Cálculo diferencial e integral, 9na edición Purcell & varberg & rigdon

1. Clculo diferencial e integralNOVENA EDICINPurcell Varberg Rigdon

2. FORMAS HIPERBLICAS78senh u du = cosh u + C79 cosh u du = senh u + C 80 tanh u du = ln(cosh u) + C L L L u281coth u du = ln senh u + C 82 sech u du = tan-1 senh u + C 83 csch u du = ln 2 tanh+ C L L L 21 u 1 u84senh2 u du =senh 2u - + C 85 cosh2 u du = senh 2u + + C 86 tanh2 u du = u - tanh u + C L4 2L4 2L87coth2 u du = u - coth u + C 88 sech2 u du = tanh u + C89 csch2 u du = -coth u + C L L L90sech u tanh u du = -sech u + C91 csc u coth u du = -csch u + C L LFORMAS ALGEBRAICAS DIVERSAScln^ au + b +d + C u b 1b92. u(au + b)-1 du = - 2 ln au + b + C93u(au + b)-2 du = L aa La2 au + bu(au + b)n + 1 (au + b)n + 294u(au + b)n du = - + C si n Z - 1, -2 L a(n + 1) a2(n + 1)(n + 2) a b si n Z 1du1u du95=+ (2n - 3) L (a u ) 2 2 n 2a2(n - 1) (a2 u2)n - 1L (a2 u2)n - 1296 u 2au + b du = (3au - 2b)(au + b)3/2 + C L 15a2 aun(au + b)3/2 - nb un - 1 2au + b dub 297 un 2au + b du = La(2n + 3) Lun du un - 1 dua un 3au + b - nb b u du 2 298= 2(au - 2b) 2au+ b + C99=a(2n + 1) L 2au + b3aL 2au + b L 2au + b100a du= 1ln 2 2au + b -2b 2 + Csi b 7 0 100bdu= 2tan-1au + b + C si b 6 0L u 2au + b L u 2au + b A -b 2b2au + b +2b2-b101du= -2au+ b -(2n - 3)adu si n Z 1 L un 2au + b b(n - 1)un - 1(2n - 2)b L un - 1 au + b2 u - aa2 -1 u - adu u - a102 22au22au - u + 2 sen - u2 du =2 + C 103= sen-1 + CL2a L u 22au - u2 a n-1u (2au - u ) 2 3/2 (2n + 1)a104 un 22au - u2 du = -+un - 1 22au - u2 duLn + 2 n + 2 L22au - u du = 2au - u2 + a sen-1 u - a + C 2un du un - 1 (2n - 1)aun - 1 du = - 22au - u + 2 2105 106L 2au - ug22n n L 22au - u2 L u a10722au - u2du =(2au - u2)3/2 +n - 3 22au- u2du n (3 - 2n)aun(2n - 3)a L n-1Luu108 du= 22au- u2 +n - 1du L un 22au - u2a(1 - 2n)un(2n - 1)a L un - 1 2au - u22 u - ana2( 22au - u2)n du = ( 2au - u2)n - 2 du n + 1L 2109(2au - u2)n/2 +Ln + 1duu - an - 3du110 = ( 22au - u2)2 - n +L ( 22au - u )2 n (n - 2)a2 (n - 2)a2 L ( 22au - u2)n - 2 INTEGRALES DEFINIDASq`q1 p une - u du = (n + 1) = n!e-au du = 2111(n 0) (a 7 0)112 L0L0 2Aa1 3 5 (n - 1) p si n es un entero par y n 2246 n p/2 p/2 cos u du = n 2113 senn u du =L L 2 4 6 (n - 1) 0 0 si n es un entero impar y n 3357 n 3. 16001700Descartes Newton Leibniz Euler J. Kepler (1571-1630) R. Descartes (1596-1650) B. Pascal (1623-1662) I. Newton (1642-1727) G. Leibniz (1646-1716)LHpital (1661-1704) J. Bernoulli (1667-1748)L. Euler (1707-1783)M. Agnesi (1718-1799) Kepler PascalLHpitalBernoulliContribuidores del Clculo[El clculo es] el resultado de una dramtica lucha intelectual que ha durado los ltimos veinticinco siglos.Richard Courant16091637166516961728 Leyes de KeplerNewton descubre Euler introduce e del movimientoel clculo planetario GeometraPrimer texto de analtica declculo (LHpital)Descartes 4. 18001900Otros contribuidoresThomas Simpson (1710-1761)Pierre de Fermat (1601-1665)Pierre-Simon de Laplace (1749-1827)Michel Rolle (1652-1719)George Green (1793-1841)Brook Taylor (1685-1731)George Gabriel Stokes (1819-1903)Colin Maclaurin (1698-1746)Lagrange GaussCauchyRiemannLebesgue J. Lagrange (1736-1813) C. Gauss (1777-1855)A. Cauchy (1789-1857)K. Weierstrass (1815-1897) G. Riemann (1826-1866) J. Gibbs (1839-1903) S. Kovalevsky (1850-1891) H. Lebesgue (1875-1941) Agnesi WeierstrassKovalevskyGibbs 1756 1799 182118541873 1902 Gauss demuestra Integral deIntegral de el teorema RiemannLebesguefundamentalLagrange iniciadel lgebra Nocin precisa de e es trascendental su Mcanique lmite (Cauchy) (Hermite) analytique 5. FRMULAS DE GEOMETRATringuloCilindro circular recto1 rea = bhrea lateral = 2prh2 r a hh Volumen = pr2h1 u rea = ab sen u2 bParalelogramoEsferarea = 4pr2 rea = bh4Volumen = Pr3 hr 3 bTrapecio Cono circular recto aa + b rea lateral = prs rea = h h2sh 1Volumen = Pr2h3brCrculoTronco de un cono circular rector Circunferencia = 2pr rea lateral = ps(r + R) r rea = 2prhs 1Volumen = P(r2 + rR + R2)h3 RSector circularCono general Longitud de arco = ru1Volumen = (rea B)h3 sh1 2 u rad rea = ru2B rRectngulo polar Cua rR + r Rrea = (R - r)uA rea A = (rea B) sec u 2`r u B u rad R 6. Clculo diferenciale integralNOVENA EDICINEdwin J. PurcellUniversity of ArizonaDale VarbergHamline UniversitySteven E. RigdonSouthern Illinois University EdwardsvilleTraduccin: Revisin Tcnica:Vctor Hugo Ibarra MercadoLinda Margarita Medina HerreraEscuela de actuara, Universidad AnhuacNatella AntonyanESFM-IPNInstituto Tecnolgico y de Estudios Superioresde Monterrey, campus Ciudad de MxicoJorge Arturo Rodrguez ChaparroJefe del Departamento de MatemticasColegio San Jorge de InglaterraBogot Colombia 7. Datos de catalogacin bibliogrfica PURCELL, EDWIN J., VARBERG, DALE; RIGDON, STEVEN E. Clculo diferencial e integral PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2007ISBN: 978-970-26-0989-6rea: Bachillerato Formato: 21 27 cmPginas: 520Authorized adaptation from the English language edition, entitled Calculus, 9e by Dale Varberg, Edwin J. Purcell and Steven E. Rigdonpublished by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright 2007. All rights reserved.ISBN 0131429248Adaptacin autorizada de la edicin en idioma ingls, Calculus, 9e por Dale Varberg, Edwin J. Purcell y Steven E. Rigdon publicada porPearson Education, Inc., publicada como PRENTICE-HALL INC., Copyright 2007. Todos los derechos reservados.Esta edicin en espaol es la nica autorizada.Edicin en espaolEditor: Enrique Quintanar Duartee-mail: [email protected] de desarrollo: Claudia C. Martnez AmignSupervisor de produccin: Rodrigo Romero VillalobosEdicin en inglsAcquisitions Editor: Adam Jaworski Art Director: Heather ScottEditor-in-Chief: Sally Yagan Interior Designer: Judith Matz-ConiglioProject Manager: Dawn Murrin Cover Designer: Tamara NewnamProduction Editor: Debbie Ryan Art Editor: Thomas BenfattiAssistant Managing Editor: Bayani Mendoza de LeonCreative Director: Juan R. LpezSenior Managing Editor: Linda Mihatov BehrensDirector of Creative Services: Paul BelfantiExecutive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli Manager, Cover Visual Research & Permissions: Karen SanatarManufacturing Buyer: Lisa McDowell Director, Image Resource Center: Melinda ReoManufacturing Manager: Alexis Heydt-Long Manager, Rights and Permissions: Zina ArabiaDirector of Marketing: Patrice Jones Manager, Visual Research: Beth BrenzelExecutive Marketing Manager: Halee DinseyImage Permission: Vickie MenanteauxMarketing Assistant: Joon Won Moon Cover Photo: Massimo Listri/Corbis; Interior view of Burj Al ArabDevelopment Editor: Frank PurcellHotel, Dubai, United Arab EmiratesEditor-in-Chief, Development: Carol TrueheartNOVENA EDICIN, 2007D.R. 2007 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5to. piso Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico E-mail: [email protected] Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un siste-ma de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o elec-troptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus re-presentantes.ISBN 10: 970-26-0989-5ISBN 13: 978-970-26-0989-6Impreso en Mxico. Printed in Mexico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 10 09 08 07 8. APat, Chris, Mary y Emily 9. ContenidoPrefacioxi0 Preliminares 10.1Nmeros reales, estimacin y lgica 10.2Desigualdades y valor absoluto 80.3El sistema de coordenadas rectangulares 160.4Grficas de ecuaciones 240.5Funciones y sus grficas 290.6Operaciones con funciones 350.7Funciones trigonomtricas 410.8Repaso del captulo 51Problemas de repaso e introduccin 541 Lmites 551.1Introduccin a lmites 551.2Estudio riguroso (formal) de lmites 611.3Teoremas de lmites681.4Lmites que involucran funciones trigonomtricas 731.5Lmites al infinito; lmites infinitos 771.6Continuidad de funciones821.7Repaso del captulo 90Problemas de repaso e introduccin 922 La derivada932.1Dos problemas con el mismo tema932.2La derivada 1002.3Reglas para encontrar derivadas 1072.4Derivadas de funciones trigonomtricas1142.5La regla de la cadena1182.6Derivadas de orden superior1252.7Derivacin implcita 1302.8Razones de cambio relacionadas 1352.9Diferenciales y aproximaciones1422.10 Repaso del captulo 147Problemas de repaso e introduccin 1503 Aplicaciones de la derivada1513.1Mximos y mnimos 1513.2Monotona y concavidad 1553.3Extremos locales y extremos en intervalos abiertos 1623.4Problemas prcticos1673.5Graficacin de funciones mediante clculo1783.6El teorema del valor medio para derivadas 1853.7Solucin numrica de ecuaciones 1903.8Antiderivadas1973.9Introduccin a ecuaciones diferenciales 2033.10 Repaso del captulo 209Problemas de repaso e introduccin 214vii 10. viii Contenido 4 La integral definida 215 4.1Introduccin al rea 215 4.2La integral definida224 4.3El Primer Teorema Fundamental del Clculo 232 4.4El Segundo Teorema Fundamental del Clculo y el mtodode sustitucin243 4.5El teorema del valor medio para integrales y el usode la simetra 253 4.6Integracin numrica260 4.7Repaso del captulo 270 Problemas de repaso e introduccin 274 5 Aplicaciones de la integral 275 5.1El rea de una regin plana275 5.2Volmenes de slidos: capas, discos, arandelas 281 5.3Volmenes de slidos de revolucin: cascarones288 5.4Longitud de una curva plana294 5.5Trabajo y fuerza de un fluido301 5.6Momentos y centro de masa 308 5.7Probabilidad y variables aleatorias316 5.8Repaso del captulo 322 Problemas de repaso e introduccin 324 6 Funciones trascendentales325 6.1La funcin logaritmo natural 325 6.2Funciones inversas y sus derivadas331 6.3La funcin exponencial natural337 6.4Funciones exponencial y logartmica generales 342 6.5Crecimiento y decaimiento exponenciales 347 6.6Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 355 6.7Aproximaciones para ecuaciones diferenciales 359 6.8Funciones trigonomtricas inversas y sus derivadas365 6.9Funciones hiperblicas y sus inversas374 6.10 Repaso del captulo 380 Problemas de repaso e introduccin 382 7 Tcnicas de integracin383 7.1Reglas bsicas de integracin 383 7.2Integracin por partes387 7.3Algunas integrales trigonomtricas 393 7.4Sustituciones para racionalizar399 7.5Integracin de funciones racionales por medio de fraccionesparciales404 7.6Estrategias de integracin 411 7.7Repaso del captulo 419 Problemas de repaso e introduccin 422 11. Contenido ix8 Formas indeterminadas e integralesimpropias 4238.1Formas indeterminadas del tipo 0/0 4238.2Otras formas indeterminadas4288.3Integrales impropias: lmites de integracin infinitos4338.4Integrales impropias: integrandos infinitos4428.5Repaso del captulo 446Problemas de repaso e introduccin 448ApndiceA-1A.1Induccin matemtica A-1A.2Demostracin de varios teoremasA-3Respuestas a problemascon nmero impar A-7ndiceI-1Crditos de fotografasC-1 12. AgradecimientosAgradecemos a todos los profesores que han sido leales usuarios y han impartido la materia de Clculo en los pases dehabla hispana con el apoyo del reconocido libro de Purcell. Sus valiosos comentarios han servido para enriquecer el desa-rrollo de la actual edicin. Esperamos que con el uso de este texto cumplan satisfactoriamente los objetivos del programadel curso y preparen a sus alumnos para enfrentar los retos actuales dentro del mbito de las matemticas. En especial de-seamos agradecer el apoyo y retroalimentacin que nos han dado los siguientes profesores:COLOMBIAGimnasio BritnicoJos Vicente ContrerasClermontJohn Jairo EstradaMauricio RoaGimnasio La ArboledaColegio Agustiniano Ciudad SalitreEsperanza SnchezHugo Hernn RubioGimnasio La MontaaColegio Agustiniano de Suba Claudia RodrguezJohn Jairo SurezGimnasio Los AndesColegio Agustiniano Norte Martn TelloYazmn CastroGimnasio ModernoColegio BautistaHugo Hernn Chvez LpezLuis Hernando LpezInst. San Bernardo de La SalleColegio Berchmans Augusto VivasArnaldo RuizInstituto Colsubsidio de Educacin Femenina ICEFColegio CalasanzYolanda CruzArmando VillamizarNuevo Colombo BritnicoColegio Calatrava Astrid TorregrosaFrancisco ValderramaPortalesColegio Cervantes Norte Zulema LenJuan LizrragaRosario Quinta MutisColegio del Rosario Santo Domingo Wilson AlcntaraRosalba CorredorSan FaconColegio El PinarAura Beatriz GarcaFreddy MondragnSan PatricioColegio Emmanuel DalzonJorge PeaAlexis ValenciaSan TarsicioColegio Franciscano De Pio XiiJorge VelascoJos Luis PrezColegio HispanoamericanoMXICORal VaccaMarabely RamrezCEBETIS # 225Uriel Garca RicoColegio Jordn de SajoniaJos Romero CECyT # 9Hermenegildo Barrera HernndezColegio Nuestra Seora del RosarioUbaldo Bonilla JimnezGloria AguilarCETI-ColomosColegio San Antonio Mara ClaretJess Salvador Escobedo SolsPatricia DuarteAsuncin Gonzlez LozaColegio San PatricioFrancisco Javier Hernndez PatioJorge Enrique PeaPatricia Lamas HuertaColegio Santa Clara scar Mesina ReyesLuis Villamizar ngel Villagrana VillaColegio Santa Dorotea Colegio Anhuac ChapalitaOctavio CambindoHumberto Contreras Prez 13. PrefacioDe nuevo, la novena edicin de Clculo es una revisin modesta. Se han agregado al-gunos temas y otros se han reacomodado, pero el espritu del libro ha permanecido sinalteraciones. Los usuarios de las ediciones precedentes nos han informado del xitoque tuvieron y no tenemos la intencin de restarle ventajas a un texto bastante viable. Para muchos, este libro an ser considerado como un texto tradicional. En su ma-yora, se demuestran los teoremas, se dejan como ejercicio o se dejan sin demostrarcuando la comprobacin es demasiado difcil. Cuando esto ltimo sucede, tratamos dedar una explicacin intuitiva para que el resultado sea plausible, antes de pasar al temasiguiente. En algunos casos, damos un bosquejo de una demostracin, en cuyo caso ex-plicamos por qu es un bosquejo y no una demostracin rigurosa. El objetivo siguesiendo la comprensin de los conceptos de clculo. Aunque algunos ven al nfasis en lapresentacin clara y rigurosa como una distraccin para la comprensin del clculo,nosotros vemos que ambas son complementarias. Es ms probable que los estudiantescomprendan los conceptos si los trminos se definen con nitidez y los teoremas seenuncian y demuestran claramente.Un texto breve La novena edicin contina siendo la obra ms breve de los prin-cipales textos de clculo exitosos. Hemos tratado de no saturar el texto con temas nue-vos y enfoques alternativos. En menos de 800 pginas tratamos la mayor parte de lostemas de clculo; entre ellos, un captulo preliminar y el material de lmites a clculovectorial. En dcadas recientes, los estudiantes han desarrollado malos hbitos. Deseanencontrar el ejemplo resuelto de modo que coincida con el problema de su tarea. Nues-tro objetivo con este texto contina manteniendo al clculo como un curso centrado endeterminadas ideas bsicas en torno a palabras, frmulas y grficas. La resolucin delos conjuntos de problemas, crucial para el desarrollo de habilidades matemticas, nodebe eclipsar el objetivo de comprensin del clculo.Problemas de revisin de conceptosPara alentar a los estudiantes a leery entender el texto, a cada conjunto de problemas le preceden cuatro cuestiones paracompletar. stas prueban el dominio del vocabulario bsico, comprensin de los teoremasy la habilidad para aplicar los conceptos en contextos ms sencillos. Los estudiantes debenresponder estos cuestionamientos antes de pasar a los problemas siguientes. Fomentamosesto para dar una retroalimentacin inmediata; las respuestas correctas se proporcio-nan al final del conjunto de problemas. Estos puntos tambin hacen algunas preguntasde examen para ver si los estudiantes han hecho la lectura necesaria y estn preparadospara la clase.Problemas de repaso e introduccin Tambin hemos incluido un conjuntode problemas de repaso e introduccin entre el final de un captulo y el inicio del siguien-te. Muchos de estos problemas obligan a los estudiantes a repasar temas anteriores antesde iniciar el nuevo captulo. Por ejemplo. Captulo 3, Aplicaciones de la derivada: se les pide a los estudiantes resolver desi-gualdades como las que surgen cuando preguntamos en dnde una funcin es cre-ciente/decreciente o cncava hacia arriba/hacia abajo. Captulo 7, Tcnicas de integracin: se les pide a los estudiantes evaluar varias in-tegrales que incluyen el mtodo de sustitucin, la nica tcnica significativa quehan aprendido hasta ese momento. La falta de prctica en la aplicacin de esta tc-nica podra significar un desastre en el captulo 7.Otros problemas de repaso e introduccin piden a los estudiantes utilizar lo que ya co-nocen para obtener una ventaja en el captulo siguiente. Por ejemplo, Captulo 5, Aplicaciones de la integral: se les pide a los estudiantes determinar lalongitud de un segmento de lnea entre dos funciones, exactamente la habilidadque se requiere en el captulo para realizar lo que llamaremos rebanar, aproximar xi 14. xii Prefacio e integrar. Adems, se les pide a los estudiantes determinar el volumen de un disco pequeo, una arandela y un cascarn. Al haber resuelto esto antes de iniciar el captulo los estudiantes estarn mejor preparados para comprender la idea de rebanar, aproximar e integrar, y su aplicacin para calcular volmenes de slidos de revolucin. Captulo 8, Formas indeterminadas e integrales impropias: se les pide a los estu- a diantes calcular el valor de una integral comoe -x dx, para a = 1, 2, 4, 8, 16.L0 Esperamos que los estudiantes resuelvan un problema como ste y se den cuenta de que conforme a crece, el valor de la integral se aproxima a 1; de este modo se es- tablece la idea de integrales impropias. Antes del captulo, hay problemas similares que incluyen sumas sobre series infinitas. Sentido numrico El sentido numrico contina desempeando un papel importante en el texto. Todos los estudiantes de clculo cometen errores numricos al resolver problemas, pero aquellos con sentido numrico reconocen una respuesta absurda y tratan de resolver nuevamente el problema. Para impulsar y desarrollar esta importante habilidad, hemos enfatizado el proceso de estimacin. Sugerimos cmo hacer estimaciones mentalmente y cmo llegar a las respuestas numricas aproximadas. En el texto hemos aumentado el uso de esta caracterstica mediante el smbolo L , en donde se hace una aproximacin numrica. Esperamos que los estudiantes hagan lo mismo, en especial en los problemas con el icono L . Uso de tecnologa Muchos problemas en la novena edicin estn marcados con uno de los siguientes smbolos: C indica que sera til una calculadora cientfica ordinaria. GC indica que se requiere una calculadora grfica. CAS indica que se necesita un sistema de lgebra computacional. Los proyectos de tecnologa que estaban al final de los captulos en la octava edicin, ahora estn disponibles en la Web en archivos PDF. Cambios en la novena edicin La estructura bsica y el espritu primordial del texto han permanecido sin cambio. A continuacin estn los cambios ms importantes en la novena edicin. Hay un conjunto de problemas de repaso e introduccin entre el final de un captulo y el inicio del siguiente. El captulo preliminar, ahora denominado captulo 0, se ha condensado. Los temas de preclculo (que en la octava edicin estaban al inicio del captulo 2) se colo- caron ahora en el captulo 0. En la novena edicin, el captulo 1 inicia con lmites. Todo lo que se requiera estudiar del captulo 0 depende de los antecedentes de los estudiantes y variar de una institucin educativa a otra. Las secciones sobre antiderivadas y una introduccin a ecuaciones diferenciales se han cambiado al captulo 3. Esto permite claridad entre los conceptos de tasa de cambio y acumulacin, ya que ahora el captulo 4 inicia con rea, seguida de inmediato con la integral definida y los teoremas fundamentales del clculo. La ex- periencia del autor ha sido que muchos estudiantes de primer ao se equivocan al hacer una distincin clara entre los diferentes conceptos de la integral indefinida (o antiderivada) y la integral definida como el lmite de una suma. Esto fue en la primera edicin, publicada en 1965, y sigue siendo cierto ahora. Esperamos que al separar estos temas se atraer la mirada a la distincin. Probabilidad y presin de fluidos se agreg al captulo 5, Aplicaciones de la integral. Enfatizamos que los problemas de probabilidad son tratados como problemas de masa a lo largo de una recta. El centro de masa es la integral de x por la 15. Prefacio xiii densidad, y la esperanza en probabilidad es la integral de x por la densidad (probabilidad). El material sobre secciones cnicas se ha resumido de cinco secciones a tres. Los estudiantes han visto mucho (si no es que todo) de este material en sus cursos de preclculo. Hay ejemplos y un ejercicio sobre las leyes de Kepler del movimiento planetario. El material sobre vectores termina en la deduccin de las leyes de Kepler a partir de la ley de Newton de la gravitacin. Deducimos la segunda y tercera leyes de Ke- pler en los ejemplos, y dejamos como ejercicio la primera ley. En esta prctica, se gua a los estudiantes a travs de los pasos, (a) a (l), de la deduccin. Las secciones sobre mtodos numricos se han colocado en lugares apropiados a lo largo del texto. Por ejemplo, la seccin sobre la resolucin de ecuaciones de forma numrica se ha convertido en la seccin 3.7, la integracin numrica es la seccin 4.6; las aproximaciones para ecuaciones diferenciales se convirtieron en la seccin 6.7. El nmero de preguntas de conceptos se ha incrementado de manera significativa. Muchos problemas ms preguntan al estudiante acerca de grficas. Tambin hemos aumentado el uso de mtodos numricos, tal como el mtodo de Newton y la integracin numrica, en problemas que no pueden tratarse de manera analtica.Agradecimientos Quisiera agradecer al equipo de Prentice Hall, incluyendo aAdam Jaworski, Eric Franck, Dawn Murrin, Debbie Ryan, Bayani deLeon, Sally Yagan,Halee Dinsey, Patrice Jones, Heather Scott y Thomas Benfatti por su apoyo y paciencia.Tambin deseo agradecer a quienes leyeron el manuscrito cuidadosamente, entreellos, Frank Purcell, Brad Davis, Pat Daly (compaa Paley) y Edith Baker (Writewith,Inc.).Tengo una gran deuda de gratitud con Kevin Bodden y Christopher Rigdon, quienestrabajaron sin descanso en la preparacin de los manuales de soluciones, y con BrbaraKniepkamp y Brian Rife por la preparacin de las respuestas del final del libro. Ade-ms, quiero agradecer a los profesores de la Southern Illinois University Edwardsville(y de otros lugares), en especial a George Pelekanos, Rahim Karimpour, KrzysztofJarosz, Alan Wheeler y Paul Phillips, por sus valiosos comentarios. Tambin agradezco a los siguientes profesores por su cuidadosa revisin y tilescomentarios durante la preparacin de la novena edicin. Fritz Keinert, Iowa State University Michael Martin, Johnson County Community College Christopher Johnston, University of Missouri-Columbia Nakhle Asmar, University of Missouri-Columbia Zhonghai Ding, University de Nevada Las Vegas Joel Foisy, SUNY Potsdam Wolfe Snow, Brooklyn College Ioana Mihaila, California State Polytechnic University, Pomona Hasan Celik, California State Polytechnic University Jeffrey Stopple, University of California, Santa Barbara Jason Howell, Clemson University John Goulet, Worcester Polytechnic Institute Ryan Berndt, The Ohio State University Douglas Meade, University of South Carolina Elgin Johnston, Iowa State University Brian Snyder, Lake Superior State University Bruce Wenner, University of Missouri-Kansas City Linda Kilgariff, University of North Carolina en Greensboro Joel Robbin, University of Wisconsin-Madison John Johnson, George Fox University Julie Connolly, Wake Forest University Chris Peterson, Colorado State University Blake Thornton, Washington University en Saint Louis Sue Goodman, University of North Carolina-Chapel Hill John Santomos, Villanova University 16. xiv Prefacio Por ltimo, agradezco a mi esposa Pat y a mis hijos Chris, Mary y Emily por tolerar todas las noches y fines de semana que estuve en la oficina. S. E. R. [email protected] Southern Illinois University Edwardsville RECURSOS PARA LOS PROFESORES (EN INGLS) Distribucin de recursos para el profesorTodos los recursos para el profesor pueden descargarse delsitio web www.pearsoneducacion.net/purcell SeleccioneBrowse our catalog, luego d clic en Mathematics,seleccione su curso y elija su texto. En Resources, en ellado izquierdo, elija instructor y el complemento que nece-sita descargar. Se le pide que realice un registro antes deque pueda completar este proceso.TestGen Crea con facilidad exmenes a partir de secciones del texto. Las preguntas se generan con un algoritmo que permite versiones ilimitadas. Edite problemas o genere los propios.Archivo con preguntas de examen Un banco de exmenes obtenidos de TestGen.Diapositivas en PowerPoint de Clases Son diapositivas que se pueden editar por completo y van de acuerdo con el texto. Proyectos en clase o para un website en un curso en lnea.Manual de soluciones para el profesor Soluciones totalmente desarrolladas de todos los ejercicios del libro y los proyectos del captulo.Proyectos de tecnologa 17. PrefacioxvMathXLMathXL es un poderoso sistema en lnea para tareas, tutoriales y asignaciones que acompaa a su libro de texto. Los ins-tructores pueden crear, editar y asignar tareas y exmenes en lnea mediante ejercicios generados por medio de un algoritmo yque estn correlacionados al nivel de objetivo para el texto. El trabajo del estudiante es seguido en un registro de avance. Los es-tudiantes pueden hacer exmenes de captulo y recibir planes de estudio personalizados con base en sus resultados. El plan deestudio diagnostica las debilidades y vincula a los estudiantes con ejercicios por objetivos que necesitan. Adems, los estudiantespueden tener acceso a videoclips de los ejercicios seleccionados. MathXL est disponible para quienes adopten el libro y estncualificados. Para mayor informacin, visite nuestro sitio web en www.pearsoneducacion.net/purcell,MyMathLabMyMathLab es un curso en lnea personalizable, de texto especfico, para sus libros. MyMathLab est sustentado por el ambienteen lnea de enseanza y aprendizaje CourseCompassTM de Pearson Educacin, y por MathXL nuestro sistema de tareas,tutoriales y evaluacin en lnea. MyMathLab le proporciona las herramientas necesarias para poner todo o parte de su curso enlnea, si sus estudiantes estn en un laboratorio o trabajando en casa. MyMathLab proporciona un conjunto rico y flexible de materiales para el curso, con la caracterstica que los ejercicios de res-puesta abierta son generados de manera algortmica para prctica ilimitada. Los estudiantes pueden utilizar las herramientas enlnea, tales como clases en video y un libro de texto en multimedia para mejorar su desempeo. Los instructores pueden utilizarlos administradores de tareas y exmenes de MyMathLAb para seleccionar y asignar ejercicios en lnea relacionados con el libro,y pueden importar exmenes de TestGen para agregar flexibilidad. El nico archivo de calificaciones diseado especficamentepara matemticas lleva un registro automtico de tareas y resultados de exmenes de los estudiantes y le permite al instructorel clculo de las evaluaciones finales. MyMathLab est disponible para quienes adopten el libro y estn cualificados. Para mayor in-formacin, visite nuestro sitio web en www.pearsoneducacion.net/purcell 18. CAPTULO0Preliminares0.1 Nmeros reales, 0.1estimacin y lgica Nmeros reales, estimacin y lgica0.2 Desigualdades y El clculo est basado en el sistema de los nmeros reales y sus propiedades. Pero,valor absolutocules son los nmeros reales y cules son sus propiedades? Para responder, comen-zamos con algunos sistemas numricos ms sencillos.0.3 El sistema decoordenadas Los enteros y los nmeros racionalesLos nmeros ms sencillos de todosrectangulares son los nmeros naturales,0.4 Grficas de1, 2, 3, 4, 5, 6, ecuacionesCon ellos podemos contar nuestros libros, nuestros amigos y nuestro dinero. Si inclui-0.5 Funciones y sus mos a sus negativos y al cero, obtenemos los enterosgrficas , - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 0.6 Operaciones confuncionesCuando medimos longitud, peso o voltaje, los enteros son inadecuados. Estn se-parados muy lejos uno del otro para dar suficiente precisin. Esto nos lleva a conside-0.7 Funciones rar cocientes (razones) de enteros (vase la figura 1), nmeros tales comotrigonomtricas0.8 Repaso del captulo 3 - 7 21 19 16 - 17 , , , , ,y4 8 5 -2 211 12 33 13 = = 2 1 44 1Figura 1Figura 2 16 - 17Observe que incluimos 2 y 1 , aunque normalmente los escribiramos como 8 y -17,5ya que son iguales a aqullos por el significado ordinario de la divisin. No incluimos 0-9o 0 porque es imposible dar significado a estos smbolos (vase el problema 30). Re-cuerde siempre que la divisin entre 0 nunca est permitida. Los nmeros que puedenescribirse en la forma m/n, donde m y n son enteros con n Z 0 son llamados nmeros ra-cionales. Los nmeros racionales sirven para medir todas las longitudes? No. Este hechosorprendente fue descubierto por los antiguos griegos alrededor del siglo V a. C. Ellos de-mostraron que aunque la hipotenusa de un tringulo rectngulo con catetos de longitud 1mide 22 (vase la figura 2), 22 no puede escribirse como un cociente de dos enteros(vase el problema 77). Por lo tanto, 22 es un nmero irracional (no racional). As,tambin lo son 23, 25, 2 7, p, y una gran cantidad de nmeros ms.3Los nmeros reales Considere todos los nmeros (racionales e irracionales) quepueden medir longitudes, junto con sus negativos y el cero. A stos les llamamos nme-ros reales. Los nmeros reales pueden verse como etiquetas para puntos a lo largo de unarecta horizontal. All miden la distancia, a la derecha o izquierda (la distancia dirigida),de un punto fijo llamado origen y marcado con 0 (vase la figura 3). Aunque quiz no 19. 2 Captulo 0 Preliminares31 7 podamos mostrar todas las etiquetas, cada punto tiene un nmero real nico que lo 22 = 2 3 etiqueta. Este nmero se denomina coordenada del punto, y la recta coordenada resul-3 21 0 1 2 3 4tante es llamada recta real. La figura 4 sugiere las relaciones entre las series de nme-ros analizadas hasta ahora.Figura 3 Recuerde usted que el sistema de nmeros reales puede ampliarse an ms a losnmeros complejos. stos son nmeros de la forma a + bi, donde a y b son nmeros realese i = 2 - 1. En este libro rara vez se utilizarn los nmeros complejos. De hecho, sidecimos o sugerimos nmero sin adjetivo calificativo alguno, se puede suponer quequeremos decir nmero real. Los nmeros reales son los personajes principales enclculo. 0.375 1.181 8 3.000 11 13.000 24 11 6020 561140 90 Nmeros40 88 naturales 02011 Nmeros enteros9Nmeros racionales 313 8 = 0.37511 = 1.181818 . . .Nmeros realesFigura 4 Figura 5Decimales peridicos y no peridicos Cualquier nmero racional puede es-cribirse como decimal, ya que por definicin siempre puede expresarse como el cocien-te de dos enteros; si dividimos el denominador entre el numerador, obtenemos undecimal (vase la figura 5). Por ejemplo,1 3 3= 0.5 = 0.375 = 0.428571428571428571 2 8 7Los nmeros irracionales tambin pueden expresarse en forma decimal. Porejemplo, 22 = 1.4142135623 ,p = 3.1415926535 3La representacin decimal de un nmero racional o termina (como en 8 = 0.375) o13se repite hasta el infinito en ciclos regulares (como en = 1.181818 ). Un poco de11experimentacin con el algoritmo de la divisin le mostrar el porqu. (Observeque slo puede haber un nmero finito de residuos diferentes). Un decimal que ter-mina puede considerarse como un decimal peridico con ceros que se repiten. Porejemplo,3= 0.375 = 0.3750000 8De esta manera, todo nmero racional puede escribirse como un decimal peridico. Enotras palabras, si x es un nmero racional, entonces x puede escribirse como un decimalperidico. Es notable el hecho de que el recproco tambin es verdadero, si x puede es-cribirse como un decimal peridico, entonces x es un nmero racional. Esto es obvio enel caso de decimales que terminan (por ejemplo, 3.137 = 3137>1000), y es fcil demostrarpara el caso de decimales no peridicos.EJEMPLO 1 (Los decimales peridicos son racionales). Demuestre quex = 0.136136136 . . . representa un nmero racional.SOLUCIN Restamos x de 1000x y luego despejamos x. 1000x = 136.136136 x = 0.136136 999x = 136 136 x = 999 20. Seccin 0.1 Nmeros reales, estimacin y lgica 3Los nmeros realesLas representaciones decimales de los nmeros irracionales no se repiten en ciclos.Recprocamente, un decimal no peridico debe representar un nmero irracional. As,Nmeros racionalesNmeros irracionalespor ejemplo,(decimales(decimales noperidicos) peridicos) 0.101001000100001 debe representar un nmero irracional (observe el patrn de ms y ms ceros entre losFigura 6unos). El diagrama en la figura 6 resume lo que hemos dicho.Densidad Entre cualesquiera dos nmeros reales diferentes a y b, no importax2 x3 x1qu tan cercanos se encuentren, existe otro nmero real. En particular, el nmero x1 =(a + b)>2 es un nmero real que est a la mitad entre a y b (vase la figura 7). Ya queaa+bb existe otro nmero real, x2, entre a y x1, y otro nmero real, x3, entre x1 y x2, y puesto2que este argumento puede repetirse ad infinitum, concluimos que existe un nmero in-Figura 7finito de nmeros reales entre a y b. Por lo tanto, no existe cosa como el menor nme-ro real, mayor que 3. En realidad, podemos decir ms. Entre cualesquiera dos nmeros reales distintosexiste tanto un nmero racional como uno irracional. (En el ejercicio 57 le pedimos demos-trar que existe un nmero racional entre cualesquiera dos nmeros reales). De aquque, por medio del argumento precedente, existe una infinidad de cada uno de ellos(racionales e irracionales). Una forma en que los matemticos describen la situacin que hemos expuestoes declarar que los nmeros racionales y los nmeros irracionales son densos en larecta real. Todo nmero tiene vecinos racionales e irracionales arbitrariamente cer-canos a l.1 Una consecuencia de la propiedad de densidad es que cualquier nmero irracio- 1.4== 2nal puede aproximarse tanto como se quiera por medio de un nmero racional; de 1.41 hecho, por medio de un nmero racional con una representacin decimal finita. Tome1.414como ejemplo 22. La sucesin de nmeros racionales 1, 1.4, 1.41, 1414, 1.4142,Figura 81.41421, 1.414213, p avanza constante e inexorablemente hacia 22 (vase la figura 8).Avanzando lo suficiente en esta sucesin, podemos estar tan cerca como queramosde 22.Calculadoras y computadoras Actualmente, muchas calculadoras son capacesde realizar operaciones numricas, grficas y simblicas. Durante dcadas, las calcula-doras han podido realizar operaciones numricas, como dar aproximaciones decimales a212.2 y 1.25 sen 22. A principios de los aos noventa del siglo pasado las calculadoraspodan mostrar la grfica de casi cualquier funcin algebraica, trigonomtrica, expo-nencial o logartmica. Los adelantos recientes permiten a las calculadoras realizar mu-chas operaciones, como desarrollar (x - 3y)12 o resolver x3 - 2x2 + x = 0. Programas decmputo como Mathematica o Maple pueden realizar operaciones simblicas comostas, as como una gran cantidad de otras.Nuestras recomendaciones acerca del uso de una calculadora son: 1. Sepa reconocer cuando su calculadora o computadora le proporciona unarespuesta exacta y cuando le da una aproximacin. Por ejemplo, si pide sen 60, suMuchos problemas en este libro estncalculadora puede darle la respuesta exacta, 23>2, o bien puede darle una apro-marcados con un smbolo especial.ximacin decimal, 0.8660254. C significa utilice una calculadora. 2. Por lo regular, y si es posible, se prefiere una respuesta exacta. Esto es especial-GCsignifica utilice una calculadora mente cierto cuando usted debe utilizar el resultado para clculos posteriores. Porgraficadora.ejemplo, si necesita elevar al cuadrado sen 60, es ms fcil y tambin ms exacto,CAS significa utilice un sistema decalcular A 23>2 B 2 = 3>4 que calcular 0.86602542.lgebra computacional. 3. Si es posible, en problemas de aplicacin proporcione una respuesta exacta, as co-EXPLsignifica que el problema lemo una aproximacin. Puede verificar frecuentemente si su respuesta es razonablepide explorar e ir ms all de lasal relacionarla con la descripcin del problema, observando su aproximacin nu-explicaciones dadas en el texto.mrica a la solucin.Estimacin Dado un problema aritmtico complicado, un estudiante descuidadopodra presionar algunas teclas en una calculadora y reportar la respuesta sin darsecuenta de que la falta de parntesis o un error de dedo han dado un resultado err-neo. Un estudiante cuidadoso, con un sentido de los nmeros, al presionar las mismas 21. 4 Captulo 0 Preliminares 0.9 teclas se dar cuenta inmediatamente de que la respuesta es equivocada si es demasia- R do grande o demasiado pequea, y volver a calcularla de manera correcta. Es importante saber cmo se realiza una estimacin mental. EJEMPLO 2Calcular A 2430 + 72 + 27.5 B >2.75. 3 3 SOLUCIN Una estudiante juiciosa aproxim lo anterior como (20 + 72 + 2)>3 y dijo que la respuesta debera ser cercana a 30. As, cuando su calculadora dio 93.448 como respuesta, ella desconfi (lo que en realidad haba calculado fue 6 2430 + 72 + 27.5>2.75).3 Al calcular otra vez obtuvo la respuesta correcta: 34.434. EJEMPLO 3Suponga que la regin sombreada R, que se muestra en la figura 9,Figura 9 se hace girar alrededor del eje x. Estime el volumen del anillo slido, S, que resulta. SOLUCIN La regin R es de casi 3 unidades de largo y 0.9 unidades de altura. Esti- mamos su rea como 3(0.9) L 3 unidades cuadradas. Imagine que el anillo slido, S, se abre y se aplana para formar una caja de alrededor de 2pr L 2(3)(6) = 36 unidades de En el ejemplo 3 hemos utilizado L longitud. El volumen de una caja es el rea de su seccin transversal por su longitud. para decir aproximadamente As, estimamos el volumen de la caja como 3(36) = 108 unidades cbicas. Si lo calcula y igual a. Utilice este smbolo cuando obtiene 1000 unidades cbicas, necesita verificar su trabajo. realice una aproximacin. En un trabajo ms formal no use este smboloEl proceso de estimacin es simplemente el sentido comn combinado con aproxima- sin saber de qu tamao podra serciones razonables de los nmeros. Lo exhortamos a utilizarlo con frecuencia, particular- el error. mente en problemas. Antes de obtener una respuesta precisa, haga una estimacin. Si su respuesta est cerca de su estimacin, no hay garanta de que su respuesta sea correcta. Por otra parte, si su respuesta y su estimacin son demasiado diferentes, debe verificar Muchos problemas estn marcados su trabajo. Probablemente hay un error en su respuesta o en su aproximacin. Recuer- con este smbolo. de que p L 3, 22 L 1.4, 210 L 1000, 1 pie L 10 pulgadas, 1 milla L 5000 pies, etctera. significa una estimacin de la Un tema central en este texto es el sentido numrico. Por esto queremos decir la respuesta antes de resolver elhabilidad de trabajar un problema y decir si su solucin es razonable para el problema problema; luego compruebe suplanteado. Un estudiante con buen sentido numrico reconocer y corregir de forma in- respuesta contra esta estimacin. mediata una respuesta que, obviamente, es poco razonable. Para muchos de los ejemplos desarrollados en el texto, proporcionamos una estimacin inicial de la solucin, antes de proceder a determinar la solucin exacta. Un poco de lgica. En matemticas, a los resultados importantes se les llama teoremas; en este texto usted encontrar muchos teoremas. Los ms importantes aparecen con la etiqueta Teorema y por lo regular se les dan nombres (por ejemplo, el Teorema de Pitgoras). Otros aparecen en los conjuntos de problemas y se introducen con las palabras demuestre o pruebe que. En contraste con los axiomas o definiciones, que se admiten, los teoremas requieren ser demostrados.Muchos teoremas son establecidos en la forma si P entonces Q, o bien pueden enunciarse otra vez en esta forma. Con frecuencia, abreviamos el enunciado si P entonces Q por medio de P Q Q, que tambin se lee P implica Q. Llamamos a P la hiptesis y a Q la conclusin del teorema. Una prueba (demostracin) consiste en demostrar que Q debe ser verdadera siempre que P sea verdadera.Los estudiantes que inician (incluso, algunos maduros) pueden confundir P Q Q con su recproco, Q Q P. Estas dos proposiciones no son equivalentes. Si Juan es de Missouri, entonces Juan es americano es una proposicin verdadera, pero su recpro- ca si Juan es americano, entonces es de Missouri podra no ser cierta.La negacin de la proposicin P se escribeP. Por ejemplo, si P es la proposicin est lloviendo, entoncesP es la proposicin no est lloviendo. La proposicinQ QP se denomina contrapositiva (o contrarrecproca) de la proposicin P Q Q y es equivalente a P Q Q. Por equivalente queremos decir que P Q Q yQ QP son, ambas, verdaderas o ambas falsas. Para nuestro ejemplo acerca de Juan, la contrapositiva de si Juan es de Missouri, entonces Juan es americano es si Juan no es americano, entonces Juan no es de Missouri.Como consecuencia de que una proposicin y su contrapositiva sean equivalentes, podemos demostrar un teorema de la forma si P entonces Q demostrando su contra- 22. Seccin 0.1 Nmeros reales, estimacin y lgica 5Demostracin por contradiccinpositiva si Q entonces P. As, para demostrar P Q Q, podemos suponer Q e in-tentar deducir P. A continuacin est un ejemplo sencillo.La demostracin por contradiccintambin lleva el nombre de reduc-cin al absurdo. He aqu lo que el EJEMPLO 4 Demuestre que si n2 es par, entonces n es par.gran matemtico G. H. Hardy dijoPrueba La contrapositiva de este enunciado es si n no es par, entonces n2 no esacerca de ella:par, que es equivalente a si n es impar, entonces n2 es impar. Demostraremos la con- La reduccin al absurdo, quetrapositiva. Si n es impar, entonces existe un entero k tal que n = 2k + 1. Entonces, Euclides amaba tanto, es una de las armas ms finas del matemti- n2 = 12k + 122 = 4k2 + 4k + 1 = 212k2 + 2k2 + 1 co. Es muchsimo ms fina quePor lo tanto, n2 es igual a uno ms que el doble de un entero. De aqu que n2 es impar. cualquier gambito en el ajedrez; un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un pen o hasta de La ley del tercero excluido dice: sucede R o R, pero no ambos. Cualquier demos- una pieza, pero un matemticotracin que inicia suponiendo que la conclusin de un teorema es falsa y procede para ofrece el juego.demostrar que esta suposicin conduce a una contradiccin se denomina demostracinpor contradiccin. En ocasiones, necesitaremos otro tipo de demostracin denominado induccinOrden en la recta realmatemtica. Nos alejaramos demasiado en estos momentos para describir esto, peroDecir que x 6 y significa que x esthemos dado un estudio completo en el apndice A.1.a la izquierda de y en la recta real.Algunas veces, ambas proposiciones P Q Q (si P entonces Q) y Q Q P (si Q en-tonces P) son verdaderas. En este caso escribimos P 3 Q, que se lee P si y slo si Q.x y En el ejemplo 4 demostramos que si n2 es par, entonces n es par, pero el recproco sin es par, entonces n2 es par tambin es verdadero. Por lo tanto, diramos n es par si yslo si n2 es par.Las propiedades de ordenOrden Los nmeros reales diferentes de cero se separan, en forma adecuada, endos conjuntos disjuntos, los nmeros reales positivos y los nmeros reales negativos.1. Tricotoma. Si x y y son nmeros,Este hecho nos permite introducir la relacin de orden 6 (se lee es menor que) por exactamente una de las siguientesmedio de afirmaciones se cumple: x 6 yo x = y o x 7 y x 6 y 3 y - x es positivo2. Transitividad. x 6 y e y 6 z Acordamos que x 6 y y y 7 x significarn lo mismo. As, 3 6 4, 4 7 3, -3 6 -2 y -2 7 -3.Q x 6 z.La relacin de orden (se lee es menor o igual a) es prima hermana de 6. Se3. Suma. x 6 y 3 x + z 6 y + z. define por medio de4. Multiplicacin. Cuando z es positiva x 6 y 3 xz 6 yz. Cuando z x y 3 y - x es positivo o cero es negativa, x 6 y 3 xz 7 yz.Las propiedades de orden 2, 3 y 4, en el cuadro al margen, se cumplen al reemplazar lossmbolos 6 y 7 por y , respectivamente.Cuantificadores Muchas proposiciones matemticas incluyen una variable x,y la validez de un enunciado depende del valor de x. Por ejemplo, la proposicin 1x es un nmero racional depende del valor de x; es verdadero para algunos410,000valores de x, tal como x = 1, 4, 9, x = 1, 4, 9, , y, y falso para otros valores949de x, tales como x = 2, 3, 77 y p. Algunas proposiciones, tales como x2 0, son verda-deras para todo nmero real x, y otras proposiciones, tales como x es un entero parmayor que 2 y x es un nmero primo, siempre son falsas. Denotaremos con P(x) unenunciado cuyo valor de verdad depende del valor de x.Decimos para toda x, P(x) o para cada x, P(x), cuando la proposicin P(x) esverdadera para todo valor de x. Cuando al menos existe un valor de x para el cuales verdadera, decimos existe una x tal que P(x). Los dos importantes cuantificadoresson para todo y existe. EJEMPLO 5 Cul de las siguientes proposiciones son verdaderas?(a) Para toda x, x 2 7 0.(b) Para toda x, x 6 0 Q x 2 7 0.(c) Para cada x, existe una y tal que y 7 x.(d) Existe una y tal que, para toda x, y 7 x. 23. 6 Captulo 0 PreliminaresSOLUCIN(a) Falsa. Si elegimos x = 0, entonces no es verdadero que x2 7 0.(b) Verdadera. Si x es negativa, entonces x2 ser positiva.(c) Verdadera. Esta proposicin contiene dos cuantificadores, para cada y existe.Para leer el enunciado de manera correcta, debemos aplicarlo en el orden correcto.La proposicin inicia para cada, de modo que si la proposicin es verdadera, en-tonces lo que sigue debe ser verdadero para todo valor de x que seleccionemos. Si noest seguro de que el enunciado completo sea verdadero, intente con algunos valo-res de x y vea si la segunda parte del enunciado es verdadero o falso. Por ejemplo,podramos elegir x = 100, dada esta eleccin; existe una y que sea mayor a x? Enotras palabras, existe un nmero mayor que 100? Por supuesto que s. El nmero101 lo es. Ahora, seleccionemos otro valor para x, digamos x = 1,000,000. Existeuna y que sea mayor que este valor de x? Nuevamente, s; en este caso el nmero1,000,001 lo sera. Ahora, pregntese: Si tengo que x es cualquier nmero real,podr encontrar una y que sea mayor a x? La respuesta es s. Basta con elegir ay como x + 1.(d) Falsa. El enunciado dice que existe un nmero real que es mayor que todos losdems nmeros reales. En otras palabras, existe un nmero real que es el mayor detodos. Esto es falso; aqu est una demostracin por contradiccin. Suponga queexiste un nmero real mayor que todos, y. Sea x = y + 1. Entonces x 7 y, lo cual escontrario a la suposicin de que y es el mayor nmero real. La negacin de la proposicin P es la proposicin no P. (La proposicin no Pes verdadera siempre que P sea falsa). Considere la negacin de la proposicin paratoda x, P(x). Si la negacin de esta proposicin es verdadera, entonces debe existir almenos un valor de x para el cual P(x) es falsa; en otras palabras, existe una x tal que noP(x). Ahora considere la negacin de la proposicin existe un x tal que P(x). Si lanegacin de esta proposicin es verdadera, entonces no existe una x para la cual P(x)sea verdadera. Esto significa que P(x) es falsa sin importar el valor de x. En otras pala-bras, para toda x, no P(x). En resumen, La negacin de para toda x, P(x) es existe una x tal que no P(x). La negacin de existe una x tal que P(x) es para toda x, no P(x).Revisin de conceptos1. Los nmeros que pueden escribirse como la razn (cociente) 3. La contrapositiva (contrarrecproca) de si P entonces Q esde dos enteros se denominan ________. ________. 2. Entre cualesquiera dos nmeros reales, existe otro nmero 4. Los axiomas y las definiciones son tomados como ciertos,real. Esto significa que los nmeros reales son ________. pero________ requieren de una demostracin.Conjunto de problemas 0.1En los problemas del 1 al 16 simplifique tanto como sea posible. Aseg-11 12 1 3 7 7- 21 2 - 4 + 8rese de eliminar todos los parntesis y reducir todas las fracciones.11. 11 12 12. 1 3 7 7+ 21 2 + 4 - 81. 4 - 218 - 112 + 62. 3[2 - 417 - 122] 1 3 13. 1 - 1 14. 2 + 53. -4[51 -3 + 12 - 42 + 2113 - 72]1 +2 1 + 24. 5[-117 + 12 - 162 + 4] + 215. A 25 + 23 B A 25 - 23 B 16. A 25 - 23 B 2 513 3 15. 7 - 13 6. 4 - 7 + 21- 6En los problemas del 17 al 28 realice las operaciones indicadas y sim- C A - B + DC - A - BD 1 1 11 1plifique. -1 21 1 1 17. 13x - 421x + 12 18. 12x - 3227. 3 2 43 6 8.3 52 3 5 19. 13x - 9212x + 1220. 14x - 11213x - 72 A2 - 5B> A1 - 1B2 14 29. 10. 21. 13t2 - t + 12222. 12t + 323 21 5 - 1 773 24. Seccin 0.1 Nmeros reales, estimacin y lgica7x2 - 4 x2 - x - 6Demuestre que entre cualesquiera dos nmeros reales diferentes23.24. existe una infinidad de nmeros racionales.x - 2 x - 3t2 - 4t - 212x - 2x2 58. Estime el volumen de su cabeza, en pulgadas cbicas.25.t + 3 26. x - 2x + x32 59. Estime la longitud del ecuador, en pies. Suponga que el radio de la Tierra es de 4000 millas. 12 4 22y27. + +x + 2 28. 6y - 2+ 60. Alrededor de cuntas veces habr latido su corazn en sux2 + 2x x 9y 2 - 1 vigsimo cumpleaos?29. Determine el valor de cada una de las expresiones siguientes; 61. El rbol llamado General Sherman, que est en California,si no est definida, indquelo tiene una altura de casi 270 pies y promedia alrededor de 16 pies de(a) 0 # 0 00 (b) 0 (c) 17dimetro. Estime el nmero de tablones de madera de 1 pulgada por(d) 3 (e) 0 5 (f) 170 12 pulgadas por 12 pulgadas que podran fabricarse con este rbol, 0 suponiendo que no haya desperdicio e ignorando las ramas.30. Demuestre que la divisin entre 0 no tiene significado como 62. Suponga que cada ao, el rbol General Sherman (vasesigue: Suponga que a Z 0. Si a>0 = b, entonces a = 0 b = 0, lo cual es el problema 61) produce un anillo de crecimiento de un grosor deuna contradiccin. Ahora determine una razn por la que 0>0 tam- 0.004 pies. Estime el aumento anual resultante en el volumen de subin carece de significado. tronco.En los problemas del 31 al 36 cambie cada nmero racional a uno de- 63. Escriba el recproco y el contrapositivo de los siguientescimal mediante una divisin larga. enunciados. 1 231. 12 32. 7 (a) Si hoy llueve, entonces trabajar en casa.33. 3 34.5(b) Si la candidata satisface todos los requisitos, entonces ser con-21 17 tratada.11 1135.3 36. 13 64. Escriba el recproco y el contrapositivo de los siguientesEn los problemas del 37 al 42 cambie cada decimal peridico por unaenunciados.razn de dos enteros (vase el ejemplo 1). (a) Si obtengo una A en el examen final, aprobar el curso.37. 0.123123123 38. 0.217171717 (b) Si termino mi artculo de investigacin para el viernes, entonces tomar un descanso la semana prxima.39. 2.56565656 40. 3.929292 65. Escriba el recproco y el contrapositivo de los siguientes41. 0.199999 42. 0.399999 enunciados. 43. Como 0.199999 = 0.200000 y 0.399999 = (a) (Sean a, b y c las longitudes de los lados de un tringulo.) Si a2 +0.400000 (vanse los problemas 41 y 42), vemos que ciertos nme- b2 = c2, entonces el tringulo es un tringulo rectngulo.ros racionales tienen diferentes expansiones decimales. Cules son (b) Si el ngulo ABC es agudo, entonces su medida es mayor que 0los nmeros racionales que tienen esta propiedad? y menor que 90. 44. Demuestre que cualquier nmero racional p>q, para el cual66. Escriba el recproco y el contrapositivo de los siguientesla factorizacin en primos de q consiste slo en nmeros 2 y nmeros enunciados.5, tiene un desarrollo decimal finito. (a) Si la medida del ngulo ABC es 45, entonces el ngulo ABC es45. Encuentre un nmero racional positivo y un nmero irracio- agudo.nal positivo menores que 0.00001. (b) Si a 6 b entonces a2 6 b2.46. Cul es el menor entero positivo? El menor racional posi-67. Considere los enunciados del problema 65 junto con sus rec-tivo? El menor nmero irracional positivo? procos y contrapositivos. Cules son verdaderos? 47. Encuentre un nmero racional entre 3.14159 y p. Note que68. Considere los enunciados del problema 66 junto con sus rec-p = 3.141592.... procos y contrapositivos. Cules son verdaderos?48. Existe un nmero entre 0.9999... (los 9 se repiten) y 1? Cmo 69. Utilice las reglas acerca de la negacin de proposiciones queconcilia esto con el enunciado de que entre cualesquiera dos nme- incluyen cuantificadores para escribir la negacin de las siguientesros reales diferentes existe otro nmero real? proposiciones. Cul es verdadera, la proposicin original o su ne- 49. El nmero 0.1234567891011121314... es racional o irracio-gacin?nal? (Debe observar un patrn en la sucesin de dgitos dada). (a) Todo tringulo issceles es equiltero.50. Encuentre dos nmeros irracionales cuya suma sea racional. (b) Existe un nmero real que no es entero.En los problemas del 51 al 56 determine la mejor aproximacin (c) Todo nmero natural es menor o igual a su cuadrado.decimal que su calculadora permita. Inicie haciendo una estimacin 70. Utilice las reglas acerca de la negacin de proposiciones quemental.incluyen cuantificadores para escribir la negacin de las siguientes51. A 23 + 1 B 3 52. A 22 - 23 B 4 proposiciones. Cul es verdadera, la proposicin original o su nega-53. 2 1.123 - 2 1.094 354. 13.14152-1/2cin? 56. 2 16p2 - 22p (a) Todo nmero natural es racional.55. 28.9p + 1 - 3p2 4 (b) Existe un crculo cuya rea es mayor que 9p.57. Demuestre que entre cualesquiera dos nmeros reales dife- (c) Todo nmero real es mayor que su cuadrado.rentes existe un nmero racional. (Sugerencia: si a 6 b, entonces b a7 0, as que existe un nmero natural n tal que 1>n 6 b a. Considere71. Cules de los enunciados siguientes son verdaderos? Su-el conjunto {k:k>n 7 b} y utilice el hecho de que un conjunto de en- ponga que x y y son nmeros reales.teros que est acotado por abajo contiene un elemento menor).(a) Para toda x, x 7 0 Q x2 7 0. 25. 8 Captulo 0 Preliminares(b) Para toda x, x 7 0 3 x 2 7 0.78. Demuestre que 23 es irracional (vase el problema 77).(c) Para toda x, x2 7 x. 79. Demuestre que la suma de dos nmeros racionales es ra-cional.(d) Para toda x, existe una y tal que y 7 x2. 80. Demuestre que el producto de un nmero racional (distinto(e) Para todo nmero positivo y, existe otro nmero positivo x talde 0) y un nmero irracional es irracional. Sugerencia: intente unaque 0 6 x 6 y.demostracin por contradiccin. 72. Cules de las proposiciones siguientes son verdaderas? A 81. Cules de los siguientes nmeros son racionales y culesmenos que se diga lo contrario, suponga que x, y y e son nmerosson irracionales?reales. (a) - 29 (b) 0.375(a) Para toda x, x 6 x + 1. (c) A 3 22 B A 5 22 B(d) A 1 + 23 B 2(b) Existe un nmero natural N, tal que todos los nmeros primos82. Un nmero b se denomina cota superior para un conjunto S son menores que N. (Un nmero primo es un nmero natural de nmeros, si x b para toda x en S. Por ejemplo, 5, 6.5 y 13 son co- mayor que 1 cuyos nicos factores son 1 y l mismo.) tas superiores para el conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5}. El nmero 5 es la m- 1nima cota superior para S (la ms pequea de las cotas superiores).(c) Para cada x 7 0, existe una y tal que y 7. xDe manera anloga, 1.6, 2 y 2.5 son cotas superiores para el conjunto 1infinito T = {1.4, 1.49, 1.499, 1.4999,...} mientras que 1.5 es la mnima(d) Para toda x positiva, existe un nmero natural n tal que 6 x. ncota superior. Encuentre la mnima cota superior para cada uno de 1los siguientes conjuntos,(e) Para cada e positiva, existe un nmero natural n tal que n 6 e.2 (a) S = 5 -10, - 8, - 6, - 4, -26 73. Demuestre las siguientes proposiciones.(b) S = 5 -2, -2.1, - 2.11, - 2.111, -2.1111, 6(c) S = 52.4, 2.44, 2.444, 2.4444, 6(d) S = E 1 - 2, 1 - 3, 1 - 4, 1 - 5, F(a) Si n es impar, entonces n2 es impar. (Sugerencia: si n es impar,1 1 1 1entonces existe un entero k, tal que n = 2k + 1).(b) Si n2 es impar, entonces n es impar. (Sugerencia: demuestre la(e) S = {x|x = (-1) + 1>n, n es un entero positivo}; esto es, S es elncontrapositiva).conjunto de todos los nmeros x que tienen la forma x = (-1)n +1>n, donde n es un entero positivo. 74. Demuestre que n es impar si y slo si n2 es impar. (Vase el(f) S = {x : x2 6 2, x es un nmero racional}.problema 73). EXPL 83. El axioma de completez para los nmeros reales dice: todo 75. De acuerdo con el Teorema fundamental de la aritmtica, to-do nmero natural (distinto de 1) puede escribirse como el producto conjunto de nmeros reales que tiene una cota superior tiene una m-de primos, de una forma nica, salvo por el orden de los factores. Pornima cota superior que es un nmero real.ejemplo, 45 = 335. Escriba cada uno de los siguientes nmeros como(a) Demuestre que la proposicin en cursivas es falsa si las palabrasun producto de primos.reales y real se reemplazan por racionales y racional, respectiva-mente.(a) 243(b) 124(c) 5100(b) La proposicin en cursivas ser verdadera o falsa si las pala- 76. Utilice el Teorema fundamental de la aritmtica (vase elbras reales y real fuesen reemplazadas por naturales y natural,problema 75) para demostrar que el cuadrado de cualquier nme-respectivamente?ro natural (distinto de 1) puede escribirse como el producto de unconjunto nico de primos, excepto por el orden de los factores, ca- Respuestas a la revisin de conceptos 1. nmeros racionalesda uno de los cuales aparece un nmero par de veces. Por ejemplo, 2. densos 3. Si no Q entonces no P. 4. teoremas(45)2 = 3 3 3 3 5 5.77. Demuestre que 22 es irracional. Sugerencia: intente una de-mostracin por contradiccin. Suponga que 22 = p>q, donde p y qson nmeros naturales (necesariamente distintos de 1). Entonces2 = p2>q2, de modo que 2q2 = p2. Ahora utilice el problema 76 pa-ra obtener una contradiccin. 0.2 La resolucin de ecuaciones (por ejemplo, 3x 17 = 6 o x2 x 6 = 0) es una de las tareas tradicionales de las matemticas; en este curso ser importante y suponemos queDesigualdadesusted recordar cmo hacerlo. Pero, casi de igual importancia en clculo es la nociny valor absoluto de resolver una desigualdad (por ejemplo, 3x 17 6 6 o x2 x 6 0). Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los nmeros reales que hace que la desigualdad sea verdadera. En contraste con una ecuacin, cuyo conjunto solucin por lo regular consiste en un nmero o quiz en un conjunto finito de nmeros, el conjunto solucin de una desigualdad por lo regular es un intervalo completo de nmeros o, en algunos casos, la unin de tales intervalos. Intervalos Varias clases de intervalos surgirn en nuestro trabajo, para los cuales ( ) introducimos una terminologa y notacin especial. La desigualdad a 6 x 6 b, que en2 1 0123 456 7 realidad son dos desigualdades, a6 x y x 6 b, describe un intervalo abierto que consiste(1, 6) = x : 1 < xx6 en todos los nmeros entre a y b, pero que no incluye los puntos extremos a y b. Lo de- notamos por medio del smbolo (a, b) (vase la figura 1). En contraste, la desigualdad aFigura 1 x b describe el correspondiente intervalo cerrado, que incluye los extremos a y b. 26. Seccin 0.2 Desigualdades y valor absoluto 9Se denota como [a, b] (vase la figura 2). La tabla indica la amplia variedad de posibi-2 1 [0 1 2 3 4]5 6 7 lidades e introduce nuestra notacin.[1, 5] x 1 x 5Figura 2 Notacin de conjuntos Notacin de intervalosGrfica {x : a 6 x 6 b} (a, b)xx : < < ba, b( ) a b {x : a x b} [a, b]x : ba, b[ ] a b {x : a x 6 b} [a, b)x : < ba, b[ ) a b {x : a 6 x b} (a,x :b] < b a, b( ] a b {x : x b}q (- x : , b] b x , b ] b {x : x 6 b} q b) ( - x : ,x < b, b ) b {x : x a} [a, q ) a x :a, [ a {x : x 7 a}q (a,x : )x > a a, ( a (- q , R )q, Resolucin de desigualdades Como con las ecuaciones, el procedimiento pararesolver una desigualdad consiste en transformar la desigualdad un paso a la vez hastaque el conjunto solucin sea obvio. Podemos realizar ciertas operaciones en ambos la-dos de una desigualdad sin cambiar su conjunto solucin. En particular: 1. Podemos sumar el mismo nmero a ambos lados de una desigualdad. 2. Podemos multiplicar ambos lados de una desigualdad por el mismo nmero positi-vo. 3. Podemos multiplicar ambos lados de una desigualdad por el mismo nmero nega-tivo, pero entonces debemos invertir el sentido del signo de la desigualdad. EJEMPLO 1Resuelva la desigualdad 2x - 7 6 4x - 2 y muestre la grfica de su con-junto solucin.SOLUCIN 2x - 7 6 4x - 23 ( 2 10 1 2 3 2x 6 4x + 5 (sume 7) -2x 6 5 (sume -4x) (52,= x:x>52 x 7-5 2(multiplique por - 2 ) 1Figura 3La grfica aparece en la figura 3. EJEMPLO 2Resuelva -5 2x + 6 6 4.SOLUCIN - 5 2x + 6 6 4[4) - 11 2x 6 -27 6 53210 1(sume -6) = x:112x 1- 11 x 6 -1(multiplique por 1 ) 2 2Figura 4La figura 4 muestra la grfica correspondiente. 27. 10 Captulo 0 PreliminaresAntes de abordar una desigualdad cuadrtica hacemos notar que un factor lineal de la forma x a es positivo para x 7 a y negativo para x 6 a. Se deduce que un produc- to (x a)(x b) puede cambiar de positivo a negativo, y viceversa, slo en a o b. Estos puntos, en donde el factor es cero, se denominan puntos de separacin. Estos puntos son la clave para determinar los conjuntos solucin de desigualdades cuadrticas y otras desigualdades ms complicadas. EJEMPLO 3Resuelva la desigualdad cuadrtica x2 x 6 6. SOLUCIN Como con las ecuaciones cuadrticas, pasamos todos los trminos distintos de cero a un lado y factorizamos.Punto de Signo de Signo dex2 - x 6 6prueba 1x - 32 1x + 22 1x - 321x + 22 x2 - x - 6 6 0 (sume - 6 )1x - 321x + 22 6 0-3 - - + 0 - + -( factorice) 5 + + + Vemos que 2 y 3 son los puntos de separacin; dividen la recta real en tres intervalos (-q, -2), (-2, 3) y (3, q). En cada uno de estos intervalos (x - 3)(x + 2) conser- va el signo; esto es, ah siempre es positivo o siempre negativo. Para determinar este signo en cada intervalo, utilizamos los puntos de prueba -3, 0 y 5 (cualesquiera otros Puntos de separacin puntos en estos intervalos sirven). Nuestros resultados se muestran en la tabla al ++ margen.La informacin que hemos obtenido se resume en la parte superior de la figura 5. 23 Concluimos que el conjunto solucin para (x - 3)(x + 2) 6 0 es el intervalo (-2, 3). Su grfica se muestra en la parte inferior de la figura 5. 305 EJEMPLO 4 Puntos de pruebaResuelva 3x2 - x - 2 7 0.2 ( ) 3 SOLUCIN Ya que3x2 - x - 2 = 13x + 221x - 12 = 31x - 12 A x +B(2, 3) 23Figura 5 los puntos de separacin son -2 3 y 1. Estos puntos, junto con los puntos de prueba -2, 0 y 2, establecen la informacin que se muestra en la parte superior de la figura 6. Con- cluimos que el conjunto solucin de la desigualdad consiste en los puntos que se en- +0 0 + cuentran en A - q , - 2 B o en (1, q). En el lenguaje de conjuntos es la unin (simbolizada con ) de estos dos intervalos; esto es, esA - q , - 2 B 11, q 2. 321 3 3)( x - 1 210 1 2 EJEMPLO 5Resuelva x + 2 0. ( , 3 (1, )SOLUCIN Nuestra inclinacin a multiplicar ambos lados por x + 2 conduce a unFigura 6 dilema inmediato, dado que x + 2 puede ser positivo o negativo. Debemos invertir el signo de la desigualdad o dejarlo como est? En lugar de tratar de desenredar este problema (que requerira dividirlo en dos casos), observamos que el cociente (x - 1)>(x + 2) puede cambiar de signo en los puntos de separacin del numerador y del denomina- + n0 + dor, esto es, en 1 y -2. Los puntos de prueba -3, 0 y 2 proporcionan la informacin de2 1 la parte superior de la figura 7. El smbolo n indica que el cociente no est definido en -2. Concluimos que el conjunto solucin es (-q, -2) [1, q). Observe que -2 no per-)[ tenece al conjunto solucin ya que ah el cociente est indefinido. Por otra parte, 1 est2 1 incluido ya que la desigualdad se cumple cuando x = 1. ( , 2) [1, )Figura 7 EJEMPLO 6Resuelva (x + 1)(x - 1)2(x - 3) 0. SOLUCIN Los puntos de separacin son -1, 1 y 3, los cuales dividen la recta real +00 0 + en cuatro intervalos, como se muestra en la figura 8. Despus de probar todos estos intervalos, concluimos que el conjunto solucin es [-1, 1] [1, 3] que es el intervalo[] [-1, 3]. 1 13[1, 3] 1Figura 8 EJEMPLO 7Resuelva 2.9 6x6 3.1. 28. Seccin 0.2 Desigualdades y valor absoluto 11 SOLUCIN Es tentador multiplicar por x, pero esto nuevamente lleva al dilema de 1 que x puede ser positiva o negativa. Sin embargo, en este caso, debe estar entre 2.9 y x 3.1, lo cual garantiza que x es positivo. Por lo tanto, es vlido multiplicar por x y no invertir las desigualdades. As,2.9x 6 1 6 3.1x En este punto debemos dividir esta desigualdad compuesta en dos desigualdades, que resolvemos de manera separada2.9x 6 1y1 6 3.1x 11x 6 y6 x2.93.1 Cualquier valor de x que satisfaga la desigualdad original debe satisfacer ambas desigualdades. Por lo tanto, el conjunto solucin consiste en aquellos valores de x que satisfacen 1 16 x 63.1 2.910 1031 29 Esta desigualdad puede escribirse como10 100.32 0.33 0.34 0.356 x 631 29( , 10 ) El intervalo A 31, 29 B se muestra en la figura 9.31 2910 10 Figura 9 Valores absolutos El concepto de valor absoluto es extremadamente til en clculo, y el lector debe adquirir habilidad para trabajar con l. El valor absoluto de un nmero real x, denotado por x est definido como 4 = 4 4=4 x = xsi x 0 x = -x si x 6 04 0 4 Por ejemplo, 6 = 6, | 0 | = 0 y | -5 | = -(-5) = 5. Esta definicin dada en dos partes mere- 3 ( 2) 2 =5 ce un estudio cuidadoso. Observe que no dice que | -x | = x (para ver por qu, pruebe con -5). Es cierto que |x| siempre es no negativo; tambin es verdadero que | -x | = | x |.4 3 2 10 1 2 3 4 Una de las mejores formas de pensar en el valor absoluto de un nmero es como una distancia no dirigida. En particular, | x | es la distancia entre x y el origen. De mane-xa ax ra anloga, | x - a | es la distancia entre x y a (vase la figura 10). a x PropiedadesEl valor absoluto se comporta de manera adecuada con la multiplica-Figura 10cin y la divisin, pero no as con la suma y la resta. Propiedades del valor absoluto a2. ` ` = a1. ab = a b b b3. a + b a + b (desigualdad del tringulo)4. a - b a - b 54( 3 21 0 1 2 ) 3 4 Desigualdades que incluyen valores absolutos Si | x | 6 3, entonces la distancia entre x y el origen debe ser menor que 3. En otras palabras, x debe ser simultneamente x3 menor que 3 y mayor que -3; esto es, -3 6 x 6 3. Por otra parte, si | x | 7 3, entonces la distancia entre x y el origen debe ser mayor que 3. Esto puede suceder cuando x 7 3 o x 6 -3 (vase la figura 11). stos son casos especiales de las siguientes proposiciones 54)3 3 21 01 2 ( 3 4 generales que se cumplen cuando a 7 0.x3(1) x 6 a 3 -a 6 x 6 aFigura 11 x 7 a 3 x 6 -a o x 7 a 29. 12 Captulo 0 PreliminaresPodemos utilizar estos hechos para resolver desigualdades que impliquen valoresabsolutos, ya que proporcionan una manera de quitar los signos de valor absoluto. EJEMPLO 8 Resuelva la desigualdad | x - 4 | 6 2 y muestre el conjunto solucinen la recta real. Interprete el valor absoluto como una distancia.SOLUCIN Con base en las proposiciones en (1), sustituyendo x por x - 4, vemos que x - 4 6 2 3 -2 6 x - 4 6 2Cuando sumamos 4 a los tres miembros de esta ltima desigualdad, obtenemos 2 6 x 6 6. 0 1 ( 2 34 5)6 7La grfica se muestra en la figura 12. En trminos de distancia, el smbolo | x - 4 | representa la distancia entre x y 4. Por x4 2lo tanto, la desigualdad dice que la distancia entre x y 4 debe ser menor a 2. Los nme-ros x con esta propiedad son los nmeros entre 2 y 6; esto es, 2 6 x 6 6. Figura 12Las proposiciones (1) dadas antes del ejemplo 8 son vlidas cuando 6 y 7 sonreemplazadas por y , respectivamente. Necesitamos la segunda proposicin en estaforma para nuestro ejemplo siguiente. EJEMPLO 9Resuelva la desigualdad | 3x - 5 | 1 y muestre su conjunto solu-cin en la recta real.SOLUCIN La desigualdad dada puede escribirse de manera sucesiva como 3x - 5 - 1 o3x - 5 1 3x 4 o3x 6 4x 3ox 2El conjunto solucin es la unin de dos intervalos, A - q , 4 D [2, q 2, y se muestra en3la figura 13.1 0 1 ][23 4 5 6 En el captulo 1 necesitaremos hacer la clase de manipulaciones que se ilustran en ( , 4 3 2, ) los dos ejemplos siguientes. Delta (d) y psilon (e) son la cuarta y quinta letras, respec-tivamente, del alfabeto griego y se utilizan de manera tradicional para representar n-Figura 13meros positivos pequeos. EJEMPLO 10Sea e (psilon) un nmero positivo. Demuestre que e x - 2 6 3 5x - 10 6 e 5En trminos de distancia, esto dice que la distancia entre x y 2 es menor que e>5, si y s-lo si la distancia entre 5x y 10 es menor que e.SOLUCIN ex - 2 6 35x - 26 e (multiplique por 5) 53 5 1x - 22 6 e 1 5 = 523 51x - 22 6 e 1 a b = ab 23 5x - 10 6 e Determinacin de delta EJEMPLO 11 Sea e un nmero positivo. Encuentre un nmero positivo d (delta) Observe dos hechos acerca de nues- tal que tra solucin para el ejemplo 11. x - 3 6 d Q 6x - 18 6 e1. El nmero que encontramos para d debe depender de e. nuestraSOLUCIN eleccin es d = e/6. 6x - 18 6 e 3 61x - 32 6 e 1 ab = a b 22. Cualquier nmero positivo d ms pequeo que e/6 es aceptable. Por 36x - 3 6 e ejemplo d = e/7 o d = e/(2p) son amultiplique porbe1 otras opciones correctas. 3 x - 3 666 30. Seccin 0.2 Desigualdades y valor absoluto 13 Por lo tanto, elegimos d = e>6. Siguiendo las implicaciones de regreso, vemos queex - 3 6 d Q x - 3 6 Q 6x - 18 6 e L ITRO0. 50.56 0. 4 0.4 A continuacin se presenta un problema prctico que utiliza el mismo tipo de ra- zonamiento. h 0. 3 0.3 0. 2 0.2 EJEMPLO 121Un vaso de precipitados de 2 litro (500 centmetros cbicos) tiene un radio interno de 4 centmetros. Con qu exactitud debemos medir la altura h del 0. 1 0.1 agua en el vaso para asegurar que tenemos 1 litro de agua con un error de menos de 2 1%, esto es, un error de menos de 5 centmetros cbicos? Vase la figura 14.Figura 14SOLUCIN El volumen V de agua en el vaso est dado por la frmula V = 16ph. Queremos que | V - 500 | 6 5 o, de manera equivalente, | 16ph - 500 | 6 5. Ahora 16ph - 500 6 5 3 ` 16pa h -b` 6 550016p 16p ` h - ` 6 5 500 3 16p`h - ` 6 Notacin para las races cuadradas5005 3 16p 16p Todo nmero positivo tiene dos races cuadradas. Por ejemplo, las dos 3 h - 9.947 6 0.09947 L 0.1 races cuadradas de 9 son 3 y -3. En ocasiones, representamos estos As, debemos medir la altura con una precisin de alrededor de 1 milmetro. dos nmeros como ;3. Para a 0, el smbolo 1a, que se denomina razFrmula cuadrtica La mayora de los estudiantes recordarn la Frmula cua- cuadrada principal de a, denota ladrtica. Las soluciones a la ecuacin cuadrtica ax2 + bx + c = 0 estn dadas por raz cuadrada no negativa de a. Por lo tanto, 29 = 3 y 2121 = 11. Es- b ; 2b2 - 4ac incorrecto escribir 216 = ; 4 ya x = que 216 significa la raz cuadrada2a no negativa de 16; esto es, 4. El n- mero 7 tiene dos races cuadradas,El nmero d = b2 - 4ac se llama discriminante de la ecuacin cuadrtica. Esta ecuacin que se escriben como ; 27, pero tiene dos soluciones reales si d 7 0, una solucin real si d = 0 y soluciones no reales 27 representa un solo nmero real.si d 6 0. Con la frmula cuadrtica, fcilmente podemos resolver desigualdades cuadrti- Recuerde esto:cas, incluso, si no se pueden factorizar por inspeccin.a2 = 16 tiene dos soluciones, a = -4 y a = 4, EJEMPLO 13Resuelva x 2 - 2x - 4 0. peroSOLUCIN Las dos soluciones de x2 - 2x - 4 = 0 son216 = 4 - 1 - 22 - 24 + 16x1 = = 1 - 25 L - 1.242 y - 1 - 22 + 24 + 16x2 == 1 + 25 L 3.24 2 As,x2 - 2x - 4 = 1x - x121x - x22 = A x - 1 + 25 B A x - 1 - 25 B Los puntos de separacin 1 - 25 y 1 + 25 dividen a la recta real en tres intervalos+ 0 0+ (vase la figura 15). Cuando los comprobamos con los puntos de prueba -2, 0 y 4, con-1 = 51+ = 5 cluimos que el conjunto solucin para x2 - 2x - 4 0 es C 1 - 25, 1 + 25 D . Cuadrados Regresando a los cuadrados, notemos que[ ] 2 1 01 2 34 5 x 2 = x2 y x = 2x2Figura 15 31. 14 Captulo 0 Preliminares Notacin para racesEsto se deduce de la propiedad | a || b | = | ab |.La operacin de elevar al cuadrado preserva las desigualdades? En general, laSi n es nmero par y a 0, el sm-respuesta es no. Por ejemplo, -3 6 2, pero (-3)2 7 22. Por otra parte, 2 6 3 y 22 6 32. Sin bolo 1 a denota la raz n-sima notratamos con nmeros no negativos, entonces a 6 b 3 a2 6 b2. Una variante til de es- negativa de a. Cuando n es impar, to (vase el problema 63) es slo existe una raz n-sima real den a, denotada por el smbolo 1 a. Por x 6 y 3 x2 6 y2 lo tanto, 216 = 2, 2 27 = 3, y 43 2 -8 = - 2.3 EJEMPLO 14 Resuelva la desigualdad | 3x + 1 | 6 2 | x - 6 |. SOLUCIN Esta desigualdad es ms difcil de resolver que nuestros ejemplos anteriores, debido a que hay dos signos de valor absoluto. Podemos eliminar ambos al usar el resultado del ltimo recuadro. 3x + 1 6 2 x - 6 3 3x + 1 6 2x - 12 313x + 122 6 12x - 1222 3 9x2 + 6x + 1 6 4x2 - 48x + 144 3 5x + 54x - 143 6 0 2 3 1x + 13215x - 112 6 0 Los puntos de separacin para esta desigualdad cuadrtica son -13 y 11 ; estos puntos dividen la recta real en tres intervalos 1 - q , - 132, A - 13, 11 B , y A 11 , q B . Cuando utili-5 zamos los puntos de prueba -14, 0 y 3, descubrimos que slo los puntos en A - 13, 11 B 5 5 5 satisfacen la desigualdad.Revisin de conceptos 1. El conjunto {x: -1 x 6 5} se escribe en notacin de interva- 3. Cules de las ecuaciones siguientes siempre son verdaderas?los como ________ y el conjunto {x: x -2} se escribe como ________.(a) - x = x (b) x 2 = x2 (c) xy = x y (d) 2x2 = x2. Si a>b 6 0, entonces a 6 0 y ________ o bien a 7 0 y ________.4. La desigualdad | x - 2 | 3 es equivalente a ________ x ________.Conjunto de problemas 0.21. Muestre cada uno de los intervalos siguientes en la recta real. En cada problema del 3 al 26 exprese el conjunto solucin de la desi-(a) [-1, 1](b) 1-4, 1] gualdad dada en notacin de intervalos y bosqueje su grfica.(c) 1 -4, 12 (d) [1, 4] 3. x - 7 6 2x - 54. 3x - 5 6 4x - 6(e) [-1, q 2 (f) 1 - q , 0] 5. 7x - 2 9x + 3 6. 5x - 3 7 6x - 4 2. Utilice la notacin del problema 1 para describir los interva-7. -4 6 3x + 2 6 5 8. -3 6 4x - 9 6 11los siguientes.(a) 9. - 3 6 1 - 6x 4 10. 4 6 5 - 3x 6 7 ( ) 11. x 2 + 2x - 12 6 012. x 2 - 5x - 6 7 0 1 2 34567 8(b)13. 2x 2 + 5x - 3 7 014. 4x 2 - 5x - 6 6 0[) x + 43x - 2 32101234515. 016. 0 x - 3x - 1(c) ] 17. 2 6 518. 7 7765 4 3 2 1 0 x4x(d)[ ]19. 1 4 20.37 23210123 4 3x - 2 x + 5 32. Seccin 0.2 Desigualdades y valor absoluto15 21. 1x + 221x - 121x - 32 7 0 51. x - 2 6eQ 6x - 12 6 e 22. 12x + 3213x - 121x - 22 6 06 12x - 321x - 1221x - 32 0e 23. 52. x + 4 6 Q 2x + 8 6 e 12x - 321x - 1221x - 32 7 02 24. 25. x3 - 5x2 - 6x 6 0 26. x 3 - x 2 - x + 1 7 0 En los problemas del 53 al 56 determine d (dependiente de e) de modo que la implicacin dada sea verdadera. 27. Indique si cada una de las proposiciones siguientes es verda-dera o falsa.53. x - 5 6 d Q 3x - 15 6 e 22(a) -3 6 - 7(b) -1 7 - 17 (c) -3 6 - 54. x - 2 6 d Q 4x - 8 6 e 7 28. Indique si cada una de las proposiciones siguientes es verda- 55. x + 6 6 d Q 6x + 36 6 edera o falsa. 56. x + 5 6 d Q 5x + 25 6 e6 345 44(a) - 5 7 - 226 (b) 6 (c) - 6 -7 397 59 57. En un torno, usted desea fabricar un disco (cilindro circular 29. Suponga que a 7 0, b 7 0. Demuestre cada proposicin. Suge- recto delgado) con circunferencia de 10 pulgadas. Esto se realiza mi-rencia: cada parte requiere de dos demostraciones: una para Q y otra diendo de manera continua el dimetro conforme se hace el discopara P . ms pequeo. Qu tan exacto debe medir el dimetro si puede tole-1 1rar un error de, a lo sumo, 0.02 pulgadas en la circunferencia?(a) a 6 b 3 a 2 6 b2(b) a 6 b 3 7a b58. Las temperaturas Fahrenheit y las temperaturas Celsius estn relacionadas por la frmula C = 91F - 322. Un experimento 5 30. Si a b, cules de las proposiciones siguientes son verdaderas?(a) a 2 ab(b) a - 3 b - 3requiere mantener una solucin a 50C con un error de 3% (o 1.5), a lo sumo. Usted slo tiene un termmetro Fahrenheit. Qu error se(c) a3 a 2b (d) -a - b le permite en el experimento? 31. Encuentre todos los valores de x que satisfagan, de manerasimultnea, ambas desigualdades. En los problemas del 59 al 62 resuelva las desigualdades.(a) 3x + 7 7 1 y 2x + 1 6 359. x - 1 6 2 x - 3 60. 2x - 1 x + 1 (b) 3x + 7 7 1 y 2x + 1 7 - 4 61. 2 2x - 3 6 x + 10 62. 3x - 1 6 2 x + 6 (c) 3x + 7 7 1 y 2x + 1 6 - 463. Demuestre que x 6 y 3 x2 6 y 2 dando una razn para32. Encuentre todos los valores de x que satisfacen al menos una cada uno de los siguientes pasos.de las dos desigualdades.(a) 2x - 7 7 1 o bien 2x + 1 6 3 x 6 y Q x x x y yx y 6 y y(b) 2x - 7 1 o bien 2x + 1 6 3 Q x2 6 y2(c) 2x - 7 1 o bien 2x + 1 7 3 Q x2 6 y2 33. Resuelva para x, exprese su respuesta en notacin de inter-valos. Recprocamente,(a) 1x + 121x 2 + 2x - 72 x 2 - 1 x2 6 y2 Q x 2 6 y 2(b) x 4 - 2x 2 8Q x2 - y2 6 0(c) 1x 2 + 122 - 71x 2 + 12 + 10 6 0Q 1 x - y 21 x + y 2 6 034. Resuelva cada desigualdad. Exprese su solucin en notacinde intervalos.Q x - y 6 0 11 Q x 6 y(a) 1.99 6 6 2.01 (b) 2.99 66 3.01 xx + 2 64. Utilice el resultado del problema 63 para demostrar queEn los problemas del 35 al 44 determine los conjuntos solucin de las0 6 a 6 b Q 1a 6 1bdesigualdades dadas.65. Utilice las propiedades del valor absoluto para demostrar 35. x - 2 5 36. x + 2 6 1 que cada una de las siguientes proposiciones son verdaderas. 37. 4x + 5 10 38. 2x - 1 7 2 (a) a - b a + b (b) a - b a - b 39. `- 5` 7 40. ` + 1` 6 1 2xx74 (c) a + b + c a + b + c 41. 5x - 6 7 142. 2x - 7 7 366. Utilice la desigualdad del tringulo y el hecho de que 0 6 | a | 6 | b | Q 1>| b | 6 1>| a |, para establecer la siguiente cadena de desi- 43. ` - 3 ` 7 6 44. ` 2 + ` 7 1 1 5 gualdades. x x `` 2 1 11 1 11En los problemas del 45 al 48 resuelva la desigualdad cuadrtica por-+ +medio de la frmula cuadrtica.x2 + 3 x + 2x + 3 x + 232 45. x 2 - 3x - 4 046. x 2 - 4x + 4 067. Demuestre que (vase el problema 66) 47. 3x + 17x - 6 7 0 2 48. 14x2 + 11x - 15 0x - 2 x + 2`` En los problemas 49 al 52 muestre que la implicacin indicada es ver- x2 + 9 9dadera.68. Demuestre que 49. x - 3 6 0.5 Q 5x - 15 6 2.5 x2 + 2x + 7 x 2 Q ` ` 15 50. x + 2 6 0.3 Q 4x + 8 6 1.2x2 + 1 33. 16 Captulo 0 Preliminares 69. Demuestre questa es la versin ms sencilla de una famosa desigualdad llamadadesigualdad de la media geomtrica - media aritmtica. x 1 Q x4 + 1 x3 + 1 x2 + 1 x + 248 116 6275. Demuestre que, entre todos los rectngulos con un per- 70. Demuestre cada una de las siguientes proposiciones:metro dado p, el cuadrado tiene la mayor rea. Sugerencia: si a y b(a) x 6 x2 para x 6 0 o x 7 1 denotan las longitudes de los lados adyacentes de un rectngulo depermetro p, entonces el rea es ab, y para el cuadrado el rea es a2 =(b) x2 6 x para 0 6 x 6 1[(a + b)>2]2. Ahora vea el problema 74. 71. Demuestre que a Z 0 Q a 2 + 1/a 2 2. Sugerencia: consi- 76. Resuelva 1 + x + x 2 + x 3 + + x 99 0.dere (a - 1>a)2. 1 11172. El nmero 21a + b2 se le llama promedio, o media aritmti- =++ 1 77. La frmula proporciona la resistencia R R1 R2 R3ca, de a y b. Demuestre que la media aritmtica de dos nmeros est total R en un circuito elctrico debida a tres resistencias, R1, R2 y R3,entre los dos nmeros; es decir, pruebe queconectadas en paralelo. Si 10 R1 20, 20 R2 30 y 30 R3 40,a + b a 6 b Q a 66 b determine el rango de valores de R.2 78. El radio de una esfera mide aproximadamente 10 pulgadas.73. El nmero 1ab se denomina media geomtrica de los dosDetermine una tolerancia d en la medicin que asegure un error me-nmeros positivos a y b. Pruebe quenor que 0.01 pulgadas cuadradas en el valor calculado del rea de la 0 6 a 6 b Q a 6 1ab 6 bsuperficie de la esfera.Respuestas a la revisin de conceptos. 1. [ -1, 52; 1 - q , -2] 74. Para dos nmeros positivos a y b, pruebe que1ab 11a + b222. b 7 0; b 6 0 3. (b) and (c) 4. - 1 x 50.3En el plano, produzca dos copias de la recta real, una horizontal y la otra vertical, de modo que se intersecten en los puntos cero de las dos rectas. Las dos rectas se deno- El sistema de minan ejes coordenados, su interseccin se etiqueta con O y se denomina origen. Porcoordenadasconvencin, la recta horizontal se llama eje x y la recta vertical se llama eje y. La mitad rectangulares positiva del eje x es hacia la derecha, la mitad positiva del eje y es hacia arriba. Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, que llevan las marcas I, II, III y IV, como se muestra en la figura 1. Ahora, cada punto P en el plano puede asignarse a una pareja de nmeros, llamados y coordenadas cartesianas. Si una lnea vertical y otra horizontal que pasan por P intersec- 3 tan los ejes x y y en a y b, respectivamente, entonces P tiene coordenadas (a, b) (vase 2 la figura 2). Llamamos a (a, b) un par ordenado de nmeros debido a que es importan- II Ite saber cul nmero est primero. El primer nmero, a, es la coordenada x (o abscisa); 1 el segundo nmero, b, es la coordenada y (u ordenada). 032 112 3 x1 La frmula de la distancia Con coordenadas a la mano, podemos introducir III2 IVuna frmula sencilla para la distancia entre cualesquiera dos puntos en el plano. Tiene como base el Teorema de Pitgoras, el cual dice que si a y b son las medidas de los dos3 catetos de un tringulo rectngulo y c es la medida de su hipotenusa (vase la figura 3),Figura 1 entonces y a 2 + b2 = c 2 b(a, b) 2 1 Recprocamente, la relacin entre los tres lados de un tringulo se cumple slo para un tringulo rectngulo.x Ahora considrese cualesquiera dos puntos P y Q, con coordenadas (x1, y1) y (x2, 3 21 12 3 a 1y2), respectivamente. Junto con R, el punto de coordenadas (x2, y1), P y Q son los vrti- 2 ces de un tringulo rectngulo (vase la figura 4). Las longitudes de PR y RQ son | x2 - x1 | y | y2 - y1 |, respectivamente. Cuando aplicamos el Teorema de Pitgoras y tomamos la raz cuadrada principal de ambos lados, obtenemos la expresin siguiente para laFigura 2 frmula de la distancia d1P, Q2 = 21x2 - x122 + 1y2 - y122 34. Seccin 0.3 El sistema de coordenadas rectangulares17 EJEMPLO 1Encuentre la distancia entreb(a) P1 -2, 32 y Q14, - 12 (b) P A 22, 23 B y Q1p, p2a2 b2 c2 cSOLUCIN a(a) d1P, Q2 = 214 - 1 -2222 + 1 - 1 - 322 = 236 + 16 = 252 L 7.21Figura 3(b) d1P, Q2 = 3 A p - 22 B 2 + A p - 23 B 2 L 24.971 L 2.23 La frmula es vlida incluso si los dos puntos pertenecen a la misma recta horizon- y Q(x2, y2)tal o a la misma recta vertical. As, la distancia entre P(-2, 2) y Q(6, 2) es216 - (- 2)22 + 12 - 222 = 264 = 8 y2 y1La ecuacin de una circunferencia Es un paso pequeo ir de la frmula de la x2x1 distancia a la ecuacin de una circunferencia. Una circunferencia es el conjunto deP(x1,1 )R( 2, y1) puntos que estn a una distancia fija (el radio) de un punto fijo (el centro). Por ejemplo,considere la circunferencia de radio 3 con centro en (-1, 2) (vase la figura 5). Sea (x,x y) un punto cualquiera de esta circunferencia. Por medio de la frmula de la distancia,Figura 421x + 122 + 1y - 222 = 3Cuando elevamos al cuadrado ambos lados obtenemos y 1x + 122 + 1y - 222 = 9(x, y) 4 3 3que llamamos la ecuacin de esta circunferencia. 2 (1, 2)En forma ms general, la circunferencia de radio r y centro (h, k) tiene la ecuacin 14 3 2 11 2x(1) 1x - h22 + 1y - k22 = r2Figura 5A esto le llamamos ecuacin estndar de una circunferencia. EJEMPLO 2 Determine la ecuacin estndar de una circunferencia de radio 5 ycentro en (1, -5). Tambin, encuentre las ordenadas de los dos puntos en esta circunfe-rencia con abscisa 2.SOLUCIN La ecuacin buscada es1x - 122 + 1y + 522 = 25Para realizar la segunda tarea, sustituimos x = 2 en la ecuacin y despejamos la y.Circunferencia 4 Ecuacin12 - 122 + 1y + 522 = 25 Decir que 1x + 122 + 1y - 222 = 9 1y + 522 = 24 es la ecuacin de la circunferenciay + 5 = ; 224 de radio 3 con centro (-1, 2) significa dos cosas:y = - 5 ; 224 = - 5 ; 2 261. Si un punto est en esta circunferencia, entonces sus coordenadas Si desarrollamos los dos cuadrados en el recuadro (1) y reducimos las constantes, (x, y) satisfacen la ecuacin. entonces la ecuacin adquiere la forma2. Si x y y son nmeros que satisfacen la ecuacin, entonces son lasx2 + ax + y2 + by = c coordenadas de un punto en laEsto sugiere la pregunta de si toda ecuacin de la ltima forma es la ecuacin de una circunferencia.circunferencia. La respuesta es s, con algunas excepciones obvias. 35. 18 Captulo 0 Preliminares EJEMPLO 3Demuestre que la ecuacinx2 - 2x + y2 + 6y = - 6 representa una circunferencia, y determine su centro y su radio. SOLUCIN Necesitamos completar el cuadrado, un importante proceso en muchos contextos. Para completar el cuadrado de x2 ; bx, sumamos (b>2)2. As, sumamos (-2>2)2 = 1 a x2 - 2x y (6>2)2 = 9 a y2 + 6y, y por supuesto debemos aadir los mismos n- meros al lado derecho de la ecuacin, para obtenerx2 - 2x + 1 + y2 + 6y + 9 = - 6 + 1 + 91x - 122 + 1y + 322 = 4 La ltima ecuacin est en la forma estndar. Es la ecuacin de una circunferencia con centro en (1, -3) y radio 2. Si, como resultado de este proceso, obtuvisemos un nmero negativo en el lado derecho de la ecuacin final, la ecuacin no representara curva alguna. Si obtuvisemos cero, la ecuacin representara un solo punto (1, -3). y La frmula del punto medio Considere dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) con Q(x2, y2)y2 x1 x2 y y1 y2, como en la figura 6. La distancia entre x1 y x2 es x2 - x1. Cuando le sumamos la mitad de esta distancia, 21x2 - x12, a x1, obtenemos el punto medio entre11 (y M + y2) x1 y x2.2 P(x , y1)y1 x1 + x21x2 - x12 = x1 + x2 - x1 = x1 + x2 =1 1111 x1 +2 22222 x11( x2 x Por lo tanto, el punto (x1 + x2)>2 es el punto medio entre x1 y x2 sobre el eje x y, en con- + x2) 2 1 secuencia, el punto medio M del segmento PQ tiene a (x1 + x2)>2 como su coordenada x. De manera anloga, podemos mostrar que (y1 + y2)>2 es la coordenada y de M. As,Figura 6 tenemos la frmula del punto medioEl punto medio del segmento de recta que une P(x1, y1) y Q(x2, y2) esx1 + x2 y1 + y2a,b 2 2 EJEMPLO 4 Determine la ecuacin de la circunferencia que tiene como un dimetro el segmento que va de (1, 3) a (7, 11). SOLUCIN El centro de la circunferencia est en el punto medio del dimetro; por lo tanto, el centro tiene coordenadas (1 + 7)>2 = 4 y (3 + 11)>2 = 7. La longitud del dimetro, obtenida por medio de la frmula de distancia, es217 - 122 + 111 - 322 = 236 + 64 = 10 de modo que el radio de la circunferencia es 5. La ecuacin de la circunferencia es1x - 422 + 1y - 722 = 25 Rectas Considere la recta de la figura 7. Del punto A al punto B existe una elevacin (cambio vertical) de 2 unidades y un avance (cambio horizontal) de 5 unidades. Deci- mos que la recta tiene una pendiente de 2>5. En general (vase la figura 8), para una recta que pasa por A(x1, y1) y B(x2, y2), en donde x1 Z x2, definimos la pendiente m de esa recta comoelevacin y2 - y1m = = avance x2 - x1 36. Seccin 0.3 El sistema de coordenadas rectangulares19yB(x2,2)y5yB(x2, y ) 2B(8, 4) B( 2, y )43 y2 y1A(3, 2)A(x , y )2 A(x1 y1)11x2 x1 A(x1, y1)123 45 67 8xx xFigura 7Figura 8 Figura 9El valor que obtuvimos para la pendiente depende de la pareja de puntos que uti-licemos para A y B? Los tringulos semejantes en la figura 9 nos muestran que y2 - y1 y2 - y1 = x2 - x1 x2 - x1As, los puntos A y B daran lo mismo que A y B. Incluso, no importa si A est a la iz-quierda o a la derecha de B, ya que y1 - y2 y2 - y1 = x1 - x2 x2 - x1Todo lo que importa es que restemos las coordenadas en el mismo orden en el nume-rador y el denominador. La pendiente m es una medida de la inclinacin de una recta, como se ilustra en laGrado (nivel) e inclinacin figura 10. Observe que una recta horizontal tiene pendiente cero, una recta que se eleva El smbolo internacional para la hacia la derecha tiene pendiente positiva y una recta que desciende a la derecha tiene pendiente de un camino (llamadopendiente negativa. Mientras mayor sea el valor absoluto de la pendiente, ms inclina- grado) se muestra abajo. El gradoda ser la recta. El concepto de pendiente de una recta vertical no tiene sentido, ya que est dado como porcentaje. Un gra- implicara la divisin entre cero. Por lo tanto, la pendiente para una recta vertical se deja do de 10% corresponde a una pen- indefinida. diente de 0.10. y 71 71 m=4 2= 3 m 0 2= 3 (0, 7) 7 (4, 7)10% 4 1 3 6m=4 2= 2 Los carpinteros utilizan el trmino 5 inclinacin. Una inclinacin de 9:12m 3 1 = 1 92 22 corresponde a una pendiente de 12.4 (4, 4) m= 2 1= 1 4 2 3(2, 1)(2, 3) 9 2 (4, 2)12(6, 1)1 1 m= 6 2 = 0 5 4 320 123 456 7 8910 xy(8, 4)Rectas con pendientes diferentes4(x, y)y2 Figura 10 (3, 2)2 x3La forma punto-pendiente Otra vez, considere la recta de nuestro estudio ini-x cial; se reproduce en la figura 11. Sabemos que esta recta 24 6 8 1. pasa por (3, 2) y2Figura 112. tiene pendiente 5. 37. 20 Captulo 0 Preliminares Tome cualquier otro punto de esta recta, como el que tiene coordenadas (x, y). Si utilizamos este punto y el punto (3, 2) para medir la pendiente, debemos obtener 2 ,5 es decir,y - 2 2=x - 3 5 o, despus de multiplicar por x - 3,y - 2 = 21x - 325 Observe que a esta ltima ecuacin la satisfacen todos los puntos de la recta, incluso (3, 2). Adems, ningn punto que no pertenezca a la recta puede satisfacer esta ecuacin.Lo que acabamos de hacer en un ejemplo lo podemos hacer en general. La recta que pasa por el punto (fijo) (x1, y1) con pendiente m tiene ecuacin y - y1 = m1x - x12 A esta forma le llamamos punto-pendiente de la ecuacin de una recta. Una vez ms considere la recta de nuestro ejemplo. Esa recta pasa por (8, 4), as como por (3, 2). Si utilizamos (8, 4) como (x1, y1), obtenemos la ecuaciny - 4 = 21x - 825 la cual parece muy diferente de y - 2 = 51x - 32. Sin embargo, ambas pueden sim-2 plificarse a 5y - 2x = 4; son equivalentes. EJEMPLO 5Determine una ecuacin de la recta que pasa por (-4, 2) y (6, -1). SOLUCIN La pendiente es m = 1 -1 - 22>16 + 42 = - 10. Por lo ta

Cálculo diferencial e integral, 9na edición Purcell & varberg & rigdon

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