Càlcul d'una biga

ngel Crehuet

RESISTNCIA DE MATERIALS DISSENY DUN ELEMENT RESISTENT

RESISTNCIA DE MATERIALS

2

NDEX

1. Justificaci del material i disseny escollit ............................................................................ 3 1.1 Material ............................................................................................................................. 3 1.2 Disseny ............................................................................................................................... 5

2. Justificaci de la secci emprada ........................................................................................ 6 2.1 Secci .................................................................................................................................. 6 2.2 Reforos addicionals ........................................................................................................... 8

3. Descripci del procs constructiu emprat ........................................................................... 8 3.1 Construcci ......................................................................................................................... 8 3.2 Massa total de la biga. Pressupost ..................................................................................... 9

4. Clculs .............................................................................................................................. 10 4.1 Dimensionament de la secci ........................................................................................... 10 4.2 Clcul de Pfallida terica ..................................................................................................... 11 4.3 Clcul de C terica sota crrega nominal ........................................................................ 12 4.4 Clcul de C terica a ruptura .......................................................................................... 14

5. Comprovaci dels resultats terics amb els de lAnsys......................................................15

5.1 Comprovaci dels valors de !!"#....................................................................................15 5.2 Comprovaci dels valors de deformaci C .................................................................... 15 5.3 Comprovaci dels valors de deformaci C a ruptura .................................................... 16

6. Bibliografia ....................................................................................................................... 17

7. Resultats de lassaig: la Pfallida i c experimentals .............................................................. 17


3

Figura 1: Arbre Tabebuia i fusta Ip

1. Justificaci del material i disseny escollit 1.1. Material El material seleccionat ha estat la fusta tropical anomenada Ip, de larbre Tabebuia (figura 1). Tot i que al principi es van debatre diferents opcions com, per exemple, acer o fusta de pi, aquestes varen ser descartades per diferents motius: per una banda, lacer es va descartar degut a la dificultat daconseguir fabricar la pea a un preu raonable i a un lloc proper; daltra banda, van quedar dos tipus de fusta (la Ip i la fusta de pi). La tria dun o altre tipus de fusta es va basar en les seves propietats. Des dun principi, la principal preferncia va ser la fusta de Tabebuia degut, sobretot, a la seva molt elevada tensi de ruptura terica. Aquesta fusta tamb presenta altres qualitats que la fan especialment recomanable i adient per la fabricaci de bigues o estructures amb molta durabilitat. Aix, s molt ms dura que la fusta de pi, s resistent als corcs, al foc i a les inclemncies meteorolgiques. Per exemple, en emplaar una biga de Ip en exteriors, no cal envernissar-la ni aplicar-li cap material segellant. Tot aix la fa un material ideal per a la funci daguantar una estructura. Daquesta manera, es van assajar els dos tipus de fusta a flexi (assaig destructiu) per determinar les respectives tensions de ruptura. Les provetes utilitzades eren de la mateixa remesa de fusta amb qu sha fabricat la biga. Amb els resultats obtinguts es va culminar la decisi dutilitzar la Ip, ja que t una molt elevada tensi de ruptura i un mdul elstic tamb elevat per ser una fusta. A ms, la fusta de pi no t les caracterstiques especials de la de Tabebuia que shan detallat anteriorment. ! = !!!!"!!! Per a cada parell de valors de fora (F) i de desplaament (d), trobem el corresponent mdul elstic (E).

Fusta de pi F(N) d(mm) 50 0,93 100 1,65 150 2,67 200 3,48 250 4,34 300 5,24 350 6,28 400 7,24


4

Taula 1: Valors de fora i desplaament per a la fusta de pi

Taula 2: Valors de fora i desplaament per a la fusta Ip

450 8,24 500 9,28 550 10,50 600 11,91 650 12,85

!! = !! 2+ ! 2!! = 1825 2+ 200 2!! ! ! = 1825 2+ 200 2!! 20 20! = 68,44 !"# Fem el mateix per la fusta Ip:

Fusta Ip F(N) d(mm) 100 0,66 200 1,44 300 2,15 400 2,89 500 3,58 600 4,35 700 5,10 800 5,84 900 6,54 1000 7,27 1100 8,03 1200 8,83 1226 9,03

!! = !! 2+ ! 2!! = 6720 2+ 200 2!! ! ! = 6720 2+ 200 2!! 17,3 21,5! = 252,10 !"# Havent decidit dutilitzar, doncs, la fusta Ip, calculem el mdul elstic experimental a partir del tram ms lineal del grfic tensi deformaci. En aquest primer experiment, doncs, tenim que E=17040 MPa. Per tal de comprovar els resultats obtinguts (s sorprenent que la tensi de ruptura sigui superior fins i tot a la de lacer) i obtenir una tensi de ruptura ms precisa i fiable, es van realitzar 2 assajos addicionals a ruptura. Aix, es van obtenir els segents valors: !!! = 227,59 !"# i !!! = 232,6 !"#. A efectes prctics, sha pres una tensi de ruptura mitjana entre les 3 obtingudes: 237,4 MPa.


5

Figura 2: Provetes desprs de lassaig destructiu a flexi

Daltra banda, tamb sha realitzat un assaig a flexi de la fusta sense ruptura, amb lobjectiu daconseguir determinar el mdul elstic amb ms precisi. En aquest experiment sha obtingut una E=25000 MPa. Per tant, per realitzar els clculs sutilitzar la E mitjana: 21020 MPa. Com a resum de tot plegat, val a dir que els valors de E i !! tenen bastanta variabilitat, tot i haver realitzat els experiments amb el mateix llist de fusta. Amb els 3 llistons utilitzats per fer els assajos sha calculat la densitat de la fusta Ip: !!" = !"# !! !"!,!"!,!" !!! = 1,1256 !/!"! Per ltim, el coeficient de Poisson daquest material s 0.4, valor que sha pres de la informaci trobada sobre aquesta fusta a Internet. 1.2. Disseny Per arribar al disseny ptim, en el nostre cas sha partit duna fora P = 200 N i una distncia a=200 mm. A partir daquestes mesures i les que proporciona lenunciat shan provat diverses combinacions de longituds i angles. Per exemple, sha considerat langle entre lhoritzontal inferior i la barra inclinada en tres casos diferents: amb un angle igual a 30o, 45o i 60o. Langle de 30o, per, de seguida ha estat descartat, degut a la falta despai. De fet, si es fes la biga amb aquest angle de 30o, la fora P estaria aplicada a 2 mm de la uni inferior. Per a comparar els angles de 45 i 60o, shan creat dues geometries de secci rectangular (una amb cada angle) amb el programa Ansys, per tal de saber com es comportava la distribuci de tensions en funci de langle. Daquesta manera, sha pogut veure que la que donava tensions ms baixes s la de 45o. Aquest s, per tant, langle ms convenient.


6

Figura 4: Situaci final tram central

Un cop escollit langle del tram central, noms queda un ltim aspecte geomtric a determinar: la posici longitudinal del tram inclinat. Aquest ha estat situat atenent a dos objectius: que la biga no entri en contacte amb lobstacle de lesquerra i que la uni inferior estigui el ms lluny possible del punt daplicaci de la fora, per tal de disminuir tensions. En la segent figura es pot veure el resultat final:

2. Justificaci de la secci emprada 2.1. Secci La secci utilitzada per a la biga s una en forma de T, tal com es veu a la figura segent. Aquesta secci s constant al llarg de la pea, massissa i creada a partir dun sol llist de fusta.

Figura 3: Dimensions de la biga en mm, amb P=200 N


7

Figura 5: Secci en forma de T

Aquesta secci s la que sha decidit ms adient per a la pea en qesti atenent a diversos criteris, segons els diversos anlisis realitzats. En primer lloc, la secci en forma de T no s simtrica respecte leix Z, ja que t el centre de gravetat desplaat cap a la part on hi ha lala. Aix fa que, si es sotmet a un esfor tallant Ty (que provoca un moment flector Mz), les tensions !! !!"#$% seran molt superiors en lextrem sense ala, que s on la y s mxima. Daquesta manera, i tenint en compte que noms es disposa de la tensi de ruptura a tracci de la fusta, es decideix que conv collocar la T sense invertir. En cas contrari, la secci en T invertida provocaria tensions !! mximes a compressi molt ms elevades que a tracci, i no es podrien donar conclusions, ja que no es coneix el valor de la tensi de ruptura a compressi. En el cas de la secci amb doble T, no ha estat seleccionada per diversos motius: per una banda, fa sobrepassar el coeficient de seguretat (ja que augmenta la inrcia i aquesta fa que disminueixi la !!). Aix es podria solucionar fent la secci ms esvelta: reduint el gruix de lnima i lala. Per, per altra banda, aqu apareix el segon motiu: en fer un perfil tan prim, sorgirien importants problemes i defectes de fabricaci, ja que seria prcticament impossible treballar la fusta. Per ltim, una secci de doble T feta amb Ip complicaria molt la fabricaci, i probablement shauria de recrrer a unir tres llistons de fusta amb cola enlloc de rebaixar material duna secci massissa. Cal remarcar, abans de presentar els clculs realitzats, que degut a les propietats de la fusta Ip, sha hagut dimposar un coeficient de seguretat de lleugerament ms de 2,5. Com que la fusta en qesti t una tensi de ruptura molt elevada, aix fa que shagi de dissenyar una secci esvelta per tal que el coeficient de seguretat no sigui massa gran. Daltra banda, per, en dissenyar una secci molt esvelta, la pea excedeix el lmit imposat de deformaci (ja que, comparativament, el seu mdul elstic no s gaire gran). En qualsevol cas, sha prioritzat respectar la deformaci mxima. En resum, el lleuger excs de coeficient de seguretat est justificat per les propietats del material, que el fan molt resistent a qualsevol condici.


8

Figura 6: Refor utilitzat

2.2. Reforos addicionals La biga necessita uns suports als punts de recolzament per mantenir lestabilitat. Es decideix enganxar dues platines rectangulars de 15x3mm de secci i 20mm en la direcci longitudinal de la biga. Aix, collocades just on es recolzar la biga, evitaran que aquesta tombi. A les dues unions caldr posar-hi reforos per donar consistncia a la biga, i evitar una fallida preco per aquests punts. Aix, a les unions es considera una secci reforada amb dues plaquetes paralleles a lnima. Aquestes plaques, de 5 mm de gruix, fan que la secci en el tram reforat passi a ser rectangular. Val a dir que aquests reforos shan sobredimensionat per dues raons: evitar que la biga trenqui per les unions, i tamb perqu aix la secci esdev rectangular, i en construir lelement resistent, els reforos es poden encolar millor. A continuaci (figura 7) es detalla el refor emprat:

3. Descripci del procs constructiu emprat 3.1. Construcci Donada lalta resistncia de la fusta Ip, la biga a construir ha de tenir el mnim nmero dunions entre fustes possible, per aix evitar tot el possible una ruptura preco per les unions. Aix, el perfil en forma de T no es crear unint dos llistons de fusta amb cola, sin que es realitzar extraient material duna secci rectangular. Aquesta operaci de crear el perfil sha realitzat en una mquina adient, desbastant un llist daproximadament un metre de llarg. Tal com s necessari, aquest llist de fusta Ip tenia les fibres orientades en direcci longitudinal. A continuaci aquest llist sha tallat seguint la geometria indicada a lapartat de disseny, i shan encolat les dues unions amb cola blanca. Per assegurar una bona uni entre les peces sha deixat assecar la cola durant un dia, fixant la pea amb serjants com es pot veure a la segent figura.


9

Figura 7: Biga amb serjants, desprs de lencolat

Un cop la cola sha assecat, es pot procedir a reforar les unions. Les quatre platines de refor, de fusta de roure, sencolen a la secci en forma de T i es deixen assecar tot mantenint-les fixades amb serjants. Cal destacar que aquests reforos shan tallat de manera que la direcci de les fibres de la fusta forma un angle igual amb cada una de les dues biguetes encolades. Daltra banda, els dos suports que shan de collocar all on es recolza la biga tamb suneixen amb cola. 3.2. Massa total de la biga. Pressupost

Un cop construda, la biga t una massa total de 121 grams. Daltra banda, el cost total de fabricaci ha estat de 40.


10

Figura 8: Diagrames desforos de la biga amb crrega P

4. Clculs

4.1. Dimensionament de la secci Per al dimensionament de la pea, sha decidit prendre un coeficient de seguretat de 2,65. El motiu s perqu la construcci de la pea estava restringida per la mesura de la secci de la barra inicial de fusta (de 17,3 x 21,5 mm), i desprs de fer diverses comprovacions amb ANSYS sha trobat que un coeficient de 2,6 ja fa massa gran el desplaament de la secci crtica. Un cop decidit aquest coeficient de seguretat sha procedit a dimensionar la pea. Primer de tot shan trobat les tensions mximes que ha de suportar la pea per tal de complir aquest coeficient de seguretat. = !!!!" 2,65 = !"#,!!!" don sha obtingut !!" = 89,5!"# A partir daqu sha trobat la Wz allant de: !!"# = !!!!


11

Figura 9: Secci dimensionada en forma de T

89,5 = !"#$%,!"!! I sha obtingut Wz=343,8 mm4 Un cop vist tot aix, sha procedit a provar vries seccions amb forma de T per trobar quina era la ms adient (amb la Wz ms propera) a la desitjada. La secci trobada ha estat:

Si es comproven els clculs, es pot observar que el centre de gravetat de la secci es troba tal com sha dit anteriorment ms a prop de les ales: !"#! = 6,5 13 5+ 15,5 5 155 13+ 15 5 = 11,32 !! La inrcia daquesta secci s: !" = 112 5 13! + 5 13 [11,32 6,5]! + 112 15 5! + 5 15 [11,32 15,5]!= 3892,2 !!! Si ara es recalcula la !!"# que es produir es troba que !!"# = !!!! = !!!! ! !!"# = 30764,253892,2 11,32 = 89,47 !"# Per tant es comprova que la secci trobada compleix amb el coeficient de seguretat desitjat de 2,65. 4.2. Clcul de Pfallida terica La fusta Ip s un material que en arribar al lmit es trenca, s a dir, es tracta dun material frgil. Per tant, per determinar linstant de ruptura sutilitzar el criteri de Rankine, segons el qual el material trenca quan les tensions mximes a tracci o a compressi superen els valors lmit. En el cas de la biga en forma de T, noms cal comprovar les tensions mximes a tracci, donat que aquestes sn molt superiors a les de compressi, com ja sha explicat a lapartat de justificaci de la secci emprada. Cal destacar que pel criteri de Rankine tampoc cal comprovar les tensions tangencials.


12

Per al clcul de la P de fallida, simposa la tensi de ruptura i es troba el moment que hi haur en la secci crtica en linstant en que es trenqui. !!"#$"!% = !!!! !!"# = 237,4!"# Com que la inrcia de la secci i la ymax no variaran perqu venen donades per les dimensions de la secci, es troba el valor de Mz: !!!"#$,! 11,32 = 237,4!"# Mz=81626,17 Nmm Fent el procs invers del que sha realitzat per a trobar el Mz amb els diagrames de tensi, obtenim que: RB250=81626,17 RB650= Pfallida 400 Don trobem els valors de RB=326,5N, RA=204,07N RA+ RB= Pfallida i Pfallida =530,57 N Un possible indret de trencament podria ser el punt on hi ha un canvi de directriu. En qualsevol cas, les tensions mximes a les que est sotmesa la uni inferior sn les segents (val a dir que a les unions, la ymax s 9 mm, ja que la secci s rectangular): !!"# = 70402,567290 9 = 86,92 !"# Sn molt inferiors a la !!"#$"!% de la fusta Ip. Tot i aix, les unions estan encolades i, per tant, no tenen la mateixa resistncia que una biga dIp sense unions. Per tant, probablement el primer a fallar de la biga ser la cola de les unions. En resum, si la biga en qesti no tingus unions, o aquestes fossin extremadament resistents, la crrega que provocaria la fallida de la biga seria de 530,57 N, i la biga es trencaria per la part inferior del punt daplicaci de la fora. A la biga fabricada, per, es pronostica que es produir la ruptura a la cola de la uni inferior (que s la uni que suporta un major moment flector) abans dels 530,57 N ideals. 4.3. Clcul de C terica sota crrega nominal Per a calcular la deformaci soferta per la biga en el punt C daplicaci de la fora nominal, sha aplicat el Teorema de Castigliano, segons el qual les deformacions duna pea o estructura es poden calcular a partir de lenergia de deformaci (W). En el cas de la biga: !! = !"!" = !!!! !"!" + !!! !"!" !"!! + !! Per realitzar aquesta integral cal saber, de bon comenament, quants trams es tenen a la biga. Si la biga no tingus reforos, es podrien considerar 4 trams: AC, CF, FH i HI (figura 10). Per, donat que en aquest cas tenim reforos, cal fer una integral de 8 trams. No es considera realitzar 2 trams ms per les platines de suport de la biga, ja que lefecte que tenen sobre el desplaament s negligible. Cal destacar que sha fet una altra simplificaci, i sha considerat que els reforos sn de fusta de Ip, encara que a la realitat shan realitzat amb fusta de roure. Donat que


13

Figura 10: Trams considerats per integrar

els trams afectats pels reforos sn molt petits comparats amb la longitud total de la biga, lefecte degut al canvi de material s prxim a zero.

Cal recordar els valors dinrcia i rea de cada secci: I1=3892,2 mm4 Irefor=7290 mm4 A1=140 mm2 Arefor=270 mm2 Es t el mdul de Young (E=21020 MPa), per no el mdul delasticitat transversal. Aquest ltim, per, es pot calcular a partir de la segent frmula: ! = !!(!!!) =7507,14 !"# Substituint valors i integrant per cada cas: !!!"! !! 140+ !!!"! ! !!! 3892,2 !"!!!"#!!! = 1,2040 !! !!!"! !! 270+ !!!"! ! !!! 7290 !"!!!"#!!!"# = 0,3073 !! !!!"! ! cos(45)!! 270 + !!" ! 245+ !!" ! cos(45) !! 7290!!!"!!!

513 245+ 513 cos(45) ! !" = 0,3789 !! !!!"! ! cos(45)!! 140 + !!" ! 245+ !!" ! cos(45) !! 3892,2!!!!!,!"!!!"

513 245+ 513 cos(45) ! !" = 2,5716 !!


14

!!!"! ! cos(45)!! 270 + !!" ! 245+ !!" ! cos(45) !! 7290!!!"!,!"!!!!!,!" 513 245+ 513 cos(45) ! !" = 0,6481 !!

!!!"! !! 270+ !!" ! 345+ !!" ! !! 7290 513 345+ 513 ! !"!!!"!!! = 0,7515 !! !!!"! !! 140+ !!" ! 345+ !!" ! !! 3892,2 513 345+ 513 ! !"!!!!!!!" = 1,3587 !!

!!!"! !! 140+ !!" ! 400 !!" ! !! 3892,2 513 400 813 ! !"!!!"#!!!! = 2,3575 !! Per tant, !! = !,!" !!. Aquesta s la deformaci sota el punt daplicaci de la fora. La !!!"#$ de la biga ser major que aquesta, i estar situada entre el punt daplicaci de la fora i el punt mig de la biga. 4.4. Clcul de C terica a ruptura Fent els mateixos clculs que a lapartat anterior, per ara substituint la fora aplicada per la fora de ruptura (530,5 N), es t el desplaament a la ruptura. !! !"#$"!% = !",!" !!


15

Figura 11: Distribuci de tensions corresponents a I

5. Comprovaci dels resultats terics amb els dAnsys

5.1 Comprovaci dels valors de !!"# Com ja sha dit, la !!"# calculada de manera terica en lapartat anterior havia estat: !!"# = 89,47 !"# Els resultats obtinguts amb lAnsys sn els segents:

Es pot veure que|I|= 88,565 MPa (>|III| = 52,245 MPa).

Pel criteri de Rankine, agafem com a !!"# = max( , , ||) = 88,565 !"# Comparant el valor teric amb el resultat que ens ha donat lAnsys, es pot veure que sn molt semblants.

5.2 Comprovaci dels valors de deformaci C

El valor de deformaci del punt daplicaci de la fora calculat tericament ha estat !! = 9, 57 !!. Els resultats obtinguts amb lAnsys sn els segents:


16

Figura 12: Distribuci de deformacions i valor al punt C

Figura 13: Distribuci de deformacions, en el cas de ruptura

El node 92 correspon amb el punt daplicaci de la fora, s a dir, amb les coordenades (x,y)=(425, 0) mm. La seva deformaci s 10,082 mm, un valor similar a lobtingut mitjanant el teorema de Castigliano.

5.3 Comprovaci dels valors de deformaci C a ruptura

El valor de deformaci del punt daplicaci de la fora de ruptura calculat tericament ha estat !! = 24,23 !!. Els resultats obtinguts amb lAnsys sn els segents:

Es pot veure que la deformaci del punt on saplica la fora s de 26,742 mm, el qual tamb s molt similar a lobtingut anteriorment.


17

6. Bibliografia

Per a la realitzaci daquest treball shan utilitzat tant els apunts de classe de lassignatura com el material multimdia docent Prismatic. Els llibres i les pgines web consultades (data de consulta: 10/05/2013) han estat les segents. http://www.mif.pg.gda.pl/kft/Akron1/CH4-Mechanical-Properties-of-Wood.pdf http://www.wood-database.com/lumber-identification/hardwoods/ipe/ http://www.ipe-wood.com/tech.html.htm http://www.brasil-wood.com/ipe-specs.html ARGELLES lvarez, Ramn. Estructuras de madera: diseo y clculo 7. Resultats de lassaig: la Pfallida i C experimentals

Càlcul d'una biga

Documents

Transcript of Càlcul d'una biga