CALCULO DE PUNTOS FIJOSNILCEANOS

MSc. MANUEL F. MOREIRAPROYECTO FODECYT 22-2007

16 de agosto de 2008

Resumen

En la primera parte de este trabajo de investigacion se desarrollaronlas herramientas basicas en el contexto de la teorıa de la homotopıa y coho-mologıa respectivamente, tales como el grado de una funcion contınua sobrepoliedros compactos, y el ındice de los puntos fijos de la misma. Continuan-do con este tipo de herramientas se tiene el clasico teorema de existencia depuntos fijos de Leftchetz que nos permite calcular bajo ciertas condicionesgeometricas y topologicas el numero de Nielsen N(f) de una funcion con-tinua; mas especificamente cuando el grupo de Jiang J(X) iguala el grupode homotopıa Π1(X) del poliedro en cuestion, entonces el numero de Niel-sen puede calcularse. Los prerequisitos teorico matematicos necesarios paralos resultados obtenidos en esta investigacion son el grupo de recubrimien-tos la teorıa de homotopıa y homologıa de un poliedro compacto X, y losconocimientos propios de la topologıa poliedral X, algebraica y diferencial.

En teorıa topologica de puntos fijos, uno de los mejor conocidos Teoremade puntos fijos en topologıa, es el Teorema de Lifschetz para puntos fijos, quees el resultado de investigar el conjunto de puntos fijos Φ(f) de una funcioncontinuca f sobre un poliedro compacto X, y el cual concierne al problema dedeterminar las condiciones geometricas y topologicas bajo las cuales existenpuntos fijos de dicha funcion.

De manera mas general investigar las propiedades geometricas y topologi-cas que determinan la existencia de puntos fijos o la obstruccion al calculo yexistencia de los mismos.

Los resultados obtenidos en esta investigacion consisten en el calculo delos numeros de Nielsen en funcion del numero de Lefschetz, sobre varieda-des poliedrales compactas y conexas como el espacio lenticular generalizado.Dentro del mismo se desarrolla la teorıa del grado de una funcion continuasobre espacios poliedrales utilizando la teorıa de homotopıa y homologıa pa-ra el mismo. Lo anterior da origen a un problema mas interesante dentrodel desarrollo de la teorıa Nilceana de raices y el calculo del numero de rai-ces Nilceanas, ademas de reestablecer como consecuencia la conecxion entreel grado absoluto de Hopf y el grado geometrico. Ademas de lo anterio lateoria de la obstruccion nos permite obtener conclusiones relevantes en lainvestigacion de la teorıa de puntos fijos topologicos. Finalmente se determi-nan las condiciones topologicas y geometricas que nos permiten el calculo delos numeros de Nielsen, lo cual llamaremos Caracterizacion Geometrica delNumero de Nielsen y se establece una coneccion entre la formula de puntosfijos de Lefschets y la teoria de campos vectoriales continuos.

Abstract

The purpose of this research is to establish a relationship bet-ween Lefschtz and Nielsen number and computing Nielsen num-bers of a self-mapping over compact and conected polihedron Xunder specific geometric and topological conditions. The indexconcept of a fixed point of continuous self-mapping is due to Poin-care in [27], [?], [?] and [?] which is relevante in this investigacion,also the work of H.Hopf [?] and [?] in which he proved a gene-ralized fixed point formula; the original proof made by (Lefschtz[14] and [15]) used The topological product method, rather thanthe homological methods briefly sketch here.

The fixed point formula is closed related to the theory of conti-nuos vector fields and closely related with the cualitative dynami-cal systems. Consider a self-mapping f over a compact manifoldX which displaces points only slightly, will determine a vectorfield. The vectors of the field run from the original points to theirrespective images under f , this define a field in more apropie-te way to research classical problems in geometry and topology.This field is continuous except at the singular points which arethe fixed points of f which are finite in number and asolated fixedpoints since X is a compact.

The theory of topological fixed point for small transfomation fover a compact and conected polihedron, we have the alternatingsum of the Betti numbers

∑(−1)iβi is iqual to the negative of he

Euler characteristic χ(X) of the polihedron X, then the Hopf’sTheorem [?]: The sum of the indexes of the singular positions of avector field is equal to the negative of the Euler charactetic of themanifold. So in our context we have as a classical consequence theEuler-Poincare Formula for a simplicial complex or alternativecompacta polihedron X.

Here we have a most distinguish and rich question about topo-logical fixed point theory for reserch: What is the smallest numberof fixed points of a mapping class? J. Nielsen has succeded in eva-luating this minimal number by dividing the fixed points set φ(f)of f into the Nielsen fixed point classes. (J. Nielsen [22], [23] and[24]).

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Indice general

I Introducion 3

1. Presentacion 4

2. Planteamiento del Problema 5

3. Objetivos 73.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2. Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4. Metodologıa 8

II Marco Teorico 11

5. Topologia de los Poliedros 125.1. Topologia de Whitehead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6. Homologıa de los Poliedros 186.1. Secuencia de Meyer Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2. Teorema de Elenberg-Zilber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.3. Teorema de Coeficientes Universales . . . . . . . . . . . . . . . 206.4. Formula de Kunneth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7. El Grado de una Funcion 227.1. Aproximacion Diferenciable al Grado . . . . . . . . . . . . . . 227.2. Aproximacion Homologıca al Grado . . . . . . . . . . . . . . . 247.3. Propiedades del Grado en el Contexto Homologıco . . . . . . . 26

8. Indice de los Puntos Fijos 318.0.1. Propiedades del Indice de los Puntos Fijos . . . . . . . 34

8.1. Aproximacion Cohomologıca al Indice de los Puntos Fijos . . . 34

1

9. Teorema de Lefschetz-Hopf 36

10.Espacio de Recubrimiento 3810.1. Propiedad de Puntos Fijos en Espacios Topologicos . . . . . . 3910.2. Subgrupos Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

III Resultados 48

11.Calculo de Numeros de Nielsen 4911.1. Discusion de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

IV Conclusiones 5311.2. Caracterizacion Geometrica de los Numeros de Nielsen . . . . 5411.3. Teoria de la Obstruccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5411.4. Relalcion entre los Numeros de Lefschetz y Nielsen . . . . . . 5511.5. Propiedad Topologica de Puntos Fijos . . . . . . . . . . . . . . 5511.6. Teorıa Nilceana de Raices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5511.7. Topologia de la Entropıa y Sistemas Dınamicos . . . . . . . . 5611.8. Propiedad Topologica de Locabilidad Contractil . . . . . . . . 59

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Parte I

Introducion

3

Capıtulo 1

Presentacion

Si nos preguntamos:

Cuales son las condiciones geometrıcas y topologicas dentro delcontexto de la teorıa de puntos fijos de Nielsen para las variedadesy funciones diferenciales?

esta formulacion constituye uno de los intereses de investigaciondel autor. Considerese a X como un espacio topologico, y

f : X −→ X

una funcion continua sobre el mismo espacio. Los puntos fijos def son la solucion de la ecuacion f(x) = x. El conjunto de todoslos puntos fijos de la funcion f se denotara por Φ(f).

La teorıa de puntos fijos estudia la naturaleza de este conjuntocon relacion a la funcion continua f y el espacio topologico X, yesto nos conduce a preguntas como:

cual es la cardinalidad del conjunto de puntos fijos que denota-remos como |Φ(f)|, y su comportamiento bajo las deformacionescontinuas de f?

en otras palabras investigar Φ(f) bajo la lupa de la teorıa de laHomotopıa que es uno de los objetos metodologicos de este tra-bajo de investigacion, que a su vez es el resultado de un problemaclasico en matematicas que consiste en calcular el mınimo numerode puntos fijos en la clase de homotopia de f .

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Capıtulo 2

Planteamiento del Problema

Una consideracion rica como fuente de investigacion en geometrıa y to-pologıa se fundamenta en la pregunta:

Cual es el mınimo numero de puntos fijos en la clase de homoto-pia de f?

Es decir:

cual es el numero mas pequeno de puntos fijos que pueden obte-nerse a partir de deformaciones homotopicas?

J. Nielsen fue muy exitoso en esta evaluacion, al dividir el conjunto depuntos fijos en clases de equivalencia conocidas como las clases de Nielsen.Se sabe que dos puntos fijos se encuentran en la misma clase de equivalenciasi es posible unirlos por un camino w, el cual juntamente con el caminoimagen f(w) da como resultado un camino cerrado homotopicamente nulo.Una formulacion equivalente se obtiene si se toma el levantamiento sobreel espacio de recubrimiento universal, el cual puede hacerse de diferentesformas. Vease (Nielsen, J. [22], [23], [24] y [25]).

El problema clasico consiste en calcular el numero de Nielsen de unafuncion contınua compacta,

f : X −→ X

esto implica naturalmente una delimitacion tecnica del problema; dentro dela naturaleza geometrica y topologica del espacio X. Con el objeto de avanzaren esto, se tratara de investigar en las variedades topologicas con propiedadesque permiten el calculo de puntos fijos y la investigacion de las caracterısticasgeometricas y topologicas que constituyen una obstruccion a la existencia depuntos fijos al mismo, ası como el numero de clases esenciales de puntos

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fijos homotopıcamente equivalentes. En otras palabras dada una clase dehomotopia de puntos fijos cuyo ındice es cero, esta puede ser removida yla denominaremos inesencial, por el contrario si su ındice es diferente decero sera llamada esencial. El numero de Nielsen es el numero de clases dehomotopicas de puntos fijos esenciales.

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Capıtulo 3

Objetivos

3.1. Objetivo General

Calculo de los numeros de Nielsen de algunas funciones continuas sobreespacios topologicos poliedrales.

3.2. Objetivos Especıficos

Calculo de los numeros de Nielsen sobre variedades diferenciables especıfi-cas orientables.

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Capıtulo 4

Metodologıa

La metodologıa utilizada para calcular numeros de Nielsen, consiste en eluso de el concepto matematico de espacio de recubrimiento el cual esta re-lacionado con el calculo del los grupos de homotopia del espacio topologicosobre el que se monta el espacio recubridor. A continuacion se presenta unejemplo clasico y elemental del uso de este metodo en el calculo de la cardi-nadad de clases de puntos fijos de Nielsen de una funcion continua, ademasde constituir una de las ideas matematicas basicas de la teorıa de puntos fijosde Nielsen.

Proposicion 4.0.0.1 (J. Nielsen 1920). Sea f : S1 −→ S1 una funcion con-tinua sobre el circulo unitario. Supongamos que el grado de f es d. Entoncesel mınimo numero de puntos fijos en la clase de homotopia de f es |1− d|.

Demostracion. Sea S1 = {z ∈ C||z| = 1} el circulo unitario en el planocomplejo C y p : R −→ S1 la funcion exponencial definida por la formulap(θ) = eiθ. Entonces el argumento de x es θ. Para cualquier funcion continua

f : S1 −→ S1, podemos encontrar siempre una funcion continua f : R −→ Rdefinida en el argumento que llamaremos levantamiento de f que hace con-mutar el siguiente diagrama, es decir:

fp(θ) = pf(θ)

R

p

��

ef // R

p

��

S1f

// S1,

o lo que es lo mismo

f(eiθ) = eef(θ),

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en efecto una gran cantidad de estas funciones (levantamientos) se distinguen

de las otras por multiplos de 2π. Para definirlas escribimos fo que pertenecea [0, 2π), y escribimos:

fk = fo + 2kπ.

Del hecho que el grado de f es d, las funciones fk se definen por la expresion

fk(θ + 2π) = fk(θ) + 2dπ.

Por ejemplo si f(z) = −zd, entonces fk(θ) = dθ+ (2k+ 1)π. Es evidente quez = eiθ es un punto fijo de f , es decir es solucion de la ecuacion f(z) = z,

entonces θ es un punto fijo de algun levantamiento fk de f para algun k, esdecir fk(θ) = θ para el anterior k. En otra direccion, si θ es un punto fijo de

fk, q es un entero, se tiene que θ + 2qπ es un punto fijo de fk si

l ≡ k mod(1− d).

Lo anterior resulta de el siguiente calculo

fl(θ + 2qπ) = fk(θ + 2qπ) + 2(l − k)πdθ + (2k + 1)π

= fk(θ) + 2qdπ + 2(l − k)π

= (θ + 2qπ) + 2π((l − k)− q(1− d)).

Entonces si l y k no cumplen con la ecuacion:

l ≡ k mod(1− d)

se concluye que los puntos fijos de fk y los de fl nunca pueden pertenecer ala misma clase de puntos fijos de f , de donde se concluye que

p(Φ(fk)) ∩ p(Φ(fl)) = φ.

De lo anterior se tiene que el levantamiento cae dentro de las clases de equi-valencia llamadas clases de levantamiento por la relacion

fl ∼ fk ⇐⇒ l ≡ k mod(1− d)

y los puntos fijos de f se dividen en |1 − d| clases llamadas clases de pun-

tos fijos, de la forma p(Φ(fk)). Esto es dos puntos fijos estan en la mismaclase si ellos vienen del levantamiento con el mismo argumento. Observeseque cualquier clase de puntos fijos es por definicion asociada a la clase de

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levantamientos, de manera que el numero de clases de puntos fijos es |1− d|si d 6= 1, y es ∞ si d = 1. Ademas las clases de puntos fijos no son vacias.Ahora para probar que la funcion f de grado d tiene a los sumo |1−d| puntosfijos, solo se tiene que probar que las clases son no vacias. En efecto, paracualquier k, se tiene

fk(θ + 2π)− fk(θ) = 2dπ,

es facil ver que la funcionθ − fk(θ)

toma distintos signos cuando θ se aproxima a ±∞, entonces fk tiene a losumo un punto fijo.

En comparacion con los anteriores resultados, la teorıa de puntos fijos deNielsen tiene una extraordinaria formulacion matematica utilizando el grupode homotopia de un espacio topologico que es un invariante homotopico dela topologia algebraica y diferencial.

Teorema 4.0.0.2 (Teorema de Nielsen-Brouwer 1,921). Dada una funcioncontinua f : T −→ T donde T es un toro. Supongamos que el homomorfismoinducido por el grupo fundamental

f∗ : π(T ) −→ π(T ),

tiene una matriz de representacion M(f∗). Entonces

Min{|Φ(g)| | g ' f} = det(I −M(f∗)).

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Parte II

Marco Teorico

11

Capıtulo 5

Topologia de los Poliedros

Consideremos espacios topologicos tales como la botella de Klein K o lacinta de Mobius M que son ejemplos de espacios triangulables, y ademas CW-complejos como veremos mas adelante al tratar estos espacios relevantes entopologıa algebraica. Los detalles teoricos y demostraciones especıficas sobretopologıa devil, complejos simpliciales y topologıa de poliedros pueden verseen ( R. Brown, [4] M. Moreira, [20], S. Hu, [11], J. H. Whitehead, [34] S.Willard, [33]).

Definicion 5.0.0.3. Sea {Xα}α∈A una familia de espacios topologicos laTopologıa de Tychonoff o topologıa producto en el producto carteciano∏

α∈A

Xα = {f : A −→ ∪α∈AXα|f(α) ∈ Xα, para todo α ∈ A}

se obtiene tomando como base de los conjuntos abiertos, los conjuntos de lafoma

∏α∈A Uα donde

P-a) Uα es abierto en Xα, para todo α ∈ Xα,

P-b) Para todo α ∈ A pero finitas coordenadas, Uα = Xα.

Ademas se definen las proyecciones como πβ :∏

α∈AXα −→ Xβ definida porla ley πβ(x) = xβ.

El lector puede notar que el conjuntos∏

α∈A Uα, donde Uα = Xα. exeptopara un numero finito {α1, . . . , αn} se puede escribir:∏

α∈A

Uα = π−1α1

(Uα1) ∩ · · · ∩ π−1αn (Uαn), (5.1)

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Definicion 5.0.0.4. Consideremos el conjunto V = {vo, v1, . . . , vq} el p-dimensional simplex generado por V sera el subspacio cerrado σV , del espaciotopologico potencia

RV = {f : V −→ R|f(vi) ∈ Ri}

con la topologıa producto, que satisface las siguientes porpiedades:

S1 f(v) ≥ 0 para todo v ∈ V

S2∑

v∈V f(v) = 1.Los q+1 objetos de V son llamados vertices del simplex σV

Proposicion 5.0.0.5. Todo subspacio E de un espacio metrizable X es me-trizable.

Demostracion. Sea d : X2 −→ R la metrica en X que define la topologıa enX. Sea d|E la restriccion que es obviamente una metrica.

Teorema 5.0.0.6. El producto contable de espacios topologicos metrizableses metrizable.

Definicion 5.0.0.7. Definimos la metica d en RV como:

d(f, g) =

√∑v∈V

(g(v)− f(v))2,

para cualesquiera f , g en σV .

Proposicion 5.0.0.8. El simples σV es un espacio metrizable.

Proposicion 5.0.0.9. Cualesquiera dos simplex σV y σW de dimesion q sonhomemorficos.

Demostracion. Conssideremos la biyeccion

β : V −→ W

del conjunto de vertices V en W . Etonces β induce un homemorphismo

hβ : RW −→ RV

definido por la ley hβ(f) = f ◦ β : V −→ R para cualquier funcion

f : W −→ R ∈ RW .

De lo anterior se deduce que hβ preserva las propiedades S1 y S2, de dondeconcluimos que hβ mapea homemorficamente σV en σV .

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Definicion 5.0.0.10.

∆q = [vo, v1, . . . , vq] = {q∑i=1

tivi|q∑i=1

ti = 1}

que es un subconjunto cerrado de Rq+1 con la topologıa producto.

Entonces cualquier simplex σV de dimension q es homeomor-fico a el q-simplex unitario ∆q definido arriba, en lo sucesesivose usara este prototipo para simplex q-dimensionales. Para cual-quier vertice v ∈ V de un q-dimensional simplex σV , existe ununico punto fv en σV tal que

fv(v) = 1,

fv(V − v) = 0.

Definimos una funcion inyectiva i : V −→ σV mediante la ley i(v) = fv. Deesta manera identificamos cada v ∈ V con fv, y por consiguiente se concluyeque V ⊂ σV . En general, sea W un subconjunto arbitrario de V . Si Wconsite de p+1 objetos, entonces determina un simplex de dimesion p, σW .Para cualquier punto g ∈ σW , existe un unico punto fg ∈ σW tal que:

fg(v) =

{g(v), si v ∈ W0, si v ∈ V −W.

La funcioni : σW −→ σV

definida paro la ley i(g) = fg es una imersion de σW en σV . Identificamos gcon fg para todo g ∈ σW y se obtiene σW como un subespacio cerrado de σVdefinido de la siguiete manera:

σW = {f ∈ σV |f(v) = 0; ∀v ∈ V −W}.

Este simplex σW sera llamada cara de diemension q de σV o q-cara de σV .

Proposicion 5.0.0.11. El simplex σV es la conbinacion convexa de sus ver-tices V ; es decir,

σV = {∑v∈V

αvfv|∑v∈V

αv = 1;αv ∈ R},

donde R son los numeros reales.

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Definicion 5.0.0.12. Un complejo simplicial abstracto con vertices en V , seentiende como una familia K de subconjuntos finitos de V , que satisfacen:

s1 Todo subconjuto de K esta en K.

Ejemplo 5.0.0.13. Consideremos una cubierta abierta V = {Uj}j∈J de unespacio topologico X. Entonces todo miembro de V is subconjunto abiertono vacio de X. Definimos la familia K como los subconjuntos finitos demiembros de V de la siguiente manera: Un subconjunto finito F de V estaen la familia K si tiene interseccion no vacia de sus miembros. El anteriorde un complejo simplicial abstracto es llamado nervio abstracto de la cubiertaabierta V del espacio topologico X.

Nota 5.0.0.14. Vamos a contruir el espacio |K| llamado realizacion topologicade K de la siguiente manera: Para cualquier subconjunto finito F ∈ K,consideremos el simplex σF . Estos simplices

{σF |F ∈ K}

son por definicion espacios topologicos disjuntos. Formulamos la suma topo-logica

S(K) =∐F∈K

σF ,

entonces S(K) es un espacio metrizable, conteniendo todo los simplexex σFcomo subespacios abiertos y cerrados. Introducimos una relacion de equiva-lencia en S(K) de la siguiente manera: Sea f ∈ σF y g ∈ σG dos puntos deS(K). Entonces definimos f ∼ g si:

R1. f(v) = 0; ∀v ∈ F −G;

R2. g(v) = 0;∀v ∈ G− F ;

R3 f(v) = g(v);∀v ∈ V ∩G

Lema 5.0.0.15. La relacion ∼ en S(K) es una relacion de equivalencia.

Definicion 5.0.0.16. El espacio cociente

|K| = S(K)

∼

se llama la realizacion topologica del complejo simplicial K.

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Los detalles sobre los complejos simpliciales se encuentran en (E. Spanier,[31])

Consideremos ahora la proyeccion natural

p : S(K) −→ |K|,

se tiene que p es una identificacion.

Proposicion 5.0.0.17. Para cualquier F ∈ K, la restriccion

p|σF : σF −→ |K|,

es una immersion.

Corolario 5.0.0.18. Para cualquier F ∈ K, p(σF ) es un subespacio cerradode |K|.

De las proposiciones anteriores se tiene que podemos identifi-cal σF con p(σF ) y considera simples σF como un subespacio dela realizacion topologica |K|. Entonces cualquier simplex σF serallamado simplex cerrado del complejo simplicial |K|. La imagen

ωF = p(int(σF ))

sera llamado el correspondiente simplex abierto del poliedro sim-plicial |K|. El conjunto de simplex abiertos

{ωF |F ∈ K}

son todos disjuntos entre si y una cubierta abierta de |K| es decir:

|K| =⋃F∈K

ωF .

Es claro que ωF = σF , de lo anterior podemos equipar |K| conla topologıa τ que llamaremos topologıa de Whitehead en honora J. Whitehead quien invento estos objetos y los generalizo a losCW-Complejos.

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5.1. Topologia de Whitehead

Proposicion 5.1.0.19. Un subconjunto U ⊂ |K| esta en la topologıa τ de|K| si y solamente si U ∩σF es un subconjunto abierto de el simplex σF paratodo F ∈ K.

La topologıa τ del complejo simplicial |K| es los que J. H. Whi-tehead llama topologıa debil, para mas detalles sobre la topologıadebil y complejos simplicales generalizados veanse (M. Moreira,[20]).

Definicion 5.1.0.20. Un espacio topologico X es un poliedro si existe uncomplejo simplicial K y un homorfismo h : |K| −→ X. El par ordenado(K,h) sera llamado una triangualcion del espacio topologico X.

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Capıtulo 6

Homologıa de los Poliedros

Definicion 6.0.0.21. Si K es un complejos simplicial orientado y q ≥ 0, seaCq(X) el grupo Abeliano que tiene la siguiente presentacion:

Generadores Todas las (q+1) coordenadas (vo, . . . , vq) con vi ∈ V talque s = {

∑qi=0 αivi|

∑qi=0 αi = 1} es un simples de K.

Relaciones

(i) (vo, . . . , vq) = 0 si algun vertice se repite;

(ii) (vo, . . . , vq) = (sigπ)(vπ(o), . . . , vπ(q)) donde π es una permuta-cion del grupo de permutaciones sobre el conjunto {vo, . . . , vq}.

Mas detalles sobre la teoria de homologia que usaremos en este contextopuede encontrarse en (E. Spanier, [31]).

Definicion 6.0.0.22. Se define

∂a : Cq(K) −→ Cq−1(K)

mediante la formula:

∂q([vo, . . . , vq]) =

q∑i=0

(−1)i[vo, . . . , vi, . . . vq]

donde vi significa que se elimina el vertice y expandiendo por linealidad.

Teorema 6.0.0.23. Si K es un complejo simplicial orientado de dimensionm, entonces

0→ Cm(K)∂→ · · · ∂→ C1(K)

∂→ CoK)→ 0,

es una cadena compleja.

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Definicion 6.0.0.24. Si K es un complejo simplicial orientado, entonces

Zq(K) = Ker∂

Bq(K) = Img∂

Hq(K) =Zq(K)

Bq(K)es el q-esimo grupo de homologia de complejo simpli-

cial K.

6.1. Secuencia de Meyer Vietoris

Teorema 6.1.0.25 (Esicion). Si K1 y K2 son subcomplejos simplicialesde un complejos simplicial K con K = K1 ∪ K2, entonces la inclusion i :(K1, K1 ∩K2) −→ K,K2 induce un isomorfismo, para todo q ≥ 0,

Hq(K1, K1 ∩K2) −→ Hq(K,K2).

Teorema 6.1.0.26 (Secuencia de Meyer-Vitoris). Si K1 y Si K2 sonsubcomplejos simpliciales de un complejos simplicial K con K = K1 ∪ K2,entonces existe una secuencia exacta larga de grupos de homologia:

. . .→ Hq+1(K)→ Hq(K1 ∪K2)→ Hq(K1)⊕Hq(K2)→ Hq(K)→ . . .

Teorema 6.1.0.27. Para cualquier complejo simplicial finito y orientado K,se tiene que para todo q,

Hq(K) ' Hq(|K|).

6.2. Teorema de Elenberg-Zilber

Definicion 6.2.0.28. sea (C∗, d) y (G∗, ∂) dos cadenas complejas no nega-tivas. El producto tensorial (C∗ ⊗ G∗, d ⊗ ∂) es una cadena compleja cuyosterminos de grado q ≥ 0 estan dados de la siguiente manera:

(C∗ ⊗G∗)q =∑i+j=q

Ci ⊗ Cj,

y cuya diferenciacion

Dq : (C∗ ⊗G∗)q −→ (C∗ ⊗G∗)q−1

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esta definida por la ley

Dq(ci ⊗ gj) = dci ⊗ gj + (−1)ici ⊗ ∂gj,

para i + j = q. El signo de la definicion de Dq forza a que Dn−1Dn = 0, dedonde la cadena es una cadena compleja.

Teorema 6.2.0.29 (Elenberg-Zilber). Para espacios topologicos X y Yexiste una equivalencia natural unica exepto homotopia

ζ : S∗(X × Y ) −→ S∗(X)⊗ S∗(Y ),

entoncesHq(X × Y ) ' Hq(S∗(X)⊗ S∗(Y )).

6.3. Teorema de Coeficientes Universales

Teorema 6.3.0.30 (Coeficientes Universales). Para cualquier par de es-pacios topologicos X y para todo grupo Abeliano G existe una secuencia exac-ta split para cualquier entero q ≥ 0:

0→ Hq(X)⊗G α→ Hq(X,G)→ Tor(Hq−1(X), G)→ 0,

donde α(zi⊗ g) = ζ ′(zi ⊗ g), ademas se tiene que como la anterios secuenciaexacta es split lo cual significa:

HqX;G) ' Hq(X)⊗G⊕ Tor(Hq−1(X), G).

6.4. Formula de Kunneth

Teorema 6.4.0.31 (Teorema de Kunneth). Si son (C∗, d) y (G∗, ∂) doscadenas complejas no negativas libres, entonces existe una secuencia exactasplitpara todo q:

0→∑i+j=q

Hi(C∗)⊗Hj(G∗)κ→ Hq(C∗⊗G∗)→

∑r+s=q−1

Tor(Hr(C∗), Hs(G∗))→ 0,

donde κ(zi ⊗ zj) = ζ ′(zi ⊗ zj); ademas la secuencia anterior es split lo quesignifica:

Hq(C∗ ×G∗) '∑i+j=q

Hi(C∗)⊗Hj(G∗)⊕∑i+j=q

Tor(Hi(C∗), Hj(G∗)).

20

Teorema 6.4.0.32 (Formula de Kunneth). Para cualquier par de espa-cios topologicos X y Y y para cualquier entero q ≥ 0, existe un secuenciaexacta y split:

0→∑i+j=q

Hi(X)⊗Hj(Y )κ→ Hq(X×Y )→

∑r+s=q−1

Tor(Hr(X), Hs(Y ))→ 0,

donde κ(zi ⊗ zj) = ζ ′(zi ⊗ zj) y ζ′ : S∗(X) ⊗ S∗(Y ) −→ S∗(X × Y ) es elinverso de la cadena equivalen de Eilemberg-Zilber. Entonces se obtiene lasiguiente formula:

Hq(X × Y ) '∑i+j=q

Hi(X)⊗Hj(Y )⊕∑i+j=q

Tor(Hi(X), Hj(Y )).

Definicion 6.4.0.33. La Caracterıstica de Euler χ(K) de unpoliedro K, se define por la formula:

χ(K) =∑p∈N

(−1)pβp(K),

donde βp(K) = dim(HP (K;Q)) = dim(Hp(K;Q)) es el p-esimonumero de Betti del poliedro K.

La formula original que presento Kunneth se muestra a con-tinuacion en donde el lector encontrara el sentido del uso de lamisma en nuestra teoria.

Teorema 6.4.0.34. Sean X y Y poliedros compactos, entonces

βq(X × Y ) =∑i+j=q

βi(X)βj(Y ),

donde βi(X) es el i-esimo numero de Betti de X.

Las consideraciones teoricas sobre la teorica de cohomologiade los poliedros son analogas y puenden deducirse facilmente en(E. Spanier, [31]).

21

Capıtulo 7

El Grado de una Funcion

A continuacion se establecen los elementos fundamentales y las herra-mientas matematicas a utilizar en esta investigacion con el objeto de obtenerun calculo de puntos fijos Nilceanos. Comenzaremos con el desemvolvimientode la teorıa de ındices de puntos fijos para funciones contınuas.

El primer punto a examinar como antecedente es el problema de existenciade puntos fijos de una funcion continua; que es uno de los problemas clasicosen teorıa topologica de puntos fijos.

El grado de una funcion continua constituye el elemento fundamentalpara la determinar la existencia de puntos fijos en un funcion continua sobreun poliedro compacto y conexo.

Definicion 7.0.0.35. Una funcion continua

f : U −→ E,

de un subespacion abierto U ⊂ E se llama d-compacta si f−1(0) es un sub-conjunto compacto de U . Para cualquier funcion d-compacta f : U −→ E,podemos definir un entero deg(f) ∈ Z llamado el grado de f como la medidaalgebraica de f−1(0).

7.1. Aproximacion Diferenciable al Grado

El antecedente natural clasico para esta aproximacion se basa en el Teo-rema de Sard en el contexto de la Topologia Diferencial.

Teorema 7.1.0.36. (Sard, 1942) Sea

f : U −→ Rp

22

una funcion diferenciable, con U abierto en Rn, sea

C = {x ∈ U | rang(dfx) < p},

el conjunto de puntos crıticos de f . Entonces f(C) ⊂ Rp tiene medida cero.

Nota 7.1.0.37. Una consecuencia inmediata del Teorema anterior dice que elconjunto de valores regulares es denso en Rp. Consideremos ahora la defi-nicion en terminos de diferenciabilidad para el grado. Primero asumiremosque f es una funcion continua y diferenciable y 0 es un valor regular. Porconsiguiente aplicando el Teorema de la Funcion Inversa se tiene que paratodo x ∈ f−1(0), x es un cero aislado. Ahora f−1(0), es compacto, discretoy finito. Denotemos por Dfx la derivada en el punto x ∈ f−1(0). Del hechoque 0 es un valor regular de f entonces

Dfx : TxU −→ Tf(x)E

tiene rango maximo, es decir es un epimorfismo y entonces un isomorfis-mo. De manera que podemos contar con la siguiente definicion sig(Dfx) =sig(det(Dfx)). El lector puede notar que el sig(f) no depende de la escogen-cia de la base. En efecto, dadas dos matrices A y B que representan Dfx endiferentes bases, entonces existe una matriz P de tal que B = PAP−1 por loque sus determinantes son iguales.

Definicion 7.1.0.38. [Grado en el Contexto Diferenciable] Sea

f : U −→ E

una funcion continua y diferenciable, y 0 un valor regular de f ; definimos elgrado de f como:

deg(f) =∑

x∈f−1(0)

sig(Dfx).

Una cosideracon interesante en el contexto a tratar en unainvestigacion posterior cercanamente relacionada en este contex-to es el siguiente Teorema, para mas consideraciones vease (V.Guillemin and A. Pollack, [8]).

Teorema 7.1.0.39 (Teorema de Stack of Records). Si y es un valor regu-lar de una funcion diferenciable f : X −→ Y con X compacto y X tiene lamisma dimension que Y , entonces f−1(y) es un conjunto finito {x1, . . . , xN}.Ademas existe una vecindad U de y en Y tal que f−1(U) es la union disjun-ta V1 ∪ · · · ∪ VN donde las Vi son vecindades abiertas de los xi y f mapeadifeomorficamente cada Vi en U .

23

7.2. Aproximacion Homologıca al Grado

Definicion 7.2.0.40. La orientacon de un espacio vectorial E de dimensionn en el punto x ∈ E es una escogencia de un generador de el n-esimo grupode homologia Hn(E,E − x) ' Z,

Mas detalles sobre el concepto homologico del grado pueden verse en ( H.Hopf, [9], [?]).

La anterior definicion puede interpretarse de la siguiente ma-nera, sea

∆n = {n∑i=0

αivi|n∑i=0

αi = 1}

que denota el n-simplex que determina un funcion afin

φ : ∆n −→ Rn

definida por la ley φ(vi) = αi. Si y ∈ int(φ(∆n)) entonce la clasede homologiaφ es generador del grupo de homologia Hn(E,E −y) ' Z, el cual denotaremos como zy. Fijemos una orientacionzyo del grupo de homologia Hn(E,E − yo). Consideremos la bolacerrada B entonce se tienen los siguientes isomorfismos

Hn(E,E −B) ' Hn(E,E − yo) ' Hn(E,E − y),

inducidos por las inclusiones

i : (E,E −B) −→ (E,E − yo)

yi : (E,E −B) −→ (E,E − y)

los elementos correposndientes a zo bajo estos isomorfismos seranzB y zy en Hn(E,E−B) y Hn(E,E−y) respectivamente. Si gene-ralizamos la anterior idea se tiene que para un conjuto compactoC ⊂ E podemos encontrar una bola cerrada B que contenga aC y su interior, y podemos definir la orientacion a lo largo de Ccomo imagen zB definida arriba mediante el isomorfismo:

iCB : Hn(E,E −B) ' Hn(E,E − C),

inducido por la inclusion natural.

24

Lema 7.2.0.41. La definicion de orientacion local en un subconjunto com-pacto C ⊂ E, no depende de la escogencia de la bola cerrado B. Esta dependesolamente de la escongecia de la orientacon en el punto x ∈ C

Demostracion. Sea B y B′ dos bolas cerrada que continen al conjunto com-pacto C y a x. Sean zB y zB′ las orientaciones respectivas obtenidas del usode las bolas B y B′. Asumamos primero que B′ ⊂ B. Entonces

zC = iCB(zB) = iCB′ (iB′B(zB)) = iC′B(zB′) = z′C ,

donde iCB denota el homomorfismo de grupos homologia inducido por lainclusion (E,E − B) ↪→ (E,E − C). En general se fija una bola cerrada B′′que contenga a Sea B y B′. Entonces se tiene que zC = z′′C y z′C = z′′C con loque se concluye que zC = z′C .

Definicion 7.2.0.42. Si U ⊂ E un subconjunto abierto conteniendo unconjunto compacto C, entonces zC ∈ Hn(E,E−C), la orientacion a lo largode C, puede considerarse como un elemento de

Hn(U,U − C) ' Hn(E,E − C),

donde el anterior isomorfismo se obtiene del Teorema de Esicion.

Definicion 7.2.0.43. Sea E un espacio Euclidiano de dimension n, U ⊂ Eun subconjunto abierto de E, fijamos un generador

zo ∈ Hq(E;E \ 0).

Dada una funcion compacta

f : U −→ E,

el generador

zf−1(0) ∈ Hn(U ;U \ f−1(0)) ∼= Hn(E;E \ f−1(0))

denota la orientacion a lo largo de el conjunto compacto f−1(0). La funcioncontinua f induce un homorfismo de grupos de homologia:

f∗ : Hn(U ;U \ f−1(0)) −→ Hn(E;E \ f−1(0)) ∼= Z.

Ahora f∗(zf−1(0)) = dzo para un entero d. Este numero d es llamado el gradode la funcion contınua compacta f , y lo denotaremos por deg(f) = d.

Proposicion 7.2.0.44. Si f : C −→ C esta definida por la ley f(z) = zk

para un entero k ∈ Z, entonces deg(f) = k.

25

Demostracion. Dado que f−1(0) = {0} entonces f es una funcion contınuacompacta, de manera que solo resta probar que el homomorfismo

f∗ : Hn(C;C \ 0) −→ Hn(C;C \ 0) ∼= Z

es una multiplicacion por k. Para tal efecto consideremos el siguiente diagra-ma de grupos de homologia:

H2(C;C \ 0)

f∗��

∼= // H1(C \ 0) ∼= H1(S1)

f∗��

H2(C;C \ 0)i∗

// H1(C \ 0) ∼= H1(S1),

las flechas horizontales son isomorfismos de grupos, entonces del Teorema deHurewicz se tienen:

H1(S1) ∼= Π1(S

1) ∼= Z,

por lo que el homomorfismo inducido es una multiplicacion por k, comoqueriamos probar.

7.3. Propiedades del Grado en el Contexto

Homologıco

Ahora mostraremos que la definicion homologica del grado cumple conlas cinco propiedades basicas inherentes a este concepto matematico. En estenivel estamos considerando siempre a U ⊂ E un subconjunto abierto delespacio Euclidiano E y f : U −→ E una funcion contınua compacta.

Lema 7.3.0.45. [Localizacion]Sea i : V −→ U una inclusion de un subconjunto abierto V que satisface

f−1(0) ⊂ V . Entonces deg(f |V ) = deg(f).

Demostracion. Consideremos el siguiente diagrama conmutativo:

Hn(V ;V \ f−1(0))

i∗��

f∗ // Hn(E;E \ 0)

∼=��

Hn(U ;U \ f−1(0))f∗

// Hn(E;E \ 0).

26

Lema 7.3.0.46. [Unidad]Sea i : U −→ E la funcion inclusion, donde U es un subconjunto abierto deE. Entonces

deg(i) =

{1, if 0 ∈ U ;0, otro caso.

Demostracion. Podemos observar que la composicion:

Hn(E;E \ 0)i−1∗ // Hn(U ;U \ 0)

i∗ // Hn(E;E \ 0)

es el homomorfismo identidad por el Teorema de Exicion; vease [GJ], si0 ∈ U , y es 0 y si 0 ∈ U c del hecho que

Hn(U ;U \ 0) = 0.

Lema 7.3.0.47. [Aditividad] Si U1 y U2 son subconjutos abiertos conte-nidos en U tal que las restricciones f |U1 y f |U2 son fijamente compactas, yU1 ∩ U2 es disjunto de f−1(0), entonces

deg(f) = deg(f |U1) + deg(f |U2).

Demostracion. Como (f |U1)−1(0) y (f |U−1

2 (0) son compactos y disjuntos,existe un subconjuntos abiertos U ‘

i que satisfacen (f |U1)−1(0) ⊂ Ui para

i ∈ {1, 2}. Por la propiedad de localizacion se tiene que deg(f |Ui) = deg(f |U ‘i)

entonces podemos asumir que los conjuntos U1 y U2 son disjuntos. Entoncesel nuestro Lema se concluye de la conmutatividad del siguiente diagrama:

Hn(U1;U1 \ f−1(0))⊕Hn(U2;U2 \ f−1(0))∼=

ssffffffffffffffffffffff

i∗��

f |U1⊕f |U2

++WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW

Hn(E;E \ f−1(0)) ∼=// Hn(U1 ∪ U2;U1 ∪ U2 \ f−1(0))

f∗// Hn(E;E \ 0).

Lema 7.3.0.48. [Invarianza Homotopica]Sea U ⊂ E un subconjunto abierto y

F : U × I −→ E

una homotopia compacta. Entonces deg(fo) = def(f1), donde ft = F (., t)para todo t ∈ I.

27

Demostracion. Como F−1(0) es compacto, p1(F−1(0)) ⊂ U es tambien com-

pacto, dondep1 : U × I −→ U

es a proyeccion. Consideremos entonces el siguiente diagrama conmutativo:

Hn(U ;U \ p1F−1(0)) //

∼=��

Hn(U ;U \ f−1(0))

io∗��

fo∗

**UUUUUUUUUUUUUUUU

Hn((U ;U \ p1F−1(0))× I) // Hn(U × I;U × I \ F−1(0))

F∗ // Hn(E;E \ 0)

Hn(U ;U \ p1F−1(0)) //

∼=

OO

Hn(U ;U \ f−1(0))

i1∗

OO

f1∗

44iiiiiiiiiiiiiiii

Observemos que

i0(zf−1o (0)) = i1(zf−1

1 (0)) = j∗(zp1F−1(0)) ∈ Hn(U × I;U × I \ F−1(0)),

donde

j : ((U ;U \ p1F−1(0))× I) −→ (U × I;U × I \ F−1(0))

es la inclusion y

zp1F−1(0) ∈ Hn(U ;U \ p1F−1(0)) = Hn((U ;U \ p1F

−1(0))× I).

Lema 7.3.0.49. [Multiplicabilidad]Sean U ⊂ E y U ‘ ⊂ E‘ dos subconjuntos abierto y sea

f : U −→ E

f ‘ : U ‘ −→ E‘

dos funciones contınuas compactas. Entonces

f × f ‘ : U × U ‘ −→ E × E‘

es una funcion contınua compacta, y deg(f × f ‘) = deg(f)deg(f ‘).

Demostracion. Como (f × f ‘−1)(0) = f−1(0)× f ‘−1(0) es compacto entoncesf × f ‘ es una funcion continua compacta. Ahora la formula del productodel grado sigue de la comutatividad del siguiente diagrama de grupos dehomologia:

28

Hn(U × U ‘;U × U ‘ \ (f × f ‘)−1(0))

∼=��

(f×f ‘)∗ // Hn(Rn ×Rn‘;Rn ×Rn‘ \ (0, 0))

∼=��

Hn((U ;U \ f−1(0))× (U ‘;U ‘ \ f ‘−1(0)))(f×f ‘)∗

//

∼=��

Hn(Rn ×Rn‘;Rn ×Rn‘ \ (0, 0))

∼=��

Hn(U,U \ f−1(0))⊗

Hn(U,U \ f−1(0))f∗⊗f ‘

∗

// Hn(Rn, Rn \ 0)⊗

Hn(Rn, Rn \ 0)

Sabemos que el elemento correspondiente a la orientacion

z(f×f ‘−1)(0) ∈ Hn(U × U ‘;U × U ‘ \ (f × f ‘)−1(0)),

corresponde bajo el isomorfismo vertical izquierdo del diagrama al elemento

zf−1(0)⊗ zf ‘−1(0) ∈ Hn(U,U \ f−1(0))⊗Hn(U,U \ f−1(0)),

entonces la propiedad queda demostrada.

Teorema 7.3.0.50. [Lema de Hopf para el Grado] Sea B ⊂ E una bolaen un espacio Euclidiano de dimension n, f : B −→ E una funcion continuaque satisface f(x) 6= 0 para todo x ∈ ∂B y deg(f) 6= 0. Entonces existe unahomotopia {Ht}t∈I tal que Ho = f y H1 = f1 donde f1(B) ⊂ E \ 0. Masaun, la homotopia puede ser constante en el borde de B.

Demostracion. Seaz ∈ Hn(B, ∂B) = Z,

el generador correspondiente a la orientacion escogida. Entonces el homo-morfismo de homologia inducido por la inclusion

i : (B, ∂B) −→ (B,B \ f−1(0))

satisface i∗(z) = zf−1(0). Ahora

(fi)∗(z) = f∗i∗(z) = f∗(zf−1(0)) = 0 ∈ Hn(E,E \ 0).

Consideremos ahora el siguiente diagrama de grupos de homologia:google Earth

Hn(B; ∂B)

f∗��

∼=∂ // Hn−1(∂B)

f∗��

∼= // Πn−1(∂B)

f]��

Hn(E;E \ 0)∂

// Hn−1(E \ 0)∼= // Πn−1(∂B),

29

Los homomorfismos horizontales son isomorfismos de la secuencia largade homologia:

// Hn(B) // Hn(B; ∂B)∂ // Hn−1(∂B) // Hn−1(B) //

donde Hq(B) = 0 para todo 0 < q ≤ n, y del isomorfismo de Hurewicz.Ahora, (fi)∗ = 0 implica que (fi)] = 0. Sabemos que ∂B ≈ Sn−1 entonces laclase de homotopia de la identidad

1 : Sn−1 −→ ∂B

representa un generador del grupo Πn−1(∂B) ∼= Z, y fi : ∂B −→ E \ 0 eshomotopica al mapeo constante c : ∂B −→ E \ 0 definido por c(b) = yo. Sea{ht}t∈I esta homotopia. Podemos entonces definir una funcion contınua

H ‘ : ∂B × I −→ E \ 0

de la siguiente manera:

H ‘(x, t) =

fi(x), si t = 0;yo, si t = 1ht(x), si t ∈ ∂B,

como E es un espacio topologico contractible, entoncesH ‘ tiene una extension

H : B × I −→ E,

que cumple con la primera parte del Teorema de Hopf. Ahora solo faltaajustar la homotopia para que sea constante sobre el borde ∂B. Siendo 0no pertenece a la imagen H ‘(∂B × I) y ∂B × I es un conjunto compacto,entonces existe un conjunto abierto U ⊂ B que satisface ∂B ⊂ U y 0 nopertenece a el conjunto H ‘((U ∩B)× I). Entonces si tomamos la funcion deUrysohn

η : B −→ I

definida como:

η(x) =

{1, si b ∈ B \ U ;0, si b ∈ ∂B

Entonces H(x, t) = H ‘(x, η(x)t) es una homotopia constante en ∂B comose querıa probar.

30

Capıtulo 8

Indice de los Puntos Fijos

Sea X un espacio topologico, U ⊂ X un su espacio de X con la topologiarelativa, y f : U −→ X una funcion contınua. Recordemos que

Φ(f) = {x ∈ X|f(x) = x},

denota el conjunto de puntos fijos de la funcion f que es cerrado en nues-tro contexto. El ındice es un concepto importante para definir invariantestopologicos como el numero de Lefschetz que nos permite determinar la exis-tentencia de puntos fijos de una funcion contınua dada sobre un espaciotopologico; al mismo tiempo que nos permite calcular el numero Nielsen, elconcepto de ındice fue primeramente desarrollado por Poincare, vease paramas detalles ([27], [?] y[?]) y H. Hopf provo la formula para puntos fijos,vease ([?] y [?]). Considerems ahora este concepto en el contexto de los es-pacios Euclidenos con el objeto de generalizar nuetro invariate. Si X = E esun espacio Euclidiano, entonces Φ(f) = F−1(0), donde

F : U −→ E

es una funcion contınua definida por la formula F (x) = x− f(x).

Definicion 8.0.0.51. Diremos que la funcion contınua f : X −→ X escompactamente fija si el conjunto Φ(f) es compacto.

Proposicion 8.0.0.52. Una funcion contınua

f : E −→ E

sobre un espacio Euclidiano es compactamente fija si y solamente si la fun-cion contınua

F : E −→ E

definida por F (x) = x− f(x) es d-compacta.

31

Demostracion. Necesidad, si Φ(f) es un conjunto compacto del hecho quef es compactamente fija, entonces como Φ(f) = F−1(0) se tiene que F escompacta.

Suficiencia, si Φ(f) = F−1(0) es compacto del hecho que F es compacta,entonces f es compactamente fija, como queriamos probar.

Definicion 8.0.0.53. Sea U ⊂ E un conjunto abierto de un Espacio Eucli-diano y

f : U −→ E

una funcion continua compactamente fija. Difinimos el ındice de los puntosfijos como:

ind(f) = deg(F ),

donde F (x) = x− f(x).

Nota 8.0.0.54. Si ind(f) 6= 0 implica la existencia de un punto fijo de lafuncion contınua f . En efecto, deg(F ) = ind(f) 6= 0, entonces hay un cerode F que es un punto fijo de f .

Ejemplo 8.0.0.55. Seac : U −→ E

es la funcion constante c(x) = xo para todo x ∈ U . Para calcular el ind(c)definimos sxo : U −→ E como sxo(x) = x− xo de donde si xo ∈ U c, entoncess−1xo (0) = ∅ entonces deg(sxo) = 0. Si xo ∈ U entonces s−1

xo (0) = {xo}, y xo esun valor regular de sxo con D(sxo) = id, entonces deg(sxo) = sig(D(sxo)) = 1,de donde se tiene el siguiente resultado:

ind(c) =

{1, if xo ∈ U ;0, otherwise.

Ejemplo 8.0.0.56. Sea f : X −→ X una funcion lineal, representada por lamatriz A Entonces Φ(f) = Ker(I−f) es compacto, si y soloamene si (I−f)es un isomorfismo si y solamente si 1 no es un eigenvalor de f . Entoncesind(f) = deg(I − f) = sig(det(I − f)).

Teorema 8.0.0.57. [Teorema Fundamental del Algebra] Para cual-quier polinomio

P (z) = aozn + · · ·+ an−1z + an

ai ∈ C, ao 6= 0, n > 0, P tiene una raız compleja.

32

Demostracion. Es suficiente probar que deg(P (x)) = n 6= 0. Para lograr esteobjetivo escribamos

P (z) = zn(ao +a1

z+ . . .+

anzn

) = zn(ao + V (z)),

dondeV (z) =

a1

z+ . . .+

anzn

es una funcion meromorfa que satisface

lımz−→∞

V (z) = 0.

Entonces existe un numero R > 0 tal que

|V (z)| ≤ |ao|2,

para |z| ≥ R. Denotemos ahora la homotopia {Pt(z) = zn(ao + tV (z))}t∈I yprobaremos que es compacta.Para tal objeto observemos que

|Pt(z)| = |zn||(ao + tV (z))| ≥ |(ao + V (z))| ≥ |zn| |ao|2≥ Rnao

2> 0

para |z| ≥ R. Entonces la homotopia {Pt(z) = zn(ao+tV (z))}t∈I es compactay

deg(P ) = deg(Po) = deg(P1)

por el Teorema de Invarianza Homotopica, donde Po(z) = aozn. Ahora si

ω : I −→ C \ 0

es un camino tal que ω(0) = ao y ω(1) = 1. Entonces {Ht(z) = ω(t)zn}t∈Ies una homotopia compacta de Po a f(z) = zn de donde deg(Po) = n comoqueriamos probar.

Corolario 8.0.0.58. Si P (z) es un polinomio de grado n entonces deg(P ) =n.

Demostracion. En efecto F (z) = z−P (z) es tambien un polinomio de gradon y por lo tanto el numero de raıces del polinomio es finito y F es unafuncion continua compacta, de donde ind(P ) = grad(F ) = n, como se querıaporbar.

Ejemplo 8.0.0.59. Consideremos el polinomio de grado n, P (z) arriva des-crito, entonces F (z) = z−P (z) es un polinomio de grado n, como el numerode raices de F (z) es finito, entonces F (z) es compacto, de donde P (z) esd-compacto y podemos calcular ind(P ) = deg(F ) = n.

33

8.0.1. Propiedades del Indice de los Puntos Fijos

Sea f : U −→ E una funcion compactamente fija de un subconjuntoabierto U del espacio Euclideano E.

Lema 8.0.1.1 (Localizacion). Sea f : U −→ E una funcion compactamentefija de un subconjunto abierto U del espacio Euclideano E. Sea i : U ′ −→ Ula inclusion de un subconjunto abierto que satisface φ(f) ⊂ U ′ Entonces f |U ′es compactamente fija y ind(f |U ′) = ind(f).

Demostracion. De la definicion ind(f) = deg(I − f) y ind(f |U ′) = deg((I −f)|U ′). Mas aun

(I − f)−1(0) = Φ(f) = Φ(f |U ′) = deg((I − f)|U ′)−1(0)

aplicando ahora el lema para el grado los dos ındices son iguales.

Lema 8.0.1.2 (Aditividad). Si U1, U2 ⊂ U son subconjuntos abiertos de Utal que las restricciones f |U1 y f |U2 son fijamente compactas y U1 ∩ U2 sondisjuntos de φ(f), entonces

ind(f) = ind(f |U1) + ind(f |U2).

8.1. Aproximacion Cohomologıca al Indice de

los Puntos Fijos

Tomemos un generador ζ1 ∈ H1(R,R \ 0) ∼= K donde K es el campo decoeficientes para la cohomologia. Podemos definir generadores

ζn ∈ Hn(Rn, Rn \ 0) ∼= K

inductivamente utilizando el Teorema de Isomorfia de Kunneth.

κ : Hn−1(Rn−1, Rn−1 \ 0)⊗H1(R,R \ 0) −→ Hn(Rn, Rn \ 0),

y definimosζn = κ(ζn−1 ⊗ ζ1).

Una consecuencia de la asociatividad del producto tensorial nos permiteinterpretar el Teorema de isomorfia de Kunneth como:

κ : Hp(Rp, Rp \ 0)⊗Hq(Rq, Rq \ 0) −→ Hp+q(Rp+q, Rp+q \ 0),

34

y obtener la formula:

ζp+q = κ(ζp ⊗ ζq).

Sea xo ∈ Rn y dada la funcion

d : (Rn, Rn \ xo) −→ (Rn, Rn \ 0)

definida por la ley d(x) = x− xo. Sea

j : (Rn, Rn \ 0) −→ Hn(Sn, Sn \ 0)

yk : Sn −→ (Sn, Sn \ xo)

la inclusion. El lector puede observar que d∗ es un isomorfismo ya que d eshomeomorfismo de espacios topologicos, j∗ es isomorfismo por el Teorema deExicion,y k∗ es isomorfimos por la secuencia larga de cohomologia de Sn \xoque es contractible. Consideremos ahora la composicion:

Hn(Rn, Rn \ 0) d∗ // Hn(Rn, Rn \ xo)j∗−1

// Hn(Sn, Sn \ xo)k∗

// Hn(Sn) ,

y definimos

γn = k∗j∗−1d∗(ζn) ∈ Hn(Sn),

el cual siendo la composicion un isomorfismo entonces γn es un generadorde Hn(Sn) Veaese par los detalles de la anterior deduccion.

35

Capıtulo 9

Teorema de Lefschetz-Hopf

El numero de Lefschetz es una cuenta totalmente algebraica de los pun-tos fijos ademas de ser un invariante topologico. Pero esta cuenta de puntosfijos por multiplicidad es justamente como cuando se dice que un polinomiode grado n tiene n raıces. Un caso especial de este teorema son el Teoremade puntos fijos de Brouwer y sus generalizaciones, asi como el bien conoci-do Teorema de J. Leray para puntos fijos en Analisis Funcional. El lectorfacilmente puede preguntarse por la diferenciabilidad de la funcion contınuaf y como es la version diferenciable que consituye uno de los objetivos deinvestigacion del autor.

Teorema 9.0.0.3 (Lefschetz 1,927; Hopf 1928). Dado X un espacio topologi-co poliedral, y f : X −→ X una funcion continua. Definimos el numero deLefschetz L(f) de f como:

L(f) =∑q

(−1)qtr(f∗ : Hq(X;Q) −→ Hq(X;Q)),

donde Hq(X;Q) es la homologia racional de X. Si L(f) 6= 0, entonces todafuncion continua homotopica a f tiene al menos un punto fijo.

En el contexto de la topologıa diferencial podemos construir una versiondiferenciable de el Teorema de Lefschetz, utilizando la teoria de la intersec-cion; para mas detalles sobre este puntos vease (Guillemin y Pollack [8]).

Teorema 9.0.0.4 (Teorema de Lefschetz, version diferenciable). Dada lafuncion diferenciable f : X −→ X sobre una variedad diferenciable compactay orientable X. Definimos el numero de Lefschet L(f) de f usando teorıa deinterseccion geometrica como:

L(f) = I(4∩ Γ(f)),

36

donde Γ(f) y 4 denotan la grafica de f y la diagonal en X × X respecti-vamente. Si L(f) 6= 0, entonces toda funcion diferenciable homotopica a ftiene al menos un punto fijo.

Teorema 9.0.0.5 (Formula de Euler-Poincare, Hopf 1928). Si K es un com-plejo simplicial, ai es el numero de i-simples en K, entonces

χ(K) =∑i∈J

(−1)iβi(K).

Teorema 9.0.0.6 (Indice Poincare-Hopf 1927). Si −→v es un campo vectorialsuave en una variedad compacta y orientabe X con un numero finito de ceros,entoces la suma global de ındices de −→v iguala la caracteristica de Euler deX, es decir

χ(X) =∑

xi∈S(−→v )

ind(−→v , xi).

37

Capıtulo 10

Espacio de Recubrimiento

Definicion 10.0.0.7. Sea X un espacio topologico. Un espacio recubridor deX es un par formado por un espacio X y una funcion continua p : X −→ Xde manera que verifique las siguiente condicion: Todo punto x ∈ X tieneun entorno arcoconexo U tal que cada arcocomponente de p−1(U) se aplicaatravez de p homeomorficamente sobre U . La referencia clasica sobre espaciode recubrimientos esta en , ( E. Spanier [31], S. Therelfall [30]).

Ejemplo 10.0.0.8. Definamos p : R −→ S1 como

p(t) = (cos(t), sin(t))

para todo t ∈ R.

Definicion 10.0.0.9. Un levantamiento de una funcion continua f : X −→X es un funcion continua f : X −→ X p ◦ f = f ◦ p donde p : X −→ X es elrecubrimiento universal de X. Un tralacion del espacio de recubrimeinto, esuna funcion continua γ : X −→ X tal que p ◦ γ = p; en otras palabras quehacen commutativos los siguientes diagramas para f y γ respectivaamente:

X

p

��

ef // X

p

��X

f// X,

X

p

��

γ// X

p

��X

1X// X,

38

Definicion 10.0.0.10. Dos levantamientos f y f ′ de f : X −→ X se llama-ran conjugados si exise γ ∈ D, donde D = D(X, p) es el grupo de traslaciones

del espacio de recubriemto (X, p) de X, si:

f ′ = γ ◦ f ◦ γ−1.

Las clases de levantamientos que son clases de equivalencia por la relacionde conjugcion, se denotaran como:

[f ] = {γ ◦ f ◦ γ−1|γ ∈ D}

Definicion 10.0.0.11. El subconjunto p(φ(f)) de φ(f) =⋃ ef p(φ(f)) se lla-

ma clase de puntos fijos de f determinada por [f ]. El numero de clases delevantamientos puntos fijos vacias o no vacias, se llama Numero de Reide-mester y se denota por R(f), el cual es un numero entero o infinito, veasepara los detalles, (Reidemeister, [28]).

Definicion 10.0.0.12. Sea f : M −→ N una funcion diferenciable entrevariedades y sea L ⊂ N una subvariedad. Diremos que f es transversal a lasubvariedad L ⊂ N y lo denotaremos como f t L si la siguiente ecuacion:

Img(dfx) + Ty(L) = Ty(N),

es valida para todo x ∈ f−1(L), y donde Ty(L) y Ty(N) son los espaciostangentes a L y N respectivamente en el punto y.

Para mas detalles sobre el concepto geometrico de Transversalidadpuede vease en; (T. Broker y K. Janich [3] y [8])

10.1. Propiedad de Puntos Fijos en Espacios

Topologicos

Definicion 10.1.0.13. Un espacio topologico X tiene la propiedad de puntosfijos si para cualquier funcion continua f : X −→ X tiene un punto fijo.

Proposicion 10.1.0.14. La propiedad de existencia de puntos fijos es uninvariante topologico.

Definicion 10.1.0.15. Un poliedro conexo X es Q-acıclico si:

Hp(X;Q) =

{0, if q 6= 0;Q, otro caso.

39

Nota 10.1.0.16. Cualquier espacio topologico contractible X tiene la propie-dad de puntos fijos; en efecto, si el espacio es contractible al punto xo ∈ X,entonces para la inclusion

i : xo −→ X

el homomorfismo inducido

i∗ : H∗(X;Q) −→ H∗(xo;Q),

es un isomorfismo y por lo tanto X es Q-acıclico Entonces para cualquierfuncion continua

f : X −→ X

se tiene que L(f) es la traza del homomorfismo identidad:

f ∗ : H∗(X;Q) −→ H∗(xo;Q),

de donde L(f) es diferente de cero. Ademas queda probado que un poliedro Q-acıclico X tiene la propiedad de puntos fijos. El lector puede inmediatamentededucir el clasico Teorema del Punto fijo de Brouwer El n-disco Dn tiene lapopiedad de punto fijo para toda n. No obstante la anterior observacion lapropiedad de puntos fijos puede ser muy elusiva como lo observa Bing en suarticulo. Sea X denota el circulo unitario S1 con una espiral cubriendolo al

rededor. Entonces el cono CX =X × I{0} × I

de X es un espacio contractible

que no tiene la propiedad de puntos fijos.(Bing, [2]).

Proposicion 10.1.0.17. El espacio proyectivo real de dimension par RP 2n

tiene la propiedad de puntos fijos.

Demostracion. La J cohomologia de RP n es:

Hp(RP n; J) =

J, si p = 0,J2, p es par, p ∈ (0, n),J, si p=n y p es impar ,0, otro caso,

donde J2 es el grupo cıclico de orden 2. Siendo H∗(RP n; J) 6= H∗(xo; J), en-tonces RP 2n no puede ser contractible a xo. Como consecuencia del Teoremade Coeficientes Universales para la Cohomologia se tiene que, si Hp(X; J) esfinito entonces Hp(X;Q) = 0 de manera que RP 2n es Q-acıclico por tantotiene la propiedad de puntos fijos.

Nota 10.1.0.18. En otras palabras cuando n es impar RP n no es Q-acıcli-co, y no posee la propiedad de puntos fijos,no sucede lo mismo cuando setrata de espacio proyectivo FP n donce F son los numeros complejos C ocuaternionicos H, este hecho se prueba en la siguiente proposicion.

40

Proposicion 10.1.0.19. El espacio proyectivo FP n donde F son los nume-ros Complejos o Cuatenionicos, tiene la propiedad de puntos fijos.

Demostracion. La J2 cohomologia de el espacio proyectivo FP n es:

Hp(FP n; J2) =

{J2, si p = dk, k = 0, 1, . . . , n0, otro caso,

donde d = 2 si F = C y d = 4 si F = H. Sea α ∈ Hp(FP n; J2) un elementodiferente de cero, entonces

αk = α ∪ · · · ∪ α︸ ︷︷ ︸k

es el producto cup en el anillo de cohomologia Hdk(FP n; J2) para k =0, 1, . . . , n.Sea

f : FP n −→ FP n

una funcion continua. Sabemos que

π : F n+1 −→ FP n

es la proyeccion natural, de donde FP n es conexo, entonces f ∗(1) = 1 ∈Ho(FP n; J2). Sea f ∗(α) = aα, donde a ∈ J2. Como f ∗ preserva el productocup, se tiene f ∗(αk) = akαk = aαk. Entonces el numero de Lefschetz estadado por

L(f ; J2) = 1 + na,

de manera que si n es un numero par, entonces el numero de Lefschetz esimpar y aplicando el Teorema de Lefschetz para puntos fijos se tiene que ftiene un punto fijo, como queriamos probar.

Definicion 10.1.0.20. Una deformacion de un espacio topologico X es unfuncion continua sobre X homotopica a la funcion identidad 1X .

Nota 10.1.0.21. La idea de deformacion se enfoca en el hecho de que nosinteresa saber cuando una funcion continua f sobre un espacio topologicoX admite una funcion continua g sin puntos fijos homotopica a f ; asi siX es un poliedro la caracterıstica de Euler de H∗(X;Q) es el numero deLefschetz de la funcion identidad L(1X . El Teorema de Existencia nos diceque la condicion necesaria para que un poliedro X admita una deformacionsin puntos fijos es que L(1X) = 0.

41

Nota 10.1.0.22. Ninguna esfera Sn tiene la propiedad de puntos fijos, ya quepodemos definir en ella la funcion antipodal

α : Sn −→ Sn,

definida por la ley α(x) = −x; que no tiene puntos fijos. Ahora una pregunta:existe una deformacion libre de puntos fijos para cualquier Sn?Sabemos que la Q-cohomologia de Sn esta dada por:

Hp(Sn;Q) =

{Q, si p = 0 o p = n,0, otro caso,

de manera que podemos calcular los numeros de Betti βo(Sn) = 1 y βn(Sn) =

1 para todo p ∈ N . Entonces la caracterıstica de Euler es:

χ(Sn) = 1 + (−1)n1 =

{0, si n es impar2, si n es par,

Por lo tanto cuando la dimension de la esfera es impar no admite una defor-macion libre de puntos fijos. De cualquier manera el hecho de que χ(X) = 0garantiza la existencia de una deformacion libre de puntos fijos. En efectopara ejemplificar lo anterior vamos a probar la siguiente proposicion para elcaso de S2n+1.

Proposicion 10.1.0.23. Existe una deformacion libre de puntos fijos paraS2n+1.

Demostracion. Escojemos un numero real

0 < θ <π

2

y definimos una trasformacion lineal

Tθ : R2n+1 −→ R2n+1

con la siguiente representacion matricial:

sin θ cos θ 0 0 · · · 0 0cos θ −sin θ 0 0 · · · 0 0

0 0 sin θ cos θ · · · 0 00 0 cos θ −sin θ · · · 0 0. . 0 0 · · · . .. . . . · · · . .. . . . · · · 0 00 0 0 0 · · · sin θ cos θ0 0 0 0 · · · cos θ −sin θ

42

obviamente nuestra transformacion es ortogonal; si nos restringimos a

Tθ : S2n+1 −→ S2n+1.

Asumamos que existe un punto x ∈ S2n+1 tal que Tθ(x) = x, entonces parala matriz identidad I se tiene la siguiente ecuacion

(Tθ − I)(x) = 0

de modo que (Tθ − I) es una matriz singular del hecho que x 6= 0. Entoncessi M es la matriz:

M =

(sin θ − 1 cos θ−cos θ sin θ − 1

),

Tenemos que

det(Tθ − I) = (detM)n+1 = 2n+1(1− sin θ)n+1,

el cual nunca es cero del hecho que 0 < θ < π2

con lo cual se tiene unacontradiccion entonces Tθ no tiene puntos fijos. Finalmente, probaremos queTθ es en efecto una deformacion de 1S2n+1 . Definamos una homotopia

H : S2n+1 × I −→ S2n+1

definida por la ley H(x, t) = Ttθ(x) para todo x ∈ S2n+1, t ∈ I la cuales una homotopia entre Tθ y la funcion identidad 1S2n+1 , como queriamosprobar.

Proposicion 10.1.0.24. El espacio proyectivo real RP 2n+1 admite una de-formacion libre de puntos fijos.

Nota 10.1.0.25. Si por el contrario investigamos el espacio proyectivo FP n

donde F son los numeros complejos o reales, se tiene que βdk(FPn) = 1 para

k = 0,1, . . . , n donde d = 2 si F = C y d = 4 si F = H y βp(FPn) = 0 en

cualquier otro caso, entonces la caracterıstica de Euler se calcula como:

χ(FP n) = n+ 1 6= 0.

De lo anterio se plantea la siguiente proposicion:

Proposicion 10.1.0.26. El espacio proyectivo FP n donde F son los nume-ros complejos o cuaterniones, no admiten deformaciones libres de puntosfijos.

43

El estudio de los puntos fijos de la funcion continua

f : T k −→ T k

donde T k ≈ S1 × · · · × S1 es el toro de dimension k, esta asociadoa el numero de Lefschetz L(f) el cual se encuentra relacionadocon el numero de Nielsen N(f) de la funcion f . De lo anteriorse intuye que si f esta definida sobre un toro de dimesion k, en-tonces N(f) = |L(f)| para cualquier funcion contınua; como severa posteriormente. Una serie de calculos del numero de Nielseninspirados en este calculo de Nielsen seran realizados mas adelan-te en esta investigacion. Resulta asi mismo interesante indagarcuales son las propiedades geometricas y topologicas que hacenposible esta igualdad, o lo que es similar para que espacios estaigualdad se cumple.

10.2. Subgrupos Invariantes

La investigacion en el uso de subgrupos del grupo de homo-topia Π1(X) de un espacio topologico X constituye uno de losmetodos mas relevantes en el calculo de los numeros de Nielsen.A continuacion introducimos las ideas basicas de esta tecnica ma-tematica la cual utilizaremos en algunos de los calculos del nume-ro de Nielsen que obtendremos en esta investigacion.

Lema 10.2.0.27. Sea f : X −→ X una funcion continua sobre un espa-cio poliedral conexo y finito X y f un levantaminto de f en el espacio derecubrimiento universal X. Para todo a ∈ π1(X, xo) considerado como un

movimiento del espacio de recubrimiento X, un movimiento del espacio derecubrimiento a′ ∈ π1(X, xo) esta unicamente determinado tal que los levan-

tamientos a′ ◦ f y f ◦ a son iguales,

a′ ◦ f = f ◦ a.

La simple correspondencia fπ : π1(X, xo) −→ π1(X, xo) definida por la leyλ(a) = a′ definida arriba es un endomorfismo de π1(X, xo) llamado el endo-

morfismo inducido por el levantamiento f .

Demostracion. Consideremos el siguiente diagrama conmutativo

X

p

��

a // X

p

��

ef // X

p

��X

Id // Xf // X,

44

de donde f◦a es un levantamiento de f y de la ley asociativa de la composicionse tiene

p ◦ (f ◦ a) = (p ◦ f) ◦ a = (p ◦ f) ◦ a = (f ◦ p) ◦ a = f ◦ (Id ◦ p) = p ◦ a.

Mas aun, fπ : π1(X, xo) −→ π1(X, xo) es un endomorfismo, ya que para todoa, b ∈ π1(X, xo) se tiene

Definicion 10.2.0.28. Dado un poliedro compacto X, y una funcion conti-nua

f : X −→ X,

definiremos un numero entero no negativo N(f) llamado numero de Nielsende la funcion f . El numero de Nielsen es una cota inferior del numero depuntos fijos de f .

Un resultado relevante en este contexto es:

Si g es homotopica a f , entonces N(f) = N(g).

Lo cual significa que el numero de Nielsen es un invariante homo-topıco.

Definicion 10.2.0.29. Sea f : X −→ X una funcion continua sobre elespacio poliedral conexo y compacto X. Se define la relacion de Nielsensobre Φ(f). Dados dos puntos fijos x, y ∈ Φ(f) estan relacionados, si existeun camino ω : I −→ X satisfaciendo ω(0) = x y ω(1) = y y el camino f(ω)satisface f(ω)(0) = x y f(ω)(1) = y, tal que ω y f(ω) son homotopicos, esdecir, existe una homotopia H : I × I −→ X que satisface H(t, 0) = ω(t),H(t, 1) = f(ω)(t), H(0, s) = x, H(1, s) = y. Vease (J. Nielsen [22],[23] y[24]).

Nota 10.2.0.30. La anterior relacion es una relacion de equivalencia que pro-duce una particion en el conjuntos Φ(f), a las clases de equivalencia de estaparticion las llamaremos clases de Nielsen. El lector facilmente puede obser-var propiedades topologicas como:

a) Toda clase de Nielsen es abierta en Φ(f) ya que la relacion de Nielsenes localmente constante, es decir, todo punto fijo x admite una vecindadabierta V , tal que todo punto fijo en V esta relacionado con x.

b) El numero de clases de Nielsen es finito, siendo Φ(f). cerrado ycompacto.

45

Definicion 10.2.0.31. Una clase de Nielsen sera llamada esencial si su ındi-ce es diferente de cero, entonces el Numero de Nielsen N(f) de una funcioncontinua f : X −→ X sobre un espacio poliedral conexo y compacto es elnumero de clase esenciales de Nielsen.

Ejemplo 10.2.0.32. Si f es constante, entonces N(f) = 1.

Ejemplo 10.2.0.33. Si X es simple conexo, entonces para una funcion ar-bitraria f , el Numero de Nielsen esta dado por:

N(f) =

{1, si L(f) 6= 00, si L(f) = 0.

Ejemplo 10.2.0.34. Para todo espacio poliedral conexo u compacto X,

N(1X) =

{1, si χ(f) 6= 00, si χ(f) = 0.

El anterior resultado se verifica de L(1X) = χ(X) y que en cualquier casohay a lo sumo una clase de Nielsen.

Definicion 10.2.0.35. Sea f : X −→ X una funcion continua sobre unespacio poliedral compacto y conexo, y sea f : X −→ X es un levantamientode f . Definimos:

J(f) ={α ∈ Π1(X)|∃H : f ' f,3 H : f ' α ◦ f

},

donde H es una homotopia cıclica y H es su levantamiento.

Proposicion 10.2.0.36. J(f) es un subgrupo de Π1(X).

Definicion 10.2.0.37. El subgrupo de trazas de las homotopıas cıclicasJ(f, xo) ⊂ Π1(X, f(xo)) se define como:

J(f, xo) = {ξ ∈ Π1(X, f(xo))|∃H : f ' f 3 〈H(xo)〉 = ξ} ,

dondeH : I −→Map(X,X)

es un camino en Map(X,X) tal que H(0) = f y H(1) = f , ademas 〈H(xo)〉es un camino H(xo) : I −→ X, definido por H(xo)(t) = H(xo, t) donde

H : X × I −→ X

corresponde univocamente a H bajo la ley exponencial; definimos entonces

J(X) = J(1X , xo) ⊂ Π1(X, xo) = Π1(X).

46

Nota 10.2.0.38. La ventaja de J(f, xo) sobre J(f) es que no envuelve elespacio de recubrimiento de una manera explicita, como consecuencia es masfacil calcular numeros de Nielsen, ademas es independiente de la escogenciadel punto base xo.

Teorema 10.2.0.39. Si X un espacio poliedral conexo y compacto, y f :X −→ X una funcion continua, tal que

J(f, xo) = Π1(X, f(xo)),

entonces

i) La cardinalidad de Coker(1−f∗) iguala el numero de clases de Niel-sen.

ii) Si L(f) 6= 0, entonces todas las clases de Nielsen son esenciales.

iii) Si L(f) = 0, entonces N(f) = 0.

Teorema 10.2.0.40. Si X un espacio poliedral conexo y compacto, y f :X −→ X una funcion continua, tal que

J(1X , xo) = Π1(X, xo),

entonces

i) Π1(X, xo) es un grupo abeliano.

ii) Para cualquier funcion continua f : X −→ X sobre X

J(f, xo) = Π1(X, f(xo)),

y la conclucion del anterior Teorema vale.

47

Parte III

Resultados

48

Capıtulo 11

Calculo de Numeros de Nielsen

La siguiente proposicion ejemplifica el uso de las herramientas matematicasdesarrolladas durante esta investigacion, con el objeto de calcular el numero

de Nielsen de variedades poliedrales compacta y conexas.

Proposicion 11.0.0.41. Sea f : L(m, q1, . . . , qn) −→ L(m, q1, . . . , qn) unafuncion continua sobre el espacio lenticular L = L(m, q1, . . . , qn) de dimen-sion n+ 1. Entonces

N(f) =

{(1− s,m), si L(f) = 1− sn+1 − km 6= 00, si L(f) = 0.

Demostracion. Para mostrar que J(1L, xo) = Π1(L, xo), consideremos el le-vantamiento identidad 1S2n+1 como un levantamiento de la identidad 1L comose ve en el siguiente diagrama conmutativo:

S2n+1

γ

��

e1S2n+1

// S2n+1

γ

��L(m, q1, . . . , qn)

f// L(m, q1, . . . , qn),

Donde γ : S2n+1 −→ L(m, q1, . . . , qn) es la proyeccion natural, definamosahora la homotopia

H : S2n+1 × I −→ L(m, q1, . . . , qn)

definida por la ley

H(zo, . . . , zj, . . . , zm, t) = (zoe2πtim , z1e

2πtiq1m · · · , zje

2πtiqjm , · · · , zne

2πtiqnm ),

de donde H : γ ' γ ◦ 1S2n+1 con lo que concluimos que

J(1S2n+1 , xo) = Π1(L, xo).

49

Para calcular el numero de clases de Nielsen, asumamos que f es un levana-tamiento de f inducido por el endomorfismo

f∗ : Π1(L, xo) −→ Π1(L, xo)

definido por la ley f∗(γ) = γs con 0 ≤ s ≤ m. Del hecho que los gruposΠ1(L, xo) = Zm y H1(L,Q) = Zm son cıclicos de orden m; sea θ(γ) el genera-dor de H1(L,Q). Entonces f1∗ : H1(L,Q) −→ H1(L,Q) es una multiplicacionpor s es decir

f1∗(θ) = sθ;

entonces(1− f1∗)(θ) = (1− s)θ,

y(1− f1∗)(pθ) = (1− s)pθ,

donde p ∈ Zm. De la teorıa de congruencia de los numeros enteros sabemosque la ecuacion

(1− s)p ≡ 0mod(m)

tiene exactamente (1− s,m) soluciones. De donde la cardinalidad del grupo

(1− f1∗)(H1(L,Q))

esta dado por:

|(1− f1∗)(H1(L,Q))| = m

(1− s,m)

por lo tanto el numero de clases de Nielsen es (1 − s,m). Finalmente, soloresta calcular el valor del numero de Lefschetz de f . Siendo L(f) = 1−deg(f)y deg(f) = sn+1 + km para k entero y como consecuencia de f∗(γ) = γs para0 ≤ s ≤ m, se tiene que

L(f) = 1− sn+1 − km,

de donde se concluye el resultado de los teoremas anteriores.

Teorema 11.0.0.42. Sea T k un toro de dimension k y f : T k −→ T k unafuncion contınua. Entonces N(f) = |L(f)|.Demostracion. La cohomologia racional H∗(T k;Q) =

⊕ki=1H

i(T k;Q) es unalgebra exterior generada por la base {x1, x2, . . . , xk} donde xi ∈ H i(T k;Q).La funcion contınua f induce un homorfismo de algebras

f ∗ : H∗(T k;Q) −→ H∗(T k;Q).

Seaf ∗i : H i(T k;Q) −→ H i(T k;Q)

la restriccion de f ∗ de donde se tiene que el sistema de ecuaciones:

50

f ∗(x1) = a11x1 + · · ·+ a1kxk

......

f ∗(xk) = ak1x1 + · · ·+ akkxk.

Sea

M(f ∗1) =

a11 · · · · · · a1k...

. . ....

.... . .

...ak1 · · · · · · akk

la matriz asociada a el homomorfismo

f ∗1 : H1(T k;Q) −→ H1(T k;Q).

El numero de Lefschetz L(f) estara dado por:

L(f) = Tr(f ∗o)− Tr(f ∗1) + · · ·+ (−1)kTr(f ∗k)

= 1− (a11 + · · ·+ akk) + · · ·+ (−1)ka11 · · · akk.

Pero lo anterior no es otra cosa que

det

1− a11 · · · · · · a1k

.... . .

......

. . ....

ak1 · · · · · · 1− akk

= det(I −M(f ∗1))

de donde se concluye que

L(f) = det(I −M(f ∗1)).

Si L(f) = 0 entonces N(F ) = 0 ya que J(T k) = Π(T k) de donde

N(f) = Coker | 1− f∗ |,

dondef∗ : Π1(T

k) −→ Π1(Tk)

es inducido por f . Ahora se sabe que Π1(Tk) = Zk, entonces se puede consi-

derar el homomorfismo 1−f∗ : Zk −→ Zk del hecho de que T k es un k-esimotoro se puede concluir que el grupo Π1(T

k) esta generado por los elementosduales {x′1, · · · , x′k} de {x1, · · · , xk}. Ahora si representamos el homomorfis-mo 1− f∗ por una matriz entera 1− F , entonces existe una matriz diagonal

51

D =

d1 · · · · · · 0...

. . ....

.... . .

...0 · · · · · · dk

= P (I − F )P−1

,

donde P es la matriz unimodular. Ahora se tiene det(D) = det(I−F )) y porlo tanto el orden del cokernel de 1− f∗ es

|d1 · · · dk| = det(D) = det(I − F ).

Pero det(I −M(f ∗1)) = det(I −F ) de la dualidad se tiene que L(f) = N(f)como se querıa probar.

11.1. Discusion de Resultados

Nota 11.1.0.43. El anterior Teorema implica que dado una funcion continuaf sobre el toro T k podemos encontrar una funcion continua g homotopica af con exactamente N(f) puntos fijos. Particularmente, si L(f) = 0 entoncesexiste una funcion continua sin puntos fijos g sobre T k homotopica a f .

La generalizacion de la anterior idea matematica de Nielsenen terminos de otras variedades topologicas como las diferencialestanto orientables como no orientables. Lo cual en otras palabrassignifica calcular el numero de Nielsen de algunas funciones con-tinuas sobre variedades topologicas.

52

Parte IV

Conclusiones

53

Para tener un contexto consistente del desemvolvimiento dela investigacion, se requiere determinar condiciones geometricasy topologicas que permiten o obstruyen el calculo de de las cla-ses homotopıcas de puntos fijos, en otras palabras determinar laexistencia de puntos fijos. Posteriormente se procede a resolver elsiguiente problema matematico que sera el objeto de posterioresinvestigaciones, y lo llamaremos:

11.2. Caracterizacion Geometrica de los

Numeros de Nielsen

Bajo que condiciones geometricas y topologicas, una funcioncontinua compacta

f : X −→ X

sobre una variedad topologica, el numero de Nielsen de f igualaal mınimo numero de puntos fijos homotopicamente equivalentes,lo que seria la expresion matematica siguiente:

N(f) = Min{|Φ(g)||g ' f}.

11.3. Teoria de la Obstruccion

La siguiente propiedad topologica permite realizar investiga-cion el ambito de la teorıa de la obstruccion y la teorıa topologıcade puntos fijos, se sugiere una fuerte investigacion este aspecto amanera de determina que propidades topologicas permiten o obs-truyen el calculo de los puntos fijos Nilceanos. En este contextode investigacion se consideran funciones continuas f : X −→ Xdonde X es un espacio topologico o una variedad topologica cuyadimension difiere de dos, el numero de Nielsen es sel mejor inva-riante homotopico de la minima cota inferior de la cardinalidadde φ(f). En otras palabras se quiere probar que f es homotopicaa una funcion g para la cual |φ(g)| = N(f).

Esta clasica pregunta en topologıa fue propuesta por JakobNielsen en 1920, [22] pero solamente para para funciones continuasobre variedades de dimension dos, o superficies.

Definicion 11.3.0.44. Un punto x de un espacio topologico conexo X esun punto global de separacion si X − x es disconexo. Un punto x de X sera

54

llamado un punto local de separacion si x es un punto de separacion de algunsubconjunto abierto U de X.

Teorema 11.3.0.45. Sea X un poliedro. Un punto x ∈ X es un punto localde separacion si y solamente si H(X,X − x) 6= 0.

Como conclusion se tiene que la propiedad topologicade punto local de separacion constituye una obstruccional calculo de puntos fijos Nilceanos.

11.4. Relalcion entre los Numeros de

Lefschetz y Nielsen

Existe una fuerte relacion entre el numero de Lefschetz y elnumero de Nielsen que permite calcular el nuemro de Nielsende manera mas eficiente, para variedades poliedrales topologicascompactas y conexas. De manera que podemos preguntarnos:

Para que espacios topologicos se cumple que L(f) = N(f)?

Como conclusion se tiene que el toro n di-mensional T n satisface la pregunta anter referi-da.

11.5. Propiedad Topologica de Puntos Fijos

Como conclusion se tiene que la propiedad topologicade puntos fijos constituye una propiedad geometrica ytopologicamente elusiva.

11.6. Teorıa Nilceana de Raices

Definicion 11.6.0.46. Si f : M −→ N es una funcion entre dosvariedades y c ∈ N , una raiz de f en c es un punto en f−1(c).El Numero Nilceano de Raices N(f, c) es una cota inferior de lacardinalidad de el conjunto f−1(c) y es uninvariate homotopico.

De manera que se puede utilizar la Teoria extendida deraices Niceanas y restablece la conexion natural entre el

55

grado absoluto de Hopf y el grado geometrico de unafuncion continua entre variedades no orientables.

11.7. Topologia de la Entropıa y Sistemas

Dınamicos

Estudiando ahora cuando la formula L(f) = |det(I−A)| y |L(f)| =N(f) es valida para variedades solubles. Se puede empezar conel clasico resultado sobre fibrados de variedades solubles sobreToros con fibras que son variedades Nilpotentes.

Teorema 11.7.0.47. [Mostow, 1,954] Sea X una variedad soluble compactay conexa. Denotamos π = π1(X). Entonces existe un unico subgrupo nilpo-

tente Γ ⊂ π tal que el conmutador [π, π] es de ındice finito en π y Λ =π

Γes

torsion libre. Ademas, existe una fibracion N ↪→ X −→ To, donde N es unavariedad nilpotente con π(N) = Γ, y To es un toro con π(To) = Λo. Mas aun,cualquier funcion continua sobre X a un mapeo fibrado de la fibracion.

Nota 11.7.0.48. Si se considera a f : X −→ X es una funcion continua sobrevariedades solubles es una fibracion, entonces se tiene el siguiente diagramaconmutativo:

N

fb��

i// X

f

��

p// T

fo��

Ni

// X p// T,

Definicion 11.7.0.49. Sea f : X −→ X una funcion continua sobre unavariedad soluble compacta y conexa. Se asume que f es un fibrado. Asumaseque L(fo) 6= 0. Sea e ∈ φ(fo). Podemos definir ahora la matriz linearizadade f como A = Ae ⊕ Ao donde Ao y Ae son matrices linealizada de fo y ferespectivamente.

Definicion 11.7.0.50. Una variedad soluble X sera llamada NR-variedadsoluble (sin raices) si Ai(λ) no tiene raices de la unidad diferentes de 1 comoegenvalor.

Teorema 11.7.0.51. [Anosov, 1985] Sea f : X −→ X una funcion continuasobre NR-variedades solubles y A es la matriz de linearizacion de f . Entonces

N(f) = |L(f)| = |det(I − A)|.

56

Definicion 11.7.0.52. Una funcion continua f : X −→ X sobre un espaciometrico, se le puede asignar un numero h(f) ≥ 0 o ∞ que constituye lamedida de la dinamica de f y es llamado entropia topologica de f .

Si consideramos H∗(f) : H∗(X,R) −→ H∗(X,R) es el mapeolineal inducido por f donde

H∗(X,R) = ⊕di=0Hi(X,R)

es la cohomologia del espacio. Recuerdese que si X es una varie-dad compacta y suave, entonces la cohomologia simplicia, Cheh,celular, o la cohomologia de Rham son todas equivalentes. Veasepara mas detalles E. Spanier, [31]. Aparece entonces la siguientepregunta:

bajo que condiciones se puede estimar la entropia topologica porel radio espectral sp(f) del mapeo lineal H∗(f),

sp(f) 6 h(f)?

Definicion 11.7.0.53. El numero asintotico de Nielsen N∞(f) de una fun-cion continua f se define como: N∞(f) = limn→∞

n√N(fn).

La desigualdad de Ivanov [12]

logN∞(f) ≤ h(f),

vale para cualquier funcion continua sobre una variedad compac-ta. El Teorema de Anosov [1] stablece que N(f) = |L(f)| parafunciones continuas sobre NR-variedades solubles compactas. En-tonces una deduccion elemental de analisis se obtiene que:

N(fn) = |L(f)| = |det(I −DΦn(e)|.

Ahora se puede asumir que sp(DΦ(e) > 1 lo cual significa que queexiste al menos un λ ∈ σ(DΦ(e)) con |σ| > 1. En otro contextose tiene:

det(I−DΦn(e)) = 1−(d∑j=1

λnj )+∑j1<j2

λnj1λnj1

+· · ·+(−1)n(λn1 · · ·λnd),

donde {λ1, . . . , λd} son todos los eigenvalores de DΦ(e). Comoconsecuencia se tiene:

log(N∞(f)) = lim(1

n)log(|1−(

d∑1

λnj )−∑j1<j2

λnj1λnj1

+· · ·+(−1)n(λn1 · · ·λnd)|)

57

de modo que

log(N∞(f)) =

{−∞, si 1 ∈ σ(DΦ(e))

log(∏

λj>1 |λj|)

=∑

λ1>1 log|λj|, otro caso.

del hecho de que asumimos que {j||λj| > 1} 6= φ. La igualdad sesigue de el hecho que el radio espectral sp(DΦ(e)) > 1. Sea ahoraλj1 , . . . , λjk con 1 ≤ m ≤ d para todos los eigenvalores de DΦ(e)de modulo mayor que 1. Sea λj1 , . . . , λjk con 1 ≤ i ≤ m para todoslos eigenvalores |λji | < 1 y λj1 , . . . , λjk con 1 ≤ i ≤ k para todoslos eigenvalores |λji | = 1. Se estima ahora el comportamientoasintotico de cualquier factor de la siguiente expresion:

|det(I −DΦn(e)| = |m∏i=1

(1− λnji)k∏i=1

(1− λnji)r∏i=1

(1− λnji)|

donde m+ k + r = d. Se tiene entonces

m∏i=1

(1−λnji) = 1−(m∑j=1

λnj )+∑j1<j2

λnj1λnj1

+· · ·+(−1)n(λn1 · · ·λnm)n→∞−→ 1,

del hecho que todo |λji| < 1. Entonces dividiendo todo la

expresion por el factor ρn =∏k

i=1 |λji |n se obtiene

|∏m

i=1(1− λnji)|ρn

= |k∏i=1

1

ρn−

m∑j=1

λnjρn

+∑j1<j2

λnj1λnj1

ρn+· · ·+(−1)n

(λn1 · · ·λnm)

ρn|.

El lector puede observar que cualquier termino de la suma anteriores la suma de potencia de numeros complejos con modulo menorque 1. El ultimo termino tiene modulo igual a 1. Entonces tenemosque

limn→∞

[ |∏mi=1(1− λnji)|

ρn

] 1n

= 1.

Se tiene ahora el lado izquierdo de la ecuacion que discutir, en-tonces se observa lo siguiente

k∏i=1

(1− λnji) = 1− (k∑j=1

λnj ) +∑j1<j2

λnj1λnj1

+ · · ·+ (−1)n(λn1 · · ·λnm)

58

si por lo menos una λji no es raiz de la unidad entoces tenemos elconjunto de puntos limites de la sequencia {L(fm)/sp(fm)}∞m=1

contine un intervalo. y el limite superior

limk→∞

m∏i=1

(1− λnji)]n = γ > 0.

Si todos los λji con 1 ≤ i ≤ k son raices de la unidad, entonce elcaso cuando el producto es cero es excluido debido a la asumcionque 1 no es un egenvalor. Por otro lado si cualquiera de los λji con1 ≤ i ≤ k es una raiz primitiva de la unidad de grado qi > 1 en-tonces tomado n = kq+1 donde q = LCMqi se tiene entonces que1−λnji 6= 0. Esto muestra que si la secuencia {L(fm)/sp(fm)}∞m=1

tien los mismos puntos limites que la secuencia {∑

i αiεmi }∞m=1

donde αi ∈ Z εi ∈ C y εki = 1 para algunos K, y

limk→∞

m∏i=1

(1− λnji)]n = γ > 0.

Consecuentemente en cualquiera de los casos antes mencionadossetiene que

limk→∞

m∏i=1

(1− λnji)]1n = 1.

Esto prueva que

log() = log(sp(DΦ(e)))

dado que 1 no es egenvalor de DΦ(e). Por lo que podemos con-cluir:

La estimacion sp(f) 6 h(f) vale para toda funcion con-tinua f : M −→ M sobre variedades solubles especialesque no son deformables homotopicamente a funcionescontinuas libres de puntos fijos.

11.8. Propiedad Topologica de Locabilidad

Contractil

Para calcular N(f) se tiene regularmente que dividir Φ(f) enclases de equivalencia de Nielsen, lo cual es relativamente facil, sinenvargo el problema aparece en cuanto a calcular que clases son

59

esenciales y cuales no. Consideremos pues la siguiente propiedatopologica:

Definicion 11.8.0.54. Un espacio topologico X posee la propiedad de serlocalmente Contractible si cualquier punto x ∈ X posee una base fundamentalde abiertos en torno a x contractibles.

Para conocer el impacto de esta propiedad topologica considermosel espacio

S = ∪k∈NSk ⊂ R2,

donde Sk = C(( 1k, 0), 1

k) ⊂ R2 la circunferencia con centro en

( 1k, 0) y radio 1

ky sea

f : S −→ S la funcion continua definida por la ley f(z) = z.Entonces la familia de punto fijos de f , esta dada por:

Φ(f) = {(0, 0), (2, 0), (1, 0), . . . , (2

n, 0), . . .}.

Primero probaberemos que los puntos (2, 0) y (1, 0) no estanrelacionados Nilceanamente. Asumamos que existe un caminoω : I −→ S que une los puntos antes mensionado tal que existeuna homotopia

H : S × I −→ S

entre ω y ω. Sea r : S −→ S1 una retraccion que envia todos losSk para k ≥ 2 al punto (0, 0). Entonces la homotopia

r ◦H : S × I −→ S

establece la relacion entre dos puntos fijos el el mapeo

rf : S1 −→ S1.

Lo cual es una contradiccion. Similarmente ono puede mostrarque cualquier otros dos puntos fijos no son Nilceanamente equi-valentes.

De lo aterior se concluye que si el espacio topologicoen cuestion no es localemente contractible el numero declases Nilceanas puede ser infinita.

60

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63

Indice alfabetico

Algebra, 32Grado del polinomio, 32

Anosov, 56

Betti, 21Numero de Betti, 21

Betti-Kunneth formula, 21R. Brown, 12

Euler Caracteristica, 21

Clases, 5Clases de Reidemeister, 39

CW-complejo, 16Campos Suaves, ??

Complejo Simplicial, 15Complejo Simplicial Abstracto,

15Calculo de Numeros de Nielsen

49

Euler, 21Espacio de Recubrimeinto, 38

Eilenberg-Zilber 21

Funcion compacta, 31Funcion d-compacta, 22

Grado, 22Aproximacion diferenciable del

Grado, 22 24Propiedades Homologicas del Grado,

26Localizacion, 26

Unidad, 27Aditividad, 27

Invarianza Homotopica, 27Multiplicidad, 28

Lema de Hopf para el grado, 29

Hopf, H., 29Teorema del Indice de Hopf, 37

Teorema Lefschetz-Hopf, 36Diferenciable, 36

Homotopia, 45Clases homotopicas, 5Teorema de Invarianza

Homotopica, 27Deformacion Homotopica, 42

Existencia de deformacioncontinua, 41

Q-aciclico, 39Funcion en la esfera, 42

Deformaciones en la esfera, 42Existencia de deformacion

libre de puntos fijos, 43Homotopica Ciclica, 46

Trazas homotopicas, 46

Indice, 31Aproximacion Cohomologica, 34

Indice de puntos fijos, 32Ejemplo, 32

Teorema del Indice dePoincare-Hopf, 37

Transversalidad e Indice, 39Toroidal, 50

Ivanov desigualdad, 57

Kunneth, 34

64

Isomorfia de Kunneth, 20

Localmente contractible, 59Lefschetz, 36

Teorema, 36Lema de Hopf, 29

M. Moreira, 17Metodologia, 8

Nielsen, 10Clases de Nielsen, 5Raices Nilceanas, 55

Clases de equivalencia,45Invarianza homotopica, 45

Clases esenciales, 46Numero de Nielsen, 46

Calculo de Numeros de Nielsen,Espacio Lenticular, 49

Orientacion, 24

Poincare, 31Indice de Poincare-Hopf, 37

Poliedros, 12Lenticular, 49

Toro,50Puntos Fijos, 32

Propiedad Topologica,Puntos fijos, 55

Propiedades topologicas deseparacion, 54

Reidemeister, 39Numero de Reidemeister, 39

Sard, 22Subgrupo,

Subgrupo de Jiang, 46

Teorema,Teorema Fundamental del

Algebra, 32

Teorema de Sard, 22Teorema de Nielsen para puntos

fijos, 10Teorema de Lefschtz-Hopf, 36 36

Teorema de Poincare-Hopf, 37Topologia Poliedral, 12

Topologia de Whitehead, 17Teoria de la Obstruccion, 54

Vectorial,Campo Vectorial, 37

Campo Vectorial Suave, ??Indice de Poincare-Hopf, 37

Whitehead. J. 16Topologia de Whithead, 17

S. Willard, 12

65