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CALCULO DE BETAS PARA EL MERCADO BURSÁTIL

COLOMBIANO “CBMB”

Paola Andrea Rodríguez Benítez, Andrea Pimiento Castañeda.

Introducción

El mercado de valores en Colombia ha comenzado una escala de ascenso

como nueva opción para invertir y mejorar la rentabilidad de capitales. Debido a

su imprescindible crecimiento y la escases de herramientas que permitan dar

confiabilidad y seguridad a la hora de calcular los β cuando se valoran las

compañías, tales como medida de riesgo y rentabilidad mínima; se diseña un

modelo que permite optimizar el cálculo de los β de la acción del Banco de

Bogotá superando las falencias que tiene la metodología con la que

actualmente se calcula esta variable. Es importante mencionar que una mala

estimación del β puede subvalorar o sobrevalorar el valor de una compañía,

generar una percepción errada en cuanto al riesgo de activo con respecto al

mercado y de la rentabilidad mínima esperada por el accionista interpretada en

consecuencias económicas. En este documento primero se exponen las

metodologías de cálculo del β, del modelo propuesto ARCH-M y de las pruebas

utilizadas, a continuación se hace una explicación de la obtención del modelo

final con los respectivos análisis y resultados, y finalmente se plasman las

conclusiones del documento.

Marco teórico y matemático

Por lo expuesto anteriormente continuación se muestra la forma como se

calcula el β tradicionalmente. Para el cálculo del β normalmente se utiliza la

ecuación (1):

(1)

Dónde: es la rentabilidad del activo y la rentabilidad del mercado.1

Esta metodología es criticada porque no tiene estructura temporal. Es

importante mencionar que las mejores estimaciones de los β son aquellas que

tienen en cuenta los rezagos, la volatilidad y la temporalidad; por ello, es

necesario hacer ajustes adicionales ya que por lo general, en los mercados

1 SANSORES GUERRERO. Edgar, (2008), “El modelo de valuación de activos de capital aplicado a

mercados financieros emergentes: el caso de México”, México.

poco profundos, las acciones tienden a reaccionar a las rentabilidades del

mercado con un retraso, siendo relevante cuando se modelan los β con series

diarias, generando un sesgo en los β a la baja2.

Por lo anterior, en este proyecto se calcula el β del Banco de Bogotá mediante

un modelo ARCH-M superando las falencias mencionadas anteriormente. El

Banco de Bogotá es el banco con más trayectoria en el país, inició laborares en

1870, convirtiéndose en la mejor entidad del grupo Aval en cuanto a tecnología,

ventas, utilidades y recordación en de marca. Su acción es de alta liquidez, lo

cual permite que sea una buena serie para modelar gracias a la alta volatilidad

que posee, por consiguiente se analizó la acción de esta entidad.

Adicionalmente y de acuerdo al estudio de GUZMAN P.M (1997) concluye que

el modelo ARCH-M aplica para un 50% de las 33 acciones analizadas, se

analizará el coeficiente β de Ecopetrol esperando confirmar la hipótesis. Dado

que según el estudio el modelo tradicional sería suficiente para una estimación

del β en algunos casos. La acción de Ecopetrol es una de las acciones más

tranzadas en la Bolsa de Valores de Colombia haciendo que su volatilidad sea

importante. Ecopetrol es una de las compañías líderes en Colombia y en los

últimos años ha logrado posicionarse a nivel mundial, por estas cualidades se

decide analizar la acción de esta organización.

El coeficiente β, que forma parte del modelo CAPM como prima de riesgo

indica según su resultado que tan riesgoso es el activo en el mercado y si crece

al mismo ritmo, por encima o por debajo con respecto al mercado así:

βi > 1, indica que el activo analizado crece en mayor proporción con respecto al

mercado, por lo tanto el activo es riesgoso.

βi < 1, indica que el activo analizado crece en menor proporción con respecto al

mercado, por lo tanto el activo no es muy riesgoso.

βi = 1, indica que el activo analizado crece en igual proporción con respecto al

mercado, por lo tanto el activo tienen riesgo moderado.3

2 GARCÍA. Estévez Pablo, (2005), “Problemas en la aplicación del CAPM”. Madrid, España.

El CAPM es el modelo de valoración de activos de capital cuyo objetivo es

cuantificar e interpretar la relación que existe entre riesgo y rendimiento. A

través de esta relación lineal, se estable el equilibrio entre los mercados

financieros. Para la construcción de este modelo se deben asumir los

siguientes supuestos:4

Los inversionistas son personas adversas al riesgo.

Los inversionistas cuidan el balance entre el retorno esperado y su

varianza asociada para conformar los portafolios.

No existen fricciones en el mercado.

Existe una tasa libre de riesgo a la cual los inversionistas pueden

endeudarse o colocar sus fondos.

La ecuación del CAMP es:

(2)

Dónde:

β = coeficiente que mide el grado de riesgo del activo con respecto al

rendimiento de mercado Riesgo no diversificable, o sistemático, del activo i.

= Retorno esperado del mercado durante el periodo t

= Retorno esperado del activo i en el periodo t

La descripción de construcción del CAMP se encuentra en el anexo 1.

De acuerdo a lo mencionado anteriormente, la metodología del cálculo del β ha

sido criticada, por ello se propone un modelo ARCH-M para superar las fallas

del modelo tradicional. Los modelos ARCH (modelos de heterocedasticidad

condicional autoregresiva) trabajan con series estacionarias, logrando capturar

3 BELTRÁN, LÓPEZ. Víctor Julio, (2006), “Determinación del coeficiente beta en el modelo CAPM”,

Manizales, Colombia. 4 BRAVO, ORELLANA. Sergio, (2004), “CAPM Historia y Fundamentos”, ESAN.

los conglomerados de volatilidad, suponiendo que la varianza incondicional es

constante en el tiempo, mientras que la varianza condicional es variable. La

especificación del ARCH (q) se concluye a partir de:

(3)

√ (4)

∑

(5)

Dónde es una función que modela el valor esperado de y es

un proceso independiente de es ruido blanco con varianza condicional

. Además, debe cumplir las siguientes condiciones: para

y ∑ .5

Engle, Lilien y Robins (1987) idearon una generalización de los modelos ARHC

(ARCH-M) los cuales han sido estudiados en profundidad ya que permiten que

la media condicional dependa de la varianza condicional siendo esta un

regresor del modelo. La idea fundamental de los mercados en general es que

los inversionistas adversos al riesgo requieren una compensación para retener

un activo riesgoso. Dado que el riesgo de un activo puede ser medido por la

varianza del rendimiento, la prima al riesgo puede incrementarse en función de

la varianza condicional del rendimiento. Los modelos ARCH-M se usan en el

mercado de capitales en los modelos CAPM para calcular el β, donde el

objetivo es comparar dos variables: el rendimiento del título y el rendimiento del

mercado; la relación entre estos dos excesos de mercado está dada por una

constante β la cual expresa el exceso de rendimiento de un título sobre el

rendimiento que ofrece el mercado.

Las series utilizadas para la aplicación del modelo ARCH-M corresponden a

los retornos de los precios diarios de la acción del Banco de Bogotá y del

5 CANO,GAMBO. Carlos Andrés, OROZCO, CHÁVEZ. Marcela; SÁNCHEZ, BETANCUR. Luis Alfonzo, (2001-

2007), “Mecanismo de trasmisión de las tasas de interés en Colombia”, Universidad EAFIT, Colombia.

IGBC6. Los retornos se calculan por la teoría de variación temporal, en serie

continua, de tal manera que el rendimiento diario es definido de la siguiente

forma:

(6)

Dónde es el precio del activo del día de hoy y es el precio del activo de

ayer. Es importante resaltar que los retornos del IGBC actúan como

rendimientos del mercado.

El modelo ARCH-M incorpora directamente el efecto ARCH en las variables

explicativas. Este modelo, se constituye de modo que la desviación estándar y

la varianza sean una medida del riesgo y el rendimiento esperado es una

función creciente del nivel que presenta la varianza condicional.7

Engle, Lilien y Robins (1987) expresan esta idea, formulando el rendimiento en

exceso del activo riesgoso que se desea retener, como:

(7)

Dónde:

Es el rendimiento en exceso del activo que se desea reterner

La prima de riesgo necesaria para inducir al inversionista a retener el

activo

Choque no estimable del rendimiento en exceso de los activos

El modelo asume, que la prima de riesgo se incrementa en función de la

varianza condicional de , es decir, el incremento de la varianza condicional de

6 IGBC: Índice General de la Bolsa de Valores de Colombia, el cual es el resultado de ponderar las

acciones más liquidas y de mayor capitalización que se negocian en la Bolsa, es decir aquellas que tienen una mayor rotación y frecuencia. (www.bvc.com.co) 7 HERNÁNDEZ, Rubén. (2005), “Análisis comparativo de las volatilidades de los mercados bursátiles”,

Argentina.

http://www.bvc.com.co/

los rendimientos aumenta la compensación necesaria para inducir a los

inversionistas a retener el activo a largo plazo.8

De esta forma, es ideal para evaluar el rendimiento de las acciones ya que la

volatilidad debida al nerviosismo del mercado, repercute en los rendimientos

del instrumento.

Pruebas que confirman el efecto ARCH

Para confirmar que existe un efecto ARCH que de indicios para correr un

modelo ARHC se utilizas las siguientes pruebas

El test ARCH-LM consiste en definir si hay efecto ARCH, para lo cual se

deben realizar los siguientes pasos:

1. Se corre la regresión de en por mínimos cuadrados ordinarios (MCO)

y se obtienen los residuales .

2. Regresión auxiliar: se realiza la regresión por MCO de,

Obteniendo el .

3. El estadístico de prueba es:

Donde número de observaciones.

4. Criterio de decisión:

Se rechaza cuando

( tiende a chi cuadrado) o

cuando el á (nivel de significancia). 9

8 GUZMÁN, PLATA. María de la Paz, (1997), “Los modelos CAPM y ARCH-M. Obtención de los

coeficientes beta para una muestra de 33 acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores”, México. 9 CANO, GAMBO. Carlos Andrés, OROZCO, CHÁVEZ. Marcela; SÁNCHEZ, BETANCUR. Luis Alfonzo, (2001-

2007), “Mecanismo de trasmisión de las tasas de interés en Colombia”, Universidad EAFIT, Colombia.

Para constatar que la volatilidad y los retornos del mercado ejercen impacto en

los retornos del activo para que tenga sentido usar un modelo ARCH-M se

utilizó el test de causalidad de Granger y el mecanismo impulso respuesta

calculada mediante modelos VAR (vectores autorregresivos). El test de

Granger permite identificar de forma sencilla relaciones de posible causalidad

entre las variables. El objetivo teórico de este test es determinar si una variable

causa a otra variable . Si causa , se cumplen 2 condiciones:

1. puede ayudar en la predicción de , la regresión de en tiene un

gran .

2. no puede ayudar en la predicción de .10

Los modelos VAR (vectores autorregresivos) constituyen una herramienta

econométrica de series de tiempo de aplicación relativamente joven en el

análisis macroeconómico. Los modelos econométricos estructurales, o de la

econometría tradicional, postulan una ecuación donde la variable endógena

depende de una o varias variables consideradas exógenas al modelo. En estos

los modelos de vectores autorregresivos, todas las variables son consideradas

endógenas, lo que permite capturar de mejor manera los movimientos de las

variables y la dinámica de sus interrelaciones.11 La aplicación del modelo VAR,

permitirá medir el impacto del IGBC, hacia otras variables y viceversa, por

medio del mecanismo de impulso respuesta.

Aplicación y Resultados del modelo

Para calcular el β del Banco de Bogotá, se emplearon las series del logaritmo

de los retornos del activo a partir de los precios diarios de la acción del Banco

de Bogotá12, y del logaritmo de los retornos del mercado que se tomaron de los

10

RAMÓN. Mahía, “Tratamiento básico de series estadísticas introducción al procedimiento de regresión”, Madrid, España. 11

STOCK, James; WATSON, Mark W. (2001). “Vector autoregressions” Journal of Economic Perspectives, vol. 15, núm. 4 12

La serie de los retornos del Banco de Bogotá se llama Retbancobog para las salidas de los modelos

valores diarios del IGBC13, desde del 14 de Abril de 2008 hasta el 15 de Abril

de 2011, generando series cinco (5) días (784 observaciones) para cada una.

Esta ventana de tiempo, recoge períodos de alto riesgo como los vividos en la

crisis subprime, períodos de alta incertidumbre que generan gran volatilidad,

variable que impacta al coeficiente β en la realidad, que no se refleja en el

modelo tradicional. Así mismo, registra periodos de relativa normalidad que

proporcionan varios escenarios durante los 3 años recreando el ciclo del precio

de cualquier activo obteniendo así mejores resultados en la estimación del β.

Inicialmente se comprobó la estacionariedad de los retornos del mercado y del

activo con la prueba de Dickey Fuller. 14 En la gráfica 1 se muestra el

comportamiento de los retornos del mercado dando indicios de estacionariedad

y en la tabla 1 se muestra la prueba donde se rechaza la hipótesis nula porque

es menor al α (nivel de significancia) confirmando la estacionariedad de los

retornos del mercado. En la gráfica 2 se muestra el comportamiento de los

retornos del activo donde se identifica que la serie puede ser estacionaria y en

la tabla 2 se presenta la prueba donde se rechaza la hipótesis nula ratificando

la estacionariedad de los retornos del activo.

13

La serie de los retornos del mercado se llama RetIGBC para las salidas de los modelos. 14

Según esta prueba se confirma la estacionariedad de la serie cuando se rechaza la hipótesis nula (la serie tiene raíces unitarias) lo cual indica que la serie es estacionaria o que no tiene raíces unitarias teniendo en cuenta que el p-valor debe ser menor al α. El alfa utilizado para esta investigación es del 10%.

Análisis de los retornos del mercado

Gráfico 1: Gráfica de serie temporal o el

comportamiento de los retornos del

mercado.

Fuente: Construcción propia

Tabla 1: Prueba de Dickey Fuller para los

retornos del mercado


Análisis de los retornos del activo

Gráfico 2: Gráfica de serie temporal o el

comportamiento de los retornos del activo.


Tabla: 2 Prueba de Dickey Fuller para los

retornos del activo

NullHypothesis: LN_BANCO_BOG has a unitroot

Exogenous: None

LagLength: 7 (Automatic - basedon SIC, maxlag=20) t-Statistic Prob.* AugmentedDickey-Fuller test

statistic -8.409596 0.0000

Test criticalvalues: 1% level -2.567945

5% level -1.941232

10% level -1.616425 Fuente: Construcción propia

Después de la confirmación de la estacionariedad de los retornos del mercado

y del activo, se estima la serie de la volatilidad de los retornos del activo y del

mercado para comprobar que impacto generan éstas sobre los retornos y así

incluirlas en el modelo ARCH-M. Para construir la serie de la volatilidad del

Banco de Bogotá15 se inició observando el correlograma de los retornos

del activo (ver Anexo 2) confirma que no es ruido blanco; es decir, que los

datos se pueden modelar porque su comportamiento no es aleatorio. Por lo

15

La estimación de la serie de la volatilidad de los retornos del activo se nombró Volabog. esta volatilidad es la estimación de la varianza condicional.

-.100

-.075

-.050

-.025

.000

.025

.050

.075

.100

II III IV I II III IV I II III IV I II

2008 2009 2010 2011

ln igbc

-.100

-.075

-.050

-.025

.000

.025

.050

.075

.100

II III IV I II III IV I II III IV I II

2008 2009 2010 2011

ln banco bog

NullHypothesis: RetIGBC has a unitroot

Exogenous: None

LagLength: 1 (Automatic - basedon SIC, maxlag=20) t-Statistic Prob.* AugmentedDickey-Fuller test

statistic -20.72118 0.0000

Test criticalvalues: 1% level -2.567922

5% level -1.941228

10% level -1.616427

tanto se propone un modelo ARMA (ver Anexo 3), la ecuación de retornos

esperados del activo es:

(8)

Dónde ( son los retornos estimados del Banco de Bogotá.

El correlograma de los errores (ver Anexo 4) del modelo (8) indica que los

errores son ruido blanco es decir que el modelo es correcto para la serie, con

prueba de la inversa de las raíces del polinomio (ver Anexo 5) se garantiza la

estacionariedad e invertibilidad del modelo y finalmente el correlograma de los

errores cuadrados no son ruido blanco (ver Anexo 6), lo cual confirma que

existe efecto ARCH y que es viable modelar la volatilidad de los retornos del

activo, por lo cual para constatar que la volatilidad no es constante y no

depende del tiempo se realizó el test ARCH-LM que indica que tiene sentido

modelar la volatilidad condicional de los retornos del activo (ver Anexo 7). En

la tabla 3 se muestra el p-valor del test ARCH-LM, lo que confirma que existe

efecto ARCH y que tiene sentido modelar la volatilidad condicional de los

retornos del activo.

Tabla 3: Test ARCH-LM para los retornos del activo.

Heteroskedasticity Test: ARCH F-statistic 39.19566 Prob. F(1,757) 0.0000

Obs*R-squared 37.36457 Prob. Chi-Square(1) 0.0000 Fuente: Construcción propia

De acuerdo a los resultados del test ARCH-LM, el cual proporciona la base

para estimar la volatilidad condicional de los retornos del activo sumado a que

el correlograma de los errores cuadrados de la estimación de los retornos del

activo ( indican efecto ARCH, se propone un modelo GARCH (1,1) para

estimar la volatilidad condicional de los retornos del activo (ver Anexo 8).

Se presenta a continuación el modelo GARCH (1,1) en función de la volatilidad

rezagada y los errores cuadrados rezagados una vez en el tiempo.

(9)

Dónde ( ) es la estimación de la volatilidad del activo en el tiempo.

Para estimar la volatilidad del mercado16 ( ), se inició viendo el correlograma

de los retornos del mercado (ver Anexo 9) este confirma que no es ruido blanco

es decir que los datos se pueden modelar porque su comportamiento no es

aleatorio. Por tanto se propone un modelo ARMA (1,2) (ver Anexo 10). La

ecuación de retornos esperados del mercado es:

(10)

Donde ( ) es los retornos estimados del IGBC.

El correlograma de los errores (ver Anexo 11) del modelo anterior indica que

los errores son ruido blanco es decir que el modelo es correcto para la serie,

con la prueba de la inversa de las raíces del polinomio (ver Anexo 12) se

garantiza la estacionariedad e invertibilidad del modelo y con el correlograma

de los errores cuadrados se muestra que estos no son ruido blanco (ver Anexo

13), lo que confirma que existe efecto ARCH siendo viable la modelación de la

volatilidad de los retornos del mercado, por consiguiente se realizó el test

ARHC-LM para constatar que la volatilidad no es constante y no depende del

tiempo, dicho test indicó que es coherente modelar la volatilidad condicional de

los retornos del mercado (ver Anexo 14). En la tabla 4 se muestra el p-valor

del test ARCH-LM que confirma que existe efecto ARCH y que tiene sentido

modelar la volatilidad condicional de los retornos del mercado.

Tabla 4: Test ARCH-LM para los retornos del mercado.

Heteroskedasticity Test: ARCH F-statistic 56.20241 Prob. F(1,780) 0.0000

Obs*R-squared 52.55938 Prob. Chi-Square(1) 0.0000


16

La estimación de la serie de la volatilidad de los retornos del mercado se nombró Volmer. esta volatilidad es la estimación de la varianza condicional.

Según los resultados del test ARCH-LM confirma que puede existir evidencia

estadística para modelar la volatilidad condicional de los retornos del activo

adicional a que el correlograma de los errores cuadrados de la estimación de

los retornos del mercado ( ) indican efecto ARCH se propone un modelo

GARCH (1,1) para estimar la volatilidad condicional de los retornos del

mercado (ver Anexo 15).

(11)

Dónde ( ) es la estimación de la volatilidad del mercado en el tiempo.

En resumen se crearon a partir de modelos GARCH la estimación de la

volatilidad condicional de los retornos generados por el precio de las acciones

del Banco Bogotá ( ) también la estimación de la volatilidad condicional de los

retornos generados por el valor del IGBC ( ) , mismas que serán incluidas en

el modelo final para el cálculo del β superando las falencias del modelo

tradicional, generando una estimación del β más robusta, eficiente y, menos

sesgada a la realidad que tiene en cuenta la temporalidad y la volatilidad.

Previo a esto se aplicaron metodologías que permiten identificar la “causalidad”

entre varias variables, en este caso entre los retornos del mercado, los retornos

del activo, la volatilidad del mercado y la volatilidad del activo. La primera el test

de Granger en la tabla 5, se observa que la volatilidad del mercado impacta la

volatilidad del activo, a su vez los retornos del mercado impactan los retornos

del activo y finalmente la volatilidad del mercado impacta la rentabilidad del

activo. La segunda, el mecanismo de impulso respuesta, se estimó un modelo

VAR para obtener dicha herramienta (ver Anexo 16) en la Gráfica 3, se ratifican

los resultados del test de Granger, donde el impacto que ejerce la rentabilidad

del mercado sobre la rentabilidad del activo es significativa ante choques

aleatorios a la otra variable; así mismo el impacto de la volatilidad del mercado

sobre la volatilidad del activo y finalmente pero no menos importante el impacto

que ejerce la volatilidad del mercado sobre los retornos del activo.

Tabla 5: Test de Granger caso Banco de Bogotá.

NullHypothesis: Obs F-Statistic Prob.

Volmer does not Granger Cause Volabog 771 40.5903 2.E-17

RetIGBC does not Granger Cause Retbancobog 782 11.8866 8.E-06 Volmer does not Granger Cause Retbancobog 781 5.90210 0.0029


Gráfica 3: Mecanismo impulso respuesta Banco de Bogotá.

Respuesta de retornos del mercado a retornos del activo Respuesta de volatilidad del mercado a volatilidad del activo

Fuente: Construcción propia Fuente: Construcción propia

Respuesta de volatilidad del mercado a rentabilidad del activo


De acuerdo a los resultados de las metodologías anteriores que ratifican que

existe evidencia estadística para modelar los retornos del activo incluyendo en

su estimación

los retornos del mercado, la volatilidad de mercado y la volatilidad del activo,

porque éstas generan impacto sobre los retornos del activo y así se propone

finalmente un modelo ARCH.

Se estiman los retornos en media de los activos con efecto ARIMA (efecto

temporal) donde se incluye los retornos del mercado y la volatilidad del activo.

Dentro de la estimación de la volatilidad del activo se incluye la volatilidad del

mercado (ver Anexo 17).

El modelo ARCH-M estimado es:

(12)

Dónde es los retornos del activo y la volatilidad del activo es:

(13)

Donde es la volatilidad del mercado, Por lo cual el β del Banco de Bogotá es

0.5468.

Ahora, se modela el β de la serie de los retornos de la acción del Banco de

Bogotá con el modelo tradicional y el resultado es 0.6594 (ver Anexo 18).

Como existe una diferencia entre los valores del coeficiente β del modelo

tradicional y del modelo ARCH-M en la tabla 6 se presenta el análisis de los

efectos que trae para cada uno de los escenarios donde se usa del β.

Tabla 6 Análisis del β tradicional Vs β con modelos ARCH-M.

β Valor Análisis

Valoración Análisis Riesgo

Análisis Rentabilidad

β Tradicional 0.6594

Cuando en la valoración el β es menor al real el CAPM es menor al igual que el WACC por lo tanto el valor de la compañía aumenta. En este caso si se usa el β tradicional se estaría sobrevalorando la compañía.

En este caso si se tiene en cuenta el β tradicional se incurría en un mayor nivel de riesgo con respecto al β ARCH-M

La rentabilidad mínima del accionista se puede medir con el β si se tiene en cuenta el tradicional seria un porcentaje más alto de rentabilidad pero sería una información errada lo cual perjudica económicamente al inversionista porque el retorno mínimo sería menor.

β ARCH-M 0.5468


A continuación se presenta un ejemplo para ver el impacto que genera una

mala estimación del coeficiente β cuando se usa en la valoración de

compañías, en el ejemplo se estima el valor de una compañía que solo tiene un

flujo de caja libre de 100 pesos en total, para poder hacer un análisis relativo de

los efectos que se presentan en el valor de la empresa usando tanto el β

tradicional como el β ARCH-M se suponen los datos presentados en la tabla 7

Ceteris Paribus las demás variables:

Tabla 7 Datos Ejemplo.

Datos

Rf 4%

Rm 7%

Costo Deuda 12%

Mezcla

Pasivos 50%

Patrimonio 50%

Tasa Impuesto 33%

Flujo de Caja Libre 100 Fuente: Construcción Propia

A partir de éstos datos se calcula el CAPM y el WACC para dos escenarios el

primero con el coeficiente β estimado con el modelo ARCH-M y el segundo con

el coeficiente β estimado con el modelo tradicional, obteniendo los resultados

presentados en la tabla 8 con los cuales se puede notar ante un β de mayor

valor el CAPM aumenta al igual que el WACC. Continuado con el desarrollo del

ejemplo se calcula el valor de la compañía la cual como se mencionó

anteriormente posee solamente un flujo de caja libre de 100 pesos, para cada

escenario. En la tabla 9 se muestran los resultados de la valoración los cuales

indican que con un WACC mayor el valor de la compañía es más pequeño.

Midiendo los efectos económicos con el ejemplo anterior se llega a la

conclusión que por cada 100 pesos de flujo de caja libre traído a valor presente

con el WACC estimado a partir del β tradicional se está sobrevalorando la

compañía en 0.1477 pesos comparándolo con el mismo flujo traído a valor

presente con el WACC estimado a partir del β ARCH-M. Es importante aclarar

que si se valora el Banco de Bogotá con datos reales esta diferencia en el

cálculo de los β generaría un impacto importante porque si se usara el β

tradicional se estaría mostrando una sobrevaloración en el valor de la

compañía. Por ello la mejor estimación del β para el Banco de Bogotá es con

un modelo ARCH-M

Tabla 8 Calculo del CAMP y del WACC ejemplo.

Escenario ARCH-M Escenario Tradicional

β ARCH-M 0,5468 β Tradicional 0,6594

CAPM17

5,64% CAPM 5,98%

WACC18

6,84% WACC 7,01% Fuente: Construcción Propia

Tabla 9: Valor de la compañía ejemplo.

Escenario ARCH-M Escenario Tradicional

VPN FCL19

93,5977282 VPN Flujo 1 93,4499963 Fuente: Construcción Propia

Con el fin de concluir la hipótesis que el modelo ARCH-M aplica para el 50% de

los activos analizados según el estudio de GUZMÁN PM (1997) se hace

extensivo para el caso Colombiano analizando el modelo para Ecopetrol.

Mostrando los siguientes resultados.

Resultados análisis Ecopetrol

Para verificar el impacto que generan unas variables sobre otras se utilizaron el

test de Granger y el mecanismo de impulso respuesta con el objetivo de definir

si es significativo incluir dentro del modelo de la estimación del coeficiente β la

volatilidad del mercado y del activo.

En la tabla 10 se muestran los resultados del test, observando que la volatilidad

del mercado impacta la volatilidad del activo, a su vez los retornos del mercado

impactan los retornos del activo y finalmente la volatilidad del mercado impacta

la rentabilidad del activo. Para ratificar dichos resultados se recurrió al

mecanismo de impulso respuesta en la Gráfica 4 se aprecia que existe un

impacto de la volatilidad de Ecopetrol sobre sus retornos pero no es

significativa es decir que ante choques aleatorios sobre la volatilidad del activo

los retornos se ven influenciados pero en una proporción muy mínima, al igual

que el impacto de la volatilidad del mercado sobre sus retornos.

17

El CAPM se calculó con la siguiente ecuación 18

El WACC se calculó con la siguiente ecuación

, donde

es el costo de la deuda, la tasa de impuesta a la renta, el costo de los recursos propios que se calcula con el modelo CAPM, es la deuda (Debt.) y es el capital (Equity). 19

El VPN se calculó con la siguiente ecuación

La volatilidad del mercado impacta la volatilidad del Ecopetrol pero el impacto

de estas sobre los retornos no es significativo, el correlograma de los errores

cuadrados y el test ARCH-LM indican que existe efecto ARCH pero al intentar

estimar un modelo ARCH-M el estadístico es mayor al nivel de significancia lo

cual informa que las variables adicionales con respecto al modelo tradicional no

son significativas como las volatilidades y que no afectan en una proporción

importante la estimación de los retornos del activo. Por ello se llega a la

conclusión que no hay lugar para un modelo ARCH-M, en este caso el modelo

tradicional para la estimación del β es suficiente. El β para Ecopetrol estimado

con el modelo tradicional es 1.0639 (ver Anexo 19).

Tabla 10: Test de Granger caso Ecopetrol20

NullHypothesis: Obs F-Statistic Prob.

Volmer does not Granger Cause Volaeco 781 8.5611 0.0002

Voleco does not Granger Cause Retecopetrol 4.7440 0.0090 Volmer does not Granger Cause Retecopetrol 6,5306 0.0015


Gráfica 4: Mecanismo impulso respuesta Ecopetrol

Respuesta de volatilidad del activo a retornos del activo Respuesta de volatilidad del mercado a retornos del mercado

Fuente: Construcción propia Fuente: Construcción propia

Respuesta de volatilidad del mercado a volatilidad del activo


20

Donde Volmer es la volatilidad del mercado, Voleco es la volatilidad de los retornos de la acción de Ecopetrol y Retecopetrol son los retornos de los precios de la acción de Ecopetrol

Conclusiones

Se concluye para el caso del Banco de Bogotá, según las pruebas de Granger

y el mecanismo impulso respuesta se propone un modelo ARCH-M, incluyendo

la temporalidad y la volatilidad del mercado, en comparación con el beta

tradicional se observa una diferencia significativa en el resultado, teniendo en

cuenta que el modelo se acerca más a la realidad.

La diferencia obtenida en cálculo del β con los dos modelos sugiere

sobrevaloración o subvaloración en el caso de valoración de empresas

generando pérdidas o ganancias para el comprador y vendedor de la

compañía. Desde el punto de vista como medida de riesgo la diferencia hace

que el activo sea menos riesgoso y menos rentable lo cual haría que dicho

activo fuera más atractivo para un inversionista adverso al riesgo.

Siguiendo los resultados del estudio de Guzmán P.M (1997), en su artículo se

confirma la hipótesis para Colombia que el modelo ARCH-M para el cálculo del

β aplica para el 50% de los activos analizados, por lo cual se presenta el

ejemplo de ECOPETROL, en el cual según la pruebas de Granger y el

mecanismo impulso respuesta, indican que la volatilidad del mercado no

genera un impacto significativo en el rendimiento de la acción por lo cual la

estimación del beta con el modelo tradicional es suficiente.

Este modelo es replicable para cualquier acción que cotice en la Bolsa de

Valores de Colombia. Es importante aclarar que es primordial realizar las

pruebas correspondientes para evaluar si el modelo es aplicable o si es

suficiente el modelo tradicional. Si se puede aplicar el modelo es de gran

utilidad porque minimiza las probabilidades de obtener una mala estimación del

β, optimiza las falencias del modelo tradicional, tiene un estructura temporal e

incluye la volatilidad dentro de la estimación, factores que hacen que el

coeficiente β sea menos sesgado a la realidad.

Adicionalmente este modelo se podría aplicar para una muestra más grande de

activos para re comprobar la hipótesis y comparar en dado caso el resultado de

los β, con lo cual se pueden hacer análisis más detallados de los indicadores

donde se utiliza este coeficiente, también se podría aplicar a otro país para

comprobar si los resultados son consistentes con respecto al caso Colombiano

y Mexicano.

Finalmente una buena estimación del β evita que al momento de valorar una

compañía se sobrevalore o subvalore, se den datos errados acerca de la

rentabilidad mínima y el nivel de riesgo de un activo lo cual puede ocasionar

pérdidas o la toma de malas decisiones.

Referencias Bibliográficas

Ayala. Mary, (1981), “Capital AssetPricingModel”, Universidad de Florida,

Estados Unidos.

Beltrán López. Víctor Julio, (2006), “Determinación del coeficiente beta en el

modelo CAPM”, Universidad Nacional De Colombia Sede Manizales,

Manizales, Colombia.

Burbano. J .Antonio, (1997) “El modelo CAPM en Colombia”, Universidad de

Los Andes, Bogotá, Colombia.

Engle, R.F., Lilien, D.M. y Robins, R.P. (1987) “Estimating Time Varying Risk

Premia in Term Structure”,Econométrical.

García. S, Oscar, León. (2003) “Valoración de empresas – Gerencia del Valor

EVA”, Medellín, Colombia.

Guzmán. Plata, María de la Paz, (1997), “Los modelos CAPM y ARHC-M.

Obtención de los coeficientes beta para una muestra de 33 acciones que

cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores”, Universidad Autónoma de México,

México.

Sansores. Guerrero. Edgar, (2008), “El modelo de valuación de activos de

capital aplicado a mercados financieros emergentes: el caso de México”.

Ciudad de México, México.

Skrifter. Utgivna y Svenska. Handelshögskolan, (2004),”Conditionalmoments in

assetpricing”, SwedishSchool of Economist and Business Administration, Vasa,

Finlandia.

ANEXOS

Anexo 1: Construcción del Modelo CAPM Edgar Sansores Guerrero en su artículo “El modelo de valuación de activos de capital aplicado a mercados financieros emergentes: el caso de México, M.C.” (2008) resalta la construcción del modelo CAPM como sigue: Línea del Mercado de Capitales: La óptima combinación de un activo libre de riesgo y un portafolio riesgoso para un inversionista se localiza sobre la recta denominada “Frontera Eficiente Lineal”. Esta línea parte del punto denominado ,

el cual representa el rendimiento del activo libre de riesgo.

Gráfica 1: Frontera Eficiente

Fuente: El modelo de valuación de activos de capital aplicado a mercados financieros

emergentes

Esta línea deberá ser tangente al conjunto de portafolios eficientes del inversionista.

Gráfica 2: Conjunto portafolios eficientes


emergentes

El punto de tangencia con el conjunto M es igual al portafolio del mercado, el cuál en teoría contiene una cantidad positiva de cada acción disponible. Para comprobar que M es el portafolio de mercado, y no cualquier otro portafolio, Sharpe (1966) determina lo siguiente. Se considera que el punto M se sitúa sobre la frontera eficiente,

por lo que los rendimientos esperados del portafolio del mercado son:

y

Como lo muestra Sharpe, cualquier punto sobre la línea de la frontera eficiente puede ser descrito como: β

Sustituyendo b:

) ,

estos puntos para cualquier portafolio eficiente se ubicarán a lo largo de la línea con intercepto en y pendiente

) ésta pendiente es conocida

como la prima de riesgo, y la frontera eficiente lineal llamada línea del mercado de capitales. Línea del Mercado de Valores: Cuando un portafolio resulta eficiente su desviación estándar muestra el nivel de riesgo de dicho portafolio y su relación con los rendimientos esperados resulta lineal. Cuando un portafolio es ineficiente esta relación lineal no se cumple. Esta situación se explica de la siguiente forma. Sí se lleva a cabo la combinación de una acción con el portafolio de mercado (punto AM).

Gráfica 3: Línea de Mercado de capitales


emergentes

Y si se considera al punto Z como cualquier portafolio ubicado sobre la línea AM. Dicho portafolio tendrá como rendimiento:

y varianza

.

A partir de esto se puede determinar que la pendiente de la curva AM al punto M es:

(

)

Además en el punto AM la pendiente de la curva es la misma que la pendiente de la línea del mercado de capitales. Si esto no sucede, entonces habrá una combinación de A y M la cual será superior a la línea del mercado de capitales.

Gráfica 4: Curva AM


emergentes

Para determinar la línea del mercado de valores, resulta necesario que la pendiente del punto AM sea igual a la pendiente de la línea del mercado de capitales, es decir:

.

En donde ,

siendo la covarianza de los rendimientos del activo con el rendimiento

del mercado por lo cual:

.

Siendo la pendiente la prima de riesgo, la cual podemos establecer como:

( )

En donde

. Por lo que la regresión

del coeficiente del CAPM, resulta:

21

Dónde: = intercepto de la regresión o rendimiento autónomo. β = coeficiente que mide el grado de riesgo

del activo con respecto al rendimiento de mercado. = rendimiento del mercado durante el periodo t.

21

SANSORES GUERRERO. Edgar, (2008), “El modelo de valuación de activos de capital aplicado a mercados financieros emergentes: el caso de México”, México.

= término de error aleatorio de la regresión en el periodo t. = tasa de rendimiento del activo i en el periodo t. Se requiere que la regresión cumpla con los supuestos de mínimos cuadrados ordinarios para que el coeficiente beta sea el mejor estimador no sesgado. El coeficiente beta se puede interpretar como el grado de respuesta de la variabilidad de los rendimientos de la acción a la variabilidad de los rendimientos del mercado. Anexo 2 Gráfica 1: Correlograma de los retornos del activo.


Anexo 3 Tabla 1: Modelo ARMA para la estimación de los retornos del activo.

Dependent Variable: Retbancobog

Method: LeastSquares

Date: 05/21/11 Time: 17:40

Sample (adjusted): 5/19/2008 4/15/2011

Includedobservations: 760 afteradjustments

Convergenceachievedafter 4 iterations

MA Backcast: 5/12/2008 5/16/2008

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

AR(13) -0.124863 0.035507 -3.516601 0.0005

AR(7) 0.123055 0.035440 3.472241 0.0005

AR(24) 0.079484 0.035576 2.234224 0.0258

AR(8) 0.140590 0.035377 3.974016 0.0001

AR(9) -0.100701 0.035502 -2.836482 0.0047

MA(1) -0.060855 0.036325 -1.675283 0.0943

MA(5) -0.080008 0.036488 -2.192701 0.0286


Anexo 4 Gráfica 2: Correlograma de los errores de la estimación de los retornos del activo.


Anexo 5 Gráfica 3: Prueba de la inversa de las raíces del polinomio de la estimación de los retornos del activo.


Anexo 6 Gráfica 4: Correlograma de los errores cuadrados de la estimación de los retornos del activo.


Anexo 7 Tabla 2: Prueba ARCH-LM para la estimación de los retornos del activo.

Heteroskedasticity Test: ARCH

F-statistic 39.19566 Prob. F(1,757) 0.0000


Test Equation:

Dependent Variable: RESID^2


Date: 05/21/11 Time: 17:59

Sample (adjusted): 5/20/2008 4/15/2011



C 0.000154 2.06E-05 7.474486 0.0000

RESID^2(-1) 0.221875 0.035440 6.260644 0.0000


Anexo 8 Tabla 3: Modelo GARCH (1,1) para la estimación de la volatilidad de los retornos del activo.


Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution

Date: 05/21/11 Time: 19:43

Sample (adjusted): 4/16/2008 4/15/2011



MA Backcast: 4/15/2008

Presamplevariance: backcast (parameter = 0.7)

GARCH = C(3) + C(4)*RESID(-1)^2 + C(5)*GARCH(-1)

Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

AR(1) -0.936467 0.013149 -71.21711 0.0000

MA(1) 0.919337 0.004736 194.1299 0.0000

VarianceEquation

C 2.84E-05 4.08E-06 6.949041 0.0000

RESID(-1)^2 0.176502 0.026382 6.690165 0.0000

GARCH(-1) 0.675058 0.038762 17.41568 0.0000


Anexo 9 Gráfica 5: Correlograma de los retornos del mercado.


-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

AR roots

MA roots

Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)

Anexo 10 Tabla 4: Modelo ARMA para la estimación de los retornos del mercado.

Dependent Variable: RetIGBC


Date: 05/17/11 Time: 19:31

Sample (adjusted): 4/16/2008 4/15/2011



MA Backcast: 4/14/2008 4/15/2008


AR(1) 0.131555 0.035485 3.707380 0.0002

MA(2) -0.107848 0.000968 -111.4540 0.0000


Anexo 11 Gráfica 6: Correlograma de los errores para la estimación de los retornos del mercado.


Anexo 12 Gráfica 7: Prueba de la inversa de las raíces del polinomio para la estimación de los retornos del mercado.


Anexo 13 Gráfica 8: Correlograma de los errores cuadrados para la estimación de los retornos del mercado.


Anexo 14 Tabla 5: Test ARCH-LM para la estimación de los retornos del mercado.

Heteroskedasticity Test: ARCH

F-statistic 56.20241 Prob. F(1,780) 0.0000


Test Equation:

Dependent Variable: RESID^2


Date: 05/17/11 Time: 19:35

Sample (adjusted): 4/17/2008 4/15/2011



C 0.000113 1.82E-05 6.186954 0.0000

RESID^2(-1) 0.259254 0.034582 7.496827 0.0000


Anexo 15 Tabla 6: Modelo GARCH (1,1) para la estimación de la volatilidad de los retornos del mercado.

VarianceEquation

C 9.66E-06 2.24E-06 4.317997 0.0000

RESID(-1)^2 0.154381 0.023817 6.482037 0.0000

GARCH(-1) 0.770487 0.034191 22.53493 0.0000


Anexo 16 Tabla 7: Modelo VAR.

Vector AutoregressionEstimates

Date: 05/21/11 Time: 18:48

Sample (adjusted): 5/05/2008 4/15/2011


-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

AR roots

MA roots

Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)

Standard errors in ( ) & t-statistics in [ ]

LN_BANCO_BOG LN_IGBC VOLABOG VOLMER

Retbancobog(-1) -0.172882 0.000852 0.000763 -6.87E-05

(0.04354) (0.03740) (0.00025) (0.00022)

[-3.97059] [ 0.02279] [ 3.06403] [-0.31702]

Retbancobog(-2) -0.032327 -0.009528 0.000548 0.000123

(0.04384) (0.03766) (0.00025) (0.00022)

[-0.73735] [-0.25302] [ 2.18610] [ 0.56565]

RetIGBC(-1) 0.242267 0.143987 -0.000779 -0.000664

(0.05040) (0.04329) (0.00029) (0.00025)

[ 4.80665] [ 3.32607] [-2.69993] [-2.64565]

RetIGBC(-2) -0.083635 -0.102331 -0.000312 0.000151

(0.05061) (0.04347) (0.00029) (0.00025)

[-1.65254] [-2.35416] [-1.07599] [ 0.60036]

Volabog(-1) 3.540582 0.324609 0.760448 0.050099

(7.31648) (6.28408) (0.04187) (0.03643)

[ 0.48392] [ 0.05166] [ 18.1640] [ 1.37534]

Volabog(-2) -2.893667 2.517330 -0.058943 -0.054267

(7.26213) (6.23739) (0.04155) (0.03616)

[-0.39846] [ 0.40359] [-1.41846] [-1.50092]

Volmer(-1) 22.53038 24.20854 -0.097917 0.852077

(8.66379) (7.44127) (0.04958) (0.04313)

[ 2.60052] [ 3.25328] [-1.97512] [ 19.7541]

Volmer(-2) -25.62462 -30.52263 0.317723 0.093558

(8.71413) (7.48451) (0.04986) (0.04338)

[-2.94058] [-4.07811] [ 6.37190] [ 2.15646]

C 0.001271 0.000789 2.50E-05 8.98E-06

(0.00075) (0.00065) (4.3E-06) (3.7E-06)

[ 1.68854] [ 1.22012] [ 5.80004] [ 2.39798]


Anexo 17 Tabla 8: Modelo ARCH-M para la estimación de los retornos del activo.


Method: ML – ARCH

Date: 05/19/11 Time: 21:04

Sample (adjusted): 5/19/2008 4/15/2011



MA Backcast: 4/30/2008 5/16/2008

Presamplevariance: backcast (parameter = 0.7) GARCH = C(9) + C(10)*RESID(-1)^2 + C(11)*GARCH(-1) + C(12)*VOLMER

Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

@SQRT(GARCH) 0.064740 0.025837 2.505689 0.0122

LN_IGBC 0.546888 0.028833 18.96763 0.0000

AR(13) 0.366264 0.118194 3.098849 0.0019

AR(7) 0.068702 0.034326 2.001431 0.0453

AR(24) 0.080658 0.029476 2.736412 0.0062

MA(1) -0.149102 0.036679 -4.065001 0.0000

MA(5) -0.110996 0.031663 -3.505581 0.0005

MA(13) -0.409926 0.118667 -3.454420 0.0006

VarianceEquation

C 2.07E-05 6.73E-06 3.073289 0.0021

RESID(-1)^2 0.071802 0.021343 3.364098 0.0008

GARCH(-1) 0.630830 0.090676 6.956999 0.0000

VOLMER 0.137326 0.050345 2.727708 0.0064


Anexo 18 Tabla 9: Modelo Tradicional Banco de Bogotá (estimación del coeficiente β).



Date: 05/21/11 Time: 18:08

Sample (adjusted): 4/15/2008 4/15/2011



LN_IGBC 0.659481 0.034163 19.30408 0.0000


Anexo 19 Tabla 10: Modelo Tradicional Ecopetrol (estimación del coeficiente β).

Dependent Variable: Retecopetrol


Date: 05/17/11 Time: 21:03

Sample (adjusted): 4/15/2008 4/15/2011



LN_IGBC 1.063945 0.025731 41.34896 0.0000


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