Cálculo Diferencial e Integral 2: Derivadas direcionais e ... · Determine a taxa de varia˘c~ao...

Derivadas direcionaisVetor gradiente

Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k

Calculo Diferencial e Integral 2:Derivadas direcionais e o vetor gradiente

Jorge M. V. Capela

Instituto de Quımica - UNESPAraraquara, SP

[email protected]

Araraquara, SP - 2017

Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017



1 Derivadas direcionais

2 Vetor gradiente

3 Plano tangente a uma superfıcie F (x , y , z) = k




Lembrete: derivadas parciais!




Definicao das derivadas parciais

Direcao do vetor ~i = (1, 0) (eixo x)

fx(x0, y0) = limh→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

h

Direcao do vetor ~j = (0, 1) (eixo y)

fy (x0, y0) = limh→0

f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)

h




Derivadas direcionais




Definicao das derivada direcional

Direcao do vetor unitario ~u = (a, b)

D~u(x0, y0) = limh→0

f (x0 + ha, y0 + hb)− f (x0, y0)

h,

se esse limite existir.




Se g(h) = f (x0 + ha, y0 + hb), entao g ′(0) = D~u(x0, y0)

Se x = x0 + ha e y = y0 + hb, entao g(h) = f (x , y) e

g ′(h) = fx(x , y)a + fy (x , y)b

g ′(0) = fx(x0, y0)a + fy (x0, y0)b

D~u(x0, y0) = fx(x0, y0)a + fy (x0, y0)b

Formula para determinar a derivada direcional

D~u(x , y) = fx(x , y)a + fy (x , y)b




Exemplo 1

Se ~u e um vetor unitario que faz um angulo π/6 com o eixo xpositivo e se f (x , y) = x3 − 3xy + 4y2, determine D~uf (1, 2).

Sao dados cos(π/6) =√

3/2 e sen(π/6) = 1/2

Resp.:13− 3

√3

2




Vetor gradiente: ∇f (x , y)

∇f (x , y) = (fx(x , y), fy (x , y)) = fx(x , y)~i + fy (x , y)~j

D~uf (x , y) = ∇f (x , y) · ~u = |∇f (x , y)| cos θ, sendo θ o anguloentre ~u e ∇f (x , y)

O valor maximo de D~uf (x , y) ocorre quando ~u tem a mesmadirecao de ∇f (x , y).




Exemplo 2

Se f (x , y) = xey determine a taxa de variacao no ponto P(2, 0) na

direcao de P a Q

(1

2, 2

). Em que direcao f tem a maxima taxa de

variacao? Qual e a maxima taxa de variacao?

Resp.: D~uf (2, 0) = 1. Direcao do vetor (1, 2) e taxa maxima de√

5




O vetor gradiente e normal as curvas de nıvel

f (x , y) = k ao longo de uma curva ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j

f (x(t), y(t)) = k

fxx′(t) + fyy

′(t) = 0⇔ ∇f (x(t), y(t)) · ~r ′(t) = 0




Mapa topografico de um morro




Gradiente a uma superfıcie F (x , y , z) = k

Superfıcie F (x , y , z) = k contendo um ponto P(x0, y0, z0)

Curva contida na superfıcie passando por P:

~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), sendo ~r(t0) = (x0, y0, z0)

F (x(t), y(t), z(t)) = k

∇F · ~r ′(t) = 0 ou ∇F (x0, y0, z0) · ~r ′(t0) = 0

O gradiente e perpendicular a qualquer curva na superfıcie




Plano tangente a uma superfıcie F (x , y , z) = k




Plano tangente a uma superfıcie F (x , y , z) = k

Seja um plano tangente a superfıcie em P0(x0, y0, z0).

Seja P(x , y , z) um ponto arbitrario do plano tangente, entao

∇F (x0, y0, z0) ·−−→P0P = 0

Equacao do plano

Fx(x0, y0, z0)(x−x0)+Fy (x0, y0, z0)(y−y0)+Fz(x0, y0, z0)(z−z0) = 0

Caso particular: z = f (x , y)

F (x , y , z) = f (x , y)− z = 0




Equacoes da reta normal ao plano tangente

Equacao vetorial

−−→P0P = t∇F (x0, y0, z0), −∞ ≤ t ≤ +∞

Equacoes parametricas:x = x0 + Fx(x0, y0, z0)t

y = y0 + Fy (x0, y0, z0)t

z = z0 + Fz(x0, y0, z0)t

,−∞ ≤ t ≤ +∞




Exemplo 3

Determine as equacoes do plano tan-gente e da reta normal ao elipsoide

x2

4+ y2 +

z2

9= 3

no ponto P0(−2, 1,−3).




Exercıcios

1) Determine a taxa de variacao maxima de f (x , y) = xe−y + 3y noponto (1,0) e a direcao que isso ocorre.

2) Determine a direcao onde f (x , y) = x4y − x2y3 decresce maisrapido no ponto (2,−3)

3) Determine as direcoes em que a derivada direcional de f (x , y) =x2 + senxy no ponto (1, 0) tem valor 1.

4) A temperatura T em uma bola de metal e inversamente propor-cional a distancia do centro da bola, que tomamos como sendo aorigem. A temperatura no ponto (1,2,2) e 120o .(a) Determine a taxa de variacao de T em (1,2,2) em direcao aoponto (2,1,3).(b) Determine a partir do ponto (1,2,2) a direcao de maior cres-cimento da temperatura




Exercıcios

5) Suponha que em uma regiao do espaco o potencial eletrico sejadado por

V (x , y , z) = 5x2 − 3xy + xyz

Determine a taxa de variacao do potencial em (3,3,5) na direcaodo vetor ~v = (1, 1,−1). Em que direcao V varia mais rapidamenteem P? E qual e a taxa maxima de variacao em P?

6) Seja f (x , y) uma funcao de duas variaveisque tenha derivadas par-ciais contınuas e considere os pontos A(1,3), B(3,3), C(1,7) e

D(6,15). A derivada direcional em A na direcao do vetor−→AB

e 3 e a derivada direcional em A na direcao do vetor−→AC e 26.

Determine a derivada direcional em A na direcao do vetor−→AD.




Exercıcios

7) Mostre que a reta normal a esfera x2 + y2 + z2 − r2 passa pelocentro da esfera.

8) Determine a equacao do plano tangente e da reta normal a su-perfıce x2 + 2y2 + 3z2 = 21 no ponto (4,-1,1).


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