FUNCIONES.

3.4.1 Concepto de función.- Es una regla matemática que asigna a cada valor de entrada uno y sólo un valor de salida. El dominio de una función es el conjunto que consiste en todos los valores de entrada posibles. El rango de una función es el conjunto de todos los valores de salida posibles.Notación: ; que se lee: “y” es igual a “f” de “x”.

Cuando decimos que “y” es una función de “x” queremos decir que el valor de la variable “y” depende de “x” y se determina únicamente por el valor de la variable “x”. “x” es la variable de entrada y “y” es la variable de salida. Los papeles respectivos de las dos variables hacen que la variable “x” reciba el nombre de variable independiente y la variable “y” se denomine variable dependiente. De forma alternativa, a menudo nos referimos a la variable “y” como el valor de la función. “f” es el nombre de la función o regla de mapeo (proceso de asignación de valores de salida a los correspondientes valores de entrada).

Ejemplo 18 (pág. 145 Budnick).

Imagine que se le ha contratado como vendedor. Su patrón le indicó que su salario dependerá del número de unidades que venda cada semana. Si suponemos que:y = salario semanal en pesos.x = número de unidades vendidas cada semana

Se puede representar la dependencia definida por su patrón mediante la función:y = f(x) donde “f” es el nombre de la función del salario.Suponga que su patrón le dio la ecuación siguiente para determinar su salario semanal:y = f(x) = 3x + 25

Dado cualquier valor para “x”, la sustitución de este valor en f dará como resultado el valor correspondiente de “y”. Por ejemplo, si deseamos calcular su salario semanal cuando vende 100 unidades, sustituir x = 100 en la función:y = 3(100) + 25= $325

Ejemplo 3 (pág. 146).

El departamento de policía de una ciudad pequeña contempla la compra de un auto patrulla adicional. Los analistas de la policía estiman que el costo de la compra de un automóvil totalmente equipado es de $100 000. También estima un costo operativo promedio de $.40 por kilometro.

a) Determine la función matemática que representa el costo total de la posesión y operación del automóvil en términos de los “x” kilómetros conducidos.

b) ¿Cuáles son los costos totales proyectados si se conduce el automóvil 50 000 kilómetros durante su tiempo de vida?c) ¿Si se conduce 100 000 kilómetros?

Solución:a) CT = .40x + 100 000b) CT = .40(50 000) + 100 000= $120 000c) CT = .40(100 000) + 100 000= $140 000

3.4.2 Función lineal.

1. Concepto.- Una función lineal tiene la forma general (pendiente-intercepcion)

Donde y son constantes 2.- Función lineal que incluye dos variables independientes tiene la forma:

Donde: Donde y son constantes (no cero) y es una constante.

3.- Funciones lineales de Costo.- Los contadores o economistas definen a menudo el costo total en términos de dos componentes: costo variable y costo fijo total. Se deben sumar esos dos componentes para determinar el costo total. El total de costos variables varía con el nivel de entrada (insumos) y se calcula como el producto del costo variable por unidad de salida (producción). En un escenario de producción, el costo variable por unidad se compone por lo general de los costos de materia prima y trabajo.

Ejemplo (pág. 187 Ejemplo 2).- Una empresa que fabrica un solo producto se interesa en determinar la función que expresa el costo total anual “y” como una función del número de unidades fabricadas “x”. Los contadores indican que los gastos fijos cada año son de $50 00. También estiman que los costos de la materia prima para cada unidad producida son de $5.50 y los costos del trabajo por unidad son de $1.5, en el departamento de ensamble, $.75 en el departamento de acabado y $1.25 en el departamento de empaque y distribución.

La función de costo total tendría la forma:y = C(x)= costo variable total + costo fijo total.Los costos variables totales dependen de dos componentes: costos de la materia prima y costos del trabajo. Los costos del trabajo se determinan sumando los costos de trabajo respectivos de los tres departamentos. Se define el costo total por medio de la función:y = costo total de la materia prima + costo total del trabajo + costo fijo total.= costo total de la materia prima + costo del trabajo (departamento de ensamble) + costo del trabajo (cuarto de acabado) + costo del trabajo (departamento de envíos) + costo fijo total.

4.- Funciones lineales del ingreso.

Con frecuencia nos referimos al dinero que fluye hacia una organización ya sea por la venta de productos o por la prestación de un servicio como ingreso. El modo más fundamental de calcular el ingreso total de la venta de un producto o servicio es:Ingreso total = (precio) (cantidad vendida).Una suposición en esta relación es que el precio de venta es el mismo para todas las unidades vendidas.Suponga que una empresa fabrica n productos. Si es igual al número de unidades vendidas del producto “i” y es igual al precio del producto “j”, la función que le permite calcular el ingreso total de la venta de “n” productos es:

5.- Ejemplo de función de ingreso. (pág. 188)Una agencia local de renta de autos trata de competir con algunas empresas nacionales más grandes. La gerencia comprende que a muchos viajeros no les preocupa adornos superficiales como ventanas, tapacubos, radios y calentadores. El señor “H”, propietario de la empresa ha estado reciclando autos usados para que formen parte de su flotilla. “H” también simplifico la estructura de tasa de renta al cobrar una tarifa sencilla de $9.95 por día por el uso de su automóvil. El ingreso total del año es una función lineal del número de días de renta de autos de la agencia, o si R = ingreso anual en pesos “d” = número de días de renta de autos durante el año.R = f(d) = 9.95d

6.- Funciones lineales de utilidad.

La utilidad de una organización es la diferencia entre el ingreso total y el costo total. Expresado en forma de ecuación:Utilidad = Ingreso total – Costo total.Si Ingreso total es: R(x) y Costo total es: C(x), entonces la Utilidad Total sería:P (x) = R (x) – C (x)

7.- Ejemplo de funciones de utilidad. Pág. 189. Una empresa vende un solo producto en $65 por unidad. Los costos variables por unidad son de $20 por materiales y $27.50 por trabajo. Los costos fijos anuales son de $100 000. Elabore la función de la utilidad expresada en términos de “x”, el número de unidades producidas y vendidas. ¿Cuál es la utilidad si las ventas anuales son de 20 000 unidades?

SOLUCIÓN:R(x) = 65xC(x) = 47.50x + 100 000Por lo tanto:P(x) = 65x-(47.5x + 100 000)=65x -47.5x-100000=17.5x – 100 000Si la x= 20 000 la utilidad es:17.5 (20 000) -100 000=$250 000

8.- EJEMPLOS VARIOS.1. Pág. 190 ejemplo 5

PLANEACIÓN DE LA AGRICULTURA.- Una organización agricultora tiene tres granjas diferentes que se utilizaran el año próximo. Cada granja tiene características únicas que la hacen ideal sólo para una cosecha. La tabla “A” indica la cosecha seleccionada para cada granja, el costo anual de la plantación de 1 acre de cosecha, el ingreso esperado derivado de cada acre y los costos fijos asociaos con la operación de cada granja. Además de los costos fijos relacionados con l operación de cada granja, la corporación como un todo tiene costos fijos anuales de $75 000. Determine la función de la Utilidad para la operación de las tres granjas si = número de acres plantados en la granja j, = ingreso por acre en la granja j, = costo por acre en la granja j y =Costo fijo en la granja j.TABLA AGranja Cosecha Costo/acre Ingreso/acre Costo Fijo

1 Frijol de soya $900 $1300 $150 0002 Maíz 1100 1650 175 0003 Papa 750 1200 125 000

SOLUCIÓN:

El ingreso total es:

Los costos totales son la suma de las tres granjas más los costos fijos corporativos:

La utilidad total es una función lineal que se calcula como:

Granja Cosecha Costo/acre Ingreso/acre Costo fijo

1 Frijol de soya $ 900 $1300 $150000

2 Maíz 1100 1650 1750003 Papa 750 1200 125000

1.- Escriba la forma general de una función lineal con cinco variables independientes.

3.- Suponga en el ejemplo 1 (pág. 185) que el vendedor recibe un bono cuando la venta combinada de los os productos es de más de 80 unidades. El bono es de $2.50 por unidad para cada unidad en exceso de las 80. Con este programa de incentivo, la función del salario se debe describir por medio de dos funciones lineales. ¿Cuáles son?(Ejemplo 1: Suponga que el salario de un vendedor depende del número de unidades vendidas cada semana de cada uno de dos productos. Más específicamente suponga que la función del salario:

Donde: y = Salario semanal, = número de unidades vendidas del producto 1 y = número de unidades vendidas del producto 2. Esta función del salario, sugiere un salario semanal base de $25 y comisiones por unidad vendida de $5 y $3 respectivamente, para los productos 1 y 2.)

5.- Un fabricante de microcomputadoras, produce tres modelos distintos. La tabla siguiente resume los precios de venta al mayoreo, el costo del material por unidad y el costo del trabajo por unidad. Los cosos fijos anuales son de $25 millones:

  Microcomputadora

  modelo 1 modelo 2 modelo 3precio de venta al mayoreo/unidad $500 $1000 $1500costo del material/unidad 175 400 750costo el trabajo/unidad 100 150 225

a) Determine la función del ingreso total conjunto de las ventas de los tres modelos diferentes de microcomputadoras.b) Determine la función del costo total anual de la fabricación de los tres modelos.c) Determine la función de la utilidad de la venta de los tres modelos.d) ¿Cuál es la utilidad anual si la empresa vende 20 000, 40 000 y 10 000 unidades, respectivamente, de los tres modelos.

7.- Renta de Automóviles.- Una agencia de renta d automóviles compra autos nuevos cada año para usarlos en la agencia. Los autos nuevos cuestan $15 000. Se usan por 3 años, después de los cuales se venden en $4500. El propietario de la agencia estima que los costos variables de la operación de los autos, aparte de la gasolina, son de .18 por kilómetro. Se rentan los autos a una tarifa sencilla de $.33 por kilómetro (sin incluir la gasolina).

a) Formule la función del ingreso total asociada con la renta de uno de los autos por un total de “x” kilómetros en un periodo de tres años.b) Formule la función de costo total asociada con la renta de un auto por un total de “x” kilómetros en tres años.c) Formule la función de utilidad.d) ¿Cuál es la ganancia si se renta un automóvil por 60 000 kilometros en un periodo de tres años?e) ¿Qué kilometraje se requiere para tener una utilidad de cero en 3 años?

9.- Una gasolinera vende gasolina regular sin plomo y Premium sin plomo. El precio por galón que la gasolinera cobra es de $1.2999 en el caso de la regular sin plomo y de $1.379 por la Premium sin plomo. El costo por galón del proveedor es de $1.219 por la regular sin plomo y de $1.289 por la Premium. Si equivale al número de galones vendidos de gasolina regular y el número de galones vendidos de gasolina Premium:a) Formule la función del ingreso de la venta de y galones, respectivamente, de los dos tiepos de gasolina.b) Formule la función del costo total de la compra de y galones, respectivamente, de los dos tipos.c) Formule la función de la utilidad total.d) ¿A cuánto se espera que ascienda la utilidad total si la gasolinera vende 100 000 galones de gasolina regular sin plomo y 40 000 de gasolina Premium sin plomo.

Ejemplo 6: (Depreciación en línea recta) Cuando las organizaciones compran equipo, vehículos, construcciones y otros tipos de "activos de capital", los contadores por lo regular asignan el costo del artículo al periodo en que se usa el artículo. Para un camión que cuesta $20000 y que tiene una vida útil de 5 años, los contadores podrían asignar $4000 por año como un costo de posesión de camión, til costo asignado a cualquier periodo dado recibe el nombre de depreciación.

Los contadores también llevan registros de cada activo mayor y su valor actual de alguna forma o como antes lo hacían en "libros". Por ejemplo, el valor del camión puede aparecer en cualquier estado contable como $20000 en el momento de la compra, $20000 - $4000 = $16000 un año después de la fecha de compra y así sucesivamente. También se puede considerar la depreciación como la cantidad que disminuyó el valor en libros de un activo.Aunque hay una variedad de métodos de depreciación, uno de los más sencillos es la depreciación en línea recta. En este método la tasa de depreciación es consuuite. Usto implico que el por en libros disminuye como una función lineal con el paso del tiempo, Si V es igual al valor cu ¡¡ s (en dólares) de un activo y t equivale al tiempo (en años) medido a punir de la ;< •. /iíi de compra para el camión antes mencionado,

V = f(t)= costo de compra — depreciación = 20000 - 4000í

Ejemplo 7 (Funciones lineales de la demanda) Como se estudió en el ejemplo 13 del capítulo 4, una función la demanda es una relación matemática que expresa la manera en que varía la cantidad demandada de un artículo con el precio que se cobra por el mismo.

Por lo regular, la relación entre estas dos variables (cantidad demandada y precio por unidad) es inversa', es decir, un decremento en el precio da como resultado un incremento en la demanda. El propósito de las ventas especiales casi siempre es estimular la demanda. Si los supermercados bajaran el precio de! filete mignon a $0.75 por libra, tal vez habría un aumento considerable en la demanda de ese artículo. Por otro lado. los incrementos en el precio del producto normalmente dan como resultado un decremento en la demanda. La frase subir los precios para que la gente no compre se refiere a la pérdida de clientes como consecuencia de los aumentos del precio. Si de pronto el precio del filete mignon fuera el triple, con todos los demás factores como los niveles de ingreso manteniéndose constantes, mucha gente ;: * en la actualidad es capaz de comprarlo quedaría fuera del mercado.

Por supuesto, hay excepciones para este comportamiento. Es probable . . demanda de productos o servicios que se consideran como necesidades fluctúe menos con cambios moderados en e! precio. Los artículos como medicamentos prescritos, servicios médicos y ciertos artículos alimenticios son ejemplos de esta clase de productos.

A pesar de que la mayoría de las funciones de la demanda no son lineales, hay situaciones en que la relación de la demanda es una función lineal o se puede aproximar razonablemente bien p<n medio de una función lineal. La figura 5.3 ilustra una función lineal de la demanda con dos puntos de datos muestra. Aunque la mayor parte de los libros de economía miden el precio en e) eje vertical y la cantidad demandada en el eje horizontal, invertiremos la clasificación de los ejes, como se ilustra en la figura 5.3. El motivo de esto es que la mayoría de los consumidores ven la relación de la demanda con la forma

Cantidad demandada = /'(precio por unidad)

Es decir, los consumidores responden al precio. Por tanto, se traza la cantidad demandada, la variable dependiente, sobre el eje vertical.Verifique, usando los métodos del capítulo 2, que la función de la demanda de la figura tiene la forma

q = f ( p ) = 47500- 7500p

Ejercicio 9 (Equilibrio de mercado: dos productos competidores) Dadas las funciones de la oferta y la demanda de un producto, se tiene equilibrio de mercado si hay un precio en el que la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida. Este ejemplo demuestra el equilibrio de mercado para dos productos competidores. Suponga que se estimaron las funciones de la demanda y la oferta siguientes para dos productos competidores.

No se ve la segunda pag del ejercicio 9

Ejemplo 10 (Impuestos federales sobre la renta; Escenario de motivación) En 1990, los impuestos federales sobre la renta para un matrimonio que declara en forma conjunta fueron (repitiendo la tabla del Escenario de motivación) los que se proporcionan en la tabla 5.2. Lo que se desea es una función matemática que permita a la pareja calcular su pasivo tributario, dado su ingreso gravable.

Falta el 11

5.2

Tasas de impuestos federales de 1990(matrimonio que declara en forma conjunta) Ingreso gravable

Mayor que Pero no mayor que Tasa tributaria$ 0 $ 32450 15

32450 78400 2878400 162770 33162770 280

Ejemplo 11(Impuestos del seguro social) La figura 5.7 es una gráfica de los impuestos del seguro social recau-dados en los años 1980-1989. La cantidad cobrada por año parecía aumentar, aproximadamente, con una tasa lineal. En 1980, los impuestos del seguro social cobrados fueron $150000 millones y en 1989, $352000 millones. Usando estos dos puntos de datos, desarrolle una función lineal que estime los impuestos del seguro social cobrados como una función del tiempo desde 1980.

$25000 50000 75000 100000 125000 150000 175000 200000

$60000 -

50000 -

40000 -

30000 -

20000 -

0.15*10000 -

,

SECCION 5.2 EJERCICIOS DE SEGUIMIENTO Pag 200 Ejercicios impares).

1. Se compra una maquinaria en $80000. Los contadores decidieron utilizar un método de depre-ciación en línea recta con la máquina depreciada en su totalidad después de 6 años. Suponiendo que V es el valor en libros de la máquina y t la antigüedad de la máquina, determine la función V — f(t). (Suponga que no hay valor de recuperación.)

2. Se compra una maquinaria en $300000. Los contadores decidieron usar un método de depreciación en línea recta con la máquina depreciada en su totalidad después de 8 años. Si se supone que V es el valor en libros de la máquina y t la antigüedad de la máquina, determine la función V = f(t). Suponga que no hay valor de recuperación.

5. Una compañía compra autos para el uso de sus ejecutivos. El costo de compra este año es de $25000. Se conservan los autos 3 años, después de los cuales se espera que tengan un valor de reventa de $5 600. Si los contadores usan la depreciación en línea recta, determine la función que describe el valor de libros V como una función de la antigüedad del automóvil t.

7. Dos puntos de una función lineal de la demanda son ($20, 80000) y ($30, 62500).a) Determine la función de la demanda q = flp).b) Determine qué precio daña como resultado una demanda de 50000 unidades.c) Interprete la pendiente de la función.d) Defina el dominio restringido y el rango de la función.e) Gratifique flp).

9. Dos puntos en una función lineal de la oferta son ($4.00, 28 000) y ($6.50, 55 000).a) Determine la función de la oferta q = flp).b) ¿Qué precio daría como resultado que los proveedores ofrezcan 45 000 unidades?c) Determine e interprete la intersección de p.

11. Pensión alimenticia Encuestas recientes indican que el pago de pensiones alimenticias tiende a declinar con el tiempo transcurrido después del decreto de divorcio. Una encuesta usa la función para estimarp = f(t) = 90 - 12.5t

Donde p representa el porcentaje de casos en que se hacen los pagos y t es el tiempo medido en años después del decreto de divorcio.a) Interprete la intersección de p.b) Interprete la pendiente.c) ¿En qué porcentaje de casos se paga la pensión alimenticia después de 5 años?d) Trace f(t)

13. Prospectos de matrimonio Datos publicados por el Census Bureau en 1986 indicaron la probabilidad de que con el paso del tiempo se casen las mujeres que nunca se han casado. Los datos indicaron que mientras mayor sea la mujer, menor es la posibilidad del matrimonio. Específicamente, dos estadísticas indicaron que las mujeres sin casarse nunca a los 45 tienen un 18 por ciento de probabilidad de casarse y las mujeres mayores de 25 años tenían una probabilidad de 78 por ciento. Suponga que un ajuste lineal para estos dos puntos de datos ofrece una aproximación razonable para la función p — fia), donde p es la probabilidad de matrimonio y a la edad de las mujeres nunca casadas.a) Determine la función lineal p = /(a).b) Interprete la pendiente y la intersección de p.c) ¿Los valores de la parte b) parecen razonables?

d) Si el dominio restringido de la función es 20 < a < 50, determine f(2Q), f(3Q) ,f(40) y f(50).15. Gastos de educación La figura 5.9 ilustra los datos por estudiante en escuelas públicas de Estados Unidos en un periodo de tres décadas. Los gastos se expresan en "dólares constantes", los cuales representan un filtro de salida de los efectos de la inflación. El aumento en los gastos por estudiante parece ocurrir aproximadamente con un índice lineal. En 1958, los gastos por estudiante fueron $1 750; en 1984, los gastos fueron $3 812.50. Utilizando estos dos puntos de datos:

a) Determine la función lineal de aproximación E = f(t), donde E es igual a ios gastos esperados por estudiante en dólares y t el tiempo medido en años desde 1955 (t = O corresponde a 1955).

b) Interprete la pendiente y la intersección de E.c) De acuerdo con esta función, ¿cuáles serán los gastos esperados por estudiante en el

año 2000?

17. Depresión económica La figura 5.11 refleja una tendencia general a la baja económica en la ciudad de Nueva York. Esta figura presenta el índice de vacantes en oficinas de Manhattan durante el periodo de 1985 a 1990. El incremento en el índice de vacantes parece aproximadamente lineal. El índice de vacantes en 1986 era 9.4 por ciento; en 1989, el índice era 13.2 por ciento. Usando estos dos puntos de datos:a) Determine la función lineal V = f(t), donde V equivale al índice estimado de vacantes (en porcentaje) y t es igual al tiempo medido en años desde 1985.b) Interprete la pendiente y la intersección de V. c) Usando esta función, estime el índice de vacantes en 1995.

$4 500 -i

3000 -

1500

1955

19. Equilibrio de mercado Dadas las siguientes funciones de la demanda y la oferta para dos productos competidores,

qd1=82-3p1+p2

qs1=15p1-5qd2=92+2p1-4p2

qs2=32p2-6

5.3 Modelos basados en el punto de equilibrioEn esta sección estudiaremos los modelos basados en el punto de equilibrio, un conjunto de herramientas de planeación que pueden ser y han sido muy útiles en la administración de organizaciones. Un indicador importante del desempeño de una compañía se refleja por medio de la llamada línea inferior del estado de ingresos de la empresa; es decir, ¡qué utilidad se gana! El análisis del punto de equilibrio se enfoca en la rentabilidad de una empresa. En el análisis del punto de equilibrio, una preocupación importante es el nivel de operación o el nivel de producción que daría como resultado una utilidad cero. Este nivel de operaciones o producción se denomina punto de equilibrio. El punto de equilibrio es un punto de referencia útil en el sentido de que representa el nivel de operación en que el ingreso total equivale al costo total. Cualquier cambio de este nivel operativo dará como resultado ya sea una ganancia o una pérdida.

El análisis del punto de equilibrio es particularmente valioso como una herramienta de planeación cuando las empresas contemplan expansiones como la oferta de nuevos productos o servicios. De modo similar, es útil para evaluar las ventajas y desventajas de iniciar un nuevo proyecto empresarial. En cada caso, el análisis permite proyectar la rentabilidad.

Suposiciones

En este estudio nos enfocaremos en situaciones en que tanto la función del costo total como la función del ingreso total son lineales. El uso de una función lineal del costo implica que los costos variables por unidad son constantes o bien se puede suponer que son constantes. La

función lineal del costo supone que los costos variables totales dependen del nivel de operación o producción. También se supone que la porción del costo fijo de la función del costo es constante en el nivel de operación o producción que se considera.

La función lineal del ingreso total supone que el precio de venta por unidad es constante. Cuando el precio de venta no es constante, en ocasiones se selecciona el precio promedio para los fines de la conducción del análisis.Otra suposición es que el precio por unidad es mayor que el costo variable por unidad. Piénselo un momento. Si el precio por unidad es menor que el costo variable por unidad, una empresa perderá dinero en cada unidad producida y vendida. Nunca podría haber una condición de punto de equilibrio.

Análisis del punto de equilibrio

En el análisis del punto de equilibrio el principal objetivo es determinar el punto de equilibrio. Es posible expresar el punto de equilibrio en términos de 1) volumen de la producción (o nivel de actividad), 2) total de ventas en dólares, o quizás 3) porcentaje de capacidad de producción. Por ejemplo, se puede indicar que una empresa tendrá un punto de equilibrio en 100000 unidades de producción, cuando el total de ventas es de $2.5 millones o cuando la empresa opera a 60 por ciento de su capacidad. Nos enfocaremos sobre todo en la primera de estas tres maneras.

Los métodos para efectuar el análisis del punto de equilibrio más bien son sencillos y directos, y hay maneras alternativas de determinar el punto de equilibrio. El planteamiento común es el siguiente:

1. Formule el costo total como una función de x, el nivel de producción.2. Formule el ingreso total como una función de x.3. Puesto que hay condiciones de equilibrio cuando el ingreso total equivale al costototaly establezca C(x) igual a R(x) y despeje x. El valor resultante de x es el niveldel punto de equilibrio de la producción y se podría expresar como xBE (xbreak-even; xpunto de equilibrio)

Una alternativa para el paso 3 es elaborar la función de la utilidad P(x) = R(x) — C(x), establecer P(x) igual a cero y despejar XBE

El ejemplo siguiente ilustra ambos planteamientos.

Ejemplo 12 Un grupo de ingenieros se interesa en formar una compañía para producir detectores de humo. Han desarrollado un diseño y estiman que los costos variables por unidad, incluyendo materiales, trabajo y costos de comercialización son de $22.50. Los costos fijos asociados con la formación, operación y administración de la compañía y la compra de equipo y maquinaria ascienden a un total de $250 000. Estiman que el precio de venta será de $30 por detector.a) Determine el número de detectores de humo que se deben vender para que la empresa tenga

el punto de equilibrio en el proyecto.b) Datos mercadotécnicos preliminares indican que la empresa puede esperar vender

aproximadamente 30000 detectores durante la vida del proyecto si los detectores se venden en $30 por unidad. Determine las utilidades esperadas con este nivel de producción.

Ejemplo 13 (Planteamiento gráfico) La esencia del análisis del punto de equilibrio se ilustra con gran eficacia por medio del análisis gráfico. La figura 5.12a) ilustra la función del ingreso total, la figura 5.12b) la función del costo total y la figura 5.12c) una gráfica compuesta que muestra ambas funciones para el ejemplo 12. En cualquier nivel de producción x, la distancia vertical dentro del área sombreada indica el costo fijo de $250 000. A esto se suma el costo variable total, que se representa por medio de la distancia vertical en x dentro del área más clara. La suma de estas dos distancias verticales representa el costo total C(x).

En la figura 5.12c) se granean las dos funciones en el mismo conjunto de ejes. El punto en que se intersecan las dos funciones representa el único nivel de salida en que el ingreso total y el costo total son iguales. Éste es el punto de equilibrio. Para todos los puntos a la izquierda del punto de equilibrio, la función del costo C tiene un mayor valor que la función del ingreso R. En esta región, la distancia vertical que separa las dos funciones representa la pérdida que ocurriría en un nivel de producción dado. A la derecha de x = 33 333, R(x) es mayor que C(x) o R(x) > C(x). Para niveles de producción mayores que x = 33 333, la distancia vertical que separa R(x) y C(x) representa la utilidad en un nivel de producción determinado.

Ejemplo 14 (Planeación de convención) Una organización profesional planea su convención anual para celebrarse en San Francisco. Se están haciendo arreglos con un hotel grande en que tendrá lugar la convención. Se cobrará a los participantes en la convención de 3 días una tarifa sencilla de $500 por persona, la cual incluye tarifa de registro, habitación, todos los alimentos y propinas. El hotel cobra $20000 a la organización por el uso de las instalaciones como salas de juntas, salón de baile e instalaciones recreativas. Además, el hotel cobra $295 por persona por habitación, alimentos y propinas. La organización profesional se apropia de $125 de la tarifa de $500 como cuotas anuales para depositarse en la tesorería de la oficina nacional. Determine el número de participantes necesarios para que la organización recupere el costo fijo de $20000.

Ejemplo 15 (La película "Dick Tracy") En el verano de 1990 se estrenó la película "Dick Tracy", protagonizada por Warren Beatty y Madonna. Se estimaba que a Walt Disney Company le costaría $45 millones producir y comercializar la película. Se estimaba que la película tendría que tener una cantidad bruta de $100 millones en taquilla para "tener el punto de equilibrio". ¿Qué porcentaje de las entradas brutas esperaba ganar Disney con esta película?

Ejemplo 16 (Decisión de computadora propia contra oficina de servicio) Un grupo numeroso de practicantes médicos tiene 30 médicos de tiempo completo. Actualmente, hay personal de oficina que hace a mano toda la facturación a los pacientes. Dado el alto volumen de facturación, la gerente de la empresa cree que es hora de pasar de la facturación a clientes a mano a la facturación com-putarizada. Se consideran dos opciones: 1) el grupo de práctica puede comprar su propia computadora y software y hacer la facturación por sí mismo o 2) el grupo puede contratar una oficina de servicio de cómputo que hará la facturación a los pacientes.

Los costos de cada alternativa son una función del número de facturas a clientes. La oferta in-ferior presentada por una oficina de servicio daría como resultado una tarifa anual sencilla de

$3 000 más $0.95 por factura procesada. Con la ayuda de un consultor de cómputo, la gerente de la empresa ha estimado que el grupo puede arrendar un pequeño sistema de cómputo empresarial y el software requerido con un costo de $15000 por año. Se estima que los costos variables de llevar la facturación de esta manera son de $0.65 por factura.

Ejemplo 17 (Revisión de la facturación a pacientes: tres alternativas) Suponga que en el ejemplo anterior la gerente de la empresa no está convencida de que el procesamiento por computadora sea un medio de facturación a clientes con costo más efectivo. Estima que procesar manualmente las facturas cuesta al grupo de práctica $1.25 por factura, o bien

M(x) = 1.25x

Ejercicio 18 (Análisis de múltiples productos) Nuestro análisis en esta sección se ha limitado a situaciones con un solo producto/servicio. En situaciones con múltiples productos, es posible efectuar el análisis del equilibrio cuando se conoce una mezcla de productos. La mezcla de productos expresa la razón de niveles de producción para diferentes productos. Por ejemplo, una empresa que tiene tres productos podría producir 3 unidades del producto A y 2 unidades del producto B por cada unidad del producto C. En esta situación podríamos decir que 1 unidad de la mezcla del producto consiste en 3 unidades del producto A, 2 unidades de B y 1 unidad del producto C. Si es posible definir una mezcla de productos, podemos efectuar un análisis del equilibrio usando esto como la medida de producción.

Sección 5.3 Ejercicios impares de seguimiento Pag 216.

1. Una empresa vende un producto en $45 por unidad. Los costos variables por unidad son $33 y los costos fijos equivalen a $450000. ¿Cuántas unidades se deben vender para tener el punto de equilibrio?

3. Una organización de caridad planea una rifa para recaudar $10000. Se venderán 500 boletos para la rifa de un auto nuevo. El auto le costará a la organización $15 000. ¿Cuánto debería costar cada boleto si la organización desea una utilidad neta de $10000?

5. Un equipo de fútbol americano de una universidad local ha agregado un nivel nacional al programa del año entrante. El otro equipo acordó jugar el partido por una tarifa garantizada de $100000 más 25 por ciento de las localidades. Suponga que el precio por boleto es de $12. a) Determine el número de boletos que se deben vender para recuperar la garantía de $100000.b) ¿Cuántos boletos se deben vender si los funcionarios de la universidad desean una utilidad neta de $240000 del partido?c) Si se asegura un éxito de taquilla de 50000 aficionados, ¿qué precio permitiría a la universidad obtener una utilidad de $240000?d) Si se supone de nuevo un éxito de taquilla, ¿cuál sería la utilidad total si se cobra el precio de $12?

7. Una arena cívica local negocia un contrato con una gira de un espectáculo de patinaje sobre hielo, Icey Blades. Icey Blades cobra una tarifa sencilla de $60000 por noche más 40 por ciento de las localidades. La arena cívica planea cobrar un precio por todos los asientos, $12.50 por boleto.a) Determine el número de boletos que se deben vender cada noche para lograr el punto de equilibrio.b) ¿Cuántos boletos se deben vender si la arena cívica tiene el objetivo de una compensación de $15 000 cada noche?

9. Selección de equipo Una empresa tiene para escoger dos alternativas de equipo para fabricar un producto. Un equipo automatizado cuesta $200000 y fabrica artículos con un costo de $4 por unidad. Otro equipo semiautomalizado cuesta $125 000 y fabrica artículos con un costo de $5.25 por unidad.a) ¿Qué volumen de producción hace que los dos equipos cuesten lo mismo?b) Si se deben producir 80000 unidades, ¿cuál es el equipo menos costoso? ¿Cuál es

el costo mínimo?

11. Desarrollo de software de computadoras Una empresa utiliza una computadora para una variedad de propósitos. Uno de los mayores costos asociados con la computadora es el desarrollo de software (escritura de programas de cómputo). El vicepresidente de sistemas de información quiere evaluar si es menos costoso tener su propio personal de programación o que una empresa de desarrollo de software haga los programas. Los costos de ambas opciones son una función del número de líneas de código (declaraciones del programa). El vicepresidente estima que el desarrollo interno cuesta $1.50 por línea de código. Además, los costos generales anuales de emplear a los programadores son $30000. El software desarrollado fuera de la empresa cuesta, en promedio, $2.25 por línea de código.a) ¿Cuántas líneas de código por año hacen que los costos de las dos opciones sean iguales?b) Si se estiman las necesidades de programación en 30000 líneas por año, ¿cuáles son

los costos de las dos opciones?c) En la parte b) ¿cuál sería el costo por línea de código de desarrollo interno para

que las dos opciones cuesten lo mismo?13. Videojuegos Un fabricante líder de videojuegos está por lanzar cuatro juegos nuevos.

La tabla siguiente resume los datos de precios y costos. Los costos fijos combinados son $500000. Un estudio de investigación de mercados pronostica que por cada unidad vendida de Black Hole, se venderán 1.5 unidades de Haley's Comet, 3 unidades de Astervoids y 4 unidades de PacPerson.a) ¿Cuántas unidades de mezcla de productos se deben vender para tener el punto de equilibrio?b) ¿Cómo se traduce esto en ventas de los juegos individuales?

15. Una compañía considera la compra de un equipo que se utilizará en la fabricación de un producto nuevo. Se consideran cuatro máquinas. La tabla siguiente resume el costo de compra de cada máquina y el costo variable de producción asociado si se usa la máquina para fabricar el producto nuevo. Determine los rangos de producción en los que cada máquina sería la alternativa menos costosa. Trace las cuatro funciones del costo.

Costo de compra Costo variable/unidad

Máquina 1 $ 80000 $10.00Máquina 2 120000 9.00Máquina 3 200000 7.50

Máquina 4 300000 5.50

Limites(pag 700 Budnick)1.- Concepto.-En el cálculo a menudo se desea conocer el valor límite de una función a medida que la variable independiente se aproxima a un número real específico. Este valor límite, cuando existe, recibe el nombre de límite. La notación:

Sirve para expresar los valores límites de una función. La ecuación se lee “el límite de f(x), a medida que “x” se aproxima al valor “a”, es igual a “L”. Cuando se investiga un límite, en relidad se esta preguntando si f(x) se acerca a un valor específico L a medida que el valor de “x” se aproxima más y más hacia “a”.

2.- Propiedades de los límites.1) Si f(x) = c, donde c es real,

2) Si f(x) = , donde “n” es un entero positivo, entonces:

3) Si f(x) tiene un límite cuando y “c” es real, entonces:

4) Si existen y , entonces:

5)Si existen y )(lim xgax , entonces:

6) Si existen y , entonces:

siempre que

3.- Ejercicios:

6)

4.- Continuidad.- En un sentido informal, una función se describe como continua si puede graficarse sin levantar la pluma o el lápiz del papel. Así se dice que una función f es continua en x=a si:a) la función esta definida en x=a, y

b)

La derivada.(pag 732 Budnick)

1.-Dada una función de la forma y = f(x), la derivada de la función es:

Ecuación 15.7

A condición de que tal límite exista.

2.- Comentarios acerca de la derivada.a) La ecuación 15.7 es la expresión general para la derivada de la función f.b) La derivada representa la razón de cambio instantánea en la variable dependiente, dado un cambio en la variable independiente. La notación dy/dx se utiliza para representar la razón de cambio instantánea en “y” con respecto de un cambio en “x”. La notación es distinta de lo que representa , que es la razón de cambio promedio.c) La derivada e una expresión gneral para la pendiente de la gráfica de f para cualquier punto en el dominio.d) Si el límite de la ecuación 15.7 no existe, la derivada tampoco existe.

3.- Reglas de la diferenciación.Regla 1: Función constante: Si una f(x) = c , donde c es una constante cualquiera:

Regla 2 : Regla de la potencia. Si f(x) = , donde “n” es un número real.

Regla 3: Constante que multiplica a una función.Si f(x) = , donde “c” es una constante y g es una función diferenciable:

Regla 4: Suma o diferencia de funciones.Si f(x) = , donde “u” y “v” son diferenciables:

Regla 5: Regla del producto. Si f(x) = , donde “u” y “v” son diferenciables, entonces:

Regla 6 del cociente: Si f(x) = , donde “u” y “v” son diferenciables, y v(x) ≠ 0,

entonces:

Regla 7: Potencia de una función.Si f(x) = , donde “u” es una función diferenciable y “n” es un número real, entonces:

Regla 8: Funciones exponenciales de base “e” .Si f(x) = , donde “u” es una función diferenciable, entonces:

Regla 9: Funciones de logaritmos naturales.Si f(x) = ln u(x), donde “u” es una función diferenciable, entonces:

4.- Ejercicios

Seccion 15.5 Ejercicios d seguimiento. Pag 743.

Sección 15.6 Ejercicios de seguimiento pag 748.Determinar la derivada.

APLICACIONES DE LA DERIVADA.

1.- Para un monopolista el costo por unidad de producir un artículo es de $3 y la ecuación de demanda es:

a) ¿Cuál será el precio que da por resultado la utilidad máxima?b) ¿Cuál será la utilidad máxima obtenida?

2.- Para el producto de un monopolista la ecuación de demanda es:

Y la función de costo promedio es:

a) Encuentre el precio que maximice la utilidad.b) ¿Cuál será la utilidad máxima encontrada?

3.- Una Institución financiera ofrece tarjetas de crédito a nivel internacional. Los ejecutivos desean saber cuanto tarda la cobranza de los créditos concedidos en un mes cualquiera. Los datos revelan que el porcentaje de cobranza de los créditos concedidos en un mes cualquiera esta representado por la función exponencial:

Donde “P” es el porcentaje de cuentas por cobrar en “T” meses después de conceder el crédito.El crédito promedio concedido en cualquier mes es de $100 000. La Institución Financiera estima que por cada $100 000 de nuevos créditos otorgados en un mes se necesita actividades de cobranza con valor de $1000 mensuales.

a) Determinar cuantos meses se deben mantener los esfuerzos de cobranza para maximizar la cobranza neta.b) ¿Cuál será la cobranza neta máxima?c) ¿Cuál será el porcentaje de cobranza?

4.- Una Institución de caridad esta planeando una campaña de recaudación de fondos en la Cd. De Veracruz, que tiene una población de 300 000 habitantes. El porcentaje de la población que hará un donativo se estima por medio de la función:

Donde “R” es el porcentaje de la población y “x” indica el número de días de duración de la campaña. Por experiencia se sabe que la aportación promedio en esta ciudad es de $4 por donante. Los costos diarios de la campaña se estiman en $20 000.

a) ¿Cuántos días deberá durar la campaña para maximizar los ingresos netos?b) ¿Qué ingresos netos se espera recabar?c) ¿Qué porcentaje de la población se espera que haga un donativo?

A 5.- La demanda del producto de una compañía varía según el precio que le fije al producto. La compañía ha descubierto que el Ingreso Total es una función del precio, en concreto:

a) Determine el precio que debería cobrarse para maximizar el ingreso total.b) ¿Cuál sería el Ingreso Total máximo?

6.- Las autoridades de tránsito han encuestado a los ciudadanos a fin de determinar el número de personas que utilizarían el sistema de autobuses si la tarifa admitiera diferentes importes. Basandose en los resultados de la encuesta los analistas de sistemas han determinado una función aproximada de la demanda la cual expresa el número diario de pasajeros en función de la tarifa. La función de demanda es:

Donde “Q” representa el número de pasajeros por día y “p” la tarifa en pesos.

a) Determine la tarifa que se cobraría para maximizar el Ingreso Total.b) ¿Cuál es el ingreso total máximo esperado?c) ¿Cuántos pasajeros se esperan por día?

7.- Un problema común en las organizaciones es determinar que cantidad de artículos deberán conservarse en almacén. Los minoristas de bicicletas motorizadas han analizado los datos referentes y determinaron una función de costo total:

a) Determine el tamaño de pedido que minimice el costo total.b) ¿Cuál se espera que sea el costo total mínimo.

8.- El costo total de la producción de “Q” unidades de cierto producto se describe por medio de la función:

a) Determine cuantas unidades deberían fabricarse para minimizar el costo promedio.b) ¿Cuál será el costo total a ese nivel de producción?c) ¿Cuál sería el costo promedio mínimo?

9.- En un Distrito regional de ventas, la compañía ha averiguado que la utilidad anual es una función del número de representantes de ventas, asignados a ese distrito. Específicamente la función que relaciona ambas variables es la siguiente:

Donde “Q” es el número de representantes de ventas asignados a cierto lugar.

a) Qué número de representantes produciría la utilidad máxima?b) ¿Cuál es la utilidad máxima esperada?

10.- Un fabricante ha ideado un nuevo diseño para los paneles solares de colección. Según los estudios de mercadotecnia que se han realizado, la demanda anual de los paneles dependerá del precio al que se venden. La función de su demanda ha sido estimada así:

Los estudios de Ingeniería indican que el costo total de la producción de “Q” paneles esta representado por la función:

a) Determine a que nivel de “Q” se tendrá una utilidad máximab) ¿Cuál será la utilidad máxima esperada.

11.- Una empresa produce y vende anualmente 12 000 unidades de un artículo. La empresa desea determinar el número de unidades que deben fabricarse en cada pedido de producción para minimizar los costos totales anuales de inventario. Se produce el mismo número de unidades en cada pedido. El costo de producir cada unidad es de $22 y los costos de acarreo son 12% del valor del inventario promedio. Los costos de operación por periodo de producción son de $45.a) Encontrar el tamaño óptimo de pedido.b) ¿Cuál será el valor del costo total de inventario a ese nivel?

12.- La empresa de Revistas “W” tiene actualmente 200 000 suscriptores que pagan una cuota mensual de $250. Una encuesta reveló que se tendrían 3000 suscriptores más por cada $.45 de disminución en la cuota.a) ¿Para que cuota se obtendrá el ingreso total máximo?b) ¿Cuántos suscriptores se tendrían entonces?

13.- Una institución financiera ofrece créditos por $200 000 mensuales y el porcentaje de cobranza esta dado por la siguiente función:

Si a la empresa le cuesta cobrar aproximadamente $2000 por mes:a) Determine el valor de “T” para maximizar la cobranza neta.b) ¿Cuál será la cobranza neta máxima?c) ¿Cuál será el porcentaje de los créditos que no logra cobrar la empresa?

14.- El costo total de producir y comerciar “Q” unidades de cierta mercancía esta dada por:

a) Determine el nivel de “Q” para que el costo promedio sea mínimo.b) ¿Cuál será el costo promedio mínimo?

15.- El costo mensual fijo de operar una planta manufacturera que fabrica muebles de $8000 y existe un costo variable de $110 por cada unidad producida. Escriba la función de costo total.

16.- Una empresa dispone de $9000 para cercar una porción rectangular del terreno adyacente a un río, y a éste lo utiliza como el lado de área cercada. El costo de la cerca paralela al río es de $15 por metro y el área de la cerca para los dos lados restantes, es de $9 por metro. Encuentre las dimensiones del área máxima cercada.17.- Una caja sin tapa va a fabricarse cortando cuadrados iguales de cada esquina de una lámina cuadrada de 12 cm de lado, doblando luego hacia arriba los lados. Encuentre la longitud del lado del cuadrado que debe recortarse para que el volumen de la caja sea máximo y ¿Cuál será el volumen máximo?18.- Un volante debe contener 50 pulgadas cuadradas de material impreso con 4 pulgadas de margen arriba y abajo y 2 pulgadas de margen a los lados. ¿Qué dimensiones debe tener el volante para que gaste menos papel

19.- Antonio se encuentra a 2 millas de “B” el punto más cercano de una playa rectilínea, y ve salir humo de su casa que esta a 6 millas playa arriba de “B”. El se imagina que puede remar a 6 millas por hora y correr a 10 millas por hora. ¿Cómo puede proceder para llegar a su casa en el mínimo de tiempo?

4

2 2

4

50

A20.- Una empresa dispone de $1200 para cercar una porción rectangular del terreno adyacente a un río y a éste lo utiliza como un lado del área cercada. El costo de la cerca paralela al río es de $20 por metro y el lado de la cerca para los dos lados restantes es de $15 por metro. Encuentre las dimensiones del área máxima cercada.

21.- Una caja sin tapa va a fabricarse cortando cuadrados iguales de cada esquina de una lámina cuadrada de 15 cm de largo, doblando luego hacia arriba los lados. Encuentre la longitud del lado del cuadrado que debe recortarse para que el volumen de la caja sea máximo y cual será el volumen máximo.31.- Un volante debe contener 55 pulgadas cuadradas de material impreso con 9 pulgadas de margen arriba y abajo y 7 pulgadas de margen a los lados. Que dimensiones debe tener el volante para que gaste menos papel.

22.- El hermano de Antonio se encuentra nadando a 3 millas de “B” el punto más cercano de una playa rectilínea y ve salir humo de su casa que esta a 7 millas playa arriba de “B”. El se imagina que puede nadar a 7 millas y correr a 11 millas por hora. ¿Cómo puede proceder para llegar a su casa en el mínimo tiempo?

23.- Un gran empresa le interesa comprar terrenos de primera calidad y provistos de paseos de entablado, la única restricción es que tenga una superficie de 100 000 metros cuadrados.El dueño de la propiedad ha fijado los lotes al precio de $5000 por metro de frente a lo largo del paseo entablado y de $2000 por metro de profundidad a partir del paseo. La empresa desea determinar las dimensiones del lote que minimice el costo total de la compra.

C

X

B

$5000 100 000 metros cuadrados