INSTITUCION EDUCATIVA FRANCISCO ANTONIO DE ULLOA

Tema: Sucesiones

Presentado a:

Luz Eneida Daza

Presentado por:

Jason Javier Jimenez

Keren Yireth Sanchez

Curso:

11-01

Popayan- Cauca Septiembre 13 del 2014

Biografía de Leonardo de pisa:

Considerado como el primer algebrista de Europa y como el introductor del sistema numérico árabe, fue educado de niño en Argelia, donde su padre era funcionario de aduanas, y donde aprendió "el ábaco, al uso de los indios". Después tuvo manera, por razones de tipo comercial, de conocer todo lo que de esta ciencia se enseñaba en Egipto, en Siria, en Sicilia y en Provenza. Al material así reunido le dio un orden, una unidad de método y una claridad de enseñanza en el Liber Abaci (Libro del ábaco), que, como modelo de texto universitario, sirvió también, por su caudal de ejemplos, para la compilación de manuales de aritmética para uso de los comerciantes.

Escrita en 1202 y ampliada en una segunda redacción en 1228, la obra contiene quince capítulos; en el primero se expone la numeración de las nueve cifras que Fibonacci llama "indias" y que, en efecto, son diez, porque es necesario añadirles el cero "quod arabice zephirum apellatur"; en los capítulos siguientes Leonardo expone nociones suficientes sobre el cálculo digital, tablas de adición y multiplicación, mostrando su uso para realizar las cuatro operaciones con cifras de considerable extensión, y dando a conocer los criterios de divisibilidad por dos, por tres y hasta trece, reuniendo en tablitas a propósito los resultados de las divisiones por estos números de algunos enteros no superiores al 200.

En el sexto y el séptimo capítulos trata de las fracciones, del concepto y las aplicaciones del mínimo común múltiplo y de una "tabula disgregationis" que, enseñando la descomposición de buen número de fracciones ordinarias en fundamentales, revela la persistencia de la logística egipcia. La segunda parte del libro, "Regla de Álgebra", contiene las fórmulas para reconocer las ecuaciones de segundo grado, con las demostraciones según el modo antiguo, mediante construcciones geométricas, y numerosos problemas que se pueden resolver con ecuaciones o con sistemas de ecuaciones reducibles a las de segundo grado. Este libro, que debe considerarse como uno de los más importantes de aquella época por la influencia que tuvo sobre la entonces renaciente conciencia científica occidental, le procuró al autor vasta fama y llamó sobre él la atención del emperador Federico II, que le invitó a su corte.

En 1220 dio a luz Práctica de la geometría, donde figuran una introducción vinculada a las proposiciones fundamentales de Euclides, reglas para la medida de longitudes, áreas y volúmenes y la división de las figuras, y las demostraciones de tales normas, con aplicaciones concretas y desarrollos de cálculo que constituyen un útil complemento de la obra anterior. Siguiendo el ejemplo de los maestros griegos, Leonardo Pisano modeló esta obra al estilo de los Elementos de Euclides, y enseñando los procedimientos a seguir cuando se quiere medir una superficie o un volumen o dividir una figura dada en partes sujetas a condiciones propuestas, acompañó siempre su enseñanza con demostraciones y cálculos debidamente desarrollados, a fin de poner de relieve que habla realizado investigaciones semejantes a las contenidas en la Métrica de Herón de Alejandría.

Si bien esta obra de Fibonacci tenía un carácter exclusivamente didáctico, hay que convenir que constituye uno de los principales tratados geométricos de la Edad Media. Por otra parte se encuentra en la misma obra una parte intermedia dedicada a una teoría aritmética sobre los radicales cuadrados y cúbicos, aparte de un método para la extracción de las raíces cuadrada y cúbica de un número dado. Merece también destacarse en el libro de Fibonacci la exposición de los procedimientos ideados por Arquitas, Platón y Herón de Alejandría para duplicar el cubo, problema que junto con el de la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo, sedujo vanamente a generaciones enteras de estudiosos.

Entre otros textos de Fibonacci conocidos figura un comentario al libro de los Elementos de Euclides. Se sabe también que compuso un Libro di merchatanti. Es asimismo célebre por el descubrimiento de la denominada serie de Fibonacci, entre cuyas propiedades cabe citar su recurrencia en numerosas formaciones orgánicas naturales.

Presencia de la sucesión de Fibonacci en:1. El reino animal:

De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el Liber abaci, la primera suma matemática de la Edad Media.

En él aparecen por primera vez en Occidente, los nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado.Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión de números:

1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89....

que colocó en el margen de su Liber abaci junto al conocido "problema de los conejos" que más que un problema parece un acertijo de matemáticas recreativas. El problema en lenguaje actual diría:

"Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?."

En este gráfico vemos que el número de parejas a lo largo de los meses coincide con los términos de la sucesión.

Veamos con detalle estos números. 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89, 144....

Es fácil ver que cada término es la suma de los dos anteriores. Pero existe entre ellos otra relación curiosa, el cociente entre cada término y el anterior se va acercando cada vez más a un número muy especial, ya conocido por los griegos y aplicado en sus esculturas y sus templos: el número áureo. =1.618039....

2. En el reino vegetal:

Pero los números de la sucesión de Fibonacci van a sorprender a todos los biólogos.

Como muy bien nos enseña la filotaxia, las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.

El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144.

Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.

Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; o 5 y 8.Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos del crecimiento los términos de la sucesión de Fibonacci.

Rectángulos de Fibonacci.

Podemos construir una serie de rectángulos utilizando los números de esta sucesión.

Empezamos con un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de la sucesión.

Construimos otro igual sobre él. Tenemos ya un primer rectángulo Fibonacci de dimensiones 2 x1.

Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado y tenemos un nuevo rectángulo de 3x2.

Ssobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos ahora un rectángulo 5x3, luego uno 5x8, 8x13, 13x21...

Podemos llegar a rectángulo de 34x55, de 55x89...

Cuanto más avancemos en este proceso más nos aproximamos al rectángulo aureo.

Hemos construido así una sucesión de rectángulos, cuyas dimensiones partiendo del cuadrado (1x1), pasan al rectángulo de dimensiones 2x1, al de 3x2, y avanzan de forma inexorable hacia el rectángulo áureo.

Si unimos los vértices de estos rectángulos se nos va formando una curva que ya nos resulta familiar. Es la espiral de Durero. La espiral de nuestro logotipo.

Una espiral, que de forma bastante ajustada, está presente en el crecimiento de las conchas de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes... Es decir, la espiral del crecimeinto y la forma del reino animal.

Fibonacci sin pretenderlo había hallado la llave del crecimiento en la Naturaleza.

3. En los seres humanos

Relación entre las matemáticas, la ciencia y el arte:"La base de todo es el lenguaje, cada arte tiene su lenguaje propio; por ejemplo, toda la estructura en la que se apoya la música, como las reglas de la armonía y la construcción de la escala, está basada en principios matemáticos, al igual que las artes plásticas y la literatura", explicó el docente de la Universidad de Buenos Aires (Argentina). También dijo que la matemática y el arte combinan la necesidad de crear, un espíritu libre y elementos para construir sus universos, "la matemática es un lenguaje de una enorme potencia expresiva y creativa"Esta ciencia en sí es arte, que tiene una lógica interna, la cual debe ser coherente y no conducir a contradicciones, y que no tiene una vinculación directa con la realidad, "Vicente Huidobro,

poeta chileno, decía que ‘en cada poema el poeta compone un mundo', y de alguna manera la matemática es eso, una ciencia que compone sus propias lógicas", agregó. Y aunque el mundo de las matemáticas genera cierta apatía en diferentes públicos, el científico argentino recomendó aprovechar los intereses de las personas en otras áreas para motivar a la enseñanza y el aprendizaje de esta disciplina: "Pienso que el conocimiento se tiene que construir junto con el alumno".

Para comprender cualquier fenómeno se necesita la matemática, ésta forma parte de la Construcción de las ciencias, todas ellas creaciones del ser humano; por lo que para poder interpretarlas en toda su dimensión y que muchas puedan existir es necesaria la ciencia lenguaje del universo; pero la relación matemática-ciencias muchas veces está ausente en la enseñanza, sus conocimientos se dan de manera aislada, sin mostrar su cultura y utilidad. Como recurso didáctico se puede utilizar tal reciprocidad de manera amena, en cualquiera de sus formas para enriquecer la enseñanza, la praxis y formación del docente de matemática. Todo esto se puede hacer desde una pedagogía integral que aboga por un proceso educativo vivo y tras disciplinar que muestre el concierto de fantasías que entrelazan todas las ciencias, en mayor o menor intensidad.

Numero de oro o áureo:

Se puede representar con la letra griega Tau (Τ τ),4 por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con la letra Fi (Φ,φ) es más común. También se representa con la letra griega alpha minúscula5.

Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal no tiene período) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como una expresión aritmética sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta; o sea, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.

El número áureo y las tarjetas de crédito:Todas las tarjetas que puedes tener en la cartera, ya sea el DNI, la tarjeta de crédito o el carné de cualquier club o asociación, están asociadas al número áureo.Hasta los folios que usas cada día lo están. Todas las tarjetas que usamos habitualmente, los folios y muchas más cosas de nuestra vida cotidiana están construidas como un rectángulo áureo, que es un rectángulo en el que se cumple que la proporción entre su lado mayor y su lado menor (el cociente de sus longitudes) es el número áureo. Para comprobar si un cierto rectángulo es un rectángulo áureo vemos si se cumple lo siguiente:

Un rectángulo cualquiera es un rectángulo áureo si al quitarle el mayor cuadrado posible se obtiene un rectángulo con la misma proporción entre su lado mayor y su lado menor que el inicial.

Vamos a verlo gráficamente para que se entienda mejor. Tomemos un rectángulo como el de la figura siguiente. Para simplificar tomamos un lado con longitud 1, mientras que el otro tiene longitud x:

Este rectángulo será un rectángulo áureo si la proporción entre su lado mayor y su lado menor es igual a la proporción del rectángulo que queda al quitar el mayor cuadrado posible (en este caso un cuadrado de lado 1). A partir de los datos de la figura, la proporción entre los lados del rectángulo mayor es x sobre 1 y la del rectángulo menor es 1 sobre x-1. Veamos qué ocurre si imponemos que el rectángulo inicial sea un rectángulo áureo (es decir, que las proporciones sean iguales):

Resolviendo esta ecuación obtenemos dos soluciones. Desechando la negativa, nos queda que

Medición de rostro y cuerpo de Jason Jimenes y Keren Sanchez

ROSTRO:

Jason Jimenez Keren SánchezDe la coronilla al mentón 20 cm 20 cmDe la coronilla a las cejas 10.5 cm 10 cmDe las cejas al mentón 14 cm 12 cmDel ojo al mentón 10.5 cm 10 cmDe la nariz al mentón 7 cm 6.5 cmDe los ojos a los labios 7 cm 7 cmDe los labios al mentón 4 cm 4.5 cmDe la frente al mentón 18 cm 18 cm