TEMA : CÁLCULO DE PROBABILIDADES

INDICE

Concepto de probabilidad. Leyes de probabilidad.

Experimentos y Sucesos

Probabilidad

Probabilidad Condicionada e Independencia

Teorema de Bayes

Concepto de probabilidad. Leyes de probabilidad.

La Probabilidad es el procedimiento estadístico que permite estudiar y cuantificar los sucesos de un determinado experimento aleatorio.

Experimento: proceso mediante el cual se obtiene una observación. Pueden ser de dos tipos:

DETERMINISTA: conocemos el resultado antes de realizar el experimento. Por ejemplo tirar un vaso de cristal desde un 4º piso de altura.

ALEATORIO: conocemos los posibles resultados del experimento, pero no conocemos con exactitud el que va a salir. Por ejemplo al lanzar un dado.

A nosotros nos va a interesar estudiar los experimentos aleatorios.

Suceso: Es cualquier subconjunto o parte de un experimento aleatorio.

Se llama SUCESO ELEMENTAL O SIMPLE: cada uno de los posiblesresultados de un experimento aleatorio.

ESPACIO MUESTRAL: Conjunto de resultados de un experimentoaleatorio.(Al lanzar una moneda puede ser cara o cruz, al lanzar un dado losposibles resultados son valores del 1 al 6)

Se denota por:

i { / es un suceso elemental}

Ejemplo: Experimento: Lanzar un dado.

Espacio muestral: Ω 1,2,3,4,5,6

Sucesos elementales: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6

Suceso cualquiera: 1,2,5 , 2,5,4,1 , “números impares”,

SUCESOS DESTACABLES:

•Suceso seguro. Es el mismo espacio muestral , pues se tiene el 100% de certidumbre de ocurrirá un resultado del espacio muestral.

•Suceso imposible. No contiene ningún resultado del espacio muestral. Se denota por:

• Suceso complementario . Complementario de un suceso A cuando se verifica cuando no se verifica A. Por ejemplo

cA A

1,2,3,4,5,6 1,3,5

2,4,6

A

Complementario de A es A

A

cA A

Sucesos incompatibles A y B si A B

OPERACIONES CON SUCESOS

UNION

/ ó

A= 2,3,5 B= 1,3

1,2,3,5

A B w w A w B

Si

A B

/ Y

A= 2,3,5 B= 1,3

3

A B w w A w B

Si

A B

INTERSECCIÓN

\ / Y

A= 2,3,5 B= 1,3

\ 2,5

\ 1

A B w w A w B

Si

A B

B A

DIFERENCIA

PROBABILIDAD

Una probabilidad P es una aplicación que a cada sucesole asigna un valor entre cero y uno:

:P 0,1A que verifica:

1) B ( ) 0P B

2) ( ) 1P

3) Si 1i iB

es una sucesión de sucesosincompatibles dos a dos, (i.e.

para i jB B i j

entonces

11

( )n n

i iii

P B P B

Reglas básicas del cálculo de probabilidades

•Las probabilidades siempre toman valores entre cero y uno.

•LA probabilidad del suceso vacío es cero ∅ 0

•La probabilidad del complementario de un suceso B, es 1-la probabilidad de B.

•Dados dos sucesos A y B, se verifica

P B P P B P BA A A

1P B P B BB

Si A y B son incompatibles (su intersección es el vacío), entonces

P B P P BA A

B

B

A A B

A A B

P B P P B P BA A A

P B P P B PA A

LEYES DE MORGAN

PROBABILIDAD

REGLA DE LAPLACE

Partiendo de que los sucesos elementales son equiprobables (misma probabilidad)

PROBABILIDAD DE UN SUCESO=CASOS FAVORABLES

CASOS POSIBLES

Un estudio sobre los niveles de audiencia de varias cadenasde Televisión declaró que el 50% de la población veía lacadena A, el 40% la cadena B y el 30% la cadena C. Además,el 20% ve A y B, el 10% ve B y C, el 5% ve A y C; yfinalmente el 2% ve las tres cadenas.

• ¿Qué porcentaje de población ve alguna de las tres cadenas.?

• ¿Qué porcentaje de población NO VE NINGUNA DE LAS CADENAS?

Ejemplo:

El problema que se presenta al calcular la probabilidad de un suceso en algunas ocasiones es contar los casos, bien sean favorables o posibles.

Probabilidad de que al sacar dos cartas de una baraja, una de ellas sea Rey

• Casos posibles: posibles subconjuntos de dos cartas de la baraja

• Casos favorables: todos aquellos subconjuntos de dos cartas que tienen un solo Rey

Teniendo en cuenta que tengo 40 cartas, hacer todas las posibilidades es largo. Por eso necesito unas reglas que me ayuden a contar estos casos.

Así surge la COMBINATORIA

La combinatoria estudia las diferentes formas en que se pueden realizar la ordenación o agrupamiento de unos cuantos objetos siguiendo unas determinadas condiciones o reglas .

PROBABILIDAD CONDICIONADA

La probabilidad de un determinado suceso de un experimento aleatorio puede verse modificada si poseemos alguna información .

Por ejemplo:

• La probabilidad de sacar un REY de una barajas de cartas es 4/40

• La probabilidad de sacar un REY, SI ANTES HE SACADO UN AS (Y ME HE QUEDADO CON LA CARTA) ES 4/39

• La probabilidad de sacar un REY, SI ANTES HE SACADO OTRO REY (Y ME HE QUEDADO CON LA CARTA) ES 3/39

Para calcular la probabilidad de A condicionada a B se utiliza la siguiente fórmula

\

P A B

P A BP B

Ejemplo:

Una agencia de viajes tiene 200 clientes en ciudad de Orense. En la siguiente tablalos clasifica si realizan viajes regularmente o de forma esporádica y según elimporte del viaje

Importe del Viaje

Tipo de viaje

Bajo Alto

Regular 10 15

Esporádico 20 155

¿Cuál es la probabilidad de que un cliente elegido al azar realice viajes de forma esporádica?

¿Cuál es la probabilidad de que un cliente elegido al azar realice viajes de forma regular y con un importe alto?

¿Cuál es la probabilidad de que un cliente elegido al azar realice viajess de forma regular si sé que el importe ha sido bajo?

¿De los clientes regulares, cuál es la probabilidad de uno elegido al azar realice un viaje de importe alto?

Probabilidades totales-Fórmula de Bayes

Para calcular la probabilidad de un suceso, muchas veces es útil utilizar información previa de otros sucesos.

Por ejemplo, queremos calcular la probabilidad de un suceso B, que desconocemos, lo que sí sabemos es la probabilidad de B condicionada a varios sucesos Ai. La unión de esos sucesos Ai debe ser el Espacio Muestral Total

1 2 3

1 1 2 2 3 3

SI A A A es el espacio total y no tienen elementos en común/ A A / A A / A A

P B P B P P B P P B P

A1 A2 A3

B

EJEMPLOS

Tres fábricas A, B y C producen el 50%, 30% y el 20% de losartículos de souvenirs de un cierto destino turístico. Resultandefectuosos el 3% de los artículos fabricados por A, el 2% de los deB y el 6% de los de C. Se selecciona al azar un artículo. Hallar laprobabilidad de que sea defectuoso.

Tenemos tres urnas (U1, U2, U3), la U1 contiene 3 bolas rojas y 3bolas blancas, laU2 contiene 4 bolas blancas y 2 bolas rojas y la U3contiene 3 bolas blancas. Se elige al azar una de las tres urnas y seextrae una bola, calcular la probabilidad de extraer una bola blanca.

Fórmula de Bayes

1 2 3

11

1

1 1 2 2 3 3

SI A A A es el espacio total y no tienen elementos en comúnA

A /

A/ A A / A A / A A

P BP B

P B

P BP B P P B P P B P

A1 A2 A3

B

EJEMPLO:

Tres operadoras turísticas A, B y C venden el 50%, 30% y el 20% de los productosturísticos(visitas guiadas) de la comarca. Algunos de los productos turísticos recibenreclamaciones. Se han recibido reclamaciones del 3% de los artículos vendidos por A,el 2% de los de B y el 6% de los de C. Se selecciona al azar un artículo.

• Sabiendo que el producto seleccionado ha sido reclamado, hallar la probabilidad deque lo haya vendido A.

• Sabiendo que el producto seleccionado ha sido reclamado, hallar la probabilidad de que NO LO haya vendido A.

• Sabiendo que el producto seleccionado NO ha sido reclamado, hallar la probabilidad de que lo haya vendido B.

Dos sucesos se dice que son independientes si la ocurrencia de uno de ellos noafecta a la probabilidad del otro.

Matemáticamente, A y B son INDEPENDIENTES si ocurre uno de lossiguientes casos:

1. ⁄

2. ⁄

Además, si dos sucesos son independientes, SE VERIFICA,

∩ ⋅

20

INDEPENDENCIA DE SUCESOS