inversasfunciones exponencialesfunciones logarítmicas
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19Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Límite y continuidad de funciones compuestas
Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces
))(()( xgfxgf
Si f es continua en b y bxgax
)(lim , entonces:
lim ( ) lim ( ) ( )x a x af g x f g x f b
es continua en a.
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20Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Teorema del valor intermedio
Sea f continua en [a, b] y N un número estrictamente entre f(a) y f(b). Entoncesexiste (al menos) un número c en (a, b)tal que f(c) = N.
N
ca x
y = f(x)
f(a)
f(b)
b
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21Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ejercicio 3, Pág. 128
-4 -2 2 4x
6
y
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22Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Sexta ediciónJames Stewart
Secciones 2.5, páginas 119 - 130