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CLCULO DE PROBABILIDADES DE CAUDALES MXIMOS CUANDO SE DISPONE DE INFORMACIN

El rgimen de caudales es un dato bsico, indispensable, para los todos los diseos hidrulicos y para muchas obras civiles en los que ellos son parte importante como las carreteras, puentes, acueductos, presas, etc. As la instalacin de muchas "estaciones de aforo" que permitan observar, en una serie de aos tan larga, como sea posible, los caudales escurridos en puntos caractersticos del ro principal y, si fuere oportuno, de sus diversos afluentes, es el prembulo de todo estudio hidrulico de una cuenca. Cuando disponemos datos sobre caudales mximos anuales de una cuenca, usando procesos matemticos podemos calcular las crecidas y probabilidades de ser superadas mediante la aplicacin de curvas teoricas de probabilidades, como Gumbel y Pearson III. Tanto Pearson III como Gumbel necesitan varios parmetros estadsticos antes de ser calculados Media aritmtica, Desviacin Estndar, Coeficiente de variacin, Coeficiente de asimetra. PEARSON III

Este mtodo necesita el clculo de parmetros propios basados en los parmetros antes mencionados como son , y Cs. = 1

.2 = = .2 = 2 .

Una vez obtenidos estos parmetros necesitamos calcular una probabilidad emprica en base al nmero (m) y orden de probabilidades que queramos segn nuestros datos de caudales. Ejemplo: Para 50 probabilidades de los 50 caudales la primera probabilidad empirica se calcula: 100

+1 = 100 150+ 1 Una vez obtenido esto, ordenamos los caudales que tenemos como dato en orden de mayor a menor. Con esto obtendremos una dispersin de puntos con los cuales y mediante Pearson III buscaremos una curva de ajuste. Pearson III est definido con la siguiente ecuacin.

Para encontrar el caudal nos valemos de la ayuda de una hoja de clculo en este caso el programa Microsoft Excel. Mediante la siguiente funcin nos permite encontrar los valores de caudales que se ajusten usando parmetros antes calculados y tambin nos imponemos probabilidades equivalentes a periodo de retorno P%.

() = .() . . (/)Q

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Devuelve, para una probabilidad dada, el valor de la variable aleatoria siguiendo una distribucin gamma acumulativa. Si p = DISTR.GAMMA(x,...), entonces DISTR.GAMMA.INV(p,...) = x.

DISTR.GAMMA.INV(prob;alfa;beta)

Prob es la probabilidad asociada con la distribucin gamma.

Alfa es un parmetro de la distribucin.

Beta es un parmetro de la distribucin. Si beta = 1, DISTR.GAMMA.INV devuelve el valor de la variable aleatoria siguiendo una distribucin gamma estndar.

Ejemplo:

Con una muestra de 50 datos de caudales mximos obtenemos lo siguiente.

Media aritmtica 18,58 Desviacin Estndar 9,28 Coeficiente de variacin 0,4996 Coeficiente de asimetra Cs 0,667 alfa 4,006786759 beta 4,636862034 Cs =2.Cv 0,999 P% P (aos) PEARSON III

0,1 1000,0 60,62 0,2 500,0 56,51 0,5 200,0 50,95 1 100,0 46,63

GUMBEL

Este mtodo considera otras variables para realizar el ajuste de la curva de caudales que dependen de la cantidad de datos. (n, n, n) Repetimos lo mismo que antes calculando las probabilidades empricas y ordenamos el caudal, lo que nos dar la dispersin de puntos a la cual buscaremos hallar la curva de ajuste mediante Gumble. Calculamos los mismos parmetros que para Pearson III y mediante ellos aplicamos la siguiente formula.

= ..( %

; ;)

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Con esta frmula calculamos los caudales para probabilidades escogidas en porcentaje que representan el periodo de retorno del caudal. Ejemplo:

Con una muestra de 50 datos de caudales mximos obtenemos lo siguiente.

Media aritmtica (Qmed) 18,58 Desv. Estndar (Q) 9,28 Coeficiente de variacin 0,500 Coeficiente de asimetra Cs 0,667 PARAMETROS DE CURVA GUMBEL n 50

miu (n) 0,5485

n 1,1607 P% P (aos) GUMBEL

0,1 1000,0 69,43 0,2 500,0 63,88 0,5 200,0 56,54

1 100,0 50,98 2 50,0 45,39

% = + /