Calculo 1 Lectura Semana 1

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1 UNIDAD 1 Unidad 1 Autor: Hugo Zamora Nociones básicas de funciones. Cálculo 1

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Calculo I Semana I

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  • 1UNIDAD

    1Unidad 1

    Autor: Hugo Zamora

    Nociones bsicasde funciones.

    Clculo 1

  • indice Introduccin

    Metodologa

    Desarrollo temtico

  • Fundacin Universitaria del rea Andina 3

    La era que vivimos se ha catalogado como la era de la infor-macin. En este sentido, los datos presentados en diversas-formas: grficos, tablas de valores, son la materia prima de la informacin. En esencia, los datos son numricos y las relacio-nes que se establecen entre ellos caracterizan su importancia en el suministro de informacin sobre fenmenos naturales, sociales, econmicos, etc. La nocin de funcin permite estu-diar un tipo de relaciones que se establece entre datos y, por-lo tanto, generar acciones sobre la informacin suministrada a travs de sus elementos. Acciones como prever, suponer, conjeturar, proyectar, son producto del conocimiento y utili-zacin de los elementos y propiedades bsicas de la funcin.

    Introduccin

  • 4U1

    Fundacin Universitaria del rea Andina 4

    Metodologa

    De manera general, la recomendacin inicial que se da al estudiante es asumir el rol que le corresponde en el marco de formacin virtual, se recomienda hacer cuidadosa lectura de este documento, ya que el reto de aprendizaje autnomo al que decidi enfrentarse as lo demanda. Atendiendo especficamente a los temas de esta cartilla es altamente reco-mendable que elabore un esquema resumido de los mismos, por ejemplo, un mapa mental, unmapa conceptual, un cuadro sinptico, entre otros en los que plasme las ideas que tie-nenque ver con conceptos de funcin, dominio y rango de funciones, representacin grfica y dems puntos tratados aqu. Es muy importante la asociacin de los diferentes conceptos y formularse el reto de describir otros ejemplos diferentes a los aqu presentados. Tambin resulta til, en los casos en que se presentan clculos de ejemplo, que se realice la respectiva verificacin de las operaciones. Todo lo anterior, adems de contribuir a afianzar el conoci-miento del tema, le brinda la posibilidad de tomar mayor confianza hacia lo que sigue a cada eje temtico.

  • La nocin de funcin La recoleccin de datos sobre situaciones diversas se basa en la idea de relacionar elementos de dos conjuntos (casi siempre numricos), y en su presentacin, de manera que la informacin sea legible y sirva como punto de partida de la identificacin de regularidades y, por lo tanto, de patrones de comportamiento de los datos. Si A y B son dos conjuntos, una funcin de A en B es una relacin entre los elementos de A y B, de tal forma que a cada elemento de A le corresponde uno y slo un elemento de B. Esta aproximacin a la nocin de funcin requiere que:

    ! Todo elemento de A se relacione con un elemento de B.

    ! La relacin de un elemento de A con un elemento de B sea nica. Ejemplos 1. Una forma usual de presentar datos que relacionan dos conjuntos es mediante el uso de una tabla de valores. Veamos este hecho. Un comerciante hace un registro de las ventas de cierta clase de tela y las presenta as:

    Nmero de metros vendidos 5 9 14 22 45

    Valor total de venta 95.000 171.000 266.000 418.000 855.000

    La relacin que se establece entre el nmero de metros de tela vendidos y su valor de venta es una funcin, pues a cada valor del nmero de metros de tela vendido corresponde un valor de venta y ste es nico. Un hecho interesante aqu es observar que el valor total de venta depende del nmero de metros de tela que se venden. En este sentido, una funcin tambin es una relacin de dependencia entre dos cantidades que varan, de tal forma que a cada valor de la variable 1 independiente, corresponde un nico valor de la variable 1 dependiente. Aqu la variable independiente es el nmero de metros vendidos y la variable dependiente es el valor de la venta. 2. Los grficos se han convertido en una de las formas caractersticas de informacin y muchos de ellos nos proveen un acercamiento a la nocin de funcin. Veamos: 1 En este escrito se asume que una variable es un smbolo que representa los elementos de un conjunto. El conjunto se llama el dominio de la variable, y cada elemento del conjunto se denomina un valor de la

  • Figura 1. Grfica de temperaturas

    La relacin entre cada hora en la maana (representada en el eje horizontal) y la temperatura (representada en el eje vertical) establece una funcin, pues a cada hora en la maana corresponde un nico valor de temperatura. Los ejemplos muestran dos de las representaciones usuales de funciones: mediante una tabla de valores y mediante un grfico de coordenadas cartesianas. Veamos los elementos bsicos de las funciones que ayudan a comprender sus representaciones. Lo hacemos a partir de una definicin amplia de funcin. Elementos de una funcin Si A y B son dos conjuntos, entonces una funcin de A en B es una regla que asigna a cada elemento x de A un nico elemento y de B. Se nota BAf : . El elemento y se denomina la imagen de x mediante f. La imagen de un elemento x se nota tambin como ( )xf que se lee f de x .

    Al conjunto A se le llama el dominio de la funcin y se nota fD y el conjunto B se conoce como

    el codominio de la funcin, que se nota fCd . Al conjunto de imgenes de la funcin se le

    denomina el rango de la funcin y se simboliza fR La regla de asignacin que define una funcin puede describirse de forma verbal o de forma algebraica.

  • Ejemplos:

    1. La funcin Zf : se define verbalmente mediante el enunciado A cada entero le corresponde 1 ms que su duplo. f es una funcin pues todo entero tiene duplo y al sumar 1 esta suma existe (es un nmero entero) y adems es nica. El dominio y codominio de f es el conjunto de los nmeros enteros. Asimismo, afirmamos que la imagen de 3 es 5 o en forma equivalente que ( ) 53 =f . Al determinar algunas imgenes de nmeros enteros se concluye que

    }{ ...,3,1,1,3,5... =fR

    2. La funcin f del ejemplo 1, se define en forma algebraica, mediante la descripcin de la imagen de un elemento x del dominio de f . En este caso se escribe:

    Zf : definida por ( ) 12 += xxf La descripcin algebraica de la funcin permite abordar interrogantes como:

    Cul es la imagen de 27 mediante f ? Se pregunta por ( )27f . Al usar la expresin ( ) 12 += xxf que define f , se obtiene: ( ) ( ) 127227 +=f , es decir ( ) 5327 =f

    Existe algn elemento del dominio de f tal que su imagen mediante la funcin sea

    32?

    Al usar de nuevo la expresin ( ) 12 += xxf , se tiene 1232 += x . La solucin de esta

    ecuacin es 233

    =x , que no es un nmero entero. Por lo tanto no existe un elemento

    del dominio de f cuya imagen sea 32 .

    Cmo presentar la informacin de imgenes de elementos del dominio de f ? La tabla de valores de una funcin f se construye en dos filas o dos columnas, una de las cuales contiene elementos del dominio de la funcin y la otra contiene las respectivas imgenes. Para el ejemplo anterior, una tabla de valores de f es:

    x -8 -5 0 2 6 ( )xf -15 -9 1 5 13

    Tabla 1. Valores

  • Funciones de valor real Si una funcin f tiene como dominio y codominio a subconjuntos de nmeros reales se afirma que f es una funcin de valor real. Es usual que las funciones de valor real se definan mediante una expresin algebraica sin especificar su dominio y codominio. Por lo tanto, es importante determinar el dominio de f para representar la funcin en diversas formas. Ejemplos

    1. Para determinar el dominio de la funcin f definida por ( ) xxf 32 = , es preciso dar respuesta al interrogante: Para qu nmeros reales x existe la imagen ( )xf ?

    Esto equivale a determinar para qu nmeros reales x la expresin x32 es un nmero real?

    x32 es un nmero real si 032 x . Luego, el conjunto solucin de la

    inecuacin ser fD . Como 32

    x , entonces

    =32,fD

    2. El dominio de la funcin g definida por ( ) 13 = xxg es el conjunto de los nmeros reales, pues la expresin 13 x que es la imagen de un nmero real x mediante g , representa un nmero real para cualquier valor x .

    Grfica de una funcin Se utiliza el plano cartesiano para representar grficamente una funcin. Para ello se afirma que la grfica de una funcin f (notacin: fGr ) se construye as:

    ( ){ ( )}xfyyxGrf == , . Cada uno de los pares ordenados de la grfica de f tiene como primera componente un elemento del dominio de f y como segunda componente la imagen de dicho elemento. Cada par ordenado de la grfica de f corresponde a un punto del plano cartesiano. El dominio de f se representa en el eje horizontal y las imgenes se ubican en el eje vertical. El hecho de determinar pares ordenados que pertenezcan a la grfica de f y representarlos en el plano cartesiano, no garantiza que se pueda trazar la grfica de la funcin de forma precisa. Se presentan elementos de la funcin que permiten una mejor aproximacin a su grfica.

  • Ejemplo

    Para trazar la grfica de la funcin f definida por ( ) 242x

    xf

    = se sugiere identificar los

    siguientes elementos:

    El dominio de f . Hay que determinar nmeros reales x para los cuales la expresin

    242x

    est definida.

    Una fraccin est definida si su denominador es diferente de 0. As que se requiere que

    04 2 x . O en forma equivalente determinar nmeros reales x tales que 04 2 = xy excluirlos del dominio de f . Como la solucin de 04 2 = x es 2=x o 2=x , se afirma que }{ 22,-\ R=fD

    Una informacin til es la determinacin de los interceptos de la grfica de f con el eje

    horizontal del plano cartesiano. Si estos existen, corresponden a puntos del plano cartesiano de la forma ( )0,x y se denominan los ceros de f . As que la solucin de la ecuacin ( ) 0=xf da respuesta al interrogante planteado. En este caso

    ( ) 242x

    xf

    = entonces se tiene 2420x

    = . Ya que 2x y 2x se obtiene

    20 = , lo que permite concluir que 2420x

    = no tiene solucin en los nmeros

    reales. Por consiguiente, se dice que f no tiene ceros reales o que su grfica no intercepta el eje horizontal del plano cartesiano.

    El intercepto de la grfica de f con el eje vertical del plano (si existe) es un punto del

    plano cartesiano de la forma ( )( )0.0 f . Por lo tanto ( )0f (si existe) seala dicho intercepto. Para la funcin f de este ejemplo se tiene ( )

    210 =f , y as se afirma que el

    intercepto de f con el eje vertical es 21

    .

    Determinar un conjunto de pares ordenados de fGr . En la prctica no es claro cuntos

    pares ordenados posibilitan visualizar la grfica de f . Con la informacin obtenida, se intenta trazar un esbozo de la grfica de f . La siguiente tabla muestra pares ordenados de la grfica de f . La figura 2 presenta la grfica de la funcin f .

  • Fundacin Universitaria del rea Andina 10

    x 4 27

    3 25

    47

    1 41

    0 21 1 4

    5 25 3

    413 4

    ( )xf 61

    338

    52

    98

    1532

    32

    6332

    21

    158

    32

    3932

    98

    52

    10532

    61

    Tabla 2. Valores

    Nota: el estudio de propiedades de las funciones proporcionar herramientas para graficar una funcin con precisin. Asimismo el apoyo de un programa para realizar grficas es til para complementar el trabajo planteado. Programas como Winplot o Graph, corresponden al denominado software de distribucin gratuita. Las grficas de este escrito se realizan con Graph y Graph est disponible en www.padovan.dk/graph Ejercicios Utilice las nociones estudiadas para responder los interrogantes planteados. Detalle el procedimiento utilizado.

    1. Para cada una de las siguientes funciones de valor real, determinar el dominio.

    a) ( ) 5 1 xxf = b) ( ) 352 2 += xxxg

    Figura 2. Grfica de ( ) 242x

    xf

    =

    Fuente: propia

  • Fundacin Universitaria del rea Andina 11

    c) ( ) 42+

    =xxxh

    d) ( )111

    ++=x

    xxr

    2. Para la funcin f definida por ( )xxxf

    +

    =32

    , contestar los interrogantes:

    a) Es

    21f un real negativo?

    b) Existe un valor del dominio de f tal que su imagen mediante f sea 21

    ?

    c) Calcular y simplificar ( ) ( )

    hfhf 22 +

    3. Esboc la grfica de funciones f y g que cumplan las siguientes condiciones:

    a) }{ 3,4- -R=fD . f tiene dos ceros que son reales positivos. ( ) 0

  • Fundacin Universitaria del rea Andina 12

    Crecimiento y decrecimiento Los grficos que informan sobre hechos sociales permiten hacer conjeturas sobre el comportamiento futuro. El grfico de la figura 3 muestra los datos de personas infectadas con un virus en un lapso de 6 semanas. De acuerdo con la grfica es factible presumir que a medida que transcurra el tiempo (en semanas), el nmero de infectados crecer. La presuncin se basa en una lectura del comportamiento de la grfica de la funcin que representa el fenmeno descrito.

    Figura 3. Propagacin de un virus

    Fuente: propia

    Una funcin f es creciente en un intervalo abierto I , si para todo a y b elementos de I se cumple que: si b

  • Fundacin Universitaria del rea Andina 13

    2. Si se conoce la expresin algebraica que define una funcin f , y un intervalo contenido en su dominio, se puede estudiar el crecimiento o decrecimiento de la

    funcin en dicho intervalo. Veamos el comportamiento de ( ) 12 = xxf en el intervalo ( )= ,1I .

    Figura 4. Crecimiento y decrecimiento de una funcin

    Fuente: propia

    Como

    = ,21

    fD , entonces fDI . Se toman dos nmeros reales a y b en I , tales que

    b xy

  • Fundacin Universitaria del rea Andina 14

    ( )1212

    2+

    =

    abab

    Esta ltima expresin presenta las siguientes caractersticas: como ba y 1b > , o sea que 12 a y 12 b son nmeros reales positivos. Por qu? En resumen si 01-0,2aa-b >> y 012 >b , entonces la expresin

    ( ) 01212

    2>

    +

    abab

    .

    Lo que quiere decir que ( ) ( ) 0> afbf . En consecuencia: Si b

  • Fundacin Universitaria del rea Andina 15

    afirmar que: una funcin f es par si para todo fDx se tiene que ( ) ( )xfxf = . As que si f es la funcin definida por ( ) 13 2 = xxf , se tiene que ( ) ( ) 13 2 = xxf , es decir que ( ) 13 2 = xxf y por consiguiente ( ) ( )xfxf = . Se afirma entonces que f es una funcin par.

    2. Sealar que una funcin f es impar es equivalente a afirmar que para todo fDx se

    tiene que ( ) ( )xfxf = (muestre un ejemplo de una funcin que sea impar). La declaracin que Toda funcin creciente en su dominio es impar, se puede refutar (es decir afirmar que no es cierto), mostrando un contraejemplo, o sea una funcin que es creciente en su dominio, pero que tiene algn fDx para el cual ( ) ( )xfxf . Considere la funcin ( ) 1+= xxf que es creciente en su dominio (compruebe este hecho). ( ) 32 =f y ( ) 12 =f , as que ( ) ( )22 ff y en consecuencia f no es impar.

    Funcin uno a uno Las propiedades de las imgenes de una funcin proveen informacin til que permite visualizar su grfica. Si el rango fR de una funcin f tiene la caracterstica que cada elemento es imagen de uno y slo un elemento del dominio D, se afirma que f es una funcin uno a uno. (Esboc las grficas de una funcin f que posea esta caracterstica y de una funcin g que no tenga la propiedad). Ejemplos:

    1. Mostrar que una funcin f es uno a uno, equivale a mostrar que s a y b son dos elementos del dominio de f y sucede que ( ) ( )bfaf = , entonces b=a . As que para

    probar que ( )22

    =x

    xg es una funcin uno a uno, se toman fDa y fDb con

    ( ) ( )bfaf = . Es decir 22

    22

    =

    ba. Como 2a y 2b entonces ( ) ( )2222 = ab

    y por lo tanto a=b .

    2. Otra forma de comprobar que una funcin f es uno a uno consiste en mostrar que s a y b son dos elementos del dominio de f y sucede que ba entonces ( ) ( )bfaf . La afirmacin: Si una funcin es decreciente en su dominio entonces es uno a uno, es verdadera, pues si f es una funcin decreciente en su dominio D, significa que si a y b

  • son dos elementos del dominio de f y sucede que b , o tambin que si a y b son dos elementos del dominio de f y sucede que a > b, entonces f (a) < f (b), hechos que se resumen en: si ba entonces ( ) ( )bfaf .

    3. La aseveracin Toda funcin impar es uno a uno no es verdadera. Para ello se puede

    mostrar un contra- ejemplo, es decir una funcin que sea impar pero no uno a uno. La grfica 6 es un contraejemplo de la afirmacin.

    Figura 6. Funcin impar y no uno a uno Fuente: propia

    Ejercicios Utilice las definiciones y ejemplos de la lectura para desarrollar los ejercicios propuestos.

    1. Para cada una de las funciones dadas, determine su crecimiento o decrecimiento en el intervalo I sealado.

    a) ( )x

    xf231+= en ( )= ,0I .

    b) ( )2

    1

    =xxxg en su dominio.

    c) ( )532 xxh = en su dominio.

    d) ( ) 12 += xxm en ( )0,=I . e) ( ) 3 xxr = en su dominio.

  • f) ( ) kxt = en su dominio ( k un nmero real).

    2. Determinar si cada una de las siguientes funciones es par, impar o no es par ni impar.

    a) ( )x

    xf 11=

    b) ( ) 11 42 = xxxg

    c) ( ) 3 xxh =

    3. Son uno a uno cada una de las siguientes funciones?

    a) ( )x

    xf

    =31

    b) ( ) 21 xxg = c) ( ) xxh = 1 d) ( ) 4=xk

    4. Esboc la grfica de funciones que cumplan las condiciones especificadas en cada tem.

    Si no es posible construir la grfica, explquelo.

    a) f es una funcin uno a uno, impar y decreciente. b) g es una funcin par y no es uno a uno. c) h es una funcin que no es par, no es uno a uno, ni es decreciente.

    5. Determine si cada afirmacin es verdadera o falsa. Si es verdadera, elabore un

    procedimiento que use las definiciones dadas en la lectura para asegurarlo. Si la afirmacin es falsa construya un contraejemplo.

    a) Toda funcin impar es creciente. b) Si una funcin es uno a uno, entonces es creciente. c) Toda funcin uno a uno es impar. d) Toda funcin creciente en su dominio es uno a uno.

    Con esta lectura se da por finalizado el estudio del contenido de la primera semana del mdulo de clculo 1. Se espera que el estudiante haya alcanzado la claridad necesaria en lo que se refiere a la idea de funciones de tal manera que se encuentre en condiciones apropiadas para enfrentarse a las actividades evaluativas de esta semana y al estudio de las posteriores temticas, de no ser as es importante que retome esta lectura.