46 | | | | CAPTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS

CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS

En esta seccin, se supondr que tiene acceso a una calculadora gracadora o a una compu-tadora con software para trazar grficas. Se dar cuenta de que el uso de uno de esosaparatos le da capacidad para trazar grcas de funciones ms complicadas y resolver pro-blemas ms complejos de lo que sera posible de otra forma. Tambin encontrar algunasde las dicultades que se pueden presentar con estas mquinas.

Ambos dispositivos pueden dar grficas muy exactas de las funciones. Pero, en el ca-ptulo 4, ver que slo usando el clculo puede estar seguro de haber descubierto todos losaspectos interesantes de una grca.

Una calculadora gracadora o una computadora presentan una parte rectangular de lagrca de una funcin en una ventana de visualizacin o pantalla, a los cuales se har re-fencia simplemente como rectngulo de visualizacin. La pantalla predeterminada a me-nudo da una imagen incompleta o engaosa, de modo que es importante elegir con cuidadoel rectngulo de visualizacin. Si elige que los valores x varen desde un valor mnimo deXmn a hasta un valor mximo de Xmx b y que los valores y varen desde uno mni-mo de Ymn c hasta uno mximo de Ymx d, entonces la parte visible de la grca seencuentra en el rectngulo

que se muestra en la figura 1. A este espacio se le refiere como el rectngulo de visua-lizacin de [a, b] por [c, d].

La mquina dibuja la grca de una funcin f de modo muy semejante a como usted lohara. Sita los puntos de la forma para un cierto nmero de valores igualmenteespaciados de x entre a y b. Si un valor x no est en el dominio de f o si queda fuera elrectangulo de visualizacin, la mquina pasa al valor x siguiente. Une cada punto con el an-terior para formar una representacin de la grca de f.EJEMPLO 1 Dibuje la grca de la funcin en cada uno de los siguientesrectngulos de visualizacin.(a) por (b) por (c) por (d) por SOLUCIN Para el inciso (a), seleccione el intervalo al establecer Xmn 2, Xmx 2,Ymn 2 y Ymx 2. En la gura 2(a), aparece la grca resultante. La pantalla esten blanco! Un momento de reexin da la explicacin: observe que para toda x,de modo que para toda x. Por lo tanto, el intervalo de la funcin es . Esto signica que la grca de f est por completo fuera de la pantalla por .

En la gura 2, tambin se muestran las grcas para las pantallas de los incisos (b), (c)y (d). Observe que obtiene una imagen ms completa en los incisos (c) y (d), pero en elinciso (d) no se ve con claridad que la interseccin con el eje y es 3.

2, 2

2, 23,

f x x2 3x 2 3 3x 2 0

100, 100050, 505, 3010, 10

4, 44, 42, 22, 2

f x x 2 3

f xx, f x

a, b c, d x, y a x b, c y d

1.4

FIGURA 2 Grficas de f(x) = x2 + 3

(b) _4,4 por _4, 4

(a) _2,2 por _2, 2

2

_2

_2 2

4

_4

_4 4

(c) _10,10 por _5, 30

30

_5

_10 10

(d) _50,50 por _100, 1000

1000

_100_50 50

FIGURA 1La pantalla de [a, b] por [c, d]

y=d

x=a x=b

y=c

(a, d ) (b, d )

(a, c )(b, c)

CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 46

Con base en el ejemplo 1, la eleccin de un rectngulo de visualizacin puede dar lugara una gran diferencia en el aspecto de una grca. A veces es necesario cambiar a un rec-tngulo de visualizacin ms grande para obtener una imagen ms global de la grca. Pe-ro una pantalla demasiado grande tambin puede ser engaosa. En el ejemplo siguiente, elconocimiento del dominio y del intervalo de una funcin a veces proporciona informacinsuciente para seleccionar un buen rectngulo de visualizacin.

EJEMPLO 2 Determine un rectngulo de visualizacin apropiada para la funciny sela para trazar la grca de f.

SOLUCIN La expresin para f(x) est denida cuando

Debido a eso, el dominio de f es el intervalo 2, 2. Adems,

de modo que el alcance de f es el intervalo .Elija el rectngulo de visualizacin de modo que el intervalo x sea algo mayor que el

dominio y que el intervalo y sea mayor que el alcance. Si lo dene en 3, 3 por 1, 4,obtiene la grca que se muestra en la gura 3.

EJEMPLO 3 Dibuje la funcin .

SOLUCIN En este caso, el dominio es , el conjunto de todos los nmeros reales. Esono ayuda a seleccionar un rectngulo de visualizacin. Experimente. Si empiezacon el rectngulo de visualizacin 5, 5 por 5, 5, obtiene la grca de la gura 4.Al parecer est en blanco, pero en realidad es casi tan vertical que se mezcla conel eje y.

Si cambia el rectngulo de visualizacin a 20, 20 por 20, 20 , obtiene laimagen que se muestra en la gura 5(a). La grca parece consistir en rectas verticales,pero sabe que no es correcto. Si mira con cuidado mientras se traza la grfica, veque sta sale de la pantalla y vuelve a aparecer durante el proceso. Esto indica quenecesita ver ms en direccin vertical, de modo que cambie el rectngulo de visualizacina 20, 20 por 500, 500. En la figura 5(b) aparece la grfica resultante. Todavano revela todas las caractersticas principales de la funcin, de modo que pruebe con20, 20 por 1 000, 1 000 en la figura 5(c). Ahora tiene ms confianza de contarcon un rectngulo de visualizacin apropiada. En el captulo 4 ser capaz de ver quela grfica que se muestra en la figura 5(c) revela todas las caractersticas principalesde la funcin.

y x 3 150x

[0, 2s2]0 s8 2x 2 s8 2s2 2.83

&? x 2 &? 2 x 2 8 2x 2 0 &? 2x 2 8 &? x 2 4

f x s8 2x 2

SECCIN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS | | | | 47

FIGURA 5 y=-150x

(a) (c)(b)

1 000

_1000

_20 20

500

_500

_20 20

20

_20

_20 20

FIGURA 3

4

_1

_3 3

5

_5

_5 5

FIGURA 4

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EJEMPLO 4 Trace la grca de la funcin f(x) sen 50 x en un rectngulo de visua-lizacin apropiada.

SOLUCIN En la gura 6(a) se ilustra la grca de f producida por una calculadora graca-dora usando un rectngulo de visualizacin 12, 12 por 1.5, 1.5. A primera vista,la grca parece ser razonable. Pero si cambia el rectngulo de visualizacin a las quese presentan en las siguientes partes de la gura 6, la grca se ve muy diferente. Algoextrao est pasando.

Para explicar las grandes diferencias en el aspecto de estas grficas y hallar un rec-tngulo de visualizacin adecuado, necesita hallar el periodo de la funcin y sen 50 x.Puntos que la funcin y sen x tiene el periodo 2p, y la grca de y sen 50 x secomprime horizontalmente por un factor de 50, el periodo de y sen 50 x es

Esto sugiere que slo debe tratar con valores pequeos de x con el fin de mostrar slounas cuantas oscilaciones de la grca. Si elige el rectngulo de visualizacin 0.25,0.25 por 1.5, 1.5, obtiene la grca que se muestra en la gura 7.

Ahora sabe en dnde estuvo el error en la figura 6. Las oscilaciones de y sen50 x son tan rpidas que cuando la calculadora sita los puntos y los une, falla en la ma-yor parte de los puntos mximos y mnimos y, en consecuencia, da una impresin muyengaosa de la grca.

Ha visto que el uso de un rectngulo de visualizacin inadecuado puede proporcionaruna impresin engaosa de la grca de una funcin. En los ejemplos 1 y 3, resolvi elproblema al cambiar a un rectngulo de visualizacin ms grande. En el ejemplo 4, tuvoque reducirlo. En el ejemplo siguiente, ver una funcin para la que no existe un rectngu-lo de visualizacin sencilla que revele la verdadera forma de la grca.

EJEMPLO 5 Trace la grca de la funcin .

SOLUCIN En la gura 8 aparece la grca de f producida por una calculadora gracadora conel rectngulo de visualizacin 6.5, 6.5 por 1.5, 1.5. Se ve muy semejante a la grcade y sen x, pero con algunas protuberancias. Si realiza un acercamiento hacia el rec-tngulo de visualizacin 0.1, 0.1 por 0.1, 0.1, puede ver con mucho mayor claridad

f x sen x 1100 cos 100xV

250

25 0.126

V

48 | | | | CAPTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS

(a) (b)

(c) (d)

FIGURA 6Grfica de f (x) = sen 50 x en cuatro

rectngulos de visualizacin

1.5

_1.5

_10 10

1.5

_1.5

_12 12

1.5

_1.5

_9 9

1.5

_1.5

_6 6

& El aspecto de las grcas de la gura 6depende de la mquina que se use. Es posibleque las grcas que obtenga con su dispositivogracador no se parezcan a estas guras, perotambin sern bastante inexactas.

FIGURA 7=sen50x

1.5

_1.5

_.25 .25

CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 48

la forma de las protuberancias de la gura 9. La razn de este comportamiento es que elsegundo trmino, , es muy pequeo en comparacin con el primero, sen x. As,en realidad necesita dos grcas para ver la verdadera naturaleza de esta funcin.

EJEMPLO 6 Dibuje la grca de la funcin .SOLUCIN En la gura 10(a) se ilustra la grca producida por una calculadora gracadoracon el rctangulo de visualizacin 9, 9 por 9, 9. Al unir los puntos sucesivos de lagrca, la calculadora produjo un segmento rectilneo empinado de la parte superior ala inferior de la pantalla. Ese segmento rectilneo en verdad no es parte de la grca. Noteque el dominio de la funcin y 1(1 x) es . Puede eliminar la extraarecta casi vertical experimentando con un cambio de escala. Cuando cambia al rectngulode visualizacin ms pequeo 4.7, 4.7 por 4.7, 4.7, en esta calculadora en particular,obtiene la grca mucho mejor que aparece en la gura 10(b).

EJEMPLO 7 Trace la grca de la funcin .

SOLUCIN Algunos dispositivos graficadores despliegan la grfica como en la figura 11,en tanto que otros producen una grca como la de la gura 12. Por lo que se vio en laseccin 1.2 (gura 13), sabe que la grca de la gura 12 es la correcta; de esa manera,qu sucedi en la gura 11? La explicacin es que, algunas mquinas, calculan la razcbica de x utilizando un logaritmo, en el cual no est denido si x es negativa, as queslo se produce la mitad derecha de la grca.

FIGURA 11

2

_2

_3 3

FIGURA 12

2

_2

_3 3

y s3 x

(a) (b)

9

_9

_9 9

4.7

_4.7

_4.7 4.7

FIGURA 10

x x 1

y 1

1 x

FIGURA 9

0.1

_0.1

_0.1 0.1

FIGURA 8

1.5

_1.5

_6.5 6.5

1100 cos 100x

SECCIN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS | | | | 49

& Otra forma de evitar la recta extraa escambiar el modo de trazar las grficas enla calculadora, de manera tal que los puntosno se unan.

CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 49

Usted debe experimentar con su mquina para ver cul de estas dos grcas se produ-ce. Si obtiene la de la gura 11, puede obtener la imagen correcta al trazar la grca dela funcin

Note que esta funcin es igual a , excepto cuando x 0.

Para comprender cmo se relaciona la expresin de una funcin con su grca, ayudatrazar la grfica de una familia de funciones; es decir, una coleccin de funciones cu-yas ecuaciones estn relacionadas. En el ejemplo siguiente, se trazan las grcas de losmiembros de una familia de polinomios.

EJEMPLO 8 Dibuje y x3 cx para varios valores del nmero c. Cmo cambia lagrca al cambiar c?

SOLUCIN En la gura 13 se muestran las grcas de y x3 cx para c 2, 1, 0, 1 y2, para valores positivos de c, la grca crece de izquierda a derecha sin puntos mximosni mnimos (picos o valles). Cuando c 0, la curva es plana en el origen. Cuando c esnegativo, la grca tiene un punto mximo y uno mnimo. Conforme c disminuye, elpunto mximo se vuelve ms alto y el mnimo, ms bajo.

EJEMPLO 9 Encuentre la solucin de la ecuacin cos x x correcta hasta dos cifras de-cimales.

SOLUCIN Las soluciones de la ecuacin cos x x son las coordenadas x de los puntos deinterseccin de las curvas y cos x y y x. En la figura 14(a), se ve que slo existeuna solucin y que se encuentra entre 0 y l. Si se hace un acercamiento al rectngulode visualizacin 0, 1 por 0, 1, en la figura 14(b) se observa que la raz est entre0.7 y 0.8. De modo que al acercarse ms hasta el rectngulo de visualizacin 0.7, 0.8

por 0.7, 0.8 de la figura 14(c). Si mueve el cursor hasta el punto de interseccin delas dos curvas, o por inspeccin y con base en que la escala x es 0.01, ver que la razde la ecuacin es casi de 0.74. (Muchas calculadoras tienen una capacidad de interseccinintegrada.)

V

s3 x

f x x x x 13

50 | | | | CAPTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS

(a) y=+2x (b) y=+x (c) y= (d) y=-x (e) y=-2x

FIGURA 13Varios miembros de la familia defunciones y = x3 + cx, se graficantodas en el rectngulo de visualizacin[2, 2] por [2.5, 2.5]

0.7, 0.8 por 0.7, 0.8

escala-x=0.01

(c)0, 1 por 0, 1

escala-x=0.1

(b)_5, 5 por _1.5, 1.5

escala-x=1

(a)

0.8

0.70.8

y=x

1

01

y=x

1.5

_1.5

_5 5

y=xy=cos x

FIGURA 14Localizacin de las races de cos x = x

y=cos x

y=cos x

En Visual 1.4 puede veruna animacin de la gura 13TEC

CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 50

SECCIN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS | | | | 51

24. Use grcas para determinar cul de las funcionesf(x) x4 100x3 y t(x) x3 termina por ser mayor.

25. Para cules valores de x se cumple que ?

26. Trace las grcas de los polinomios P(x) 3x5 5x3 2x yQ(x) 3x5 en la misma pantalla, usando en primer lugar elrectngulo de visualizacin 2, 2 por 2, 2 y luego cambieal 10, 10 por 10000, 10000. Qu observa a partir deestas grcas?

En este ejercicio se considera la familia de las funciones, en donde n es un entero positivo.

(a) Trace las grcas de las funciones , yen la misma pantalla 1, 4 por 1, 3.

(b) Trace las grcas de las funciones , yen la misma pantalla, 3, 3 por 2, 2. (Vase

el ejemplo 7.)(c) Trace las grcas de las funciones , ,

y en la misma pantalla 1, 3 por 1, 2.(d) A qu conclusiones puede llegar a partir de estas grcas?

28. En este ejercicio se considera la familia de funcionesf(x) 1xn, en donde n es un entero positivo.(a) Trace las grcas de las funciones y 1x y y 1x3 en la

misma pantalla usando el rectngulo de visualizacin 3,3 por 3, 3.

(b) Trace las grcas de las funciones y 1x2 y y 1x4 enla misma pantalla usando el rectngulo de visualizacin delinciso (a).

(c) Trace la grca de todas las funciones de los incisos (a) y(b) en la misma pantalla usando el rectngulo devisualizacin 1, 3 por 1, 3.

(d) A qu conclusiones puede llegar a partir de estas grcas?Dibuje la funcin f(x) x4 cx x, para varios valores de c. Cmo cambia la grca al cambiar c?

30. Trace la grca de la funcin , paradiferentes valores de c. Describa cmo inuye en la grca elvalor de c variable.

31. Trace la grca de la funcin , , paray 6. Cmo cambia la grca al crecer n?

32. Las curvas con ecuaciones

se llaman curvas de nariz de bala. Dibuje algunas para ver por qu este nombre. Qu sucede al crecer c?Qu sucede a la grca de la ecuacin y2 cx3 x2 a medidaque c vara?

34. En este ejercicio se examina el efecto de la funcin interior tsobre una funcin compuesta y f(t(x)).(a) Trace la grca de la funcin , usando el rec-

tngulo de visualizacin 0, 400 por 1.5, 1.5. Qu di-ferencia existe entre esta grca y la de la funcin seno?

y sen(sx )

33.

y x sc x 2

n 1, 2, 3, 4, 5x 0y x n2x

s1 cx 2f x

29.

y s5 xy s4 xy s3 xy sx

y s5 xy s3 xy x

y s6 xy s4 xy sx

f x sn x27.

sen x x 0.1

1. Mediante una calculadora gracadora o una computadora deter-mine cul de los rectngulos de visualizacin da lugar a lagrca ms adecuada de la funcin .(a) 5, 5 por 5, 5 (b) por (c) por

2. Por medio de una calculadora gracadora o una computadoradetermine cul de los rectngulos de visualizacin origina lagrca ms adecuada de la funcin f(x) x4 16x2 20.(a) 3, 3 por 3, 3 (b) 10, 10 por 10, 10

(c) 50, 50 por 50, 50 (d) 5, 5 por 50, 50

314 Determine un rectngulo de visualizacin adecuado para lafuncin que se proporciona y sela para dibujar la grca3. 4.

5. 6.

7.

10.

11. 12.

13. 14.

15. Dibuje la elipse 4x2 2y2 1, al trazar las funciones cuyasgrcas son las mitades superior e inferior de la elipse.

16. Dibuje la hiprbola y2 9x2 1 dibujando las funciones cuyasgrcas son las ramas superior e inferior de la hiprbola.

1718 Los dibujos cruzan en el rectngulo de visualizacin que seproporciona? Si es as, cuntos puntos de interseccin estn ah?.

17. , ; por

18. , ; por

1921 Encuentre todas las soluciones de la ecuacin correcta hastados cifras decimales.

19. 20.

21.

22. En el ejemplo 9 se vio que la ecuacin cos x x tiene unasolucin.(a) Use una grca para demostrar que la ecuacin

cos x 0.3x tiene tres soluciones y encuentre susvalores correctos hasta dos cifras decimales.

(b) Encuentre un valor aproximado de m tal que la ecuacincos x mx tiene dos soluciones.

Use grcas para determinar cul de las funciones f(x) 10x2y t(x) x310 ser mayor en algn momento (es decir, mayorcuando x es muy grande).

23.

x 2 sen x

x 3 4x 1x 3 9x 2 4 0

5, 206, 2y 3x 18y 6 4x x22.5, 1.51, 3y 0.23x 2.25y 3x2 6x 1

y x2 0.002 sen 50xy 10 sen x sen 100x

f x sec(20px)f x sen sxf x cos(0.001x)f x sen21000x9.

f x xx 2 1008.

f x x3 225xf x s0.1x 20f x s4 81 x 4f x x 3 30x 2 200xf x 5 20x x 2

0, 100, 10

0, 20, 10

f(x) sx3 5x2

; E JERCIC IOS1.4

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Clculo de una variable: Trascendentes tempranas

ContenidoPrefacioAl estudianteExmenes de diagnsticoPresentacin preliminar del clculo

1 Funciones y modelos

1.1 Cuatro maneras de representar una funcin1.2 Modelos matemticos:un catlogo de funciones bsicas1.3 Funciones nuevas a partir de funciones antiguas1.4 Calculadoras gracadoras y computadoras1.5 Funciones exponenciales1.6 Funciones inversas y logaritmosRepasoPrincipios para la resolucin de problemas

2 Lmites y derivadas

2.1 La tangente y los problemas de la velocidad2.2 Lmite de una funcin2.3 Clculo de lmites utilizando las leyes de los lmites2.4 Denicin exacta de lmite2.5 Continuidad2.6 Lmites al innito,asntotas horizontales2.7 Derivadas y razones de cambioRedaccin de proyecto

2.8 La derivada como una funcinRepasoProblemas adicionales

3 Reglas de derivacin

3.1 Derivadas de polinomios y de funciones exponencialesProyecto de aplicacin

3.2 Las reglas del producto y el cociente3.3 Derivadas de las funciones trigonomtricas3.4 La regla de la cadenaProyecto de aplicacin

3.5 Derivacin implcita3.6 Derivadas de funciones logartmicas3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales3.8 Crecimiento y decaimiento exponencial3.9 Relaciones afines3.10 Aproximaciones lineales y diferencialesProyecto de laboratorio

3.11 Funciones hiperblicasRepasoProblemas adicionales

4 Aplicaciones de la dericacin

4.1 Valores mximos y mnimosProyecto de aplicacin

4.2 Teorema del valor medio4.3 Manera en que las derivadas afectan la forma de una grca4.4 Formas indeterminadas y la regla de lHospitalRedaccin de proyecto

4.5 Resumen de trazo de curvas4.6 Trazado de grcas con clculo y calculadoras4.7 Problemas de optimizacinProyecto de aplicacin

4.8 Mtodo de Newton4.9 AntiderivadasRepasoProblemas adicionales

5 Integrales

5.1 reas y distancias5.2 La integral denidaProyecto para un descubrimiento

5.3 El teorema fundamental del clculo5.4 Integrales indenidas y el teorema del cambio totalRedaccin de proyecto

5.5 La regla de la sustitucinRepasoProblemas adicionales

6 Aplicaciones de la integracin

6.1 reas entre curvas6.2 Volmenes6.3 Volmenes mediante cascarones cilndricos6.4 Trabajo6.5 Valor promedio de una funcinProyecto de aplicacin

RepasoProblemas adicionales

7 Tcnicas de integracin

7.1 Integracin por partes7.2 Integrales trigonomtricas7.3 Sustitucin trigonomtrica7.4 Integracin de funciones racionales por fracciones parciales7.5 Estrategia para integracin7.6 Integracin por medio de tablas y sistemas algebraicosProyecto para un descubrimiento

7.7 Integracin aproximada7.8 Integrales impropiasRepasoProblemas adicionales

8 Ms aplicaciones de la integracin

8.1 Longitud de arcoProyecto para un descubrimiento

8.2 rea de una supercie de revolucinProyecto para un descubrimiento

8.3 Aplicaciones a la fsica y a la ingenieraProyecto para un descubrimiento

8.4 Aplicaciones a la economa y a la biologa8.5 ProbabilidadRepasoProblemas adicionales

9 Ecuaciones diferenciales

9.1 Modelado con ecuaciones diferenciales9.2 Campos direccionales y mtodo de Euler9.3 Ecuaciones separablesProyecto de aplicacinQu tan rpido drena un tanque?Qu es ms rpido, subir o bajar?

9.4 Modelos de crecimiento poblacionalProyecto de aplicacin

9.5 Ecuaciones lineales9.6 Sistemas depredador-presaRepasoProblemas adicionales

10 Ecuaciones paramtricas y coordenadas polares

10.1 Curvas denidas por ecuaciones paramtricasProyecto de laboratorio

10.2 Clculo con curvas paramtricasProyecto de laboratorio

10.3 Coordenadas polares10.4 reas y longitudes en coordenadas polares10.5 Secciones cnicas10.6 Secciones cnicas en coordenadas polaresRepasoProblemas adicionales

11 Sucesiones y series infinitas

11.1 SucesionesProyecto de laboratorio

11.2 Series11.3 La prueba de la integral y estimaciones de las sumas11.4 Pruebas por comparacin11.5 Series alternantes11.6 Convergencia absoluta y las pruebas de la razn y la raz11.7 Estrategia para probar series11.8 Series de potencias11.9 Representaciones de las funciones como series de potencias11.10 Series de Taylor y de MaclaurinProyecto de laboratorioRedaccin de proyecto

11.11 Aplicaciones de los polinomios de TaylorProyecto de aplicacin

RepasoProblemas adicionales

Apndices

A Nmeros, desigualdades y valores absolutosB Geometra de coordenadas y rectasC Grcas de ecuaciones de segundo gradoD TrigonometraE Notacin sigmaF Pruebas de teoremasG El logaritmo denido como una integralH Nmeros complejosI Respuestas a ejercicios de nmero impar

ndice