8/17/2019 Calculo científico

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Pontificia Universidad Católica de Chile

Facultad de Matemáticas

Marzo de 2013

MAT 2605 - Cálculo Cient́ıfico I - Tarea N◦

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Se entregan solamente los problemas 4, 8 y 9 (de los cuales solamente 2 ser án corregidos).

Plazo de entrega: hasta la clase del jueves 11 de Abril 2013.

1. Tenemos una maquina con una mantisa de  m  digitos. Sea    = 6 · 10−m. Cuales son los resultadosde las siguiente operaciones de punto flotante con redondeo:

a) (1 +   2

) +   2

b) 1 + ( 2

 +   2

)

c) ((1 +   2

) +   2

)− 1d) (1 + (

2 +  

2))− 1

2. Hallar una forma de evaluar sin pérdida de d́ıgitos significativos las siguientes expresiones cerca de

x = 0 para  α > 0:

a) (α + x)n − αnb)   α−√ α2 − xc) 1− cos xd) sin(α + x)− sin α

3. Investiguemos el uso de la serie de Taylor para calcular   ex. Haga un programa que aproxime elvalor de  e−12 evaluando el desarrollo de Taylor hasta el grado  n  de la función  ex en x = −12, paran = 1,..., 100. Comparar con el valor exacto. Cuáles son las principales fuentes de error? Realizarotra estimación de  e−12 con otro método que evite los problemas del método anterior (sugerencia:

considerar 1/ex).

4. Sea f (x) =∞

k=1

1

k(k + x).

a) Verif́ıque que  f (1) = 1.

b) Use la parte  a) para comprobar que  f (x) = 1 +∞

k=1

1− xk(k + 1)(k + x)

.

c) Evaluar con el computador la aproximación de   f (0) sumando los primeros 20 y luego losprimeros 100 términos de ambas series para  f (x) y compare con el resultado exacto  f (0) =π2/6. Cuál de las dos series converge mas rápido al resultado exacto?

5. La integral E n  =  1

0 xnex−1dx satisface la recursión  E n  = 1− nE n−1   (n ≥ 1) y  E n  tiende a 0 para

n →∞. Para aproximar  E 10, cuál de los siguientes dos métodos es más estable (explicar):i) Usar la recursíon a partir del valor conocido para  E 0.

ii) Usar la recursión en sentido contrario: E n−1 = (1−E n)/n a partir del valor de E 20, lo cuál seaproxima por 0.

6. Para   α >   0 dado, consideremos el problema de resolver la ecuación (x − 2)α =   C   con   C >   0 yx > 2. Estudie el condicionamiento absoluto y relativo respecto perturbaciones en  C .

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