CÁLCULO DE RESISTENCIA ELÉCTRICA EN CONDUCTORES
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CÁLCULO DE RESISTENCIA ELÉCTRICA EN CONDUCTORES
Antonio J. BarberoDepartamento de Física Aplicada. UCLM
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
2
Problema 1. Sector circular
Problema 2. Arandela
Problema 3. Cono truncado
Problema 4. Conductor semicilíndrico
Problema 5. Cable coaxial
3
PROBLEMA 1
Una pieza de material óhmico tiene forma de sector circular de ángulo y de radios interno y externo a y b, respectivamente. Su espesor es c, y la conductividad del material es . Determinar la resistencia eléctrica entre el borde interior y exterior de la pieza.
a bc
V
Si se estableciese una d.d.p. V entre el borde interior y el exterior, dada la simetría del problema, el campo eléctrico tendría en cada punto la dirección de la línea radial, ya que los bordes interior y exterior son equipotenciales y el campo es perpendicular a las equipotenciales.
E
E
E
Tomaremos como referencia de distancias el centro O de la circunferencia, donde r = 0 (de esta forma el borde interno es r = a y el externo es r = b).
Puesto que las líneas de campo se abren de modo homogéneo con simetría cilíndrica según nos alejamos del centro, la intensidad del campo eléctrico (módulo) debe ser inversamente proporcional a r.
rE 1
r
O
Magnetismo
Electricidad
y
4
PROBLEMA 1 (Continuación)
V
E
E
E
Siendo un material óhmico, la relación entre campo eléctrico y densidad de corriente es )( )( rErJ
)(rJ
)(rJ
Por lo tanto, si escribimos la densidad de corriente como
rurkrJ
)( ru
Entonces el campo eléctrico puede escribirse como rur
krJrE
)(1)(
La resistencia está dada en general por
IV
SdrJ
rdrER
)(
)(
(Véase detalle del cálculo en transparencia siguiente)
Magnetismo
Electricidad
y
5
PROBLEMA 1 (Continuación 2)
r
b
c
d
d rru
rurr
dr
rurkrJ
)(
SdrJI
)(
0
rr udrcurk ck
rur
krJrE
)(1)(
rdrEV )(
b
rr udrur
k
a
ln abk
rudrcSd
ab
cIVR ln
1
a
Magnetismo
Electricidad
y
6
PROBLEMA 2
A) Calcular la resistencia de una arandela de cobre, de radio interno a = 5 mm y radio externo externo b = 20 mm, medida entre el borde interior y el borde exterior. B) Calcular la resistencia de una arandela de las mismas dimensiones pero construida la mitad de cobre y la mitad de plata.El espesor de la arandela es c = 0.5 mm y las resistividades del cobre y la plata sonCu = 1.7210-8 m y Ag = 1.6210-8 m
A) La solución es inmediata a partir del resultado del problema anterior, teniendo en cuenta que en la arandela el ángulo = 2 rad.
ab
c
CuCu
1
ab
cab
cR Cu
CuA ln
2ln
1
1059.7 6
ab
c
CuAg
CuA)
B)
Magnetismo
Electricidad
y
7
PROBLEMA 2 (Continuación)
B) Conectando las dos semi-arandelas en la forma indicada tenemos dos conductores en paralelo, cada uno de ellos con un ángulo = rad.
ab
cab
cR Cu
CuCu ln
ln
1
1052.1 5
CuCu
1
AgAg
1 ab
cab
cR Ag
AgAg ln
ln
1
1043.1 5
AgCu
AgCuB RR
RRR
51043.152.143.152.1
510
43.152.143.152.1
1037.7 6
Magnetismo
Electricidad
y
8
Z
PROBLEMA 3
Un conductor óhmico tiene forma de cono truncado de las dimensiones que se muestran en la figura adjunta. La conductividad del material es . Determine la resistencia de la pieza medida entre las bases superior e inferior.
2a
h
Sea b el radio de la base inferior tghab b
2a
h
b
dz
La pieza puede considerarse formada por una serie de láminas circulares planas apiladas, de espesor dz cada una de ellas.
Si consideramos el origen de coordenadas z = 0 en el centro de la base inferior, el área de cada una de estas láminas es: 2tg)( zbzS 2tg][ zha La resistencia elemental de cada una de estas placas es )(
1zS
dzdR
h
zhadzR
0
2tg][
uudu
zhadz
1
tg1
tg1
tg][ 22
dzduzhau tg tg][
tg
11tg11
haa
tg haahR
Magnetismo
Electricidad
y
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PROBLEMA 4Entre dos semicilindros conductores concéntricos de longitud L y radios a y b (b > a) hay un dieléctrico de permitividad y resistividad , siendo inversamente proporcional a la distancia al eje central del conjunto. Entre ambos se establece una ddp V0. Determine:A) La resistencia entre ambos conductores, la densidad de corriente y el campo eléctrico.B) Las densidades de carga libre. Compruebe que no hay carga libre neta.Resistencia entre los conductores Sea k la constante de proporcionalidad
a
b
rk /
rdr
Consideraremos que el dieléctrico está formado por una serie de capas semicilíndricas superpuestas cuyo espesor es dr y siendo el área de cada una rL.
El conjunto de todas esas capas está en serie, por eso podemos determinar la resistencia total sumando las contribuciones de todas ellas.
Resistencia de cada capa: 2 Lrdrk
LrdrdR
baL
kLrdrkR
b
a
11 2
abkabLV
RVI
00
Resistencia total
L
Intensidad de corriente:
V0
Densidad de corriente:
ruLrIj
ru
Suponemos que el potencial del conductor interno es el mayor
ru
bakabV r
0
Campo eléctrico:
20
ru
ababVj
rkjE r
Magnetismo
Electricidad
y
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PROBLEMA 4 (Continuación)
Densidades de carga:
Densidad volumétrica de carga libre DV
El vector desplazamiento es 20
ru
ababVED r
(Por la simetría del problema sólo depende de la coordenada radial)
z
AAr
rErr
zr
11
rrrababV 110
30 1
rababV
V
Densidades superficiales de carga libre
ab
abVD ara
0ba
abVD brb
0
El vector unitario está dirigido hacia dentro
La carga libre neta Qf es la suma de las densidades de carga volumétrica y superficial
bLaLdVQ ba
V
Vf bLba
abVaL
ab
abV
rrdrL
ababV
b
a
00
30
Laab
VLbab
Vabab
abVLQ f
000 11
Laab
VLbab
Vbaab
VLQ f
000 )( 0)(0
abba
abVL
Magnetismo
Electricidad
y
11
a
b
Corte transversalEl conductor
interno es positivo
Un cable coaxial está formado por un conductor interno de radio a y un conductor externo concéntrico de radio b. El medio entre ambos conductores es un dieléctrico isótropo y homogéneo de permitividad y conductividad σ. Calcule la capacidad por unidad de longitud y la resistencia de fuga entre ambos conductores.
PROBLEMA 5
Cálculo de la capacidad
r
VQC Supongamos una ddp V entre ambos conductores (el interno es positivo)
D
D
D
D
D
QSdDS
rLD 2rLQD 2
/
rurLQD
2/
Carga libre contenida en una longitud L del
conductor interno
DE
ru
rLQ 2
/
abLQrdur
LQrdEVb
ar
L
/ln2
/ 2
/
VQC
abLQQ
/ln2
/
abLC
/ln2
Resistencia de fuga Si la conductividad del dieléctrico no es nula, fluirá corriente del conductorpositivo al negativo y en el medio dieléctrico se establecerá un campo de densidad de corriente. Si el medio es isótropo, la ley de Ohm nos dice que las líneas de flujo de J y de E serán las mismas.
Magnetismo
Electricidad
y
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Magnetismo
Electricidad
y
S
L
S
L
SdE
rdE
SdJ
rdE
IVR
PROBLEMA 5 (Continuación)
Expresamos la capacidad y la resistencia en términos de los campos:
L
S
L
S
rdE
SdE
rdE
SdD
VQC
Las integrales de superficie se refieren a un área que encierra al conductor positivo interno, y las integrales de línea representan la ddp entre ambos conductores.
Si el medio es homogéneo, y σ pueden sacarse fuera de las integrales, y el producto RC queda:
S
S
L
S
S
L
SdE
SdE
rdE
SdE
SdE
rdE
RC
Multiplicando ambas ecuaciones:
RC
CR
LabR 2/ln
siendo abLC
/ln 2
Observe que las unidades SI de σ son (m)-1