calculo de predicado

5/11/2018 calculo de predicado - slidepdf.com

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CAPÍTULO 6

Cálculo de Predicados

Índice del Capítulo6.1. Predicados y Cálculo de Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.2. El cuantificador universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.2.1. Traslación con el operador universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.2.2. Distributividad con el cuantificador universal . . . . . . . . . . . . . 115

6.2.3. Manipulación de rango y término con el cuantificador universal . . . 115

6.2.4. Instanciación con el cuantificador universal . . . . . . . . . . . . . . 116

6.2.5. Teoremas y el cuantificador universal . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.3. El cuantificador existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.3.1. Traslación en la cuantificación existencial . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.3.2. Distributividad en la cuantificación existencial . . . . . . . . . . . . 120

6.3.3. Manipulación de rango y término con el cuantificador existencial . . 121

6.3.4. Introducción del operador existencial e intercambio . . . . . . . . . . 121

6.3.5. Testigo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.4. Del lenguaje corriente al cálculo de predicados . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.4.1. Razonamientos en matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.5.1. Ejercicios sobre cuantificación existencial . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.5.2. Ejercicios sobre traducción entre cálculo de predicados y lenguaje corriente129

Introduciremos los conceptos referentes al Cálculo de Predicados, lo cual no es más que unaextensión del Cálculo Proposicional que ya vimos en el Capítulo 3. Esta extensión nos per-

mitirá trabajar con expresiones que usen variables de otro tipo además del tipo booleano y nos

111



114 6. CÁLCULO DE PREDICADOS

Regla de intercambio de variables dummy Si V.j ∩ (FV.R ∪ FV.T ) = ∅ entonces

(∀ i : R : T ) ≡ (∀ j : R[i := j] : T [i := j])

Regla de cambio de variable dummy Para toda función f biyectiva y para toda variable j queno aparezca en R ni en T , vale

(∀ i : R.i : T.i) ≡ (∀ j : R.f.j : T.f.j)

A continuación presentaremos axiomas adicionales y teoremas para el cuantificador univer-sal.

6.2.1. Traslación con el operador universalEl axioma que sigue nos permitirá trasladar el rango de especificación hacia el término de

cuantificación:

(6.1) Axioma. Traslación

(∀ i : R.i : T.i) ≡ (∀ i : : R.i ⇒ T.i)

Este axioma permite demostrar también los siguientes teoremas:

(6.2) Teorema. Traslacióna) (∀ x : R : P ) ≡ (∀ x :: ¬R ∨ P )

b) (∀ x : R : P ) ≡ (∀ x :: R ∧ P ≡ R)

c) (∀ x : R : P ) ≡ (∀ x :: R ∨ P ≡ P )

(6.3) Teorema. Traslación

a) (∀ x : Q ∧ R : P ) ≡ (∀ x : Q : R ⇒ P )

b) (∀ x : Q ∧ R : P ) ≡ (∀ x : Q : ¬R ∨ P )

c) (∀ x : Q ∧ R : P ) ≡ (∀ x : Q : R ∧ P ≡ R)

d) (∀ x : Q ∧ R : P ) ≡ (∀ x : Q : R ∨ P ≡ P )

Probaremos (6.3a))

(∀ x : Q ∧ R : P )= Traslación 6.1

(∀ x :: Q ∧ R ⇒ P )= Teorema 3.64

(∀ x :: Q ⇒ (R ⇒ P ))= Traslación 6.1

(∀ x : Q : R ⇒ P )

6.2. EL CUANTIFICADOR UNIVERSAL 115

6.2.2. Distributividad con el cuantificador universal

Ya vimos en 6.2 cómo ∨ distribuye respecto de ∀

Suponiendo que x no es una variable libre en P , vale

P ∨ (∀ x : R : Q) ≡ (∀ x : R : P ∨ Q)

El axioma 6.2 nos permite demostrar los siguientes teoremas:

(6.4) Teorema. Suponiendo que x no es variable libre en P , se tiene que

(∀ x : R : P ) ≡ P ∨ (∀ x :: ¬R)

(6.5) Teorema. Distributividad de ∧ respecto de ∀: Suponiendo que x no es una variable

libre en P , vale

¬(∀ x :: ¬R) ⇒ ((∀ x : R : P ∧ Q) ≡ P ∧ (∀ x : R : Q))

(6.6) Teorema.(∀ x : R : true) ≡ true

(6.7) Teorema.(∀ x : R : P ≡ Q) ⇒ ((∀ x : R : P ) ≡ (∀ x : R : Q))

Vamos a probar el teorema 6.5. Este teorema asegura que una conjunción puede trasladarsefuera del alcance de la cuantificación si el rango R no es siempre falso como lo indica el antece-dente ¬(∀ x :: ¬R). La prueba se hará suponiendo el antecedente ¬(∀ x :: ¬R) y demostrandoel consecuente:

(∀ x : R : P ∧ Q)= (5.11) Distributividad de ∀ sobre ∧

(∀ x : R : P ) ∧ (∀ x : R : Q)= (6.4) ya que x no es variable libre en P

(P ∨ (∀ x :: ¬R)) ∧ (∀ x : R : Q)

= Suposición de ¬(∀ x :: ¬R) o bien (∀ x :: ¬R) ≡ false(P ∨ false) ∧ (∀ x : R : Q)

= (3.29) Elemento neutro de ∨P ∧ (∀ x : R : Q)

6.2.3. Manipulación de rango y término con el cuantificador universal

Los teoremas que siguen tienen sus análogos en el Cálculo Proposicional, con nombressimilares (teoremas 3.75a y 3.75b) que además serán utilizados en la demostración:

(6.8) Teorema. Debilitamiento y fortalecimiento de rango

(∀ x : Q ∨ R : P ) ⇒ (∀ x : Q : P )

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(6.9) Teorema. Debilitamiento y fortalecimiento de término

(∀ x : R : P ∧ Q) ⇒ (∀ x : R : P )

(6.10) Teorema. Monotonía de ∀

(∀ x : R : Q ⇒ P ) ⇒ ((∀ x : R : Q) ⇒ (∀ x : R : P ))

6.2.4. Instanciación con el cuantificador universal

A continuación daremos una regla que será de utilidad en demostraciones con el cuantifica-dor universal.

(6.11) Teorema. Instanciación(∀ x :: P ) ⇒ P [x := E ]

Observemos que esta regla es una consecuencia inmediata de la regla Rango Unitario, esdecir:

(∀ x : x = E : P ) ≡ P [x := E ]

Veamos situaciones donde esta regla 6.11 es de gran ayuda. Por ejemplo, supongamos quequeremos probar

B ∨ par(x + y) ≡ B ∨ par((x + y)2)

cuando la expresión x + y es entera. Supongamos que vale

(∀ i : Z :: par.i ≡ par(i)2) (6.4)

Usaremos Instanciación 6.11 para dar la siguiente prueba:

B ∨ par(x + y)= par.i ≡ par(i)2 (6.4) con la instancia i := x + y

B ∨ par((x + y)

2

)Sin embargo, usualmente simplificaremos la escritura así:

B ∨ par(x + y)= (6.4)

B ∨ par((x + y)2)

El uso implícito de la regla de Instanciación también se sobreentiende del contexto aúncuando el cuantificador universal sea omitido, por ejemplo:

(∀ a, b : Z :: a + b = b + a) (6.5)

puede escribirse también:

6.2. EL CUANTIFICADOR UNIVERSAL 117

a + b = b + a (donde a, b son enteros)

Aquí el cuantificador universal es un comentario y no es parte de la fórmula, con lo cual esfácil olvidar que

x · y + z = z + x · y

es consecuencia de 6.5 utilizando Instanciación, y no Sustitución.

6.2.5. Teoremas y el cuantificador universal

Una expresión booleana constituída únicamente por variables libres se llama abierta. Por

ejemplo la expresión b∨x < y es una expresión abierta y su valor cambiará de acuerdo al estadode las variables x, y y b. La misma expresión se transforma encerrada si se aplica unacuantifica-ción sobre el conjunto de sus variables libres. En el ejemplo, la expresión (∀ b,x,y :: b ∨ x < y )ahora es cerrada. El valor de una expresión cerrada no depende del estado de sus variables, puesno tiene variables libres. Por lo tanto una expresión cerrada es equivalente a true o false. Elsiguiente metateorema caracteriza (al menos parcialmente) cuándo una cuantificación sobre lasvariables no altera el valor de una expresión booleana.

(6.12) Metateorema. P es un teorema si y sólo si (∀ x :: P ) es un teorema.

Realizaremos la prueba mediante implicación mutua.

• P ⇒ (∀ x :: P ).Supongamos que P es un teorema, entonces existe una prueba que transforma P en true,utilizando Leibniz, Transitividad de la igualdad y Sustitución:

P = Justificación 1

. . .. . .

. . .

= Justificación ntrue

Leibniz 5.5, nos permite transformar esta prueba en una en donde aparezca (∀ x :: P ).

(∀ x :: P )= Justificación 1

. . .. . .

. . .= Justificación n

(∀ x :: true)= (6.6), (∀ x : R : true) ≡ true

true

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(∃ x : R :: 1/(x2 + 1) > 1)= aritmética

(∃ x : R :: 1 > (x2 + 1))

= aritmética(∃ x : R :: 0 > x2)

= x2 ≥ 0(∃ x : R :: false)

= (6.19)false

Aquí hemos formalizado todo lo que corresponde a la manipulación con cuantificadores,

aquello concerniente a la manipulación algebraica ha sido tratado informalmente, debido a queno hemos hecho un análisis formal sobre los axiomas de la aritmética.

Veamos otro ejemplo: el concepto de continuidad de una función f en un punto c. Decimosque una función real es continua en c perteneciente a su dominio si vale:

(∀ ǫ : ǫ > 0 : (∃ δ : δ > 0 : (∀ x :: |x − c| < δ ⇒ |f.x − f.c| < ǫ))) (6.11)

Con la definición anterior podemos demostrar el siguiente teorema:

(6.26) Teorema. f (x) = 3 · x + 15 es continua en R.

Comenzaremos manipulando el consecuente de |x − c| < δ ⇒ |f.x − f.c| < ǫ con un valorde c arbitrario, para la función f dada:

|3 · x + 15 − (3 · c + 15)| < ǫ= aritmética

|3 · (x − c)| < ǫ= propiedad del valor absoluto

3 · |(x − c)| < ǫ= aritmética

|(x − c)| < ǫ/3

Hemos probado que |x − c| < ǫ/3 ⇒ |f.x − f.c| < ǫ para un valor de c arbitrario. Entonces,tenemos a ǫ/3 como testigo para δ de (6.11). Podemos ahora construir la fórmula cuantificadaque queríamos:

6.5. EJERCICIOS 127

|x − c| < ǫ/3 ⇒ |f.x − f.c| < ǫ= la línea de arriba es un teorema, usando Metateorema 6.12

(∀ x :: |x − c| < ǫ/3 ⇒ |f.x − f.c| < ǫ)

= Rango unitario 5.9(∃ δ : δ = ǫ/3 : (∀ x :: |x − c| < ǫ/3 ⇒ |f.x − f.c| < ǫ))

⇒ Debilitamiento de rango 6.20, usando ǫ > 0(∃ δ : δ > 0 : (∀ x :: |x − c| < ǫ/3 ⇒ |f.x − f.c| < ǫ))

= la línea de arriba es un teorema, usando Metateorema 6.12 dos veces(∀ c :: (∀ǫ : ǫ > 0 : (∃ δ : δ > 0 : (∀ x :: |x − c| < ǫ/3 ⇒ |f.x − f.c| < ǫ))))

= definición de continuidad (6.11)(∀ c :: f es continua en c)

Por último, formalizaremos otras afirmaciones relacionadas con funciones.Una función es inyectiva si

(∀ x, y : x = y : f.x = f.y)

o también

(∀ x, y : f.x = f.y : x = y)

La función g es la inversa a izquierda de la función f si:

(∀ x :: x = g(f.x))

6.5. Ejercicios

6.1 Suponiendo que x no es variable libre en P , probar que la Distributividad de ∨ respecto de∀ (6.2): P ∨ (∀ x : R : Q) ≡ (∀ x : R : P ∨ Q) sigue directamente de la misma expresióncon R ≡ true, es decir P ∨ (∀ x :: Q) ≡ (∀ x :: P ∨ Q). Lo cual significa que podríamos

haber definido un axioma más simple.

6.2 Probar que (∀ x : R : P ) ∧ (∀ x : R : Q) ≡ (∀ x : R : P ∧ Q) sigue de la misma expresióncon R ≡ true, es decir de (∀ x :: P ) ∧ (∀ x :: Q) ≡ (∀ x : R : P ∧ Q).

6.3 Suponiendo que x no es libre en P , probar el teorema 6.4: (∀ x : R : P ) ≡ P ∨ (∀ x ::¬R). Sugerencia: Comenzar con el lado izquierdo aplicando Traslación, ya que en el ladoderecho R ≡ true.

6.4 Probar el teorema 6.6: (∀ x : R : true) ≡ true. Sugerencia: Aplicando Traslación al ladoizquierdo se obtiene una fórmula a la que luego puede aplicarse distributividad, o también(6.4).

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d) No puedes engañar a alguien todo el tiempo.

6.25 Demostrar que el siguiente razonamiento es correcto, formalizándolo mediante cálculo de

predicados y demostrándolo como teorema.

Todos los hombres son mortales. Sócrates es hombre, entonces Sócrates es mor-tal.

6.26 Demostrar que los siguientes razonamientos son correctos formalizándolos mediante cálcu-lo de predicados y demostrándolos como teoremas.

a) Los brujos son considerados individuos con poderes ocultos. Algún brujo es mago.Luego, algún mago es considerado como individuo con poderes ocultos.

b) Ningún fotógrafo pinta. Todos los que no son fotógrafos son escultores. Por lo tanto,todos los pintores son escultores.

c) Ningún feo despierta pasiones. Todos los atletas despiertan pasiones. Por lo tanto,ningún atleta es feo.

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