Calculo 9a. Edición Purcell, Varberg-Rigdon

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  • 1. NOVENA EDICIN RigdonVarberg / a cu o Pureell PEARSON -Prpnticp Hall 51

2. Descartes Euler LeibnizNewton L'H6pital Pascal Kepler -1. Kepler (1571-1630) -R. Descartes (1596-1650) -B. Pascal (1623-1662)- -l. Newton (1642-1727) -o. Leibniz (1646-1716) ,_L'Hpital (1661-1704) -1. Bernoulli (1667-1748) ----------------j __ L. Euler (1707-1783) - - - - - l _ M.Agnesi (1718-1799) - - - Bernoulli Contribuidores del Clculo [El clculo es] el resultado de una dramtica lucha intelectual que ha durado los ltimos veinticinco siglos. -Richard Courant 1609 ILeyes de Kepler del movimiento planetario 1637 Geometra analtica de Descartes 1665 INewton descubre el clculo 1696 Primer texto de clculo (L'Hpital) 1728 IEuler introduce e 3. Lagrange Otros contribuidores Pierre de Fermat (1601-1665) Michel Rolle (1652-1719) Brook Taylor (1685-1731) Coln Maclaurin (1698-1746) Thomas Simpson (1710-1761) Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) George Green (1793-1841) George Gabriel Stokes (1819-1903) Lebesgue Gibbs 11902 IIntegral de Lebesgue 1873 Kovalevsky e es trascendental (Hermite) I 1854 Integral de Riemann Weierstrass 1821 Nocin precisa de lmite (Cauchy) Gauss 1799 Gauss demuestra el teorema fundamental del lgebra Agnesi 1756 Lagrange inicia su Mcanique ana/ytique - OO',- - - - - - - - - - - - - -. . . --1---- 1. Lagrange (1736-1813) -c. Gauss (1777-1855) -A. Cauchy (1789-1857) _K. Weierstrass (1815-1897) - G. Riemann (1826-1866)- -J. Gibbs (1839-1903) - S. Kovalevsky (1850-1891) - I -H. Lebesgue (1875-1y 2. Transitividad. x < y e y < z =x < z. 3. Suma. x < y =x + z < y + z. 4. Multiplicacin. Cuando z es posi- tiva x < y = xz < yz. Cuando i es negativa, x < y = xz > yz. Orden Los nmeros reales diferentes de cero se separan, en forma adecuada, en dos conjuntos disjuntos, los nmeros reales positivos y los nmeros reales negativos. Este hecho nos permite introducir la relacin de orden < (se lee "es menor que") por medio de < y ~ y - x es Dositilvo Acordamos que x x significarn lo mismo. As, 3 < 4,4 > 3,-3 -3. La relacin de orden ~ (se lee "es menor o igual a") es prima hermana de por ~ y ~, respectivamente. Cuantificadores Muchas proposiciones matemticas incluyen una variable x, y la validez de un enunciado depende del valor de x. Por ejemplo, la proposicin "IX es un nmero racional" depende del valor de x; es verdadero para algunos 4 10,000 valores de x, tal como x = 1,4,9, x = 1,4,9, 9' y 49' y falso para otros valores de x, tales como x = 2, 3, 77 Y7T. Algunas proposiciones, tales como "x2 ~ O", son verda- deras para todo nmero real x, y otras proposiciones, tales como "x es un entero par mayor que 2 y x es un nmero primo", siempre son falsas. Denotaremos con P(x) un enunciado cuyo valor de verdad depende del valor de x. Decimos "para toda x, P(x)" o "para cada x, P(x)", cuando la proposicin P(x) es verdadera para todo valor de x. Cuando al menos existe un valor de x para el cual es verdadera, decimos "existe una x tal que P(x)". Los dos importantes cuantificadores son "para todo" y "existe". E}EMPi:OS] Cul de las siguientes proposiciones son verdaderas? (a) Para toda x, x2 > O. (b) Para toda x, x < O~ x2 > O. (c) Para cada x, existe una y tal que y > x. (d) Existe una y tal que, para toda x, y> x. 24. 6 Captulo O Preliminares SOLUCIN (a) Falsa. Si elegimos x = O, entonces no es verdadero que x2 > O. (b) Verdadera. Si x es negativa, entonces x2 ser positiva. (c) Verdadera. Esta proposicin contiene dos cuantificadores, "para cada" y "existe". Para leer el enunciado de manera correcta, debemos aplicarlo en el orden correcto. La proposicin inicia "para cada", de modo que si la proposicin es verdadera, en- tonces lo que sigue debe ser verdadero para todo valor de x que seleccionemos. Si no est seguro de que el enunciado completo sea verdadero, intente con algunos valo- res de x y vea si la segunda parte del enunciado es verdadero o falso. Por ejemplo, podramos elegir x = 100, dada esta eleccin; existe una y que sea mayor a x? En otras palabras, existe un nmero mayor que lOO? Por supuesto que s. El nmero 101 lo es. Ahora, seleccionemos otro valor para x, digamos x = 1,000,000. Existe una y que sea mayor que este valor de x? Nuevamente, s; en este caso el nmero 1,000,001 lo sera. Ahora, pregntese: "Si tengo que x es cualquier nmero real, podr encontrar una y que sea mayor a x?" La respuesta es s. Basta con elegir a y como x + 1. (d) Falsa. El enunciado dice que existe un nmero real que es mayor que todos los dems nmeros reales. En otras palabras, existe un nmero real que es el mayor de todos. Esto es falso; aqu est una demostracin por contradiccin. Suponga que existe un nmero real mayor que todos, y. Sea x = y + 1. Entonces x > y, lo cual es contrario a la suposicin de que y es el mayor nmero real. 111 La negacin de la proposicin P es la proposicin "no P". (La proposicin "no P" es verdadera siempre que P sea falsa). Considere la negacin de la proposicin "para toda x, P(x)". Si la negacin de esta proposicin es verdadera, entonces debe existir al menos un valor de x para el cual P(x) es falsa; en otras palabras, existe una x tal que "no P(x)". Ahora considere la negacin de la proposicin "existe un x tal que P(x)". Si la negacin de esta proposicin es verdadera, entonces no existe una x para la cual P(x) sea verdadera. Esto significa que P(x) es falsa sin importar el valor de x. En otras pala- bras, "para toda x, no P(x)". En resumen, La negacin de "para toda x, P(x)" es "existe una x tal que no P(x)". La negacin de "existe una x tal que P(x)" es "para toda x, no P(x)". Revisin de conceptos - 1. Los nmeros que pueden escribirse como la razn (cociente) de dos enteros se denominan _ 2. Entre cualesquiera dos nmeros reales, existe otro nmero real. Esto significa que los nmeros reales son _ Conjunto de problemas 0.1 3. La contrapositiva (contrarrecproca) de "si P entonces Q" es 4. Los axiomas y las definiciones son tomados como ciertos, pero requieren de una demostracin. En los problemas del! al!6 simplifique tanto como sea posible. Aseg- rese de eliminar todos los parntesis y reducir todas las fracciones. 3. -4[5(-3 + 12 - 4) + 2(13 - 7)] 4. 5[-1(7 + 12 - 16) + 4] + 2 1. 4 - 2(8 - 11) + 6 2. 3[2 - 4(7 - 12)] 11 12 1 _ J + Z 11. 7-2] 2 4 R l!.+!1 12. 1 +:J _ Z 7 21 2 4 R 1 3 13. 1--- 14. 2+-~ 1 + 1 1 + ?2 2 15 (vs +V3)(VS -V3) 16. (VS - V3)2 En los problemas del!7 al28 realice las operaciones indicadas y sim- plifique. 5. 5 I 6. .~+l_l '7 - :, 4 - 7 21 7. mu-o + 1] 8. _I[~_l(l_!)] (, 3 5 2 3 5 14( 2 Y (~-5)/(1-~)9. 21 5 - ~ 10. 17. (3x - 4)(x + 1) 19. (3x - 9)(2x + 1) 21. (3t2 - t + 1)2 18. (2x - 3)2 20. (4x - 11 )(3x - 7) 22. (2t + 3)3 25. Seccin 0.1 Nmeros reales, estimacin y lgica 7 29. Determine el valor de cada una de las expresiones siguientes; si no est definida, indquelo o o (a) 00 (b) o (c) 17 (d) ~ (e) 05 (f) 170 30. Demuestre que la divisin entre Ono tiene significado como sigue: Suponga que a *O. Si ajO = b, entonces a = O. b = O, lo cual es una contradiccin. Ahora determine una razn por la que O/O tam- bin carece de significado. 25. 23. 24. Demuestre que entre cualesquiera dos nmeros reales diferentes existe una infinidad de nmeros racionales. 5S. Estime el volumen de su cabeza, en pulgadas cbicas. 59. Estime la longitud del ecuador, en pies. Suponga que el radio de la Tierra es de 4000 millas. 60. Alrededor de cuntas veces habr latido su corazn en su vigsimo cumpleaos? 61. El rbol llamado General Sherman, que est en California, tiene una altura de casi 270 pies y promedia alrededor de 16 pies de dimctro. Estime el nmero de tablones de madera de 1 pulgada por 12 pulgadas por 12 pulgadas que podran fabricarse con este rbol, suponiendo que no haya desperdicio e ignorando las ramas. 62. Suponga que cada ao, el rbol General Sherman (vasc el problema 61) produce un anillo de crecimiento de un grosor de 0.004 pies. Estime el aumento anual resultante en el volumen de su tronco. 2 Y 2S. ---+-~- 6y - 2 9y2 - x2 - x - 6 x - 3 2x - 2x2 26., 2 X' - 2x + X x2 - 4 x-2 t2 - 4t - 21 t + 3 12 4 2 27. + - +-- x2 + 2x x x + 2 34. 36. (a) Todo nmero natural es racional. (b) Existe un crculo cuya rea es mayor que 97r. (c) Todo nmero real es mayor que su cuadrado. 71. Cules de los enunciados siguientes son verdaderos? Su- ponga que x y y son nmeros reales. (a) Para todax,x>0=x2 >0. 63. Escriba el recproco y el contrapositivo de los siguientes enunciados. (a) Si hoy llueve, entonces trabajar en casa. (b) Si la candidata satisface todos los requisitos, entonces ser con- tratada. 64. Escriba el recproco y el contrapositivo de los siguientes enunciados. (a) Si obtengo una A en el examen final, aprobar el curso. (b) Si termino mi artculo de investigacin para el viernes, entonces tomar un descanso la semana prxima. 65. Escriba el recproco y el contrapositivo de los siguientes enunciados. (a) (Sean a, by c las longitudes de los lados de un tringulo.) Si a2 + b2 = c2 , entonces el tringulo es un tringulo rectngulo. (b) Si el ngulo ABC es agudo, entonces su medida es mayor que 0 y menor que 90. 66. Escriba el recproco y el contrapositivo de los siguientes enunciados. (a) Si la medida del ngulo ABC es 45, entonces el ngulo ABC es agudo. (b) Si a < b entonces a2 < b2 . 67. Considere los enunciados del problema 65 junto con sus rec- procos y contrapositivos. Cules son verdaderos? 6S. Considere los enunciados del problema 66 junto con sus rec- procos y contrapositivos. Cules son verdaderos? 69. Utilice las reglas acerca de la negacin de proposiciones que incluyen cuantificadores para escribir la negacin de las siguientes proposiciones. Cul es verdadera, la proposicin original o su ne- gacin? (a) Todo tringulo issceles es equiltero. (b) Existe un nmero real que no es entero. (c) Todo nmero natural es menor o igual a su cuadrado. 70. Utilice las reglas acerca de la negacin de proposiciones que incluyen cuantificadores para escribir la negacin de las siguientes proposiciones. Cul es verdadera, la proposicin original o su nega- cin? 2 32. 7 5 17 11 13 37. 0.123123123... 3S. 0.217171717 ... 39. 2.56565656... 40. 3.929292 . 41. 0.199999... 42. 0.399999 . 43. Como 0.199999 ... = 0.200000... y 0.399999 ... 0.400000 ... (vanse los problemas 41 y 42), vemos que ciertos nme- ros racionales tienen diferentes expansiones decimales. Cules son los nmeros racionales que tienen esta propiedad? 44. Demuestre que cualquier nmero racional p/q, para el cual la factorizacin en primos de q consiste slo en nmeros 2 y nmeros 5, tiene un desarrollo decimal finito. 45. Encuentre un nmero racional positivo y un nmero irracio- nal positivo menores que 0.00001. 46. Cul es el menor entero positivo? El menor racional posi- tivo? El menor nmero irracional positivo? 47. Encuentre un nmero racional entre 3.14159 y 7r. Note que 7r = 3.141592.... En los problemas del 37 al 42 cambie cada decimal peridico por una razn de dos enteros (vase el ejemplo 1). 48. Existe un nmero entre 0.9999... (Jos 9 se repiten) y 1? Cmo concilia esto con el enunciado de que entre cualesquiera dos nme- ros reales diferentes existe otro nmero real? 49. El nmero 0.1234567891011121314... es racional o irracio- nal? (Debe observar un patrn en la sucesin de dgitos dada). 50. Encuentre dos nmeros irracionales cuya suma sea racional. En los problemas del 51 al 56 determine la mejor aproximacin decimal que su calculadora permita. Inicie haciendo una estimacin mental. 51. (V3 + 1)' 52. (V2 - V3)4 53. VTm - ~ 54. (3.1415r1l2 55. V8.97r2 + 1 - 37r 56. o/(67r2 - 2)7r 57. Demuestre que entre cualesquiera dos nmeros reales dife- rentes existe un nmero racional. (Sugerencia: si a < b, entonces b - a > O, as que existe un nmero natural n tal que l/n < b - a. Considere el conjunto (k:k/n > b) y utilice el hecho de que un conjunto de en- teros que est acotado por abajo contiene un elemento menor). En los problemas del 31 al36 cambie cada nmero racional a uno de- cimal mediante una divisin larga. 31. 12 33. 2" 11 35. 3 26. p 8 Captulo O Preliminares 76. Utilice el Teorema fundamental de la aritmtica (vase el problema 75) para demostrar que el cuadrado de cualquier nme- ro natural (distinto de 1) puede escribirse como el producto de un conjunto nico de primos, excepto por el orden de los factores, ca- da uno de los cuales aparece un nmero par de veces. Por ejemplo, (45)2 = 3 . 3 . 3 . 3 . 5 . 5. 77. Demuestre que V2 es irracional. Sugerencia: intente una de- mostracin por contradiccin. Suponga que 12 = p/q, donde p y q son nmeros naturales (necesariamente distintos de 1). Entonces 2 = p2/l, de modo que 2q2 = pl. Ahora utilice el problema 76 pa- ra obtener una contradiccin. (b) Para toda x, x > O(=> Xl > O. (c) Paratodax,x2 >x. (d) Para toda x, existe una y tal que y > x2 . (e) Para todo nmero positivo y, existe otro nmero positivo x tal queO O, existe una y tal que y > -. x 1 (d) Para toda x positiva, existe un nmero natural n tal que - < x. n 1 (e) Para cada E positiva, existe un nmero natural n tal que 2n < E. 73. Demuestre las siguientes proposiciones. (a) Si n es impar, entonces n2 es impar. (Sugerencia: si n es impar, entonces existe un entero k, tal que n = 2k + 1). (b) Si n2 es impar, entonces n es impar. (Sugerencia: demuestre la contrapositiva). 74. Demuestre que n es impar si y slo si n2 es impar. (Vase el problema 73). 75. De acuerdo con el Teorema fundamental de la aritmtica, to- do nmero natural (distinto de 1) puede escribirse como el producto de primos, dc una forma nica, salvo por el orden de los factores. Por ejemplo. 45 = 335. Escriba cada uno de los siguientes nmeros como un producto de primos. (b) 0.375 (d) (1 + /3)l Demuestre que /3 es irracional (vase el problema 77). Demuestre que la suma de dos nmeros racionales es ra- Respuestas a la revisin de conceptos 1. nmeros racionales 2. densos 3. "Si no Q entonces no P". 4. teoremas 82. Un nmero b se denomina cota superior para un conjunto S de nmeros, si x :'5 b para toda x en S. Por ejemplo, 5, 6.5 y 13 son co- tas superiores para el conjunto S = p, 2, 3, 4, 5). El nmero 5 es la m- nima cota superior para S (la ms pequea de las cotas superiores). De manera anloga, 1.6,2 Y2.5 son cotas superiores para el conjunto infinito T = PA, lA9, 1.499, 1.4999,...} mientras que 1.5 es la mnima cota superior. Encuentre la mnima cota superior para cada uno de los siguientes conjuntos, (a) S = {-lO, -8, -6, -4, -2} (b) S = {-2, -2.1, -2.11, -2.111, -2.1111, ... } (c) S = {2A, 2A4, 2A44, 2.4444, ... } (d) S = {1 - k, 1 - ~, 1 - ~, 1 - *,... } (e) S = (xix = (_1)n + l/n, n es un entero positivo}; esto es, S es el conjunto de todos los nmeros x que tienen la forma x = (-1 t + l/n, donde n es un entero positivo. (f) S = (x :x2 < 2, x es un nmero racional). 83. El axioma de completez para los nmeros reales dice: todo conjunto de nmeros reales que tiene una cota superior tiene una m- nima cota superior que es un nmero real. (a) Demuestre que la proposicin en cursivas es falsa si las palabras reales y real se reemplazan por racionales y racional, respectiva- mente. (b) La proposicin en cursivas ser verdadera o falsa si las pala- bras reales y real fuesen reemplazadas por naturales y natural, respectivamente? 78. 79. cional. 80. Demuestre que el producto de un nmero racional (distinto de O) y un nmero irracional es irracional. Sugerencia: intente una demostracin por contradiccin. 81. Cules de los siguientes nmeros son racionales y cules son irracionales? (a) -V9 (c) (3V2)(5V2) (c) 5100(b) 124(a) 243 0.2 Desigualdades y valor absoluto La resolucin de ecuaciones (por ejemplo, 3x - 17 = 6 o Xl - X - 6 = O) es una de las ta- reas tradicionales de las matemticas; en este curso ser importante y suponemos que usted recordar cmo hacerlo. Pero, casi de igual importancia en clculo es la nocin de resolver una desigualdad (por ejemplo, 3x - 17 < 6 o Xl - X - 6 2:: O). Resolver una de- sigualdad es encontrar el conjunto de todos los nmeros reales que hace que la desi- gualdad sea verdadera. En contraste con una ecuacin, cuyo conjunto solucin por lo regular consiste en un nmero o quiz en un conjunto finito de nmeros, el conjunto solucin de una desigualdad por lo regular es un intervalo completo de nmeros o, en algunos casos, la unin de tales intervalos. -----t---1 ~ -2 1 6 7 (-1.6)=lx:-l a} (a, (0) a IR (-00, (0) Resolucin de desigualdades Como con las ecuaciones, el procedimiento para resolver una desigualdad consiste en transformar la desigualdad un paso a la vez hasta que el conjunto solucin sea obvio. Podemos realizar ciertas operaciones en ambos la- dos de una desigualdad sin cambiar su conjunto solucin. En particular: 1. Podemos sumar el mismo nmero a ambos lados de una desigualdad. 2. Podemos multiplicar ambos lados de una desigualdad por el mismo nmero positi- vo. 3. Podemos multiplicar ambos lados de una desigualdad por el mismo nmero nega- tivo, pero entonces debemos invertir el sentido del signo de la desigualdad. ~~.!.L 1] Resuelva la desigualdad 2x - 7 < 4x - 2 Ymuestre la grfica de su con- junto solucin. SOLUCIN -3 -2 -1 Figura 3 2x-7 a y negativo para x < a. Se deduce que un produc- to (x - a)(x - b) puede cambiar de positivo a negativo, y viceversa, slo en a o b. Estos puntos, en donde el factor es cero, se denominan puntos de separacin. Estos puntos son la clave para determinar los conjuntos solucin de desigualdades cuadrticas y otras desigualdades ms complicadas. EJEMPLO 3 -1 Resuelva la desigualdad cuadrtica x2 - x < 6. Punto de Signo de Signo de prueba (x - 3) (x + 2) (x - 3)(x + 2) o Puntos de prueba + + t (sume -6) ( factorice)(x - 3)(x + 2) < O Vemos que -2 y 3 son los puntos de separacin; dividen la recta real en tres interva- los (-00, -2), (-2, 3) Y (3,00). En cada uno de estos intervalos (x - 3)(x + 2) conser- va el signo; esto es, ah siempre es positivo o siempre negativo. Para determinar este signo en cada intervalo, utilizamos los puntos de prueba -3, OY5 (cualesquiera otros puntos en estos intervalos sirven). Nuestros resultados se muestran en la tabla al margen. La informacin que hemos obtenido se resume en la parte superior de la figura 5. Concluimos que el conjunto solucin para (x - 3)(x + 2) < Oes el intervalo (-2,3). Su grfica se muestra en la parte inferior de la figura 5. l1li SOLUCIN Como con las ecuaciones cuadrticas, pasamos todos los trminos distin- tos de cero a un lado y factorizamos. x2 - x < 6 x2 - X - 6 < O EjEMPI:04] Resuelva 3x2 - x - 2 > O. SOLUCIN Ya que 3x2 - x - 2 = (3x + 2)(x - 1) = 3(x - 1)(x + ~) los puntos de separacin son -~ y 1. Estos puntos, junto con los puntos de prueba -2, O Y2, establecen la informacin que se muestra en la parte superior de la figura 6. Con- cluimos que el conjunto solucin de la desigualdad consiste en los puntos que se en- cuentran en ( - 00, -~) o en (1,00). En el lenguaje de conjuntos es la unin (simbolizada con U ) de estos dos intervalos; esto es, es( - 00, -~) U (1, 00 ). l1li + I t5 + + + o I (-2,3) o I I + + I + ~2 Figura 5 -3 O 5 -+-+~2 -2 ~2 (-x,-2) U [I,x) EJEMPLO 6] Resuelva (x + l)(x -l?(x - 3) 'S O. x - 1 ~jEMPI"O 5 IResuelva --2 2:: O. x+ SOLUCIN Nuestra inclinacin a multiplicar ambos lados por x + 2 conduce a un dilema inmediato, dado que x + 2 puede ser positivo o negativo. Debemos invertir el signo de la desigualdad o dejarlo como est? En lugar de tratar de desenredar este proble- ma (que requerira dividirlo en dos casos), observamos que el cociente (x -l)/(x + 2) puede cambiar de signo en los puntos de separacin del numerador y del denomina- dor, esto eS"en 1 y -2. Los puntos de prueba -3, OY2 proporcionan la informacin de la parte superior de la figura 7. El smbolo n indica que el cociente no est definido en -2. Concluimos que el conjunto solucin es (-00, -2) U [1,00). Observe que -2 no per- tenece al conjunto solucin ya que ah el cociente est indefinido. Por otra parte, 1 est incluido ya que la desigualdad se cumple cuando x = 1. l1li + I + n O I I I I Figura 7 Figura 6 + O - O --+- -1 [-1,3J Figura 8 + SOI"UCIN Los puntos de separacin son -1, 1 Y3, los cuales dividen la recta real en cuatro intervalos, como se muestra en la figura 8. Despus de probar todos estos intervalos, concluimos que el conjunto solucin es [-1,1] U [1,3] que es el intervalo [-1,3]. II1II .EJEMPL()] Resuelva 2.9 < 1:.. < 3.1. x 29. Seccin 0.2 Desigualdades y valor absoluto 11 SOLUCiN Es tentador multiplicar por x, pero esto nuevamente lleva al dilema de 1 que x puede ser positiva o negativa. Sin embargo, en este caso, - debe estar entre 2.9 y x 3.1, lo cual garantiza que x es positivo. Por lo tanto, es vlido multiplicar por x y no in- vertir las desigualdades. As, 2.9x < 1 < 3.1x En este punto debemos dividir esta desigualdad compuesta en dos desigualdades, que resolvemos de manera separada 2.9x < 1 y 1 x 3 o x < -3 (vase la figura 11). stos son casos especiales de las siguientes proposiciones generales que se cumplen cuando a > O. I I i t ... j.. I -5 -4 -3 -2 -1 1 3 4 Ix 1< 3 I I II -5 -4 -3 2 -1 Ixl > 3 Figura 11 1. labl = lallbl 3. la + bl ~ lal + Ibl 4. la - bl ~ /lal-Ib/l (1) 21;1 = :~: (desigualdad del tringulo) Ixl < a ~ -a < x < a Ixl > a ~ x < -a o x > a 30. 12 Captulo O Preliminares Ir--+- 6 7 Ix-41 son reemplazadas por:s y 2:, respectivamente. Necesitamos la segunda proposicin en esta forma para nuestro ejemplo siguiente. ~EMPLO 9 IResuelva la desigualdad 13x - SI 2: 1 Ymuestre su conjunto solu- cin en la recta real. SOLUCI()N La desigualdad dada puede escribirse de manera sucesiva como 3x - S :S -1 o 3x - S 2: 1 3x :s 4 o 3x 2: 6 x:s 4 x2:23 o El conjunto solucin es la unin de dos intervalos,( -oo,~] U [2,00), y se muestra en la figura 13. 111 En el captulo 1 necesitaremos hacer la clase de manipulaciones que se ilustran en los dos ejemplos siguientes. Delta (8) Ypsilon (e) son la cuarta y quinta letras, respec- tivamente, del alfabeto griego y se utilizan de manera tradicional para representar n- meros positivos pequeos. ~PLifio]Sea e (psilon) un nmero positivo. Demuestre que Ix - 21 < ~ ~ ISx - 101 < e En trminos de distancia, esto dice que la distancia entre x y 2 es menor que e/S, si y s- lo si la distancia entre Sx y 10 es menor que e. SOLUCI()N Ix - 21 e slx - 21 16x - 181 < 8 6 A continuacin se presenta un problema prctico que utiliza el mismo tipo de ra- zonamiento. EJEMPIJO 12 JUn vaso de precipitados de ! litro (500 centmetros cbicos) tie- ne un radio interno de 4 centmetros. Con qu exactitud debemos medir la altura h del agua en el vaso para asegurar que tenemos ~ litro de agua con un error de menos de 1%, esto es, un error de menos de 5 centmetros cbicos? Vase la figura 14. SOLUCIN El volumen V de agua en el vaso est dado por la frmula V = 167Th. Queremos que IV - 500 I< 5 o, de manera equivalente, I167Th - 500 I< 5. Ahora SOLUCIN Las dos soluciones de x2 - 2x - 4 = Oson As, debemos medir la altura con una precisin de alrededor de 1 milmetro. IfEJE~.t>U) ~~J Resuelva x2 - 2x - 4 so; O. 5 O, una solucin real si d = OYsoluciones no reales si d < O. Con la frmula cuadrtica, fcilmente podemos resolver desigualdades cuadrti- cas, incluso, si no se pueden factorizar por inspeccin. v16 = 4 Notacin para las races cuadradas Todo nmero positivo tiene dos ra- ces cuadradas. Por ejemplo, las dos races cuadradas de 9 son 3 y -3. En ocasiones, representamos estos dos nmeros como 3. Para a ~ O, el smbolo va, que se denomina raz cuadrada principal de a, denota la raz cuadrada no negativa de a. Por lo tanto, V9 = 3 Y Il21 = 11. Es incorrecto escribir v16 = 4 ya que vT significa la raz cuadrada no negativa de 16; esto es, 4. El n- mero 7 tiene dos races cuadradas, que se escriben como Vi, pero Vi representa un solo nmero real. Recuerde esto: a2 = 16 tiene dos soluciones, a = -4 Ya = 4, pero y -(-2) + v4+l6 2 1 + v5 ~ 3.24 As, Figura 15 -+-l+ I 1+ t+-i+1--+- -2 -1 o + () I () + I x2 - 2x - 4 = (x - x)(x - X2) = (x - 1 + v5)(x - 1 - v5) Los puntos de separacin 1 - v5 Y1 + v5 dividen a la recta real en tres intervalos (vase la figura 15). Cuando los comprobamos con los puntos de prueba -2, OY4, con- cluimos que el conjunto solucin para x2 - 2x - 4 so; Oes [1 - v5,1 + v5]. (:uadrados Regresando a los cuadrados, notemos que = x2 y Ixl = /? 32. 14 Captulo O Preliminares Notacin para races Si n es nmero par y a :2: O, el sm- bolo vra denota la raz n-sima no negativa de G. Cuando n es impar, slo existe una raz n-sima real de a, denotada por el smbolo vra. Por lo tanto, ru = 2, V27 = 3, Y v=8 = -2. Revisin de conceptos Esto se deduce de la propiedad 1a 11 b 1= 1ab l. La operacin de elevar al cuadrado preserva las desigualdades? En general, la respuesta es no. Por ejemplo, -3 < 2, pero (-3)2> 22. Por otra parte, 2 < 3 y 22< 32. Si tratamos con nmeros no negativos, entonces a < b ~ a2 < b2 . Una variante til de es- to (vase el problema 63) es EJEMPI::0 14] Resuelva la desigualdad 13x + I1 < 21 x - 61. SOI.uelN Esta desigualdad es ms difcil de resolver que nuestros ejemplos ante- riores, debido a que hay dos signos de valor absoluto. Podemos eliminar ambos al usar el resultado del ltimo recuadro. 13x + 11 < 21x - 61 ~ 13x + 11 < 12x - 121 ~ (3x + 1)2 < (2x - 12)2 ~ 9x2 + 6x + 1 < 4x2 - 48x + 144 ~ 5x2 + 54x - 143 < O ~ (x + 13)(5x - 11) < O Los puntos de separacin para esta desigualdad cuadrtica son -13 y lf; estos puntos dividen la recta real en tres intervalos (- 00, -13), (-13, lf), y (lf, 00 ). Cuando utili- zamos los puntos de prueba -14, OY3, descubrimos que slo los puntos en (-13, lf) satisfacen la desigualdad. 1. El conjunto Ix: -1 s x < 5} s~ escribe en notacin de interva- los como y el conjunto (x: x s -2} se escribe como ~__ 2. Si a/b < O, entonces a < Oy ~~_o bien a > Oy ~~_ Conjunto de problemas 0.2 1. Muestre cada uno de los intervalos siguientes en la recta real. (a) [- 1, 1] (b) (-4, 1] (e) (-4,1) (d) [1,4] (e) [-1,00) (f) (-00,0] 2. Utilice la notacin del problema 1 para describir los interva- los siguientes. (a) (b) -2 -1 o (e) -7 -6 -o -4 -} --1 (d) -} 3. Cules de las ecuaciones siguientes siempre son verdaderas? (a) I-xl = x (b) Ixl2 = x2 (e) Ixyl = Ixllyl (d) W = x 4. La desigualdad Ix - 21 s 3 es equivalente En cada problema del 3 al 26 exprese el conjunto solucin de la desi- gualdad dada en notacin de intervalos y bosqueje su lvfica. 3. x - 7 < 2x - 5 4. 3x - 5 < 4x - 6 5. 7x - 2 s 9x + 3 6. 5x - 3 > 6x - 4 7. -4 < 3x + 2 < 5 8. -3 < 4x - 9 < 1I 9. -3 < 1 - 6x :oS 4 10. 4 < 5 - 3x < 7 11. x2 + 2x - 12 < O 12. x2 - 5x - 6 > O 13. 2x2 + 5x - 3 > O 14. 4x2 - 5x - 6 < O x+4 3x - 2 15. --sO 16. ---:2: O X - 3 x-I 2 7 17. -2 3x - 2 x+5 33. Seccin 0.2 Desigualdades y valor absoluto 15 En los problemas 49 al 52 muestre que la implicacin indicada es ver- dadera. 49. Ix - 31 < 0.5= 15x - 151 < 2.5 50. Ix + 21 < 0.3= 14x + 81 < 1.2 51. Ix - 21 < ~ = 16x - 121 < 8 8 52. Ix + 41 < 2= 12x + 81 < 8 I X-21: 1 43. I~ -31 > 6 En los problemas del 45 al 48 resuelva la desigualdad cuadrtica por medio de la frmula cuadrtica. 45. x2 - 3x - 4 :=:: O 47. 3x2 + 17x - 6 > O 34. 16 Captulo O Preliminares 69. Demuestre que Ixl s; 1 = Ix4 + !x3 + ixz + ~x + hl < 2 70. Demuestre cada una de las siguientes proposiciones: (a) x < xZ para x < Oo x > (b) xZ < x para O < x < 1 71. Demuestre que a * 0= aZ + l/az =2" 2. Sugerencia: consi- dere (a -ljaf 72. El nmero !(a + b) se le llama promedio, o media aritmti ca, de a y b. Demuestre que la media aritmtica de dos nmeros est entre los dos nmeros; es decir, pruebe que a + b a O; b < O 3. (b) and 4. -1 s; x s; 5 p -3 -2 -1 -1 -Z -3 Figura 1 -3 -2 --1 -1 -Z Figura 2 y y 0.3 El sistema de coordenadas rectangulares 3 x x En el plano, produzca dos copias de la recta real, una horizontal y la otra vertical, de modo que se intersecten en los puntos cero de las dos rectas. Las dos rectas se deno- minan ejes coordenados, su interseccin se etiqueta con O y se denomina origen. Por convencin, la recta horizontal se llama eje x y la recta vertical se llama eje y. La mitad positiva del eje x es hacia la derecha, la mitad positiva del eje y es hacia arriba. Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, que llevan las marcas 1, 11, 111 YIV, como se muestra en la figura 1. Ahora, cada punto P en el plano puede asignarse a una pareja de nmeros, llamados coordenadas cartesianas. Si una lnea vertical y otra horizontal que pasan por P intersec- tan los ejes x y y en a y b, respectivamente, entonces P tiene coordenadas (a, b) (vase la figura 2). Llamamos a (a, b) un par ordenado de nmeros debido a que es importan- te saber cul nmero est primero. El primer nmero, a, es la coordenada x (o abscisa); el segundo nmero, b, es la coordenada y (u ordenada). La frmula de la distancia Con coordenadas a la mano, podemos introducir una frmula sencilla para la distancia entre cualesquiera dos puntos en el plano. Tiene como base el Teorema de Pitgoras, el cual dice que si a y b son las medidas de los dos catetos de un tringulo rectngulo y e es la medida de su hipotenusa (vase la figura 3), entonces Recprocamente, la relacin entre los tres lados de un tringulo se cumple slo para un tringulo rectngulo. Ahora considrese cualesquiera dos puntos P y Q, con coordenadas (x 1, YI) Y(xz, Y2), respectivamente. Junto con R, el punto de coordenadas (X2' YI)' P YQ son los vrti- ces de un tringulo rectngulo (vase la figura 4). Las longitudes de PR y RQ son 1X2- XI I YIY2 - yll, respectivamente. Cuando aplicamos el Teorema de Pitgoras y tomamos la raz cuadrada principal de ambos lados, obtenemos la expresin siguiente para la frmula de la distancia 35. a' Seccin 0.3 El sistema de coordenadas rectangulares 17 EJEMPLO 1 IEncuentre la distancia entre (a) P(-2,3)yQ(4,-1) (b) P(V2,V3)yQ(7T,7T) Figura 3 SOLUCIN (a) d(P, Q) (b) d(P, Q) V(4 - (-22 + (-1 - 3)2 = V36 + 16 = V52 ~ 7.21 V(7T - V2)2 + (7T - V3)2 ~ V 4.971 ~ 2.23 y 1", x Figura 4 y Figura 5 La frmula es vlida incluso si los dos puntos pertenecen a la misma recta horizon- talo a la misma recta vertical. As, la distancia entre P(-2, 2) YQ(6, 2) es V(6-(-2)? + (2 - 2)2 = V64 = 8 La ecuacin de una circunferencia Es un paso pequeo ir de la frmula de la distancia a la ecuacin de una circunferencia. Una circunferencia es el conjunto de puntos que estn a una distancia fija (el radio) de un punto fijo (el centro). Por ejemplo, considere la circunferencia de radio 3 con centro en (-1,2) (vase la figura 5). Sea (x, y) un punto cualquiera de esta circunferencia. Por medio de la frmula de la distancia, V(x + 1)2 + (y - 2)2 = 3 Cuando elevamos al cuadrado ambos lados obtenemos (x + 1? + (y - 2)2 = 9 que llamamos la ecuacin de esta circunferencia. En forma ms general, la circunferencia de radio r y centro (h, k) tiene la ecuacin (1) A esto le llamamos ecuacin estndar de una circunferencia. EJEMPLO 2 IDetermine la ecuacin estndar de una circunferencia de radio 5 y centro en (1, -5). Tambin, encuentre las ordenadas de los dos puntos en esta circunfe- rencia con abscisa 2. SOLUCIN La ecuacin buscada es (x - 1? + (y + 5)2 = 25 x2 + ax + l + by = c Si desarrollamos los dos cuadrados en el recuadro (1) y reducimos las constantes, entonces la ecuacin adquiere la forma Esto sugiere la pregunta de si toda ecuacin de la ltima forma es la ecuacin de una circunferencia. La respuesta es s, con algunas excepciones obvias. Circunferencia +-+ Ecuacin Decir que (x + 1)2 + (y - 2)2 = 9 es la ecuacin de la circunferencia de radio 3 con centro (-1,2) significa dos cosas: 1. Si un punto est en esta circunfe- rencia, entonces sus coordenadas (x, y) satisfacen la ecuacin. 2. Si x y y son nmeros que satisfa- cen la ecuacin, entonces son las coordenadas de un punto en la circunferencia. Para realizar la segunda tarea, sustituimos x = 2 en la ecuacin y despejamos la y. (2 - 1)2 + (y + 5)2 = 25 (y + 5)2 = 24 y + 5 = V24 y = -5 V24 = -5 2V6 36. 18 Captulo O Preliminares EJEMPLO 3 'Demuestre que la ecuacin x2 - 2x + i + 6y = -6 representa una circunferencia, y determine su centro y su radio. SOLUCIN Necesitamos completar el cuadrado, un importante proceso en mu- chos contextos. Para completar el cuadrado de x2 bx, sumamos (b/2f As, sumamos (-2/2)2 =1 a x2 - 2x Y(6/2f =9 al +6y, Ypor supuesto debemos aadir los mismos n- meros aliado derecho de la ecuacin, para obtener x2 - 2x + 1 + y2 + 6y + 9 = -6 + 1 + 9 (x - 1? + (y + 3)2 = 4 La ltima ecuacin est en la forma estndar. Es la ecuacin de una circunferencia con centro en (1, -3) Yradio 2. Si, como resultado de este proceso, obtuvisemos un nme- ro negativo en el lado derecho de la ecuacin final, la ecuacin no representara curva alguna. Si obtuvisemos cero, la ecuacin representara un solo punto (1, -3). y Y, ---------------------;;;'1'1 /" I /'"" I 1 l ! , . / / : "2(Y' + Y,) ---------7"'r~ : / " ' / / : : Yl --fY",/~. : : I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Figura 6 X, ~(X, + X2) X 2 X La frmula del punto medio Considere dos puntos P(xI. YI) y Q(X2, Y2) con Xl ~ X2 YYI ~ Y2' como en la figura 6. La distancia entre Xl y X2 es X2 - Xl. Cuando le sumamos la mitad de esta distancia, !(X2 - Xl)' a XI. obtenemos el punto medio entre Xl y X2 Por lo tanto, el punto (Xl +x2)/2 es el punto medio entre Xl y X2 sobre el eje X y, en con- secuencia, el punto medio M del segmento PQ tiene a (Xl +x2)/2 como su coordenada x. De manera anloga, podemos mostrar que (YI +Y2)/2 es la coordenada y de M. As, tenemos la frmula del punto medio El punto medio del segmento de recta que une P(xI. YI) y Q(X2, Y2) es ( Xl + x2 YI + Y2) 2 ' 2 EJEMPLO 4 IDetermine la ecuacin de la circunferencia que tiene como un di- metro el segmento que va de (1,3) a (7, 11). SOLUCIN El centro de la circunferencia est en el punto medio del dimetro; por lo tanto, el centro tiene coordenadas (1 +7)/2 = 4 Y(3 +11)/2 = 7. La longitud del di- metro, obtenida por medio de la frmula de distancia, es v(7 - 1? + (11 - 3? = V36 + 64 = 10 de modo que el radio de la circunferencia es 5. La ecuacin de la circunferencia es (X - 4)2 + (y - 7)2 = 25 Rectas Considere la recta de la figura 7. Del punto A al punto B existe una elevacin (cambio vertical) de 2 unidades y un avauce (cambio horizontal) de 5 unidades. Deci- mos que la recta tiene una pendiente de 2/5. En general (vase la figura 8), para una recta que pasa por A(XI,YI) y B(XZ,Y2), en donde Xl *- X2' definimos la peudiente m de esa recta como elevacin y, y~ L-m_=__a_v_a_ll_c_e__= X2 ~~l 37. xx y Seccin 0.3 El sistema de coordenadas rectangulares 19 8 x64 y lU- OS I- Figura 7 Figura 8 Figura 9 >TI e- ra El valor que obtuvimos para la pendiente depende de la pareja de puntos que uti- licemos para A y B? Los tringulos semejantes en la figura 9 nos muestran que Y - Y x - x In le As, los puntos A' y B' daran lo mismo que A y B. Incluso, no importa si A est a la iz- quierda o a la derecha de B, ya que YI - Y2 Xl - X2 Grado (nivel) e inclinacin El smbolo internacional para la pendiente de un camino (llamado grado) se muestra abajo. El grado est dado como porcentaje. Un gra- do de 10% corresponde a una pen- diente de 0.1O. Todo lo que importa es que restemos las coordenadas en el mismo orden en el nume- rador y el denominador. La pendiente m es una medida de la inclinacin de una recta, como se ilustra en la figura 10. Observe que una recta horizontal tiene pendiente cero, una recta que se eleva hacia la derecha tiene pendiente positiva y una recta que desciende a la derecha tiene pendiente negativa. Mientras mayor sea el valor absoluto de la pendiente, ms inclina- da ser la recta. El concepto de pendiente de una recta vertical no tiene sentido, ya que implicara la divisin entre cero. Por lo tanto, la pendiente para una recta vertical se deja indefinida. Los carpinteros utilizan el trmino inclinacin. Una inclinacin de 9:12 corresponde a una pendiente de iz. -5 -4 y m=22=34-2 2-1 1 m = 4-2 = :1 10 x y Figura 11 6 x Rectas con pendientes diferentes Figura 10 l,a forma punto-pendiente Otra vez, considere la recta de nuestro estudio ini- cial; se reproduce en la figura 11. Sabemos que esta recta 1. pasa por (3,2) Y 2 d' 2. tIene pen lente S' 38. 20 Captulo o Preliminares Tome cualquier otro punto de esta recta, como el que tiene coordenadas (x, y). Si utilizamos este punto y el punto (3,2) para medir la pendiente, debemos obtener ~, es decir, y - 2 2 x - 3 5 o, despus de multiplicar por x - 3, Y - 2 = ~(x - 3) Observe que a esta ltima ecuacin la satisfacen todos los puntos de la recta, incluso (3, 2). Adems, ningn punto que no pertenezca a la recta puede satisfacer esta ecuacin. Lo que acabamos de hacer en un ejemplo lo podemos hacer en general. La recta que pasa por el punto (fijo) (x, y) con pendiente m tiene ecuacin A esta forma le llamamos punto-pendiente de la ecuacin de una recta. Una vez ms considere la recta de nuestro ejemplo. Esa recta pasa por (8,4), as como por (3,2). Si utilizamos (8,4) como (x,y), obtenemos la ecuacin y - 4 = ~(x - 8) la cual parece muy diferente de y - 2 = ~(x - 3). Sin embargo, ambas pueden sim- plificarse a 5y - 2x = 4; son equivalentes. EJEMPLO 5 IDetermine una ecuacin de la recta que pasa por (-4,2) Y(6, -1). JIIIII SOLUCIN La pendiente es m = (-1 - 2)/(6 + 4) (-4,2) como el punto fijo obtenemos la ecuacin y - 2 = -t%(x + 4) 3 -16. Por lo tanto, usando Si despejamos la y, obtenemos y Pendiente m x Figura 12 y -1 -1 Figura 13 x La forma pendiente interseccin La ecuacin de una recta puede expresarse de varias formas. Suponga que se nos ha dado la pendiente m de la recta y la intersec- cin b con el eje y -es decir, la recta intersecta al eje y en (O, b)-, como se muestra en la figura 12. Al seleccionar (O, b) como (x, y) y al aplicar la forma punto-pendiente, obtenemos y - b = m(x - O) que puede reescribirse como La ltima se denomina forma pendiente interseccin. En todo momento que veamos una ecuacin escrita en esta forma, la reconocemos como una recta y de manera in- mediata leemos su pendiente y su interseccin con el eje y. Por ejemplo, considere la ecuacin 3x - 2y + 4 = O y = ~x + 2 sta es la ecuacin de una recta con pendiente ~ e interseccin con el eje y igual a 2. Ecuacin de una recta vertical Las rectas verticales no caen dentro del estu- dio precedente, ya que el concepto de pendiente no est definido para ellas; aunque tienen ecuaciones muy sencillas. La recta en la figura 13 tiene ecuacin x = ~, ya que un punto est en la recta si y slo si satisface esta ecuacin. La ecuacin de cualquier recta vertical puede escribirse en la forma x = k, donde k es una constante. Debe notar- se que la ecuacin de una recta horizontal puede escribirse en la forma y = k. La forma Ax + By + e = o Sera bueno tener una forma que cubra todos los casos, incluyendo las rectas verticales. Por ejemplo, considere, 39. Resumen: ecuaciones de rectas Recta vertical: x = k Recta horizontal: y = k Forma punto-pendiente: y - y = m(x - Xl) Forma pendiente intercepcin: y=mx+b Ecuacin lineal general: Ax + By + C = Seccin 0.3 El sistema de coordenadas rectangulares 21 y - 2 = -4(x + 2) y = 5x - 3 x = 5 stas pueden reescribirse (pasando todo aliado izquierdo) como sigue: 4x + y + 6 = a -5x + y + 3 = a x + ay - 5 = a Todas tienen la forma Ax+By+ C=O, A YB no son cero al mismo tiempo ] y 1 2 3 Figura 14 y m D E x que llamamos la ecuacin lineal general (o ecuacin general de la recta). Slo se re- quiere un poco de reflexin para ver que la ecuacin de cualquier recta puede escribir- se en esta forma. Recprocamente, la grfica de la ecuacin lineal general siempre es una recta. Rectas paralelas Se dice que dos rectas son paralelas cuando no tienen puntos en comn. Por ejemplo, las rectas cuyas ecuaciones son y = 2x + 2 y y = 2x + 5 son paralelas porque, para todo valor de x, la segunda recta est tres unidades por arriba de la prime- ra (vase la figura 14). De manera anloga, las rectas con ecuaciones -2x + 3y + 12 = y 4x - 6y = 5 son paralelas. Para ver esto, de cada ecuacin despjese y (Le., es decir, es- criba cada una en la forma pendiente interseccin. Esto da y = :3 x - 4 YY = *x - ~, respectivamente. Otra vez, como las pendientes son iguales, una recta estar un nme- ro fijo de unidades por arriba o por debajo de la otra, de modo que las rectas nunca se intersectarn. Si dos rectas tienen la misma pendiente y la misma interseccin y, enton- ces las dos rectas son la misma y no son paralelas. Resumimos estableciendo que dos rectas no verticales son paralelas si y slo si tie- nen la misma pendiente y diferentes intersecciones con el eje y. Dos rectas verticales son paralelas si y slo si son rectas distintas. Figura 15 e x '-EJEMPLO t[] Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por (6,8) Yes paralela a la recta con ecuacin 3x - 5y = 11. , 1 1 SOLUCION Cuando despejamos la y de 3x - 5y = 11, obtenemos y = 5x - 5' de la cual leemos que la pendiente de la recta es~. La ecuacin de la recta deseada es y - 8 = ~(x - 6) o, de manera equivalente, y = ~ x + ~. Sabemos que estas rectas son distintas porque las intersecciones con el eje y son diferentes. 11 y ---11------1fr---t'-----I---"'-'"~ 3 -1 Figura 16 Rectas perpendiculares Existe alguna condicin sencilla que caracterice a las rectas perpendiculares? S; dos rectas no verticales son perpendiculares si y slo si sus pendientes son recprocas negativas, una respecto de la otra. Para ver por qu esto es verdadero, considere la figura 15. sta cuenta casi toda la historia; se deja como ejerci- cio (problema 57) construir una demostracin geomtrica de que dos rectas (no verti- cales) son perpendiculares si y slo si m2 = -l/m. EJEMPLO 7 IEncuentre la ecuacin de la recta que pasa por el punto de inter- seccin de las rectas con ecuaciones 3x + 4y = 8 Y6x -lOy = 7 Yque es perpendicular a la primera de estas rectas (vase la figura 16). SOLUCIN Para encontrar el punto de interseccin de las dos rectas, multiplicamos la primera ecuacin por -2 y la sumamos a la segunda ecuacin 40. r22 Captulo O Preliminares -6x - Sy = -16 6x - 10y = 7 1Sy = -9 1 y=- 2 Al sustituir y = ken cualesquiera de las ecuaciones originales se obtiene x = 2. El punto de interseccin es (2, k). Cuando despejamos la y de la primera ecuacin (para ponerla en la forma pendiente interseccin), obtenemos y = -~ x + 2. Una recta per- pendicular a ellas tiene pendiente ~. La ecuacin de la recta requerida es y - k= ~(x - 2) Revisin de conceptos 1. La distancia entre los puntos (-2,3) Y(x,y) es ' 2. La ecuacin de la circunferencia de radio 5 y centro en (-4,2) es , 3. El punto medio del segmento de recta que une a (-2,3) y (5,7) es , 4. La recta que pasa por (a, b) y (e, d) tiene pendiente m = ___,siempre que a *c. Conjunto de problemas 0.3 En los problemas del ] al 4 grafique los puntos dados en el plano coordenado y luego determine la distancia entre ellos. En los problemas del]] al]6 determine la ecuacin de la circunferen- cia que satisface las condiciones dadas. 11. Centro en (1, 1), radio 1. 12. Centro en (-2,3), radio 4. 13. Centro en (2, -1) Yque pasa por (5,3). 14. Centro en (4,3) Yque pasa por (6,2). 15. Dimetro AB, donde A = (1,3) YB = (3,7). 16. Centro en (3,4) Ytangente al eje x. 5. Demuestre que el tringulo cuyos vrtices son (5,3), (-2,4) Y (10, 8) es issceles. 6. Demuestre que el tringulo cuyos vrtices son (2, -4), (4, O) Y (8, -2) es un tringulo rectngulo. 7. Los puntos (3, -1) Y(3,3) son dos vrtices de un cuadrado. Proporcione otros tres pares de posibles vrtices. 8. Encuentre el punto en el eje x que sea equidistante de (3, 1) Y (6,4). 9. Determine la distancia entre (-2,3) Yel punto medio del seg- mento de recta que une a (-2, -2) Y(4,3). 10. Determine la longitud del segmento de recta que une los puntos medios de los segmentos AB y CD, donde A = (1,3), B = (2, 6), C= (4,7) YD = (3,4). 24. (3,5) Y (4,7) 26. (2, -4) Y(O, -6) 28. (-6, O) Y(0,6) 36. -4y = 5x - 6 23. (1,1) Y(2,2) 25. (2,3) Y(-5, -6) 27. (3, O) Y(0,5) 35. 3y = -2x + 1 En los problemas del 29 al 34 determine una ecuacin para cada recta. Luego escriba su respuesta en la forma Ax + By + C = O. 29. Pasa por (2,2) con pendiente -1 30. Pasa por (3,4) con pendiente -1 31. Con intercepcin y igual a 3 y pendiente 2 32. Con intercepcin y igual a 5 y pendiente O 33. Pasa por (2,3) Y(4,8) 34. Pasapor(4,1)y(8,2) En los problemas del]7 al 22 determine el centro y el radio de la cir- cunferencia con la ecuacin dada. 17. x 2 + 2x + 10 + y2 - 6y - 10 = O 18. x 2 + y2 - 6y = 16 19. x 2 + y2 - 12x + 35 = O 20. x 2 + y2 - lOx + lOy = O 21. 4x2 + 16x + 15 + 4y2 + 6y = O 22. x2 + 16x + O + 4y2 + 3y = O En los problemas del 23 al 28, determine la pendiente de la recta que contiene los dos puntos dados. En los problemas del 35 al 38 determine la pendiente y la intercepcin con el eje y de cada recta. 2. (-3,5), (2, -2) 4. (-1,5),(6,3) 1. (3,1),(1,1) 3. (4,5), (5, -8) 41. Seccin 0.3 El sistema de coordenadas rectangulares 23 37. 6 - 2y = lOx - 2 38. 4x + 5y = -20 v 56. Una circunferencia de radio R se coloca en el primer cuadran- te, como se muestra en la figura 18. Cul es el radio r de la circunferen- cia ms grande que puede colocarse entre la primera circunferencia y el origen? 57. Construya una demostracin geomtrica, con base en la figu- ra 15, que pruebe que dos rectas son perpendiculares s y slo si sus pendientes son recprocas negativas una de la otra. 58. Demuestre que el conjunto de puntos que estn al doble de distancia de (3,4) que de (1,1) forman una circunferencia. Determi- ne su centro y radio. 59. El Teorema de Pitgoras dice que las reas A, B y e de los cuadrados en la figura 19 satisfacen A + B = C. Demuestre que los se- micrculos y los tringulos equilteros satisfacen la misma relacin y luego sugiera un teorema general de estos hechos. 39. Escriba una ecuacin para la recta que pasa por (3, -3) Yque es (a) paralela a la recta y = 2x + 5; (b) perpendicular a la recta y = 2x + 5; (c) paralela a la recta 2x + 3y = 6; (d) perpendicular a la recta 2x + 3y = 6; (e) paralela a la recta que pasa por (-1,2) Y(3, -1); (f) paralela a la recta x = 8; (g) perpendicular a la recta x = 8. 40. Determine el valor de c para el cual la recta 3x + cy = 5 (a) pasa por el punto (3,1); (b) es paralela al eje y; (c) es paralela a la recta 2x +y = -1; (d) tiene intersecciones con el eje x y con el eje y iguales; (e) es perpendicular a la recta y - 2 = 3(x + 3). 41. Escriba la ecuacin para la recta que pasa por (-2, -1) Yque es perpendicular a la recta y + 3 = -~(x - 5). 42. Determine el valor de k, tal que la recta kx - 3y = 10 (a) es paralela a la recta y = 2x +4; (b) es perpendicular a la recta y = 2x +4; (c) es perpendicular a la recta 2x +3y = 6. 43. El punto (3,9) est por arriba o por debajo de la recta y = 3x -1? 44. Demuestre que la ecuacin de la recta con interseccin con el eje x igual a a *Oe interseccin con el eje y igual a b *puede es- cribirse como ~. j d Figura 17 Figura 18 ~+2:'=1 a b En los problemas del 45 al 48 determine las coordenadas del punto de interseccin. Despus escriba una ecuacin para la recta que pasa por ese punto y que es perpendicular a la primera de las rectas dadas. Figura 20 Figura 19 60. Considere una circunferencia e y un punto P exterior a ella. Sea PT el segmento de recta tangente a e en T, y suponga que la rec- ta que pasa por P y por el centro de e intersecta a e en M y en N. De- muestre que (PM)(PN) = (pn2 . ] 61. Una banda se ajusta alrededor de las tres circunferencias x2 + l = 4, (x - 8)2 + l = 4 y (x -6)2 + (y - 8)2 = 4, como se muestra en la figura 20. Determine la longitud de esta banda. 46. 4x - 5y = 8 2x+ y=-lO 48. 5x - 2y = 5 2x + 3y = 6 45. 2x + 3y = 4 -3x + y = 5 47. 3x - 4y = 5 2x + 3y = 9 49. Los puntos (2,3), (6, 3), (6, -1) Y(2, -1) son vrtices de un cuadrado. Determine las ecuaciones de la circunferencia inscrita y de la circunferencia circunscrita. ] 50. Un banda se ajusta estrechamente alrededor de dos circunfe- rencias,con ecuaciones (x -1)2 + (y +2)2= 16 Y(x+ 9)2+ (y _10)2 = 16. Cul es la longitud de dicha banda? 51. Demuestre que el punto medio de la hipotenusa de cualquier tringulo rectngulo equidista de los tres vrtices. 52. Encuentre una ecuacin de la circunferencia circunscrita al- rededor del tringulo rectngulo cuyos vrtices son (O, O), (8, O) Y(0,6). 53. Demuestre que las dos circunferencias r +l- 4x - 2y - 11 = y x2+ l + 20x - 12y + 72 = Ono se intersectan. Sugerencia: Determi- ne la distancia entre los dos centros. 54. Qu relacin deben cumplir a, b y c, si x2 + ax + l + by + c = O es la ecuacin de una circunferencia? 55. El techo de un tico forma un ngulo de 30 con el piso. Un tubo de 2 pulgadas de radio se coloca a lo largo del borde del tico, de tal manera que un lado del tubo toca el techo y el otro lado toca el piso (vase la figura 17). Cul es la distancia d desde el borde del tico hasta donde el tubo toca el piso? 42. 24 Captulo O Preliminares 62. Estudie los problemas 50 y 61. Considere un conjunto de cir- cunferencias de radio r que no se intersectan, cuyos centros son los vr- tices de un polgono convexo de n lados con longitudes d, dz, ... , dw Cul es la longitud de la banda que se ajusta alrededor de estas circunferencias (de la misma forma que se muestra en la figura 20)? 3 Puede demostrarse que la distancia d del punto (x1> y) a la recta Ax + By+ C=O es IAxl + By + cl d = -~yrA=;2C:::+==B=;;:2- Utilice este resultado para determinar la distancia desde el punto dado hasta la recta dada. 63. (-3,2);3x + 4y = 6 64. (4,-1);2x - 2y + 4 = O 65. (-2,-1);5y = 12x + 1 66. (3, -l);y = 2x - 5 En los problemas 67 y 68 determine la distancia (perpendicular) entre las rectas paralelas dadas. Sugerencia: primero encuentre un punto so- bre una de las rectas. 67. 2x + 4y = 7,2x + 4y = 5 68. 7x - 5y = 6,7x - 5y = -1 69. Determine la ecuacin para la recta que biseca al segmento de recta que va de (-2,3) a (1, -2) Yque forma ngulos rectos con es- te segmento de recta. 70. El centro de la circunferencia circunscrita a un tringulo se encuentra en los bisectores perpendiculares (mediatrices) de los la- dos. Utilice este hecho para encontrar el centro de la circunferencia circunscrita al tringulo con vrtices (0,4), (2, O) Y(4,6). 71. Determine el radio de la circunferencia que est inscrita en un tringulo con lados de longitudes 3, 4 Y5 (vase la figura 21). 4 Figura 21 72. Suponga que (a, b) est en la circunferencia x2+ i = ? De- muestre que la recta ax +by =? es tangente a la circunferencia en (a, b). 73. Determine las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la cir- cunferencia x2 + l = 36 que pasan por el punto (12, O). Sugerencia: vase el problema 72. 74. Exprese la distancia perpendicular entre las rectas paralelas y = mx + b y Y = mx + B, en trminos de m, by B. Sugerencia: la dis- tancia pedida es la misma que aquella entre y = mx y y = mx + B - b. 75. Demuestre que la recta que pasa por los puntos medios de dos lados de un tringulo es paralela al tercer lado. Sugerencia: pue- de suponer que el tringulo tiene vrtices en (O, O), (a, O) y (b, c). 76. Demuestre que los segmentos de recta que unen a los puntos medios de lados adyacentes de cualquier cuadriltero (polgono con cuatro lados) forman un paralelogramo. ] 77. Una rueda cuyo borde tiene ecuacin x2 + (y - 6)2 = 25 gira rpidamente en direccin contraria a las manecillas del reloj. Una partcula de lodo, en el borde, sale despedida en el punto (3,2) y vue- la hacia la pared en x = 11. Aproximadamente a qu altura pegar en la pared? Sugerencia: la partcula de lodo vuela de forma tangente tan rpido que los efectos de la gravedad son despreciables durante el tiempo que le toma golpear la pared. Respuestas a la revisin de conceptos: 1. Y(x + 2? + (y - 3)2 2. (x + 4)2 + (y - 2)2 = 25 3. (1.5,5) 4. (d - b)/(c - a) 0.4 Grficas de ecuaciones El uso de coordenadas para puntos en el plano nos permite describir curvas (un objeto geomtrico) por medio de una ecuacin (un objeto algebraico). En las secciones anterio- res vimos cmo esto se hizo para circunferencias y rectas. Ahora queremos considerar el proceso inverso: graficar una ecuacin. La grfica de una ecuacin en x y y consiste en aquellos puntos en el plano cuyas coordenadas (x,y) satisfacen la ecuacin; es decir, hacen verdadera la igualdad. Procedimiento para graficar Para graficar una ecuacin, por ejemplo, y = 2x3 - x + 19, manualmente, podemos seguir un procedimiento sencillo de tres pasos: Paso J: Obtener las coordenadas de algunos puntos que satisfagan la ecuacin. Paso 2: Graficar estos puntos en el plano. Paso 3: Conectar los puntos con una curva suave. Este mtodo simplista tendr que ser suficiente hasta el captulo 3, cuando utilizare- mos mtodos ms avanzados para graficar ecuaciones. La mejor forma de hacer el paso 1 es construir una tabla de valores. Asignar valores a una de las variables, tal como x, y determinar los valores correspondientes de la otra variable, creando una lista, en forma tabular, de los resultados. Una calculadora grfica o un sistema de lgebra por computadora (CAS, del ingls computer algebra sistem) seguirn un procedimiento muy similar, aunque su proceso es transparente para el usuario. Un usuario slo define la funcin y pide a la calculado- ra grfica, o a la computadora, que la grafique. 43. Seccin 0.4 Grficas de ecuaciones 25 EJEMPLO U Haga la grfica de la ecuacin y = X 2 - 3. SOLUCIN El procedimiento de tres pasos se muestra en la figura 1. y y Paso 1 Construya una tabla de valores Figura 1 6 .. 5 4 -3 -2 -1 1 2 3 ~I Oy se abre hacia abajo si a < O. En el segundo caso, la grfica se abre hacia la derecha si a > O y se abre hacia la izquierda si a < O. Observe que la ecuacin del ejemplo 3 puede po- nerse en la forma x = l +y - 6. Intersecciones de grficas Con frecuencia, necesitamos conocer los puntos de in- terseccin de dos grficas. Estos puntos se determinan cuando se resuelven, de manera simultnea, las dos ecuaciones para las grficas, como se ilustra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 4 IDetermine los puntos de interseccin de la recta y = -2x + 2 y la parbola y = 2x2 - 4x - 2, y haga un bosquejo de ambas grficas en el mismo plano de coordenadas. SOLUCIN Debemos resolver de manera simultnea las dos ecuaciones. Esto es f- cil de hacer al sustituir la expresin para y de la primera ecuacin en la segunda y al despejar enseguida la x de la ecuacin resultante. - 2x + 2 = 2x2 - 4x - 2 0= 2x2 - 2x - 4 O= 2(x + 1)(x - 2) x = -1, x = 2 x y Simetra respecto al origen y O 1 8 27 644 x Calculadoras grficas O 1 2 3 Si usted tiene una calculadora grfi- ca, utilcela siempre que sea posible para reproducir las grficas que se muestran en las figuras. Figura 4 45. Seccin 0.4 Grficas de ecuaciones 27 GRFICAS CUADRTICAS Y CBICAS BSICAS x x y = ax2 + bx + e aO y = ax3 + bx2 + ex + d a>O x x y y = _x2 y =-x3 x .. ..x B satisface la ecuacin tan > = A' (c) Generalice su resultado para establecer una proposicin acerca de Al sen(wt + >1) + A 2 sen(wt + >2) +A, sen(wt + >,). (d) Escriba un ensayo, con sus propias palabras, que exprese la importancia de la identidad entre A sen(wt) + B cos(wt) y e sen(wt + . Asegrese de observar quc Iel:2: mx(IA 1, IBI) Y que la identidad slo se cumple cuando usted forma una combi- nacin lineal (sumando y/o restando mltiplos de una sola po- tencia) de senos y cosenos con la misma frecuencia. De manera breve indique cul ventana (x, y) muestra el verdadero comportamiento de la funcin, y discuta las razones por las que las otras ventanas (x, y) dan resultados que son diferentes. En este caso, es cierto que slo una de las ventanas proporciona el comporta- miento importante, o necesitamos ms de una ventana para comuni- car de manera grfica el comportamiento de esta funcin? Las funciones trigonomtricas que tienen frecuencias altas plantean problemas especiales para su graficacin. Ahora exploramos cmo graficar tales funciones. 19 52. Grafique la funcin f(x) = sen 50x; use la ver!tana dada por un rango de y de -1.5 -s: y -s: 1.5 y rango de x dado por Determine la correspondiente suma de cosenos para 50. La frecuencia circular v de oscilacin de un punto est da- 2Tr da por v = --.--. Qu sucede cuando suma dos movimientos que penodo tienen la misma frecuencia o periodo? Para investigar, podemos gra- x x x x cos 2: cos cos "8 cos 16 Puede visualizar una generalizacin? 47. La temperatura alta normal para Las Vegas, Nevada, es de 55F para el 15 de enero y 105 para el 15 de julio. Suponiendo que stas sean las temperaturas superior e inferior para el ao, utilice es- ta informacin para aproximar la temperatura alta promedio para cl 15 de noviembre. 48. Con frecuencia, las mareas se miden por medio de marcas de altura arbitrarias en alguna localidad. Suponga que una marea alta ocurre al medioda cuando el nivel del agua est en 12 pies. Seis horas ms tarde, sucede una marea baja con un nivel de 5 pies, ya mediano- che tiene lugar otra marea alta con un nivel del agua de 12 pies. Supo- niendo que el nivel del agua es peridico, utilice esta informacin para determinar una frmula que proporcione el nivel del agua como una funcin del tiempo. Lucgo utilice esta funcin para aproximar el nivel del agua a las 5:30 p. m. 49. El movimiento circular puede modelarse mediante la re- prcsentacin paramtrica dc la forma x(t) =sen I y y(t) =cos t. (Una representacin paramtrica significa que una variable, en este caso t, determina a x(t) y y(t).) sta dar cl crculo completo para O-s: t -s: 2Tr. Si consideramos una rueda con un dimetro de 4 pies que gira en el sentido de las manccillas del reloj una vez cada 10 segundos, demuestre que el movimiento dc un punto en la periferia de la rueda puede re- presentarse por medio dc x(t) = 2sen(Trt/5) y y(t) = 2cos(Trt/5). (a) Determine las posiciones del punto en el borde de la rueda cuan- do t = 2, 6 Y10 segundos. En dnde estaba cste punto cuando la rueda comenz a girar en t = O? (b) Si la rucda est girando en sentido contrario a las manecillas del reloj, cmo cambiaran las frmulas para dar cl movimiento del punto? (c) Para qu valor de t el punto est en (2, O) por primera vez? SO Captulo O Preliminares 45. Un tringulo issceles est coronado por un semicrculo, como se muestra cn la figura 18. Encuentre una frmula para el rea A de la figura completa, en trminos de la longitud del lado r y el ngulo t (radianes). (Decimos que A es una funcin de las dos variables inde- pendientes r y t.) 46. A partir de una identidad multiplicativa obtenemos ficar las funciones y(t) = 2sen(TrI/S) y y(/) = sen(Trt/5) + cos(TrI/5) y buscar semejanzas. Armados con esta informacin, podemos inves- tigar mediante la graficacin de las funciones siguientes en el inter- 55. Suponga que una funcin continua es peridica con periodo 1 y es lineal entre Oy 0.25, Ylineal entre -0.75 y O. Adems, tiene el valor 1 en Oy 2 en 0.25. Bosqueje la funcin en el dominio [-1, 11 Y proporcione una definicin por partes de la funcin. valo [-5,5]: (a) y(t) = 3 sen(Trf/5) - 5 cos(Trf/5) + 2 senTrf/5) - 3) (b) y(f) = 3 cOS(Trf/5 - 2) + cos(Trt/5) + cosTrt/5) - 3) 51. Ahora exploramos la relacin entre A sen(wt) + B cos(wt) y e sen(wf + . (a) Desarrollando sen(wt + por medio de la frmula para la suma de ngulos, dcmuestre que las dos expresiones son equivalentes si A = ecos > y B = e sen >. 56. Suponga que una funcin continua es peridica con periodo 2 y es cuadrtica entre -0.25 y 0.2S, y lineal entre -1.75 y -0.25. Adems, tiene el valor Oen Oy 0.0625 en 0.25. Bosqueje la funcin en el dominio [-2,2] y proporcione una definicin por partes de la funcin. Respuestas a la revisin de conceptos: 1. ( - (Xl, (Xl ); [ -1, 1] 2. 2Tr; 2Tr; Tr 3. par 4. -4/5 69. Seccin 0.8 Repaso del captulo 51 :es 1J 0.8 Repaso del captulo 20. 19. 21. es el intervalo - 3 :::; x :::; - 1. (sen t)2 + cos t - - - - - - - tan t csc t f(t) es par f(x) = V-(x2 + 4x + 3) 39. Las rectas ax + y = c y ax - y = c son perpendiculares. 40. (3x - 2y + 4) + m(2x + 6y - 2) = Oes la ecuacin de una recta para cada nmero real m. 41. El dominio natural de 28. Si (a, b), (c. d) y (e, f) estn en la misma recta, entonces a-c a-e e-c b - d = b - f = f _ d' siempre que los tres nmeros sean dife- rentes. 45. El rango de la funcin f(x) = csc x - sec x es el conjunto (-00,-1] U [1.00). 46. La suma de dos funciones pares es una funcin par. 47. La suma dc dos funciones impares es una funcin impar. 48. El producto de dos funciones impares es una funcin impar. 49. El producto de una funcin par con una funcin impar es una funcin impar. 50. La composicin de una funcin par con una funcin impar es una funcin impar. 51. La composicin de dos funciones impares es una funcin par. 52. La funcin (x) = (2x' + x)/(x2+ 1) es impar. 53. La funcin 37. Es posible que dos rectas tengan pendientes positivas y sean perpendiculares. 38. Si las intersecciones de una recta con el eje x y el eje y son ra- cionales distintos de cero, entonces la pendiente de la recta es racio- nal. 42. El dominio natural de T( e) = sec(e) + cos(e) es (- 00, (0). 43. El rango de f(x) = x2- 6 es el intervalo [-6, (0). 44. El rango de la funcin f(x) = tan x - sec x es el conjunto (--00,-1] U [1,(0). 29. Si ab > O, entonces (a, b) est en el primero o en el tercer cua- drante. 30. Para cada e > Oexiste un nmero positivo x tal que x < e. 31. Si ab = O, entonces (a, b) est en alguno de los ejes coordena- dosxoy. 32. Si ~xlf + (Y2 - Ylf = IX2 - xII, entonces (Xl, YI) Y (X2' h) pertenecen a la misma recta horizontal. 33. La distancia entre (a+b,a) y (a -b,a) es 12bl. 34. La ecuacin de cualquier recta puede escribirse en la forma punto-pendiente. 35. La ecuacin de cualquier recta puede escribirse en la forma lineal general Ax + By + e = . 36. Si dos rectas no verticales son paralelas, tienen la misma pen- diente. 16. Si Ixl < Iyl, entonces x < y. 17. Si Ixl < Iyl, entonces x4 < y4. 18. Si x y y son negativos, entonces Ix + yl = Ixl + yl. . I 1 1 1 1SI r < 1 entonces ---- l/b. 12. Es posible que dos intervalos cerrados tengan exactamente un punto en comn. 13. Si dos intervalos abiertos tienen un punto en comn, enton- ces tienen un nmero infinito de puntos en comn. 14. Si x < O, entonces W = -x. 15. Si x es un nmero real, entonces 1-xl = x. 4. Entre dos nmeros irracionales distintos siempre hay otro nmero irracional. 5. 0.999 ... (los 9 se repiten) es menor que 1. Re,ponda con verdadero o falso a cada una de las siguientes asevera- ciones. Est preparadu para justificar su re,puesta. Por lu comn, esto significa que usted debe proporcionar una razn si responde verdade- ro y dar un contraejemplo si responde falso. 1. Cualquier nmero que puede escribirse como una fraccin p/q es racional. 2. La diferencia de cualesquiera dos nmeros racionales es ra- cional. :ro las so, ta- ni- lo 5. ln la fo en jo el y en nto Ita- por : la e la yC :1) y nbi- po- 'ean mo erea 70. 52 Captulo O Preliminares 54. Si el rango de una funcin consiste en un solo nmero, enton- ces su dominio tambin consiste en un solo nmero. (b) (1, -1): y = ~ x + 1 (d) (-3,4):x =-2 (a) (3,2):3x + 2y = 6 (c) (5,9): y = 10 34. Cul ecuacin puede representar la curva de la figura 2? (a) y = ax2 + bx + c, con a > 0, b > 0, y c > (b) Y = ax2 + bx + c,cona < O,b > O,yc > (c) y = ax2 + bx + c,cona < O,b > O,ye < (d) Y = ax2 + bx + e, con a> 0, b > 0, y e < 27. Determine la ecuacin de la circunferencia con dimetro AB, si A = (2, O) YB = (10,4). 31. Escriba la ecuacin de la recta que pasa por (-2, 1) Y que (a) pasa por (7,3); (b) es paralela a 3x - 2y = 5; (c) es perpendicular a 3x +4y = 9; (d) es perpendicular a y = 4; (e) tiene interseccin con el eje y igual a 3. 32. Muestre que (2, -1), (5, 3) Y(11, 11) estn en la misma recta. 33. Cul ecuacin puede representar la curva de la figura 1? (a) y = x3 (b) x = y3 (c) y = x2 (d) x = l 3 17. --::; 2 1 - x 18. 112 - 3xl ~ Ixl 21. Para cules valores de t se cumple la ecuacin It - 5 I= 5 - t? 22. Para cules valores de a y t se cumple la ecuacin It - a I= a - t? 19. Determine un valor de x para el cual 1-xl 01= x. 20. Para cules valores de x se cumple la ecuacin 1-xl = x? x2 - 2x + l + 2y = 2 Y x2 + 6x + l - 4y = -7 30. Determine la ecuacin de la recta que pasa por el punto indi- cado y que es paralela a la recta que se indica; adems, bosqueje am- bas rectas. 28. Determine el centro y el radio de la circunferencia con ecua- cinx2+i- 8x + 6y =0. 29. Determine la distancia entre los centros de las circunferen- cias con ecuaciones 25. Haga un bosquejo del tringulo con vrtices A(-2, 6), B(l, 2) YC(5, 5) Ydemuestre que es un tringulo rectngulo. 26. Determine la distancia de (3, -6) al punto medio del segmen- to de recta que va de (1,2) a (7,8). 23. Suponga que Ixl ::; 2. Utilice las propiedades del valor abso- luto para demostrar que 1 2x2 + 3x + 21 ::; 8 x2 + 2 24. Escriba una proposicin que incluya la palabra distancia para expresar las siguientes proposiciones algebraicas: (a) Ix - 51 = 3 (b) Ix + 11 ::; 2 (c) Ix - al > b (d) M 13. 21t2 - 44t + 12 ::; -312. 2x 2 + 5x - 3 < 2x - 1 14. -->0 x-2 15. (x + 4)(2x - 1)2(x - 3) ::; 16. 13x - 41 < 6 3 2- - - - - x+1 x-2 t3 - 1 (c) t - 1 2. Simplifique (a) (1 + ~ + ~)(1-~ + ~rl 2 x- - - x + 1 x2 - X - 2 (c) 431n (b) (a) (n + ~y 59. Si fy g tienen el mismo dominio, entonces f/g tambin tiene ese dominio. 60. Si la grfica de y = f(x) tiene una interseccin con el eje x en x = a, entonces la grfica de y = f(x + h) tiene una interseccin con el eje x en x = a-h. 61. La cotangente es una funcin impar. 62. El dominio natural de la funcin tangente es el conjunto de todos los nmeros reales. 63. Si cos s = cos t, entonces s = t. Conjunto de problemas de prctica 1. Calcule cada valor para n = 1,2 Y-2. 3. Muestre que el promedio de dos nmeros racionales es un nmero racional. 4. Escriba el decimal peridico 4.1282828... como un cociente de dos enteros. 5 E o " 1 1 13 ncuentre un numero rraClOna entre 2: y 25' [1J 6. Calcule ( V8.15 X 104 - 1.32)2/3.24. [1J 7. Calcule (7T - V2.D)25 - V2.0. [1J 8. Calcule sen2(2.45) + cos2(2.40) - 1.00. En los problemas del 9 al18 determine el conjunto solucin en la rec- ta real y exprese este conjunto en la notacin de intervalo. 9. 1 - 3x > 10. 6x + 3 > 2x - 5 11. 3 - 2x ::; 4x + 1 ::; 2x + 7 55. Si el dominio de una funcin contiene al menos dos nmeros, entonces el rango tambin contiene al menos dos nmeros. 56. Sig(x) = [x/2],entoncesg(-1.8) =-1. 57. Sif(x) = x 2 yg(x) = x3 ,entoncesf o g = g o f. 58. Si f(x) = x2 si g(x) = x3 , entonces (f o g)(x) = f(x)g(x). 71. y Seccin 0.8 Repaso del captulo 53 45. Dibuje la grfica de cada funcin. En los problemas del 35 al 38 bosqueje la grfica de cada ecuacin. 35. 3y - 4x = 6 36. x2 - 2x + l = 3 2x l@ 37. Y = - - 38. x = l - 3 x2 + 2 l@ 39. Determine los puntos de interseccin de las grficas de y = x2 - 2x + 4 y Y - x = 4. 40. Entre todas las rectas perpendiculares a 4x - y = 2, encuentre la ecuacin de aquella que, junto con la parte positiva del eje x y del eje y, forma un tringulo de rea 8. 41. Para f(x) = l/(x + 1) - l/x, determine cada valor (si es- to es posible) 48. Seaf(x) =x-l/xy g(x) =x2 + 1. Encuentre cada valor. (c) (f o g)(2)(b) (f. g)(2) (e) f3( -1) [(x) = x2 - 1 x (a) (b) g(x) = x2 + 1 { x 2 si O ,s x ,s 2 (e) h(x) = six > 26-x (a) (f + g )(2) (d) (g o f)(2) (f) f2(2) + g2(2) 49. Dibuje la grfica de cada una de las siguientes funciones; ha- ga uso de traslaciones. (a) y = 1x2 (b) y = 1(x + 2)2 (e) y = -1 + 1(x + 2)2 50. Sea f(x) = ~ y g(x) =x4 . Cul es el dominio de ca- da una de las siguientes funciones? 46. Suponga que f es una funcin par que satisfacef (x) = - l + vX para x ~ O. Dibuje la grfica de f para -4 ,s x ,s 4. 47. Una caja abierta se fabrica cortando cuadrados, de lado x pulgadas, en cada una de las cuatro esquinas de una hoja de cartn, de 24 por 32 pulgadas, y luego doblando hacia arriba los lados. Exprese el volumen V(x) en trminos de x. Cul es dominio para esta fun- cin? -30 -20 -40 -4 -2 Figura 2 4 X o o -1.5 -4 -2 Figura 1 2) x? :u- 1= Ira t? 43. Describa el dominio natural de cada funcin. 42. Para g(x) = (x + l)/x, encuentre y simplifique cada valor. 44. Cul de las funciones siguientes son impares? Cules son pares? Y cules no son pares ni impares? (a) g(2) (b) g(D g(2 + h) - g(2) (c) h (c) sen 2t (c) g o f (f) sen(7T + t) 97Tcos- 2 (b) cos t (e) cos(~ - t) (b) f o g (b) (a) sen( -t) (a) sen 5700 (c) cos( - ~7T) (d) tan t 51. Escriba F(x) = VI + sen2 x como la composicin de cua- tro funciones,f o g o h o k. 52. Calcule cada una de las siguientes expresiones sin utilizar una calculadora. 53. Si sen t = 0.8 Ycos t < O, determine cada valor. (a) f 54. Escriba sen 3t en trminos de sen t. Sugerencia: 3t = 2t + t. 55. Una mosca est en el borde de una rueda que gira a una velo- cidad de 20 revoluciones por minuto. Si el radio de la rueda es de 9 pulgadas, cunto recorre la mosca en 1 segundo? (c) f(-l) Isen xl + cos x(b) g(x) x2 + 1 (d) k( x) = I I 4 X + x (b) g(x) = ~ (b) f(-!) (e) fG) 3x (a) f(x) = x2 + 1 (c) h(x) = x3 + sen x x (a) f(x) = -2-- X - 1 (a) f(l) (d) f(t - 1) ro u- li- u- la- :a. 72. PROBLEMAS DE REPASO E INTRODUCCIN 1. Resuelva las siguientes desigualdades: (a) 1 < 2x + 1 < 5 2. Resuelva las siguientes desigualdades: (a) 14 < 2x + 1 < 15 3. Resuelva 1x - 71 = 3 para x. 4. Resuelva Ix + 31 = 2 para x. x (b) -3 < - < 8 2 x (b) - 3 < 1 - ~ < 8 2 (b) Ix - 71 '53 (d) Ix - 71 < 0.1 5. La distancia a lo largo de la recta numrica entre x y 7 es igual a 3. Cules son los posi- bles valores para x? 6. La distancia a lo largo de la recta numrica entre x y 7 es igual a d. Cules son los posi- bles valores para x? 7. Resuelva las siguientes desigualdades: (a) Ix - 71 < 3 (e) Ix - 71 '5 1 8. Resuelva las siguientes desigualdades: (a) Ix - 21 < 1 (e) Ix ~ 21 < 0.1 (b) Ix - 21 2: 1 (d) Ix - 21 < 0.01 9. Cules son los dominios naturales de las siguientes funciones? x2 - 1 x2 - 2x + 1 (a) (x) = ~ (b) g(x) = 2x2 _ X _ 1- 10. Cules son los dominios naturales de las siguientes funciones? Ixl(a) F(x) = - x (b) G(x) = sen~ x (e) (d) 11. Evale las funciones (x) y g(x) del problema 9 en los siguientes valores de x: O, 0.9, 0.99, 0.999, 1.001, 1.01, 1.1,2. 12. Evale las funciones F(x) y G(x) del problema 10 en los siguientes valores de x: -1, -0.1, ~0.01, -0.001,0.001,0.01,0.1,1. 13. La distancia entre x y 5 es menor que 0.1. Cules son los posibles valores para x? 14. La distancia entre x y 5 es menor que e, donde e es un nmero positivo. Cules son los posibles valores para x? 15. Verdadero o falso. Suponga que a, x y y son nmeros reales y n es un nmero natural. (a) Para toda x > Oexiste una y, tal que y > x. 1 (b) Para toda a 2: Oexiste una n, tal que - < a. n 1 Para toda a > Oexiste una n, tal que - < a. n Para toda circunferencia e en el plano existe una n, tal que la circunferencia e ysu interior se encuentran dentro de n unidades del origen. 16. Utilice la identidad aditiva para la funcin seno, a fin de determinar sen(c + h) en trmi- nos de sen e, sen h, cos e y cos h. I ..... L 73. A esto le llamamos la rapidez "promedio" en el intervalo, ya que sin importar qu tan pequeo sea el intervalo, nunca sabemos si la rapidez es constante en este intervalo. Por 5(2) - 5(1) ejemplo, en el intervalo [1, 2], la rapidez promedio es ; en el intervalo 2 - 1 5(1.2) - 5(1) [1,1.2], la rapidez promedio es ; en el intervalo [1,1.02], la rapidez prome- 1.2 - 1 d 5(1.02) - 5(1) , Q' "d'" I b" l' 1? P10 es 1 2 ' etcetera ue tan rapl o VIaja e o 1eto en e mstante t = . ara .0 - 1 dar significado a esta rapidez "instantnea" debemos hablar acerca del lmite de la ra- pidez promedio en intervalos cada vez ms pequeos. Podemos determinar reas de rectngulos y tringulos por medio de frmulas de geometra; pero, qu hay de regiones con fronteras curvas, como un crculo? Arqu- medes tuvo esta idea hace ms de dos mil aos. Imagine polgonos regulares inscritos en un crculo, como se muestra en la figura 1. Arqumedes determin el rea de un po- lgono regular con n lados, y tomando el polgono cada vez con ms lados fue capaz de aproximar el rea de un crculo a cualquier nivel de precisin. En otras palabras, el rea del crculo es el lmite de las reas de los polgonos inscritos cuando n (el nmero de lados del polgono) aumenta tanto como se quiera. Considere la grfica de la funcin y = f(x), para a $ x $ b. Si la grfica es una lnea recta, la longitud de la curva es fcil de determinar mediante la frmula de la distancia. Sin embargo, qu sucede si la grfica es curvada? Podemos determinar una gran can- tidad de puntos a lo largo de la curva y conectarlos con segmentos de recta, como se muestra en la figura 2. Si sumamos las longitudes de estos segmentos de recta, debemos obtener una suma que es aproximadamente la longitud de la curva. De hecho, por "lon- gitud de la curva" queremos decir el lmite de la suma de las longitudes de estos seg- mentos de recta, cuando el nmero de stos aumenta tanto como se desee. Los ltimos tres prrafos describen situaciones que conducen al concepto de lmite. Existen muchos otros y los estudiaremos a lo largo del texto. Iniciamos con una explica- cin intuitiva de lmites. La definicin precisa se da en la siguiente seccin. El clculo es el estudio de los Problemas que conducen al concepto de lmite El concepto de lmite es primordial para muchos problemas en fsica, ingeniera y ciencias sociales. Bsicamen- te, la pregunta es sta: qu le pasa con la funcin f(x) cuando x se acerca a alguna constante e? Existen variaciones de este tema, pero la idea bsica es la misma en mu- chas circunstancias. Suponga que cuando un objeto se mueve de forma constante hacia adelante cono- cemos su posicin en cualquier momento. Denotamos la posicin en el instante t por s(t). Qu tan rpido se est moviendo el objeto en el instante t = 1? Podemos utilizar la frmula "distancias iguales a tiempos iguales" para determinar la rapidez (tasa de cambio de la posicin) en cualquier intervalo de tiempo; en otras palabras . distancia rapldez = . tiempo Lmites 1.1 Introduccin a lmites Los temas estudiados en el captulo anterior son parte de lo que se denomina preclcu- lo. Proporcionan los fundamentos para el clculo, pero no son clculo. Ahora estamos listos para una nueva idea importante, la nocin de lmite. sta es la idea que distingue al clculo de otras ramas de las matemticas. De hecho, podramos definir clculo de esta manera: x 1 4 CAPTULO 25 20 y Introduccin a lmites Estudio riguroso (formal) de lmites Teoremas de lmites Lmites que involucran funciones trigonomtricas 1.5 Lmites al infinito; lmites infinitos 1.6 Continuidad de funciones 1.7 Repaso 15 -2 Figura 2 Figura 1 8 O () )S j- 9, 1.1 1.2 1.3 ;i- 1.4 ;i- 74. Una nocin intuitiva Considere la funcin definida por = lm (x2 + x + 1) = 12 + 1 + 1 = 3 x--->l ..... x xX"" 1 Grfica de y = (x) = X;~ 1 I y (x) 4 / j 3 1 /(x) 2 V..~~.~;; 3.813 x3 - 1 lm--- = 3 x--->l X - 1 ,x3 -1 ,(x-1)(x2 +x+1) hm - - = hm --'---------'---'------'-- x--->l X - 1 x--->l X - 1 Toda la informacin que hemos reunido parece apuntar a la misma conclusin:f(x) se aproxima a 3 cuando x se aproxima a 1. En smbolos matemticos, escribimos f(x) = x 3 - 1 x - 1 Observe que no est definida en x = 1, ya que en este punto f(x) tiene la forma , que carece de significado. Sin embargo, an podemos preguntarnos qu le est sucediendo af(x) cuando x se aproxima a 1. Con mayor precisin, cuando x se aproxima a 1,f(x) se est aproximando a algn nmero especfico? Para obtener la respuesta podemos ha- cer tres cosas: calcular algunos valores de f(x) para x cercana a 1; mostrar estos valores en un diagrama esquemtico, y bosquejar la grfica de y = f(x). Todo esto se ha hecho y los resultados se muestran en la figura 3. Esto se lee "el lmite de(x3 - 1)/(x - 1) cuando x tiende a 1 es 3". Como buenos algebristas (es decir, conociendo cmo se factoriza una diferencia de cubos), podemos proporcionar ms y mejor evidencia, Observe que (x -1)/(x -1) = 1 siempre que x #- 1. Esto justifica el segundo paso. El tercer paso parece razonable; pero posteriormente se har una justificacin rigurosa. Para asegurarnos de que estamos en el camino correcto, necesitamos tener una clara comprensin del significado de la palabra lmite. A continuacin haremos nuestro primer intento de una definicin. x3 _1 x y=-- x-I I .J 3.310 1.25 3.813 1.1 3.310 1.1 1.01 3.030 '"'-------~'".1.001 3.003 1.001 - - 3.003 ~ ~ 0.999 ~ 2.997 1.000 ? 0.99 2.970 0.9 t t 0.999 2.997 I 12.710 0.99 2.970 0.9 2.710 0.75 2.313 Tabla de valores I l2.313 x y Diagrama esquemtico Figura 3 S6 Captulo 1 Lmites 75. Seccin 1.1 Introduccin a lmites S7 11 11 1 , sen x 1 lm--= x-.o X Ms ejemplos Nuestro primer ejemplo es casi trivial aunque no menos importante. x2 - X - 6 , (x - 3)(x + 2) lm = hm = lm (x + 2) = 3 + 2 = 5 x-'3 X - 3 x-'3 X - 3 x-'3 DefiniCin Significado intuitivo de lmite Decir que lm f(x) = L significa que cuando x est cerca pero diferente de e, x-'c entonces f(x) est cerca de L. Daremos una demostracin rigurosa en la seccin 1.4. Algunas seales de alerta Las cosas no son tan sencillas como parecen. Las calculadoras podran engaarnos, as como nuestra intuicin. Los ejemplos que siguen sugieren algunas dificultades posibles. La cancelacin de x - 3 en el segundo paso es vlida ya que la definicin de lmite ignora x - 3 el comportamiento en x = 3. Recuerde, ---3 = 1 siempre que x no sea igual a 3. 11 x- lm(4x - 5) = 7 x-'3 Obsrvese que no pedimos nada en c. Incluso, la funcin no necesita estar definida en e, como no lo estaba en el ejemplo f(x) = (x3 -l)/(x -1) recin considerado. La no- cin de lmite est asociada con el comportamiento de una funcin cuando x est cerca de e, pero no en e. Seguramente, un lector cauto, objetar nuestro uso de la palabra cerca. Qu signi- fica cerca? Qu tan cerca es cerca? Para precisar respuestas, tendr que estudiar la siguiente seccin; no obstante, algunos ejemplos ms le ayudarn a aclarar la idea. SOLUCIN Observe que (x2 - x - 6)/(x - 3) no est definida en x = 3, pero todo est bien. Para tener una idea de lo que est sucediendo cuando x se aproxima a 3, podramos emplear una calculadora para evaluar la expresin dada; por ejemplo, en 3.1, 3.01, 3.001, etctera. Pero es mucho mejor utilizar un poco de lgebra para simplificar el problema. SOLUCIN Ningn truco algebraico simplificar nuestra tarea; ciertamente, no po- demos cancelar las x. Una calculadora nos ayudar a tener una idea del lmite. Utilice su propia calculadora (en modo de radianes) para verificar los valores en la tabla de la figura 4. La figura 5 muestra una grfica de y = (sen x)/x. Nuestra conclusin, aunque admitimos que es poco firme, es que SOLUCIN Cuando x est cerca de 3, 4x - 5 est cerca de 4 . 3 - 5 = 7. Escribimos EJEMPLO 1 IDetermine lm (4x - 5). x-'3 l . , sen x EJEMPLO 3 Determme bm - - o x-.o x I x 2 - X - 6 EJEMPLO 2 Encuentre lm 3' x-'3 x- x y x sen x 1.0 0.84147 0.1 0.99833 0.01 0.99998 O ? t -0.01 0.99998 -0.1 0.99833 -1.0 0.84147 Figura 4 Figura 5 76. 58 Captulo 1 Lmites .EJEMP~2__~] (Su calculadora puede engaarlo). Determine ~~J[x2 - lc;~;O J. SOI~UCIN Siguiendo el procedimiento utilizado en el ejemplo 3, construimos la ta- bla de valores que se muestra en la figura 6. La conclusin que sugiere es que el lmite deseado es O. Pero esto es incorrecto. Si recordamos la grfica de y = cos x, nos damos cuenta de que cos x se aproxima a 1 cuando x tiende a O. Por lo tanto, x 1 0.5 0.1 0.01 ~ O Figura 6 2 COSX x -10,000 0.99995 0.24991 0.00990 0.000000005 ~ [2 cos X ] 2 1 1 l~ x - 10,000 = O - 10,000 = - 10,000 IIII! y Figura 7 x 1 sen); 2/n D2/(2n) 2/(3n) 2/(4n) 2/(5n) n2/(6n) 2/(7n) 2/(8n) 2/(9n) -i}2/( IOn) 2/(1 In) 2/(l2n) ~ O Figura 8 x EJEMPLO 5 I(No hay lmite en un salto). Determine ~T2[x]. SOLUCIN Recuerde que [x] denota al entero ms grande que es menor o igual a x (vase la seccin 0.5). La grfica de y = [x] se muestra en la figura 7. Para todos los nmeros x menores a 2, pero cercanos a 2, [x] = 1, pero para todos los nmeros x mayores que 2, pero cercanos a 2, [x] = 2. Est [x] cerca de un solo nmero L cuando x est cerca de 2? No. No importa qu nmero propongamos para L, habr x arbitraria- mente cercanas a 2 a cada lado, donde [x] difiere de L en al menos ~. Nuestra conclusin es que Im [x] no existe. Si usted verifica lo anterior, ver que no hemos afirmado que x~2 todo lmite que podamos escribir deba existir. IIII! EJEMPLO 6 I (Demasiadas oscilaciones). Determine lm sen(1/x). X~O SOLUCIN Este ejemplo plantea la interrogante ms sutil acerca de lmites que ha- yamos manifestado hasta el momento. Ya que no queremos hacer larga la historia, le pedimos que haga dos cosas. Primera, escoja una sucesin de valores para x que se aproxime a O. Utilice su calculadora para evaluar sen (l/x) en estas x. A menos que corra con mucha suerte, sus valores oscilarn de manera desordenada. Segunda, intente construir la grfica de y = sen O/x). Nadie har esto muy bien, pero la tabla de valores en la figura 8 da una buena pista acerca de lo que est suce- diendo. En cualquier vecindad alrededor del origen, la grfica oscila de arriba abajo entre -1 y 1 un nmero infinito de veces (vase la figura 9). Claramente, sen (l/x) no est cerca de un solo nmero L, cuando x est cerca de cero. Concluimos que lm sen(l/x) no existe. IIII! X~O y x Figura 9 Lmites laterales Cuando una funcin da un salto (como lo hace [x] en cada ente- ro en el ejemplo 5), entonces el lmite no existe en los puntos de salto. Para tales funciones, se introduce el concepto de lmites laterales. El smbolo x - c+ significa que x se apro- xima a c por la derecha, y x _ c- significa que x se aproxima a c por la izquierda. Definicin Lmites por la derecha y por la izquierda Decir que lm f (x) = L significa que cuando x est cerca pero a la derecha de c, x~c+ entonces f(x) est cerca de L. De manera anloga, decir que lm f (x) = L significa x~c que cuando x est cerca pero a la izquierda de c, entonces f(x) est cerca de L. ________________________________________L 77. Seccin 1.1 Introduccin a lmites S9 Por lo tanto, mientras que lm [x] no existe, es correcto escribir (vase la grfica en la x~2 figura 7) y Creemos que usted encontrar muy razonable el siguiente teorema. lm f(x) = L si Yslo si lm f(x) = L Y lmJ(x) = L. x~c X---l>C x---l>c La figura 10 debe darle una comprensin adicional. Dos de los lmites no existen, aunque todos, excepto uno de los lmites unilaterales, existen. lm f(x) = 4 x--I+ y ) 11 e lm f(x) no existe. r- -1 lm f(x) = 2 x--3 lm f(x) = 3 2 x--1 lm f(x) no existe. x-2- -4 -3 -2 -1 x Figura 10 11, ,0 r) le Revisin de conceptos l. lm f (x) = L significa que f(x) est cerca de __,cuando x x-e est suficientemente cerca (pero es diferente) de __o 2. Seaf(x) = (x2 ~ 9)/(x - 3) donde f(3) est indeterminada. Sin embargo, lm f (x) = __o x-3 3. lm f (x) = L significa que f(x) est cerca de __ cuando x x-c+ se aproxima a e por la __o 4. Si lmf(x) = M Y lm, f(x) = M, entonces __. x-e x-e Conjunto de problemas 1.1 En los problemas del] al6 determine el lmite que se indica. l. lm(x - 5) 2. lm (1 - 2t) x--->3 t---+-1 3. lm (x2 + 2x - 1) 4. lm (x2 + 2t - 1) x--2 x--2 5. lm (t2 - 1) 6. lm (t2 - x2 ) (-+-1 t--1 , (3u + 4)(2u - 2)3 lIm u~l (u-lf , (x+hf-x2 lIm -'----'---- }--->O h 1 , 1 - cos t l m - - - - 1--->0 2t , (1-cosx)2 lIm -----=--~ x--->O x2 , X - sen(x - 3) - 3 lIm ----'---'---- x--->3 X - 3 1 , 1 - cot t 1m 1--->0 l/t 2 - 2 sen u lm u--->1T/2 3u 20. 24. 22. 28. 18. 16. x4 ~ 18x2 + 81 lm -'------ x--->3 (x - 3f . (2 + hf - 4 lIm -'----'---- }--->O h (x - 7T/4)2 27. lIm x--->1T/4 (tan x - 1)2 17. 15. En los problemas del 19 al28 utilice una calculadora para encon- trar el lmite indicado. Utilice una calculadora grfica para trazar la funcin cerca del punto lmite. 19. lm sen x x--->O 2x (x - sen x)2 21. lm -----=--- x--->O x2 t2 - 1 23. lm---- I--->lsen(t - 1) , 1 + sen(x - 37T/2) 25. lIm 26. X-7T x - 1T t2 + 4t - 21 8. lm----- 1--->-7 t + 7 x4 + 2x3 - x2 lm -----,:---- x--->O x2 x2 - 9 lm--- x--->3 X - 3 10. 12. x3 - 4x2 + x + 6 9. lm - - - - - - - x--->-l X + 1 x2 - t2 n. lm --- x--->-I X + t En los problemas del 7 al]8 determine el lmite que se indica. En la mayora de los casos, es buena idea usar primero un poco de lge- bra (vase el ejemplo 2). x2 - 4 7. lm--- x--->2 X - 2 , y(t + 4)(t - 2)4 13. hm--'---'-. 1--->2 (3t - 6)2 a e- es, '0- 78. 60 Captulo 1 Lmites (c) lmf(x) (d) lm f(x) x~o x~J/2 36. Siga las instrucciones del problema 35 para f(x) = x/lxl. 37. Determine lm (x2 - 1)/Ix - 11 o establezca que no existe. x~l 38. Evale lm (Vx + 2 - V2)/x. Sugerencia: racionalice el O 53. lm cos(l/x) 54. lm xcos(l/x) x-->O x-->O 55. x3 - 1 x sen 2x lm 56. lm x-->l~ - 2 x-->O sen(x2 ) lim x2 - x - 2 lim 2 57. Ix - 21 58.x-2- x-->l+ 1 + 21/(x-l) ICASI59. Como los paquetes de software para clculo encuentran lm (x) por medio de un muestreo de algunos valores de (x) para x x-->a cerca de a, pueden estar equivocados. Determine una funcin para la que lm (x) no exista, pero por la que su software obtenga un x-->O valor para el lmite. Respuestas a la revisin de conceptos: 1. L; e 2. 6 3. L;derecha 4. lm (x) = M x-->c 1.2 Estudio riguroso (formal) de lmites En la seccin anterior dimos una definicin informal de lmite. A continuacin damos otra ligeramente mejor, pero todava informal, reformulando esa definicin. Decir que lm f (x) = L significa que f(x) puede hacerse tan cercana como se desee a L siempre x-->c que x sea suficientemente cercana, pero no igual a c. El primer ejemplo ilustra este punto. EJEMPLO 1 IUtilice la grfica de y = f(x) = 3x2 para determinar qu tan cercana debe estar x de 2 para garantizar que f(x) est a no menos de 0.05 de 12. SOLUCiN Paraquef(x) est a menos de 0.05 de 12, debemos tener 11.95 Odada (no importa qu tan x~c pequea) existe una correspondiente 8 > O, tal que If(x) - LI < e, siempre que O < Ix - el < 8; esto es, O < Ix - el < 8 ~ If(x) - LI < e Las grficas de la figura 4 pueden ayudarle a comprender esta definicin. Debemos recalcar que el nmero real e se debe dar primero; el nmero 8 debe producirse y por lo regular depende de e. Supngase que David desea demostrar a Emilia que lm f(x) = L. Emilia puede retar a David con cualquier e particular que x~c f(x) e Para cada E > O Figura 4 x f(x) L~ e existe una b > Otal que x L~ f(x) e-O e e+O o O(no para alguna 8). Emilia podra retar continuamente a David, pero ambos nunca demostraran que el lmite es 7. David debe ser capaz de obtener una 8 para toda 8 positiva (sin importar qu tan pequea sea). David opta por tomar las cosas en sus manos y propone que 8 sea cualquier nme- ro real positivo. Entonces sigue el mismo razonamiento como antes, pero esta vez utiliza 8 en lugar de 0.000002. 1(2x + 1) - 71 < 8 ~ 21 x - 31 < 8 e ~ Ix - 31 Otal que o < Ix - 41 < 8 ~ I(3x - 7) - 51 < 8 Considere la desigualdad de la derecha 1(3x-7)-51 Odada. Seleccione {) = 8/3. Entonces O < Ix - 41 < {) implica que 1(3x - 7) - 51 = 13x - 121 = 13(x - 4)1 = 31x - 41 < 38 = e Si usted lee esta cadena de igualdades y una desigualdad, de izquierda a derecha, y uti- liza las propiedades transitivas de = y 2 X - -1 -2 -3 Figura 5 lro (3x - 7) = 5 ,-4 x ANLISIS PRELIMINAR Estamos buscando una 8 tal que ! 2x 2 - 3x - 2 IO < Ix - 2 < (j ~ - 5 x-2 x-2 I (2x + 1)(x - 2) _ 51 x-2 1(2x + 1) - 51 12(x - 2)1 211x - 21 Ix - 21 Odada. Elegimos 5 = s/2. Entonces O < Ix - 21 < 8 implica que 1 -'--(2_x_+-.-:l)-,--(_x_-_2--'.-) - si = 2x + 1 - si x-2 12(x - 2)1 = 21x - 21 < 2(j = s ! 2x 2 - 3x - 2 _ 51 x-2 EJEMPLO 4 IDemuestre que lm(mx + b) = me + b. x-->c ANUSIS PHHIMINAR Queremos encontrar una 8 tal que O < Ix - el < (j ~ I(mx + b) - (me + b) I < s x x 62 3 4 5 ~f!!14 (~x + 3) =5 /2 (j (j , 2x2 - 3x- 2 lIIP, x _ 2 =5 y Figura 6 y en caso de que m = O, cualquier 8 funcionar bien ya que I(Ox + b) - (Oc + b) I = 101 = O Esto ltimo es menor que s para toda x. EJEMPLO 5 IDemuestre que si e> Oentonces l~ vi = VC. ANLISIS PRELIMINAR Con respecto a la figura 8, debemos determinar una (j tal que O < Ix - el < 8 ~ IVi - vcl < s Parece que 5 = e/Im Ifunciona, con tal que m i' O. (Observe que m podra ser positi- va o negativa, as que necesitamos conservar las barras de valor absoluto. Del captulo O recuerde que labl = lallbl). DEMOSTRACIN H)I{MAI. Sea e> Odada. Elegimos 8 = s/Im l. Entonces O < Ix - el < 5 implica que I(mx + b) - (me + b) 1= 1mx - meI = 1m1Ix - el < 1mI(j = s x f(x) Figura 8 Figura 7 83. Ivx - vel Seccin 1.2 Estudio riguroso (formal) de lmites 65 Ahora I (vx - ve)(vx + ve) I vx+ve Ix - el Ix - el --'-------'- O dada. Elegimos 8 = mn{le1/2, ee2 /2}. Entonces O < Ix - el < 8 implica que I~ -~.I le:e xl = 1~1'1~1'lx - el < 1e{/2 .J.e~2 = e 11 Lmites unilaterales No se necesita mucha imaginacin para dar las definiciones e-o del lmite por la derecha y del lmite por la izquierda. Definicin Lmite por la derecha Decir que lm f (x) = L significa que para cada e > Oexiste una correspondiente X----l>C+ o> O, tal que o < x - e < 8 ~ If(x) - LI < e Al lector le dejamos la definicin e-o para el lmite por la izquierda. (Vase el pro- blema 5). El concepto e-o presentado en esta seccin es probablemente el tema ms in- trincado y elusivo en un curso de clculo. Le podra tomar algn tiempo entender este concepto, pero vale la pena. El clculo es el estudio de lmites, de modo que una cla- ra comprensin del concepto de lmite es una meta valiosa. Por lo regular, el descubrimiento del clculo se atribuye a Isaac Newton (1642-1727) ya Gottfried Wilhelm van Leibniz (1646-1716), quienes trabajaron de manera inde- pendiente a finales de 1600. Aunque Newton y Leibniz, junto con sus sucesores, descu- brieron muchas propiedades del clculo y se encontr que tiene muchas aplicaciones en las ciencias fsicas, no fue sino hasta el siglo XIX que se propuso una definicin pre