Calculo 2 Virginio Gomez blog del mechon

CÁLCULO II D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B Á S I C A S

VIR

GIN

IO G

OM

EZ

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas

INDICE

Contenido PáginaUNIDAD Nº1 : Integral Indefinida

Conceptos y propiedades 1- Reglas de integración 5Integración inmediata:- Fórmulas comunes 5- Para funciones trigonométricas 6- Para funciones trigonométricas inversas 6Métodos de integración:Integracion por cambio de variables (sustitución simple):- Definición 8- Caso de función exponencial 8- Caso de logaritmo natural 9- Caso de funciones trigonométricas con argumento 10- Caso de la regla de la cadena 11Integracion por partes:- Definición 18- Resumen de algunas Integrales Por Partes Comunes. 24

Integración de Potencias de funciones trigonométricas: 27Tipo A: Integración de Monomios Senos y Cosenos: 37- Caso 1:Sí ó o ambos son enteros positivos impares 27- Caso 2: Si y (ambos) son enteros pares y positivos 30 (o uno de ellos es ceros). Tipo B: Integración de Monomios Secante y Tangente: 33- Caso1:Si es un entero positivo par (La potencia de la es par) 33- Caso2: es un entero positivo impar (La potencia de la tangente es impar) 34Tipo C: Integración de Monomios Cosecante y Cotangente. 38Sustitución Trigonométrica:- Para el integrado de la forma: 42- Para el integrado de la forma: 42-Para el integrado de la forma: 47Funciones Racionales: 57- Caso 1: Los factores de son todos lineales y ninguno se repite. 57- Caso 2: Los factores de son todos lineales y algunos están repetidos. 59- Caso3: Los factores de son lineales y cuadráticos de la forma 61 . Ninguno de los factores cuadráticos se repite.- Caso 4: Los factores de son lineales y cuadráticos, y algunos 63 de los factores cuadráticos se repiten.Autoevaluación 66

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EZ


UNIDAD N°2 : Integral definida

Interpretación de la integral definida 71Propiedades generales de la integral definida 74Areas en Coordenadas Cartesianas 80Areas positivas y negativas 89Areas simples entre curvas 90Volumen de Sólidos en Revolución: 103- Método de los disco. 104- Método de las arandelas (sólido de revolución con agujero) 106 Caso 1: Rotación en torno al eje . Caso 2: Rotación en torno a un eje paralelo al . eje- 114 Método de los anillos cilíndricosLongitud de Arco en Coordenadas Cartesianas. 121Area de superficie en revolución 128Autoevaluación 132

Unidad N°3 : Ecuaciones Parámetricas y Coordenadas Polares- Conceptos 142- Gráficos y transformaciones 142- Primera y segunda derivada 144- Areas en coordenadas parámetricas 154- Longitud de arco en coordenadas paramétricas 156Coordenadas Polares:- Sistema de Coordenadas Polares 159- Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares. 161- Gráfico en coordenadas polares 165- Areas en coordenadas polares 175- Longitud de arco en coordenadas polares 183Autoevaluación 187

Unidad N 4 : Integrales impropias0

Definición 192Caso 1: El límite de integración se hace infinito 192- El limite superior es infinito. 192- El límite inferior es infinito. 192- El límite inferior y superior son infinitos. 193Caso 2: El integrado se torna infinito o discontinuo ya sea en los 194 mismos limites de integración o en algún punto del intervalo entre ellos.Autoevaluación 201

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1

UNIDAD N°1: INTEGRAL INDEFINIDA

Conceptos y propiedades

En la misma forma en que hay funciones inversas también existen operaciones inversas. Porejemplo en matemáticas la sustracción es la inversa de la adición, y la división es la inversa de lamultiplicación.. Así el proceso inverso de la diferenciación es la integración

La la vamos a definir como el proceso inverso de la diferenciación. En otrasintegraciónpalabras, si tenemos la derivada de una función, el objetivo es: "Determinar que función ha sidodiferenciada para llegar a esa derivada". Por lo que el proceso de integración radica en la comprensión delproceso de la diferenciación.

Supongamos que dado un función , deseamos obtener su derivada, por lo que procedemos delsiguiente modo:

dado

f(x)

Función OrigenFunción Primitiva

Función Inicial

f '(x)

Obtiene

ddx

f xFunción Derivada

1

Ahora si nuestro problema es el inverso, es decir, dado una función derivada de una ciertafunción, encontrar dicha función. El objetivo es determinar la función , la cual fue derivada(diferenciada).

Nota: A esta función , la vamos a llamar la función origen, función primitiva o la función inicial.

La idea gráfica es:

VIR

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2

f(x)

Función DerivadaFunción Primitiva

Función Inicial

f '(x)

Dado

f x dx f x'

Obtener

Función Derivada

Aplicando elOperador Antiderivada

Así por ejemplo: Dado:

Aplicando el operador antiderivada , donde

Aplicando el operador antiderivada , donde

Aplicando el operador antiderivada ,

donde

Intuitivamente podemos pensar que dado una función derivada , podemos aplicar un proceso inversoa la derivada o mejor dicho el operador antiderivada para encontrar la función origen o primitiva que fuediferenciada.

Por lo tanto, podemos decir que:

f(x)

Función DerivadaFunción Prim itiva

Función In icia l

f'(x)

f x dx f x'

Función Derivada

Aplicando e l O peradorAntiderivada(INTEG R AL)

Aplicando e l O peradorDERIV AD A

ddx

f x

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3

Matemáticamente hablando diremos. Sea:

Utilizando la interpretación de infinitesimal podemos escribir lo anterior como:

Definiendo la operación de ahora en adelante como , con el símboloantiderivada Integral

"operador integral" y aplicándolo a nuestra expresión anterior tenemos:

Donde:

Luego la función primitiva u origen se puede determinar como:

; "la integral de la derivada es la función origen"

A esta expresión se le conoce como la INTEGRAL INDEFINIDA. Debemos notar lo siguiente:

f x x3

3

Función DerivadaFunción Primitiva

Función Inicial

f x x2

f x dx f x'

Función Derivada

Aplicando el OperadorAntiderivada(INTEGRAL)

Operador DERIVADA

ddx

x x3

2

3

ddx

x x

ddx

x x

ddx

x C x

32

32

32

31

32

3

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4

Conclusión:

- Una función derivable tiene una única función derivada el reciproco tiene infinitas soluciones. - La derivada de una función tiene una familia de funciones primitivas. -Todas las funciones que difieren entre si por una constante tienen la misma derivada.

Definición:

Si es una función primitiva de . La expresión define a la integral indefiniday representa todas las funciones primitivas que fueron diferenciadas y dan como resultado a (únicaderivada). La cual se escribe como:

; donde es la constante de integración (puede ser positiva o negativa)

A esta expresión, que representa el proceso inverso de derivar, se le llama Integral Indefinida de .

Observación:

(1) La constante de integración surge del hecho de que cualquier función de la forma tiene derivada

(2) La constante de integración se determinará por las condiciones especificas de cada problemaparticular.

(3) A la cantidad se llama integral indefinida, el nombre sugiere que no se puedeasignar valor particular para la integral hasta que no se determine y se asigna un valor a .

(4) La integral indefinida aun cuando se halla determinado , es una función de alguna variable yentonces permanece indefinida.

En general decimos que toda función tiene un numero infinito de antiderivadas, ya que a cadaAntiderivada se le puede agregar una constante de magnitud arbitraria para obtener otra Antiderivada.

VIR

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5

Métodos de Integración

Regla de Integración.

La obtención de las reglas para integrar formas comunes consiste en determinar la función cuyaderivada es una de las formas normales.

Para facilitar el trabajo damos una lista de referencia de que deben serIntegrales Inmediatasmemorizadas. Pero antes veremos algunas propiedades básicas de la integración.

Propiedades:

1.La integral de una Sea la función Constante:

2.La integral de una y una . Sea la función función constante

3.Sea

Integrales Inmediatas

Formas comunes: Sean las siguientes integrales donde es una constante de integración.

1.

2.

3. ; con

4.

5.

6.

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IO G

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EZ


6

Para funciones trigonométricas

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

Para funciones trigonométricas inversas

19. 20.

Otras integrales

21. 22.

23. 24.

VIR

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OM

EZ


7

Ejemplos resueltos de integración aplicando las reglas básicas de integración.

1.

2.

3.

4.

Ejemplos propuestos.

1. 2.

3. 4.

5.

Solución

1.

2.

3.

4.

5.

VIR

GIN

IO G

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EZ


8

Integración Por Cambio De Variables (Integración por sustitución)

Definición:

Este método consiste en transformar una integral dada en una integral inmediata. Para ello seutiliza una variable auxiliar y su correspondiente derivada.

¿Cuándo se utiliza?

Sea una función, la cual no puede ser integrada directamente debido a su complejidad, esdecir, no puede ser descompuesta en varias funciones para ser integradas en forma directa.

Para resolver este problema se utiliza una y la función cambia de variable,variable auxiliarpara posteriormente ser integrada en forma directa.

dxx

x22

Cambio de Variable:Sea

xdxduxu 222

Por lo tanto: , redefiniendo la integral en términos de la nueva variable tenemos:

Ejemplos resueltos: Integración por cambio de variables

Caso de la función exponencial:

1. Donde:

Para la variable inicial

VIR

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9

2.

Sea: Entonces


Nota: Cada vez que aparezca una función exponencial como en los casos anteriores, elcandidato a variable auxiliar es el exponente

3.

Sea:


Caso del logaritmo natural:

1.

Donde


VIR

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IO G

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EZ


10

2.

Donde:


Nota: en el caso del logaritmo natural la variable auxiliar será el denominador siempre que

se cumpla con la condición

Caso de funciones trigonométricas con argumento:

1.

Sea:


2.

Sea:

VIR

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IO G

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11

Entonces:


Nota: en las funciones trigonométricas el candidato a variable auxiliar es el ángulo siempreque su derivada sea consistente con los otros términos.

Caso de la regla de la cadena:

1.

Sea:

Entonces:


2.

Donde: / Factorizando por


VIR

GIN

IO G

OM

EZ


12

Ejemplos propuestos: Integración por cambio de variables.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

Solución

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


13

Miscelaneos: Resuelva las siguientes integrales:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


14

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


15

Soluciones

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


16

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


17

VIR

GIN

IO G

OM

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18

Integración Por Partes.

¿Cuándo se usa?

Cuando una función que no puede ser integrada por cambio de variables, la podemosresolver por partes a través de otra integra. Antes veremos una fórmula fundamental para este tipo deintegración.

La regla para determinar la derivada del producto de dos funciones y es:

Reordenando los términos:

Aplicando el operador integral:

Tenemos:

Esta es la fórmula fundamental para la integración por parte. Esta fórmula sugiere el hecho de que

cuando deseamos calcular la integral del tipo , podrá realizarse en función de una integral diferente

del tipo: .

Definición:

Sea una función que no puede ser integrada por cambio de variable. Para integrar estafunción se puede utilizar la siguiente formula:

Ejemplo aclaratorio:La formula es

Primero se debe elegir u y dv.

La idea es dejar en la integral la más directo o

menos complicado que la integral original

dxduxu

vduuvudv

vdu

integralesdeformularioverxdxvxvxdxdv sencossen

xxdxsen

VIR

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IO G

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EZ


19

Aplicando la fórmula de integración por partes:

Por fórmula tenemos:

vduuvudv

dxxxxxxdx )cos(cossen

cxxx

xdxxcox

sencos

cos

Cxxdx sencos

Algunos de los casos más usuales son

a) En la integral aparece un factor que no tiene integral inmediata, sólo se conoce de él suderivada. Para resolverla se asigna a este factor y a lo restante

Ejemplos

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


20

Por lo tanto,

b) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata o por sustituciónsimple y uno de ellos es una potencia de . Para esta situación es la potencia y lo restante.

Ejemplos

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


21

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


22

c) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata o por sustituciónsimple, pero ninguno de ellos es una potencia de . Para este caso la elección de es arbitraria, pero debeconservarse la característica de la función elegida para en todas las integrales que deban desarrollarse porparte en el ejercicio.

Ejemplos

Se resolverá primero considerando

Se resolverá ahora considerando

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


23

Este ejemplo muestra que la elección de es absolutamente arbitraria.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


24

Resumen De Algunas Integrales Por Partes Comunes.

Si las integrales a resolver son del tipo:

Si la integral , es:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


25

Ejemplos propuestos con respuesta.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


26

Solución

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


27

Integración de Potencias de funciones trigonométricas.

¿Cuándo se usa?

Cuando las integrales son del tipo trigonométricas de la siguiente forma:

La integración de potencias de funciones trigonométricas requiere de técnicas especiales. Para locual se consideran los siguientes casos:

Tipo A: Integración de Monomios Senos y Cosenos.

En este caso se separa el factor de la potencia impar, teniendo presente la equivalenciatrigonométrica de ambas funciones: . Se tiene dos casos:

Caso 1: Sí ó o ambos son enteros positivos impares.

Si es impar, factorizamos y expresamos la potencia par restante del , enpotencias del usando la identidad:

Si es impar, factorizamos y expresamos la restante potencia par de enpotencias de , utilizando la identidad:

Ejemplo para impar:

Para y

Resolver:

Expresando la potencia del en términos del , usando la identidad trigonométrica Entonces:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


28

Resolviendo ambas integrales por el método de variables auxiliar.

Sea:

Por lo tanto:

Para la variable

Ejemplo para impar:

Resolver

En este caso la potencia impar es el , por lo tanto se debe factorizar el y expresarloen términos del usando la identidad trigonométrica.

Tenemos:

Resolviendo por variable auxiliar, sea: . Por lo tanto:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


29

. En términos de la variable

Ejemplo para y impares:

Resolver

En este caso se elige la menor potencia impar par transformar, es decir, se expresa la potencia del en términos del y se usa la identidad trigonométrica

Entonces:

Resolviendo ambas integrales por el método de variables auxiliar.

Sea:

Por lo tanto:

Para la variable

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


30

Caso 2: Si y (ambos) son enteros pares y positivos (o uno de ellos es ceros).

En este caso debe reducirse a potencia de primer grado, haciendo uso de las fórmulas del ángulo medio:

Ejemplo para par:

Resolver

Ejemplo para par:

Resolver

Usando la identidad trigonométrica: . Entonces:

VIR

GIN

IO G

OM

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31

Ejemplo para y par:

Resolver

Usando la identidad trigonométrica:

Usando la identidad trigonométrica: . Entonces:

Por lo tanto:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


32

También este ejercicio se puede resolver usando las identidades trigonométricas:

;

Resumen: Sea una variable auxiliar, entonces:

Si: Si:

Transformación Trigonométrica:

m o n Impares

Potencia del Potencia deSeno Coseno

m:Impar n:ImparFactorizar por: Factorizar por:

Cambiando las Cambiandpotencias de:

o laspotencias de:

Usando: Usando

VIR

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IO G

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33

m y n Pares

Potencia del SenoCoseno son pares

m y nbien m o n cero

Si m n :Par Para

UReducir a potenciahaciendo uso de sar TT:

Si m n:ParPara

Usar TT:

Idem usar:

TT: Transformación trigonométrica

Para integrales del tipo:

Usar la transformación:

Tipo B: Integración de Monomios Secante y Tangente.

Se tienen dos casos:

Caso1: Si es un entero positivo par (La potencia de la es par)

Se debe factorizar por y cambiamos las a , utilizando la identidadtrigonométrica.

Ejemplo resuelto: es par:

1.

Factorizando por :

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


34

Transformando las potencias restantes de la secante a tangente, usando la transformacióntrigonométrica:

Sea la variable auxiliar: . Entonces

=

. En términos de la variable

Caso2: es un entero positivo impar (La potencia de la tangente es impar)

En este caso se debe factorizar por y cambiamos las restantes potencia par de laa , utilizando la identidad trigonométrica.

Ejemplo resuelto: La potencia de la tangente es impar ( es impar).

1.

Factorizando por

Cambiando las restantes potencia de la tangente a secante, usando la transformacióntrigonométrica.

Por lo tanto:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


35

Usando variable auxiliar: , en consecuencia:

; en términos de la variable

¿Qué sucede si la potencia de la secante es par ( es par) y la potencia de la tangente esimpar ( es impar)?

Ejemplo resuelto: cuando es par y es impar

Sea la siguiente integral:

1. Resolviendo por el lado de la potencia par de la secante, se debe factorizar por ,transformando las restantes potencias de la secante a tangente usando la transformación trigonometría:

Sea la variable auxiliar:


VIR

GIN

IO G

OM

EZ


36

2. Resolviendo por el lado de la potencia impar de la tangente, se debe factorizar por ,transformando las restantes potencias de la tangente a secante, usando la transformación trigonométrica:

Sea la variable auxiliar:


VIR

GIN

IO G

OM

EZ


37

Resumen: Sea la variable auxiliar, entonces:

Si: Si:

Transformación trigonométrica:

Potencia de Potencia deTangente Secantem:impar n:parFactorizar por:

Cambiando laspotencias de:

Usando:

Factorizar por:

Cambiando laspotencias de:

Usando:

Potencia de Tangentem:par y potencia de Secante

n: imparCambiar la Cambiar la

potencia par: potencia impar

Usando: Usando:

Resolver Resolver

m nentero positivo entero positivo

Usar TT:

Si n:parUsar TT:

Si n:imparSe usa la integración por partes

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


38

Tipo C: Integración de Monomios Cosecante y Cotangente.

Se trabaja en forma análoga al caso anterior. Tenemos:

Sea la variable auxiliar, entonces:

Si Si

Transformación trigonométrica:

Potencia de Potencia deCotangente Cosecantem: Impar n:Par

Factorizar por:

Cambiando las potencias de

Usando:

Factorizando por:

Cambiando las potencias de

Usando:

Ejemplo resuelto.

1.

Factorizando por:

Cambiando las restantes potencias de , usando la transformación trigonométrica

Usando variable auxiliar:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


39

; en términos de

2.

Factorizando por:

Cambiando las restantes potencias de , usando la transformación trigonométrica:

Usando variable auxiliar:

; en términos de

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


40

Ejemplos propuestos:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


41

Solución

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


42

Sustitución Trigonométrica.

¿Cuándo se usa?

Este tipo de sustitución se usa cuando en el integrado aparecen expresiones de la forma:

Donde: y

Generalmente se podrá simplificar la integral por sustitución trigonométrica. En la mayoría de loscasos la sustitución apropiada sugerida elimina el radical y deja en condiciones de integrar.

El método de sustitución trigonométrica para resolver la integrales se simplifica si se acompaña lasustitución con un triángulo rectángulo.

Analizando cada uno de los casos tenemos los siguientes cambios de variable:

Resumen Por Sustitución Trigonométrica.

Sea: y :

Para el integrado de la forma: Caso 1:

Si en el integrado aparece la expresión radical de la forma:

a u

22 ua

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


43

Por identidad trigonométrica

Luego

Al reemplazar en el radical se obtiene:

Ejemplos:

Obs.: Si existiera más términos en función de la sustitución también tendrá que hacerse.

El triángulo que acompaña a esta expresión es el siguiente:

2 3x

294 x

Por lo tanto, la integral dada se resuelve de la siguiente forma:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


44

Como , entonces

Luego, de la figura podemos ver:

De la identidad tenemos:

En consecuencia, del análisis anterior, podemos concluir que:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


45



Luego, de la figura podemos ver:

En consecuencia, del análisis anterior, podemos concluir que:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


46


2 3x

294 x


; como

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


47

Del triángulo asociado a la expresión podemos ver que:

De la identidad trigonométrica: . Entonces:

Caso 2: Si tenemos radical de la forma

22 uau

a

Por identidad trigonométrica

Luego


VIR

GIN

IO G

OM

EZ


48

Ejemplos:

El triángulo asociado es:

Por lo tanto:

; pero

Integral que se resuelve por partes, cuya solución es:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


49

Por lo tanto:

Del triángulo asociado, tenemos que:

Por lo tanto:

El triángulo asociado es:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


50

Por lo tanto:

pero

La integral inmediata de: . Entonces:

Del triángulo determinamos que:

Finalmente:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


51

Si tenemos radical de la forma Caso 3:

22 auu

a

Por iedentidad trigonométrica

Luego


VIR

GIN

IO G

OM

EZ


52

Ejemplos:


22 au

au

4x3

916 2x

Por lo tanto:

; como

; usando

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


53

Del triángulo:

Por lo tanto:

2

El triángulo que acompaña a esta expresión:

Por lo tanto:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


54

como:

Del triángulo asociado, se tiene: y

En consecuencia:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


55


1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


56

Solución

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


57

Funciones Racionales

¿Cuándo se utiliza?

Para integrar cualquier función racional del tipo , cuando y son polinomios de

grado y respectivamente.

Sea la siguiente integral formada por la función racional (El cuociente de dos polinomios

en la variable )

Donde:

es el grado de es el grado de

Si el grado de , es decir , entonces debe realizarse la división de polinomios(división sintética) cuyo cuociente es de y cuyo resto R se descomponeintegración inmediatamediante .Fracciones Parciales

Por lo tanto va a interesar la integración de funciones de la forma: . Para lo cual

debemos descomponer la función de la forma en fracciones parciales.

Después de que ha sido factorizado en productos de factores lineales y cuadráticos, elmétodo para determinar fracciones parciales depende de la naturaleza de dichos factores.

Considerando varios casos por separado, tenemos:

Caso 1:

Los factores de son todos lineales y ninguno se repite.

En este caso la fracción parcial a escribir es:

Donde: son constantes que se van a determinar.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


58

Ejemplos de integración por fracciones parciales.

Factorizando el denominador:

Planteando la fracción parcial correspondiente:

Donde los valores de y han de calcularse de forma tal que la igualdad sea valida para todo sacando factor comun,

llegamos a la ecuación básica siguiente:

Podemos determinar las constantes de dos maneras:

Consiste en igual los coeficientes de potencias identicas de y resolver1. Método general:

Sea:

Resolviendo:

Dado que la identidad es valida para todo , tenemos:2. Método Abreviado:

Evaluando para:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


59

Por lo tanto: y

Por cualquiera de los métodos tenemos:

Entonces:

:Caso 2

Los factores de son todos lineales y algunos están repetidos. Supongamos que el factor es un factor que se repite veces.

a este factor le corresponde la suma de fracciones parciales dada por:

Donde: son constantes que se van a determinar.

Ejemplos resueltos

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


60

Desarrollando:

1. Método abreviado:

Sea:

Para

Para

Para

Resolviendo:

2. Método General:

Sea:

Igualando los coeficientes de potencias identicas, tenemos:

Resolviendo:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


61

Por lo tanto:

Entonces:

Caso 3:

Los factores de son lineales y cuadráticos de la forma . Ninguno de losfactores cuadráticos se repite.

Por cada factor cuadrático no factorizable y que no se repite, le corresponde la fracción parcialdada por:

Ejemplo resuelto:

La ecuación básica es:

1. Método general:

Sea:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


62

Resolviendo:

2. Método abreviado:

Sea:

Para:

Para:

Para:

Por lo tanto:

Tenemos:

Luego:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


63

Caso 4:

Los factores de son lineales y cuadráticos, y algunos de los factores cuadráticos se repiten. Si es un factor cuadrático no factorizable de que se repite veces, entonces le correspondela siguiente descomposición en fracciones parciales:

Ejemplo:

La ecuaciones básicas:

Desarrollando:

1. Método General:

Sea:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


64


Factorizar las siguientes funciones (fracciones parciales) y evaluar la integral indefinida.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


65

Solución

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


66

Autoevaluación

Resuelva las siguientes Integrales

.

.

.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


67

Solución

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


68

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


69

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


70

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


71

UNIDAD N°2: Integral Definida

Interpretación de la integral definida:

Sea una función continua en el intervalo [ ], cuya gráfica es:

x

y

a b

y = f(x)

A

Sea una región del plano comprendida entre la función , el eje , las rectas y

Nuestro interés esta en el siguiente problema:

Como calcular el área de la región achurada en los límites planteados:

x

y

a b0

y = f(x)

A

��

A

y

x

Para evaluar el área bajo la curva se realiza el siguiente proceso:

1.Dividir el intervalo [ ] en un cierto número de subintervalos, no necesariamente iguales.Sea los punto de subdivisión

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


72

a=x0 x1 x2 ..... xi-1 xi ....... xn-1 xn =b

x

y

a b0

y = f(x)

A

y

x

y = f(x)

......... .........

donde:

- Los intervalos la misma longitudno tienen necesariamente - El primer intervalo esta dado por: tal que: - Longitud de cada subintervalo es:

para el 1 subintervaloer

para el 2 subintervalodo

para el 3 subintervaloer

para el 4 subintervaloto

para el -ésimo subintervalo

para el -ésimo subintervalo

2.Cada subintervalo forma un rectángulo de base y altura Donde: es decir esto es

x

y

a b0

y = f(x)

A

y

xa=x0 x1 x2 ..... xi-1 xi ....... xn-1 xn =b

y = f(x)

......... .........

0

c1 c2 ci cn

f(ci)f(cn)

f(ci)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


73

3.Calculando el área de cada rectángulos formados por los subintervalos de base y altura

.

Sumando el área de todos los rectángulos formados, tenemos una buena aproximación deseada delárea bajo la curva de la función en el intervalo y las rectas

Área Región

Área de la Región:

Debemos notar que:

-A medida que el número de intervalos aumenta, la aproximación será aun mejor. -Cuando el número de subintervalos tiende a infinito , es equivalente a decir que lalongitud de los subintervalos (este intervalo es un infinitesimal)

A partir de este concepto se define el de una función como área bajo la curva la integraldefinida de la función desde hasta .

Área de la Región: lim

Este límite corresponde a lo que se denomina INTEGRAL DEFINIDA, se expresa como:

Por lo tanto: El área bajo la curva entre y , se evalúa como la de laintegral definidafunción entre los limites de integración y .

x

y

a b0

y = f(x)��

Area de la Región.

)(

)(

baxf

dxxfb

a

ypuntoslosentrefunciónladedefinidaintegral

lacomodefineseregiónladeÁreaEl

RegiónladeÁrea

Donde : La función es el integrado Los números y son los límites de integración inferior y superior. La letra es la variable de integración

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


74

Propiedades generales de la integral definida

(1) Intercambiando los límites de una integral cambia el signo al frente de la integral.

(2) La integral de una región se dividirá en la suma de cualquier numero de integrales, cubriendocada una de ellas una porción de la región.

(3) Valoración de una integral definida:

En general para continua en un intervalo de integración , son validas laspropiedades básicas de la integral indefinida. Así tenemos:

(1) constante

(2)

Ejemplo: Resolver las integrales definidas.

(1) Resolver

Desarrollo:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


75

(2) Resolver

Desarrollo:

(3) Resolver

Desarrollo:

Sea

Evaluando los límites de integración

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


76

(4) Resolver

Desarrollo

Sea

Como se hace un cambio de variable se deben cambiar lo límites de integración

Para

Para

10

22

Otro camino es resolver la integral como indefinida y finalmente evaluar

Así,

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


77

(5) Resolver

Desarrollo

Para

Para

Así,

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


78

Ejemplos propuestos con respuestas.

Evaluar las siguientes integrales definidas

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


79

Solución

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


80

Areas en Coordenadas Cartesianas

Debido a la interpretación geométrica de la integral definida, es posible en cálculo de áreas planas.

1. Área entre una curva y el eje :

Al realizar este cálculo se debe tener presente que la integral definida representa el área encerradapor la curva el eje en un intervalo definido [ , ]

Ejemplos resueltos: Determinar el área de la región acotada

1.Determinar el área de la región acotada por la curva entre Graficar.

2. Determinar el área encerrada por entre los límites y . Graficar

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


81

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


82

3. Determinar el área encerrada por entre los límites y . Graficar

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


83

4. Determinar el área de la región limitada por la curvas: en el intervalo . Graficar

x=1 x=5

y=2

��

241 3xy

x

y

o

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


84

5.Determinar el área encerrada por la función , el eje y las rectas y

Por cambio de variable:

Entonces:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


85

6. Determinar el área limitada por el eje y la función en el intervalo 3 , 8 . Gráfica

Integrando por partes:

Sea

Por lo tanto,

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


86

7. Determinar el área limitada por la función , el eje y las rectas y .Graficar:

��

x=3,2 x0

A

xexfy

1

x=1,5

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


87

8.Determinar el área de la región dada por la función y las rectas , con eleje .

��

x= 5x

0

11

xxf

1 x= 2

y

-1

Resolviendo por variable auxiliar. Sea

Entonces,

Por lo tanto,

9.Determinar el área de formada con el eje y la función en el intervalo cerrado 0 , .

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


88

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


89

Areas positivas y negativas

Sea una función continua en el intervalo , cuya curva esta dada por:

Supongamos que deseamos calcular el área en el intervalo de la región formada por y .

Debemos notar que la región esta por encima del eje y es positiva mientras que la segundaregión se halla por debajo del eje y es negativa.

Por lo tanto, si integramos en el intervalo esta dará un cantidad positiva para la región yuna cantidad negativa para la región , por lo que el integrado en intervalo de a producirá la sumaalgebraica de esta dos regiones, es decir ( ).

interesa la total de área ( ) y no la suma algebraica, por loNormalmente CANTIDADtanto, para asegurar que la región sea positiva empleamos el concepto de valor absoluto de tal formaque el área total esta dada por:

este resultado será ahora la suma de las dos regiones achuradas, en vez de la diferencia de las regiones quese obtendría al integrar entre y .

Ejemplo: Determinar el área de la región limitada.

Determinar el área encerrada por la función en ��

y

x-2 5

A2

23xy

A1

23

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


90

Determinar el punto entre las áreas positivas y negativas implica resolver la ecuación

Luego,

Areas simples entre curvas

Sea y dos funciones, tales que y dos áreas positivas.

Tenemos los siguientes casos particulares:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


91

1)Area entre curvas y donde y

o bien podemos escribir:

2)Áreas entre curvas ( ). Donde: y

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


92

Area de una región entre dos curvasTeorema:

En general si y son continuas en y , para todo en , entoncesel área de la región limitada por la gráfica de las funciones y y las rectas y quedadefinida de la siguiente forma:

Ejemplos:Hallar el área de una región entre dos curvas

1. Hallar el área de la región limitada por las gráfica de , , entre yrespecto eje y respecto eje

�� x=1

y

0x

f x x 2 2

g x x

Sea y , podemos ver que para todo en . Portanto el área la podemos calcular como:

Respecto eje

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


93

Respecto eje

: Toda área calculada respecto eje y eje debe dar por resultado el mismo valorObservaciónnumérico.

2. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de y respecto eje y respecto eje

��

x=-2x

g x x

f x x2 2

y

x=1

De la gráfica podemos ver que y tiene dos puntos de intersección. Para hallar lascoordenadas de estos puntos, igualamos con y despejamos

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


94

Por tanto: y . Dado que para todo en , entonces el área lapodemos calcular:

Respecto eje

Respecto eje

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


95

3. Calcular el área de la región limitada por la gráfica de e respecto ejey respecto eje

��

x=-1 x

f y y 1

g y y3 2

y

x=2

Si consideramos y , estas dos curvas se cortan en e .Puesto que en este intervalo, entonces el área la podemos calcular:

Respecto eje

Respecto eje

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


96


1)Calcular el área de la región dada por: y .

Calcular el área de la región dada por: y .

Determinar la región acotada por las dos curvas. Graficar. y .

Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de y. Graficar.

Calcular el área acotada por respecto del eje y respecto del eje ..

Determinar el área acotada por las curvas:

Evaluar el área acotada por las funciones:

Determinar el área acotada respecto del eje por las funciones: , en elintervalo:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


97

Solución

Eje X : Eje Y:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


98

Ejemplos resueltos de areas simples y entre curvas

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


99

Puntos de intersección

recta parábola

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


100

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


101

Ejercicios

1.Encontrar el área bajo la curva de las siguientes funciones y graficar.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

2.Calcular el área encerrada por las siguientes funciones y graficar

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

ñ)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


102

Solución

1.-

a) b)

c) d)

e) f)

h)

i) 2 j) 212

k)

2.-

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

m) n)

ñ)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


103

Volumen de Sólidos en Revolución.

¿Qué es un sólido de revolución?

Un sólido de revolución es generado al girar una región plana en torno a una recta, llamada eleje de revolución (o de rotación), en el plano, este eje de revolución puede ser vertical o horizontal. Elsólido de revolución generado interesa evaluar su volumen.

Sea un función continua en un intervalo donde . Donde es unaregión del plano limitada por , el eje , las rectas y . Esta región puede girar entorno a una recta vertical o en torno a una recta horizontal generando un sólido de revolución.Gráficamente:

Eje de giro horizontal (eje )

��

��

y

x = a x =b

y

x x

y = f(x) y = f(x)

x = a x =b

RegiónA

RegiónA

Eje de giro Vertical (eje )

��

��

y

x = a x = b

y

x x

y = f(x) y = f(x)

x = a x =b

A A

El volumen de un sólido de revolución se puede calcular por uno de los siguientesprocedimientos.

- Método de los discos

- Método de los anillos Con frecuencia uno de los métodos es preferible al otro, dependiendo del eje de giro de la región .

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


104

Método del disco

¿Cuándo se usa?

Presenta mayores ventaja cuando la región de giro es en torno del o a una recta paralelaejeal eje

Sea la región del plano limitada por , el eje , las rectas y ., que giraentorno al generando un sólido de revolución, el cual deseamos calcular su volumen.eje

��

x = a x =bx x

y = f(x)y = f(x)

x = a x =b

RegiónA

��

y y

x

f(x)

Rectángulorepresentativo

Para calcular el volumen de este sólido en revolución consideremos un rectángulorepresentativo de esta región plana. Donde:

��

x

f(x)Eje de giro (Eje x)

Eje de giro (Eje x) x

f(x)

��

xxfV 2

Cuando hacemos girar este rectángulo alrededor del eje de revolución, genera un discorepresentativo cuyo volumen es:

Si aproximamos el volumen total del sólido de revolución por de tales entre y .discosTenemos:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


105

Volumen del sólido

Tomando el límite cuando . Tenemos:

Volumen del sólido

Por lo tanto:

Cuando el eje de revolución es el y la frontera superior de la región plana viene dada porejeuna curva entre y , el volumen del sólido de revolución viene dado por

Como también lo podemos escribir

Análogamente, cuando el eje de rotación de la región es el , donde un lado de la regiónejeplana esta dado por la curva entre e . El volumen del sólido de revolución es:

Eje de giro Vertical (eje y)

��

y

y = c

x = b

y

x x

x = g(y)

y = c

y = d

A

x = g(y)��

y = dA

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


106

Cuando el eje de rotación es paralelo al eje , pero distinto al eje :Caso especial:

Sea una función que gira sobre una eje horizontal ; una constante.

��

x = a x =b

y

x

f(x) 0

��

x

[ f(x) – k]

y = k

k

Por lo tanto: El volumen del solido de revolución esta dado por:

Extensión del método de los discos:

Método de las arandelas (sólido de revolución con agujero):

El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos de revolución generadospor dos funciones, tales como y . Se tienen los siguientes casos:

Rotación en torno al eje . Sea yCaso 1:

��

x = a x = b

y

x

f (x ) 0

��

x

[ f (x ) – g (x ) ]

g (x ) 0

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


107

Por lo tanto, el volumen del solido de revolución esta dado por:

Caso 2: Rotación en torno a un eje paralelo al .eje

Sea y y consideremos al eje de rotación ; con unaconstante.

��

x = a x =b

y

x

f(x) 0

��

x

[ f(x) – g(x)]

g(x) 0

y = k k

Por lo tanto, el volumen del solido de revolución esta dado por:

Análogamente se presentan los mismos casos cuando el eje de rotación es paralelo y distinto deleje . (estudiar)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


108

Ejemplos resueltos método de los discos - eje de giro

Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar la región limitada en torno al eje , por lagráfica de:

1. , el eje , en

��

x =1 x =4

y

x

f(x)��

x

32xy

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


109

2. , el eje , en

��

x=-1 x =1

y

x

f(x)��

x

12xy

Ejemplos resueltos método de los discos- eje de giro eje

Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar la región limitada con el eje , y la función , en y . Eje de giro .eje

��

x = 5x = 1

y

x

f(y)y

12xy

��

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


110

Ejemplo resuelto Región limitada por una función y eje de rotación desfasado paralelo al eje .

1 Determinar el sólido en revolución de la región definida por: , con eje derotación que esta dado por , en

��

x = 1 x =5

y

x

13 xy

��

x

[ f(x) – 3]

y = 3

3k

Ejemplo resuelto región limitada por dos funciones- eje de giro eje

Hallar el volumen del sólido en revolución de las regiones limitadas por:eje de giro eje .

��

x = a x =b

y

x

f(x) – g(x)��

x

12xy

42 xy

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


111

Ejemplo resuelto región limitada por dos funciones - eje de giro desfasado paralelo al eje .

1.Hallar el volumen del sólido en revolución de las regiones limitadas por: eje de giro .

��

x = a x = b

y

x

f(x) +1��

x

12xy

42 xy

g(x) +1

y = -1

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


112


I Volumen generado por una función - eje de giro: eje / eje

1. Hallar el volumen del sólido formado al girar la región limitada por la función , al

girar alrededor del eje en [ .

2. Hallar el volumen generado al girar en el eje , el área del primer cuadrante acotado por la

parábola y la recta

II Volumen generado por dos funciones - eje de giro eje / eje

1. Hallar el volumen del sólido formado al girar la región limitada por las gráficas de = e

alrededor del eje . Graficar.

2. Determinar el sólido en revolución que se genera al girar, alrededor del eje , la región acotada

por la parábola y la recta .

3. Hallar el volumen generado al girar en torno al eje , el área acotada por la parábola

y la recta

III Con eje desfasado: eje de giro paralelo al eje / eje

1. Calcular el volumen del sólido generado al girar la región limitada por ,

, en torno a la recta . Graficar

2. Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar, alrededor de la recta , la región

acotada por las parábolas y .

3. Hallar el volumen generado al girar el área acotada por la parábola y la recta ,

al girar alrededor de la recta .

4. Hallar el volumen generado al girar el área que limita el eje y la parábola , en

torno a la recta .

IV Ejemplos con respuestas varios.

Hallar el volumen generado al hacer girar el área plana dada en torno a la recta que se indica,usando el método del disco.

en torno al eje

en torno al eje

en torno al eje

en torno al eje

en torno al eje

en torno al eje

en torno al eje

entre en torno al eje

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


113

Solución

I

II

III

IV

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


114

Método de los anillos cilíndricos

Como alternativa al procedimiento para obtener el volumen de un sólido de revolución es elmétodo de los anillos cilíndricos.

¿Cuándo se usa?

Presenta mayores ventaja cuando la región de giro es en torno del eje o a una recta paralela aleje

¿En qué se basa este método?

El método se basa en considerar elementos rectangulares de áreas paralelas al ,eje de revoluciónde esta manera al hacer girar un elemento de rectángulo representativo con respecto al eje se obtiene unacapa o anillo cilíndrico. Tal capa es un sólido contenido entre dos cilindros de centro y ejes comunes.

Sea una región plana comprendida por la curva , el y las rectas ; .ejeCuando esta región gira en torno del genera un sólido de revolución. Su volumen lo podemosejedeterminar del siguiente modo:

Eje de giro Vertical (eje y)

x

��

y

x = a x = b

y

x x

y = f(x)

y = f(x)

x = a x =b

A

�� f(x)

x

Consideremos un de la región plana que se hace girar en torno delrectángulo representativoeje , generando un cilindro. Donde:

x

��

x

f(x)

x

f(x)

��

x

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


115

Donde: : Espesor del rectángulo del Anillo

: Altura del Anillo de revolución : Radio del Anillo de revolución.

Calculando el volumen de este capa o cilindro representativo:

Aproximando el volumen del sólido de revolución por cilindros o capas :

Volumen del sólido

Tomando el límite , tenemos:

Volumen del sólido lim

Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución cuando la región que gira en torno del estaejedado por:

y como entonces

Análogamente cuando el eje de rotación es el el volumen del sólido de revolución se calculaejecomo:

Eje de giro Vertical (eje x)

�� x

yy

x x

y = d

y = c

A

��

x = g(y)x = g(y)y = d

y = c

Un caso especial método de los anillos cilíndricos:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


116

Rotación en torno al Sea y , el volumen del sólido eneje .revolución generado, esta dado por:

��

xx = a x = b

y

x

y = g(x)

��

f(x) - g(x)

x

y = f(x)

Por lo tanto, el volumen del sólido en revolución esta dado por:

Ejemplos resueltos Método de los anillos - eje de giro

1.Determinar el volumen del sólido en revolución de la región definida por: en

��

x = 4x =0

y

x

f(x)

x

2xy

��

Ejemplo resuelto Método de los anillos: Región limitada por dos funciones- eje de giro, eje

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


117

Determinar el volumen del sólido en revolución por el método de los anillos de la regiónlimitada por: , . Eje de giro .

��

x = 1x =0

y

x

��

x

2xyxy

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


118

Calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de y en torno al eje . Graficar.

��

x = 0 x =1

y

x

��

x

12xy

f (x)

Calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas dey en torno al eje desfasado ( ) Graficar.paralelo al eje

��

��

x = 0 x =1x

��

x

12xy

f (x)

x = -2

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


119

Ejemplos propuestos con respuestas

I Volumen generado por una función - eje de giro: eje / eje

1.Calcular el volumen del sólido en revolución que se genera al girar la región limitada por con el eje . Eje de giro alrededor del eje . Graficar

2.Calcular el volumen del sólido engendrado por la región limitada por con el eje

, al girar en torno al eje en

3.Calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de con el eje , entre y en torno al eje

II Volumen generado por una o dos función: Con eje desfasado, eje de giro // eje / eje

Calcular el volumen del sólido generado al girar, en torno de la recta , la región limitadapor las graficas de y . Graficar.

Sea la región limitada por la curvas ylas rectas y , gira alrededor de la recta. Encontrar el volumen del sólido generado.

Hallar el volumen generado al girar el circulo , en torno a la recta

Hallar el volumen generado cuando el área plana acotada por y por se hace girar

(a) en torno de

(b) alrededor .

III Ejemplos varios

Hallar el volumen generado al hacer girar el área plana dada en torno a la recta que se indica,usando el método de los anillos.

1. en torno al eje

en torno a

en torno a

en torno a

en torno al eje

en torno a

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


120

Solución

I

8

II

88

III

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


121

Longitud de Arco en Coordenadas Cartesianas

Longitud de Arco.

Otra aplicación de la integral definida es el cálculo de la longitud de arco de la gráfica de unafunción..

Definición:

Sea la función continua y derivable en el intervalo ; ,

y

xo x = a x = b

AB

y = f(x)P1

P2

P3

Pi

Pi-1

Pn

Pn-1

La porción de curva que va desde el punto al punto , se llama . Supongamos que nuestroArcoproblema es calcular la entre los puntos y , procedemos del siguiente modo:longitud de Arco

Dividamos el intervalos en partes, y escojamos una parte cualquiera dentro de esteintervalo, por ejemplo a . Gráficamente:

(xi-1 , yi-1)

Pi

(xi , yi)

Pi - 1

xi - xi-1 = ix

yi - yi-1 = iy

Podemos ver que:

Entonces:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


122

Definamos la longitud del segmento de recta de a denotado por como:

Si sumamos todos las longitudes de los segmentos rectilíneos, tenemos la longitud aproximada delArco entre y .

Dado que:

Dado que:

Desarrollando:

; donde

Por lo tanto, obtenemos:

Tomando el limite cuando el número de divisiones es lo suficientemente grande ,. Tenemos:

lim lim

lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


123

Por lo tanto la longitud de arco para una función del tipo , entre y , quedadefinida como:

Análogamente para una curva de ecuación , entre ; la longitud de arcoqueda definida por:

Ejemplos

1.Determinar la longitud de arco de la función definida por , en el intervalo .

Donde:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


124

2.Determinar la longitud de arco de la función definida por: , entre y .

x=0x

2xyy

x=1

L

; Resolviendo por sustitución trigonométrica:

3.Determinar la longitud de arco de la función definida por: desde los puntos y

Dado que:

x=2x

y

x=1

L

y x3

2B 2 2,

A(1,1)

La longitud de arco es:

; Desarrollando por sustitución simple:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


125

4.Calcular la longitud de arco de la gráfica: , en el intervalo 2 .

Dado que

y

x

f x xx

3

61

2

x = 1/2 x = 2

La longitud de arco es:

5.Calcular la longitud de arco de la gráfica de , en el intervalo y .

Despejando en función de : . Por lo tanto:

yyy

x

y x 2 3 1

(0,1)

(8,5)

x = 8x = 0

La longitud de arco queda como:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


126

Ejemplos

1.Determine la longitud del segmento de recta del punto al punto

2.Encuentre la longitud de arco de la curva del origen al punto

3.Hallar la longitud de arco de la curva del donde al punto donde .

4.Determine la longitud de arco de la curva del punto al punto .

5.Calcular la longitud de arco de la curva entre y .

6.Calcular la longitud de arco de la curva , entre e .

7.Hallar la longitud de arco de entre y .

8.Hallar la longitud del arco de la catenaria desde hasta .

9.Calcular la longitud de arco de la parábola desde los puntos hasta el punto.

10.Calcular la longitud de arco de entre y

11.Determinar la longitud de arco de las siguientes funciones:

a) entre y .

b) entre y

c) entre y

d) entre y

e) entre y

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


127

Solución:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


128

Area de una superficie en revolución

Sea una funcón contínua y derivable en el intervalo [ ] Donde no cambia designo en el intervalo

Si hacemos girar el arco AB entre y en torno del eje (eje horizontal), el area deuna superficie en revolución generada esta dada por.

Análogamente, Si tiene derivada contínua en el intervalo [ , con giro en (ejeejevertical) la superficie de revolución es:

Ejemplo:

Calcular el área de la superficie de revolución de en el intervalo [0,1] con eje de giro eje Solución:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


129

El radio de giro esta dado

Por cambio de variable:

Luego,

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


130

Ejercicios propuestos

En los siguientes ejercicios determine la superficie de revolución generada al girar la curva plana:

1) La curva para entre [1,2] ; giro en torno al eje

2) La curva para entre [1,2] ; giro en torno al eje

3) La curva para entre [1,8]; giro en torno al eje

4) La curva ; para entre [0,2]; giro en torno al eje

5) Un cono circular recto se genera haciendo girar la región limitada por y en torno del eje . determinar su área lateral.

6) Calcular el área de la porción de esfera generada al girar la gráfica de en torno al eje

7) Se diseña una lámpara haciendo girar la gráfica de para

0 gira en torno al eje . Calcular el área de la lámpara y usar el

resulado para estimar la cantidad de vidrio necesaria para fabricarla. Suponga que el vidrio tiene un espesor de 0,015 pulgadas.(ver figúra)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


131

Solución:

1) 14514527

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


132

Autoevaluación 1

1) Calcular :

a

b

2. Cálcular el área encerrada por:

en , 2 y el eje

en y el eje

3. Plantee la integral que representa el área respecto eje X y respecto eje Y encerrada porlas curvas:

Resuelva sólo una de las dos integrales.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


133

Solución

|

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


134

Por simetría

u. de a.

Por simetría

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


135

) Intersección de las curvas

Eje X

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


136

Eje Y

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


137

Autoevaluación 2

1) Dada la región formada por las curvas:

a) Usando ambos métodos plantear la integral que representa el volumen del sólidogenerado al girar la región dada en torno a:

a1) Eje X a2) Eje Y

b) Utilizando el método que estime más conveniente, plantee la integral que representa elvolumen del sólido generado al girar la región anterior en torno a:

b1) b2)

2) Determine la longitud de arco de la siguiente función si pertenece alintervalo

3) Plantee la integral que representa el área de la superficie de revolución que se genera al girar elarco en [ en torno a:

a) Eje X b) Eje Y

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


138

Solución

1)

a1)

Método del disco

Método de los anillos

a2)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


139


Método del disco

b) b1)


Método del disco

b2)

Método del disco

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


140


2

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


141

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


142

UNIDAD N°3: ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Conceptos:

La forma normalmente utilizada para determinar la función de una curva es por ecuaciones quecomprenden dos incógnitas e . Esta funciones hasta ahora la hemos visto en coordenadas cartesianas.Donde se escribe del siguiente modo:

Ecuación rectangular

un nuevo método para definir una curva es introduciendo una tercera variable por ejemplo que se llamaparámetro, donde las variables e se escriben por las ecuaciones del tipo

e Ecuaciones paramétricas

estas ecuaciones se denominan . Donde cada valor de determina un valor paraecuaciones paramétricas e , respectivamente.

Gráficos y Transformaciones:

Ejemplo: Gráficos en ecuaciones paramétricas

1.Graficar el lugar geométrico según las ecuaciones paramétricas dadas por:

Donde es el parámetro.

radianes r ° ° ° ° ° °

radianes 60° ° ° ° °3

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


143

Dibujando estos puntos:

y

x

04 yx

x y3 939 0 695, ,

x y2 828 2 828, ,

x y2 000 3 464, ,

x y0 000 4 000, ,

Mediante la eliminación del parámetro obtener la ecuación rectangular:

Elevamos al cuadrado ambos lados de cada ecuación y sumando obtenemos.

sabemos que , y reordenando esta relación:


Tal como la gráfica lo muestra corresponde a la ecuación de una circunferencia.

Así planteada esta relación, significa que si se dan varios valores de , y se calculan los valorescorrespondientes de e , el resultados sería una circunferencia.

2.Dibujar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas

e Efectuando una tabla de datos tenemos:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


144

y

xt 0

t 2t 1

t 1t 2

t 3

Usando la eliminación del parámetro podemos determinar la ecuación rectangular:

e

Para:

Reemplazando en:

Por lo tanto, la ecuación rectangular es:

Ecuación Rectangular

Uno de los méritos de las ecuaciones paramétricas es que pueden usarse para representar gráficasque son mas generales que las gráficas de funciones.

Primera y segunda derivada

Sean las ecuaciones parámetricas:

La pendiente de una curva en cualquier punto cuando e están dadas en términos paramétricos,se puede obtener por la regla de la cadena:

Para la primera derivada:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


145

Para la segunda derivada:

Ejemplos: Determinar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva en el valor dado por el parámetro:

en

Solución: La ecuación de la recta se define como:

Donde:

representa la pendiente de la ecuación de la recta que se define como.

Luego:

y

Por lo tanto:

= =

Entonces para

La pendiente es: =1

0

0

Por lo tanto para ecuación de la recta tangente tenemos: 0

1

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


146

Para la ecuación de la recta normal: la pendiente de la recta normal esta dada por:

entonces:-11

la ecuación de la recta normal es:

Ejercicios propuestosPrimera y segunda derivada

1) Dada la curva de ecuaciones parámetricas:entre

) Dada la curva de ecuaciones parámetricas:

entre

Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva en

Obtenga el valor del parámetro para los cuales la curva: ; , es concava hacia arriba y concava hacia abajo.

Obtenga el valor del parámetro para los cuales la curva: ; , es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.

) Dada la curva de ecuación parámetrica:

Determinar el valor de la curva para donde está dado por:

Determinar y para las curvas:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


147

Solución:

Ecuación recta normal :

Cóncava hacia arriba para: de otra forma

es cóncava hacia abajo

)

)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


148

Ejercicios propuestosGráficos y tranformaciones

1) Dadas las ecuaciones paramétricas e

(a) Confeccionar una tabla de datos y graficar (b) Determinar la ecuación en coordenadas rectangulares. (c) Determinar la pendiente y la ecuación de la tangente en el punto .

2) Dadas las siguientes ecuaciones paramétricas:

e

Graficar la curva representada Mediante la eliminación del parámetro determinar la ecuación rectangular

3) Dadas las siguientes ecuaciones paramétricas:

e

Graficar la curva representada.Mediante la eliminación del parámetro determinar la ecuaciónrectangular.

4) Hallar el conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la ecuación rectangular

, usando el parámetro siguiente: (a) (b) en el punto y son parámetros

5) Consideremos las ecuaciones paramétricas e

a) Completar la tabla:

b) Graficar según las coordenadas de la tabla de datos. c) Determinar la ecuación rectangular eliminando el parámetro, y Graficar la ecuación rectangular. d) Determinar el valor de la pendiente para

6) Consideremos las ecuaciones paramétricas

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


149

a)Completar la tabla de datos

Rad

b)Graficar las coordenadas según los datos de tabla c)Mediante la eliminación del parámetro determinar la ecuación rectangular.

7) La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una curva viene dada por las ecuaciones paramétricas donde , se miden en Kilómetros y en segundos.

a) Determinar la trayectoria entre . Confeccionar una tabla de datos. b) Graficar según la tabla de datos.

c) Determinar la velocidad del móvil cuando segundos y segundos.

d) Determinar la ecuación rectangular.

8) En las ecuaciones paramétricas siguientes dibujar la gráfica correspondiente con su tabla de datos:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


150

Solución

1 b)

Gráfica Ecuación Rectangular

Gráfica Ecuación Rectangular

(a) e

(b) e

a

b

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


151

c

d

b


b

c

d Ecuación rectangular:

a

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


152

b

c

d

e

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


153

f

g

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


154

Cálculo de área en ecuaciones paramétricas

Sea la ecuación paramétrica

se define el área bajo la curva en ecuaciones paramétricas por la siguiente integral:

Ejemplo: Hallar el área bajo la curva de la cicloide en un giro completo de la circunferencia

constante positiva

Solución:

donde y ; cte positiva

Reemplazando:

= 0 0

0

0 0

; como: 0

0 0

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


155

Ejercicios propuestos:

1) Sean y dos números positivos. considere la curva dada paramétricamente por las ecuaciones:

Hallar el área de la región delimitada para entre 0 y 2

2) Sea la curva dada paramétricamente para entre 0 y Hallar el área de la región bajo la curva.

Determinar el área de la región delimitada por: para entre 4 y 8

Determinarel área de la región: para

Solución:

1)

3) 28 2

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


156

Longitud de arco en ecuaciones parámetricas

Sean las siguientes ecuaciones parámetricas:

Para

la longitud del arco de una curva en en [ está dada por:

Ejemplo: Hallar la longitud de arco de la curva en ecuaciones parámetricas:

para 1 8

Graficando:

Calculando:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


157

por cambio de variable

Sea:

Luego,


1) Hallar la longitud de arco de la cocloide: donde constante positiva. [ Para y

Una partícula se desplaza según las ecuaciones parámetricas: Determinar la distancia recorrida que describe esta partícula durante los primeros segundos.

Determinar la longitud de arco: con entre [ , ]

) Determinar la longitud de arco:

con entre

Calcular la longitud de arco de para

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


158

Solución:

1)

)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


159

Coordenadas PolaresCoordenadas Polares:

Una manera de ubicar un punto en un plano es por medio de un sistema de coordenadasortogonales o cartesianas (que asocia un par ordenado). En muchas situaciones es necesario contar conotras formas de asociar un punto en un plano, una de ellas es el sistema de . Sucoordenadas polaresimportancia esta relacionada con el echo de que proporciona ecuaciones mas simples para algunas curvas.

La representación de un punto en un plano por medio de un sistema de coordenadaspolares poloesta dado por medio de una distancia dirigida y un ángulo respecto de un punto fijo llamado y a un rayo fijo llamado . Gráficamente:eje polar

Sistema Coordenado Polar

P (r , )

r

Eje polarO: polo

r

O : Polo u origen : Radio vector, distancia del punto origen al polo : Angulo (en radianes) entre el radio vector del punto y el eje polar.

Un conjunto de coordenadas polares del punto esta dado por y y se escribe la coordenada como :

Representación gráficaen coordenadas polares de un punto P

(1) Representar los siguientes puntos en coordenadas polares

1 2 3

3

2,3

0

2

32

0

32

2 2

0

32

1 2 3 321

36

,

6 6

3 116

,

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


160

Sean los siguientes punto en coordenadas polares:

2

0

3

P P P33

37

33

5

3, , ,

21 2 3

con un entero arbitrario

Podemos concluir que en coordenadas cartesianas un punto tiene una representaciónúnica, pero en coordenadas polares este punto puede se representado en muchas formas.

También es posible permitir que (distancia del punto al polo) tome valores negativos, para locual se establece por convención de que un par de coordenadas dadas por es otra representacióndel punto con coordenadas , gráficamente:

Eje polar

P( r, )

P( - r, ) = P( r , + )

0 = 1800

3( /2) =2700

2 = 3600

/2 =900

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


161

Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares.

Sea el siguiente plano que considera a dos sistemas superpuestos, donde el origen del sistemacartesiano corresponda al polo.

o Eje xEje polar

Eje y

P(x,y) = P(r, )

x

y

x r cos

y r sen

La relación entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares , del punto esta dado por:

Si conocemos:

Ejemplo resuelto.

Sea el punto determinar las coordenadas rectangulares .

Como conocemos: , las coordenadas rectangulares están dadas por:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


162

54

Eje xEje polar

Eje y

P(x,y) = P(r, )

x

x 2 54

cos

y 2 54

sen-1

-1


I Representar los puntos en coordenadas polares

1.Dibujar el punto , Hallar tres representaciones más en coordenadas polares de este

punto, usando

II Convertir de coordenada polar a rectangular (dibujar)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


163

III Convertir de coordenada rectangular a polar para los puntos

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11.

IV Convertir las coordenadas rectangulares en polares

1. 2.

3. 4.

5. 6.

V Convertir las coordenadas polares a rectangulares

1. 2.

3. 4.

5. 6.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


164

Solución

I

1.

II

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7.

III

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7.

IV 1. 2.

3. 4.

5.

V 1. 2.

3. 4.

5. 6

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


165

Gráficos en coordenadas polares

El lugar geométrico de todos los puntos esta representado por la siguiente ecuación encoordenada polares

Se define la gráfica de una ecuación en coordenadas polares como el conjunto de todos lospuntos que tienen por lo menos un par de coordenadas polares que satisfacen la ecuación dada.

Existen que son de gran utilidad en el trazado de curvas en coordenadasreglas de simetríapolares.

Regla 1: Si la sustitución en lugar de da la misma ecuación, el gráfico essimétrico respecto al eje o eje polar.

Regla 2: Si la sustitución de en lugar de da la misma ecuación, el gráfico essimétrico respecto del eje o la recta .

Regla 3: Si la sustitución de o de en lugar de da la misma ecuación,el gráfico es simétrico respecto al polo.

"Si se cumplen dos de estas simetrías, automáticamente se cumplen las restantes. Sin embargo esposible que una gráfica tenga ciertas propiedades de simetría que no las dan las reglas anteriores".

Ejemplo resuelto:

1.Determinar la gráfica de la ecuación polar dada por:

Tabla de datos:

2

02

1 2 3

23

Circulosen4r

4

Simetría: Esta gráfica presenta simetría con respecto de la recta eje

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


166

2.Determinar la gráfica de la ecuación polar dada por:

Tabla de datos:

2

0

23

Esta gráfica es simétrica respecto del eje polar.Simetría:

3.Determinar la gráfica polar dada por:

Tabla de Datos:

2

0

23

Simetría: Esta gráfica es simétrica respecto del eje polar.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


167

Gráficas polares especiales

Caracoles.

CaracolCon hoyuelo Caracol

Convexo

0 0

21ba

2ba

23

23

Cardioide(forma de corazón)

lazo interno

0

1ba

23

Caracol conlazo interno

0

1ba

23

2 2 2 2

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


168

RosasRosas de n pétalos

Número de pétalos si es imparsi es par

es parRosa Rosa (n = 4)

a

n=2

a

n=42 2

0 0

23

23

2cosar 4cosar

: impar

Rosa Rosa (n = 5)

0

a

n=3 n=5

a2

3

23

0

2 2

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


169

Rosas de pétalos

: par

Rosa Rosa

0 0a

n=2 n=4

a

2senar 4senar

23

23

22

: impar

Rosa (n = 3) Rosa (n = 5)

0 0a

n=3n=4

a

3senar 5senar

22

23

23

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


170

Círculos y Lemniscatas

Círculos

CirculoCirculo

0 0

a

a

cosarsenar

2

2

23 2

3

LEMNISCATA

Lemniscata Lemniscata

0 0a

a

2sen22 ar 2cos22 ar

2 2

23

23

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


171

Ejercicios

I Para los siguientes ejercicios, determinar:

(a) tabla de datos y dibujar la gráfica: (b) tipo de curva (c) la simetría:

II Dibujar la gráfica de la ecuación polar e indicar la simetría:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. co 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


172

Solución

(1)

Tipo de curva: rosa Simetría: Eje Polar

(2)

Tipo de curva: rosa Simetría: Recta

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


173

(3)

Tipo de curva: círculo Simetría: Recta

(4)

Tipo de curva: círculo Simetría: Eje Polar

(5)

Tipo de curva: rosa Simetría: Polo

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


174

II Dibujar la gráfica de la ecuación polar e indicar la simetría:

1.Simetría polar, eje polar, 2.Simetría

3.Simetría 4.Simetría polar

5.Simetría 6.Simetría eje polar

7.Simetría eje polar 8.Simetría

9.Simetría polar, eje polar, 10.Simetría

11.Simetría 12.Simetría

13.Simetría eje polar 14.Simetría polo

15.Simetría eje polar 16.Simetría eje polar

17.Simetría 18.Simetría polar, eje polar,

19.Simetría polar 20.Simetría eje polar

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


175

Areas en coordenadas polares

Sea una función continua y positiva, definida para valores de entre y Nuestroobjetivo es determinar el área delimitada por los radios vectores rectas radiales) y y la curva definidapor

Para hallar el área de esta región, partimos el intervalo [ , ] en subintervalos iguales:

< < < < < 0 1 2

Calculando el área de un sector circular cualquiera de radio y ángulo centrali

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


176

Recordando que el área de un segmento circular de radio y ángulo central , esta dado por:

Area del sector circular

Entonces el área del sector circular está dado por:

proximando el área de la región por la suma de los sectores,

Tomando el límite , tenemos:

lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


177

Por lo tanto, podemos definir:

Si es continua y no negativa en el intervalo [ , ], el área de la región limitada por la gráfica de entre los radios vectores y , esta dado por:

; 12

Ejemplo:

1) Determinar el área de la región polar dada por: entre y =

2

Su gráfica es:

Solución: El área de la región esta dada por:

=

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


178

2) Hallar el área de un pétalo de rosa dada por:

Solución:

Por simetría de la figura planteamos:

12

12

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


179

Determinar el área común a: y

Solución: Lo primero es gráficar para determinar el área común

25

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


180


Hallar el área de un pétalo de la rosa dada por:

Determinar el área de la rosa dada por:

Determinar el área común a 5 , pero no a 5

Hallar el área de la régión común a las dos regiones limitadas por la circunferencia y la cardioide

Hallar el área de la región situada entre los lazos interior y exterior del caracol:

Determinar el área de intersección y de unión de:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


181

Solución:

1) 2)

3) 4)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


182

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


183

Longitud de arco en coordenadas polares

Sea una función continua y derivable en el intervalo , entonces la longitud dearco de la gráfica desde y , está dada por:

Ejemplo:

Determinar la longitud del arco de la siguiente función: para : [ 0 , 2 ]. Gráficar.

Solución:

Dado que: tenemos:

0 0

2 2

0

2

, Dado que: 0

2

0

2

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


184

Determinar la longitud de arco de: donde es una constante positiva. Gráficar.

Solución:

Dado:

tenemos:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


185


1) Determinar la longitud de arco de la espiral : para entre [0 , 2 ]

Determinar la longitud de arco de la cardioide Entre hasta

Calcular la longitud de arco de la gráfica polar definidad por: entre y

Determinar la longitud total de la rosa dada por:

Determinar la longitud de la espiral: para 2

6) Un móvil se mueve de acuerdo a la siguente trayectoria: ¿Que distancia recorre esta partícula desde el instante segundo al instante segundo.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


186

Solución

1)

5) ****

6)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


187

Autoevaluación

1) Dado el siguiente conjunto de ecuaciones paramétricas

Realice el correspondiente gráfico y encuentre la ecuación cartesiana

2) Determine para el siguiente conjunto de ecuaciones paramétricas:

3) Obtener la longitud de arco de

si

4) Determine el área que queda en el interior de y de

5) Calcular la longitud de arco de

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


188

Solución

Dominio:

con

2

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


189

3

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


190

4 ángulos de intersección

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


191

5)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


192

UNIDAD N°4: INTEGRALES IMPROPIAS

Sea la integral definida , podrá resultar impropia de dos formas:

1 Si uno o ambos limites de integración se hacen infinitos.

2.Si el integrado , se torna infinito en el punto o en el punto o en cualquier punto entreestos extremos de intervalos

Caso 1. El límite de integración se hace infinito

1.1) El límite superior es infinito.

Si es continua en , entonces

lim

La integral impropia es convergente al valor dado por el límite Si el límite no existe se dice que la integral impropia no existe por lo tanto es .divergente

converge si existelim

1.2) El límite inferior es infinito.

Si es continua en , entonces la integral impropia:

converge si existelim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


193

Es al valor dado por el límite. Si el límite no existe, la integral impropia esconvergentedivergente.

1.3) El límite inferior y superior son infinitos

Si es continua en , donde la integral se ha dividido en dos integrales en el punto ,donde el punto es un punto finito conveniente , entonces la integral impropia:

es convergente si las integrales existen

Donde:

y lim lim

Para que sea deben existir ambos límites. Si no existe alguno de los límites no hayConvergenteintegral y se dice que es .Divergente

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


194

Caso 2. El integrado se torna infinito o discontinuo ya sea en los mismos limites de integración oen algún punto del intervalo entre ellos.

Sea continua en excepto en que presenta una discontinuidad, donde ,entonces decimos:

Es , si ambas integrales existenconvergente

lim lim

Para que sea deben existir ambos límites, caso contrario es .Convergente Divergente

- El área de a es: lim

Corresponde al límite de la función en el punto y tomando el límite de la función cuando tiende a desde la izquierda.

- El área de a , está dada por: lim

Corresponde al límite derecho de la función cuando tiende a , desde la derecha. Proposición

1.Supongamos y continuas en . Si la integral

Convergente y Convergente

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


195

Entonces: Convergente

2. Si Converge, entonces también Converge, con

3. Si Convergente, no necesariamente

y son Convergentes

Ejemplos resueltos

Calcular la siguiente integral

1.Resolver

lim

lim

lim

Dado que , entonces lim lim

Por lo tanto , la integral converge a

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


196

2.Resolver

lim

lim

lim

Como es indeterminado, de manera que el límite no existe. En consecuencia no hayintegral. Por lo tanto, la integral diverge DV

3.Calcular el área de las regiones:

Situación (1)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


197

lim

lim

lim

Dado que: Diverge. Entonces el área de la región es infinita.lim

La integral DV.

Situación (2)

lim

lim

lim

lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


198

Entonces el área es finita, dado que:

La integral CV

4.Determinar el área bajo la curva de la función

lim

lim

lim

Luego, la integral es CV.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


199

Ejemplos propuestos con resultado

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10. 0

11. 12.

13. 14.

15.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


200

Solución

1.CV a 2. CV a

3.CV a 4. CV a

5. DV 6. CV a

7. CV a 8. CV a

9.CV a 10.CV a

11. DV 12.CV a

13.CV a 14. CV a

15. CV a

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


201

Autoevaluación

Decida si la integral CV o DV

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


202

Solución

DV

DV

CV a

DV

CV a

Calculo 2 Virginio Gomez blog del mechon

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