calculo

Click here to load reader

  • date post

    30-Oct-2014
  • Category

    Documents

  • view

    716
  • download

    3

Embed Size (px)

description

un libro de calculo con la teoria y ejercicios resueltos

Transcript of calculo

Clculo

31 mayo 2010

ndice

ndicendice i 1 1.1 1.3 1.6 Nmeros reales 3 El conjuntos de los nmeros reales 3 1.2 Naturales, enteros, racionales e irracionales 5 Valor absoluto 7 1.4 El principio de induccin 7 1.5 Intervalos y conjuntos destacados 10 Ejercicios 11

2 Nmeros complejos 15 2.1 Introduccin 15 2.2 Forma binmica de un nmero complejo 17 2.3 Representacin grca. Conjugado y mdulo de un nmero complejo 18 2.4 Forma polar y argumento de un nmero complejo 20 2.5 Funciones elementales 22 2.6 Ejercicios 26 3 Sucesiones de nmeros reales 31 3.1 Denicin y propiedades. 31 3.2 Sucesiones parciales 33 3.3 Monotona 34 siones divergentes 35 3.5 Criterios de convergencia 37 3.6 Ejercicios 38

3.4 Suce-

4 Lmites y continuidad 51 4.1 Lmite funcional 51 4.2 Lmites innitos y en el innito 52 4.3 Clculo de lmites 55 4.4 Continuidad 56 4.5 Teorema del valor intermedio 58 4.6 Monotona 60 4.7 Ejercicios 61 5 Derivabilidad 71 5.1 Denicin. Recta tangente. 71 5.2 Reglas de derivacin 73 5.3 Teorema del valor medio 74 5.4 Reglas de LHpital 76 5.5 Derivadas de orden superior 77 5.6 Polinomio de Taylor 78 5.7 Concavidad y convexidad 82 5.8 Algunas aplicaciones de la derivada 83 5.9 Ejercicios 85 6 Integracin 115 6.1 Funciones integrables 115 6.2 Teorema fundamental del Clculo 120 6.3 Clculo de reas de regiones no acotadas. Integrales impropias 122 6.4 Clculo de primitivas 126 6.5 Aplicaciones de la integral 134 6.6 Ejercicios 137 7 Series numricas 165 7.1 Denicin y propiedades 165 7.2 Convergencia absoluta e incondicional 169 7.3 Criterios de convergencia para series de trminos no negativos 170 7.4 Otros criterios 172 7.5 Suma de series 173 7.6 Ejercicios 176 8 Series de potencias 189 8.1 Denicin 190 8.2 Criterios de convergencia 190 8.3 Funciones denidas mediante series de potencias 191 8.4 Desarrollo de Taylor 192 8.5 Clculo del desarrollo en serie de potencias 193 8.6 Algunas aplicaciones de las series de potencias 195 8.7 Ejercicios 197 9 Ecuaciones diferenciales ordinarias 203 9.1 Introduccin 203 9.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 206 9.3 Mtodos de resolucin de edos de primer orden 208 9.4 Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden

i

ndice

superior 217 9.5 Ecuaciones lineales de orden superior 218 lineales con coecientes constantes 221 9.7 Ejercicios 227

9.6 Ecuaciones diferenciales

10 Lmites y continuidad de funciones de varias variables 245 10.1 El espacio eucldeo Rn 245 10.2 Funciones de varias variables 248 10.3 Lmite funcional 250 10.4 Continuidad 251 10.5 Extremos absolutos 252 10.6 Ejercicios 253 11 Diferenciabilidad 259 11.1 Derivadas parciales 259 11.2 Funcin diferenciable 260 11.3 Reglas de derivacin 263 11.4 Teorema de la funcin inversa y Teorema de la funcin implcita 263 11.5 Polinomio de Taylor 267 11.6 Extremos relativos 268 11.7 Extremos condicionados 273 11.8 Extremos absolutos 276 11.9 Ejercicios 277 12 Integrales mltiples 319 12.1 Integrales dobles 319 12.2 Integracin en dominios acotados 321 12.3 Integrales en dimensiones superiores 323 12.4 Cambio de variable 323 12.5 Aplicaciones 327 12.6 Ejercicios 327 A Funciones 339 A.1 Deniciones 339 A.2 Funciones elementales 346 B Geometra 357 B.1 Parbolas, elipses e hiprbolas 357 B.2 Supercies cuadrticas 358 C Algunas tablas 363 C.1 Derivadas 363 C.2 Desarrollo de Taylor 364 C.3 Primitivas 364 D Progresiones aritmticas y geomtricas 367 D.1 Progresiones aritmticas 367 D.2 Progresiones geomtricas 368 E Algunos ejemplos y contraejemplos 369 Glosario 371

ii

Nmeros reales

El conjuntos de los nmeros reales

Nmeros reales 11.1 El conjuntos de los nmeros reales 3 1.2 Naturales, enteros, racionales e irracionales 5 1.3 Valor absoluto 7 1.4 El principio de induccin 7 1.5 Intervalos y conjuntos destacados 10 1.6 Ejercicios 11

Existen diferentes formas de formalizar el conjunto de los nmeros reales aunque se pueden agrupar en dos variantes: constructivos y axiomticos. Los primeros son demasiado laboriosos para un curso de Clculo y, por este motivo, hemos preferido dejarlos de lado. En su lugar, hemos asumido que el conjunto de los nmeros reales es conocido por el lector y elegimos la denicin axiomtica de este conjunto.

1.1 El conjuntos de los nmeros realesVamos a denir el conjunto de los nmeros reales, R, en trminos de qu sabemos hacer con sus elementos. Es difcil que si alguien nos pregunta seamos capaces de dar una respuesta clara de qu es un nmero pero s somos capaces de decir qu cosas podemos hacer con ellos. En el conjunto de los nmeros reales tenemos denidas varias operaciones. La primera que todos aprendemos es la suma.

Suma de nmeros realesLas suma verica, entre otras, las siguientes propiedades. Sean a, b y c nmeros reales cualesquiera. 1) Propiedad asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c. 2) Propiedad conmutativa: a + b = b + a. 3) Existencia de elemento neutro: a + 0 = a. 4) Existencia de elemento opuesto: a + (a) = 0. Estas cuatro propiedades se resumen diciendo que (R, +) es un grupo abeliano o conmutativo.

Producto de nmeros realesAdems de la suma tambin sabemos multiplicar nmeros reales. Por el mismo motivo, se supone que sabemos dividir. Mucho cuidado con esta armacin. No estamos hablando de cmo se dividen nmeros sino de que, supuesto conocido el producto de nmeros, la divisin es la operacin inversa. Ocurre lo mismo con la suma: no hemos dicho como se restan nmeros reales pero, en teora restar una cantidad es simplemente sumar la cantidad cambiada de signo. Con el producto, dividir por un nmero a es multiplicar por 1/a. Sean a, b y c nmeros reales distintos de cero. Entonces se verican las siguientes propiedades. 5) Propiedad asociativa: a(bc) = (ab)c. 6) Propiedad conmutativa: ab = ba.

3

El conjuntos de los nmeros reales

Nmeros reales

7) Existencia de elemento neutro: a1 = 1a. 8) Existencia de elemento inverso: a a = 1 (a 0). Observacin 1.1. El elemento opuesto en el caso de la suma y el elemento inverso para el producto son nicos. En el caso de la suma la notacin es siempre la misma: el opuesto de a es 1 a. Para el producto usaremos indistintamente la notacin a o a1 . Una vez que tenemos la suma y el producto, sera conveniente que estas dos operaciones se relacionen de alguna manera: 9) propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac.1

OrdenLas propiedades que hemos comentado hasta ahora no determinan de manera nica el conjunto de los nmeros reales. El conjunto de los nmero racionales tambin las verica como se puede comprobar fcilmente. Cal es la diferencia entre ambos conjuntos? Qu sabemos hacer en R que no podamos hacer en Q? Siempre que se hace esta pregunta en clase las respuestas suelen ser del tipo: races cuadradas, logaritmos, senos o cosenos, etc. Aunque se podra intentar seguir por ah, ese camino puede tener ms dicultades a posteriori que el que vamos a elegir. El orden en el conjunto de los nmeros reales tambin es algo conocido por el lector. Lo podemos ver de varias formas: sabemos cundo un nmero es positivo o somos capaces de decidir cul de dos nmeros es el mayor. Hagamos un breve resumen de sus propiedades. 10) Propiedad reexiva: a a. 11) Propiedad antisimtrica: si a b y b a, entonces a = b. 12) Propiedad transitiva: si a b y b c, entonces a c. 13) El orden es total: dado a R, se cumple que a 0 o que a 0 o, lo que es lo mismo, dados a, b R, se cumple que a b o que b a. Las siguientes propiedades relacionan la suma y el producto con el orden que acabamos de presentar. 14) Si a b, entonces a + c b + c. 15) Si a b y c 0, entonces ac bc.

El ltimo axiomaTanto R como Q verican todas las propiedades que hemos expuesto. Necesitamos, por tanto, alguna propiedad ms para diferenciarlos. Esta ltima propiedad est muy relacionada con el orden, pero antes de presentarla necesitamos denir algunos conceptos. Denicin 1.2. a) Sea A R, diremos que M R es una cota superior o mayorante (resp. inferior o minorante) de A si a M para cualquier a A (resp. a M). b) Sea A un subconjunto de R. Diremos que a0 A es el mximo absoluto (resp. mnimo absoluto) de A si verica que a a0 (resp. a a0 ) para cualquier a A. Veamos algunos ejemplos de estos conceptos. Ejemplo 1.3. a) El conjunto de los nmeros naturales no es un conjunto acotado. Ms concretamente, no es un conjunto acotado superiormente pero s est acotado inferiormente. Como no est acotado superiormente no tiene mximo. S tiene mnimo: 1 n para cualquier natural n

Cota

Mximo absoluto

4

Nmeros reales

Naturales, enteros, racionales e irracionales

1 b) El conjunto n : n N est acotado superior e inferiormente: 0 n 1 para cualquier natural n. Tiene mximo: el 1, pero no tiene mnimo. El mnimo podra ser el cero pero no pertenece al conjunto.

1

A la vista de los ejemplos, la existencia de mximo implica que el conjunto esta acotado pero el recproco no es cierto. Hay conjuntos acotados y que no tienen ni mximo ni mnimo: piensa en el intervalo ]0, 1[. Sin embargo, aunque ni el 0 ni el 1 sean ni mximo ni mnimo, s parece claro que tienen un papel destacado. De alguna forma son los extremos del conjunto, pertenezcan o no a dicho conjunto. El supremo y el nmo van a ser una forma de reconocer este tipo de puntos. Denicin 1.4. Sea A un subconjunto acotado superiormente de R. El supremo del conjunto A, sup(A), es la menor de sus cotas superiores. Anlogamente se dene el nmo de un conjunto acotado inferiormente como la mayor de sus cotas inferiores y lo notaremos inf(A). Con esta denicin ya podemos aadir la ltima propiedad que nos falta para denir el conjunto de los nmeros reales:Supremo nmo

Axioma del supremo: todo conjunto acotado superiormente tiene supremo.

Este axioma es equivalente al axioma del nmo. Slo hay que darse cuenta de que si cambiamos el signo las desigualdades tambin cambian. Ejemplo 1.5. Los extremos de un intervalo acotado