Calculo de Diametros de Tuberia

8/20/2019 Calculo de Diametros de Tuberia

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Cálculo de diámetros de tubería mediante la ecuaciónde Darcy-Weisbach aplicando el método de

Newton- RaphsonJeimi Katterine Terr eros H idalgo, Daniel Alberto Silva Casti ll o, Jefferson Fabián Merchán Gir al

Ingeniería Civil, Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Bogotá, [email protected]

[email protected]

[email protected]

Resumen- En una tuberías, para transportar un fluido de un punto

a otro en una distancia dada, se pierde una altura determinada

debido a factores como la fricción, tipo de material, viscosidad del

fluido y depende de diversas condiciones de una forma no lineal,

lo que implica que el cálculo de sus variables sea complejo, en una

diseño real cuando se desea conocer el diámetro que se debe usar

para unas condiciones planteadas se requiere sucesivas iteracionestediosas por lo cual se planteó una ecuación general de difícil

solución para lo cual aplicamos el método de Newton- Raphson

para solución de ecuaciones no lineales ya que presenta ventajas

al converger rápidamente.

I. INTRODUCCIÓN

Para el diseño de tuberías, normalmente se establecen parámetrosiniciales que se desean cumplir, tales como tipo de material, puntosdesde los cuales se va a transportar el fluido, las diferencias de cotas,el tipo de fluido, la cantidad de fluido por unidad de tiempo; perocuando se requiere saber el diámetro de una tubería que cumpla condichos requisitos, el cálculo resulta ser extenso debido a la cantidad deiteraciones múltiples y el grado de dificultad de las expresiones; por

esto se ha tratado de condensar todas las ecuaciones que relacionanestas variables entre sí, para generar una única ecuación que permiteevaluar todos los parámetros requeridos a través de un solo procesoiterativo, utilizando el método de Newton-Raphson para solución deecuaciones no lineales.

II. DESARROLLO DE CONTENIDOS

Darcy-Weisbash: En un sistema de tuberías a presión se generan pérdidas de capacidad de transporte o pérdida hidráulica debido a lafricción de los fluidos con las paredes internas de los ductos que lotransportan, esta energía que se pierde es transformada en calor y serefleja como una pérdida de eficiencia en el sistema, que depende de

variables como la rugosidad del conducto, el tipo de material, el tipode fluido y sus características; para el cálculo de estas pérdidas una delas fórmulas más exactas es la de Darcy-Weisbach, la cual obtiene sunombre en honor a Henry Darcy y Julius Weisbach, ingenieros que

proporcionaron los mayores aportes en el desarrollo de esta ecuación;la ecuación desarrollada es la siguiente

[1], [2], [3]:

ℎ = ∗ ∗ Ec 1. Ecuación Darcy-Weisbach

Dónde: h=Pérdida de carga o de energía (m)f=Coeficiente de fricción (adimensional)l=Longitud de la tubería (m)

v=Velocidad media (m/s)g=Gravedad (m/s2)

Colebrook-White: En general el cálculo del coeficiente es complejo, para lo cual se han generado diversas ecuaciones que relacionanmatemáticamente el comportamiento de cada variable que interactúaen el cálculo del coeficiente. No obstante la ecuación que hacontemplado la máxima cantidad de parámetros y se asemeja mejor alcomportamiento real de cualquier tipo de fluido y cualquier tipo derugosidad sin importar el tipo flujo (laminar o turbulento), es laecuación desarrollada por Colebrook-White [2], [3], [6]:

1√ = −2∗ log 3.71∗ + 2.51 ∗ √

Ec 2. Ecuación Colebrook-White

Dónde: = Rugosidad absoluta de la tubería (m)D= Diámetro de la tubería (m)Re= Numero de Reynolds (Adimensional)f= Coeficiente de fricción (adimensional)

Número de Reynolds: Otro de los parámetros importantes paracalcular el coeficiente de fricción en la ecuación de Colebrook-Whitees el Número de Reynolds (Re), número que define el comportamientodel flujo en el recorrido de un fluido en un ducto en relación directacon su velocidad. Este número se determina mediante la siguienteecuación [2], [3]:

=4 ∗

∗ ∗ Ec 3. Ecuación Número de Reynolds

Dónde: Q= Caudal (m3/s)D= Diámetro Tubería (m)

υ=Viscosidad Fluido (m2/s)

Obtenido el número de Reynolds, se procede con la clasificación delmismo bajo las siguientes consideraciones:

> 2000 < 2000



Diagrame de Moody: Dado el grado de dificultad para resolver ycalcular este coeficiente, Lewis Ferry Moody determino un método

para el cálculo del coeficiente de fricción de forma experimental, através de una tabla que representa curvas que relacionan la rugosidadrelativa, lo que lo convierte en uno de los métodos más utilizados parael cálculo del coeficiente de fricción [2], [3]

Fig. 1 Diagrama de Moody

Hazen – Williams: Otro de los métodos para la solución de dichavariable es la ecuación de Hazen-Williams la cual simplifica elcoeficiente de fricción como un c que depende únicamente del materialdel conducto que transporta el fluido; esta fórmula es sencilla a razónque el coeficiente de rugosidad no es función de la velocidad ni eldiámetro de la tubería; sin embargo esta ecuación se limita al tipo defluido, ya que solo aplica para cálculos con agua; además, ya que notiene en cuenta el número de Reynolds se limita a una franja muyestrecha de valores de este coeficiente para los cuales es aceptable estemétodo, esta ecuación se muestra a continuación[4], [6], [7]:

ℎ = 10.674∗ .. ∗ . ∗ Ec 4. Ecuación Hazen-Williams

Dónde: Q= Caudal (m3/s)C= Coeficiente de rugosidad (adimensional)D= Diámetro interno de la tubería (m)L= Longitud de la tubería (m)

NETON-RAPHSON: El método de Newton-Raphson es unmétodo iterativo que permite aproximar la solución de una ecuacióndel tipo f(x)=0.Se parte de una estimación inicial de la solución X0 yse construye una sucesión de aproximaciones de forma recurrentemediante la fórmula

+ 1 = − ´Es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceroso raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su

primera derivada.El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido deque no está garantizada su convergencia global. La única manera dealcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial losuficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la

iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del puntoinicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función;si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes enel entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmodiverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercanoa la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función

por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen dedicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz

que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que elmétodo haya convergido lo suficiente [5].

III. DESARROLLO APLICATIVO

Tomando las ecuaciones anteriormente mencionadas, planteamos lasolución del sistema mediante el uso del aplicativo de ecuaciones nolineales de Newton-Raphson ya que este nos permite una convergenciarápida hacia el parámetro que deseamos calcular en el sistema.

a. A partir de la ecuación de Darcy-Weisbach (Ec 1.)despejamos el coeficiente de fricción

= ℎ ∗ ∗ ∗ 8 ∗ ∗ Ec 5. Ecuación Coeficiente de Fricción

b. Como segundo paso, se reemplaza la ecuación del Numerode Reynolds en la ecuación de Colebrook-White:

1√ = −2 ∗ log 3.71∗ + 2.51 4 ∗ ∗ ∗ ∗ √

Ec 6. Número de Reynolds en Colebrook-White

c. Sustituimos la ecuación del numeral a (Coeficientede fricción), en la ecuación obtenida en el numeral

anterior

1 ℎ ∗ ∗ ∗ 8 ∗ ∗

= −2∗log 3.71∗ + 2.51 4 ∗ ∗ ∗ ∗ √

Ec 7. Sustitución de ecuaciones

d. Igualamos la ecuación del numeral c a cero, para aplicar elmétodo de Newton-Raphson, lo que permite que en laecuación el término desconocido sea el diámetro, y quegarantiza el uso de aplicación.

−2∗(log .∗ + . ∗∗∗∗√ ) − ∗∗∗∗∗ = 0

Ec 3. Ecuación utilizada en desarrollo Método de Newton-Raphson

e. Luego de esto, se aplica el método de Newton-Raphson parasimplificar el proceso y agilizar la obtención del resultadomediante le software Geogebra en donde se encontraba

previamente programado el método en mención.



Fig. 2 Introducción de fórmula en Geogebra

Fig.3. Formulación de tabla

para la solución del problema.

Fig. 4. Introducción de variables para el desarrollo.

En el programa el usuario puede probar un valor inicial de diámetroen la casilla de entrada y si este valor asumido se encuentrasuficientemente lejos de la solución real de forma tal que el primererror calculado sea mayor a 0.7 el programa indica en un letrero bajola tabla en que intervalo de diámetros se presenta un error inicialmenor a 0.7 y en la parte superior de la tabla muestra la solución querepresenta el diámetro que se debe usar en la tubería para que cumpla

todos los requerimientos suministrados inicialmente, como se muestraen la siguiente gráfica.

Fig. 5 lectura diámetro calculado e intervalo.

IV. CONCLUSIONES

Teniendo en cuenta que lo que se busca, es diámetros detubería, el resultado no puede ser un valor negativo dentrodel cálculo de esta aplicación por lo cual los valores estándelimitados a números mayores que cero.

Uno de los principales métodos para el cálculo de pérdidaen ingeniería hidráulica, son las fórmulas de Hazen-Williams, sin embargo para el desarrollo de proyectos querequieran transportar un fluido diferente al agua no presentautilidad, además de generar baja precisión en gran cantidadde intervalos de velocidades ya que no tiene en cuenta parasu estudio el Número de Reynolds, que representa elcomportamiento del fluido, por lo cual es necesario elmanejo de una fórmula.

Uno de las dificultades mayores para el cálculo empleandola fórmula de Darcy-Weisbach, es el coeficiente de fricción,dado el grado de complejidad para la solución de una

ecuación que no se puede despejar en su totalidad y requierede soluciones iterativas, por lo cual para el cálculo de estevalor el principal método que se ha empleado es el manejodel diagrama de Moody, que representa muy bien loscomportamientos en ciertos intervalos, pero al ser unagráfica, no permite despejar de forma sencilla ecuacionesque correlacionen las diferentes variables que interactúan enel sistema por lo cual es más conveniente para generaciónde nuevas ecuaciones trabajar con la ecuación de Colebrook-White.

Uno de los principales problemas para el cálculo dediámetros por el método de Colebrook-White es que estavariable aparece en muchas de las ecuaciones utilizadas enel sistema, que a su vez dependen unas de otras; por ejemplola ecuación del factor de fricción depende del Número deReynolds, que a su vez depende del diámetro; pero el factor de fricción en la ecuación de Darcy-Weisbach tambiéndepende del diámetro lo que genera un ciclo que hace que

para cada valor de diámetro se tenga que interactuar en todaslas ecuaciones y se presente un método muy extenso ycomplejo para el cálculo de los diámetros.

Debido a que la ecuación resultante del despeje del diámetrocon respecto a todas las demás variables no es una ecuación



lineal no puede solucionarse la ecuación con facilidad pormétodos algebraicos, es necesario recurrir a un métodonumérico, en este caso se toma el método de Newton-Raphson que presenta una convergencia rápida a la solución

para poder tener una solución de esta ecuación, pero debidoa que se genera una ecuación bastante extensa es útil paraoperarla y hacer las iteraciones necesarias el uso de unsoftware, para el caso se utilizó Geogebra.

REFERENCIAS

[1] L. E. Pérez, Breve historia de la ecuación de Darcy- weisbach

(fanning) y Consideraciones de interés sobre la misma, Ed.Universidad de Buenos Aires, Argentina: 2013.

[2] Ranald V. Giles B.S., Theory and problems of Fluid Mechanics and

Hydraulics, 2nd ed., Schaum Publishing, New York, 1962.[3] Streeter, Fluid Mechanics, 3th ed, Mc Graw-Hill Kogakusha,

International Student Edition.[4] Chyr Pyng Liou, Limitations and Proper Use of the Hazen-Williams

Equation, Vol. 124. Sep. 1998.[5] F. Palacio, Resolución aproximada de ecuaciones: Método de

Newton-Raphson, Escuela Politécnica de Catalunya, V. 1.3, España,Abr. 2008.

[6] R.L. Mott, Mecánica de fluidos, Ed. 6, Pearson, México, 2006.[7] R.A. Flechas, “Efecto del uso de la ecuación de Darcy-Weisbach vs

la ecuación de Hazen Williams en el diseño de redes matrices”, XXseminario Nacional de Hidráulica e Ingeniería Barranquilla,Colombia, 8 al 10 Agosto 2012.

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